典型二元二次方程与应用题
典型二元二次方程与应用题
典型二元二次方程与应用题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二元二次方程组解法与应用题教学目标1.理解二元二次方程的概念2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组4.会列代数方程(组)解简单的应用题教学重难点1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解知识梳理二元二次方程和方程组仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项.使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法应用题在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解. 通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.二元二次方程与方程组1.将y 2x 1=-代入方程22y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__01422=--x x ___2.已知22m 2x y 5x 4y 20⎧+=⎪⎨+=⎪⎩是关于x,y 的二元二次方程组,则m= 或13.将方程22x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_x+3y=0__与__x-y=0___4.二元二次方程组(x 2y)(2x y)0(x 3y 1)(2x y 1)0--=⎧⎨-++-=⎩的解有___4_____组.5.已知03x y =⎧⎨=⎩和11x y =-⎧⎨=⎩是二元二次方程220x y dx ey +++=的两个解,则d=____2____, e=___0____6.下列不是二元二次方程组的是（ D ）A. 2235024x y x xy y --=⎧⎨-+=⎩B. 211x y -=⎧⎪=C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩D. 222x y ⎧-=⎪=7.若方程组2y 2x k y 4x =+⎧⎨=⎩有实数解,则k 的取值范围是 ( C ) A. 1k 2≥ B. k 2≥ C. 1k 2≤ D. k 2≤8.解下列方程(代入法)(1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩ (2)22x 2y 1x 4y 5-=⎧⎨-=⎩(3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩ (4)x y 11xy 18-=⎧⎨=-⎩(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩ (6)22x 4y x 3y 102x y 10⎧-++-=⎨--=⎩(7)2y 2x 3y x =+⎧⎨=⎩ (8)2x 2y 1x 2y 50-=⎧⎨+-=⎩9.解下列方程(因式分解法)(1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩ (2)2222x y 0x 4xy 4y 9⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ (4)222x 2xy y 1(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩ (6)222x 2xy y 9(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(7)222x y 1(x y)2(x y)30⎧-=⎪⎨----=⎪⎩ (8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩10.求满足条件22x 2xy 3y 0--=的x,y 的值11.若方程组 2y 4x 2y 10y x a ⎧--+=⎨=+⎩无实数解,求a 的取值范围;12.若方程组 2x 2ay 5y x 6a⎧+=⎨-=⎩ 有正整数解,求a 的值13.已知关于x,y 的方程组22x y 2x 0kx y k 0⎧+-=⎨--=⎩,求证:不论k 取何值,方程组总有2组不同的实数解能力训练解下列方程(1)22x y13xy6⎧+=⎨=-⎩(2)22x xy y19xy6⎧++=⎨=⎩(3)222x2xy y2xy y4⎧--=⎪⎨+=⎪⎩(4)2222x5xy6y284x3xy y7⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(5)22222x2xy4y x19x xy2y y9⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩(6)222x15xy3y2x9y985xy y3y21⎧--++=⎪⎨+-=-⎪⎩应用题1.师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成2.一艘轮船航行于两码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时,已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头之间的路程.3.一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500立方厘米的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.4.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率20%5.直角三角形的周长为2+斜边上的中线长为1.求这个直角三角形的三条边长课后作业1.下列方程组中,没有实数解的是 ( )A. 22x y 5x y 13+=⎧⎨+=⎩B. x y 5xy 7+=-⎧⎨=⎩C. 22x y 5x y 17+=-⎧⎨+=⎩ D. x y 5xy 6+=⎧⎨=-⎩2.若222(23105)0x y y --++=,则x=______y=_______3.解下列方程(1)222x y 5x y 5+=⎧⎨+=⎩(2)x y 7xy 12+=⎧⎨=⎩(3)x y1xy12-=⎧⎨=⎩(4)2222x5xy6y0x y5⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩(5)2222x2xy y1 x3xy2y0⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩4.已知方程组2y nxy2x m⎧=⎨=+⎩(其中m,n均不为零)只有一组实数解.(1)试确定mn的值;(2)若n=4,试解这个方程组5.当m为何值时,方程组2644030y x ymx y⎧--+=⎨-+=⎩只有一组解,并求出此解.6.已知方程组22x y axy b⎧+=⎨=⎩的一组解是11x3y2=⎧⎨=-⎩,求它的其余解7.一件上衣原价每件500元,第一次降价后,销售甚慢,第二次降价的百分率是第一次的2倍,结果以每件240元的价格迅速售出,求每次降价的百分率.8.一个水池有甲乙两根进水管,单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时.若甲管先开放10小时,然后乙管加入注水,6小时可把水池注满,求单独开放甲管需几小时注满水池9.学校原有长方形操场的面积为4000平方米,调整校园布局时,一边增长了10米,另一边减少了10米,操场面积增加了200平方米,求原有操场两边的长.。
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)引言二元二次方程是一个常见的数学问题，解决这类问题可以帮助我们进一步理解二次方程的性质和求解方法。
本文将介绍四种不同的方法来解决二元二次方程，并提供相应的练题，以帮助读者巩固所学的知识。
方法一：代入法代入法是一种简单直接的解法，通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。
以下是一个代入法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}3x^2-4y^2&=5 \\x+y&=3\end{align*}解法：1. 将第二个方程中的 $x$ 替换为 $3-y$，得到新的方程 $3(3-y)^2-4y^2=5$。
2. 将该方程整理并解得 $y=1$。
3. 将 $y=1$ 代入第二个方程，解得 $x=2$。
因此，该方程组的解为 $x=2$，$y=1$。
练题：1. 求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\x+y&=2\end{align*}2. 求解方程组\begin{align*}4x^2-5y^2&=8 \\2x+y&=3\end{align*}方法二：消元法消元法是另一种常用的解法，通过将两个方程相加或相减，并适当选择系数，使得其中一个未知数的系数相同而相消，从而求解另一个未知数。
以下是一个消元法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\5x-2y&=1\end{align*}解法：1. 将第二个方程乘以 2，得到 $10x-4y=2$。
2. 将第一个方程乘以 5，得到 $10x^2-15y^2=20$。
3. 将第三步的方程与第二步的方程相减，得到$15y^2-4y=18$。
4. 解方程 $15y^2-4y=18$，得到 $y=2$。
5. 将 $y=2$ 代入第一个方程，解得 $x=1$。
因此，该方程组的解为 $x=1$，$y=2$。
(专题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题及答案解析
（专题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题及答案解析一、选择题1．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab2．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①②由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．3．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．4．解方程组：【答案】，．【解析】【分析】先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.解：由①得：x =4+y ③，把③代入②得：（4+y ）2-2y 2=（4+y ）y ，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，. 【点睛】本题考查了解高次方程.5．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．6．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.7．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】原方程组变形为(3)(2)021x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．8．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.9．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1，y 2④，将④代入③，得x 1＝，2x ＝﹣所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.10．解方程组：2241226x y x y ⎧-=⎨+=⎩①②． 【答案】41x y =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】将①分解因式可得(2)(2)12x y x y -+=，再将将②代入③后得22x y -=，然后与②组成可得【详解】解：由①得(2)(2)12x y x y -+=．③将②代入③，得22x y -=．④得方程组2226x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得41x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．11．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ 【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】 先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】 222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0，x ＋y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．12．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x −y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．13．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.14．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．15．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．16．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩ 【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．17．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=，整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．18．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩ 【答案】12x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】 （1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴CF=7， ∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为：302x yx y-=⎧⎨-=⎩或2x yx y+=⎧⎨-=⎩解得：113 1x y =⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=-⎩∴原方程组的解为113 1x y =⎧⎨=⎩或2211xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。
二元二次方程解法技巧专项训练以及题型分类
二元二次方程解法技巧专项训练以及题型分类二元二次方程是数学中常见且有趣的问题之一。
解决这类方程的技巧可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍二元二次方程的解法技巧，并对常见的题型进行分类。
一、解法技巧解决二元二次方程的关键是找到方程的解集。
下面是一些常用的解法技巧：1. 因式分解法：将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求出变量的值，进而得到解集。
例如，对于方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$，我们可以将其因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$，然后得到解集 $x =2$ 或 $x = 3$。
因式分解法：将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求出变量的值，进而得到解集。
例如，对于方程 $x^2 -5x + 6 = 0$，我们可以将其因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$，然后得到解集 $x = 2$ 或 $x = 3$。
2. 配方法：当方程无法直接因式分解时，可以通过配方法来求解。
配方法的关键是找到一个合适的公式将方程转化为完全平方。
例如，对于方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$，我们可以通过配方法将其变形为 $(x - 2)^2 = 0$，进而得到解集 $x = 2$。
配方法：当方程无法直接因式分解时，可以通过配方法来求解。
配方法的关键是找到一个合适的公式将方程转化为完全平方。
例如，对于方程 $x^2 - 4x + 4= 0$，我们可以通过配方法将其变形为 $(x - 2)^2 = 0$，进而得到解集 $x = 2$。
3. 求解公式法：对于一般形式的二元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，我们可以利用求解公式来求解。
根据求解公式，解集可以表示为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
利用这个公式，我们可以求得方程的解集。
求解公式法：对于一般形式的二元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们可以利用求解公式来求解。
小学二元二次方程练习题
小学二元二次方程练习题一、填空题1. 已知方程组 $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=4 \end{cases}$，则 $x^2 + y^2$ 的值为______。
2. 在方程组 $\begin{cases} x+y=6 \\ xy=8 \end{cases}$ 中，$x^2 y^2$ 的值为______。
3. 若方程组 $\begin{cases} x+y=7 \\ xy=9 \end{cases}$，则$x^3 + y^3$ 的值为______。
4. 已知方程组 $\begin{cases} x+y=8 \\ xy=10 \end{cases}$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值为______。
二、选择题1. 方程组 $\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}$ 的解为（）。
A. $x=1, y=2$B. $x=2, y=1$C. $x=3, y=0$D. $x=0, y=3$2. 方程组 $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$ 的解为（）。
A. $x=1, y=3$B. $x=3, y=1$C. $x=2, y=2$D. $x=4, y=0$3. 方程组 $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}$ 的解为（）。
A. $x=2, y=3$B. $x=3, y=2$C. $x=4, y=1$D. $x=5, y=0$三、解答题1. 解方程组 $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$。
2. 解方程组 $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=4 \end{cases}$。
3. 解方程组 $\begin{cases} x+y=6 \\ xy=5 \end{cases}$。
4. 解方程组 $\begin{cases} x+y=7 \\ xy=6 \end{cases}$。
二次方程,二次函数应用题
一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
二）增长率问题1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
三）定价问题1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？2、商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？1.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是。
2.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是元钱四）3.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。
二元二次方程例题
二元二次方程例题（原创实用版）目录1.二元二次方程的定义与特点2.解二元二次方程的常用方法3.例题解析正文一、二元二次方程的定义与特点二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常写成 ax + bxy + cy = d 的形式，其中 a、b、c、d 为已知系数，x、y 为未知数。
二元二次方程的解可以是实数、复数或无解，具体取决于判别式的值。
二元二次方程的特点如下：1.含有两个未知数；2.未知数的最高次数为二次；3.通常有四个解，可以是实数、复数或无解。
二、解二元二次方程的常用方法解二元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1.替换法：通过代入法或消元法将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入原方程求解。
2.配方法：将二元二次方程化为两个一元二次方程，分别求解后再通过解的和或差求得另一个未知数。
3.韦达定理：对于二次方程 ax + bxy + cy = d，根据韦达定理，有x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。
利用这两个关系式，可以求得一个未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
4.判别式法：根据判别式Δ = b - 4ac 的值判断方程的解的情况，然后根据具体情况选择合适的方法求解。
三、例题解析例题：解方程组 x + 2xy + y - 3x - 2y + 2 = 0。
解：1.将方程组写成二元二次方程的标准形式：x + 2xy + y - 3x - 2y +2 = 0。
2.根据韦达定理，有 x1 + x2 = -2，x1x2 = 2。
3.利用 x1 + x2 = -2，解得 x1 = -2 - x2。
4.将 x1 代入 x1x2 = 2，得 (-2 - x2)x2 = 2，解得 x2 = -1 或 x2 = 2。
5.当 x2 = -1 时，x1 = -2 - (-1) = -1；当 x2 = 2 时，x1 = -2 - 2 = -4。
6.综上，方程组的解为 (-1, -1) 或 (-4, 2)。
二元二次方程应用题(一)
二元二次方程应用题(一)二元二次方程的应用题飞行轨迹问题•问题描述：某飞机在空中作直线运动，运动轨迹满足二元二次方程。
已知该飞机在起飞后2秒时位于坐标(0,0)，8秒时位于坐标(10,10)，求该飞机的运动轨迹方程。
•解题思路：设飞机的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)4a+2b+c=0 （起飞后2秒时位于坐标(0,0)）2)64a+8b+c=10 （8秒时位于坐标(10,10)）3)a≠0 （飞机作直线运动）解上述方程组即可得到飞机的运动轨迹方程。
炮弹射击问题•问题描述：一颗炮弹以抛物线的形式射出，炮弹的运动轨迹满足二元二次方程。
已知炮弹的射程为1000米，射程中心为原点，炮弹在射程末端的高度为200米，求该炮弹的运动轨迹方程。
•解题思路：设炮弹的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)0=a(500)^2+b(500)+c （射程中心为原点）2)200=a(1000)^2+b(1000)+c （射程末端的高度为200米）3)a≠0 （炮弹以抛物线的形式射出）解上述方程组即可得到炮弹的运动轨迹方程。
平抛运动问题•问题描述：一个物体以抛物线的形式在空中做平抛运动，物体的运动轨迹满足二元二次方程。
已知物体在水平方向上的位移为100米，最高点的高度为50米，求该物体的运动轨迹方程。
•解题思路：设物体的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)0=a(50)^2+b(50)+c （最高点的高度为50米）2)0=a(-50)^2+b(-50)+c （水平方向上的位移为100米）3)a≠0 （物体以抛物线的形式做平抛运动）解上述方程组即可得到物体的运动轨迹方程。
以上是三个关于二元二次方程的应用题。
通过解题思路，我们可以根据已知条件建立方程组，然后解方程组得到所需的运动轨迹方程。
这些问题涉及实际生活中的运动轨迹，对于理解和应用二元二次方程有一定的帮助。
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二元二次方程组解法与应用题
教学目标
1.理解二元二次方程的概念
2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数
3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组
4.会列代数方程(组)解简单的应用题
教学重难点
1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力
2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型
3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解
知识梳理
二元二次方程和方程组
仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.
关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22
ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,2
2
ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项.
使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解
由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法
应用题
在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解.
通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.
二元二次方程与方程组
1.将y 2x 1=-代入方程22
y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__01422
=--x x ___
2.已知22m 2
x y 5x 4y 20
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩是关于x,y 的二元二次方程组,则m= 0.5或1
3.将方程2
2
x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_x+3y=0__与__x-y=0___
4.二元二次方程组(x 2y)(2x y)0
(x 3y 1)(2x y 1)0
--=⎧⎨-++-=⎩的解有___4_____组.
5.已知03
x y =⎧⎨
=⎩和11
x y =-⎧⎨
=⎩是二元二次方程22
0x y dx ey +++=的两个解,则d=____2____,
e=___0____
6.下列不是二元二次方程组的是（ D ） A. 22
350
24
x y x xy y --=⎧⎨
-+=⎩
B. 2
1
1
x y -=⎧⎪= C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩
D. 22
2
x y ⎧-=⎪=
7.若方程组2y 2x k y 4x =+⎧⎨=⎩有实数解,则k 的取值范围是 ( C )
A. 1k 2≥
B. k 2≥
C. 1
k 2
≤ D. k 2≤
8.解下列方程(代入法)
(1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩ (2)22
x 2y 1x 4y 5
-=⎧⎨-=⎩ (3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩ (4)x y 11
xy 18-=⎧⎨=-⎩
(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩ (6)22x 4y x 3y 102x y 10
⎧-++-=⎨--=⎩
(7)2
y 2x 3y x =+⎧⎨=⎩ (8)2x 2y 1x 2y 50
-=⎧⎨+-=⎩
9.解下列方程(因式分解法)
(1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩ (2)2222
x y 0
x 4xy 4y 9
⎧-=⎪⎨++=⎪⎩
(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ (4)222
x 2xy y 1(x y)3(x y)100
⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩
(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩ (6)222
x 2xy y 9
(x y)3(x y)100
⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩
(7)22
2
x y 1
(x y)2(x y)30
⎧-=⎪⎨----=⎪⎩ (8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩
10.求满足条件2
2
x 2xy 3y 0--=的x,y 的值
11.若方程组
2
y4x2y10
y x a
⎧--+=
⎨
=+
⎩
无实数解,求a的取值范围;
12.若方程组
2
x2ay5
y x6a
⎧+=
⎨
-=
⎩
有正整数解,求a的值
13.已知关于x,y的方程组
22
x y2x0
kx y k0
⎧+-=
⎨
--=
⎩
,求证:不论k取何值,方程组总有2组不同的
实数解
能力训练解下列方程
(1)
22
x y13
xy6
⎧+=
⎨
=-
⎩
(2)
22
x xy y19
xy6
⎧++=
⎨
=
⎩
(3)
22
2
x2xy y2
xy y4
⎧--=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
(4)
22
22
x5xy6y28
4x3xy y7
⎧-+=
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
(5)
22
22
2x2xy4y x19
x xy2y y9
⎧+++=
⎪
⎨
++-=
⎪⎩
(6)
22
2
x15xy3y2x9y98
5xy y3y21
⎧--++=
⎪
⎨
+-=-
⎪⎩
应用题
1.师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成?
2.一艘轮船航行于两码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时,已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头之间的路程.
3.一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500立方厘米的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.
4.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到633.6万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率
20%
5.直角三角形的周长为2+斜边上的中线长为1.求这个直角三角形的三条边长
课后作业
1.下列方程组中,没有实数解的是 ( )
A. 22x y 5x y 13+=⎧⎨+=⎩
B. x y 5xy 7+=-⎧⎨=⎩
C. 22
x y 5x y 17
+=-⎧⎨+=⎩ D. x y 5xy 6+=⎧⎨=-⎩
2.
若2
2
2
(23105)0x y y --++=,则x=______y=_______
3.解下列方程
(1)22
2x y 5x y 5
+=⎧⎨+=⎩ (2)x y 7xy 12+=⎧⎨=⎩
(3)x y 1xy 12-=⎧⎨=⎩ (4)2222
x 5xy 6y 0
x y 5
⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩
(5)2222
x 2xy y 1x 3xy 2y 0
⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩
4.已知方程组2y nx
y 2x m ⎧=⎨=+⎩ (其中m,n 均不为零)只有一组实数解.
(1)试确定m
n
的值;(2)若n=4,试解这个方程组
5.当m 为何值时,方程组26440
30y x y mx y ⎧--+=⎨-+=⎩
只有一组解,并求出此解.
6.已知方程组22x y a xy b
⎧+=⎨=⎩的一组解是11x 3
y 2=⎧⎨=-⎩,求它的其余解
7.一件上衣原价每件500元,第一次降价后,销售甚慢,第二次降价的百分率是第一次的2倍,结果以每件240元的价格迅速售出,求每次降价的百分率.
8.一个水池有甲乙两根进水管,单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时.若甲管先开放10小时,然后乙管加入注水,6小时可把水池注满,求单独开放甲管需几小时注满水池
9.学校原有长方形操场的面积为4000平方米,调整校园布局时,一边增长了10米,另一边减少了10米,操场面积增加了200平方米,求原有操场两边的长.。