中考数学辅导之—简单的二元二次方程组
初三数学二元二次方程组知识精讲
初三数学二元二次方程组知识精讲二元二次方程组1. 二元二次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。
相应地，按各项的次数分别叫做这个方程的二次项，一次项和常数项。
2. 二元二次方程组由两个二元二次方程或一个二元二次方程、一个二元一次方程组成的方程组，叫二元二次方程组。
3. 二元二次方程组的解法解方程组的基本思想是将多元方程向一元方程转化，将高次方程向低次方程转化，即通常说的消元和降次思想。
由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二元二次方程组，在中学阶段只研究它的几种特殊解法。
如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项。
例：解方程组24220363022x xy x y x xy x y +--+=+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①×2-3得4960x y +-=解方程组496036302x y x xy x y +-=+-+=⎧⎨⎩ 得x y x y 1122214932=-=⎧⎨⎪⎩⎪=-=⎧⎨⎩ 如果方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数。
例：解方程组2422022402222x xy y x y x xy y x y -++-+=--+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①()-+2得 33602y y +-= ∴，y y 1212==- 把y 11=，代入②得x 无解把y 22=-代入②得x =-1或x =-4 ∴原方程组的解是x y x y 11221242=-=-⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解。
例：解方程组x y x xy y 222252320+=--=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：由②得()()220x y x y +-= ∴20x y +=或x y -=20 ∴原方程组可化为两个方程组x y x y 22520+=+=⎧⎨⎩与x y x y 22520+=-=⎧⎨⎩解得x y x y x y x y 1122334412122121==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解。
初三数学二元二次方程组 知识精讲 人教版
初三数学二元二次方程组 知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 二元二次方程组学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。
其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组” 一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。
3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。
5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。
二. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。
2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。
【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。
2. 解二元二次方程的方法解二元二次方程组的方法有以下几种：（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
2. 消元法（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。
（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。
（4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。
（5）最后，验证所得的解是否满足原方程组。
3. 配方法（1）选取一个方程，将其中一个未知数配方后代入到另一个方程中。
初中数学 什么是二元二次方程组
初中数学什么是二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
每个二次方程通常具有形如ax^2 + bx + c = 0 的标准形式，其中a、b 和c 是已知系数，x 是未知数。
二元二次方程组的一般形式如下：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中a1、b1、c1、d1、e1、f1、a2、b2、c2、d2、e2 和f2 都是已知的系数，x 和y 是未知数。
解二元二次方程组需要找到满足两个方程同时成立的变量值（即x 和y 的值）。
解的形式可以是唯一解、无解或者无穷多解。
要解决二元二次方程组，可以使用以下方法：1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
中考数学辅导之—简单的二元二次方程组
中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、 掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元、降次”的数学方法，获得对事物可以相互转化的进一步认识。
二、基础知识及应注意的问题1、 对于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的理解。
2、 解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解(或者说明这个方程组无解)；解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次；其目的就是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。
3、 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的基本途径。
4、 对于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅可以用代入法来解，而且可以联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。
5、 对于由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出可以分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。
(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。
(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。
三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …① 4x －3y ＝0 …② 分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，可以用代入法来解。
初高中衔接——二元二次方程组求解讲义
知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。
3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。
其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。
新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析
新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析一、选择题1．k 为何值时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？ 【答案】k=42±.【解析】【分析】 将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x y x y k ⎧+=⎨-=⎩ 由（2）得， y=x-k （3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，解得，k=42±.所以当k=42±时，方程组2216x y x y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．2．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ，将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：，把，分别代入得：，，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可3．解方程组：⑴3{351x yx y-=+=⑵3+10{2612x y zx y zx y z-=+-=++=【答案】（1）2{1xy==-；（2）3{45xyz===【解析】（1）先用代入消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．（2）先利用加减消元法去z得到关于x、y的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x、y，然后利用代入法求z，从而得到原方程组的解.（1）2{1xy==-； (2)3{45xyz===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.4．如图，要建一个面积为45 m2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22 m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m，宽为y m，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.5．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．6．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩ 【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．7．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②, 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩.【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．8．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，② 【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.9．解方程组：222232()x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.10．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．11．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩．【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．12．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组13．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩ 【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.14．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．15．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩ 【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩由②得：()()250x y x y -+=原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.17．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①②由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩227x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】 此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.18．解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．【详解】解：2234021x xy y x y ①②⎧--=⎨+=⎩， 由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，得112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解021x y x y +=⎧⎨+=⎩，得，2211x y =-⎧⎨=⎩．∴原方程组的解为112 316xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211xy=-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【解析】【分析】由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB的高为x dm，余下部分BC长为y dm，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm，余下部分为BC为ydm．由题意得22222220;(5)(5)30.y xy x⎧=+⎨+=-+⎩解得2129xy=⎧⎨=⎩此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm【点睛】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．20．解方程组：22560{21x xy yx y+-=-=①②【答案】11613{113xy==-,221{1xy==.【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组是指含有两个未知量的两个二次方程的方程组。
一般形式为：\[\begin{cases}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0 \\a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0\end{cases}\]其中，$a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1, a_2, b_2, c_2, d_2, e_2, f_2$为已知系数，$x, y$为未知量。
二元二次方程组的解可以通过多种方法求解，例如代入法、消元法、配方法等。
下面将针对这些方法进行详细讲解。
一、代入法代入法是一种简单易懂的求解二元二次方程组的方法。
其基本思想是将一方程的未知量表示为另一方程的函数，然后代入另一方程中，从而得到一个只含有一个未知量的一元二次方程，进而求解得到该未知量的值，再代入原方程组中求解另一个未知量。
二、消元法消元法是一种常用的求解二元二次方程组的方法。
其基本思想是通过加减、乘除等运算，将方程组中的某个未知量消去，从而得到只含有一个未知量的一元二次方程，然后求解该方程，再代入原方程组中求解另一个未知量。
三、配方法配方法是一种常用的求解二元二次方程组的方法。
其基本思想是通过变量替换，将方程组中的二次项配成完全平方的形式，从而简化方程组的求解过程。
具体步骤为：先将方程组中的一元二次方程的系数进行配凑，使其成为一个平方项与一个常数项之和的形式，然后再将另一个方程中的同一个未知量用代入法代入，从而得到一个只含有一个未知量的一元二次方程，进而求解该未知量的值，再代入原方程组中求解另一个未知量。
以上就是三种常用的求解二元二次方程组的方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
无论采用哪种方法，都需要注意计算过程的准确性和细致性，避免出现错误。
同时，还需要注意方程组的解的个数和性质，例如有无解、唯一解还是无穷解等，这些对于问题的具体含义和解的意义都有重要影响。
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中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、 把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步明白得“消元、降次”的数学方法，获得对事物能够相互转化的进一步认识。
二、基础知识及应注意的问题1、 关于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的明白得。
2、 解二元二次方程组确实是求方程组中两个方程的公共解(或者说明那个方程组无解)；解二元二次方程组的差不多思想是消元和降次，消元确实是把二元化为一元，降次确实是把二次降为一次；其目的确实是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。
3、 关于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的差不多途径。
4、 关于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅能够用代入法来解，而且能够联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。
5、 关于由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出能够分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。
(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。
(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。
三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①4x －3y ＝0 …②分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，能够用代入法来解。
(2)方程②是一个二元一次方程，把那个方程变形为x y =34，就可把未知数x 用未知数y 的代数式来表示。
(3)把x y =34代入方程①，即可消去未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程，解那个方程即可得y 的值，再把y 的值代入x y =34，就可求出未知数x的值，从而得到方程组的解。
解：由②得：x y =34…③ 把③代入①得，(34y )2＋y 2＝25 解那个方程得：y 1＝4, y 2＝-4把y 1代入③得：x 1＝3把y 2代入③得：x 2＝-3∴原方程组的解为： x 1＝3 x 1＝-3y 1＝4， y 1＝-4；例2 x ＋y ＝12 …①xy ＝7 …②(解法一)由①得：x ＝12－y …③ 把③代入②得：y(12－y)＝7 即：y 2－12y ＋7=0 解得：y y 12629629=+=-,把y 1629=+代入③得：x 1629=-把y 2629=-代入③得：x 2629=+∴原方程组的解为 x 1629=- x 2629=+y 1629=+， y 2629=-；(解法二)依照一元二次方程根与系数的关系可把x 、y 看成一元二次方程z z 21270-+=的两根解得；z z 12629629=+=-,∴原方程组的解为 x 1629=+ x 2629=-y 1629=-， y 2629=+；例3：解方程组 x y 2225+= …①xy ＝12 …②(解法一)：①＋2×②得：(x ＋y)2＝49 ∴x ＋y ＝±7 …③①－2×②得：(x －y)2＝1 ∴x －y ＝±1 …④由③④可组成以下四个二元一次方程组x ＋y ＝7 x ＋y ＝7 x ＋y ＝－7 x ＋y ＝－7x －y ＝1 x －y ＝－1 x －y ＝1 x －y ＝－1解这四个方程组得原方程组的解为：x 1＝4 x 2＝3 x 3＝－3 x 4＝－4 y 1＝3 y 2＝4 y 3＝－4 y 4＝－3(解法二)：①＋2×②得：(x ＋y)2＝49 ∴x ＋y ＝±7 …③由②③可组成以下两个方程组： x ＋y ＝7 和 x ＋y ＝-7xy ＝12 xy ＝12以下如例2的(解法二)，分别解出这两个方程组可得出原方程组的四组解(下略)(解法三)由②得x y=12，代入①消去x 可得关于y 的专门的四次方程，用换元法解得y 的各值再分别代入x y=12即可求得原方程组的四组解(只写了思路，具体解题过程略)(解法四)由②得：x y 22144⋅=，令u ＝x 2，v ＝y 2则有 u ＋v ＝25u v ⋅=144再如例2的(解法二)求出u 、v ；最后再求出原方程组的四组解。
(只写了思路，具体解题过程略)例4、 解方程组 3434022x xy y x y ---+= …①x y 2225+= …②解：由①得()()3410x y x y -+-=∴34010x y x y -=+-=或∴原方程组可化为以下两个方程组： 340x y -= x y +-=10 x y 2225+= x y 2225+= 分别解这两个方程组得原方程组的解为 x 1＝4 x 2＝-4 x 3＝-3 x 4＝4 y 1＝3 y 2＝－3 y 3＝4 y 4＝-3例5：解方程组： x xy y 2229-+= …①x xy y x y 224422++++= …② 解：由①得：()x y -=29 ∴x －y ＝±3由②得：(x+2y+2)(x+2y-1)=0即：x+2y+2=0或x+2y-1=0∴原方程组可化为以下四个方程组：x-y=3 x-y=3 x-y=-3 x-y=-3x+2y+2=0 x+2y-1=0 x+2y+2=0 x+2y-1=0解这四个方程组，得原方程组的解为： x y 114353==- x y 227323==- x y 338313=-= x y 443543=-=例题注释：解二元二次方程组的差不多思想方法是“降次”和“消元”。
初中时期要紧是熟练把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
前者由上述例1、例2说明用代入消元法解；后者由上述例3、例4、例5说明用降次化为几个二元一次方程组或前者形式的方程再消元求解。
有一种常用的降次方法是利用分解二次多项式为两个一次式乘积而把一个二元二次方程化为两个二元一次方程的，这种降次方法一定要熟悉，对其它的降次方法如例3的(解法一)、(解法二)、(解法四)也需了解并能使用。
例2的(解法二)是利用根与系数关系构造一新未知数的一元二次方程求解的简便方法，对此专门解法也需熟悉。
总之，消元和降次是数学中两种重要的常见的转化方法，利用消元可把多元转化为少元，通过降次能把高次转化为低次。
四、练习及作业选择题：1、 下列各组中x 、y 的值是方程组 x 2+y 2=5的解为：x+y=3A 、 x=-1B 、 x=1C 、 x=2D 、 x=-2y=-2 y=2 y=-1 y=12、 解方程 3434022x xy y x y ---+= …①一样应先( ) x 2+y 2=25 …②A 、 消去一个未知数B 、消去二次项C 、把方程①的左边分解因式D 、由②得y 2=25-x 2并代入① 3、 方程组 x+y=3 中的x 、y 能够看成是一个一元二次方程的两个根， xy=－10那个方程是( )A 、 z z 23100+-=B 、z z 23100-+=C 、z z 23100--=D 、z z 23100++=4、 若方程x 2+y 2-16=0和x 2-3y+12=0有一个公共解，则y 应取的值为( )A 、 －7B 、4C 、－7和4D 、不小于45、 已知方程组 x 2+2y 2=6 有一组实数解，则m 的值为( )mx+y=3A 、 －1B 、1C 、±1D 、±26、 若 x=1是方程组 ax 2+by 2=9的解，那么，此方程组还有解是( )y=2 bx-ay=3A 、 x=2B 、 x =3019C 、 x =3019D 、 x=1 y=1 y =3919 y =-3919y=-2 填空题：7、方程2332022x xy y x y -+-+-=中，二次项是________，一次项是________，常数项是________。
8、二元二次方程xy=10的整数解为________。
9、方程组 (x-1)(y+3)=0的解有________组。
y=x 210、 方程2332022x xy y x y -+-+-=化成两个二元一次方程为________。
解答题：11、解方程组 x=y+4x 2-5xy+6y 2=012、 解方程组 x 2-5xy+6y 2=02332022x xy y x y -+-+-=13、 用两种不同的方法解方程组： x y +=4xy =3 ；五、答案及提示：1、 B2、C3、C4、B5、C6、C4、提示：求两个方程的公共解可解由这两个方程组成的方程组，由方程x y 23120-+=，得x y 2312=-，代入方程x y 22160+-=消去未知数x ，得y y 23280+-=；解得y 1=4，y 2=-7；由y 1=4得x 2=0。
由y 2=-7得x 2=-33，无实数解。
∴只能取y=45、 提示：由方程mx+y=3得y=3-mx ，代入方程x 2+2y 2=6得一系数中含有m 的关于x 的一元二次方程，令∆=0，则可得m =±16、 提示：将 x=1代入原方程组可解得 a =-13，从而将原方程组变为 y=2 b =73-+=+=137397313322x y x y 即 x y x y 2272779-=-+=，解得 x y 1112== x y 2230193919==- 7、 233222x xy y x y ,,;,;--8、 x y ==110 x y ==25 x y ==52 x y ==101 x y =-=-110 x y =-=-25 x y =-=-52 x y =-=-1019、 110、2x-y+1=0,x-y-2=0提示：先将原方程化为()()2320x y x y x y ---+-=，再化成：()()()2220x y x y x y ---+--=∴()()2120x y x y -+--=则有：21020x y x y -+=--=,11、 x 1=6 x 2=8y 1=2 y 2=412、 x y 112313=-=- x y 2242== x y 333515=-=- x y 4431== 13、 解：令u x v y ==,，则原方程组可化为 u v u v +=⋅=43(方法一)由u+v=4得：u=4-v ，代入u v ⋅=3，得：()43-⋅=v v即：v 2-4v+3=0 ∴v 1=1,v 2=3代回u=4-v ，得： u v 1131== u v 2231==即： x y 1131== x y 2213== ∴ x 19= x 2=1y 1＝1 y 2=9()u 、v 看成是关于t 的一元二次方程t 2-4t+3=0的两个实数根t 1=1,t 2=3∴可得 u1=1 u2=3，以下解法同(解法一)。