二元二次方程组-解法-例题
二元二次方程练习题及解析
二元二次方程练习题及解析一、练习题1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 92. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 163. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 814. 解方程组：{(3x + 2y)² = 16(2x - y)² = 95. 解方程组：{(2x + y)² = 36(3x - y)² = 49二、解析1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 9解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 25 (1)(x² - 2xy + y²) = 9 (2)将(2)式两边同时乘以4，并与(1)式相加得到： 5x² = 61解得：x = ±√(61/5)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
2. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 16解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 144 (1)(x² - 2xy + y²) = 16 (2)将(2)式两边同时乘以9，并与(1)式相加得到： 10x² = 208解得：x = ±√(208/10)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
3. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 81解：将两个方程展开得到：(4x² + 4xy + y²) = 25 (1)(16x² - 8xy + y²) = 81 (2)将(2)式两边同时乘以1/9，并与(1)式相加得到： 5x² = 74/9解得：x = ±√(74/45)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)引言二元二次方程是一个常见的数学问题，解决这类问题可以帮助我们进一步理解二次方程的性质和求解方法。
本文将介绍四种不同的方法来解决二元二次方程，并提供相应的练题，以帮助读者巩固所学的知识。
方法一：代入法代入法是一种简单直接的解法，通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。
以下是一个代入法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}3x^2-4y^2&=5 \\x+y&=3\end{align*}解法：1. 将第二个方程中的 $x$ 替换为 $3-y$，得到新的方程 $3(3-y)^2-4y^2=5$。
2. 将该方程整理并解得 $y=1$。
3. 将 $y=1$ 代入第二个方程，解得 $x=2$。
因此，该方程组的解为 $x=2$，$y=1$。
练题：1. 求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\x+y&=2\end{align*}2. 求解方程组\begin{align*}4x^2-5y^2&=8 \\2x+y&=3\end{align*}方法二：消元法消元法是另一种常用的解法，通过将两个方程相加或相减，并适当选择系数，使得其中一个未知数的系数相同而相消，从而求解另一个未知数。
以下是一个消元法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\5x-2y&=1\end{align*}解法：1. 将第二个方程乘以 2，得到 $10x-4y=2$。
2. 将第一个方程乘以 5，得到 $10x^2-15y^2=20$。
3. 将第三步的方程与第二步的方程相减，得到$15y^2-4y=18$。
4. 解方程 $15y^2-4y=18$，得到 $y=2$。
5. 将 $y=2$ 代入第一个方程，解得 $x=1$。
因此，该方程组的解为 $x=1$，$y=2$。
方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题
方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题一、选择题1．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x −y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．2．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组：2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．3．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩ 【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则4．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y，代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x＝3y③，将③代入②，得(3y)2+y2＝20，整理，得y2＝2，解这个方程，得y1，y2④，将④代入③，得x1＝，2x＝﹣所以，原方程组的解是11xy⎧=⎪⎨=⎪⎩11xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.5．解方程组22222()08x y x yx y⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x yx y⎧-++=⎨+=⎩①②,①式左边分解因式得，()20x y x y-++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i）22208x yx y-+=⎧⎨+=⎩或（ii）22+08x yx y=⎧⎨+=⎩解方程组（i）得，12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii）得，3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.6．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm、16cm、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a、b+1=962a bab⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a、b+1=962a bab⎧⎪⎨⎪⎩解得=12=16ab⎧⎨⎩或=16=12ab⎧⎨⎩，经检验，=12=16ab⎧⎨⎩和=16=12ab⎧⎨⎩cm.答：该直角三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm.【点睛】此题运用三角形面积表示出1=962ab7．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件. 根据题意，得解这个方程组，得 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.8．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩． 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=． 整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.9．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ 【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】 先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩， 由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0， x ＋y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．10．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.11．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0所以原方程组可化为：430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩解这些方程组，得1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.12．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①②， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．13．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.14．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．15．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①② 方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩ 解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．16．解方程组：2241226x y x y ⎧-=⎨+=⎩①②． 【答案】41x y =⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】将①分解因式可得(2)(2)12x y x y -+=，再将将②代入③后得22x y -=，然后与②组成可得【详解】解：由①得(2)(2)12x y x y -+=．③将②代入③，得22x y -=．④得方程组2226x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得41x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．17．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.18．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】114,2x y =⎧⎨=⎩，221,1x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．【详解】2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，所以：20x y -=或0x y +=原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨=⎩与221,1x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm ，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm ，故杆顶着地处比前次远10dm ，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【解析】【分析】由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ，余下部分BC 长为y dm ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm ，余下部分为BC 为ydm ．由题意得22222220;(5)(5)30.y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩解得 2129x y =⎧⎨=⎩此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm【点睛】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。
二元二次方程求解方法培优提高例题
二元二次方程求解方法培优提高例题引言二元二次方程是高中数学中的重要内容，解二元二次方程可以帮助我们理解方程的性质和解题方法。
本文将介绍一些优化和提高解二元二次方程的方法，并提供相应的例题。
方法一：代入法代入法是解二元二次方程的基本方法之一。
步骤如下：1. 将一个未知数用另一个未知数的表达式表示。
2. 将代入后的一元二次方程求解。
3. 将得到的解代入原方程中求解另一个未知数。
例题：已知二元二次方程：x^2 + 2xy + y^2 = 10 (1)3x + y = 5 (2)使用代入法解方程组。
解：将 (2) 式改写为 y = 5 - 3x，代入 (1) 式中得：x^2 + 2x(5 - 3x) + (5 - 3x)^2 = 10化简得 5x^2 - 12x + 10 = 0解这个一元二次方程可以得到 x 的值为 1 或 2，代入 (2) 式可求得对应的 y 值：当 x = 1 时，y = 5 - 3x = 2；当 x = 2 时，y = 5 - 3x = -1。
因此，方程组的解为 {(1, 2), (2, -1)}。
方法二：因式分解法因式分解法是另一种解二元二次方程的常用方法。
步骤如下：1. 整理方程组，使方程的系数满足一定条件，例如系数和常数项互质。
2. 将方程进行因式分解。
3. 令因式分解的两个括号中的式子分别等于零，解两个一元二次方程。
4. 求解得到的一元二次方程组解。
例题：已知二元二次方程：x^2 + 3xy + 2y^2 = 0 (1)3x + 2y = -5 (2)使用因式分解法解方程组。
解：将 (1) 式进行因式分解得：(x + 2y)(x + y) = 0令 x + 2y = 0，解得 y = -1/2x令 x + y = 0，解得 y = -x将这两个解代入 (2) 式中，得到 y = -1 和 y = -2因此，方程组的解为 {(-1, 1/2), (-2, 2)}。
结论通过代入法和因式分解法，我们可以解二元二次方程并得到方程组的解。
解二元二次方程组
课题解二元二次方程组一、知识回顾二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式．二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．解二元一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法1、例题例1、解方程组31220x yx y=+⎧⎨-=⎩练习1 解方程组21324x yy x-=-⎧⎨-=⎩例2、解方程组326249x yx y+=⎧⎨+=⎩练习2 解方程组35242x yx y-+=⎧⎨-=⎩例3、解方程组314304239x y zx y zx y z-+-=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩练习3 解方程组2423035x y zx y zx y z-+-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩2、巩固练习1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ．1x +4y=6 D ．4x=24y - 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (23754624)x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ）A ．有且只有一解B ．有无数解C ．无解D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3333 (2422)x x x x B C D y y y y ==-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩ 5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．－3D ．326．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③1x+y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、解方程组（1）⎩⎨⎧=-=+6)3(242y x （2）⎩⎨⎧=-=+1123332y x y x（3）⎩⎨⎧=+=-172305y x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3431332n m nm（5）10232523x y x y z x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ （6）04239328a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩二、新知展望二元二次方程：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是：220ax bxy cy dx ey f +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，,dx ey 叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.例1、下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 练习1 下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.（1）2350x -= （2）230x x y +-= （3）420x y -=（4）2240x y x +-= （5）22204y x y --= （6）22x y y xy --+ 二元二次方程组：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 例2、下列方程组中，哪些是二元二次方程组？223231205(1) (2) (3) (4)1831235y y x xy x x y xy y x y x xy x x y ⎧==-+=+=⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨+=-=-+-=+=⎩⎩⎪⎩⎩练习2 下列方程组中，哪些是二元二次方程组？（1）200x y y ⎧+=⎨=⎩（2）2300x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）2222205x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（4）2222337x y y x⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 例3、已知下列四对数值：3223; ; ; .2332x x x x y y y y =-=-==-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎩⎩（1）哪些是方程2213x y +=的解？（2）哪些是方程组22113y x x y =+⎧⎨+=⎩的解.练习3 已知下列四组数值：（1）11x y =⎧⎨=-⎩（2）11x y =⎧⎨=⎩（3）11x y =-⎧⎨=⎩（4）11x y =-⎧⎨=-⎩哪些是方程组22223x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩的解。
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)方法一：因式分解法- 示例题：解方程 $2x^2 - 5x - 12 = 0$首先，我们需要将方程进行因式分解，找到两个因式相乘能得到方程左边的表达式。
对于上述方程，我们可以将其因式分解为 $(2x + 3)(x - 4) = 0$然后，我们将这两个因式分别置零，即 $2x + 3 = 0$ 和 $x - 4 = 0$解得 $x = -\frac{3}{2}$ 和 $x = 4$所以，方程 $2x^2 - 5x - 12 = 0$ 的解为 $x = -\frac{3}{2}$ 和 $x = 4$方法二：配方法- 示例题：解方程 $3x^2 - 7x + 2 = 0$首先，我们需要通过配方法，将方程转化为一个完全平方的形式。
对于上述方程，我们需要找到一个常数 $c$，使得 $3x^2 - 7x + 2 + c = (x - p)^2$为了找到这个常数 $c$，我们可以通过计算 $c = (b/2a)^2 =(7/6)^2 = \frac{49}{36}$然后，我们将 $c$ 加到方程两边，即 $3x^2 - 7x + 2 +\frac{49}{36} = (x - p)^2 + \frac{49}{36}$进一步简化，得到 $3x^2 - 7x + \frac{169}{36} = (x - p)^2$然后，我们将方程右边开根号，即得 $3x^2 - 7x +\frac{169}{36} = (x - p)$继续化简，得 $3x^2 - 7x + \frac{169}{36} - (x - p) = 0$化简后，得 $3x^2 - 8x + \frac{169}{36} - p = 0$对比系数，可得 $p = \frac{1}{2}$所以，方程 $3x^2 - 7x + 2 = 0$ 的解为 $x = \frac{1}{2}$方法三：求根公式法- 示例题：解方程 $5x^2 + 2x - 3 = 0$当二次方程的系数已知时，我们可以使用求根公式来求解。
二元二次方程练习题
二元二次方程练习题在代数学中，二元二次方程是指包含两个未知数的二次方程。
它的一般形式如下：aa^2 + aa^2 + aaa + aa + aa + a = 0其中，a、a、a、a、a和a为已知数，并且至少其中一个不为零。
解二元二次方程要求找到使方程等式成立的a和a的值。
本文将提供一些二元二次方程的练习题，以帮助读者熟悉这一概念和解决方法。
练习题一：解方程组：3a^2 + 4a^2 + 5aa + 2a - 3a = 0a^2 - a^2 + aa + 2a + 3a = 0解答：将第一个方程中的a项移到等号右侧，得到：3a^2 + 4a^2 + 5aa - 2a + 3a = 0同时将第二个方程中的a项移到等号右侧，得到：a^2 - a^2 + aa - 2a - 3a = 0将两个方程分别相加和相减，可得：4a^2 + 4a^2 + 10aa = 0-2a^2 + 2aa = 0化简上面两个方程，可以得到：2a^2 + 5aa = 0a(a - a) = 0从第二个方程中解得a = 0 或a = a。
若a = 0，则将a代入第一个方程中，可以得到：3a^2 + 2a = 0a(3a + 2) = 0从上述方程中解得a = 0 或a = -2/3。
若a = a，则将a代入第一个方程中，可以得到：7a^2 + 7a = 0a(7a + 1) = 0从上述方程中解得a = 0 或a = -1/7。
综上所述，方程的解为：(a, a) = (0, 0)、(-2/3, 0)、(0, -2/3)、(-1/7, -1/7)。
练习题二：解方程组：9a^2 - 4a^2 - 12aa + 15a - 3a = 0a^2 + 4a^2 + 6aa - 8a - 10a = 0解答：将第一个方程中的a项移到等号右侧，得到：9a^2 - 4a^2 - 12aa + 15a - 3a = 0同时将第二个方程中的a项移到等号右侧，得到：a^2 + 4a^2 + 6aa - 8a - 10a = 0将两个方程相加和相减，可得：10a^2 - 8a^2 - 6aa + 7a - 13a = 08a^2 + 6aa - 6a + 7a = 0化简上述两个方程，可以得到：5a^2 - 4a^2 - 3aa + 3a - 13/2a = 04a^2 + 3aa - 3a + 7/2a = 0从第二个方程中解得a = 0 或a = -7/2a。
二元二次方程组
1．二元二次方程的概念方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2．二元二次方程组的概念仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组．3．二元二次方程组的解法（1）代入消元法；（2）加减消元法．【例1】下列方程是哪些是二元二次方程方程?（1）4259x y +=； （2）2560x y -+=；（3）1xy =；（4）29780x x+-=； （5）22467x xy y y -+-=．【例2】下列方程中哪些是二元二次方程组?（1）51x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）120618x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；（3）2211x y x xy y -=⎧⎨++=⎩；（4）312x y xy y x ⎧+=⎨=+⎩．【例3】已知03x y =⎧⎨=⎩与17x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元二次方程2230a x by ++=的两组解，试求 a +b 的值．【例4】当m 为何值时，方程组2251(1)4x my mx m y +=⎧⎨+-=-⎩是关于x 、y 的二元二次方程组?【例5】解方程组：（1）2211x y x xy y -=⎧⎨++=⎩；（2）23()(2)40y x x y x y -=⎧⎨+-+=⎩．【例6】解下列方程组：（1）222220560x yx xy y⎧+=⎨-+=⎩；（2）2269426x xy yx y⎧-+=⎨-=⎩．【例7】解下列方程组：（1）22229()4()3y xy xx y x y⎧++=⎨---=-⎩；（2）2222449440x xy yx y x y⎧++=⎨--+=⎩．【例8】当k为何值时，方程组：229x yx y k⎧+=⎨+=⎩有实数解．【例9】已知a、b、c是△ABC的三边长，若方程组220x ax y b acax y bc⎧--++=⎨-+=⎩，只有一组解，判断△ABC的形状．【例10】解方程3 38 xy xxy y+=⎧⎨+=⎩．【例11】解方程组：222273x xy y x xy y ⎧++=⎨-+=⎩．【例12】当a 取哪些值时，方程组：2222(1)()14x y a x y ⎧+=+⎨+=⎩有两组实数解．【例13】已知关于x 、y 的方程组：2220x y xkx y k ⎧+=⎨--=⎩（1） 求证：不论k 取何值，方程组总有两个不同的实数根；（2） 设方程组的两个不同的实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩22x x y y =⎧⎨=⎩，则221212()()x x y y -+-的值是常数．【例14】已知方程组：2102(21)kx x y y k x ⎧--+=⎪⎨⎪=-⎩，（x 、y 为未知数）有两组不同的实数解11x x y y =⎧⎨=⎩，22x x y y =⎧⎨=⎩． （1） 求实数k 的取值范围；（2） 若1212113y y x x ++=恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【例15】小杰和小丽分别从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按照原来的速度继续前进，小杰到达B地比小丽到达A地早1小时21分，小杰和小丽的行进速度分别是多少?【例16】某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整．已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个，剧场原有座位的排数是多少?每排有多少个座位?【例17】学校原有长方形操场的面积是4000平方米．调整校园布局时，一边增加10米，另一边减少了10米，操场面积增加了200平方米，求原有操场的两边长．【例18】某校初三年级280名师生计划外出考察，乘车往返．客运公司有两种车型可供选择，每辆大客车比每辆中巴车多20个座位，学校计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少租2辆车，而且师生坐完后还多20个座位．问：中巴车和大客车各有多少个座位?【例19】某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程．据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可以完工；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工．甲乙两队单独完成此项工 程各需要多少天?【例20】为了缓解甲乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送水．甲地需水量180万立方米，乙地需要水量120万立方米．现已两次送水，第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米．如果向两地送水分别保持每天的送水量相同，那么完成往甲地、乙地送水任务还各 需多少天?【习题1】下列方程是二元二次方程的有（）个．①2211y x+=； ②2751y x -=；③250y xy -=；④2751a y y -=．A ．1；B ．2；C ．3；D ．4 【习题2】下列方程组中，不是二元二次方程组的是（ ）A ．2235020x y x xy y --=⎧⎨-+=⎩；B ．211x y -=⎧⎪= C ．83x y xy +=⎧⎨=⎩；D ．2222x y ⎧-=⎪【习题3】（1）写出二元二次方程(3)(1)0x y +-=的三个不同的解．（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解是93x y =⎧⎨=⎩和93x y =-⎧⎨=-⎩，写出一个符合条件的方程组．【习题4】已知32x y =⎧⎨=⎩是方程组22417bx ay ax by -=⎧⎨+=⎩的解，求23b a -的值．【习题5】（1）把方程22420x y x y -++=化为两个二元一次方程为_________． （2）把方程221212228x y x y xy +--+=化为两个二元一次方程是什么?【习题6】解下列方程组： （1）22103x y y x ⎧+=⎨=⎩；（2）22(1)101x y x y ⎧++=⎨-=⎩．【习题7】解下列方程组：（1）22222148x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩（2）22226024x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩（3）22225() 43 x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩【习题8】解下列方程组：（1）2222384x y x xy y ⎧-=⎨++=⎩；（2）2229321598035210x xy y x y xy y y ⎧---+-=⎨+-+=⎩．【习题9】有当k 为何值时，方程组：22312x x y ky x ⎧--=-⎨-=-⎩ （1）有两组不相等的实数解； （2）有两组相等的实数解； （3）没有实数解．【习题10】已知关于x 、y 的方程组22326y mx x y =-⎧⎨-=⎩有两个相等的实数解，求m 的值及这个方 程组的解．【习题11】甲乙两个工程队修建某段公路，如果甲乙合作，24天可以完工；如果甲队单独 做20天后，剩下的工程由乙队独做，还需40天才能完成，甲乙两队单独完成此段公路 的修建各需多少天?【习题12】小丽的叔叔分别用900元和1200元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已 知乙地商品比甲地商品每件便宜3元，当他按每件20元销售完时，可赚1100元．小丽 的叔叔从甲乙两地分别购进这种商品多少件?【作业1】 下列方程中，是二元二次方程的是（ ）．A ．23410x x +-=B ．211x x += C ．223x y +=D3x =-【作业2】 下列方程组中，是二元二次方程组的是（）．A ．32153x y x y +=-⎧⎨+=⎩B ．36xy yz =⎧⎨=⎩C ．2236x x y =⎧⎨+=⎩D ．2221126y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【作业3】在下面四个解中，方程组2426y x x y ⎧=⎨+=⎩的解为（ ）．①14x y =⎧⎨=⎩②14x y =-⎧⎨=⎩③329x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩④329x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ A ．①②③④ B ．①② C ．①③ D ．①④【作业4】 分别把下列二元二次方程分解为两个二元一次方程：（1）224430x xy y +-=；（2）2()4()50x y x y +-+-=．【作业5】 方程20xy y -+=有多少个解?有没有x 、y 的值互为倒数的解?如果有，求出 这个解．【作业6】 解下列方程组：（1）22168x y x y ⎧-=⎨+=⎩；（2）2223232x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩．【作业7】 解下列方程： （1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x ；（2）1128 x y xy +=⎧⎨=⎩．【作业8】 解下列方程组：（1）2222+22520x xy y x xy y ⎧+=⎨--=⎩；（2）222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩．【作业9】 若方程组22412y mx y x y =+⎧⎨++=⎩没有实数解，求m 的取值范围．【作业10】 当取什么值时,方程组有两个相同的实数解?并求出此时方程组的解．m 224x y mx y -=⎧⎨-=-⎩【作业11】某起重机厂四月份生产A型起重机25台，B型起重机若干台．从五月份起，A 型起重机月增长率相同，B型起重机每月增加3台．已知五月份生产的A型起重机是B 型起重机的2倍，六月份A、B型起重机共生产54台．求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率．【作业12】某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元．经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元．求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元．【作业13】解下列方程组：222232250 2266100x xy y x yx xy y x y⎧-+++-=⎨-+--+=⎩．【作业14】关于x、y的方程组2100xkx y k⎧⎪⎨---=⎪⎩只有一组解，求k的取值范围．。
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二元二次方程的解法
二次方程组的基本思想和方法
方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因法和技巧是解二元二次方程组的关键。
型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
程组的解法
元法（即代入法）
二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
元二次方程，求得一个未知数的值；
的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；
个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
与系数的关系
二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意
二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
（2）要防止漏解和增解的错误。
程组的解法
中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。
中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。
方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。
析：例1．解方程组
观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。
1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6.
(3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。
据根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程，z2-8z+12=0的两个根，解这个方程，得z1=2, z2=6.
组的解是。
”型方程组中的两个方程，如果是以两数和与两数积的形式给出的，这样的方程组用根与系数的关系解是很方便的。
但要特别注意最后方程x与2y的和,方程②是x与2y的积, ∴x与2y是方程z2-4z-21=0的两个根解此方程得:z1=-3,z2=7,
∴原方程的解是
于特殊型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的关系来解.
型的二元二次方程组,也都可以通过变形用简便的特殊解法.
用代入法) 由②得:y=③把③代入①得:
+4()2+x-
7=0
. 把x=3代入③得:y=1
代入④得:y=. ∴原方程组的解为:
式分解法)
为(x-2y)2+(x-2y)-2=0 即(x-2y+2)(x-2y-1)=0 ∴x-2y+2=0或x-2y-1=0
化为:
分别解得:
I型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元则较为简便.
何值时，方程组。
相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。
代入法消去未知数y，可得到关于x的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。
入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0..................(3) 你（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根
解得：
，原方程组有两组相等的实数根。
时，方程(3)有两个不相等的实数根。
k<1且k≠0. ∴当k<1且k≠0时，原方程组（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在此问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需两种情况讨
是一元二次方程，无解条件是，，
解得：
k>1。
不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. 两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根。
判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ。
程组
元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程，再降次转化为一元一次方程解之。
本题用代入法消元。
y=.......................(3) 将式(3)代入式(2)，得
)+()2-4x+3( -13x-35=0, 即(x-5)(4x+7)=0 ∴x1=5, x2=-.
(3),得y1=3, 将x2=-代入(3)，得y2=-. ∴。
程组。
程组是由两个二元二次方程组成的方程组，在(1)式的等号左边分解因式后将二元二次方程转化为一元二次方程。
分解因式，得(x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0 即(3x-4y)(x+y-1)=0 ∴3x-4y=0,或x+y-1=0.
面两组方程组：
；（2）。
（1）由3x-4y=0，得
x，代入x2+y2=25,
x2=25, x2=16, x=±4, 即x1=4, x2=-4, 将x1和x2代入y=
1=0，得y=1-x，代入x2+y2=25, 得x2+(1-x)2=25,整理，得x2-x-12=0,
)=0, ∴x3=4, x4=-3. 当x3=4时, y3=-3;当x4=-3时，y4=4.
的解为：;；
；。
程组。
组可化为，从而由根与系数的关系，知x, -y是方程z2-17z+30=0的两个根。
得z1=2，z2=15。
即，故原方程组的解为
程组
方程(2)，把(x-y)看成整体，那么它就是关于(x-y)的一元二次方程，因此可分解为
，由此可得到两个二元一次方程x-y-3=0和x-y+1=0。
一次方程分别和方程(1)组成两个“二·一”型的方程组：
个方程组，就可得到原方程组的解。
∴x-y-3=0或x-y+1=0。
∴原方程组可化为两个方程组：
法解方程组（1）和（2），分别得：
，∴原方程组的解为。
注意不要将（1）式错误分解为（x+y）(x-y)=1,故而分解为（x-y）=1或者（x+y）=1,这样做是错的，因为当右边≠0时，可以分解出无穷多种可解为x+y=2,x-y=等等。
程组
1)的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的。
方程(2)左边是完全平方式，右边是1，将其两边平方，也可以达到降次的目
, ∴x-4y=0或x+y=0. 由(2)得(x+2y)2=1 ∴x+2y=1或x+2y=-1
化为以下四个方程组：
程组，得原方程组的四个解是：
把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也不要漏解。
程组
程组是“二·二”型方程组，因为方程(1)和(2)都不能分解为两个二元一次方程，所以需要寻找其它解法。
我们先考虑能否换元法。
因为。
所以，方程(1)可化为, 显然此方程组具备换元条件，可
，得，
=v（这种换元是解决问题的关键），则原方程组可化为：
组，得：，即：
，解：无解。
的解为。
=z,那么原方程组变为: 解关于经检验是原方程组的解.
解是。