数据离散程度

1
2
3
4
5
射 击 次 序
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
6 10
8 6
8 10
8 6
10 8
甲的五次射击成绩与平均成绩的差距：
0 （6-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（10-8）=
乙的五次射击成绩与平均成绩的差距： （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
1
方差的定义
方差是各个数据与平均数之差的平方的 平均数，即
S2=
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
1
方差用来衡量一批数据的波动大小 (即这批数据偏离平均数的大小). 方差越大,wk.baidu.com明数据的波动越大,越不稳定.
标准差的定义
为了使得与数据单位一致，可用方差的 算术平方根来表示（即标准差）：
1 ( x1 x) 2 ( x2 x) 2 ( xn x) 2 S n
，S为标准差。 一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数 据离散程度越小，这组数据就越稳定。
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据 都没有偏差，即每个数都一样 。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
6 10
8 6
8 10
8 6
10 8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩、极差
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在
下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑
10 8 成绩（环）
6 4 2
选哪一位比较适宜？为什么？0
序数
甲的成绩/秒 乙的成绩/秒
1
2
3
4
12.6 12.5
5
13.1 12.9
6
12.5 12.2
7
12.4 12.8
8
12.2 12.3
12.0 12.2 13.0 12.2 12.4 12.7
1、请同学们根据上表信息完成下表：
序数 甲 乙 平均数 12.5 12.5 中位数 12.45 12.45 众数 12.2 12.2
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
6 10
2
8 6
2 乙
8 10
8 6
2
10 8
试一试计算甲，乙两组数据的方差
s
2 甲
1.（环 6 ），s
2 甲
3.（环 2 ）
s
s
2 乙
挑选甲较适宜
由方差的定义，要注意：
1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量； 2、要求某组数据的方差，要先求数据的平均数； 3、方差的单位是所给数据单位的平方； 4、方差越大，波动越大，越不稳定； 方差越小，波动越小，越稳定。
还要了解这些数据的波动范围和偏离平均数的差异程度.
探究新知：
1.极差
定义：一组数据中最大数与最小数的差。 表达式：极差=最大数－最小数
极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组 数据的离散程度简单明了． 极差越大，数据的离散程度越大．
练一练
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
· ·
1 2
· · · · ·
3 4 5 6 7
13.2 13.0 12.8 12.6 12.4
·
8
12.2 12.0
· · · · · · · ·
1 2 3 4 5 6 7 8
序数
0
甲运动员成绩统计图
乙运动员成绩统计图
序数
2、观察统计图，你认为哪名运动员的成绩波动范围较大？谁的成绩比较稳定？
甲的波动范围大；乙的成绩较稳定 3、你认为分析一组数据，仅关心这组数据的平均数、众数和中位数，能 得到全面的结论吗？ 对于一组数据，仅仅了解数据的集中趋势是不够的，
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
6 10
8 6
8 10
8 6
10 8
甲每次射击成绩与平均成绩的差的平方和：
（6-8） +（8-8） +（8-8） +（8-8） +（10-8） = 8 乙每次射击成绩与平均成绩的差的平方和： （10-8） +（6-8） +（10-8） +（6-8） +（8-8） = 16
2、小亮说：“甲、乙两名运动员的训练成绩的平均数、中 位数、众数对应相同， 因此他们的成绩一样.”你认为这种 说法合适吗？
利用折线统计图，探究数据的离散程度
1、根据上表中的数据完成下面的折线统计图
成绩/秒
13.4 13.2 13.0 12.8 12.6 12.4 12.2 12.0 0 13.4
成绩/秒
3.4数据的离散程度
前置练习 1、某校八年级五个班的学生人数分别为： 54，56，49，51，50人. 求这五个班级的平均人数.
54 56 49 51 50 5
52人
2、数据-1，0，1， 3 ， 2，2，2，1的众 2 数是 ；中位数是 1.5 .
交流与发现
田径队的甲、乙两名运动员在8次百米跑训练中，成绩如下 表：
数据的离散程度
离散程度的意义：一组数据的波动范围越大， 越不稳定，平均数的代表性越小；波动范围越 小，平均数的代表性越大. 一组数据的波动范围就是这组数据的离散程度. 通常用数据的离散程度来描述一组数据的波 动范围和偏离平均数的差异程度.
练一练
1.若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那 么下列说法正确的是（ C ） A.甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大 B.甲组数据比乙组数据稳定 C.乙组数据比甲组数据稳定 D.甲，乙组的稳定性不能确定
-5 ℃. 2. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ 7 或 -3 . 3.数据 1 , 2 , 3 , x 的极差是 6 ,则 x =＿＿＿＿＿
交流与发现 教练的烦恼
甲，乙两名射击手都很优秀， 现只能挑选一名射击手参加比 赛. 若你是教练，你认为挑选哪一 位比较适宜？
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
找到啦！有区别了！
上述各差的平方和的大小还与什么有关？ ——与射击次数有关！ 所以要进一步用各差平方的平均数来衡量数据的稳定性 设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
2.一组数据的7、8 、9 、10 、11 、12 、13 的方差是______.标准差是______.
3.已知一组数据-1，x，0，1，-2的平均 数是0，那么这组数据的方差是______.
今天我们一起探索了数学的有关什么知识？你 取得了哪些收获？ ①平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差、 标准差均是表示一组数据离散程度的指标. ②计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差， 平方后，再平均”.