正弦定理练习题(含答案)资料
正弦定理练习题(含答案)正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
高考正弦定理和余弦定理练习题及复习资料
高考正弦定理和余弦定理练习题与答案一、选择题1.已知△中, a＝c＝2, A＝30°, 则b＝( )A. B.2C.3.D. ＋1答案：B解析: ∵a＝c＝2, ∴A＝C＝30°, ∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2.△中, a＝ , b＝ , ＝ , 则符合条件的三角形有( )A.1.B.2个C.3.D.0个答案：B解析: ∵＝ ,∴<b＝ <a＝ ,∴符合条件的三角形有2个.3．(2010·天津卷)在△中, 内角A, B, C的对边分别是a, b, c.若a2－b2＝ , ＝2 , 则A＝( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析: 利用正弦定理, ＝2 可化为c＝2 b.又∵a2－b2＝ ,∴a2－b2＝ b×2 b＝6b2, 即a2＝7b2, a＝ b.在△中, ＝＝＝ ,∴A＝30°.4. (2010·湖南卷)在△中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 若∠C＝120°, c＝ a, 则( )A. a>bB. a<bC. a＝bD. a与b的大小关系不能确定答案：A解析: 由正弦定理, 得＝ ,∴＝＝>.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍, 则它的顶角的余弦值为( )A..B.C..D.答案：D解析: 方法一: 设三角形的底边长为a, 则周长为5a,∴腰长为2a, 由余弦定理知α＝＝ .方法二：如图, 过点A作⊥于点D,则＝2a, ＝ , ∴＝ ,∴α＝1－22＝1－2×＝.6.(2010·泉州模拟)△中, ＝ , ＝1, ∠B＝30°, 则△的面积等于( )A..B.C. 或.D. 或解析: ∵＝ ,∴＝·30°＝.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时, A＝90°, S△＝×1×＝ ,当C＝120°时, A＝30°, S△＝×1× 30°＝ .即△的面积为或.二、填空题7. 在△中, 若b＝1, c＝ , ∠C＝ , 则a＝.答案：1解析: 由正弦定理＝ , 即＝ , ＝ .又b<c, ∴B＝ , ∴A＝ .∴a＝1.8．(2010·山东卷)在△中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若a ＝ , b＝2, ＋＝ , 则角A的大小为．答案：解析: ∵＋＝ ,∴(B＋)＝1.又0<B<π, ∴B＝ .由正弦定理, 知＝ , ∴＝ .又a<b, ∴A<B, ∴A＝ .9.(2010·课标全国卷)在△中，D为边上一点，＝，∠＝120°，＝2.若△的面积为3－，则∠＝.答案: 60°解析: S△＝×2××＝3－ ,解得＝2( －1),∴＝－1, ＝3( －1).在△中, 2＝4＋( －1)2－2×2×( －1)×120°＝6,在△中, 2＝4＋[2( －1)]2－2×2×2( －1)×60°＝24－12 ,∴＝ ( －1),则∠＝＝＝ ,∴∠＝60°.三、解答题10.如图, △是等边三角形, ∠＝45°, ＝ , A.B.C三点共线.(1)求∠的值；(2)求线段的长.解: (1)∵△是等边三角形, ∠＝45°,∴∠＝45°＋60°,∴∠＝(45°＋60°)＝45°60°＋45°60°＝.(2)在△中, ＝ ,∴＝∠×＝×＝1＋.11.(2010·全国Ⅱ卷)△中, D为边上的一点, ＝33, ＝ , ∠＝ , 求. 解: 由∠＝ >0知B< ,由已知得＝ , ∠＝ ,从而∠＝(∠－B)＝∠－∠＝×－×＝.由正弦定理得＝ ,＝＝＝25.12.(2010·安徽卷)设△是锐角三角形, a, b, c分别是内角A, B, C 所对边长, 并且2A＝＋2B.(1)求角A的值；(2)若·＝12, a＝2 , 求b, c(其中b<c).解: (1)因为2A＝＋2B＝ 2B－ 2B＋2B＝ ,所以＝±.又A为锐角, 所以A＝ .(2)由·＝12, 可得＝12.①由(1)知A＝ , 所以＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2, 将a＝2 与①代入, 得c2＋b2＝52, ③③＋②×2, 得(c＋b)2＝100,所以c＋b＝10.因此c, b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.解此方程并由c>b知c＝6, b＝4.。
高三数学正弦定理试题答案及解析
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60º，∠CBD＝15º，求BC长.【答案】4【解析】利用已知条件及正余弦定理，即可求得BC的长.试题解析：在ΔABCD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD•BDcos60º，即BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8.（6分）在ΔBCD中，由正弦定理得:.（12分）【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】由正弦定理得：，又，所以选D.【考点】正弦定理3.如图,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若,,求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:(1)题目已知三角形的三条边,利用的余弦定理即可得到该角的余弦值.(2)利用(1)问得到的的余弦结合正余弦之间的关系即可求的该角的正弦值,再利用正余弦之间的关系即可得到,而与之差即为,则利用正弦的和差角公式即可得到角的正弦值,再利用三角形的正弦定理即可求的边长.(1)由关于的余弦定理可得,所以.(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得,再由的正弦定理可得.【考点】三角形正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则＝()A．B．C．2D．2【答案】D【解析】S＝bcsin120°＝，即c×＝，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，△ABC∴a＝，∴由等比例性质得＝＝2．5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝()A．或 B． C．或 D．【答案】B【解析】∵cos(A－C)＋cosB＝1，∴cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinA·sinC＝1．又由已知a＝2c，根据正弦定理，得sinA＝2sinC，∴sinC＝，∴C＝或．∵a>c，∴A>C，∴C＝．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA－cos(B＋)的最大值为()A．B．2C．D．2【答案】D【解析】由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC．因为0<A<π，所以sinA>0，从而sinC＝cosC．又cosC≠0，所以tanC＝1，又0<C<π，故C＝，于是sinA－cos(B＋)＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)，又0<A<，所以<A＋<，从而当A＋＝，即A＝时，2sin(A＋)取最大值2．7.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝．(1)若sinC＝，求sinA的值；(2)设f(C)＝sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围．【答案】（1）（2）(－1，]【解析】解：(1)由正弦定理得＝，∴sinA＝＝＝．(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC，∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，由题知关于b的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－ (舍去)或cosC≥，∴0<C≤．∴f(C)＝sin2C－＝sin(2C－)－ (－<2C－≤)，∴－1<f(C)≤．故f(C)的取值范围为(－1，]．8.在中，已知，且.（1）求角和的值；（2）若的边，求边的长.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用并结合两角差的余弦公式求出，然后再结合的范围求出的值，利用三角形的内角和定理得到，最后再利用两角和的正弦公式求出的值；（2）在（1）的基础上直接利用正弦定理求出的长度.（1）由，，得且，可得，，，，，在中，，；（2）在中，由正弦定理得：，.【考点】1.两角和与差的三角函数；2.内角和定理；3.正弦定理9.（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（2）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．10.在中，角对的边分别为，已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，角对的边分别为，已知，且.由正弦定理可用一个角B表示出b,c的值.再根据三角函数角的和差化一公式，以及角B范围.求出最值，再由三角形的三边的关系即可得到结论.（2）由，可得到三角形边b,c与角A的余弦值的关系式，即可得角A的正弦值.再由余弦定理通过放缩以及三角形的面积公式即可得到结论.（1），（2分）（4分）.（6分）（2），（8分）（10分）当且仅当时的面积取到最大值为． . （12分）【考点】1.正余弦定理.2.三角形的面积公式.3.不等式的基本公式.3.最值的求法.11.在中，角所对的边分别为，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，且，求．【答案】（1）角的值为；（2）．【解析】（1）由正弦定理先化角为边，得到；再由余弦定理求得，所以角的值为；（2）先用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质可求角，由正弦定理知．试题解析：（1）由题得，由正弦定理得，即.由余弦定理得，结合,得.（2）因为因为，且所以所以，.【考点】正余弦定理、二倍角公式.12.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.13.在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，又是锐角三角形，．选A.14.△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。
正弦定理试题及答案
正弦定理练习题一 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . 三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b .正弦定理练习题二一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A 2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° 4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 367.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.1038.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4 ,cos 2B =552， 求△ABC 的面积.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.正弦定理练习题一 答案 一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ）A.26B.36C.22D.32 ［答案］C ［解析］设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C. 2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ） A.3π B. 32π C. 3π或32π D. 65π或6π［答案］ C ［解析］ 由A a sin ＝B b sin ,得sin B =a A b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23 ,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ） A.3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D.2：3：1［答案］ D ∴A =90°,B =60°,C =30°∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23 ：21=2：3：1. 二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = ［答案］1由正弦定理，得32sin3π=B sin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1. 5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = .［答案 2［解析］由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°，∵B b sin =Ccsin ∴c =B C b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵B b sin =C c sin ,∴b =C B c sin sin =︒︒105sin 30sin 10, 又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).正弦定理练习题二 答案一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）A.a>b sin AB.a=b sin AC.a<b sin AD.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得A a sin ＝B b sin ,∴a =B A b sin sin ,在△ABC 中，0<sin B ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B ［解析］ 设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x . ∴a ：b ：c =7：5：3.∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B ［解析］ 由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( )A.a =7,b =14,A =30°,有两解B.a =30,b =25,A =150°,有一解C.a =6,b =9,A =45°,无解D.b =9,c =10,B =60°,有两解［答案］ A ［解析］ 对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解.5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ） A. 3π B. 4π C. 4π或43π D. 3π或32π［解析］ ∵A a sin =B b sin ,∴sin A =22,∴A =4π或A =43π,又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6·在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B. 322 C.- 36 D. 36 ［答案］ D ［解析］ 由正弦定理，得︒60sin 15=B sin 10∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33. ∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12 =2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( )A.10+3B.10（3-1）C.10（3+1）D.103［答案］ B ［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+, c=A C a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) 8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23 ［答案］ C 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］2［解析由正弦定理得sin B =a b ·sin A =31-×23=21, 又∵b =1<a =3,∴B<A =3π,而0<B <π,∴B =6π,C =2π, 由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得B b sin ＝Ccsin , ∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30=22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2. 11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = . ［解析］由正弦定理，得b a =B A sin sin , ∴a =25b 可转化为B A sin sin =25.又∵A =2B ，∴B B s i n s i n 2=25,∴cos B =45. 12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］62+83［解析］设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°，∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］由正弦定理得，sin A =b B a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b ,∴A ＞B=45∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262 +⨯=226+， 当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =B C b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262 -⨯ =226-∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-.14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552， 求△ABC 的面积. ［解析］由题意知cos2B =552,则cos B =2cos 22B-1=53，∴B 为锐角,∴sin B =54,sin A =sin(π-B-C )=sin(53π-B )= 1027由正弦定理，得c ＝A C a sin sin =1027222 ⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B , 由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π.∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状；（2）求△ABC 的面积.［解析］（1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C ,从而sin(A+C )=sin A cos C ,所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C[；所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形. (2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则C c sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82,∴S △ABC=21bc =162.。
正弦定理(含答案)
正弦定理一、单选题(共10道，每道10分)1.在△ABC中，下列错误的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，，则b等于( )A.1B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用3.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则边=( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用4.在△ABC中，若，则等于( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用6.在△ABC中，，，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用7.在△ABC中，若，，，则=( )A. B.C. D.或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用8.在△ABC中，若，，，则=( )A. B.C. D.或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用9.在△ABC中，∠A=30°，，，则等于( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用10.在△ABC中，，，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦定理的应用。
正弦定理习题(含答案)
正弦定理习题姓名_______班级______一、选择题1. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =√3，A =π3，则B =( ) A. π6 B. 5π6 C. π6或5π6 D. 2π32. 在△ABC 中，若∠A =60°，∠B =45°，BC =3√2，则AC =( ) A. 4√3 B. 2√3 C. √3 D. √323. 在△ABC 中，已知a =√3,b =√2,B =45°，则角A 的值为( )A. 60°或120°B. 120°C. 60°D. 30°或150°4. 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c =2bcosA ，则此三角形必是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosC =2√23，bcosA +acosB =2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π 二、填空题6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60°，b =√6，c =3，则A =______．7. 设ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a =√3，sin B =12，C =π6，则b =_________．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可求sinB=bsinAa =12，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】解：∵a=3，b=√3，A=π3，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =√3×√323=12，∵a>b，∴B为锐角，B=π6．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．结合已知，根据正弦定理，BCsinA =ACsinB可求AC．【解答】解：根据正弦定理，BCsinA =ACsinB，则AC=BC⋅sinBsinA =3√2×√22√32=2√3，故选：B．3.【答案】A【解析】【分析】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．由B的度数求出sin B的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin A的值，根据a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=√3，b=√2，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得：sinA=asinBb =√3×√222=√32，∵b<a，∴B<A，即45°<A<180°，∴A=60°或120°．故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用以及两角和与差的三角函数公式等内容，考查运算能力，属于基础题．利用正弦定理、两角和与差的三角函数公式化简即可判断．【解答】解：∵c=2bcosA，由正弦定理，可得：，即，，∴sinAcosB−sinBcosA=0，即，∵A、B是△ABC的内角，∴A=B，故△ABC是等腰三角形，故选B．5.【答案】C【解析】【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc +a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c=2，又∵cosC=2√23，可得：sinC=√1−cos2C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=c sinC=213=6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故选C．【分析】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．6.【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．根据正弦定理和三角形的内角和计算即可．【解答】解：根据正弦定理可得bsinB =csinC，C=60°，b=√6，c=3，∴sinB=√6×√3 23=√22，∵b<c，∴B=45°，∴A=180°−B−C=180°−45°−60°=75°，故答案为75°．7.【答案】1【解析】【分析】本题考查了正弦定理、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 由sinB =12，可得B =π6或B =5π6，结合a =√3，C =π6及正弦定理可求b ． 【解答】解：∵sinB =12，∴B =π6或B =5π6， 当B =π6时，a =√3，C =π6，A =2π3， 由正弦定理可得，√3sin 2π3=b12，则b =1；当B =5π6时，C =π6，与三角形的内角和为π矛盾． 故答案为：1．。
解三角函数：正弦定理习题及详细答案
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
(完整word版)正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
正弦定理练习题及答案解析
) 2，则，ABC中，A＝60°a＝(43，b＝41．在△．B＝135°B．B＝45°或135° A ．以上答案都不对DC．B＝45°2.45°b，∴B＝，∵a＞＝B解析：选2) ，则a等于(，若c＝2，b＝6，B＝2．△ABC的内角A，120°B，C的对边分别为a，b，c2 B．162 ，＝＝sin 由正弦定理C解析：选?D.2sin 120°C sin2.c＝＝30°?a于是＝C＝30°?A1__________.＝BC＝1，则AB150°．在△ABC中，若tan A＝，C＝，331 150°，C＝，＝解析：在△ABC中，若tan A31 1，＝，BC＝A∴A为锐角，sin 1010sin CBC·＝AB＝则根据正弦定理知.A2sin10答案：2BDAB4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：＝.DCAC证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：A sin2BDBDAB＝；①＝，即θAB sin sin θA sin 2CDAC在△ACD中，＝，A sin?π－θ?sin 2A sin2CD∴＝.②AC sin θBDCD由①②得＝，ABACBDAB∴＝. DCAC一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是()sin Aa5＝＝.根据正弦定理得解析：选A.sin Bb3sin A cos C2．在△ABC中，若＝，则C的值为()ac A．30°B．45°C．60°D．90°sin A cos C sin Aa＝，∴＝，∵B.解析：选ac cos Cca sin A又由正弦定理＝.c sin C B.，故选45°＝C，即C sin ＝C cos ∴．)＝10，A＝60°，则，b cos B＝(3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝1522 A．－36 C．－31015 ，＝由正弦定理得D.解析：选B sin sin 60°3×1023sin 60°10·＝＝∴sin B＝.31515 为锐角．∵Ba＞b，A＝60°，∴63＝∴cos B＝1－sin22. ?1－?B＝33)sin 在△ABC中，a＝bA，则△ABC一定是(4．．直角三角形A．锐角三角形 B ．等腰三角形C．钝角三角形D ba＝，则sin B＝1是直角三角形．，即角B为直角，故△ABC＝b由题意有解析：选B.B sin sin Aπ)，b＝1，则c＝(a．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，已知A＝，a＝3532 A．1 B．－11ab3 ＝，可得＝，由正弦定理B.解析：选πB sin sin B sin A sin31.150°30°或＝，故B＝∴sin B 2.＝30°＞B，∴B＞由ab，得A2.＝cC＝90°，由勾股定理得故) 4，则此三角形有＝)在△ABC中，如果A＝60°，c4，(a＝6．(2011年天津质检．一解B．两解 A D ．无穷多解C．无解，故有唯一解．a＝c sin 选B.因cA＝23＜4，且解析：二、填空题________.2sin A，则ABABC中，已知BC＝＝5，sin C7．在△＝C sin 5.2BC＝2解析：AB＝BC＝A sin52答案：________. c＝aC＝120°，则∶b∶B8．在△ABC中，＝30°，30°，＝＝180°－30°－A解析：120°由正弦定理得：3. ∶∶sin 1C＝1sin ∶ab∶c＝sin A∶B∶31∶∶答案：12π，则a＝＝c＝3，∠C________. 1)．9(2010年高考北京卷中，若在△ABCb＝，313 ，＝由正弦定理，有解析：2πB sin sin31∴sin B＝.∵∠C为钝角，2π∴∠B必为锐角，∴∠B＝，6．π＝∴∠A.61. ＝b＝∴a1 答案：三、解答题.，求a＋b＋c＝30B∶sin C＝4∶5∶6，且a∶10．在△ABC中，已知sin A sincab c，＝a∶b∶∶∶＝sin CB∵sin A∶sin ∶解：RR22R248.＝∴a＝30×＝a∶b∶c4∶5∶6.∴15 ，解此三角形．＝2，120°Bc.已知a＝5，b＝ABC11．在△中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，3×52B sin ba53a不存在，即此三角所以A＝＝＞1.，得＝sin A＝根据正弦定理解：法一：4b2sin A sin B形无解．B＞240°，这与A＋B＋C ＝180°矛盾．120°B＝，所以A＞B＝120°.所以A＋所5法二：因为a＝，b＝2，以此三角形无解．53，所以b＜a sin B．又因为若三角形＝＝5sin 120°，b＝2，B＝120°，所以a sin B＝法三：因为a52存在，则b sin A＝a sin B，得b＞a sin B，所以此三角形无解．ππ12．在△ABC中，a cos(－A)＝b cos(－B)，判断△ABC的形状．22ππ－A)＝b cos(－B)，cos(a 解：法一：∵22ab∴a sin A＝b sin B．由正弦定理可得：a·＝b·，2R2R∴a＝b，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．22ππ－A)＝b cos(－B)，cos(法二a：∵22∴a sin A＝b sin B．由正弦定理可得：22B，即sin A＝sin 2A＝R sin B，sin2R∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)为等腰三角形．ABC故△．。
2024-2025年人教版必修第四册9.1.1正弦定理(带答案)
9．1.1 正弦定理1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59C ．53D ．1 2．已知△ABC 中，a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝60°，那么A 等于( )A ．45°B ．60°C ．120°或60°D ．135°或45°3．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，AC ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3 ，A ＝30°，则c ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．无解5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝12，A ＝120°，且b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．3D ．436．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求角A ；(2)求AC 边上的高．7．(多选)在△ABC 中，下列式子可能成立的是A ．a >b sin A B ．a <b sin AC ．a ＝b sin AD ．b <a sin B8．在△ABC 中，若AB → ·AC → ＝2且∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．23C ．33D ．233 9．(多选)下列关于正弦定理或其变形的叙述正确的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin BD ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C10．(逻辑推理)在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形11．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6 ，b ＝4，则满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定12．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论成立的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A >B ，则cos A <cos BC ．若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则a ＝b ＝c D ．若a cos A ＝b cos B ，则A ＝B13．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试判断△ABC 的形状．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．15.已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32 c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3 ，求c 的值．9．1.1 正弦定理必备知识基础练1．答案：B解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝5×133 ＝59，故选B.2．答案：A解析：在△ABC 中，∵a ＝2 ，b ＝3 ，∴a <b ，∴A <B .又∵B ＝60°，∴A <60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b＝2×323 ＝22 ，则A ＝45°或135°(舍)，故选A. 3．答案：D解析：S ＝12 BC ·AC ·sin C ＝12 ×4×3×sin C ＝3，∴sin C ＝12，∵三角形为锐角三角形，∴C ＝30°.4．答案：C 解析：由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.∵a <b ，∴B >A ＝30°.∴B 为60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c ＝a 2＋b 2 ＝1＋3 ＝2.②当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°.此时，c ＝a ＝1.故选C.5．答案：A解析：∵△ABC 中，sin B ＝12，A ＝120°，∴B ＝30°，∴C ＝30°，又∵b ＝2，∴c ＝b ＝2.∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×2×2×32＝3 . 6．解析：(1)∵B 是△ABC 的内角，且cos B ＝－17， ∴B 为钝角，sin B ＝437. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得7sin A ＝8437 ， 即sin A ＝32 ，∴A ＝π3.(2)由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32 ×⎝⎛⎭⎫－17 ＋12 ×437 ＝3314， 则AC 边上的高＝a ·sin C ＝7×3314 ＝332. 关键能力综合练7．答案：AC解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A，∵sin B ≤1，sin A ≤1，∴a ≥b sin A ，b ≥a sin B ，故选AC.8．答案：C解析：由AB → ·AC → ＝2得AB ·AC ·cos 30°＝2，即AB ·AC ＝43，所以由三角形面积公式得S ＝12 AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12 ×43×12 ＝33 . 9．答案：ACD解析：由正弦定理易知A 、C 、D 正确，对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误，故选ACD. 10．答案：B解析：由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B＝k ，由a ＝b sin A 得k sin A ＝k sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2，故选B. 11．答案：C 解析：由正弦定理得6sin 60° ＝4sin B.∴sin B ＝2 ＞1，∴角B 不存在． 12．答案：ABC解析：对于A ：因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B (R 是△ABC 外接圆的半径)，所以sin A >sin B ，故正确；对于B ：因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，A ，B ∈(0，π)且A >B ，所以cos A <cos B ，故正确；对于C ：因为a cos A ＝b cos B ＝c cos C，由正弦定理化边为角可得tan A ＝tan B ＝tan C ，又因为A ，B ，C ∈(0，π)，所以A ＝B ＝C ，所以a ＝b ＝c ，故正确；对于D ：利用正弦定理化边为角可得sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故错误．故选ABC. 13．解析：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 14．解析：(1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2A ＝33， 又B ＝A ＋π2 ，所以sin B ＝sin (A ＋π2 )＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝32 . (2)由B ＝A ＋π2， 得cos B ＝cos (A ＋π2 )＝－sin A ＝－33， 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33 ×(－33)＋63 ×63 ＝13. 所以△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×3×32 ×13 ＝322 . 核心素养升级练 15．解析：(1)由a cos C ＋32 c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32 . 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32 ， 所以B ＝π3 或2π3. ①当B ＝π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π2 ，所以c ＝2； ②当B ＝2π3 时，由A ＝π6 ，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c＝1或2.。