高中数学《球的表面积和体积》课件
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人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
《球的体积和表面积》教学课件(12张PPT)
祖暅原理也就是“等积原理”，它是
由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是： 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平
行于这两个平行平面的平面所截，如果截
得两个截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等.
可以用诗句“两个胖子一般高，平行 地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然 同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可 以推导几何体的体积公式，关键是要构造 一个参照体.
你能求出下面物体的体积和表面积吗？
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的体积？ 如果球的半径 为R，那么它的体积 4 V= πR3 3
地球可近似地看作球体，地球的半径为 6370km.怎样计算它的表面积 ？ 球的半径为 R， 那么球的表面积 S=4πR2
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积
一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积 （π取3.14，结果精确到1cm2） 解：设球的半径为R，那么根据题意有： 4 πR3= 100 3 4 ×3.14×R3= 100 3 R≈2.88
球的表面积S=4πR2=4×3.14×2.882 ≈104（cm2）
一个圆锥形的空杯子上面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ着一个半球形的 冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？ 解：由图可知，半球的半径为4 4 3 256 π 半球的体积为 π4 = 3 3 1 192 2 π 圆锥的体积为 πR ×12= 3 3 因此，如果冰淇淋融化了，会 溢满杯子.
证明：（1）设球的半径为R，则 圆柱的地面半径也为R， 高为2R 4 因为V球= πR3， 3 V圆柱=πR2·2R=2πR３ 2 所以V球= V圆柱 3
高中数学《球的体积和表面积 》课件
数学 ·必修2
解析 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
则 OO′＝ 2，O′M＝1， ∴OM＝ 22＋1＝ 3，即球的半径为 3， ∴V＝43π×( 3)3＝4 3π.
19
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修2
拓展提升
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修2
【跟踪训练 3】 如图，有一个水平放置的透明无盖的 正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容 器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，若不 计容器厚度，则球的体积为( )
9
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修2
拓展提升
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过 条件能求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
10
(2)求解表面积和体积时，要避免重叠和交叉.
15
课前自主预习
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数学 ·必修2
【跟踪训练 2】 某几何体的三视图如图所示，它的体 积为( )
A．72π B．48π C．30π D．24π
16
课前自主预习
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数学 ·必修2
解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立 圆锥体的组合体，球的半径为 3，圆锥的底面半径为 3，高 为 4，根据体积公式可得组合体的体积为12×43π×33＋13 π×32×4＝30π.
【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的 定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=
l
=
2 2 2
√a +b +c
(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引 入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的 定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=
l
=
2 2 2
√a +b +c
(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引 入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l
球的表面积与体积PPT课件
6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
人教A版数学必修第二册8_3_2_2球的体积和表面积课件
[提示]
2R＝ 2 + 2 + 2 .
[探究问题]
2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与
棱长a有何数量关系？其内切球呢？
[提示]
3
1
外接球半径R＝ 2 a；内切球半径R＝2a.
[探究问题]
3．若一球与正方体的12条棱相切，则
球半径R与棱长a有何数量关系？
[提示]
=
2
2
【例3】
(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为
结论：两个球的体积之比等于半径之比的立方，
表面积的比等于半径之比的平方
题型二 球的截面问题
【例2】
(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面α的
距离为 2 ，则此球的体积为( B )
A. 6 π
B．4 3 π
C．4 6 π
D．6 3π
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝ 2 ，O′M＝1，
一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，
比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质
就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”
和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
随堂检测
1．判断正误
(1)球的体积之比等于半径比的平方．( × )
(2)球面展开一定是圆形的平面．(
a2
1
依题意，2r＝ 3· 6 ，即 r2＝8a2，
1 2 πa2
所以 S 球＝4πr ＝4π·8a ＝ 2 .
2
活学活用
3．长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3 ， 3 ， 6 ，这个长方体它的
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
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课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
答案
例 3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是 48π cm2，求球的表面积．
[解] 如图所示，设 O′为截面圆圆心，则 OO′⊥O′A，O′A 为截 面圆的半径，OA 为球的半径 R.
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课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
7.3 球的表面积和体积
[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3. 会运用这些公式进行简单的有关计算.
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课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】
1．球的表面积公式：S 球面＝_□0_1__4_π_R_2_(R 为球的半径)．
2．球的体积公式：V 球＝__□0_2_43__π_R_3 (R 为球的半径)．
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半 径之间有什么关系？
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提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图 中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
提示：V＝43πR3 S＝4πR2 这两个公式说明球的体积和表面积都由球的 半径 R 唯一确定．其中球的体积是半径 R 的三次函数，球的表面积是半径 R 的二次函数，并且表面积为半径为 R 的圆面积的 4 倍．
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提示
2．球的表面积扩大 2 倍，球的体积扩大( ) A．2 倍 B. 2倍 C．2 2倍 D．3 2倍
课前自主课后课时精练
答案
解得 x＝742.则 O1A＝O1B＝O1C＝942.
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理，得R2 2＋9
4
22＝R2.解得
R＝3 2
6 .
故 S 球面＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
[解] 如下图所示，作出轴截面，O 是球心，与边 BC、AC 相切于点 D、
E.
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答案
连接 AD，OE，∵△ABC 是正三角形，
∴CD＝12AC.∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ 3 cm， ∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴OAOE＝CADC. 设 OE＝r，则 AO＝( 3－r) cm，∴ 3r－r＝12，
则球的体积为( )
32 A. 3 π
B.83π
C．8 2π
D．4 3π
答案 D
解析 所得截面圆的半径为 r＝ 2，因此球的半径 R＝ 12＋ 22＝ 3， 球的体积为43πR3＝4 3π.
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答案
解析
例 2 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm，求球的体积．
提示：C 球的表面积扩大 2 倍，半径扩大 2倍，从而体积扩大( 2)3＝ 2 2倍．
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课堂互动探究
随堂巩固训练
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提示
3．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
提示：A 设两球的半径为 R1，R2，∵R1∶R2＝1∶3，∴两个球的表面 积之比为 S1∶S2＝4πR21∶4πR22＝R21∶R22＝1∶9.
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类题通法 球的表面积和体积的解题方法
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的 截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这 种解题的思想值得重视．
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[变式训练1] 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面面积为 2π，
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∵48π＝π·AO′2， ∴AO′2＝48. 在 Rt△OO′A 中，OA2＝OO′2＋AO′2， ∴R2＝R2 2＋48，解得 R＝8. ∴S 球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)． 即球的表面积为 256π cm2.
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例 1 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一 半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[解] 如图所示，设球心为 O，截面圆圆心 O1，球半径为 R，
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连接 OO1，则 OO1 是球心到截面的距离． 由于 OA＝OB＝OC＝R， 则 O1 是△ABC 的外心． 设 M 是 AB 的中点，由于 AC＝BC，则 O1 在 CM 上． 设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x. 又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
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[变式训练2] 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球 的底面圆内，若正方体棱长为 6，求球的表面积和体积．
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解 作轴截面如图所示，
CC′＝ 6，AC＝ 2· 6＝2 3， 设球的半径为 R， 则 R2＝OC2＋CC′2＝( 3)2＋( 6)2＝9， ∴R＝3，∴S 球＝4πR2＝36π，V 球＝43πR3＝36π.
若球的半径为 R，截面圆的半径为 r，OO′＝d. 在 Rt△OO′C 中，OC2＝OO′2＋O′C2，即 R2＝r2＋d2.
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提示
(2)球的半径为 R，它的体积公式为________，它的表 面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？
∴r＝
3 3
cm，V 球＝43π
333＝4273π(cm3)，
即球的体积等于4273π cm3.
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类题通法 截面在有关球计算中的作用
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为 平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角 面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体 之间的主要位置关系和数量关系．