2008年四川高考文科数学延考卷word版含答案详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)文 科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项． 1．集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 2．函数1lg y x x =-+的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(,0)[1,)-∞+∞D ．(0,1]3．41(1)(1)x x++的展开式中含2x 项的系数为（ ）A ．4B ．5C ．10D ．12 4．不等式21x -<的解集为（ ）A ．{|13}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x << 5．已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=+（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ） A ．833π B ．33π C ．32π D ．83π 7．若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．238．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A ．15B ．12C ．23D ．459．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．2510．已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+ 与a b λ- 互相垂直的充要条件是（ ）A ．32λ=-或32λ= B ．12λ=-或12λ= C ．1λ=-或1λ= D ．λ为任意实数11．设函数()y f x =()x R ∈的图像关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（ ）A ．12 B ．14 C ．34 D ．9412．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为（ ） A ．510 B ．1010 C ．55 D ．105二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数11x y e +=-()x R ∈的反函数为_____________________． 14．函数2()3sin cos f x x x =-的最大值是____________． 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =．若40a ≠，则74a a =__________． 16．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知2222a c b +=．（Ⅰ）若4B π=，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；（Ⅱ）求sin B 的最大值．18．（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率．19．（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，2AB =．沿它的对角线BD 把0BDC ∆折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置． （Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ； （Ⅱ）当二面角A BD C --为120︒时，求AC 的长20．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n+=+⋅．（Ⅰ）证明数列2{}n an 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T ．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列．（Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点．当8MN =时，求PQ 的值．22．（本小题满分14分）设函数32()2f x x x x =--+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若当[1,2]x ∈-时，3()3af x -≤≤，求a b -的最大值．2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)文 科参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项． 1．解：A 的子集共328=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B2．解：选D ．由100x x -≥⎧⎨>⎩01x ⇒<≤． 3．解： 选C ．41223344411(1)(1)(1)(1)x C x C x C x x x++=+++++ ，其展开式中含2x 项的系数为234410C C +=．4．解：选A ．21x -<121x ⇔-<-<13x ⇔<<． 5．解：选C ．cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++==+-6．解： 设球的半径为r 3143V r π⇒=；正三棱锥的底面面积234S r =，2h r =，2321332346V r r r ⇒=⨯⨯=。

所以 12833V V π=，选A 7．解：设过一象限的渐近线倾斜角为α2sin 4512k αα⇒=⇒=⇒= 所以b y x x a =±=±a b ⇒=，因此2,2cc a e a===，选A 。

8．解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。

问题等价于选3本书有文艺书的概率：343644()1()11205C P A P A C =-=-=-=9．解：如图AB 最小时，弦心距最大为1，2222123AB =-=10：2222()()()()(1)(1)0a b a b a b a b a b a b a b λλλλλλλλ+⊥-⇔+∙-=-+-∙=-∙=20101a b λλ∙≠⇔-=⇔=± 。

另外a 与b 是夹角为3π的单位向量，画图知1λ=时a b + 与a b -构成菱形，排除A ，B ，D 选项明显不对，故选C 。

11．解：23311111()()(1)(1)()()2222224f f f f f -==+=-===12．解：如图以D 为坐标系原点,AB 为单位长，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，易见1(0,1,1)AB =- ，11(1,,0)2D E = ， 所以1111(0,1,1)(1,,0)1022cos ,1105(0,1,1)(1,,0)224A B D E -<>===- ，选B 。

（如果连结1,D C EC ,用余弦定理解三角形也可以求得答案。

） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．解：11111ln(1)x x y e e y x y ++=-⇒=+⇒+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x =+->-， 14．解： 因为3sin 3x ≤，2cos 0x ≥，2()3sin cos 3f x x x ⇒=-≤，正好sin 1,cos 0x x ==时取等号。

（另22237()3sin cos sin 3sin 1(sin )24f x x x x x x =-=+-=+-在sin 1x =时取最大值） 15．解：551234142300S a a a a a a a a a =⇒+++=⇒+=+=，取特殊值令231,1,a a ==-43a ⇒=-74129a a a =-=-，所以743a a = 16．解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,2OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE OE ∠=⊥⇒= , 所以222CD OC OD =-=因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值2sin 2COD ∠=三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有222sin sin 2sin 1A C B +==． 故22sin cos C A =．因为A 为钝角，所以sin cos C A =-． 由cos cos()4A C ππ=--，可得sin sin()4C C π=-，得8C π=，58A π=．（Ⅱ）由余弦定理及条件2221()2b a c =+，有22cos 4a c B ac+=，因222a c ac +≥，所以1cos 2B ≥．故3sin 2B ≤， 当a c =时，等号成立．从而，sin B 的最大值为32． 18．解：（Ⅰ）设i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，1,2i =． i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，1,2i =．i C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则121212C A A A B B A =⋅+⋅+⋅．由已知 ()0.9i P A =，()0.05i P B =，1,2i =．所以，所求的概率为121212()()()()P C P A A P A B P B A =⋅+⋅+⋅ 20.920.90.050.9=+⨯⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为()0.9P C =． 故所求概率为： 310.90.271-= 19．解：（Ⅰ）证明：因为01AD BC BD ===，02AB C D ==，所以090DBC ∠=︒． 因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=︒， 所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥，故DB ⊥平面0CBC ． 又DB ∈平面0ABC D ， 所以平面0ABC D ⊥平面0CBC ．（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，所以0CBC ∠是二面角0C BD C --的平面角．由已知得，060CBC ∠=︒．作0CF C B ⊥，垂足为F ， 由01BC BC ==可得32CF =，12BF =．连结AF ，在ABF ∆中， 2221113(2)()22c o s 135224AF =+-⨯⨯⨯︒=． 因为平面0ABC D ⊥平面0CBC ，所以CF ⊥平面0ABC D ，可知CF AF ⊥． 在Rt AFC ∆中，22133244AC AF CF =+=+=． 解法二：由已知得090ADB DBC ∠=∠=︒．以D 为原点，射线DA ，DB 分别为x ，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，0(1,1,0)C -，(0,0,0)D ．由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，所以0CBC ∠为二面角0C BD C --的平面角．由已知可得060CBC ∠=︒，所以13(,1,)22C -．所以2213(1)1()222AC =--++= ，即AC 的长为2． 20．解：（Ⅰ）由条件得1221(1)2n na a n n+=⋅+，又1n =时，21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即212n n n a -=．（Ⅱ）由22(1)21222n n n nn n n b ++=-=得23521222nn n S +=+++ ， 231135212122222n n n n n S +-+⇒=++++ ， 两式相减得 ： 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ， 所以 2552n n n S +=-．（Ⅲ）由231121()()2n n n S a a a a a a +=+++-+++ 得1112n n n n T a a T S +-+-=所以11222n n n T S a a +=+-2146122n n n -++=-． 21．解：（Ⅰ）设1C ：22221x y a b +=(0)a b >>，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．由条件知22(2)2()a b a c c=-，得2a c =．1C 的右准线方程为2a x c=，即4x c =．2C 的准线方程为x c =-．由条件知515c =， 所以3c =，故6a =，33b =．从而1C ：2213627x y +=， 2C ：212y x =． （Ⅱ）由题设知l ：y x c =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ．由24y cxy x c⎧=⎨=-⎩，得2260x cx c -+=，所以126x x c +=．而1228MN MF FN x x c c =+=++=，由条件8MN =，得1c =．由（Ⅰ）得2a =，3b =．从而，1C ：22143x y +=，即223412x y +=． 由2234121x y y x ⎧+=⎨=-⎩，得27880x x --=．所以3487x x +=，3487x x =-．故223488242()2[()4]777PQ x x =-=+⋅=．22．解：（Ⅰ）2'()321(31)(1)f x x x x x =--=+-．于是，当1(,1)3x ∈-时，'()0f x <；1(,)(1,)3x ∈-∞-+∞ 时，'()0f x >． 故()f x 在1(,1)3-单调减少，在1(,)3-∞-，(1,)+∞单调增加．当13x =-时，()f x 取得极大值159()327f -=；当1x =时，()f x 取得极小值(1)1f =．（Ⅱ）根据（Ⅰ）及(1)1f -=，(2)4f =，()f x 在[1,2]-的最大值为4，最小值为1．因此，当[1,2]x ∈-时，3()3af x b -≤+≤的充要条件是33343a b a b -≤+≤⎧⎨-≤+≤⎩，即a ，b 满足约束条件334343a b a b a b a b +≥-⎧⎪+≤⎪⎨+≥-⎪⎪+≤⎩，由线性规划得，a b -的最大值为7．。