2019年上海高考数学(文科)试卷

2019年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（文史类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：
31i
i
-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}
210A x x =->，{}
1B x x =<，则A B ⋂＝ 3、函数sin 2()1
cos x f x x
=
-的最小正周期是
4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）
5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为
6、方程1
42
30x
x +--=的解是
7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、1
2
为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞
+++=
8、在6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的二项式展开式中，常数项等于
9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是
11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）
12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足
BM CN BC
CD
=
，则AM AN ⋅的取值范围是
13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1
(,1)2
B 、(1,0)
C ，函数
()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为
14、已知1
()1f x x
=
+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15、若1i 是关于x 的实系数方程2
0x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A 、2,3b c ==
B 、2,1b c ==-
C 、2,1b c =-=-
D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程2
2
1mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件
17、在△ABC 中，若2
2
2
sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin
(i)
7
77
n n S π
ππ=+++（n N *
∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）
A 、16
B 、72
C 、86
D 、100
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分
如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝
2
π
，
2AB =，AC =2PA =，求：
（1）三棱锥P ABC -的体积
（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） P
A D
B C
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+
（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围
（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
1249
y x =
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t
（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
A
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3
小题满分6分
在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2
2
:21C x y -=
（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =，求点M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆2
2
1x y +=相切，求证：OP ⊥OQ
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为
12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列
是1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：
k k b a =（1,2,...,k m =）
（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，若(1)2
2
(1)
n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，
求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。