培优专题 特殊平行四边形的最值问题
特殊平行四边形中的最值问题
九年级上重难点专题突破——常考题型精选专题01 特殊平行四边形中的最值问题题型一 菱形中的最值问题1．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是【解答】解：如图，过点P 作PE BC ^于E ，Q 四边形ABCD 是菱形，10AB AC ==，10AB BC AC \===，ABD CBD Ð=Ð，ABC \D 是等边三角形，60ABC ACB \Ð=Ð=°，30CBD \Ð=°，PE BC ^Q ，12PE PB \=，12MP PB PM PE \+=+，\当点M ，点P ，点E 共线且ME BC ^时，PM PE +有最小值为ME ，3AM =Q ，7MC \=，sin ME ACB MC Ð==QME \=，12MP PB \+2．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE AC ^于E ，PF BD ^于F ，连接EF ，则EF 的最小值等于 4.8 ．【解答】解：连接OP ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，AC BD \^，182BO BD ==，162OC AC ==，10BC \===，PE AC ^Q ，PF BD ^，AC BD ^，\四边形OEPF 是矩形，FE OP \=，Q 当OP BC ^时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP D =´=´，68 4.810OP ´\==，EF \的最小值为4.8，故答案为：4.8．3．如图，在菱形ABCD 中，45B Ð=°，BC =，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH【解答】解：连接AF ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC \==，G Q ，H 分别为AE ，EF 的中点，GH \是AEF D 的中位线，12GH AF \=，当AF BC ^时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB Ð=°，45B Ð=°Q ，ABF \D 是等腰直角三角形，AF AB \===GH \=，即GH4．如图所示，四边形ABCD 中，AC BD ^于点O ，4AO CO ==，3BO DO ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ^于点M ，作PN DC ^于点N ．连接PB ，在点P 运动过程中，PM PN PB ++的最小值等于 7.8 ．【解答】解：4AO CO ==Q ，3BO DO ==，8AC \=，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ^Q 于点O ，\平行四边形ABCD 是菱形，5AD ===，5CD AD \==，连接PD ，如图所示：ADP CDP ADC S S S D D D +=Q ，\111222AD PM DC PN AC OD ×+×=×，即1115583222PM PN ´´+´´=´´，5()83PM PN \´+=´，4.8PM PN \+=，\当PB 最短时，PM PN PB ++有最小值，由垂线段最短可知：当BP AC ^时，PB 最短，\当点P 与点O 重合时，PM PN PB ++有最小值，最小值 4.837.8=+=，故答案为：7.8．5．已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A ，OB =点P 是对角线OB 上的一个动点，(0,1)D ，当CP DP +最短时，点P 的坐标为( )A．(0,0)B．1(1,)2C．6(5，3)5D．10(7，5)7【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK OA^于K．Q四边形OABC是菱形，AC OB\^，GC AG=，OG BG==A、C关于直线OB对称，PC PD PA PD DA \+=+=，\此时PC PD+最短，在Rt AOGD中，AG===，AC\=，12OA BK AC OB×=××Q，4BK\=，3AK==，\点B坐标(8,4)，\直线OB解析式为12y x=，直线AD解析式为115y x=-+，由12115y xy xì=ïïíï=-+ïî解得10757xyì=ïïíï=ïî，\点P坐标10(7，57．故选：D．6．如图所示，在菱形ABCD中，4AB=，120BADÐ=°，AEFD为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE CF =；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 的面积和CEF D 的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【解答】解：（1）如图，连接AC ，Q 四边形ABCD 为菱形，120BAD Ð=°，60BAC \Ð=°，AEF D Q 是等边三角形，60EAF \Ð=°，160EAC \Ð+Ð=°，360EAC Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，120BAD Ð=°Q ，60ABC \Ð=°，ABC \D 和ACD D 为等边三角形，460\Ð=°，AC AB =，\在ABE D 和ACF D 中，134AB ACABC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABE ACF ASA \D @D ．BE CF \=；（2）四边形AECF 的面积不变，CEF D的周长发生变化．理由如下：由（1）得ABE ACF D @D ，则ABE ACF S S D D =，故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S D D D D D =+=+=四边形，是定值，作AH BC ^于H 点，则2BH =，1122ABC AECF S S BC AH BC D ==×==四边形．CEF D 的周长CE CF EF CE BE EF BC EF BC AE=++=++=+=+由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故AEF D 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，CEF D 的周长会最小44=+=+．7．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是( )A ．15B ．16C ．19D ．20【解答】解：如图1，作AE BC ^于E ，AF CD ^于F ，，//AD BC Q ，//AB CD ，\四边形ABCD 是平行四边形，Q 两个矩形的宽都是4，4AE AF \==，ABCD S AE BC AF CD =×=×Q 四边形，BC CD \=，\平行四边形ABCD 是菱形．如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，，设AB BC xBE x=-，==，则8222Q，=+BC BE CE222\=-+，(8)4x x解得5x=，\四边形ABCD面积的最大值是：´=，5420故选：D．8．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，60DABÐ=°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是+=．CD上一动点，且1AM CN（1）证明：无论M，N怎样移动，BMND总是等边三角形；（2）求BMND面积的最小值．【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，60DABÐ=°，\Ð=Ð=°，60ADB NDBD是等边三角形，故ADB\=，AB BD又1+=，DN CNAM CN+=，1AM DN \=，在AMB D 和DNB D 中，60AM DN MAB NDB AB DB =ìïÐ=Ð=°íï=î，()AMB DNB SAS \D @D ，BM BN \=，MBA NBD Ð=Ð，又60MBA DBM Ð+Ð=°，60NBD DBM \Ð+Ð=°，即60MBN Ð=°，BMN \D 是等边三角形；（2）解：过点B 作BE MN ^于点E ．设BM BN MN x ===，则BE x =，故212BMN S MN BE D =×=，\当BM AD ^时，x 最小，此时，min x =，1324min S ==．BMN \D．9．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，12AC =，16BD =，点P 为边BC 上一点，且P 不与B 、C 重合．过P 作PE AC ^于E ，PF BD ^于F ，连接EF ，则EF 的最小值为( )A ．4B ．4.8C ．5D ．6【解答】解：连接OP，Q 四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，AC BD \^，182BO BD ==，162OC AC ==，10BC \===，PE AC ^Q ，PF BD ^，AC BD ^，\四边形OEPF 是矩形，FE OP \=，Q 当OP BC ^时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP D =´=´，68 4.810OP ´\==，EF \的最小值为4.8，故选：B ．10．如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为6AC =，8BD =，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为( )A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5【解答】解：设AC 与BD 的交点为O ，Q 点P 是BC 边上的一动点，AP BC \^时，AP 有最小值，Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，132AO CO AC ===，142BO DO BD ===，5BC \===，12ABCD S AC BD BC AP =´´=´Q 菱形，24 4.85AP \==，故选：B ．题型二 矩形中的最值问题1．如图，点P 是Rt ABC D 中斜边AC （不与A ，C 重合）上一动点，分别作PM AB ^于点M ，作PN BC ^于点N ，连接BP 、MN ，若6AB =，8BC =，当点P 在斜边AC 上运动时，则MN 的最小值是( )A ．1.5B ．2C ．4.8D ．2.4【解答】解：90ABC Ð=°Q ，6AB =，8BC =，10AC \===，PM AB ^Q ，PN BC ^，90C Ð=°，\四边形BNPM 是矩形，MN BP \=，由垂线段最短可得BP AC ^时，线段MN 的值最小，此时，1122ABC S BC AB AC BP D =×=×，即11861022BP ´´=´×，解得： 4.8BP =，即MN 的最小值是4.8，故选：C ．2．如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°且3AB =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为( )A ．125B ．52C ．3D ．4【解答】解：90BAC Ð=°Q ，且3BA =，4AC =，5BC \==，DM AB ^Q ，DN AC ^，90DMA DNA BAC \Ð=Ð=Ð=°，\四边形DMAN 是矩形，MN AD \=，\当AD BC ^时，AD 的值最小，此时，ABC D 的面积1122AB AC BC AD =´=´，125AB AC AD BC ´\==，MN \的最小值为125；故选：A ．3．如图，90MON Ð=°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是 3+【解答】解：如图：取线段AB 的中点E ，连接OE ，DE ，OD ，6AB =Q ，点E 是AB 的中点，90AOB Ð=°，3AE BE OE \===，Q 四边形ABCD 是矩形，2AD BC \==，90DAB Ð=°，DE \==，OD OE DE +Q …，\当点D ，点E ，点O 共线时，OD 的长度最大．\点D 到点O 的最大距离3OE DE =+=+故答案为：34．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是( )A ．2B ．4CD ．【解答】解：如图：当点F 与点C 重合时，点P 在1P 处，11CP DP =，当点F 与点E 重合时，点P 在2P 处，22EP DP =，12//PP CE \且1212PP CE =．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP FP =．由中位线定理可知：1//PP CE 且112PP CF =．\点P 的运动轨迹是线段12P P ，\当12BP PP ^时，PB 取得最小值．Q 矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 的中点，CBE \D 、ADE D 、1BCP D 为等腰直角三角形，11CP =．145ADE CDE CPB \Ð=Ð=Ð=°，90DEC Ð=°．2190DP P \Ð=°．1245DPP \Ð=°．2190P PB \Ð=°，即112BP PP ^，BP \的最小值为1BP 的长．在等腰直角1BCP 中，11CP BC ==．1BP \=．PB \．故选：C ．5．如图，90MON Ð=°，矩形ABCD 在MON Ð的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是( )A ．2-B ．2+C ．2-D 2+【解答】解：取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON Ð=°Q ，122OE AB \==．在Rt DAE D 中，利用勾股定理可得DE =．在ODE D 中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，\当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为2OE DE +=+．故选：B ．6．如图，点E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且HG 与EF 交于点I ，连接HE 、FG ，若6AB =，5BC =，//EF AD ，//HG AB ，则HE FG +【解答】解：如图所示，连接AI ，CI ，AC ，在矩形ABCD 中，90BAD BCD B Ð=Ð=Ð=°，//AB CD ，//AD BC ，又//EF AD Q ，//HG AB ，\四边形AHIE 和四边形IFCG 为矩形，HE AI \=，FG CI =，HE FG \+的长度即为AI CI +的长度，又AI CI AC +Q …，\当A ，I ，C 三点共线时，AI CI +最小值等于AC 的长度，在Rt ABC D 中，AC ===HE FG \+．7．如图，在ABC D 中，9AC =，12AB =，15BC =，P 为BC 边上一动点，PG AC ^于点G ，PH AB ^于点H ．（1）求证：四边形AGPH 是矩形；（2）在点P 的运动过程中，GH 的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明91215AC AB BC ===Q ，281AC \=，2144AB =，2225BC =，222AC AB BC \+=，90A \Ð=°．PG AC ^Q ，PH AB ^，90AGP AHP \Ð=Ð=°，\四边形AGPH 是矩形；（2）存在．理由如下：连接AP ．Q 四边形AGPH 是矩形，GH AP \=．Q 当AP BC ^时AP 最短．91215AP \´=×．365AP \=．8．如图，菱形EFGH 的顶点E 、G 分别在矩形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在矩形ABCD 的对角线BD 上．（1）求证：BG DE =；（2）若3AB =，4BC =，则菱形EFGH 的面积最大值是 758 ．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC \，FBG HDE \Ð=Ð，Q 四边形EFGH 是菱形，FG EH \=，EFG EHG Ð=Ð，12GFH EFG Ð=Ð，12EHF EHG Ð=Ð，GFH EHG \Ð=Ð，BFG DHE \Ð=Ð，在BFG D 和DHE D 中，FBG HDE BFG DHE FG EH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BFG DHE AAS \D @D ，BG DE \=；（2）解：当点F 与B 重合，点H 与D 重合时，菱形EFGH 的面积最大，如图所示：Q 四边形EFGH 是菱形，EG BD \^，BE DE BG ==，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD \Ð=°，设BE DE x ==，则4AE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理得：2223(4)x x +-=，解得：258x =，257488CG AE \==-=，\菱形EFGH 的面积最大值=矩形ABCD 的面积ABE -D 的面积CDG -D 的面积177********=´-´´´=；故答案为：758．9．如图，在矩形ABCD中，3AB=，6AD=，E是AD上一点，1AE=，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 5 ．【解答】解：过点P作//PM FE交AD于M，如图，FQ为AP的中点，//PM FE，FE\为APMD的中位线，22AM AE\==，2PM EF=，当EF取最小值时，即PM最短，当PM AD^时，PM最短，此时3PM AB==，4MD AD AM=-=Q，在Rt PMDD中，5PD==，\当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，故答案为：5．10．如图，在ABCD中，90BACÐ=°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，90EDFÐ=°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连接AM 、MN ，若6AC =，5AB =，则AM MN -的最大值为 2512 ．【解答】解：如图，连接DM ，DN ，由图可以得到M 的轨迹是一条线段(AD 的垂直平分线的一部分），M 在AN 上的时候最大（此时AM 最大，MN 最小），当M 在AN 上时，如图，设AM x =，则3MN x =-，DM AM x ==，1522DN AB ==，在直角三角形DMN 中，根据勾股定理，得222DM DN MN =+，222(3) 2.5x x \=-+，解得6124x =，11324x \-=，此时611125242412AM MN -=-=．AM MN \-的最大值为2512．故答案为：2512．题型三 正方形中的最值问题1．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ．点H 是CD上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH【解答】解：连接CG ．Q 四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，DA DC \=，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，ADE CDG \Ð=Ð，()ADE CDG SAS \D @D ，45DCG DAE \Ð=Ð=°，\点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 的值最小，223DH CD ==Q ，321CH CD DH \=-=-=，\最小值sin 451CH =°==g ．．2．如图，在正方形ABCD 中，AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD的中点，连接GH ，则GH【解答】解：连接CG ．Q 四边形ABCD 是正方形，四边形DECG 是正方形，DA DC \=，DE DG =，90ADC EDG Ð=Ð=°，45DAC Ð=°，ADE CDG \Ð=Ð，()ADE CDG SAS \D @D ，45DCG DAE \Ð=Ð=°，\点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ^时，GH 的值最小，最小值sin 45CH =°=g ．3．如图，平面内三点A 、B 、C ，5AB =，4AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是( )A ．5B ．9C ．D 【解答】解：如图，将BDA D 绕点D 顺时针旋转90°得到CDM D ，由旋转不变性可知：5AB CM ==，DA DM =，90ADM Ð=°，ADM \D 是等腰直角三角形，AD \=，\当AM 的值最大时，AD 的值最大，AM AC CM +Q …，9AM \…，AM \的最大值为9，AD \．故选：D ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 向终点C 、D 运动，连接AM 、BN ，交于点P ，连接PC ，则PC 长的最小值为( )A ．2B ．2C ．1-D ．【解答】解：由题意得：BM CN =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABM BCN \Ð=Ð=°，4AB BC ==，在ABM D 和BCN D 中，AB BC =，ABM BCN Ð=Ð，MB CN =，()ABM BCN SAS \D @D ，BAM CBN \Ð=Ð，90ABP CBN Ð+Ð=°Q ，90ABP BAM \Ð+Ð=°，90APB \Ð=°，\点p 是以AP 为半径的圆上远动，设圆心为O ，运动路径一条弧 BG ，是这个圆的14，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，Q，AB=4\==，2OP OB由勾股定理得：OC==，\=-=；PC OC OP2故选：A．5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE CF=，连接BF、+的最小值为( )DE，则BF DEA B C D【解答】解：连接AE，如图1，Q四边形ABCD是正方形，ABE BCFÐ=Ð=°．\=，90AB BC又BE CF=，\D@D．ABE BCF SAS()\=．AE BF所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE HE =，所以AE DE DH +=．在Rt ADH D 中，DH ===，BF DE \+．故选：D ．6．如图，在ABC D 中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE D 面积的最大值为 8 ．【解答】解：过点C 作CG BA ^于点G ，作EH AB ^于点H ，作AM BC ^于点M ．5AB AC ==Q ，BC =，BM CM \==，易证AMB CGB D D ∽，\BM AB GB CB=，8GB \=，设BD x =，则8DG x =-，易证()EDH DCG AAS D @D ，8EH DG x \==-，2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x D \==-=--+g ，当4x =时，BDE D 面积的最大值为8．故答案为8．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，4OA =，3OC =，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF ，连接OE ．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是 【解答】解：如图所示：过点D 作DG OA ^，过点E 作HE DG ^．DG OA ^Q ，HE DG ^，90EHD DGA \Ð=Ð=°．90GDA DAG \Ð+Ð=°．Q 四边形ADEF 为正方形，DE AD \=，90HDE GDA Ð+Ð=°．HDE GAD \Ð=Ð．在HED D 和GDA D 中HDE GAD EHD DGA DE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，HED GDA \D @D ．3HE DG \==，HD AG =．设(,3)D a ，则DC a =，4DH AG a ==-．(3,7)E a a \+-．OE \==．当2a =时，OE有最小值，最小值为．故答案为：8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG-．【解答】解：设正方形的中心为O ，可证EF 经过O 点．连接OB ，取OB 中点M ，连接MA ，MG ，则MA ，MG 为定长，可计算得MA =，12MG OB ==AG AM MG -=…，当A ，M ，G 三点共线时，AG 最小=-，9．如图，M 、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM BN =，连接AC 交BN 于点E ，连接DE交AM 于点F ，连接CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是 3- ．【解答】解：如图，在正方形ABCD 中，AD BC CD ==，ADC BCD Ð=Ð，DCE BCE Ð=Ð，在Rt ADM D 和Rt BCN D 中，AD BC AM BN =ìí=î，Rt ADM Rt BCN(HL)\D @D ，DAM CBN \Ð=Ð，在DCE D 和BCE D 中，BC CD DCE BCE CE CE =ìïÐ=Ðíï=î，()DCE BCE SAS \D @D ，CDE CBE\Ð=ÐDAM CDE \Ð=Ð，90ADF CDE ADC Ð+Ð=Ð=°Q ，90DAM ADF \Ð+Ð=°，1809090AFD \Ð=°-°=°，取AD 的中点O ，连接OF 、OC ，则132OF DO AD ===，在Rt ODC D中，OC ==根据三角形的三边关系，OF CF OC +>，\当O 、F 、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值3OC OF =-=．故答案为：3-．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP OA ^，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD =时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为1S ，AOD D 的面积为2S ，求12S S -的最值．【解答】解：（1）OA OP=，理由是：如图1，过O作OG AB^于G，过O作OH BC^于H，Q四边形ABCD是正方形，=，ABO CBO\Ð=Ð，AB BC\=，OG OHQ，Ð=Ð=Ð=°90OGB GBH BHO\四边形OGBH是正方形，BG BHÐ=°，GOH\=，90Q，Ð=Ð=°90AOP GOH\Ð=Ð，AOG POH()\D@D，AGO PHO ASA\=；OA OP^于Q，过O作OH BC（2）如图2，过O作OQ CD^于H，连接OC，90\Ð=°，OQDQ，Ð=°45ODQ\D是等腰直角三角形，ODQQ，OD=\==，1OQ DQÐ=Ð，OD OD=，=Q，ADO CDOAD CD\D@D，ADO CDO SAS()\==，AO OC OPQ，OH PC^PH CH OQ\===，1\=；2PC。
专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。
专题03特殊平行四边形中的最值、定值问题教师版
专题03特殊平行四边形中的最值、定值问题【典型例题】9．（2020·万杰朝阳学校）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4B．4.8C．5.2D．6【解析】如图，连接P A．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴当P A最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，P A最小，∵12AB۰AC=12BC۰AP，即AP=6810AB ACBC⋅⨯==4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选B．2.（2019·余干县第二中学期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD 相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．【答案】解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝12BD＝12×16＝8，由勾股定理得AG6==，所以AC＝2AG＝2×6＝12.所以菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF.解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)发生变化．如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF.即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF.解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．所以OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.【专题训练】一、选择题1．（2020·安徽和县）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题2．（2020·江苏淮阴）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD 面积的最大值是（）A．15B．16C．19D．20【解析】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，设AB =BC =x ，则BE =9−x ， ∵BC 2=BE 2+CE 2，∴x 2=(9−x )2+32，解得x =5，∴四边形ABCD 面积的最大值是：5×3=15.故选A . 3．（2020·江西九江初三零模）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB +PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A ．2B ．3C ．5D 【解析】连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，B 、D 关于AC 对称， ∴PB +PM =PD +PM ，∴当D 、P 、M 共线时，P ′B +P ′M =DM 的值最小，∵CM =13BC =2，∵∠ABC =120°，∴∠DBC =∠ABD =60°，∴△DBC 是等边三角形，∵BC =6，∴CM =2，HM =1，DH =在Rt △DMH 中，DM =，∵CM ∥AD ，∴''P M CM DP AD ==26=13，∴P ′M =14 DM =2．故选A ． 4．（2019·全国单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为（ ）A ．2B ．2√3C ．4D ．2+√32【解析】作点P关于BD的对称点P′,作P′Q⊥CD交BD于K,交CD于Q,∵AB=4,∠A=120°，∴点P′到CD的距离为4×√32=2√3，∴PK+QK的最小值为2√3，故选：B. 5．（2020·浙江锦绣育才教育科技集团有限公司初三二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A B C．D解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB=13S矩形ABCD，∴12AB•h=13AB•AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE，即P A+PB D6．（2020·朝阳市英德中学初三零模）如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定【解析】连接OP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∠ABC＝90°，S△AOD＝14S矩形ABCD，∴OA＝OD＝12AC，∵AB＝15，BC＝20，∴AC 25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14×15×20＝75，∴OA ＝OD ＝252， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12×252（PE +PF ）＝75， ∴PE +PF ＝12．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选B ．7．（2018·常州市武进区星辰实验学校初二一模）如图，矩形ABCD 中，AB =4,BC =6,P 是CD 边上的中点，E 是BC 边上的一动点，M ,N 分别是AE 、PE 的中点，则随着点E 的运动，线段MN 长为（ ）A B ．C ．D ．不确定【解析】连接AP ，∵矩形ABCD 中，AB =DC =4，P 是CD 边上的中点，∴DP =2，∴AP∵M ，N 分别是AE 、PE 的中点，∴MN 是△AEP 的中位线，∴MN =12AP ．故选A ． 8．（2019·沈阳市第八十五中学）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，点P 在AB 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 等于（ ）A ．75B ．125C ．135D ．145【解析】解析：因为AB =3，AD =4，所以AC =5，1522AO AC == ，由图可知1122AOB S AO PE BO PF =⋅+⋅ ，AO =BO ，则()12AOB S AO PE PF =+ ，因此223122.55AOB S PE PF AO ⨯+=== ，故本题应选B . 9．（2020·张家界市民族中学期末）如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 在CD 边上，且DE =2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PD 的最小值是（ ）A ．B ．C ．9D ．解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P ′D =P ′B ，∴P ′D +P ′E =P ′B +P ′E =BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，为BE 的长度．∵直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =9，CE =13CD =3，∴BE A ．10．（2020·河北孟村期末）如图 ，正方形ABCD 的边长为4，M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．【解析】如图，连接BM ∵点B 和点D 关于直线AC 对称，NB =ND则BM 就是DN +MN 的最小值∵正方形ABCD 的边长是4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM 5，故DN +MN 的最小值是5．故选C ．11．（2019·山东罗庄期中）如图，正方形ABCD 的边长为8 ，E 为AB 上一点，若EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BD 于G ，则EF +EG =( )A ．4B ．8C ．82D ．42【解析】解：如图，连接0E ，∵四边形ABCD 是正方形，边长为8，∴AC =BD =,∴OA =OB =,又∵S △ABO =S △AEO +S △EBO ，∴111222OA OB OA EF OB EG ⋅=⋅+⋅即11()22EF EG ⨯=⨯+∴EF +EG =故答案为：D 12．（2020·商丘综合实验中学初中部月考）如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．√3B ．2C ．3D ．2√3【解析】解：连接BD ，与AC 交于点F ．∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD =PB ，∴PD +PE =PB +PE =BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为4，∴AB =2．又∵△ABE 是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选B．13．（2020·江苏海安期中）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE 上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．2C．D．8 3【解析】如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE=S△BCP+S△BEP,即12BE⋅h=12BC⋅PQ+12BE⋅PR，∵BE=BC，∴h=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为4，∴h=4×2=.故答案为.二、填空题14．（2020·陕西陇县期末）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．【解析】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，∵A、C关于BD对称，∴当P与P′重合时，P A′+P′E的值最小，∵菱形ABCD的周长为16，面积为AB=BC=4，AB·CE′=∴CE ′=，由此求出CE 的长=15．（2019·孟津县黄鹿山乡二中期中）如图，菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，∠EAF =60°，则△AEF 的面积最小值是___．【解析】试题解析：当AE ⊥BC 时，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠ACB =60°，∴∠B =∠ACF =60°，∵AD ∥BC ，∴∠AEB =∠EAD =∠EAF +∠F AD =60°+∠F AD ，∠AFC =∠D +∠F AD =60°+∠F AD ，∴∠AEB =∠AFC ，在△ABE 和△ACF 中，{B ACFAEB AFC AB AC∠∠∠∠＝＝＝，∴△ABE ≌△ACF （AAS ），∴AE =AF ，∵∠EAF =60°，∴△AEF 是等边三角形，∵当AE ⊥BC 时，AB =4，∴AE =∴△AEF 的面积最小值=1216．（2018·常州市武进区星辰实验学校）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则线段A ′C 长度的最小值是______．【解析】解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时，过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 为AD 中点，∴2MD =AD =CD =2，∠FDM =60°，∴∠FMD =30°，∴FD =12MD =1， ∴FM =DM ×cos 30°MC =A ′C =MC ﹣MA ′=2．故答案为2．17．（2020·全国课时练习）如图，菱形ABCD 中，AB =4，∠ABC =60°，点E 、F 、G 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则EG +FG 的最小值为________．解：作点E 关于BD 的对称点E ′，连接E ′F 与BD 的交点即为所求的点G ，如图，∵AB =4，∠ABC =60°， ∴点E ′到CD 的距离为4×2EG +FG的最小值为．故答案为： 18．（2019·辽宁昌图初三月考）如图,在边长为2的菱形ABCD 中, ∠ABC ＝120°, E ,F 分别为AD ,CD 上的动点,且AE +CF =2,则线段EF 长的最小值是__________．【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是边长为2的菱形,120ABC ∠=， ∴,ABD CBD 都是边长为2的正三角形，2AE CF +=，2CF AE AD AE DE ∴=-=-=， 又2,60BD BC BDE C ==∠=∠=， 在BDE 和BCF 中，{DE DFBDE C BD BC =∠=∠=，()SAS BDE BCF ≌，∴ EBD FBC ∴∠=∠， EBD DBF FBC DBF ∴∠+∠=∠+∠，60EBF DBC ∴∠=∠=，又BE BF =， BEF ∴是正三角形，EF BE BF ∴==，当,BE AD ⊥即E 为AD 的中点时,BEEF BE =，∴EF . 19．（2020·木兰县吉兴乡吉兴中学期末）如图，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_____．【解析】∵在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，∴AB 2+AC 2=BC 2，即∠BAC =90°.又PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF =AP .∵M 是EF 的中点，∴AM =12EF =12AP . 因为AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即2.4，∴AM 的最小值是1.2.20．（2020·河南洛宁期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点且BE ＝1，P 为对角线AC 上的一动点，连接PB ，PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是____．【解析】连接DE 于AC 交于点P ′，连接BP ′，则此时△BP ′E 的周长就是△PBE 周长的最小值， ∵BE =1，BC =CD =4，∴CE =3，DE =5，∴BP ′+P ′E =DE =5，∴△PBE 周长的最小值是5+1=6， 故答案为6．21．（2020·山东历下期中）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．【解析】试题解析：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB6，∴EF的最大值为322．（2020·山东邹城初三其他）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_____．解：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S BEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×3 2﹣12×1×32=92，故答案为92．三、解答题23．（2018·山东青岛经开区实验初级中学初三单元测试）如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．(1)对角线AC的长是________，菱形ABCD的面积是________；(2)如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；(3)如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．解：（1）如图，连接AC与BD相交于点G，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG=12BD=12×8=4，由勾股定理得，AG=3，∴AC=2AG=2×3=6，菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×6×8=24；故答案为6；24；（2）如图1，连接AO，则S△ABD=S△ABO+S△ADO，∴12BD•AG=12AB•OE+12AD•OF，即12×8×3=12×5•OE+12×5•OF，解得OE+OF=4.8是定值，不变；（3）如图2，连接AO，则S△ABD=S△ABO-S△ADO，∴12BD•AG=12AB•OE-12AD•OF，即12×8×3=12×5•OE-12×5•OF，解得OE-OF=4.8，是定值，不变，∴OE+OF的值变化，OE、OF之间的数量关系为：OE-OF=4.8．24．（2019·广东期中）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明∵AC=9AB=12BC=15，∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，∴AC2+AB2=BC2，∴∠A=90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH=AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12=15•AP．∴AP=365．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．25．（2019·五华县河口中学初三月考）在矩形ABCD中，已知AD=4，AB=3，点P是直线AD上的一点，PE⊥AC，PF⊥BD，E，F分别是垂足，AG⊥BD与点G，(1) 如图①点P在线段AD上，求PE+PF的值； (2) 如图②点P在直线AD上，求PE-PF的值.【答案】解：(1)如图③，过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∠BAD＝90°.在Rt△ABD中，AD=4，AB=3，由勾股定理得BD5==.∵AG⊥BD，∴S△ABD=12AB·AD=12BD·AG∴AB·AD=BD·AG∴3×4=5AG，解得AG=125.∵S△AOD=S△AOP+S△POD，∴12OD·AG=12OA·PE +12OD·PF.∵OA=OD，∴AG=PE+PF.∴PE+PF= AG=125；(2)如图④，过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，∵S△AOD=S△AOP-S△POD，∴12OD·AG=12OA·PE-12OD·PF，∵OA=OD，∴AG=PE-PF，∴PE-PF= AG=125.。
特殊的平行四边形中动点及最值问题
特殊的平行四边形中动点及最值问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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中考复习特殊平行四边形中最小值问题
中考复习:特殊平行四边形中最小值问题1．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B ＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．D．2．（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC ＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．3B．6C．8D．10 3．（2022秋•河西区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A．B．C．D．4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．26 5．（2021秋•保定期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD 上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为4；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（）A．①②③④B．①②④⑤C．②④⑤D．①②④6．（2022秋•横县期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD 上的动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．B．1.5C．2D．6 7．（2022秋•西山区校级期中）如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝2，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（）A．B．5C．D．8．（2022秋•启东市期中）如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（）A．4﹣1B．4C．4D．3 9．（2022秋•常州期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（）A．1B．2C．D．10．（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C 重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN 的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3B．3.6C．3.75D．411．（2022春•韶关期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．8B．4C．4D．4 12．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．13．（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（）A．2B．1C．D．14．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2B．C．D．4 15．（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．16．（2023•五华县校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．17．（2022秋•潜江期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长度的最小值为．18．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA ＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．20．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G 分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．22．（2022秋•任城区期末）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是．23．（2022秋•西安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．24．（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N 是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．（培优特训）专项9.6 特殊平行四边形中最小值问题1．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值为，故选：D．2．（2022秋•惠济区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC ＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A．3B．6C．8D．10【答案】A【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC 时，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，∴AB＝＝3，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝1.5，∴DE＝2OD＝3．故选：A．3．（2022秋•河西区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故选：B．4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．26【答案】D【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE，则BE＝2AB＝24，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE＝＝＝26，∴PC+PB的最小值为26，即PC+QD的最小值为26，故选：D．5．（2021秋•保定期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD 上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为4；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（）A．①②③④B．①②④⑤C．②④⑤D．①②④【答案】B【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∠BCD＝90°，∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴∠BCD＝∠PFD，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝4，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠P AD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误；④连接PC，∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正确；⑤由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×2＝时，EF的最小值等于，故⑤正确；故选：B．6．（2022秋•横县期中）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD 上的动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．B．1.5C．2D．6【答案】B【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG⊥AD时，EG最短，即DF最短．∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝1.5．故选：B．7．（2022秋•西山区校级期中）如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝2，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（）A．B．5C．D．【答案】A【解答】解：过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∵GM⊥AB，GN⊥AD，∴∠FMG＝∠DNG＝90°，∴四边形AMGN是矩形，∴MG＝AN，AM＝NG，∠A＝∠FMG，∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，∴EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EF A+∠GFM＝90°，∵∠GFM+∠FGM＝90°，∴∠EF A＝∠FGM，在△AEF和△MFC中，，∴△AEF≌△MFG（AAS），∴AE＝MF，AF＝MG，∵AE＝2，∴MF＝2，设AF＝x（0≤x≤5），则MG＝x，AM＝x+2，AN＝MG＝x，∴NG＝x+2，∵AB＝5，∴DN＝5﹣x，∴DG＝＝＝，∴当x＝时，DG的最小值为，故选：A．8．（2022秋•启东市期中）如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（）A．4﹣1B．4C．4D．3【答案】A【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP＝AP′，∠P AP′＝90°，∴∠P AB+∠BAP′＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠P AB＝∠DAP′，∴△P AB≌△P′AD（SAS），∴P′D＝PB＝1，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝4，∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，即BP′长度的最小值为（4﹣1）．故选：A．9．（2022秋•常州期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（）A．1B．2C．D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠BNC＝90°，又BN＝AM，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠ABM＝∠BCN，∴∠ABM+∠BNC＝90°，∴∠BPC＝∠BPN＝90°，∴点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，如图所示，连接AO1交弧于点P，此时，AP的值最小，在Rt△ABO1中，，由勾股定理得，，∴，故选：C．10．（2022春•江夏区校级月考）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C 重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN 的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3B．3.6C．3.75D．4【答案】B【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝7.2，∴MN＝7.2，∴BO＝MN＝3.6，故选：B．11．（2022春•韶关期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．8B．4C．4D．4【答案】D【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝＝＝4，∴BF+DE最小值为4．故选：D．12．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．【答案】B【解答】解：∵点E是BC边上的一动点，∴AE⊥BC时，AE有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝＝＝5，＝×AC×BD＝BC×AE，∵S菱形ABCD∴AE＝，故AE长的最小值为，故选：B．13．（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（）A．2B．1C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF＝OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，∴OP＝BC，∵AC＝2，则BC＝2，∴OP＝1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．14．（2022秋•惠阳区校级期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（）A．2B．C．D．4【答案】D【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，，∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴点N在与AN成30°的直线上运动，∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，∴AF'＝AN，∴+1＝（AE+AE），∴AE＝2，∴AC＝4，故选：D．15．（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2C．3D．【答案】C【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H，∴∠GHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴∠B＝∠GHF＝90°，由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠GFH，∴△EBF≌△FHG（AAS），∴BF＝GH＝1，∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3，∴DG的最小值为3，故选：C．16．（2023•五华县校级开学）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为．【答案】9.6【解答】解：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM，在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，∴MB＝BC＝6，∴AM＝＝＝8，∵△ABC的面积＝AC•BH＝BC•AM，∴10BH＝12×8，∴BH＝9.6，∵四边形BEDH是矩形，∴DE＝BH＝9.6．∴DE长的最小值是9.6．故答案为：9.6．17．（2022秋•潜江期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长度的最小值为．【答案】【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，如图，∵∠EDF＝∠EDG+∠GDF＝90°，∠GDM＝∠GDF+∠FDM＝90°，∴∠EDG＝∠FDM，在△EDG和△FDM中，，∴△EDG≌△FDM（SAS），∴MF＝EG＝2，∵MH⊥CD，∴∠HDM+∠DMH＝90°，∵∠GDC+∠HDM＝90°，∴∠GDC＝∠DMH，在△DGC和△MDH中，，∴△DGC≌DMH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为：，故答案为：．18．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．【答案】【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等边三角形，∴∠BAF＝∠P AQ＝60°，BA＝F A，P A＝QA，∴∠BAP＝∠F AQ，在△BAP和△F AQ中，，∴△BAP≌△F AQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠F AE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，又∵AB＝AF＝3，∴AF＝EF，AE＝2EF，∴EF＝，AE＝2，∴点Q在射线FE上运动，∵AD＝BC＝3，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴EH＝DE＝，DH＝EH＝，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故答案为：．19．（2022秋•绿园区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA ＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解答】解：连接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝，∴，∴MN的最小值为；故答案为：．20．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【答案】①60°；②5．【解答】解：如图所示，以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，∵△BDE，△ABC均为等边三角形，∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD，∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3，∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值，∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5，∴AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°．故答案为：①60°；②5．21．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．【答案】﹣2【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K，∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，∴△AED≌△KFG（HL），∴∠ADE＝∠KFG，又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，∴∠DFM+∠ADE＝90°，∴∠FMD＝90°，∴MH＝＝2，所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，∵MC≥CH﹣MH当M落在CH上时，取到等号即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝﹣2．22．（2022秋•任城区期末）如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是．【答案】4+2【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠DAE＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD＝BE，∴△BED的周长＝BE+BD+ED＝CD+BD+ED＝BC+DE，∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值，∵AD⊥BC，BC＝4，∴BD＝CD＝2，∴AD＝＝2，∴△BED的周长最小值是BC+DE＝4+2，故答案为：4+2．23．（2022秋•西安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．【答案】4【解答】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB，∵点E是AB中点，点H是CD中点，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，∴四边形AECH是平行四边形，∴AH∥CE，∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，∴PH∥EC，∴点P在AH上，∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝4，∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值为4，故答案为4．24．（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N 是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．【答案】【解答】解：连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB＝＝＝10，＝＝，∵S△ABC∴CM＝，∴DE＝＝，故答案为：．。
【初中数学】特殊平行四边形中的最值问题+课件+北师大版数学九年级上册
⊥ OB ，∴∠ AOB ＝90°.∴∠ BON ＋∠ AON ＝90°.∴∠ AOM ＝
∠＝∠，
∠ BON . 在△ AOM 和△ BON 中， ＝，
∠＝∠，
∴△ AOM ≌△ BON （ASA）.
∴ BE ＝ BG ，∠ ABE ＝∠ CBG .
∴∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝∠ EBC ＋
∠ ABE ＝90°.
∵∠ EBF ＝45°，
∴∠ GBF ＝∠ EBF ＝45°.
答图
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数学 九年级上册 BS版
易证得△ EBF ≌△ GBF SAS .
∵ BH ⊥ EF ， BC ⊥ CD ，
∴ PD ＋ PE 的最小值为2 10 .
【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮
马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题.
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数学 九年级上册 BS版
1. 如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E 是 BC 的中点，点 P 是
AC 边上的一个动点，连接 BP ， EP ，则 BP ＋ EP 的最小值
解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 PB .
1
∵ 菱形 ＝ AC ·BD ，
2
1
∴24＝ ×12·BD .
2
∴ BD ＝4.
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数学 九年级上册 BS版
∵四边形 ABCD 是菱形，
1
1
∴ OA ＝ AC ＝6， OB ＝ BD ＝2， AC ⊥ BD .
2
2
∴ AB ＝ 62 ＋22 ＝2 10 .
∴ BH ＝ BC ＝4.
12特殊平行四边形的最值问题(1)
12特殊平行四边形的最值问题(1) 特殊平行四边形的最值问题知识回顾：1.两点之间的线段最短。
2.点到直线的距离最短是垂线段。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
题讲练：类型一：根据两点之间线段最短求最值1.在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点。
求PB+PE的最小值。
2.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小。
求这个最小值。
3.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=6.求点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值。
类型二：根据垂线段最短求最值4.在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，点E是BC边上一点，ED⊥XXX于D，DF⊥AC于点F。
求线段EF的最小值。
5.在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB。
1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；2）求EF的最小值。
类型三：根据三角形三边关系求最值6.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q，M是AD上动点，MN平行于XXX于N。
求PM+NQ的最小值。
7.在矩形ABCD中，AB=9，BC=6，∠MON=90°，矩形的顶点C、D分别在边ON、OM上滑动。
在滑动过程中，点A到点O的最大距离为9.求矩形的面积。
8.在正方形ABCD中，边长为4，E、F分别是边AD、DC上两个动点，满足AE=DF，连接AF，BE，它们相交于点H，连接DH。
求线段DH长度的最小值。
巩固练：1.在菱形ABCD中，AC=2，P是对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点。
求MP+PN的最小值。
2.在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点。
平行四边形最值问题及解决方法
平行四边形最值问题及解决方法一、边长相关的最值问题。
题目1：在平行四边形ABCD中，AB = 5，AD = 3，对角线AC和BD相交于点O，点E 是边AD上的动点，求OE的最大值。
解析：因为平行四边形的对角线互相平分，所以AO=(1)/(2)AC。
在AOD中，OE是AOD的中线，根据三角形中线的性质，OE<(1)/(2)AD。
当E点与D点重合时，OE取得最大值，此时OE=(1)/(2)AD=(3)/(2)。
题目2：已知平行四边形ABCD中，AD = 6，∠ DAB=60^∘，E是AB上的动点，连接DE，求DE的最小值。
解析：过D作DF⊥ AB于F。
在Rt ADF中，∠ DAB = 60^∘，AD=6，则DF =AD×sin60^∘=6×(√(3))/(2)=3√(3)。
因为垂线段最短，所以当E点与F点重合时，DE取得最小值3√(3)。
题目3：平行四边形ABCD中，AB = 8，BC=10，P是平行四边形ABCD内一点，求PA + PC的最小值。
解析：利用平行四边形的对称性，连接AC、BD相交于点O，PA + PC≥slant AC。
根据平行四边形的性质，AC=√(AB^2)+BC^{2- 2AB× BC×cos∠ ABC}。
因为平行四边形ABCD，AB = 8，BC = 10，设∠ ABC=θAC=√(64 + 100-2×8×10×cosθ)根据平行四边形对角线互相平分，PA+PC的最小值就是AC的长。
由平行四边形性质可知cos∠ ABC=cos∠ BAD在ABC中，AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(64 + 100-160×cos∠ ABC)当cos∠ ABC = 1时（∠ ABC = 0^∘，这种极限情况方便计算最小值）AC=√(64+100 - 160)=2实际上，根据平行四边形性质计算AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(164-160cos∠ ABC)，AC的最小值为2二、面积相关的最值问题。
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培优专题(四) 特殊平行四边形的最值问题
【例】如图，正方形ABCD的边长为10 cm，E是AB上一点，BE＝4 cm，P是对角线AC上一动点，求PB ＋PE的最小值.
1．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，求EP＋FP的最小值
2．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，求这个最小值
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过点M作MD⊥AC于点D，
过点M作ME⊥CB于点E，求线段DE的最小值．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上，且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点(均
不与顶点重合)，求四边形AEPQ的周长的最小值为．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．。