垂线段最短解决最值问题2017
垂线段最短求最值专题
垂线段最短求最值专题【专题说明】初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值。
通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为M′N．类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型最值问题.问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点 A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？解题思路：过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【解答】解：如图所示：∵AP⊥l于点P，∴AP是点A到直线l的最短距离．【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．（1）线段BP的最小值为；（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．【答案】（1）2（2）【解答】（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝4，∴BP最小＝AB•sin30°＝2；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：∵四边形APBQ是平行四边形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，∴OP＝AO•sin30°＝，∴PQ的最小值为．故答案为：．【变式1-2】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【答案】【解答】解：设∠C＝n°，∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，连接CQ，CP，如图，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴当CP最小时，PQ最小，∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，∴PQ的最小值为＝．故答案为：．【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．【答案】【解答】解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH•AC＝AB•CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ为⊙O的直径，∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，∴OD为⊙O的半径，∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），∴OB+OD的最小值为BH的长，即⊙O的直径的最小值为，∴线段PQ的最小值为．故答案为：．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．【答案】4【解答】解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD是∠ACB的平分线，∴点N关于CD的对称N′在AC上，过点B作BH⊥AC于点H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6•BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值为4．故答案为：4．【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC 于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．【答案】【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四边形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值为．故答案为：．【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E 是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为．【答案】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连接MN′，过点A作AH⊥CD于点H．∵菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝CD•AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值为．故答案为：．【变式2-3】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【答案】4【解答】解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴点C坐标为2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4），∵BC是AA'的垂直平分线，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度，故答案为：4．【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．【解答】解：如图，在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，点P即为所求的位置，理由如下：∵BE⊥AN，∴∠AEP＝90°，∴sin∠NAP′＝＝k，∴PE＝kAP，∵BE⊥AN，∴点B到AN的最短线段为BE，∵BE＝PE+BP，即BE＝kAP+BP，∴此时，kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为．【答案】3【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB•sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF•sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，故答案为：3．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD 的最小值为．【答案】10【解答】解：延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE，过点D作DF⊥CE，连接AF，∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，∴△AEC为等边三角形，DF＝CD，∴AD+CD＝AD+DF≥AF，当A、D、F三点依次在同一直线上，且AF⊥BC时，AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC•sin60°＝5的值最小，∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值为5＝10．故答案为：10．【变式3-3】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO 的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，AB＝10∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，∴OA＝OC＝5，∵E是OA的中点，∴AE＝OE＝，∴CE＝，∵FH＝BF•sin45°＝BF，∴EF+BF＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+BF＝EH＝CE•sin45°＝的值最小，故答案为：．。
(完整版)线段最值(垂线段最短)
中考数学压轴题突破线段最值探索（斜大于直思想）一、相关知识点:1、点到直线的距离：（1）.通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（2）.经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.即我们今天所要讲的内容“斜大于直”问题。
“斜大于直”问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题，常见的有:1.单线段的最值;2.线段和的最小;3.系数不为1的线段和的最值（胡不归问题）.二、例题精选基本模型：点P到直线MN的最短距离为线段PA的长.变式1：“隐点型”----（对称隐藏定点型）变式2：“隐点型”----（运动轨迹隐藏定点型）反思：①本题的关键在于确定△PEF的外心，利用等边三角形的特殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心.②发现外心为一定点，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.变式3：“隐点型”----（运动轨迹隐藏定点型）反思：①看起来是“点到点”实质为“点到线”.②本题关键在于发现△ABQ为固定的直角三角形.③由矩形对角线相等将MN转化为PQ，则转化为求定点Q到直线的最短距离问题，即垂线段最短（斜大于直）.变式4：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型）变式5：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型）反思：①找到点T，N的轨迹是本题的首要任务，直线型轨迹的寻找常用方法都是定点定角寻找，即找到过某一定点的定角，点的轨迹即为直线.本题中∠PAN，∠TAC 均为定值，又经过定点A，则轨迹不难发现为是直线.②再利用“斜大于直”思想，迅速解答此题.变式6：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型）变式7：“隐线型”----（运动隐藏直线轨迹型----胡不归问题型）总结：由上述题组可以发现“斜大于直”问题考察题型较为广泛，可以是单一线段最值，也可是多条线段最值，还能是含系数的线段和的最值问题，不管是其中那种类型，都可以利用转化思想对问题进行巧妙处理。
初中数学一轮复习培优微课 最值问题——垂线段最短(含胡不归模型) 模型探究系列
模型2 胡不归模型
问题背景
构图
点 为直线 上一定点,点 为直线 外一定点,点 为直线 上一动点,当 的值最小时，确定点 的位置． .
①作角：以点 为顶点作 ,使 ;②作垂线：过点 作 于点 ，交直线 于点 ,此时 的值最小，最小值为 的长． .
续表
类别
问题背景
构图
一定两动
定点在角的边上
定点 、动点 在 上，动点 在 上，当 的值最小时，确定点 ， 的位置. .
作点 关于 的对称点 ,过点 作 于点 ，交 于点 ，点 , 即为所求. .
续表
类别
问题背景
构图
一定两动
模型1 一定一动或一定两动
例 在 中， ， ， 是角平分线，点 为 的中点， .
（1） 如图（1），若点 ， 分别为线段 ， 上的动点.
图（1）
① 连接 ，则 的最小值为___;
2
② 连接 ， ，则 的最小值为___.
2
（2） 如图（2），若点 ， 分别为线段 ， 上的动点，连接 ， .
过点 作 于点 ，点 即为所求. .
类别
问题背景
构图
一定两动
定点在角的外侧
定点 在 的外侧，动点 ， 分别在 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 上，当 的值最小时，确定点 ， 的位置. .
过点 作 于点 ，交 于点 ，点 ， 即为所求. .
定点在角的内部
点 在 的内部，在 上求作一点 ，在 上求作一点 ，使 的值最小. .
作点 关于 的对称点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，此时 的值最小，最小值即为 的长.
续表
强化训练
1.如图， 中， ,利用尺规在 , 上分别截取 , ,使 ;分别以点 ， 为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点G.若 , 为 上一动点，则 的最小值为( )
垂线段最短的应用
垂线段最短的应⽤⼀、定理:直线外⼀点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.证明如下：作点P关于直线AB的对称点P'，连接CP'，DP'.易知CP=CP'，DP=DP'根据连点之间线段最短可得，PP'<><>所以PD<>⼆、定理的应⽤（⼀）求线段最值问题中的应⽤1、如图，△ABC是等边三⾓形，边长为3，点E是对称轴AD上⼀点，将点E绕点C逆时针旋转60°得到点F.求线段DF的最⼩值.解：作AC的中点G，连接EG.易证△CDF≌△CGE.所以DF=GE.要使DF有最⼩值，只需GE取最⼩值.根据垂线段最短可得，当GE⊥AD时，GE最⼩.此时GE=1/2AG=3/2.所以DF的最⼩值为3/2.反思：本题实质上就是结合题中给出的等边三⾓形，构造了⼀对⼿拉⼿等边三⾓形。
当然也可以从捆绑旋转的⾓度出发，先找到点F的运动轨迹，再构造全等三⾓形或直接建⽴坐标系求出轨迹的⽅程，运⽤垂线段最短加以解决.连接EP、EF，求EP+EF的最⼩值.解：将△ABC沿AC折叠，点B落在点N处，AN交CD于点G,点P落在CN上的点Q处.连接EQ，则EP=EQ.连接FQ，过点Q作QM⊥AB于点M.则EP+EF=EQ+EF>=QF>=QM.易证△ADG≌△CNG.设DG=x,则AG=4-x.在Rt△ADG中，根据勾股定理可得,AG^2=DG^2+AD^2，即(4-x)^2=x^2+3^2解得，x=7/8即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50.所以EP+EF的最⼩值为171/50.3、如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是BC的中点，点E为AB上⼀动点．点P沿DE--EA折线运动，在DE、EA上速度分别是每秒1和5/3个单位．设运动时间为t秒，试求t的最⼩值.分析：由题可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA.这是⼀个典型的胡不归问题.以A为顶点在AE的上⽅构造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5.利⽤垂线段最短即可解决.解：过点A作BC的平⾏线AG，则sin∠EAG=sin∠B=3/5.分别过点E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂⾜分别是点M、N.易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA当点E和点P重合时取等号.此时DN=6所以t的最⼩值为6.（⼆）求线段取值范围中的应⽤4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点D是BC边上⼀个动点，连接AD，过点D 作DE⊥AD交AB于点E.求线段AE的最⼩值.简析：作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.设AE=x,⽤含x的代数式表⽰出GF和DF，由垂线段最短可得，GF<>解：如图，作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.5、如图，△ABC是等边三⾓形，AB=4，点D，E分别在AB，AC上，（AD＜AE），将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处.求线段AD的最⼩值.上找到⼀点Q，使∠BQP=90°，求x的取值范围.。
2017-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)
专题最值问题—— 1（几何模型）一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况：1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
2.归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
3.利用轴对称知识（结合平移）。
4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。
”性质。
5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。
二、基础知识模型（一）“将军饮马”问题1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？2.如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短?图1 图23. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
（二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册）1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直）练习:1. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.1题图2题图2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________.3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。
变式1:如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0）.把点A 和点B 向左平移 m 个单位，得到点A '和点B ',使C B C A '+'最短，求m 的值.变式2:如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），点D 的坐标为（-4，0）. 把点A 和点B 向左或向右平移m 个单位，得到点A '和点B ',使四边形A 'B 'CD 的周长最短，求m 的值.中考真题练习2.如图（1），抛物线3518532+-=x x y 和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。
利用垂线段最短求解几何最值问题
利用垂线段最短求解几何最值问题
垂线段被定义为从一点开始链接另一点，以一条把两点分开的直线段为基础。
垂线段经常被用来解决几何最值问题，其中一种最值拥有独特的特性，即在两点中总是能够找到最短的垂线段。
然而，这种方法并不总是对每一个问题都有用。
在给定一组几何形状时，垂线段法可以帮助求解几何最值问题，而无需进行复
杂的计算。
例如，许多几何形状的最长垂线段长度可以很容易地被求解。
比如，给定一个三角形，可以确定三角形最长垂线段长度取决于最长边和与该边成夹角的最长垂线段。
使用垂线段法，就可以容易地计算出该垂线段的最短长度。
此外，垂线段法还可以帮助求解另一类几何最值问题，即求解两点之间的最短
距离。
例如，求解一个圆的最近距离，即求解两个圆之间的最短距离。
一般来说，最近距离可以取决于两个圆心之间的距离以及这两个圆的半径。
通过使用垂线段法，我们可以容易地求解出两个圆之间的最短距离。
综上所述，垂线段法可以帮助我们求解各种几何最值问题，有效地减少计算量，从而提高处理效率。
这种有效的方法，可以说是对几何最值问题的有益尝试，是一种可靠的解决方案。
中考数学题型：两定一动求PA+PB、PA-PB最值的方法技巧
中考题型：两定一动求线段最值即“PA±PB”型◆解决此类题型必备知识点：（1）两点之间线段最短（如：从A点走到B点，怎么走路程最短？）（2）点到直线上各点的距离，垂线段最短（3）两点关于直线对称，则这两点连成的线段被这条直线垂直平分（如：Q与Q’关于直线L对称，那么L是QQ’的垂直平分线）（4）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（5）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边●类型1：已知定点A、B，直线上的动点P，求PA+PB的最小值✧（1）定点A、B位于直线的两侧，P是L上的动点，求PA+PB的最小值如图，连接AB，点P与AB的位置关系有两种：①点P与AB不共线时，即存在三角形APB如P0位置，连接P0A、P0B在三角形AP0B中，据三边关系有：P0A+P0B>AB②点P与AB共线时，则有PA+PB=AB综合①②的讨论：PA+PB≥AB所以PA+PB的最小值为AB，此时的点P是AB与直线L的交点结论1：定点A、B在直线的两侧，当P为AB与L的交点时，PA+PB有最小值为AB✧（2）定点A、B位于直线的同一侧，P是L上的动点，求PA+PB的最小值求解思路：作其一定点关于直线L的对称点，将问题转化成两定点在直线的两侧的情形如：作A关于直线L的对称点A’，根据对称的性质，PA=PA’，将问题转化成求PA’+PB的最小值，此时A’与B位于直线L的两侧，为（1）中的情形，故当P是A’B与直线L的交点时，PA’+PB有最小值A’B，即PA+PB的最小值（若作B关于直线L的对称点B’同样的道理，最后P点是AB’与直线L的交点）结论2：定点A、B在直线的同侧，作A关于L的对称点A’，当P为A’B与L的交点时，PA+PB=PA’+PB有最小值，最小值等于A’B（或作B关于L的对称点B’，当P为AB’与L的交点时，PA+PB=PA+PB’有最小值，最小值等于AB’）✓小结：解题抓两个关键点1、找准对称轴。
初三几何模型应用之线段和的最小值2017
初三几何模型应用之线段和的最小值2017.4.15几何模型——线段和的最小值求法线段和的最小值可以通过代数法模型——构造函数（二次函数）模型求最值方法，也可以用几何模型求解，如“将军饮马”模型、“胡不归模型”、“阿氏圆”、“费马点”等。
几何模型的理论基础包括：三角形两边之和大于第三边，垂线段最短，两点之间线段最短，圆内（或外）一点与圆上一动点的最短（或长）的连线段必过圆心，“折”大于“直”，“斜”大于“直”等思想方法。
一、“将军饮马”模型将军饮马”模型指在一条直线上选择两个点A和B，将这条直线看作河岸，再取A（或B）关于直线的对称点A′（或B′），连接A′B（或B′A），并与直线交于一点P，则点P就是将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。
二、题目求解1、在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴与y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。
1）若E为边OA上的一个动点，当△XXX的周长最小时，求点E的坐标。
2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。
2、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB的值为（）。
3、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3.动点P满足△PAB/S=1，离之和PA+PB的最小值为（）。
4、如图8，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD 翻折，使点A落在BC边上，记为点E。
1）求DE所在直线的解析式。
2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P 的坐标。
利用垂线段最短解决最值问题
利用垂线段最短解决最值问题模型一垂线段最短如图，已知直线l 外一定点A 和直线l 上一动点B，求A、B 之间距离的最小值 .通常过点A 作直线l 的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【典型例题】1.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是AB 上任意一点．若AD＝5，AC＝4，则DE 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A .当DE⊥AB 时，DE 最小，此时DE = CD，在Rt△ACD 中，根据勾股定理易得CD = 3 .2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC 边上高AD＝4，若点P 在边AC 上( 不含端点) 移动，则BP 长的最小值为________．答案：24/5 .如图，延长CA，过点B 作BP'⊥CA 于点P'，此时BP' 的长最小 .在等腰△ABC 中根据“三线合一”的性质可知BD = CD = 3 ,S△ABC = 1/2 ×BP' ×AC = 1/2 ×AD ×BC，可得BP' = 24/5 . （等积求距）3. 如图，点A 坐标为(－2，0)，点B 在直线y＝x－4 上运动，当线段AB 最短时，点B 坐标为________．答案：（1，-3）.如图，当AB'⊥直线y＝x－4 时，此时线段AB 最短 .设直线AB' 的解析式为y = kx + b （k ≠0）,∵AB'⊥BB'，K BB' = 1，（KBB' 为直线y＝x－4 的斜率）∴K AB' ×K BB' = - 1 ，（两条直线垂直斜率乘积为-1）∴K AB' = - 1 ，即k = -1 ,∴直线AB' 的解析式为y = -x + b ,∵点A（-2,0）在直线AB' 上，∴0 = 2 + b , 解得b = -2 ,∴直线AB' 的解析式为y = -x - 2 .联立直线y = x - 4 , 解方程可得B'（1，-3）.模型二胡不归问题“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型最值问题 .问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？解题思路：本题的关键在于如何确定“k·PB ”的大小 .过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .【典型例题】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M 为对角线BD ( 不与点B 重合) 上任意一点，则AM＋1/2 BM 的最小值为________．答案：3√3 .如图，过A 点作AE⊥BC 于点E，交AB 于点M' ，则AM＋1/2 BM 的最小值为AE .在Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°，∴AE = AB ▪sin∠ABC = 6 ×√3 / 2 = 3√3 .拓展应用：对于求“m·PA＋k·PB”的最值，若m > k ≥1，可转化为“m ( PA + k/m ·PB ) ”的最值, 此时0< k/m < 1.(1) 本题若要求“2AM＋BM ”的最小值，你会吗？请求解．答案：6√3 .(2) 本题若要求“AM＋BM＋CM”的最小值，你会吗？请求解．答案：6√3 .AM＋BM＋CM 最小时，此时点M 为△ABC 的“费马点”，所以AM＋BM＋CM = BD = 2 ×√3 / 2 ×6 = 6√3 .2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2 + bx＋c 的图象经过点A(－1，0)、B(0，－√3 )、C(2，0)，其对称轴与x 轴交于点D .若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，则1/2 PB＋PD 的最小值为_______．答案：3√3 / 4 .如图1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值为DE，则∠PBE = 30°，可解得DE = 3√3 / 4 .。
中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践
5. 请你在图①中过点P作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；在图②中过点M
作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线(要求其中一条直线必
须过点 N)四等分正方形ABCD的面积．
解：作图如解图①，直线PO为所要求作的直线；
第5题图
作图如解图②，直线MO为所要求作的直线；作
图如解图③，直线NO，QO为所要求作的直线．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是
AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点， 则PM－PO的最大值为___2_13____．
(4)异侧线段差最大值问题
第4题图
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决思路：将异侧点转化为同侧即可解决．
，2∠DAB＝45°，则△OEF
(2)利用垂线段最短及轴对称性质
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 PMN转化在同一条直线上，想到作点P 关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA.利用垂线段最 短求解．
12. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作 等边△PBC，则AP的值为___6_____．
第12题图
第13题图
13. 如图，在△ABE中，BE＝，AE＝2，以AB为边向三角形外作正方形ABCD， 连接DE.则DE的最大值为___3___2__．
(2)费马点问题
2．求线段AP的最大值问题
当上图中AP取最大值时，利用旋转可得AP＝A′P，AB＝A′C＝a，且AC＝b，因 为等腰△APA′中，∠APA′＝α为定值，所以AA′取最大值时，AP也取得最大值， 而AA′≤AC＋A′C＝AB＋AC＝a＋b，所以A、C、A′三点共线时，AA′取得最大 值为a＋b，再在等腰△APA′中计算AP最大值即可．
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初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决，综合近几年中考常见的同类考题，经常用到的解决方法主要有以下4种：1、垂线段最短2、利用轴对称3、构造三角形，巧用三角形三边关系4、巧用辅助圆5、构造函数关系。
对每类问题的解决方法及规律，通过以下例题说明。
一、利用垂线段最短解决问题
1、如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是
二、轴对称 P Q
A'C D
A'B'C
B
P'
P'
P
B'A
B
P
A B P Q A
B
1、（八年级上册数学课本90页第18题）如图,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问：
（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?（注：桥必须与街道垂直）
（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等?
三、构造三角形，巧用三角形三边关系
1、如图，正方形ABCD中，AB=8，O为AB的中点，P为正方形ABCD外一动点，且AP⊥CP，则线段OP的最大值为（）A.4+4 B.2 C.4 D.6
第1题第2题
2、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．
3、如图，E、F分别是边长为2的正方形ABCD边AD、AB上的两个动点，满足AE+AF=2，BE交CF于点P，在点E、F运动过程中，PA的最小值是多少？
四、巧用辅助圆
1、如图，△ABC中，∠ABC= 90°，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过D作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为________
五、构造函数关系
1、如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是____________.
答案
一、利用垂线段最短解决问题
解答：法1：连接BF
法2：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD=12BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
CE＝CF∠DCF＝∠GCECD＝CG，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×6=3，
∴EG=12AG=12×3=1.5，
∴DF=1.5．
二、轴对称
三、构造三角形，巧用三角形三边关系1、
连接AC、BD相交于Q，连接PQ，∵ABCD是正方形，
∴AQ=CQ，
∵AP⊥CP，
∴PQ=1/2AC=4√2，
∵O为AB中点，
∴OQ=1/2BC=4，
∴OP≤OQ+PQ=4+4√2，
∴当OP过Q时，
OP最大=4+4√2。
2、
3、取BC的中点M，连接AM、PM，构造三角形APM
四、巧用辅助圆
1、解法两种①是过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，
∵∠ABC=90゜，
∴四边形OMBN是矩形，
∴OM∥BC，ON∥AB，
∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，
∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC，
∵O为AC的中点，
∴OM=3，
∴MN=5，
由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，
∴EF的最小值为5．
②是作辅助圆
五、构造函数关系
1、设BE=x，则EC=4﹣x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=，则DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF2=AD2+DF2，即DF最小时，
AF最小，AF的最小值为=5．
解：设BE=x，则EC=4﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴=，即=，解得FC=，
∴DF=4﹣FC=4﹣=x2﹣x+4=（x﹣2）2+3 当x=2时，DF有最小值3，
∵AF2=AD2+DF2，
∴AF的最小值为=5．。