新北师大版九年级上册数学导学案
![新北师大版九年级上册数学导学案](https://img.360docs.net/img3e/17cedsgu7lp7zbrqp1k7trubdbsixd3m-e1.webp)
![新北师大版九年级上册数学导学案](https://img.360docs.net/img3e/17cedsgu7lp7zbrqp1k7trubdbsixd3m-d2.webp)
第二章一元二次方程
第一节 认识一元二次方程(1)
学习目标:
1.探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数,能够从实际问题中抽象出方程知识.
2.在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系.
3.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 学习重点:一元二次方程的概念.
学习难点:如何把实际问题转化为数学方程.
预习案
一、预习教材 二、感知填空
先阅读教材“议一议”前面的内容,然后完成下面问题:
1.在第一个问题中,地毯的长可以表示为_____________,宽可以表示为_____________,由矩形的面积公式可以列出方程为_________________________.
2.在第二个问题中,如果设五个连续整数中间的一个数为x ,你又能列出怎样的方程呢? 答:设五个连续整数中间的一个数为x ,由题意可列方程,得_________________________. 三、自主提问
探究案
一、探究一:一元二次方程的概念
例1:问题1:有一块矩形铁皮,长100cm ,宽50cm .在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm 2,那铁皮各角应切去多大的正方形?你能设出未知数,列出相应的方程吗?
归纳结论:方程的等号两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax 2+b x +c =0(a 、b 、c 为常数,a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项的系数;b x 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 跟踪练习:1.下列方程中,是一元二次方程的是( )
A .x 2+2y -1=0
B .x +2y 2=5
C .2x 2=2x -1
D .x 2+1
x
-2=0
2.将方程(x +3)2=8x 化成一般形式为_______,其二次项系数为___,一次项系数是___,常数项是____.
二、探究二:一元二次方程有关概念的应用
例2:关于x 的方程mx 2-3x =x 2-mx +2是一元二次方程,m 应满足什么条件?
跟踪练习:1.关于x 的方程(a -1)x 2+3x =0是一元二次方程,则a 的取值范围是______. 2.已知方程(m +2)x 2+(m +1)x -m =0,当m 满足______时,它是一元一次方程;当m 满足________时,它是一元二次方程.
作业案
一、过关习题
1.在下列方程中,是一元二次方程的有( )
①2x 2-1=0;②ax 2+b x +c =0;③(x +2)(x -3)=x 2-3;④2x 2-1
x =0.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
2.把方程(x -5)(x +5)+(2x -1)2=0化成一元二次方程的一般形式为( )
A .5x 2-4x -4=0
B .x 2-5=0
C .5x 2-2x +1=0
D .5x 2-4x +6=0 3.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 12
=-y x B. 2560x x ++= C. ()()230x x ++= D. 122,3x x =-=-
4.方程2354x x -=中,关于a 、b 、c 的说法正确的是( ) A. 3,4,5a b c ===- B. 3,5,4a b c ==-= C. 3,4,5a b c =-=-=- D. 3,4,5a b c ==-=-
二、能力提升
1.阅读材料,解答问题:
有一块长80cm ,宽60cm 的薄钢片,在四个角上截去四个相同的正方形,然后做成底面积为1500cm 2的无盖盒子,想一想,应该怎样求出截去的小正方形的边长?问题:
(1)如果设小正方形的边长为x cm ,那么盒子底面的长为____________;宽为__________,根据题意,所列方程为____________________.
(2)所列方程的一般形式是什么?是哪一种方程?并指出其各项的系数.
2.已知关于x 的方程(m -2)x |m |+3x -4=0是一元二次方程,那么m 的值是( )
A .2
B .±2
C .-2
D .1
第一节认识一元二次方程(2)
学习目标:
1.会进行简单的一元二次方程的试解.
2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题.3.理解方程的解的概念,培养有条理的思考与表达的能力.
学习重点:判定一个数是否是方程的根.
学习难点:会在简单的实际问题中估算方程的解,理解方程解的实际意义.
预习案
一、预习教材
二、感知填空
请同学独立完成下列问题.
问题1:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米?设梯子底端距墙为xm,那么,根据题意,可得方程为___________
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2-36
问题2:一个面积为120m的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少?
设苗圃的宽为x m,则长为_________.根据题意,得________.整理,得______________.列表:
x 5 6 7 8 9 10 11
x2+2x-
120
探究案
一、探究一:探索一元二次方程的近似解
例1:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2中一元二次方程的解是多少?
(2)如果抛开实际问题,问题1中还有其他解吗?问题2呢?
跟踪练习:
1.已知关于x的方程x2-k x-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为() A.1B.-1C.2D.-2
2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
二、探究二:一元二次方程根的判定及应用
例2:若x=1是关于x的一元二次方程ax2+b x+c=1(a≠0)的一个根,求代数式2016(a+b
+c)的值.
跟踪练习:1.若x=1是一元二次方程ax2+b x+c=0的解,则a+b+c=___;若x=-1是一元二次方程ax2+b x+c=0的解,则a-b+c=____.
2.如果x=1是方程ax2+b x+3=0的一个根,求(a-b)2+4a b的值.
作业案
一、过关习题
1.已知长方形宽为xcm,长为3xcm,面积为24cm2,则x最大不超过()
A.1B.2C.3D.4
22
A.0<x<0.5 B.0.5<x<1 C.1<x<1.1 D.1.1<x<
1.2
二、能力提升
1.2
2﹣826,输出结果如表:
分析表格中的数据,估计方程(x+8)2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为()
A. 20.5<x<20.6
B. 20.6<x<20.7
C. 20.7<x<20.8
D. 20.8<x<20.9
3.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013﹣a﹣b的值是()A. 2018 B. 2008 C. 2014 D. 2012
第二节用配方法求解一元二次方程(1)
学习目标:
1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
2.理解一元二次方程的解法——配方法.
3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
学习重点:会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
学习难点:用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤.
预习案
一、预习教材
二、感知填空
1.如果一个数的平方等于4,则这个数是________.
2.已知x2=9,则x=______.
3.填上适当的数,使下列等式成立.
(1)x2+12x+____=(x+6)2;x2-6x+_____=(x-3)2.
三、自主提问
探究案
一、探究一:应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
例1:用配方法解方程x2-2x-3=0
归纳结论:通过配成完全平方式的方法,将一元二次方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,进而得到一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.
跟踪练习:用配方法解方程:x2+2x-1=0.
作业案
一、过关习题
1.用配方法解方程,原方程应变形为()
A. B. C. D.
2.用配方法解方程x 2+4x -5=0,则x 2+4x +____=5+____,所以x 1=______,x 2=________.
3.若三角形的两边长分别是6和8,第三边的长是一元二次方程(x -8)2=4的一个根,则此三角形的周长为________.
4.下列解方程的过程中,正确的是( ) A .x 2=-2,解方程,得x =±2 B .(x -2)2=4,解方程,得x -2=2,x =4
C .4(x -1)2=9,解方程,得4(x -1)=±3,x 1=74,x 2=1
4
D .(2x +3)2=25,解方程,得2x +3=±5,x 1=1,x 2=-4
5.解下列方程: (1)()2
590
x --=
(2)4(x +6)
2
-9=0
(3)x 2-10x +25=7 (4)x 2-14x =8
(5)x 2+3x =1 (6)x 2+2x +2=8x +4
二、能力提升
1.若2246130a a b b ++-+=,则a b +=( )
A. 1
B. 1-
C. 5
D. 5-
2.若a ,b ,c 是△ABC 的三条边,且a 2+b 2+c 2+50=6a +8b +10c ,试判断这个三角形的形状.
第二节 用配方法解一般一元二次方程(2)
学习目标:
1.理解配方法的意义,会用配方法解一般一元二次方程. 2.通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法.
3.学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增强学生学习数学的兴趣.
学习重点:用配方法解一般一元二次方程.
学习难点:用配方法解一元二次方程的一般步骤.
预习案
一、预习教材 二、感知填空
1.用配方法解一元二次方程x 2-3x =5,应把方程两边同时( ) A .加上32 B .加上94 C .减去32 D .减去9
4
2.解方程(x -3)2=8,得方程的根是( )
A .x =3+2 2
B .x =3-2 2
C .x =-3±2 2
D .x =3±2 2
3.方程x 2-3x -4=0的两个根是____________. 三、自主提问
探究案
一、探究一:用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1:用配方法解方程2x 2-6x +1=0
用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么?
归纳结论:(1)把二次项系数化为1,方程的两边同时除以二次项系数;(2)移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;(3)配方,方程的两边都加上一次项系数一半的平方,把方程化为(x +h)2=k 的形式;(4)用直接开平方法解变形后的方程.
跟踪练习:一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系:h =15t -5t 2,小球何时能达到10米的高度?
作业案
一、过关习题
1.要使方程x 2-72x =-3
2
左边配方成完全平方式,应在方程两边同时加上( )
A.2)27( B .72 C.3
2 D.2)4
7(-
2.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C. 2t 2-7t-4=0化为2781
416
t ??-= ??? D. 3y 2-4y-2=0化为2
21039y ??-= ???
3.把方程
2
1503
x x --=,化成(x +m)2=n 的形式得 ( ) A. 2
32722x ?
?-= ??? B.
2
32924x ?
?-= ?
??
C. 2
36924x ?
?-=
???
D. 2
35124x ?
?-= ???
4.用配方法解方程:
(1)4x 2+8x -3=0 (2)3x 2-9x +2=0 (3)2x 2+6=7x
二、能力提升 先化简,再求值:
2
352362m m m m m -??÷+- ?--??
,其中m 是方程2
310x x +-=的根.
第三节用公式法求解一元二次方程
学习目标:
1.理解求根公式的推导过程和判别公式.
2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.
3.通过由配方法推导求根公式,培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.
学习重点:求根公式的推导和公式法的应用.
学习难点:理解求根公式的推导过程及判别公式的应用.
预习案
一、预习教材
二、感知填空
1.方程3x2-x=2化成一般形式后,式中()
A.a=3,b=-1,c=2B.a=2,b=1,c=-2
C.a=3,b=-1,c=-2 D.a=3,b=1,c=-2
2.用配方法解下列方程:
(1)x2-x-1=0(2)2x2-4x=1
三、自主提问
探究案
一、探究一:探索一元二次方程的求根公式
例1:用配方法解方程:ax2+b x+c=0(a≠0).
归纳总结:由上可知,一元二次方程ax2+b x+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+b x+c=0,当b2-4a c≥0
时,将a 、b 、c 代入式子x =-b±b 2-4ac
2a ,就可求出方程的根;(2)这个式子叫做一元二次
方程的求根公式;(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法;(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 二、探究二:用公式求解一元二次方程
例2:用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?
(1)2x 2-3x =0 (2)3x 2-23x +1=0 (3)4x 2+x +1=0.
归纳总结:(1)当Δ=b 2-4a c >0时,一元二次方程ax 2+b x +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根,即x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac
2a ;(2)当Δ=b 2-4a c =0时,一元二次方程
ax 2+b x +c =0(a ≠0)有两个相等实数根即x 1=x 2=-b
2a ;(3)当Δ=b 2-4a c <0时,一元二次
方程ax 2+b x +c =0(a ≠0)没有实数根.
作业案
一、过关习题
1.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )
A .x 2-3x +1=0
B .x 2+1=0
C .x 2-2x +1=0
D .x 2+2x +3=0 2.关于x 的一元二次方程2x +(k -4)x 2+6=0没有实数根,则k 的最小整数值是( ) A. -1 B. 2 C. 3 D. 5
3.把一元二次方程x 2=3(2x -3)化为一般形式是_________,b 2-4a c =0,则该方程根的情况为___________.
4.方程2x 2-5x =7的两个根分别为x 1=________,x 2=__________. 二、能力提升
1.已知关于x 的一元二次方程(k -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根,求实数k 的取值范围.
2.已知关于x 的一元二次方程(x-3)(x-4)=a2
(1)求证:对于任意实数a ,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程有一个根是1,求a 的值及方程的另一个根.
第四节用因式分解法求解一元二次方程
学习目标:
1.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.
学习重点:用因式分解法解一元二次方程.
学习难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.
预习案
一、预习教材
二、感知填空
1.将下列各式分解因式:
(1)x2-2x(2)x2-4x+4(3)x2-16(4)x(x-2)-(x-2)
2.分解因式法解一元二次方程的根据是:若a·b=0,则a=____或b=_____.如:若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或者________.这就是说,求一元二次方程(x+2)(x-3)=0的解,就相当于求一次方程x+2=0或x-3=0的解.
三、自主提问
探究案
一、探究一:用因式分解法解下列方程
(1)5x2+3x=0(2)7x(3-x)=4(x-3)(3)9(x-2)2=4(x+1)2.
跟踪练习:解下列方程:x2-5x+6=0
作业案
一、过关习题
1.如果(x -1)(x +2)=0,那么以下结论正确的是( )
A .x =1或x =-2
B .必须x =1
C .x =2或x =-1
D .必须x =1且x =-2 2.方程x 2-3x =0的解为( )
A .x =0
B .x =3
C .x 1=0,x 2=-3
D .x 1=0,x 2=3 3.方程29180x x -+=的两个根分别是一个等腰三角形的底和腰的长,则这个等腰三角形的周长为 .
4.解下列方程
(1) x 2=2x+35 (2)2
(1)160x --= (3) 3(1=22x x x --)
二、能力提升
1.已知(a 2+b 2)2-(a 2+b 2)-6=0,求a 2+b 2的值.
2.阅读下面的例题:解方程220x x --=的过程如下:
(1)当0x ≥时,原方程化为220x x --=,解得: 12x =, 21x =-(不合题意,舍去). (2)当0x <时,原方程可化为220x x +-=,解得: 12x =-, 21x =(不合题意,舍去).所以,原方程的解是: 12x =, 22x =-.请参照例题 解方程: 2
110x x ---=
第五节 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标:
1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.
2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知系数.
3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值. 学习重点:根与系数的关系及运用. 学习难点:定理发现及运用.
预习案
一、预习教材 二、感知填空
1.一元二次方程ax 2+b x +c =0(a ≠0)的求根公式是_________________________________. 2.一元二次方程3x 2-6x =0的两个根是_______________ 3.一元二次方程x 2-6x +9=0的两个根是________________ 三、自主提问
探究案
一、探究一:一元二次方程的根与系数的关系
例1:解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,观察表中x 1+x 2,x 1·x 2的值,它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系?从中你能发现什么规律?
归纳总结:一般地,对于关于x 的一元二次方程ax 2+b x +c =0(a ≠0),用求根公式求出它的两个根x 1、x 2,由一元二次方程ax 2
+b x +c =0的求根公式知x 1=
-b +b 2-4ac
2a
,x 2=
-b -b 2-4ac
2a
,能得出以下结果:x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c
a
.
二、探究二:一元二次方程根与系数关系定理的应用
例2;已知方程5x 2+k x -6=0的一个根为2,求它的另一个根及k 的值.
例3:若一元二次方程2x 2+3x -1=0的两个根为2
12
2212111
21,,x x x x x x ++)()(
跟踪练习:
1.设一元二次方程x 2-6x +4=0的两实根分别为x 1和x 2,则(x 1+x 2)-x 1·x 2=( )
A .-10
B .10
C .2
D .-2
2.设a ,b 是方程x 2+x -2016=0的两个不相等的实数根,则a 2+2a +b 的值为_________.
作业案
一、过关习题
1.已知一元二次方程x 2-6x +c =0有一个根为2,则另一个根为( )
A .2
B .3
C .4
D .8
2.若α,β是方程x 2-2x -3=0的两个实数根,则α2+β2的值为( )
A .10
B .9
C .7
D .5
3.菱形的两条对角线长分别是方程x 2-14x +48=0的两实根,则菱形的面积为_______. 4.已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根,则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是( ) A. B. C. D.
二、能力提升
1. 已知x 的方程x 2+(2k +1)x +k 2-2=0的两实根的平方和等于11,则k =_______. 2.已知关于x 的一元二次方程()2
8170x m x m --+-=.
(1)m 为何值时,方程有一根为零?
(2)m 为何值时,方程的两个根互为相反数?
(3)是否存在m ,使方程的两个根互为倒数?若存在,请求出m 的值;不存在,请说明理由.
第六节应用一元二次方程(1)
学习目标:
1.使学生会用一元二次方程解应用题.
2.进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养学生运用数学的意识.
3.通过列方程解应用题,进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.
学习重点:运用面积和速度等公式建立数学模型并运用它们解决实际问题.
学习难点:寻找等量关系,用一元二次方程解决实际问题.
预习案
一、预习教材
二、感知填空
1.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=5cm,BC=12cm,则AB=_____cm.
2.在△ABC中,D、E分别是AB,AC的中点,若BC=10cm,则DE=_____cm.
三、自主提问
探究案
一、探究一:利用一元二次方程求解几何问题
例1:用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形,问这个矩形长是多少?
跟踪练习:一个直角三角形的斜边长为7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,那么这个直角三角形的面积是多少?
作业案
一、过关习题
1.用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子,框子的面积不可能是( ) A.375cm2B.500cm2C.625cm2D.700cm2
2.一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖两条和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600m2,那么水渠的宽为()
A.2m B.4m C.1m D.3m
3.一个矩形的面积是48平方厘米,它的长比宽多8厘米,设矩形的宽x厘米,应满足方程_____________.解方程求得x=______.
二、能力提升
1.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成
一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
2.在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小相等的六块作试验田,要使试验田面积为570平方米,问道路应为多宽?
3.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C 同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2 cm/s的速度向D 移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm.
第六节应用一元二次方程(2)
学习目标:
1.会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题.
2.通过列方程解应用题,进一步认识方程模型的重要性,提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
学习重点:会用一元二次方程求解营销类问题.
学习难点:将实际问题抽象为一元二次方程的模型,寻找等量关系,用一元二次方程解决实际问题.
预习案
一、预习教材
二、感知填空
1.利润=_____________;
2商品的利润率=_______________
3.商品的总利润=一件商品的利润×销售商品的数量.
三、自主提问.
探究案
一、探究一:利用一元二次方程求解营销类问题
例1:某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出,平均每月销售600个.市场调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,每月平均销售数量将减少10个.若销售利润率不得高于100%,那么销售这种台灯每月要获利10000元,台灯的售价应定为多少元?
跟踪练习:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经试销发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
二、探究二:利用一元二次方程求解增长率问题
例2:某公司今年10月的营业额为2500万元,按计划12月的营业额要达到3600万元,求该公司11,12两个月营业额的月均增长率。
跟踪练习:为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2013年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米,预计到2015年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同,求每年市政府投资的增长率.
作业案
一、过关习题
1.兰翔百合经销店将进货价为20元/盒的百合,在市场参考价28-38元/盒的范围内定价为36元/盒销售,这样平均每天可售出40盒.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每盒售价每下调1元钱,平均每天就能多销售10盒,要使每天的利润达到750元,应将每盒的售价下调()
A.1元B.11元C.1元或11元D.无法确定
2.某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米,计划2016年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是_______.
3.今年以来,某种食品不断上涨,在9月份的售价为8.1元/kg,11月份的售价为10元/kg。这种食品平均每月上涨的百分率约等于()
A. 15%
B. 11%
C. 20%
D. 9%
4.某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?
二能力提升
1.某商店准备进一批季节性小家电,单价为40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若准备获利2000元,则应进
货多少个?定价为多少元?
第二章 复习一元二次方程
学习目标 1.掌握一元二次方程的解法和应用; 2.会应用一元二次方程解决实际问题 学习重点:掌握一元二次方程的解法和应用 学习难点:会应用一元二次方程解决实际问题
预习案
一、复习教材 二、感知填空
1.一元二次方程的定义:只含有 未知数x 的整式方程,并且都可以化成 (a ,b ,c 为常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高指数是 ;(3)二次项系数不为
2.一元二次方程的解法:(1) 法;(2) 法;(3) 法;(4) 法
3.在一元二次方程02
=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,0≠a )中,=+21x x ;=?21x x 4.列一元二次方程解应用题的步骤: 、 、 、 、 、 ,最后要检验根是否符合 [ 三、自主提问 探究案
一、探究一:用适当的方法解下列一元二次方程:
(1) 4x 2-16x +15=0 (2) 9-x 2=2x 2-6x (3) (x +1)(2-x )=1
二、探究二:新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔,根据市场调查,如果以20元/支
的价格销售,每月可以售出200支;而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元,则该种钢笔该如何涨价?此时店主该进货多少?
作业案
一、过关习题
1.当m 时,关于x 的方程(m -1)1
2
+m
x
+5+m x =0是一元二次方程.
2.将一元二次方程x 2-2x -2=0化成(x +a)2=b 的形式是 ;此方程的根是 .
3.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,若每轮传染中平均每个人传染的人数相同,那么第三轮过后,共有_______人患有流感.
4.用配方法解方程x 2+8x +9=0时,应将方程变形为( )
A.(x +4)2=7
B.(x +4)2=-9
C.(x +4)2=25
D.(x +4)2=-7 5.某种药品原来售价100元,连续两次降价后售价为81元,若每次下降的百分率相同,则这个百分率是 .
6.湛江市2009年平均房价为每平方米4000元.连续两年增长后,2011年平均房价达到每平方米5500元,设这两年平均房价年平均增长率为x ,根据题意,下面所列方程正确的是( ) A .5500(1+x )2=4000 B .5500(1﹣x )2=4000 C .4000(1﹣x )2=5500 D .4000(1+x )2=5500
7.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1) x 2-7x +12=0 (2) 2x 2-6x+1=0 3)1)(3)(3(=--x x
8.新苑小区的物业管理部门为了美化环境,在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m),三边外围用篱笆围起,栽上蝴蝶花,共用篱笆40m.花圃的面积能达到200m 2吗?
北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”) 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
北师大版数学九年级上册知识点归纳
北师大版《数学》(九年级上册)知识点归纳 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b 最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理. (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. (3)如何用尺规作图法作出角平分线 九年级上册数学知识点总结 第一章 证明(二) 一、全等三角形的判定:SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形:等边对等角,等角对等边。 三、等边三角形 (1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式: 由三角形面积公式可得:两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (如图1所示,AO=BO=CO ) 3、角的平分线的判定定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示,OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F 九年级数学上册知识点归纳(北师大版) 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一个内角为直角 菱形 一组邻边相等 九(上)数学知识点答案 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。(2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作出角平分线 最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程 一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么? 课题 1、你能证明它们吗(一) 课型新授课教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习 1、什么是等腰三角形? 2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质?二、新课讲解 在《证明(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) w 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) w 三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) w 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)证明过程 已知∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证△ABC≌△DEF 证明∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)∵∠A+∠B+∠C=18°,∠D+∠E+∠F=18°(三角形内角和等于18°)∠C=18°-(∠A+∠B) ∠F=18°-(∠D+∠E) ∠C=∠F(等量代换) BC=EF(已知)△ABC≌△DEF(ASA)这个推论虽然简单,但也应让学生进行证明,以熟悉的基本要求和步骤,为下面的推理证明做准备。 三、议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?等腰三角形(包括等边三角形)的性质学生已经探索过,这里先让学生尽可能回忆出来,然后再考虑哪些能够立即证明。 定理等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为等边对等角。 已知如图,在ABC中,AB=AC。 2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版) (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 一、填空题 1.一个矩形的面积是48平方厘米,它的长比宽多8厘米,则矩形的宽x (厘米),应满足方程__________. 2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面,桌面正中间铺有一块垫布,垫布的面积是桌面的面积的21,而桌面四边露出部分宽度相同,如果设四周宽度为x 厘米,则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ,宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形,剩下部分的面积刚好是矩形面积的3 2,则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米. 4.一个两位数,十位上的数字是a ,个位上的数字是b ,则这个两位数可以表示为__________. 5.两个连续整数,设其中一个数为n ,则另一个数为__________. 6.两个数之差为5,之积是84,设较小的数是x ,则所列方程为__________. 7.增长率问题经常用的基本关系式: 增长量=原量×__________ 新量=原量×(1+__________) 8.产量由a 千克增长20%,就达到_______千克. 二、选择题 1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形,则其长和宽分别是 A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.(5+3)米和(5-3)米 D.米米和21352135-+ 2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等,则 A.11--=ππR B.1 1-+=ππR §2.5.1 一元二次方程 C.112--+=ππR D.1 12-++=ππR 3.一个两位数,个位上的数比十位上的数小4,且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4,设个位数是x ,则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x -4)+x -4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4 C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x -4 D.x 2+(x -4)2=10x +(x -4)-4 4.三个连续偶数,其中两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数是 A.-2,0,2或6,8,10 B.-2,0,2或-8,-8,-6 C.6,8,10或-8,-8,-6 D.-2,0,2或-8,-8,-6或6,8,10 5.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,问二、三月份平均每月增长率是多少?设平均每月增长率为百分之x ,则 A.50(1+x )2=175 B.50+50(1+x )2=175 C.50(1+x )+50(1+x )2=175 D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175 6.一项工程,甲队做完需要m 天,乙队做完需要n 天,若甲乙两队合做,完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mn n m + D.n m mn + 三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。 四、列方程解应用题 如右图,某小区规划 在长32米,宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3 条小路,使其中两条与AD 平行,一条与AB 平行,其余部分 种草,若使草坪的面积为566米2,问小 路应为多宽? 北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b 性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)三线合一 判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、直角三角形 (一)、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 22c b a =+ 其它性质: 1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。 2、常用关系式:由三角形面积公式可得: 两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 (二)、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 (三)直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理(斜边、直角边定理):有斜 最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. .. ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角.(矩形是轴对称 图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3 ※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程...... 2.2 ...用.配方法求解.....一元二次方程...... 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02=++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... . ※把02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项. ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解. 北师大版数学九年级上册课本答案【篇一:北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】 卷满分120 分考试时间120 分钟) 一、选择题(共10 小题,每小题 3 分,计30 分) 1、下列各组图形中,是全等三角形的一组是() a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形 b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形 d.边长为12cm 的两个等边三角形 2、等腰三角形的周长为13,其中一边长为3,则该等腰三角形的 底边长为() a.7 b.3 c.7 或3 d.5 3、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这 个三角形是() a.等腰三角形 b.等边三角形 c. 直角三角形 d.等腰直角三角形 4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中() a.有两个角是直角 b.有两个角是钝角 c. 有两个角是锐角 d.一个角是钝角,一个角是直角 6、如图1-2,在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下, 倒 a.10m b.15m c.25m d.30m c b a d 图1-1 图1-2 7、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角,那么另 外 两个角是锐角③若两直线平行,则内错角相等④三边都相等的三角 形 是等边三角形。其中逆命题正确的有() a.①③ b. ②④ c.①② d.③④ 8、如图1-3(1)在△abc 中,d、e 分别是ab,ac 的中点,将△ ade 沿线段de 向下折叠,得到图形1-3(2),下列关于图(2)的 四个结论中,一定不成立的是() c. △dba 是等腰三角形 d.de ∥bc e c 图1-3 b c (2)(1)a a.1 b.2 c.3 d.4 b e aa c 图1-4 图1-5 二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,计18 分) 11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内,下列四个命题:①如果 ③如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c 其中属于 真命题的是(填写所有真命题的序号) 12、一个三角形三边之比为2:5:3 ,这个三角形的形状是 13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ,那么??”的形式为 cd=3 ,则ab 的长度为 15、如图1-7,p 是正方形abcd 内一点,将△abp 绕点b 顺时针方 向旋转能与△cbp? 重合,若pb=3 ,则pp? 的长度为 a p d b d b c c n c a b ? 图1-6 图1-7 图1-8 三、解答题(共 6 小题,计72 分,解答应写过程) a d 图1-9 18、(10 分)已知:如图1-10 ,de 为△abc 的边ab 的垂直平分 线, m d cd 为△abc 的外角平分线,与de 交于点d,dm ⊥bc 的延长 线于 点m,dn ⊥ac 于点n,求证:an=bm 。c b 图1-10 d a b 图1-11 20、(12 分)如图1-12 ,在矩形abcd 中,ab=6 ,bc=8 ,将矩形 abcd 沿ce 折叠后,使点 d 恰好落在对角线ac 上的点f 处。 【篇二:北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案】lass=txt> 第一章勾股定理课后练习题答案 北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质:(1)平行四边形的对边平行且相等。 (2)平行四边形的对角相等,邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分,两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 (4)平行四边形是中心对称图形。 3、判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积:S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质。 (2)菱形的四条边都相等。 (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 (4)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。 3、判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (3)四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积:S菱形=底ⅹ高;S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质:(1)矩形具有平行四边形的所有性质。 (2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等且互相平分,两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 (4)推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (5)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。 3、判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)对角线相等的平行四边形是矩形。 (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积:S矩形=底ⅹ高 新北师大九年级数学上册第一章知识点归纳 ※平行四边形 ....., .....的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:对边相等,邻边之和等于周长的一半 对角相等,邻角互补 对角线互相平分,共有4对全等的三角形。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 ※平行四边形的面积公式: 第一章特殊平行四边形-菱形矩形正方形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等, 两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形被对角线分成了4个面积相等的直角三角形,所以菱形的面积=对角线乘积的一半 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。 (矩形是轴对称图形,有两条对称轴,对称轴是对边中点的连线所在的直线 ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线相等且平分的四边形是矩形) 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(利用对角线相等且平分) 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 正方形是轴对称图形,有四条对称轴。既是轴对称图形又是中心对称图形。※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): 鹏翔教图3 ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 谢谢你的观赏 谢谢你的观赏 北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b 新北师大版九年级上册数学知识点 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 1.2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 ※夹在两条平行线间的平行线段相等。 ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 2.2用配方法求解一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程 2.4用因式分解法求解一元二次方程 2.5一元二次方程的跟与系数的关系 北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结 第一章特殊的平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边平行且相等。(对边) (2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角) (3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线) (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。 常用点: (1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。 (2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。 3.平行四边形的判定 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边) (2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边) (3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边) (4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角) (5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线) 4.两条平行线的距离 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。注意:平行线间的距离处处相等。 5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边相等,对边平行。(边) (2)菱形的相邻的角互补,对角相等。(对角) (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。(对角线) (4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。 3.菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。(边) (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线) (4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线) 4.菱形的面积:S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 三、矩形 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等。(对边) (2)矩形的四个角都是直角。(内角) (3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线) (4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定(一) 学习目标: ①通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质。 ②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征。 教学重点:菱形的概念和菱形的性质,菱形的面积公式的推导。 教学难点:菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。 学习过程: 活动一: 自学课本例题以上的内容,完成下列问题: 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来? 的四边形叫做菱形,生活中的菱形有 。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形? ②菱形为什么是轴对称图形? 有 对称轴。 图中相等的线段有: 图中相等的角有: ③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?自己完成证明。 平行四边形 菱形 ? 性质: 证明: 活动二:对比菱形与平行四边形的对角线 菱形的对角线: 平行四边的对角线: 活动三:菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。 2.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD, 求两条小路的长和花坛的面积。 课效检测: 一、填空 (1)菱形的两条对角线长分别是12cm ,16cm ,它的周长等于 ,面积等于 。 (2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:2,菱形的四个内角是 。 (3)已知:菱形的周长是20cm ,两个相邻的角的度数比为1:2,则较短的对角线长是 。 (4)已知:菱形的周长是52 cm ,一条对角线长是24 cm ,则它的面积是 。 二、解答题 已知:如图,在菱形ABCD 中,周长为8cm ,∠BAD=1200 对角线AC ,BD 交于点O ,求这个菱形的对角线长和面积。 教学设计反思 本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质,这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的。 A B C D O最新北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版数学九年级上册知识点总结
北师大版九年级数学上册知识点归纳总结
北师大版九年级数学上册知识点总结
最新北师大版九年级数学上册教案
2020年北师大版九年级数学上册全册教案
新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)
北师大版数学九年级上
北师大数学九年级上册知识点总结
北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总
北师大版数学九年级上册课本答案.doc
北师大版九年级数学知识点汇总
新北师大九年级数学上册知识点归纳
北师大版数学九年级上册知识点总结.doc
新北师大版九年级上册数学知识点
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版九年级数学上册全册教案