探索长方形的周长与面积的关系
《探索长方形的周长与面积的关系》
教学容：京版教材p55探索规律
指导思想与理论依据
探索规律是学生认识世界的方式之一，是数学的一个基本主题。在小学数学教学中一直都有所体现。《课标》在教学目标中，将探索规律单列为独立的部分，并给予数的认识和数的运算同等重要的地位。再有，在儿童的精神世界中，更加希望自己是一个发现者、研究者、探索者。探索规律正是满足了儿童精神世界的这一需要，让学生享受到数学学习的乐趣。
教学背景分析
教材分析：
1、《课标》把“探索规律”作为容结构的一部分，它蕴藏着重要的教育涵和价值，被新课程单列为一个独立部分，这也从一个侧面说明了“探索规律”的教育地位和意义。
2、为了更好的了解探索规律在整个小学阶段的整体安排，我进行了教材梳理，容如下：
第一学段：学生发现给定的事物中隐含的简单规律，初步培养学生灵活有序地观察探索、概括推理、归纳整理的能力。
发现给定数列中给定的简单规律。
数与代数领域：
算式中的在联系。
探究借助余数确定周期性规律性问题的策略
商不变的规律
空间与图形领域：
找图形旋转后的排列规律。
归纳数角、线段及三角形的方法。
观察分析当周长一定时，围成的正方形面积比长方形大。
发现给定图形中给定的简单规律。
第二学段：探求给定事物中隐含的规律或变化趋势,使学生通过经历各种探索活动，培养学生的探究能力、提升思维水平，渗透数学思想及方法，激发学生探索欲，体验探究与创新。
数与代数领域：
回文数
鸡兔同笼问题
回文式
归纳判断能否化成有限小数的方法
灵活计算异分母分数加减法的方法
探究完全平方的计算方法
探究特殊分数除法的计算方法
空间与图形领域：
探究直棱柱体积的计算方法
探究梯形面积=中位线×高
探究长方体涂色问题
进一步理解对称和对称轴的概念
3、本课属于空间与图形领域。在三年级下册,这一课是一个知识的拓展延伸部分,它是在学生已经充分掌握了长度、长度单位、面积、面积单位、长方形和正方形的特征及其周长、面积计算的基础上进行的。学生从学习长度到学习面积是从一维空间向二维空间转化的开始,是空间形成“由线到面”的一次飞跃，但是学生常常会在学习过程中分不清长度和面积,所以通过本课的探究学习使学生更加深刻地理解周长与面积之间的某些联系是非常有必要的。本节课由浅入深，循序渐进，引导学生观察、操作、交流、归纳，逐步培养学生逻辑推理能力，为今后更好的学习几何打下基础。
学情分析：三年级的学生抽象、概括能力，独立探究规律的能力有待增强。前面已有长方形和正方形周长、面积计算的知识基础，但知识运用不够灵活。
教学目标：
1、学生在探究活动中，发现当周长一定时，长方形的长和宽越接近面积越大，正方形的面积最大。
2、在主动探索、交流、合作中，学生尝试枚举法、列表的方法，渗透有序思考及数形结合的思想。
3、引导学生善于观察思考，从数学现象中发现数学规律，能够体会到数学在生活中的应用价值，更加的喜欢探索数学知识。
教学重点：经历探究过程，发现长方形周长和面积之间的关系。
教学难点：学生学会有序全面的思考问题。
教学过程：
一、情境激趣，引发猜想
1、猜想周长不相等的长方形，面积的大小关系：
师：老师这有两根铁丝，一根长20厘米，一根长24厘米，用这两根铁丝分别围成一个长方形，哪根铁丝围成的长方形面积大？
预设：用24厘米围出的长方形面积大。
不一定谁围出的大。师：说说你的想法。
追问：你们都同意吗？为什么？
预设：
都同意：你们的意思是周长长的，面积就大。既然是这样，我们怎么能知道这个结论是对的呢？【启发学生寻求解决问题的方法，引导学生探究】对，不好验证，必须在所有情况下都成立才是对的，如果不对，那就好验证了，只要一种情况不成立，那这个结论就不成立了。
引导：如果用20厘米的铁丝围成一个长6厘米，宽4厘米的长方形，面积是？
用24厘米的铁丝围成一个长11厘米，宽1厘米的长方形，面积是？（也有可能学生就举出类似的例子了）那刚才我们那个结论还成立吗？
有不同意的：说说你的想法。（举例说明）看来，只要有一种情况不成立，我们的结论就不正确了。
师：在接下来的研究中我们会有更深入的体会。
2、猜想周长相等的长方形，面积的大小关系：
提问：如果现在老师用两根长24厘米的铁丝，分别围出一个长方形和正方形，请你来猜一猜它们谁的周长长谁的周长短呢？
师：猜一猜谁的面积大？这两根铁丝的长度一样，说明长方形和正方形的什么一样？
师：也就是说，在周长一定的情况下，你们有了这样的猜想。
预设：长方形的面积大、正方形的面积大、长方形和正方形的面积一样大（板书）
【上课伊始，通过拿两根长度不同的铁丝围成长方形让学生比较面积大小，引起学生思考，引发学生猜想，激发学生的学习欲望，同时也让学生初步感受得出结论一定要去验证猜想。让学生知道验证结论不正确，可以举出一个反例，同时，要想验证结论是正确的，要在所有的情况下都成立。在此基础上，引发学生进行第二次猜想，更加激发学生验证猜想的需求，从而顺势引出新课的学习。同时，也为本课探究的规律的特点：在周长一定时，才会有正方形的面积比长方形的面积大这一结论奠定基础。】
二、合作交流，验证规律
过渡：（指板书）那到底谁的猜想正确呢？这就需要我们进行验证。我们怎样验证呢？
预设：1、列出长方形的长和宽及正方形的边长，求出面积来验证。
2、画出长方形和正方形，算出它们的面积来验证。
追问：围出的长方形的长和宽是多少呢？面积是多少呢？还有没有其它不同的长方形呢？你能不能把它们一一列举出来。
小结：周长的一半是长和宽的和，它是固定不变的。看来，我们只要确定了宽的长度，长也就知道了。
（一）初步探究，验证猜想
1、合作探究
师：好，下面就请你们以小组为单位用你们所说的这些方法来验证你们的猜想吧!
师：如果你们选用画图法来验证，老师为你们提供了间隔为1厘米的点子图。
如果你们选用列表的方法来验证，老师为你们提供了表格。
2、汇报交流
师：哪个小组愿意跟大家交流一下你们组验证的过程？
追问：你们一共围成了几个长方形？其实还可以围成很多很多种长方形，只不过长和宽所出现的数据是小数，我们还没有学习过，今天我们只通过研究整数的数据来验证就可以了。
预设1：（展示点子图的）实物投影展示
师：在画图时，还可以怎么排列？
准备画好的涂上颜色的有序思考画的图形，以备学生无序思考时使用
预设1：（展示枚举法的）实物投影展示。
师：说一说你们组是怎样验证的？
无序：还可以怎样排列你验证的过程？
有序：他们在验证的过程中有什么地方值得我们学习？
初步交流，体会学习方法，感受有序思考
预设2：（展示列表的）实物投影展示
无序：对于他们所填的情况，你们有没有好的建议呀？
你们能不能对他们所填的数据进行调整呀？
有序：对于他们所填的情况，看看有没有值得我们学习的地方呀？
枚举法与列表对比：比较这两种结果，你有什么想说的？
师：你觉得用表格展示的结果这种方法怎么样？
小结：听你这么一说，老师也觉得用表格的方法，能更清晰的展现出结论。
长 (cm) 宽(cm) 面积 (cm2)
? ? ?
? ? ?
? ? ?
（枚举法、列表法）（对比不同的表格，体会有序思考，板书：有序思考）
根据学生发言，交流中对比，突出学习方法，有序思考。
师：通过我们刚才用个种方式解决长方形的长和宽以及面积问题，你发现了什么？
预设：长越来越短，宽越来越长，面积越来越大
长和宽越来越接近，面积越来越大
师：你的这些发现，都是在什么条件下？也就是什么不变的情况下才出现的这些结果呢？
师：那看来周长不变的情况下，面积确实发生了变化。也就是“周长一定时，长和宽越接近，面积越大，正方形的面积比长方形的面积大”。（板书）
3、感知规律
师：再请同学们观察观察，这些长方形长、宽与面积之间的关系，看看你有什么新的发现？
预设：周长一定时，长和宽越接近，面积越大。
师：你能具体的说说，长和宽越接近是什么意思？
师：你们也发现了吗？能再来说说吗？（你们同意他所说的吗？）
师：长和宽之间的相差数越小，面积就越来越大，什么情况下，面积最大了呢？
小结：刚才，同学们通过长24厘米的铁丝所围成的长方形和正方形的验证了我们的猜想——当周长一定时，正方形面积比长方形的面积大；长和宽越接近面积越大。
【设计意图：此环节学生预设到学生会采用了画图、枚举、列表多种方法来解决长方形的长、宽、面积问题，验证猜想。在此基础上，引导学生仔细观察，发现规律，在合作交流中，感受数学知识的奥妙，更加激发学生的探究欲望。学生在学习过程中自己“发现”规律、“感悟”道理和思想方法，并且“品味”探究的喜悦。】
（二）直观演示，深入感知
师：看来，在周长相等的情况下，我们就可以比较面积了。在周长一定是，围出来的正方形的面积比长方形的面积大。可是，你们想一想，为什么当周长一定时，长与宽越接近，它的面积就越大？下面，那我们来以周长为24cm的数据为例来解答这个秘密。课件动态演示
师：仔细观察，当长减少1厘米时，面积就相当于减少了1平方厘米，我们来看看，减少的是哪部分，（课件闪动）当宽增加1厘米时，面积就相当于增加了10平方厘米，我们再来看看，增加的是哪部分，实际上面积就增加了多少平方厘米？（9）
师：再认真观察，当长又减少1厘米时，面积就相当于减少了2平方厘米，我们来看看，减少的是哪部分，（课件闪动）当宽增加1厘米时，面积就相当于增加了9平方厘米，我们再来看看，增加的是哪部分，实际上面积就增加了多少平方厘米？（7）
师：我们接着往下看看，看看减少的是哪部分的面积，增加的是哪部分的面积？
小结：同学们，当我们得出一个结论的时候，不光要知道这个结论是什么，还要深入思考为什么会有这样的结论。
【设计意图：让学生在刚刚验证猜想后通过动态直观图的展示，让学生对待数学知识不但知其然，而且知其所以然，培养学生严谨的学习态度。另外，结合图形让学生理解，促使形象思维与抽象思维相结合，最终把复杂问题变简单，让学生更加理解所验证的结论。】
（三）自选数据，再次验证
过渡：是不是所有的长方形或正方形都具有这样的规律呢，只通过一个例子能说明问题吗？那怎么办？（需要我们通过多个例子进行进一步的验证。）好，就请你们自选数据再来验证一下。
1、自选数据，拓展思路。
师：那我先问问你们想选哪些数据？
师：你们选有的都是16、24、18这样的数据，怎么没有选用17、21、19、这样的数据呀？
师：其实，用这样的数据也是可以的围出正方形的，只是出现的不是整厘米数，我们用现在的知识还不能解决这个问题。
2、独立填表，验证规律。
师：下面，就请你们用你们自选的数据再来验证吧？
我选的数据是_______cm。
长 (cm) 宽(cm) 面积 (cm2)
3、交流总结规律。
师：你们验证出的结果是什么？
在验证的过程中，你们有什么问题吗？
小结：同学们你们你了不起，通过这么多的数据再一次进行验证，最终得出了这样的结论——当周长一定时，正方形的面积比长方形的面积大。
【设计意图：这一环节目的在于使学生体会到有了猜想，一次验证不足以说明问题，又经过多角度考虑，多次验证，才能够下结论。深刻感受到数学结论必须经得起反复推敲，以此培养学生严谨的学风，认真的学习态度。】
三、回顾猜想，感悟规律
师：回到课前，老师带来的两根铁丝，一根长20厘米，一根长24厘米，它们谁围出的长方形大呢？（对比两个表格）
长 (cm) 宽(cm) 面积 (cm2) 长 (cm) 宽(cm) 面积 (cm2)
9 1 9 11 1 11
8 2 16 10 2 20
7 3 21 9 3 27
6 4 24 8 4 32
5 5 25 7 5 35
6 6 36
师：如果要说正方形的面积比长方形的面积大，必须得在什么条件下？
用两根同样长的铁丝围成长方形和正方形，它们的面积相比较，（）
A、长方形的面积大
B、正方形的面积大
C、同样大
【设计意图：主要是让学生更加深刻的体会到得出当周长一定时，才会出现长和宽越接近，面积越大，正方形的面积比长方形的面积大。促使学生在解决数学问题时要考虑全面。】
四、应用规律，解决问题
1、判断：
正方形的面积比方形面积大。（）