(最新)数学八年级下册第18章《矩形的性质、判定》省优质课一等奖教案

教学过程一、课堂导入生活中的矩形和正方形：本节课主要针对矩形和正方形的性质和判定以及常见的应用进行讲解。

二、复习预习菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有它特有的性质。

(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.菱形性质的说明：1、菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。

2、菱形的对角线具有较多的性质：（1）所在直线是菱形的对称轴（2）互相垂直（3）互相平分（4）平分一组对角菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形的面积公式：S=ah (a是菱形的边长，h是这条边上的高)或s=mn (m、n是菱形的两条对角线长)。

三、知识讲解考点/易错点1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.说明：1、若一个图形是矩形，则首先它是一个平行四边形，同时它必须有一个角是直角。

2、矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的一种判定方法。

考点/易错点2矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.说明：1、矩形的性质是求线段的长度、角度等问题常用的知识，它可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。

2、由于矩形四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决。

3、矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此，在解决相等问题时，常常用到等腰三角形的性质。

考点/易错点3矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.考点/易错点4面积公式：S=ab (a、b是矩形的边长).直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

考点/易错点5正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.说明：1、正方形的定义有三个条件：（1）有一组邻边相等（2）有一个角是直角（3）是平行四边形这三个条件必须同时具备，缺一不可。

2、正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的菱形、特殊的矩形。

考点/易错点6正方形的性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；考点/易错点7正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.考点/易错点8正方形的面积公式：S=a2(a是边长)或s=b2(b正方形的对角线长).平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系:四、例题精析【例题1】【题干】如图，把矩形纸片ABCD沿BD对折，使C落在E处，BE与AD相交于O，写出一组相等的线段( )．【答案】∵AB=ED，∠A=∠E=90°，∠AOB=∠EOD∴△AOB≌△EOD∴AO=EO，OB=OD．【解析】可以根据矩形的性质及全等三角形的判定方法证明△AOB≌△EOD，则AO=EO，OB=OD等．【例题2】【题干】如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【答案】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．【解析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B=∠C，D又是BC 的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形．【例题3】【题干】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．(1)证明△ABG≌△AFG；(2)求BG的长；(3)求△FGC的面积．【答案】（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵CD=3DE∴DE=2，CE=4，设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2 ∵GE2=CG2+CE2∴（x+2）2=（6-x）2+42，解得x=3∴BG=3；（3）过C作CM⊥GF于M，∵BG=GF=3，∴CG=3，EC=6-2=4，∴GE==5，CM•GE=GC•EC，∴CM×5=3×4，∴CM=2.4，∴．【解析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；（3）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM=2.4，进而得出答案．【例题4】【题干】以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：(1)如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【答案】（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=A G，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD=360°-90°-∠BAC-45°=225°-∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD=AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=AB．∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由□AB DI和□ACHG的性质证得，AC=AB．【例题5】【题干】已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF，∴∠AEH+∠BEF=90°，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF，又∵∠A=∠B=90°，∴△AHE≌△BEF，同理可证：△MFG≌△BEF，∴GM=BF=AE=2，∴FC=BC-BF=10，则S△GFC=10，（2）如图2，过点G作GM⊥BC于M．连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH，∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH，∴∠AHE=∠MFG．又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM=AE=2．∴（12-a）×2=（12-a）（3）△GFC的面积不能等于2．∵若S△GFC=2，则12-a=2，∴a=10．此时，在△BEF中，，在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上．故不可能有S△GFC=2；解法二：△GFC的面积不能等于2，∵点H在AD上，∴菱形边长EH的最大值为，∴BF的最大值为，又因为函数S△GFC=12-a的值随着a的增大而减小，所以S △GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．【解析】（1）过点G作GM⊥BC于M，可以证明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的长，进而就可以求出FC，求出面积．（2）证明△AHE≌△MFG．得到GM的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．（3）△GFC的面积不能等于2，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得到EF，进而在直角△AHE中求出AH．【例题6】【题干】如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是A．23-2 B．32-2 C．23-1 D．6-23【答案】A【解析】266262A -=--=解：矩形内阴影部分的面积是．故选．【例题7】【题干】一个正方形的边长增加了2cm ，面积相应增加了32cm 2，则这个正方形的边长为A ．6cm B. 5cm C ．7cmD ． 8cm【答案】C【解析】设这个正方形的边长为x ，正方形的边长如果增加2cm ，则是x+2，根据题意列出方程得x 2+32=（x+2）2解得x=7．则这个正方形的边长为7cm ．故选C ．【例题8】【题干】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（ ）【答案】∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长分别是 2，∴阴影部分的面积=（-2．故选A．【解析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 2，，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．课程小结1、矩形的定义2、矩形的性质3、矩形的判定4、直角三角形斜边中线的性质5、正方形的定义6、正方形的性质7、正方形的判定。