2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(附答案解析
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数−√3表示的点最接近的是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D2.根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”.预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为()A. 1.3×106B. 130×104C. 13×105D. 1.3×1053.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是()A.B.C.D.4.如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数()A. 28°B. 22°C. 32°D. 38°5. 某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110.下列说法不正确的是( ) A. 众数是110 B. 中位数是110 C. 平均数是100 D. 中位数是100 6. 抛物线y =(x −1)2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是( )A. y =−(x −1)2+3B. y =(x +1)2+3C. y =(x −1)2−3D. y =−(x −1)2−3二、填空题（本大题共10小题，共20.0分） 7. 分解因式：x 4−16=______． 8.√−273−(13)−2=______．9. 实数227，√3，−7，√36中，无理数有______．10. 已知2+√3是关于x 的方程x 2−4x +m =0的一个根，则m =______． 11. 如图，在△ABC 中，AC =10，BC =6，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BCE 的周长是______．12. 日期1234数量(瓶)120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为______瓶．13. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，分别以点A 和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E.若AC =3，AB =5，则DE 等于______．14. 关于x 的一元二次方程kx 2+3x −1=0有实数根，则k 的取值范围是______． 15. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D作DE ⊥AM ，垂足为E.若DE =DC =1，AE =2EM ，则BM 的长为 ． 16. 已知整数a 1，a 2，a 3，a 4…满足下列条件：a 1=0，a 2=−|a 1+1|，a 3=−|a 2+2|，a 4=−|a 3+3|，…，依此类推，则a 2019的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）17. 计算：4√12−√8+√27×√13−(√3)018.先化简，再求值：(3x+4x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x是整数且−3<x<1．19.如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E.求证：BC=EC．20.进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：(1)这次学校抽查的学生人数是______；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21.已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．(1)求证：AD=ED；(2)如果AF//CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．22.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O−A−B−C表示支架，支架的一部分O−A−B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO=7cm，∠BAO=160°，BC//OM，CD=8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置(如图3所示)，此时C′D′⊥OM，AD′//OM，AD′=16cm，求点B到水平桌面OM的距离，(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm)23.在甲口袋中有三个球分别标有数码1，−2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数(1)用树状图或列表法表示所有可能的结果；(2)求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24.某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润．25.如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC=1．(1)求证：AM=MD；(2)填空：①若DN=√3，则△ABC的面积为______；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为______．26.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；①如图1，设k =AF AD ，当k 为何值时，CF =12AD ？②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．27. 如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．(1)发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是______； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是______；(2)探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD =2AB ，AG =2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．(3)应用：在(2)的情况下，连接BG 、DE ，若AE =1，AB =2，求BG 2+DE 2的值(直接写出结果)．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先估算出√3≈1.732，所以−√3≈−1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为−3、−2、−1、2，即可解答．【解答】解：∵√3≈1.732，∴−√3≈−1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为−3、−2、−1、2，∴与数−√3表示的点最接近的是点B．故选：B．2.【答案】A【解析】解：将130万用科学记数法表示为1.3×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：它的俯视图是：故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．4.【答案】B【解析】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠AEC=∠ABC−∠1=22°，∵GH//EF，∴∠2=∠AEC=22°，故选：B．延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，因此选项B符合题意，故选：B．分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可．考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中位数、平均数是正确判断的前提．6.【答案】D【解析】解：∵y=(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,−3)，且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y=−(x−1)2−3．故选：D．抛物线y=(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,−3)，且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．7.【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)【解析】解：x4−16=(x2+4)(x2−4)=(x2+4)(x+2)(x−2)．故答案为：(x2+4)(x+2)(x−2)．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．8.【答案】−12【解析】解：原式=−3−9=−12．故答案为：−12．直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．9.【答案】√3【解析】解：22是分数，属于有理数；−7，√36=6是整数，属于有理数；7无理数有：√3．数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 10.【答案】1【解析】解：把x =2+√3代入方程得(2+√3)2−4(2+√3)+m =0， 解得m =1． 故答案为1．把x =2+√3代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11.【答案】16【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质有关知识． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE =BE ，从而得到△BCE 的周长=AC +BC ，然后代入数据计算即可求解． 【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AE =BE ，∵AC =10，BC =6，∴△BCE 的周长=BC +BE +CE =BC +AE +CE =BC +AC =10+6=16． 故答案为16． 12.【答案】150【解析】解：这是一个一次函数模型，设y =kx +b ，则有{k +b =1202k +b =125，解得{k =5b =115，∴y =5x +115，当x =7时，y =150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶， 故答案为150．这是一个一次函数模型，设y =kx +b ，利用待定系数法即可解决问题，本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．13.【答案】158【解析】解：在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC =√52−32=4， 连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直平分线， 根据性质得出AE =BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC 2+CE 2=AE 2， 222解得：AE=258，在Rt△ADE中，AD=12AB=52，由勾股定理得：DE2+(52)2=(258)2，解得：DE=158．故答案为：158．根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．14.【答案】k≥−94且k≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥−94，且k≠0，故答案为k≥−94且k≠0．利用判别式，根据不等式即可解决问题；本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15.【答案】2√55【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM= AD，BM=AE，所以BC=AD=3EM，BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD//BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，{∠AMB=∠DAE∠B=∠DEA=90°AB=DE，∴△ABM≌△DEA(AAS)，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2，解得：x=√55，∴BM=2√55；故答案为2√55．16.【答案】−1009【解析】解：a1=0，a2=−|a1+1|=−|0+1|=−1，a3=−|a2+2|=−|−1+2|=−1，a4=−|a3+3|=−|−1+3|=−2，a5=−|a4+4|=−|−2+4|=−2，…，所以，n是奇数时，a n=−12(n−1)，n是偶数时，a n=−n2，a2019=−12(2019−1)=−1009．故答案为：−1009根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于−12(n−1)，n是偶数时，结果等于−n2，然后把n的值代入进行计算即可得解．此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．17.【答案】解：原式=2√2−2√2+3−1=2．【解析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18.【答案】解：原式=3x+4−2(x+1)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2=x+2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+2=x−1x+1，∵x是整数且−3<x<1，并且x≠±1，−2∴取x=0，∴原式=0−10+1=−1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据−3<x<1求出x的值，代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADF=∠ECF，∠DAF=∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF=CF，∴在△ADF和△ECF中，{∠ADF=∠ECF ∠DAF=∠CEF DF=CF∴△ADF≌△ECF(AAS)．∴AD=EC，而AD=BC∴BC=EC．【解析】先由矩形的性质得AD//BE，AD=BC，再证明△ADF≌△ECF(AAS)，然后利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20.【答案】(1)40(2)C项目的人数为40−12−14−4=10(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有1000×440=100(人)．【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)，故答案为：40人；(2)见答案(3)见答案【分析】(1)利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；(2)计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；(3)用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21.【答案】证明：(1)∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADB=∠CDB，∵AB⊥AD，BE⊥CD，又∵BD=BD，∴△ABD≌△EBD(AAS)，∴AD=ED；(2)解：四边形ADEF是菱形．证明：∵AF//CD，∴∠AFD=∠EDF．∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD．又∵AD=ED，∴AF=DE．∴四边形ADEF是平行四边形，又∵AD=ED，∴四边形ADEF是菱形．【解析】(1)先根据平行的性质得到∠ADB=∠CDB，然后结合BC=CD，可得∠ADB=∠BDC，利用AAS可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；(2)证明AF=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．22.【答案】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H=D′E，HE=C′D′=8，设AE=x，∴C′H=D′E=16+x，∵∠BC′H=45°，∴BH=C′H=16+x，∴BE=16+x+8=24+x，∵∠BAO=160°，∴∠BAE=70°，∴tan70°=BEAE =24+xx=10.36，解得：x=13.5，∴BE=37.5，∴BG=BE+EG=BE+AO=37.5+7=44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【解析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H=D′E，HE=C′D′=8，设AE=x，解直角三角形即可得到结论．此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23.【答案】解：(1)列表如下：1−234(1,4)(−2,4)(3,4)−5(1,−5)(−2,−5)(3,−5)6(1,6)(−2,6)(3,6)(2)由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为49．【解析】(1)利用列表法可得所有等可能结果；(2)从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24.【答案】解：(1)根据题意得：{5x +3(30−x)≤1304x +6(30−x)≤144，解得18≤x ≤20，∵x 是正整数，∴x =18、19、20，共有三种方案：方案一：A 产品18件，B 产品12件，方案二：A 产品19件，B 产品11件，方案三：A 产品20件，B 产品10件；(2)根据题意得：y =：700x +900(30−x)=−200x +27000，∵−200<0，∴y 随x 的增大而减小，∴x =18时，y 有最大值，y 最大=−200×18+27000=23400元．答：利润最大的方案是方案一：A 产品18件，B 产品12件，最大利润为23400元．【解析】(1)根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；(2)根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．25.【答案】2√3345°【解析】(1)证明：连接OD ，∵DN 为⊙O 的切线，∴∠ODM =∠ABC =90°，在Rt △BOM 与Rt △DOM 中，{OD =OB OM =OM， ∴Rt △BOM≌Rt △DOM(HL)，∴BM =DM ，∠DOM =∠BOM =12∠DOB ，∵∠C =12∠DOB ，∴∠BOM =∠C ，∴OM//AC ，∵BO =OC ，∴BM =AM ，∴AM =DM ；(2)解：①∵OD =OC =1，DN =√3，∴tan ∠DON =DN OD =√3，∴∠DON =60°，∴∠C =30°，∵BC =2OC =2，∴AB =√33BC =2√33， ∴△ABC 的面积为12×AB ⋅BC =12×2√33×2=2√33；②当四边形COMD 为平行四边形时，∠C 的度数为45°，理由：∵四边形COMD 为平行四边形，∴DN//BC ，∴∠DON =∠NDO =90°，∴∠C =12∠DON =45°， 故答案为：2√33，45°． (1)连接OD ，根据切线的性质得到∠ODM =∠ABC =90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt △BOM≌Rt △DOM(HL)，求得BM =DM ，∠DOM =∠BOM =12∠DOB ，根据圆周角定理得到∠BOM =∠C ，于是得到结论；(2)①由于tan ∠DON =DN OD =√3，求得∠DON =60°，根据圆周角定理得到∠C =30°，求得AB =√33BC =2√33，根据三角形的面积公式即可得到结论；②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3过点A(−3,0)，B(1,0)，∴{9a −3b +3=0a +b +3=0，解得：{a =−1b =−2， ∴抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4∴顶点D 的坐标为(−1,4)；(2)①∵在Rt △AOC 中，OA =3，OC =3，∴AC 2=OA 2+OC 2=18，∵D(−1,4)，C(0,3)，A(−3,0)，∴CD 2=12+12=2∴AD 2=22+42=20∴AC 2+CD 2=AD 2∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD =90°．∵CF =12AD ，∴F 为AD 的中点，∴AF AD =12，∴k =12．②在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =DC AC =√23√2=13， 在Rt △OBC 中，tan∠OCB =OB OC =13，∴∠ACD =∠OCB ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°，∴∠FAO =∠ACB ，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF =∠ABC 时，△AOF∽△CBA ，∴OF//BC ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴{k +b =0b =3，解得：{k =−3b =3， ∴直线BC 的解析式为y =−3x +3，∴直线OF 的解析式为y =−3x ，设直线AD 的解析式为y =mx +n ，∴{−k +b =4−3k +b =0，解得：{k =2b =6， ∴直线AD 的解析式为y =2x +6， ∴{y =2x +6y =−3x ，解得：{x =−65y =185， ∴F(−65,185). 当∠AOF =∠CAB =45°时，△AOF∽△CAB ，∵∠CAB =45°，∴OF ⊥AC ，∴直线OF 的解析式为y =−x ，∴{y =−x y =2x +6，解得：{x =−2y =2， ∴F(−2,2)．综合以上可得F 点的坐标为(−65,185)或(−2,2)．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(−1,4)；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC =3√2，DC =√2，AD =2√5，可得△ACD 为直角三角形，若CF =12AD ，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值；②由条件可判断∠DAC =∠OBC ，则∠OAF =∠ACB ，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，可分两种情况考虑：当∠AOF =∠ABC 或∠AOF =∠CAB =45°时，可分别求出点F 的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．27.【答案】DG=BE DG⊥BE【解析】解：(1)①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△DAG中，{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG，∴△ABE≌△DAG(SAS)，∴BE=DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，∵∠ATB+∠ABE=90°，∴∠ATB+∠ADG=90°，∵∠ATB=∠DTH，∴∠DTH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE=DG，BE⊥DG；(2)数量关系不成立，DG=2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD=∠DAG，∴∠BAE=∠DAG，∵AD=2AB，AG=2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE=∠ADG，BEDG =12，∴DG=2BE，∵∠ATB+∠ABE=90°，∴∠ATB+∠ADG=90°，∵∠ATB=∠DTH，∴∠DTH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG；(3)如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x，AT=y．∵△AHG∽△ATE，∴GHET =AHAT=AGAE=2，∴GH=2x，AH=2y，∴4x2+4y2=4，∴x2+y2=1，∴BG2+DE2=(2x)2+(2y+2)2+x2+(4−y)2=5x2+5y2+20=25．(1)先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；(2)先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；(3)如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H.设ET=x，AT=y.利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，合计12分）1．如图，数轴上的A 、B 、C 、D 四点中，与数3-表示的点最接近的是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（ ）A ．61.310⨯B ．413010⨯C ．51310⨯D ．51.310⨯3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图所示，将含有30°角的三角板（30A ∠=︒）的直角 顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若138∠=︒， 则2∠的度数（ ）A ．28°B ．22°C ．32°D ．38°5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（ ）A ．众数是110B ．中位数是110C ．平均数是100D ．中位数是1006．抛物线2(1)3y x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是（ ） A ．2(1)3y x =--+ B ．2(1)3y x =++ C ． 2(1)3y x =-- D ．2(1)3y x =---二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分） 7．分解因式：416x -=________． 8．23127()3---=________．9．实数227，3，7-，36中，无理数有________． 10．已知23+是关于x 的方程240x x m -+=的一个根，则m =________．11．如图，在△ABC 中，10AC =，6BC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BCE 的周长是________．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期 1 2 3 4 数量（瓶） 12012513013513．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于 12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交A B 于点D ，交BC 于点E ．若3AC =，5AB =，则DE 等于________．14．关于x 的一元二次方程2310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是________．15．如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连接AM ，过点D 作DE ⊥AM ，垂足为E ．若1DE DC ==，2AE EM =，则BM 的长为________．16．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…，依此类推，则2019a 的值为________．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分）17．计算：0-．18．先化简，再求值：223422()1121x x x x x x ++-÷---+，其中x 是整数且31x -<<．19．如图，在矩形ABCD 中，F 是CD 的中点，连接AF 交BC 延长线于点E ．求证：BC EC =．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A ．绘画；B ．唱歌；C ．演讲；D ．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是________； （2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D 的学生约有多少人？21．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC CD =，BE ⊥CD ，垂足为点E ，点F 在BD 上，连结AF 、EF ． （1）求证：AD ED =；（2）如果AF ∥CD ，判断四边形ADEF 是什么特殊四边形．证明你的结论．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O A B C ---表示支架，支架的一部分O A B --是固定的，另一部分BC 是可旋转的，线段CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO ⊥OM ，垂足为点O ，且7AO =cm ，160BAO ∠=︒，BC ∥OM ，8CD =cm ．将图2中的BC 绕点B 向下旋转45°，使得BCD 落在''BC D 的位置（如图3所示），此时''C D ⊥OM ，'AD ∥OM ，'16AD =cm ，求点B 到水平桌面OM 的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm ）23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，2-，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，5-，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码． （1）用树状图或列表法表示所有可能的结果； （2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，1OC=．（1）求证：AM MD=；（2）填空：①若DN=，则△ABC的面积为________；②当四边形COMD为平行四边形时，C∠的度数为________．26．已知抛物线23y ax bx=++与x轴分别交于A（3-，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设AFkAD=，当k为何值时，12CF AD=?②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似? 若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．27．如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是______； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是______；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且2AD AB =，2AG AE =时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若1AE =，2AB =，求22BG DE +的值（直接写出结果）．。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(解析版)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×1053．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（）A．众数是110B．中位数是110C．平均数是100D．中位数是1006．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分．）7．分解因式：x4﹣16＝．8．﹣（）﹣2＝．9．实数，，﹣7，中，无理数有．10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝．11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为瓶．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于．14．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．16．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分．）17．计算：18．先化简，再求值：（），其中x是整数且﹣3＜x＜1．19．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC ＝EC．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．（1）求证：AD＝ED；（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为．26．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．27．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．参考答案一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，合计12分．）1．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先估算出≈1.732，所以﹣≈﹣1.732，根据点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，即可解答．解：∵≈1.732，∴﹣≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数﹣表示的点最接近的是点B．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将130万用科学记数法表示为1.3×106．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：它的俯视图是：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．4．如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．5．某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（）A．众数是110B．中位数是110C．平均数是100D．中位数是100【分析】分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可．解：85，95，110，100，110这组数据的众数是110，中位数是100，平均数为100，因此选项B符合题意，故选：B．【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中位数、平均数是正确判断的前提．6．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【分析】抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛物线的解析式即可．解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系．关键是明确顶点的对称及抛物线开口方向的变化对解析式的影响．二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，合计20分．）7．分解因式：x4﹣16＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．8．﹣（）﹣2＝﹣12．【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣3﹣9＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．9．实数，，﹣7，中，无理数有．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：是分数，属于有理数；﹣7，是整数，属于有理数；无理数有：．故答案为：【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝1．【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是16．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，从而得到△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求解．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16．故答案为：16【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，证明出三角形的周长等于AC与BC的和是解题的关键．12．某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶．【分析】这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题，解：这是一个一次函数模型，设y＝kx+b，则有，解得，∴y＝5x+115，当x＝7时，y＝150，∴预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为150．【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC ＝3，AB＝5，则DE等于．【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理求出DE即可．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝4，连接AE，从作法可知：DE是AB的垂直平分线，根据性质得出AE＝BE，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，即32+（4﹣AE）2＝AE2，解得：AE＝，在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，解得：DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键．14．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．【分析】利用判别式，根据不等式即可解决问题；解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，∴9+4k≥0，∴k≥﹣，且k≠0，故答案为k≥﹣且k≠0．【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．15．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM＝AD，证出BC＝AD＝3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM＝CM，因此BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．16．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为﹣1009．【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣（n﹣1），n是偶数时，结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．三、解答题：（本大题共11小题，合计88分．）17．计算：【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．解：原式＝＝2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．先化简，再求值：（），其中x是整数且﹣3＜x＜1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据﹣3＜x＜1求出x的值，代入原式进行计算即可．解：原式＝•＝•＝，∵x是整数且﹣3＜x＜1，并且x≠±1，﹣2∴取x＝0，∴原式＝＝﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC ＝EC．【分析】先由矩形的性质得AD∥BE，AD＝BC，再证明△ADF≌△ECF（AAS），然后利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AD＝BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，∴在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AD＝EC，而AD＝BC∴BC＝EC．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是40；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人），故答案为：40人；（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）条形统计图补充为：（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000×＝100（人）．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF．（1）求证：AD＝ED；（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．【分析】（1）先根据平行的性质得到∠ADB＝∠CDB，然后结合BC＝CD，可得∠ADB ＝∠BDC，利用AAS可证得△ABD≌△EBD，继而可得出结论；（2）证明AF＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．【解答】证明：（1）∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD．∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADB＝∠CDB，∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD＝∠BED＝90°又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AD＝ED；（2）解：四边形ADEF是菱形．证明：∵AF∥CD，∴∠AFD＝∠EDF．∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD．又∵AD＝ED，∴AF＝DE．∴四边形ADEF是平行四边形，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是菱形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出四边形ADEF为平行四边形是解题关键．22．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，答：B到水平桌面OM的距离为45cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果；（2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．解：（1）列表如下：1﹣234（1，4）（﹣2，4）（3，4）﹣5（1，﹣5）（﹣2，﹣5）（3，﹣5）6（1，6）（﹣2，6）（3，6）（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．解：（1）根据题意得：，解得18≤x≤20，∵x是正整数，∴x＝18、19、20，共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，B产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；（2）根据题意得：y＝：700x+900（30﹣x）＝﹣200x+27000，∵﹣200＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝18时，y有最大值，y最大＝﹣200×18+27000＝23400元．答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB 于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1．（1）求证：AM＝MD；（2）填空：①若DN＝，则△ABC的面积为；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODM＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的判定定理得到Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），求得BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，根据圆周角定理得到∠BOM＝∠C，于是得到结论；（2）①由于tan∠DON＝＝，求得∠DON＝60°，根据圆周角定理得到∠C＝30°，求得AB＝BC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论；②根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵DN为⊙O的切线，∴∠ODM＝∠ABC＝90°，在Rt△BOM与Rt△DOM中，，∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL），∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM＝，∵∠C＝，∴∠BOM＝∠C，∴OM∥AC，∵BO＝OC，∴BM＝AM，∴AM＝DM；（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN＝，∴tan∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∴∠C＝30°，∵BC＝2OC＝2，∴AB＝BC＝，∴△ABC的面积为AB•BC＝×2＝；②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°，理由：∵四边形COMD为平行四边形，∴DN∥BC，∴∠DON＝∠NDO＝90°，∴∠C＝DON＝45°，故答案为：，45°．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．26．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（﹣1，4）；（2）①由A、C、D三点的坐标求出AC＝3，DC＝，AD＝2，可得△ACD为直角三角形，若CF＝，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断∠DAC＝∠OCB，则∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别求出点F的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，在Rt△OBC中，tan，∴∠CAD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．27．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是DG＝BE；②直线DG与直线BE之间的位置关系是DG⊥BE；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．。
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷含答案解析
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）（）﹣2的相反数为（）A．﹣4B．﹣C．D．42．（2分）计算a8÷（﹣a3）2×a5的结果是（）A．﹣a8B．﹣a7C．a7D．a83．（2分）任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能是（）A．B．C．D．4．（2分）下列整数中，与+3最接近的是（）A．5B．6C．7D．85．（2分）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（）A．20.5°B．22.5°C．24°D．30°6．（2分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣4﹣224…y…﹣2m n2…对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y 是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）9的平方根是，8的立方根是．8．（2分）要使式子1+有意义，则实数x的取值范围是．9．（2分）分解因式a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）的结果是．10．（2分）计算（﹣）×的结果是．11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则x12x2+x1x22＝．12．（2分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝．13．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．14．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O沿弦AB折叠得到，且恰好经过圆心O，则新月形阴影部分的面积为．15．（2分）如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝．16．（2分）已知等边△ABC的边长为，直线l经过点A，点B关于直线l的对称点为B′，若BB′＝2，则CB′＝．三、解答题（共11题，共88分）[2x+3≤x+5，17．（8分）解关于x的不等式组并把解集表示在所给数轴上．18．（7分）先化简，再求值：（1+）÷（﹣m），其中m＝1﹣．19．（8分）某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了10次训练．将两人的10次训练成绩分别绘制成如图统计图．（1）根据统计图把下列表格补充完整：平均数（s）方差（s2）跑进15s以内（不包括15s）的占比甲15①50%乙150.038②（2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩．20．（7分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生．（1）甲恰好被分在1班的概率为；（2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．21．（7分）甲、乙两人分别从距目的地8km和14km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．22．（8分）如图，在▱ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．23．（8分）已知一次函数y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1．（1）当m＝2时，若y1＞y2，求x的取值范围；（2）当x1＞1时，y1＞y2；当x1＜1时，y1＜y2，则m的值是．（3）判断函数y＝y1•y2的图象与x轴的交点个数情况，并说明理由．24．（7分）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）25．（9分）商家销售某种商品，每件成本50元．经市场调研，当售价为60元时，可销售300件；售价每增加1元，销售量将减少10件．为了提高销售量，当售价为80元时，网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对该商家聘请问此商品规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该商品的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元）之间的函数关系．（1）求线段BC对应的函数表达式；（2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？（3）直播带货后，售价至少为元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润．26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E 作EF∥BC，交AB于点F，经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、H，连接EG、EH、GH．（1）求证：△EGH∽△ABC；（2）若AB＝15，BC＝10，①当BG＝2时，求DH的长；②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为．27．（10分）【数学问题】如图①，⊙O是△ABC的外接圆，P是△ABC的内心，连接CP并延长交⊙O于点D，连接DA．（1）求证：DA＝DP；（2）若AB＝8，tan∠ACB＝，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为．【问题解决】如图②，有一个半径为25m的圆形广场，点O为圆心，点P处有一座雕像，且O、P两点之间的距离为5m．现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使⊙O是三角形的外接圆，点P是三角形的内心．（3）请用直尺和圆规在图②中作出一个满足修建要求的三角形；（保留作图痕迹，不写作法）（4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为xm，发现能作出的三角形的个数随着x的值变化而变化…请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的x的取值范围．2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）（）﹣2的相反数为（）A．﹣4B．﹣C．D．4【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，再利用相反数的定义得出答案．【解答】解：（）﹣2＝22＝4，4的相反数是：﹣4．故选：A．2．（2分）计算a8÷（﹣a3）2×a5的结果是（）A．﹣a8B．﹣a7C．a7D．a8【分析】根据积的乘方运算法则把（﹣a3）2化简后，再根据同底数幂的乘除法法则计算即可．【解答】解：a8÷（﹣a3）2×a5＝a8÷a6×a5＝a8﹣6+5＝a7．故选：C．3．（2分）任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：任意摆放如图所示的正三棱柱，其主视图可能是三角形，矩形（中间只有一条线段），所以不可能是矩形（中间由两条线段），故选：D．4．（2分）下列整数中，与+3最接近的是（）A．5B．6C．7D．8【分析】先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可．【解答】解：∵3.62＜13＜3.72，∴3.6＜＜3.7，∴3.6+3+3＜3.7+3，即6.6＜+3＜6.7，∴与+3最接近的是7．故选：C．5．（2分）如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为（）A．20.5°B．22.5°C．24°D．30°【分析】根据切线的性质得到∠OBC＝90°，根据平行四边形的性质得到OA＝BC，推出△OBC是等腰直角三角形，得到∠BOC＝45°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵四边形OABC为平行四边形，∴OA＝BC，∵OA＝OB，∴OB＝BC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠BDC＝BOC＝22.5°，故选：B．6．（2分）已知函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣4﹣224…y…﹣2m n2…对于下列命题：①若y是x的反比例函数，则m＝﹣n；②若y是x的一次函数，则n﹣m＝2；③若y 是x的二次函数，则m＜n．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据反比例函数系数k的几何意义即可判断；②求得一次函数的解析式，分别求得m、n的值即可判断；③根据二次函数的性质即可判断．【解答】解：①若y是x的反比例函数，则﹣2m＝2n＝4×2，解得m＝﹣4，n＝4，则m＝﹣n，故①正确；②若y是x的一次函数，设为y＝kx+b，把x＝﹣4，y＝﹣2；x＝4，y＝2代入求得y＝x，∴当x＝﹣2时y＝﹣1；x＝2时y＝1，∴m＝﹣1，n＝1，∴n﹣m＝2，故②正确；③若y是x的二次函数，由函数经过点（﹣4，﹣2）和（4，2），当开口向上时，对称轴在y轴的左侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离小于点（2，n）到对称轴的距离，所以m＜n；当开口向下时，对称轴在y轴的右侧，则点（﹣2，m）到对称轴的距离大于点（2，n）到对称轴的距离，所以m＜n；故③正确；故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）9的平方根是±3，8的立方根是2．【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴±＝±3；∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：±3；2．8．（2分）要使式子1+有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【分析】根据分式有意义的条件、零指数幂列出不等式x﹣1≠0，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得，x≠1，故答案为：x≠1．9．（2分）分解因式a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）的结果是a（x﹣1）（x﹣2）．【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．【解答】解：a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）＝a（x﹣1）（x﹣1﹣1）＝a（x﹣1）（x﹣2）．故答案为：a（x﹣1）（x﹣2）．10．（2分）计算（﹣）×的结果是﹣．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣）×＝×﹣＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．11．（2分）设x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则x12x2+x1x22＝﹣．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝﹣1，将其代入x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）中即可求出结论．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣1，∴x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝﹣1×＝﹣．故答案为：﹣．12．（2分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（x＞0）的图象分别交于点A1，A2，若＝，则＝．【分析】△OA1N∽△OA2M，根据三角形相似比的平方等于面积比，即可求解．【解答】解：分别过点A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为M、N，则△OA1N∽△OA2M，∵＝，即两个三角形的相似比为3：2，则△OA2M和△OA1N的面积比为：9：4，而＝＝，故答案为：．13．（2分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是60（1﹣x）2＝48．【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）＝48，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，所以可列方程为60（1﹣x）2＝48．故答案为60（1﹣x）2＝48．14．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O沿弦AB折叠得到，且恰好经过圆心O，则新月形阴影部分的面积为π+2．【分析】根据题意和图形，可以求得弓形ACB的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积．【解答】解：作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，连接OA，OB，由折叠的性质可知，OD＝CD，∵∠ODA＝90°，∴cos∠AOD＝，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，AD＝，∴AB＝2，∴弓形ACB的面积是：＝﹣，∴新月形阴影部分的面积为：π×22﹣（﹣）×2＝+2，故答案为：+2．15．（2分）如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝108°．【分析】设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，由正五边形的中心与⊙O的圆心重合，得出图形是轴对称图形，则∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝72°，由圆周角定理得出∠ABC＝∠AOC，∠BCD＝∠BOD，即可得出结果．【解答】解：设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示：∵正五边形的中心与⊙O的圆心重合，∴图形是轴对称图形，∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝＝72°，∵∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°，∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝72°+72°＝144°，∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°，∴∠APC＝∠PBC+∠BCP＝36°+72°＝108°，即∠1＝108°，故答案为：108°．16．（2分）已知等边△ABC的边长为，直线l经过点A，点B关于直线l的对称点为B′，若BB′＝2，则CB′＝+1或﹣1．【分析】如图，过点B′作B′J⊥CB交CB的延长线于J，交直线l于K，连接BK，设直线l交BB′于H．首先证明∠ABH＝45°，推出∠JBB′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∠JB′B＝15°，推出∠JKB ＝∠KB′B+∠KBB′＝30°，设BJ＝a，则BK＝KB′＝2a，KJ＝a，根据BJ2+JB′2＝BB′2，构建方程求出a即可解决问题，当点B′在点B的右侧时，同法可求．【解答】解：如图，过点B′作B′J⊥CB交CB的延长线于J，交直线l于K，连接BK，设直线l交BB′于H．∵B，B′关于直线l对称，∴直线l垂直平分线段BB′，∴BK＝KB′，∠AHB＝90°，BH＝HB′＝1，∴AH＝＝＝1，∴AH＝BH＝1，∴∠ABH＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠JBB′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵∠J＝90°，∴∠JB′B＝15°，∴∠KB′B＝∠KBB′＝15°，∴∠JKB＝∠KB′B+∠KBB′＝30°，设BJ＝a，则BK＝KB′＝2a，KJ＝a，∵BJ2+JB′2＝BB′2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴CJ＝+＝，JB′＝（2+）×＝，∴CJ＝JB′，∴CB′＝CJ＝+1．当点B′在点B的右侧时，同法可得CB′＝﹣1故答案为+1或﹣1．三、解答题（共11题，共88分）[2x+3≤x+5，17．（8分）解关于x的不等式组并把解集表示在所给数轴上．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+3≤x+5，得：x≤2，解不等式＜2+x，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：18．（7分）先化简，再求值：（1+）÷（﹣m），其中m＝1﹣．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当m＝1﹣时，原式＝＝＝．19．（8分）某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了10次训练．将两人的10次训练成绩分别绘制成如图统计图．（1）根据统计图把下列表格补充完整：平均数（s）方差（s2）跑进15s以内（不包括15s）的占比甲15①0.0750%乙150.038②40%（2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩．【分析】（1）根据方差计算公式求出甲的方差即可；根据扇形统计图可求乙跑进15s以内（不包括15s）的占比；（2）从平均数与方差，或从跑进15s以内（不包括15s）的占比与最好成绩两个不同角度评价即可．【解答】解：（1）甲同学10次训练的成绩为：15.0，14.7，15.3，15.0，14.8，14.9，15.5，14.7，14.8，15.3，平均数为15，所以方差为：[2×（14.7﹣15）2+2×（14.8﹣15）2+（14.9﹣15）2+2×（15.0﹣15）2+2×（15.3﹣15）2+（15.5﹣15）2]＝0.07，乙跑进15s以内（不包括15s）的占比为：×100%＝40%．故答案为：0.07，40%；（2）两人训练成绩的平均数都是15s，说明两人成绩整体实力相当；甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定．或：甲跑进15s以内的占比多于乙，且甲的最快速度比乙快，说明甲更加有可能创造出好成绩．20．（7分）某校对高一新生随机摇号分班，一共分4个班，班号分别为1班、2班、3班、4班，甲、乙两人是该校的高一新生．（1）甲恰好被分在1班的概率为；（2）求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．【分析】（1）根据概率公式即可求出甲恰好被分在1班的概率；（2）根据题意画出树状图即可求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率．【解答】解：（1）根据题意可知：甲恰好被分在1班的概率为；故答案为：；（2）根据题意画出树状图为：所有可能的结果有16种，甲、乙被分在班号连续的两个班级的结果有6种，分别为：1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3．所以甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率为＝．21．（7分）甲、乙两人分别从距目的地8km和14km的两地同时出发，甲、乙的速度比是2：3，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．【分析】设甲的速度为2x千米/小时，乙的速度为3x千米/小时，根据题意可得：甲走8km比乙走14km 少用20min，列方程求解．【解答】解：设甲的速度为2x千米/小时，乙的速度为3x千米/小时，依题意得：+＝，解得：x＝2，经检验：x＝2是分式方程的解，则2x＝4，3x＝6．答：甲的速度为4千米/小时，乙的速度为6千米/小时．22．（8分）如图，在▱ABCD中，E、G分别是AB、CD的中点，且AH＝CF，AH∥CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）连接FH，若FH＝AD，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，证明四边形APCQ是平行四边形，得出∠HAE ＝∠FCG，由SAS即可证得△AHE≌△CFG；（2）连接FH、EG，易证四边形EFGH和四边形ADGE都是平行四边形，得出EG＝FH，即可得出结论．【解答】证明：（1）延长AH交CD于点P，延长CF交AB于Q，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴AQ∥CP，∵AH∥CF，∴四边形APCQ是平行四边形，∴∠HAE＝∠FCG，∵E、G分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CG＝CD，∴AE＝CG，在△AHE和△CFG中，，∴△AHE≌△CFG（SAS）；（2）连接FH、EG，∵AH∥CF，∴∠AHF＝∠HFC，由（1）得：∠AHE＝∠CFG，HE＝FG，∴∠AHF﹣∠AHE＝∠HFC﹣∠CFG，即∠EHF＝∠GFH，∴HE∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，由（1）得：AE＝DG，AB∥CD，∴四边形ADGE是平行四边形，∴AD＝EG，又∵FH＝AD，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．23．（8分）已知一次函数y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1．（1）当m＝2时，若y1＞y2，求x的取值范围；（2）当x1＞1时，y1＞y2；当x1＜1时，y1＜y2，则m的值是﹣2．（3）判断函数y＝y1•y2的图象与x轴的交点个数情况，并说明理由．【分析】（1）把m＝2代入y1＝2x+m，可得y1＝2x+2，根据y1＞y2，得出不等式2x+2＞﹣x+1，解不等式即可；（2）根据条件得出＝1，即可求出m的值；（3）把y1＝2x+m（m为常数）和y2＝﹣x+1代入y＝y1•y2，令y＝0，求出x1＝﹣，x2＝1，再分﹣＝1与﹣≠1两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当m＝2时，y1＝2x+2，∵y1＞y2，y2＝﹣x+1，∴2x+2＞﹣x+1，解得x＞﹣；（2）如果y1＞y2，那么2x+m＞﹣x+1，解得x＞，如果y1＜y2，那么2x+m＜﹣x+1，解得x＜，∵当x1＞1时，y1＞y2；当x1＜1时，y1＜y2，∴＝1，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2；（3）y＝y1•y2＝（2x+m）（﹣x+1），令y＝0，则（2x+m）（﹣x+1）＝0，解得x1＝﹣，x2＝1，当﹣＝1，即m＝﹣2时，该方程有两个相等的实数根，则函数图象与x轴只有一个交点；当﹣≠1，即m≠﹣2时，该方程有两个不相等的实数根，则函数图象与x轴有两个交点．24．（7分）如图，某工地有一辆底座为AB的吊车，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，将货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝11m，求吊臂的长．（参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【分析】过点A做AF⊥DE，垂足为F，设AD＝AC＝x，根据锐角三角函数的定义以及图形中的等量关系列出方程即可求出答案．【解答】解：过点A做AF⊥DE，垂足为F，设AD＝AC＝x，在Rt△AFD中，∠DAF＝53°，∴sin∠DAF＝，∴DF＝AD sin∠DAF＝x sin53°，在Rt△ABC中，∠C＝18°，∴sin C＝，∴AB＝AC sin C＝x sin18°，在矩形AEFB中，AB＝EF＝x sin18°，∵DE＝DF+EF，∴11＝x sin53°+x sin18°，∴x＝≈＝10，所以吊臂长为10m．25．（9分）商家销售某种商品，每件成本50元．经市场调研，当售价为60元时，可销售300件；售价每增加1元，销售量将减少10件．为了提高销售量，当售价为80元时，网络主播直播带货，此时售价每增加1元，需支付给主播300元．物价局对该商家聘请问此商品规定：售价最高不超过110元．如图中的折线ABC表示该商品的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元）之间的函数关系．（1）求线段BC对应的函数表达式；（2）当售价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少？（3）直播带货后，售价至少为100元，该商家获得的利润不低于直播带货前的最大利润．【分析】（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；（2）当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当80≤x≤110时，w＝（x ﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分别求取最大值，即可求解；（3）由题意得：5（x﹣85）2+2875≥4000（80≤x≤110），即可求解．【解答】解：（1）当x＝80时，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即点B（80，100），设线段BC的表达式为：y＝kx+b，将点（80，100）、（110，250）代入上式得：，解得，故函数的表达式为：y＝5x﹣300；（2）同理可得：线段AB对应函数表达式为：y＝﹣10x+900，设获得的利润为w元，当60≤x≤80时，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，当x＝70时，w的值最大，最大值为4000；当80≤x≤110时，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，当x＝110时，w取得最大值为6000，故当80≤x≤85时，w随x的增大而减小，即w≤3000，当85≤x≤110时，w随x的增大而增大，即w≤6000．故当x＝110时，w的值最大；综上，当售价为110元时，该商家获得的利润最大，最大利润为6000；（3）由题意得：5（x﹣85）2+2875≥4000（80≤x≤110），解得：x≥100或x≤70（舍去x≤70），故答案为：100．26．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点E 作EF∥BC，交AB于点F，经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、H，连接EG、EH、GH．（1）求证：△EGH∽△ABC；（2）若AB＝15，BC＝10，①当BG＝2时，求DH的长；②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为．【分析】（1）根据四边形EFGH是⊙O的内角四边形，可以证明△EGH∽△ABC；（2）①根据AB＝15，BC＝10，和△CEH∽△BHG，当BG＝2时，可得CH＝3，再根据四边形EFGH是⊙O的内角四边形，证明△EHG∽△DBG，进而可求DH的长；②根据ED恰为⊙O的直径，设BG＝2a，则CH＝3a，BH＝6a，可得BC＝CH+BH＝9a，根据锐角三角函数即可得BD的长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是⊙O的内角四边形，∴∠EF A＝∠EHG，∵∠EGH和∠EDH是同弧所对圆周角，∴∠EGH＝∠EDH，∵DE∥AB，EF∥BC，∴∠EF A＝∠B，∠EDH＝∠B，∴∠EGH＝∠EHG＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠EHG，∠B＝∠EGH，∴△EGH∽△ABC；（2）解：AB＝15，BC＝10，①如图，连接DG，∵∠CHE+∠BHG+∠EHG＝180°，∠CHE+∠CEH+∠C＝180°，∴∠CEH＝∠BHG，在△CEH和△BHG中，∠CEH＝∠BNG，∠C＝∠B，∴△CEH∽△BHG，由（1）知：＝＝＝，∴＝，∵BG＝2，∴CH＝3，∵四边形EFGH是⊙O的内角四边形，∴∠GDB＝∠GEH，∵∠EHG＝∠B，∴△EHG∽△DBG，∴＝，∴＝＝，∵BG＝2，∴BD＝3，∴DH＝BC﹣BD﹣CH＝10﹣3﹣3＝4．答：DH的长为4；②如图，设ED与GH交于点M，∵EG＝EH，ED恰为⊙O的直径，∴DE⊥GH，∴MH＝MG，DH＝DG，∴＝，∴＝3，∵DE∥AB，DE⊥HG，∴HG⊥AB，∴sin∠GHD＝sin∠GED＝＝，∴＝，∵＝，∴设BG＝2a，则CH＝3a，BH＝6a，∴BC＝CH+BH＝9a，∵BC＝10，∴a＝，∴BH＝，∵DG＝DH，∴∠DHG＝∠DGH，∵∠DHG+∠B＝90°，∠DGH+∠DGB＝90°，∴∠B＝∠DGB，∴DG＝DB，∴DH＝DG＝BD＝BH＝．∴BD的长为．故答案为：．27．（10分）【数学问题】如图①，⊙O是△ABC的外接圆，P是△ABC的内心，连接CP并延长交⊙O于点D，连接DA．（1）求证：DA＝DP；（2）若AB＝8，tan∠ACB＝，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为5﹣2．【问题解决】如图②，有一个半径为25m的圆形广场，点O为圆心，点P处有一座雕像，且O、P两点之间的距离为5m．现要在圆形广场上修建一个三角形水池，使⊙O是三角形的外接圆，点P是三角形的内心．（3）请用直尺和圆规在图②中作出一个满足修建要求的三角形；（保留作图痕迹，不写作法）（4）对于满足修建要求的三角形水池，若三角形水池其中一条边的长度为xm，发现能作出的三角形的个数随着x的值变化而变化…请你探索，直接写出能作出的三角形的个数及对应的x的取值范围．【分析】（1）连接AP，根据三角形外角性质及三角形内心性质可得结论；（2）由作法知AO并延长交⊙O于E，由圆周角定理及三角函数得AE＝10，BE＝6，连接OD交AB于F，然后根据三角形中位线定理可得答案；（3）过P作任意直线，交⊙O于MN，用圆规得到NP长度，并以N为圆心，NP长为半径作圆交⊙O 于R，S，连接RS，RM，SM，所得△RSM即为满足要求的三角形；（4）由题意，此三角形三边是可互相代替的，故考察其中一边即可，任取三角形一边命名为弦AB，取中点D，连接DP并延长交⊙O于点C，得△ABC，若此三角形满足条件，则有DA＝DP＝DB，AB随AD增大而增长，随DP增大而增大，分①当DP最大时，AB取得最大值，②当DP最小时，AB取最大值，③8，则必有以OP所在直线为对称轴的两种作法，三种情况可得答案．【解答】（1）证明：连接AP，∵∠APD＝∠PCA+∠P AC，∠P AD＝∠P AB+∠DAB，∵P是△ABC的内心，∴∠PCA＝∠PCB＝∠BAD，∠P AC＝∠P AB，∴DA＝DP．（2）解：如图：由作法知AO并延长交⊙O于E，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，∵AB＝8，tan∠AEB＝tan∠ACB＝，∴AE＝10，BE＝6，连接OD交AB于F，∴AO＝＝5，OF为△ABE的中位线，∴OF＝＝3，AF＝4，DF＝2，∴，∵OP+PD≥OD，∴OP+PD≥5，由（1）知，PD＝AD＝2，∴OP+2，OP，∴OP最小值为5﹣2．故最小值为：5﹣2．（3）解：过P作任意直线，交⊙O于MN，用圆规得到NP长度，并以N为圆心，NP长为半径作圆交⊙O于R，S，连接RS，RM，SM，所得△RSM即为满足要求的三角形，证明：由作法知：NR＝NP＝NS，∴∠NRS+∠SRP＝∠NMR+∠MRP，∵NR＝NS，∴，∴∠RMN＝∠SMN，∴MN平分∠RMS，∵∠NRS＝∠NMS＝∠RMN，∴∠SRP＝∠MRP，∴RP平分∠SRM，∴P为△RMS内心．（4）由题意，此三角形三边是可互相代替的，故考查其中一边即可，任取三角形一边命名为弦AB，取中点D，连接DP并延长交⊙O于点C，得△ABC，若此三角形满足条件，则有DA＝DP＝DB，AB随AD增大而增长，随DP增大而增大，①当DP最大时，AB取得最大值，设AB、CD交于点E，∵D是的中点，∴，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，∵∠ADE＝∠CDA，∴△DAE～△DCA，∴AD2＝DE•DC，AD＝DP＝30，DC＝50，∴DE＝18，AE＝，AB＝48．②当DP最小时，AB取最大值，同①可得，AB＝8，显然①②只有一种作法，③8，则必有以OP所在直线为对称轴的两种作法，综上，三角形的个数为0，x＞48或x；三角形的个数为1，x＝48 或x＝8；三角形的个数为2，8．。
南京市玄武区中考数学一模试题(及答案)
2020～2021学年度第二学期九年级学情调研卷数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是 A ．0.618×105B ．6.18×104C ．61.8×103D ．618×1022．下列计算中，结果是a 6的是 A ．a 2＋a 4 B ．a 2·a 3 C ．a 12÷a 2 D ．(a 2)3 3．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是A ．a ＞bB ．||a ＞bC ．a ＞||bD ．||a ＜||b 4．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ∥OA ，∠A ＝20°，则∠B 的度数为A ．10°B ．20°C ．40°D ．50°5．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上一点，在AC 边上求作一点Q ，使得△AQP ∽△ABC . 甲的作法：过点P 作PQ ∥BC ，交AC 于点Q ，则点Q 即为所求.乙的作法：经过点P ，B ，C 作⊙O ，交AC 于点Q ，则点Q 即为所求.对于甲、乙的作法，下列判断正确的是A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都错误D ．甲、乙都正确6．已知一次函数y 1＝k 1x ＋b 1(k 1，b 1为常数，k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋b 2(k 2，b 2为常数，k 2≠0)的图 像如图所示，则函数y ＝y 1·y 2的图像可能是（第5题）（第3题） C （第4题）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．－3的相反数是 ▲ ；13的倒数是 ▲ .8．若式子x －2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 9．分解因式2a 2－8的结果是 ▲ ．10．计算3×122的结果是 ▲ ． 11．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝2，则m ＝ ▲ ． 12．圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ▲ °． 13．如图，在正五边形ABCDE 中，M 是CD 的中点，连接AC ，AM ，则∠CAM 的度数是 ▲______°. 14．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝12x (x ＞0)的图像上，点C 在反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像上，连接AC ，BC ，且AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，AC ＝BC .若点A 的横坐标为2，则k 的值为 ▲ ．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，M ，N 分别是BC ，DC 边上的点，若⊙O 经过点A ，且与BC ，DC 分别相切于点M ，N ，则⊙O 的半径为 ▲ ．16．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，DE ，将△ABE 沿直线AE 翻折，使得点B 落在DE 上的点B ′处，连接AB ′并延长交CD 于点F ，则AB ′B ′F 的值为 ▲ ．A .B .C .D .（第14题）（第15题）（第16题）ABCDE B ′F （第13题）。
2020年江苏省南京市中考数学一模试卷及解析
2020年江苏省南京市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）1.如果a是无理数，那么下列各数中，一定是有理数的是()D. a0A. −aB. a2C. 1a2.下列各式计算结果不等于211的是()A. 210+210B. 212−210C. 27×24D. 215÷243.下列命题中，是真命题的是()A. 平行四边形的四边相等B. 平行四边形的对角互补C. 平行四边形是轴对称图形D. 平行四边形的对角线互相平分4.下列的立体图形中，有4个面的是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱5.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 36.如图，在△ABC中，BC>AB>AC，D是边BC上的一个动点(点D不与点B、C重合)，将△ABC沿AD折叠，点B落在点处，连接，，若是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共10小题，共20分）7.根据刘慈欣同名小说改编的电影《流浪地球》将中国独特的思想和价值观念融入对人类未来的畅想与探讨，该电影取得了巨大的成功，国内票房总收入为4 655 000 000元，用科学记数法表示4 655 000 000是______．8.计算√3×√6−√2的结果是______．9.分解因式：−x3+2x2−x=______．10.甲、乙两个班级各20名男生测试“引体向上”，成绩如图所示：设甲、乙两个班级男生“引体向上”个数的方差分别为S甲2和S乙2，则S甲2______S乙2.(填“>”，“<”或“=”)11.如图，点A、B在数轴上所表示的数分别是x、x+1，点C在线段AB上(点C不与点A、B重合).若点C在数轴上表示的数是2x，则x的取值范围是______．12.对于反比例函数y=4，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的x图象经过点(−2,−2)；③y随x的增大而减小；④当x>−2时，y<−2.其中所有正确结论的序号是______．13.等边三角形外接圆的面积是4π，则该等边三角形的面积是______．14.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且AC⏜=CD⏜=DB⏜，连接AC、AD，则∠CAD的度数是______°.15.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE，AC与BE交于点F，则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是______．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M1、N1、P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2、N2、P2分别在P1N1、BN1、BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n、N n、P n分别在P n−1N n−1、BN n−1、BP n−1上，且四边形M n N n−1N n P n是正方形，则BN2019的长度是______．三、计算题（本大题共2小题，共14分）17.计算(−1)3+|−6|×2−1−√273．18.化简：x−3x−2÷(x+2−5x−2)四、解答题（本大题共9小题，共74分）19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，AC平分∠BAD．(1)给出下列四个条件：①AB=AD，②OB=OD，③∠ACB=∠ACD，④AD//BC，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是______(填写序号)；(2)根据所选择的条件，证明四边形ABCD是菱形．20.在一只不透明的袋子中装有1个红色小球，2个黄色小球和若干个黑色小球，这些小球除颜色以外都一样．已知从袋中任意摸出1个红色小球的概率是14．(1)袋中黑色小球的数量是______个；(2)若从袋中随机摸出1个小球，记录好颜色后放回袋中并搅匀，再从袋中任意摸出1个小球，求两次摸出的都是黄色小球的概率是多少？21.我市某校招聘数学教师，本次招聘进行专业技能笔试和课堂教学展示两个项目的考核，这两项考核的满分均为100分，学校将这两个项目的得分按一定的比例计算出4考生序号1234专业技能笔试90708675课堂教学展示70908086分分别占总成绩的百分比；(2)若学校录取总成绩最高的考生，通过计算说明4名考生中哪一名考生会被录取？22.如图，某数学兴趣小组准备测量长江某处的宽度AB，他们在AB延长线上选择了一座与B距离为200m的大楼，在大楼楼顶的观测点C处分别观测点A和点B，利用测角仪测得俯角(从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角)分别为8°和46°.求该处长江的宽度AB.(参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.16，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)23.点A(−1,0)是函数y=x2−2x+m2−4m的图象与x轴的一个公共点．(1)求该函数的图象与x轴的另一个公共点的坐标以及m的值；(2)将该函数图象沿y轴向上平移______个单位后，该函数的图象与x轴只有一个公共点．24.两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量yt与第一小队工作时间x天的函数图象如图所示．(1)①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．(2)如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是______天．25.已知线段AB与点O，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC(不写作法，保留作图痕迹)．(1)在图①中，点O是△ABC的内心；(2)在图②中，点O是△ABC的重心．26.某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x．(1)第二批衬衫进价为______元，购进的数量为______件．(都用含x的代数式表示，不需化简)(2)求x的值．27.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，E为BC的中点．⊙O与边BC相切于点E，并交边AD于点M、N，AM=3．(1)求⊙O的半径；(2)将矩形ABCD绕点E顺时针旋转，旋转角为α(0°<α≤90°).在旋转的过程中，⊙O和矩形ABCD的边是否能够相切？若能，直接写出相切时，旋转角α的正弦值；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、如果a是无理数，那么−a一定是无理数，故这个选项错误；B、如果a是无理数，那么a2可能是无理数，也可能是有理数，故这个选项错误；C、如果a是无理数，那么1a一定是无理数，故这个选项错误；D、如果a是无理数，那么a0一定是有理数，因为a0=1，故这个选项正确．故选：D．根据有理数和无理数的定义解答．本题考查了有理数和无理数的定义，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．2.【答案】B【解析】解：210+210=2×210=211，故选项A不合题意；212与210不是同类项，所以不能合并，故选项B符合题意；27×24=27+4=211，故选项C不合题意；215÷24=215−4=211，故选项D不合题意．故选：B．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3.【答案】D【解析】解：A、平行四边形的四条边不一定相等，故错误，是假命题；B、平行四边形的对角相等，故错误，是假命题；C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故错误，是假命题，D、平行四边形的对角线互相平分，故错误，是真命题，故选：D．利用平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行四边形的性质，难度不大．4.【答案】A【解析】解：A、三棱锥有一个底面，三个侧面组成，共4个面．B、三棱柱有二个底面，三个侧面组成，共5个面．C、四棱锥有一个底面，四个侧面组成，共5个面．D、四棱柱有二个底面，四个侧面组成，共6个面．故有4个面的是三棱锥．故选：A．根据棱柱和棱锥的组成情况，分别求得各立体图形的面数，再进行判断．本题考查了棱柱和棱锥的组成情况．要明确棱柱有两个底面，棱锥有一个底面．5.【答案】B【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，△AOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由△AOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；本题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解题的关键；6.【答案】C【解析】解：如图1，当BB′=B′C时，是等腰三角形，如图2，当BC=BB′时，是等腰三角形，故若是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2，故选：C．根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，正确的作出图形是解题的关键．7.【答案】4.655×109【解析】解：用科学记数法表示4 655 000 000是4.655×109．故答案为：4.655×109．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.【答案】2√2【解析】解：√3×√6−√2=3√2−√2=2√2．故答案为：2√2．首先利用二次根式乘法运算法则计算，进而合并同类项得出即可．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运算法则是解题关键．9.【答案】−x(x−1)2【解析】解：−x3+2x2−x，=−x(x2−2x+1)…(提取公因式)=−x(x−1)2.…(完全平方公式)先提取公因式−x ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a −b)2=a 2−2ab +b 2．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．在提取负号时，要注意各项符号的变化． 10.【答案】<【解析】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的5人，6个5人，7个5人，8个5人，乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的6人，6个4人，7个4人，8个6人， ∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定，∴S 甲2<S 乙2，故答案为：<．由扇形图得出个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可得．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 11.【答案】0<x <1【解析】解：由题意知{2x >x2x <x +1，解得0<x <1，故答案为：0<x <1．根据题意列出不等式组，解之可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12.【答案】①②【解析】解：①∵k =4>0，∴它的图象在第一、三象限，故正确； ②把点(−2,−2)代入反比例函数y =4x ，成立，故正确；③当x >0时，y 随x 的增大而减小，故错误． ④当x >−2时，y <−2或y >0，所以错误； 故答案为：①②．根据反比例函数的性质，k =4>0，函数位于一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小．本题考查了反比例函数y =kx (k ≠0)的性质：①当k >0时，图象分别位于第一、三象限；当k <0时，图象分别位于第二、四象限．②当k >0时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k <0时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大．13.【答案】3√3【解析】解：如图，⊙O 为等边△ABC 的外心，连接OB ，OC ，作OH ⊥BC ，则BH =CH ， ∵π⋅OB 2=4π， ∴OB =2，∵∠BOC=2∠A=120°，∴∠OBC=30°，在Rt△BOH中，OH=12OB=1，BH=√3OH=√3，∴BC=2BH=2√3，∴△ABC的面积=3S△OBC=3×12×1×2√3=3√3．故答案为3√3．如图，⊙O为等边△ABC的外心，连接OB，OC，作OH⊥BC，利用垂径定理得到BH=CH，利用圆的面积公式得到OB=2，再计算出∠OBC=30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到OH=1，BH=√3，所以BC=2BH=2√3，然后计算△OBC的面积得到△ABC的面积．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质．14.【答案】30【解析】解：连接OC，OD，∵AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且AC⏜=CD⏜=DB⏜，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∴∠DAB=30°，∠CAO=60°，∴∠CAD=30°，故答案为：30．连接OC，OD，利用圆周角定理和三角形的内角和解答即可．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．15.【答案】25【解析】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AE//BC，AD=BC，∵E是AD的中点，∴AE=12AD=12BC，即AEBC=12，∴△AEF∽△CBF，则EFBF =AFCF=AEBC=12，设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF =52S△ABF，即△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是25，故答案为：25．依据AE//BC即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF 的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出结论S四边形CDEF=52S△ABF．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16.【答案】2202132019【解析】解：∵N1P1//AC，∴△B1N1P1∽△BCA，∴BN1BC =N1P1AC，设N1P1=x，则4−x4=x2，解得：x=43，∴BN1=BC−CN1=4−43=83，同理，∵N2P2//AC，∴△P1N1B∽△P2N2B，设P2N2=y，∴y43=83−y83，解得：y=89，∴BN2=83−89=169=2432．同理，BN3=3227=2533，∴BN2019的长度是2202132019．故答案为：220213．根据相似三角形的性质求出BN1，BN2，BN3的值，找出规律即可求出BN2019的长度．此题属规律性题目，考查了相似三角形的性质及正方形的性质，解答此题的关键是求出BN1，BN2，BN3的值，找出规律，根据此规律求解．17.【答案】解：原式=−1+6×12−3=−1+3−3=−1．【解析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：x−3x−2÷(x+2−5x−2)=x−3x−2÷(x2−4x−2−5x−2)=x−3x−2⋅x−2(x−3)(x+3)=1x+3．故答案为1x+3．【解析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．19.【答案】④【解析】解：(1)这个条件是④；故答案为：④；(2)∵AC⊥BD，AC平分∠BAD，∴∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOD=90°，∵AO=AO，∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD，∵AD//BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是菱形；(1)根据题目中的条件即可得到结论；(2)根据垂直和角平分线的定义得到∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOD=90°，根据全等三角形的性质得到AB=AD，推出AB=BC，根据菱形的判定定理即可得到结论；本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．20.【答案】1【解析】解：(1)设袋中黑色小球的数量是x个，根据题意得：11+2+x =14，解得：x=1，经检验x=1是方程的解，答：袋中黑色小球的数量是1个；故答案为：1；(2)根据题意画树状图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的都是黄色小球的有4种，则两次摸出的都是黄色小球的概率是416=14．(1)设袋中黑色小球的数量是x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案；(2)先画出树状图得出所有等情况数和两次摸出的都是黄色小球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：(1)设专业技能笔试得分占总成绩的百分比是a．根据题意，得90a+70(1−a)=78．解这个方程，得a=40%．1−40%=60%．所以专业技能笔试得分和课堂教学展示得分占总成绩的百分比分别是40%，60%．(2)2号考生总成绩为70×0.4+90×0.6=82(分)．3号考生总成绩为86×0.4+80×0.6=82.4(分)．4号考生总成绩为75×0.4+86×0.6=81.6(分)．因为82.4>82>81.6>78，所以3号考生会被录取．【解析】(1)可设专业技能笔试得分占总成绩的百分比是a，根据1号考生的总成绩为78分列出方程求解即可；(2)根据加权平均数公式分别求出4个考生总成绩，再比较大小即可求解．本题主要考查加权平均数的计算．解题的关键是熟记加权平均数的计算公式．22.【答案】解：如图，连接AC，BC．根据题意，得∠CAD=8°，∠CBD=46°．在Rt△CBD中，∵tan∠CBD=CDBD，∴CD=BD⋅tan∠CBD=200×1.04=208(m)．在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=CDAD，∴AD=CDtan∠CAD =2080.16=1300(m)．∴AB=AD−BD=1300−200=1100(m)．答：该处长江的宽度是1100 m．【解析】如图，连接AC，BC.通过解Rt△CBD和Rt△CAD分别求得BD、AD的长度，然后利用线段间的和差关系解答．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．23.【答案】(1)见解析；(2)4【解析】解：(1)在函数y =x 2−2x +m 2−4m 中，∵a =1，b =−2，∴该二次函数图象的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线．∵点A(−1,0)是函数y =x 2−2x +m 2−4m 的图象与x 轴的一个公共点，根据二次函数图象的对称性，∴该函数与x 轴的另一个公共点的坐标是(3,0)，将x =−1，y =0代入函数y =x 2−2x +m 2−4m 中，得0=3+m 2−4m ． 解这个方程，得m 1=1，m 2=3，故抛物线的表达式为：y =x 2−2x −3；(2)抛物线顶点坐标为：(1,−4)，故函数图象沿y 轴向上平移4单位后，该函数的图象与x 轴只有一个公共点．(1)将点A 坐标代入函数表达式即可求解；(2)求出抛物线顶点坐标(1,−4)，即可求解．本题考查的是二次函数与x 轴交点问题，将点A 代入函数表达式，求出m 值是本题的关键．24.【答案】9【解析】解：(1)①设AC 的函数表达式为y =kx +b ，将(12,0)，(0,360)代入y =kx +b ，得{12k +b =0b =360，解得{k =−30,b =360.即线段AC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y =−30x +360；②第一小队的工作效率为360÷12=30(t/天)，第二小队再次开工后的工作效率为30×2=60(t/天)，调运物资为60×2=120(t)， 即点E 的坐标为(10,120)，所以点F 的纵坐标为120．将y =120代入y =−30x +360，可得x =8，即点F 的坐标为(8,120)．点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t ；(2)120÷30=4(天)，5+4=9(天)．故答案为9．(1)①设AC 的函数表达式为y =kx +b ，将(12,0)，(0,360)代入y =kx +b ，利用待定系数法即可求出线段AC 所表示的y 与x 之间的函数表达式；②根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得第一小队的工作效率为360÷12=30(t/天)，进而得出第二小队再次开工后的工作效率为30×2=60(t/天)，那么调运物资为60×2=120(t)，得出点E 的坐标为(10,120)，所以点F 的纵坐标为120.将y =120代入y =−30x +360，求出x ，得到点F 的坐标，点F 的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t ；(2)先求出第二小队按原来的工作效率正常工作时调运物资120t 需要的时间，再加上检修设备前调运物资的工作时间即可．此题考查了一次函数的应用，涉及到利用待定系数法求一次函数的解析式，工作效率、工作总量与工作时间关系的应用，理解题意从图象中获取有用信息是解题的关键．25.【答案】解：(1)如图①，△ABC即为所求．(2)如图②，△ABC即为所求．【解析】(1)内心是角平分线的交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可；(2)重心是中线的交点，先作AB的垂直平分线，确定AB的中点，根据重心到中点的距离是到顶点距离的1，确定中线CO，作图即可．2本题是作图题，考查了三角形内心和重心的定义，角平分线和线段垂直平分线的基本作图，三角形重心的性质，掌握基本作图是关键．26.【答案】100(1+x)200(1+2.5x)【解析】解：(1)依题意得：第二批衬衫进价为100(1+x)元，购进的数量为200(1+2.5x)件．故答案是：100(1+x)，200(1+2.5x)；(2)根据题意，得200×(150−100)+[150−100(1+x)][200(1+2.5x)−50]+50[120−100(1+ x)]=17500．化简，得50x2−5x−1=0．解这个方程，得x1=15，x2=−110(不合题意，舍去)．所以x的值是20%．(1)根据“购进二批衬衫数量的增长率是进价增长率的2.5倍”解答；(2)根据销售收入−成本=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可．考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．27.【答案】解：(1)如图①，连接EO并延长，交AD于点F，连接OM．∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，在矩形ABCD中，∵AD//BC，AD=BC=12，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∴四边形ABEF和四边形DCEF是矩形．∴AF=BE，DF=CE，EF=AB=5．∵BE=CE，∴AF=DF，∵OE⊥BC，AD//BC，∴OF⊥AD．∴MF=NF，∵AF=6，AM=3，∴FM=3，设⊙O的半径为r，则OM=OE= r，OF=5−r．在Rt△OFM中，根据勾股定理，得32+(5−r)2=r2，解这个方程，得r=3.4，即⊙O的半径为3.4；(2)如图②，与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为，作，连接OQ，OE，则四边形QOPB′是矩形，∴OQ=PB′，∵OE⊥BC，∴∠OPE=∠OEB=90°，∴∠POE+∠OEP=∠OEP+BEP=90°，，，由(1)得，∴PE=6−3.4=2.6，即；如图③，与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为，作，连接OQ，OE，同理，∵∠A′=∠B′=∠QPB′=90°，∴四边形A′B′PQ是矩形，，由(1)得OQ=OE=3.4，OP=5−3.4=1.6，∴OE2−OP2=PE2，∴PE=3，即．【解析】(1)如图①，连接EO并延长，交AD于点F，连接OM.根据切线的性质得到OE⊥BC，根据矩形的性质得到AD//BC，AD=BC=12，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.推出四边形ABEF和四边形DCEF是矩形．得到AF=BE，DF=CE，EF=AB=5.求得FM= 3，设⊙O的半径为r，则OM=OE=r，OF=5−r.根据勾股定理即可得到结论；(2)如图②，与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为，作，连接OQ，OE，得到四边形QOPB′是矩形，根据矩形的性质得到OQ=PB′，根据余角的性质得到，根据三角函数的定义得到；如图③，与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为，作，连接OQ，OE，同理，根据矩形的性质得到，由(1)得OQ=OE=3.4，OP=5−3.4=1.6，根据勾股定理得到PE=3，根据三角函数的定义即可得到．本题考查了切线的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2019-2020南京玄武区外国语学校中考数学一模试卷(带答案)
2019-2020南京玄武区外国语学校中考数学一模试卷(带答案)一、选择题1．如图所示，已知A （12，y 1），B(2,y 2)为反比例函数1y x =图像上的两点，动点P(x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．(12，0) B ．(1,0) C ．(32,0) D ．(52,0) 2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A ．众数 B ．方差C ．平均数D ．中位数4．函数3x y +=中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－3 B ．x ≥－3且1x ≠ C ．1x ≠D ．3x ≠-且1x ≠ 5．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A ．2B ．3C ．5D ．76．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A 10B 5C ．22D ．37．已知命题A ：“若a 2a a =”．在下列选项中，可以作为“命题A 是假命题”的反例的是（ ） A ．a ＝1B ．a ＝0C ．a ＝﹣1﹣k （k 为实数）D ．a ＝﹣1﹣k 2（k 为实数） 8．如果关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组0322(1)x ax x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x ＞4，那么符合条件的所有整数a 的值之和是（ ） A ．7B ．8C ．4D ．59．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18B ．13C ．24D ．0.310．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x +3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A ．1B ．0，1C ．1，2D ．1，2，311．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ） A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%12．今年我市工业试验区投资50760万元开发了多个项目，今后还将投资106960万元开发多个新项目，每个新项目平均投资比今年每个项目平均投资多500万元，并且新增项目数量比今年多20个．假设今年每个项目平均投资是x 万元，那么下列方程符合题意的是（ ） A ．1069605076020500x x -=+B ．5076010696020500x x -=+ C ．1069605076050020x x-=+D ．5076010696050020x x -=+ 二、填空题13．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.14．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.16．不等式组0125x a x x ->⎧⎨->-⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____．17．如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限的图象经过点D ，交BC 于E ，若点E 是BC 的中点，则OD 的长为_____．18．使分式的值为0，这时x=_____．19．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是三、解答题21．垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理，能有效提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况，增强同学们的环保意识，某校对本校甲、乙两班各60名学生进行了垃极分类相关知识的测试，并分别随机抽取了15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整（收集数据）甲班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83（整理数据）按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别班级65.6～70.570.5～75.575.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5甲班224511乙班11a b20在表中，a＝，b＝．（分析数据）（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：班级平均数众数中位数方差甲班80x8047.6乙班8080y26.2在表中：x＝，y＝．（2）若规定得分在80分及以上（含80分）为合格，请估计乙班60名学生中垃圾分类相关知识合格的学生有 人（3）你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的情况较好，说明理由．22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？23．小慧和小聪沿图①中的景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h 的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h ，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB ，GH 的交点B 的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？24．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．25．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）. 2 1.414≈3 1.732≈）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1x得：y1=2，y2=12，∴A（12，2），B（2，12），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：122122k bk b⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得：k=-1，b=52，∴直线AB的解析式是y=-x+52，当y=0时，x=52，即P（52，0），故选D．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．2．B解析：B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3．D解析：D【解析】【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.故本题选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.4．B解析：B【解析】分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．≥0，∴x+3≥0，∴x≥-3，∵x-1≠0，∴x≠1，∴自变量x的取值范围是：x≥-3且x≠1．故选B．5．C解析：C【解析】试题解析：∵这组数据的众数为7，∴x=7，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7，中位数为：5．故选C．考点：众数；中位数.6．C解析：C【解析】【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．【详解】如图所示，路径一：AB==路径二：AB==∵故选C．【点睛】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．7．D解析：D 【解析】 【分析】2a a =可确定a 的范围，排除掉在范围内的选项即可. 【详解】解：当a ≥02a a =， 当a ＜02a a =-，∵a ＝1＞0，故选项A 不符合题意， ∵a ＝0，故选项B 不符合题意，∵a ＝﹣1﹣k ，当k ＜﹣1时，a ＞0，故选项C 不符合题意， ∵a ＝﹣1﹣k 2（k 为实数）＜0，故选项D 符合题意， 故选：D ． 【点睛】200a a a a aa ≥⎧==⎨-≤⎩，正确理解该性质是解题的关键.8．C解析：C 【解析】 【分析】解关于x 的不等式组0322(1)x ax x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩，结合解集为x ＞4，确定a 的范围，再由分式方程11222ax x x-+=--有整数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求出所有符合条件的值之和即可． 【详解】由分式方程11222axx x-+=--可得1﹣ax+2（x﹣2）＝﹣1解得x＝22a -，∵关于x的分式方程11222axx x-+=--有整数解，且a为整数∴a＝0、3、4关于x的不等式组322(1)x ax x-⎧>⎪⎨⎪+<-⎩整理得4x ax>⎧⎨>⎩∵不等式组322(1)x ax x-⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x＞4∴a≤4于是符合条件的所有整数a的值之和为：0+3+4＝7故选C．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】ABC=D故选B．10．A解析：A【解析】【分析】【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤43，由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，所以k的取值范围为k≤43且k≠0，即k的非负整数值为1，故选A．11．C解析：C【解析】【分析】设月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：240000（1+x）2=290400，解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去），故选C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．12．A解析：A【解析】试题分析：∵今后项目的数量﹣今年的数量=20，∴1069605076020500x x-=+．故选A．考点：由实际问题抽象出分式方程．二、填空题13．【解析】根据弧长公式可得：=故答案为解析：2π3【解析】根据弧长公式可得：602180π⨯⨯=23π，故答案为23π.14．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE分别是A解析：18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．15．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得(1+40)x×08＝2240解得：x＝2000故答案为：2000解析：2000，【解析】【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.【详解】设这种商品的进价是x元，由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，解得：x＝2000，故答案为：2000.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.16．﹣2≤a＜﹣1【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a的式子表示）根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解根据解的情况可以得到关于a 的不等式从而求出a 的范围【详解】解不等式x ﹣a ＞0得解析：﹣2≤a ＜﹣1．【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a 的式子表示），根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式x ﹣a ＞0，得：x ＞a ，解不等式1﹣x ＞2x ﹣5，得：x ＜2，∵不等式组有3个整数解，∴不等式组的整数解为﹣1、 0、1，则﹣2≤a ＜﹣1，故答案为：﹣2≤a ＜﹣1．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．【解析】【分析】设D （x2）则E （x+21）由反比例函数经过点DE 列出关于x 的方程求得x 的值即可得出答案【详解】解：设D （x2）则E （x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D 点E∴2x＝x+2 解析：12x x 【解析】【分析】设D （x ，2）则E （x+2，1），由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案．【详解】解：设D （x ，2）则E （x+2，1）， ∵反比例函数k y x=在第一象限的图象经过点D 、点E ， ∴2x ＝x+2，解得x ＝2，∴D （2，2），∴OA ＝AD ＝2，∴OD ==故答案为:【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D 、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．18．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法解析：1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法19．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键解析：1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1．故答案为1．点睛：此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．考点：根的判别式．三、解答题21．【整理数据】：7，4；【分析数据】（1）85，80；（2）40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，见解析.【解析】【分析】由收集的数据即可得；（1）根据众数和中位数的定义求解可得；（2）用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；（3）甲、乙两班的方差判定即可．【详解】解：乙班75.5～80.5分数段的学生数为7，80.5～85.5分数段的学生数为4，故a＝7，b＝4，故答案为：7，4；（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，众数是x＝85，67，73，76，78，79，80，80，80，80，82，83，83，84，86，89，中位数是y＝80，故答案为：85，80；（2）60×1015＝40（人），即合格的学生有40人，故答案为：40；（3）乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好，∵甲班的方差＞乙班的方差，∴乙班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好．【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键．22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：1200090001501.5x x+=解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．23．（1）小聪上午7：30从飞瀑出发；（2）点B的实际意义是当小慧出发1.5 h时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30 km.；（3）小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他11：00遇见小慧．【解析】【分析】（1）由时间=路程÷速度，可得小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时），从10点往前推2.5小时，即可解答；（2）先求GH的解析式，当s=30时，求出t的值，即可确定点B的坐标；（3）根据50÷30=53（小时）=1小时40分钟，确定当小慧在D点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x ﹣）=50，解得：x=1，10+1=11点，即可解答．【详解】（1）小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：50÷20=2.5（小时）， ∵上午10：00小聪到达宾馆，∴小聪上午7点30分从飞瀑出发．（2）3﹣2.5=0.5，∴点G 的坐标为（0.5，50），设GH 的解析式为s kt b =+，把G （0.5，50），H （3，0）代入得； 150{230k b k b +=+=，解得：20{60k b =-=， ∴s=﹣20t+60，当s=30时，t=1.5，∴B 点的坐标为（1.5，30），点B 的实际意义是当小慧出发1.5小时时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30km ；（3）50÷30=53（小时）=1小时40分钟，12﹣53=1103， ∴当小慧在D 点时，对应的时间点是10：20，而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，设小聪返回x 小时后两人相遇，根据题意得：30x+30（x ﹣13）=50，解得：x=1， 10+1=11=11点，∴小聪到达宾馆后，立即以30km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他11点遇见小慧．24．（1）DE 与⊙O 相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣332． 【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【详解】（1）DE 与⊙O 相切，理由：连接DO ，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，=6， ∵sin∠DBF=31=62， ∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°=3DF DO DO ==则1322π-= 【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO 的长是解题关键．25．该建筑物需要拆除.【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB 、DB 的长，结合图形求出DH ，比较即可． 详解：由题意得，10AH =米，10BC =米，在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，∴10AB BC ==，在Rt DBC ∆中，30CDB ∠=︒，∴tan BC DB CDB==∠∴()DH AH AD AH DB AB =-=-- 101020 2.7=-=-≈（米）， ∵2.7米3<米，∴该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．。
2020年南京市玄武区中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.截止2020年3月31日，中国红十字会总会机关和中国红十字基金会共接受用于新型冠状病毒肺炎疫情防控社会捐赠款物约211000万元，用科学记数法应表示为()A. 2.11×104万元B. 2.11×105万元C. 21.1×104万元D. 211×106万元2.计算(a2)3的结果是()A. 3a2B. a5C. a6D. a33.不等式1+x<0的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.4.下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是()A.B.C.D.5.某地发生地震后，受灾地区急需大量赈灾帐篷.某帐篷生产企业接到生产任务后，加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产帐篷比原计划多200顶.已知现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，问该企业现在每天能生产多少顶帐篷？设该企业现在每天能生产x顶帐篷，依题意列方程，正确的是()A. 2000x+200=3000xB. 2000x=3000x−200C. 2000x =3000x+200D. 2000x−200=3000x6.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是()A. (√22,−√22)B. (1,0)C. (−√22,−√22)D. (0,−1)二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.若二次根式√x+3有意义，则x的取值范围是__________.8.方程xx−1=x−1x+2的解是______．9.分解因式mn2−8mn+16m=______．10.计算：√54×√6√3=______．11.已知x=4是一元二次方程x2−3x+c=0的一个根，则另一个根为______．12.用一个圆心角为150°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为__________________ ．13.如图，点P在函数y=kx的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于______．14.边心距为√3的正六边形的面积为______ ．15.如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC⏜上，则∠ADC的度数是______．16. △ABC 中，如果AB =8cm ，BC =5cm ，那么AC 的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）17. 某兴趣小组为了测量大楼CD 的高度，先沿着斜坡AB 走了52米到达坡顶点B 处，然后在点B处测得大楼顶点C 的仰角为53°，已知斜坡AB 的坡度为i =1：2.4，点A 到大楼的距离AD 为72米，求大楼的高度CD ．(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)四、解答题（本大题共10小题，共81.0分）18. 计算：(13)−2−(π−)0+3tan30°−(−1)201919.先化简再求值：(1x+2−1)÷x2+2x+1x2−4，其中x=√3−1．20.20、某校八年级全体同学参加捐款活动，随机抽查部分同学捐款的情况统计如图所示；(1)本次共抽查学生__人，并将条形图补充完整；(2)捐款金额的中位数是_____；(3)求捐款金额的平均数是；(4)在八年级700名学生中，捐款15元及以上(含15元)的学生估计有多少人？21.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．22.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？(请用树状图或列表法说明)23.甲从A地出发匀速走向B地，同时乙从B地出发按同一路线匀速走向A地，如图所示，y1、y2分别表示甲、乙离B地的距离(米)与行走时间x(分)之间的关系．(1)由图象可知，经过______分钟后，甲与乙在距离B地______米处相遇；(2)求A、B两地之间的距离．24.如图，点D是∠AOB内一点，点E，F分别在OA，OB上，且OE<OF，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°，(1)请作出点D到OA，OB的距离，标明垂足；(2)求证：OD平分∠AOB；(3)若∠AOB=60°，OD=6，OE=4，求△ODE的面积．25.把二次函数C1：y=−x2+4x+n的图象沿x轴翻折，得到新的二次函数C2的图象，二次函数C1的x≥0部分与二次函数C2的x<0部分组成函数F．(1)二次函数C2的解析式为______(用含n的式子表示)(2)若n=−12①当点B(m,32)在函数F的图象上时，求m的值：②当−3≤x≤3时，求函数F的最大值和最小值(3)在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为(−12,1)，(92,1)，连结MN.直接写出线段MN与函数F的图象有两个公共点时n的取值范围．26.如图，在⊙O中，AB=AC，弦AB⊥CD于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，连结BD．(1)证明：BD=BF．(2)连结CF，若tan∠ACD=34，BF=5，求CF的长．⏜上一动点(不与点A、C重合)，且∠ADB=∠BAC=45°．27.如图1，⊙O是△ABC的外接圆，点D是ADC(1)求证：AC是⊙O的直径；⏜运动到使AD+CD=5√2时，则线段BD的长为______；(直接写出结果)(2)当点D在ADC⏜运动时，探究线段AE、(3)如图2，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在ADCBD、CD之间的数量关系，并说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：211000万元=2.11×105万元．故选B．2.答案：C解析：解：(a2)3=a6，故选C．根据幂的乘方计算即可．此题考查幂的乘方，关键是根据法则进行计算．3.答案：A解析：解：移项，得：x<−1，故选：A．移项即可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4.答案：D解析：本题考查了由三视图判断几何体．关键是根据三视图和空间想象得出从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案．解：从主视图、左视图、俯视图可以看出这个几何体的正面、左面、底面是长方形，所以这个几何体是长方体；故选D．5.答案：D解析：本题考差了分式方程的应用，通过列分式方程来解决实际问题.本题是工作问题，通过现在生产3000顶帐篷所用的时间与原计划生产2000顶的时间相同，列出分式方程，从而可以得解.涉及的基本公式是：工作量÷工作效率=工作时间．解：设该企业现在每天能生产x顶帐篷，依题意列方程得，2000 x−200=3000x．故选D．6.答案：A解析：解：如图，∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴A(0,1)，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1(√22,√22)，A2(1,0)，A3(√22,−√22)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252 (3)∴点A2019的坐标为(√22,−√22)故选：A．探究规律，利用规律解决问题即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．7.答案：x≥−3解析：此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，再解不等式即可．解：由题意得：x+3≥0，∴x≥−3．故答案为x≥−3．8.答案：x=14解析：解：方程xx−1=x−1x+2，去分母得：x2+2x=x2−2x+1，解得：x=14，经检验x=14是该分式方程的解．故答案为：x=14．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9.答案：m(n−4)2解析：解：mn2−8mn+16m=m(n2−8n+16)=m(n−4)2．故答案为：m(n−4)2．先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10.答案：6√3解析：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简得出答案．解：原式=√6×√6√3=√3=√3√3×√3=6√3．故答案为：6√3．11.答案：−1解析：解：设另一个根为t，根据题意得4+t=3，解得t=−1，即另一个根为−1．故答案为−1．另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=3，然后解一次方程即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．12.答案：154解析：本题考查的是圆锥面积的计算有关知识，根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长．解：扇形的弧长=150π×9180=7.5π，设圆锥的底面半径为R，则2πR=7.5π，．所以R=154．故答案为15413.答案：−8的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，解析：解：∵点P在反比例函数y=kx∴S△APB=1|k|=4，2∴k=±8．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k=−8．故答案为：−8．由反比例函数系数k的几何意义结合△APB的面积为4即可得出k=±8，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k=−8，此题得解．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y=k图象中任取一点，过这一x个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|”是解题的关键．14.答案：6√3解析：本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质，求出△AOB的面积是解答此题的关键．根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB，求出OA 的长，再根据S六边形=6S△AOB即可得出结论．解：∵图中是正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AB，∵OD⊥AB，OD=√3，∴OA=ODsin60°=2，∴AB=OA=2，∴S△AOB=12AB×OD=12×2×√3=√3，∴正六边形的面积=6S△AOB=6×√3=6√3．故答案为6√3．15.答案：60°解析：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B=∠AOC，∴∠D+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠D，∴3∠D=180°，∴∠ADC=60°，故答案为60°．根据菱形的性质得出∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，即可得出∠D+∠AOC=180°，根据圆周角定理得出3∠D=180°，即可求得∠ADC=60°．本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．16.答案：3cm<AC<13cm解析：解：根据三角形的三边关系可得：8cm−5cm<AC<8cm+5cm，即：3cm<AC<13cm，故答案为：3cm<AC<13cm．根据三角形两边之和大于第三边．三角形的两边之差小于第三边．可得8cm−5cm<AC<8cm+ 5cm．此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．17.答案：解：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，∵CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴FD=BE，FB=DE，在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，设BE=5x，AE=12x，根据勾股定理，得AB=13x，∴13x=52，解得x=4，∴BE=FD═5x=20，AE=12x=48，∴DE=FB=AD−AE=72−48=24，≈32，∴在Rt△CBF中，CF=FB×tan∠CBF≈24×43∴CD=FD+CF=20+32=52(米)．答：大楼的高度CD约为52米．解析：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB 的坡度为i=1：2.4，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度CD．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．18.答案：解：原式=9−1+3×√33+1=9+√3．解析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.答案：解：(1x+2−1)÷x2+2x+1x2−4=1−(x+2)x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2=−(x+1)x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2=−x−2x+1，当x=√3−1时，原式=−√3−1−2√3−1+1=−√3−3√3=−1+√3．解析：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．20.答案：解：(1)50；捐款10元的有50−9−14−7−4=16(人)，补全条形统计图图形如下：(2)12.5；(3)这组数据的平均数为：5×9+10×16+15×14+20×7+25×4=13.1；50答：捐款金额的平均数是13.1；×700=350(人)．(4)捐款15元及以上(含15元)的学生有：14+7+450答：在八年级700名学生中，捐款15元及以上(含15元)的学生估计有350人．解析：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，中位数和平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．(1)有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；(2)根据数据可知求出第25、26个数据的平均数可得数据的中位数；(3)将50人的捐款总额除以总人数可得平均数；(4)由抽取的样本可知，用捐款15及以上的人数所占比例估计总体中的人数．解：(1)本次抽查的学生有：14÷28%=50(人)，故答案为50；补全条形统计图见答案；=12.5；(2)中位数是10+152故答案为12.5；(3)(4)见答案．21.答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∴△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．解析：此题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行且相等和全等三角形的ASA及全等三角形的对应边相等求解．22.答案：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下：共有4种出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此．至少有一次正面朝上的概率为34解析：先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m．种结果，那么事件A的概率P(A)=mn23.答案：解：(1)5，400；(2)由图象可得，甲的速度为：400÷(9−5)=100米/分，则A、B两地之间的距离为：100×9=900(米)，答：A、B两地之间的距离是900米．解析：本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．(1)根据函数图象可以直接得到几分钟时，甲乙在距B地多远处相遇；(2)根据函数图象可以求得甲的速度，然后根据甲行驶的速度和时间，即可求得两地的距离．解：(1)由图象可得，经过5分钟，甲与乙在距离B地400米处相遇，故答案为5，400；(2)见答案．24.答案：解：(1)如图，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，则DM，DN分别为点D到OA，OB的距离；(2)证明：∵DM⊥OA，DN⊥OB，∴∠DME=∠DNF=90°．∵∠OED+∠OFD=180°，且∠OED+∠MED=180°，∴∠MED=∠OFD．∵DE=DF，∴△EDM≌△FDN(AAS)，∴DM=DN．∵DM⊥OA，DN⊥OB，∴OD平分∠AOB；(3)∵OD平分∠AOB，∴∠DOE=12∠AOB=30°，∵DM⊥OA，∴DM=12OD=3，∴S△ODE=12OE⋅DM=6．解析：(1)根据垂线的概念求解可得；(2)先证△EDM≌△FDN得DM=DN.结合DM⊥OA，DN⊥OB可得答案；(3)由OD平分∠AOB知∠DOE=12∠AOB=30°，结合DM⊥OA知DM=12OD=3，再根据三角形的面积公式可得答案．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂线段的概念等知识点．25.答案：解：(1)y=x2−4x−n；(2)①∵n=−12，∴y =x 2−4x +12(x <0)， ∵点B(m,32)在函数F 的图象上， ∴32=m 2−4m +12， ∴m =2−√5，∵y =−x 2+4x −12(x >0)，∵点B(m,32)在函数F 的图象上， ∴32=−m 2+4m −12，∴m =2±√2，∴m =2−√5或m =2±√2； ②当−3≤x <0时，y =x 2−4x +12，抛物线的对称轴为x =2， 当x <2时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =−3时，y 有最大值，y 最大值=432； 当0≤x ≤3时，y =x 2−4x −12，抛物线的对称轴为x =2，当x =0时y 有最小值，y 最小值=−12；当x =2时y 有最大值，y 最大值=72； ∴当−3≤x ≤3时，函数F 的最大值432，最小值−12；(3)如图1所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即−4+8+n=1，解得n=−3．如图2所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2−4x−n与y轴交点纵坐标为1，∴−n=1，解得：n=−1．∴当−3<n≤−1时，线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=−x2+4x+n经过点(0,1)，∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=−x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．,1)，∵抛物线y=x2−4x−n经过点M(−12∴1+2−n=1，4解得：n=5，4∴1<n ≤54时，线段MN 与二次函数y =−x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是−3<n ≤−1或1<n ≤54．解析：本题考查二次函数的图象及性质；根据二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．(1)将该函数的图象沿x 轴翻折，得到二次函数图象上点的坐标与原函数图象上点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数．(2))①由n =−12，y =x 2−4x +12(x <0)，y =−x 2+4x −12(x >0)，因为点B(m,32)在函数F 的图象上，将点B 代入F 函数解析式即可；②求出y =−x 2+4x −12与x 轴的交点为(2−√14,0)，(2+√14,0)，当−3≤x ≤3时，函数F 最大值和最小值分别为为x =−3和0时，将x =−3和0分别代入y =−x 2+4x −12=72和y =x 2−4x +12=−72，分别求出函数F 的最大值72，最小值−72； (3)首先确定出二次函数y =−x 2+4x +n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．解：(1)二次函数C 1：y =−x 2+4x +n 的图象沿x 轴翻折，得到二次函数C 2的图象的横坐标与原坐标相等，纵坐标互为相反数，所以二次函数C 2：y =x 2−4x −n ，故答案为y =x 2−4x −n ；(2)①见答案；②见答案；(3)见答案． 26.答案：解：(1)连接BC ，∵四边形ACBD 为圆的内接四边形，∴∠BDF =∠ACB ，∵AB ⊥CD ，BF ⊥AB ，∴CD//BF ，∴∠F =∠ADC ，∵AB =AC ，∴AB⏜=AC⏜，∴∠ADC=∠ACB，∴∠BDF=∠BFD，∴BD=BF；(2)过F作FG⊥CD交CD的延长线于G，则四边形BFGE是矩形，∴GF=BE，EG=BF=5，∵∠ACD=∠ABD，∴tan∠ACD=tan∠ABD=34，∴设DE=3k，则BE=4k，∴BD=BF=5k=5，∴k=1，∴DE=3，BE=4，∴FG=4，DG=2，∵∠G=∠AED=90°，∠GDF=∠ADE，∴△ADE∽△FDG，∴AEGF =DEDG，∴AE4=32，∴AE=6，∴AB=AC=10，∴Rt△ACE中，由勾股定理可得CE=8，∴CG=CE+GE=13，∴CF=√CG2+FG2=√132+42=√185．解析：【试题解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)连接BC，根据圆内接四边形的性质得到∠BDF=∠ACB，根据平行线的性质得到∠F=∠ADC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；(2)过F作FG⊥CD交CD的延长线于G，得到四边形BFGE是矩形，根据矩形的性质得到GF=BE，EG=BF=5，设DE=3k，BE=4k，得到BD=BF=5k=5，根据相似三角形的性质得到AE=6，根据勾股定理即可得到结论．27.答案：5解析：(1)证明：如图1中，∵∠BAC=∠BDC=45°，∠ADB=45°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，∴AC是⊙O的直径．(2)解：如图1中，作BM⊥DA交DA的延长线于M，BN⊥CD于N．∵∠BDA=∠BDC=45°，BM⊥DM，BN⊥DC，∴BM=BN，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，∴BA=BC，∵∠M=∠BNC=∠BND，BD=BD，∴Rt△BDM≌Rt△BDN(HL)，Rt△BMA≌Rt△BNC(HL)，∴DM=DN，AM=CN，∵∠M=∠BND=∠MDN=90°，∴四边形BMDN是矩形，∵BM=BN，∴四边形BMDN是正方形，∴BM=DM，∴DA+DC=DM−AM+DN+CN=2DM=5√2，∴DM=BM=5√2，2∴BD=√2DM=5．故答案为5．(3)解：结论：AE2=2DB2+CD2．如图2中，作BM⊥BE，使得BM=BN，连接EM，CM．∵∠ABC=∠EBM=90°，∴∠ABE=∠CBM，∵BA=BC，BE=BM，∴△ABE≌△CBM(SAS)，∴AE=CM，∵∠BEC=∠BDC=∠BEM=45°，∴∠CEM=90°，∴CM2=EM2+EC2，∴EM2=2BE2=2BD2，EC=CD，∴AE2=2DB2+CD2．(1)证明∠ADC=90°即可解决问题．(2)如图1中，作BM⊥DA交DA的延长线于M，BN⊥CD于N.利用全等三角形的性质证明四边形DMBN是正方形，证明AM=CN，推出DA+DC=2DM，求出DM即可解决问题．(3)结论：AE2=2DB2+CD2.如图2中，作BM⊥BE，使得BM=BN，连接EM，CM.利用全等三角形的性质证明AE=CM，再利用勾股定理即可得出结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2019-2020学年06月10日南京玄武区中考一模数学试卷+评分标准
20、(7 分)某校对高一新生随机摇号分班，一共分 4 个班，班号分别为 1 班、2 班、3 班、4 班，甲、乙两人是该校的高一新生. (1)甲恰好被分在 1 班的概率为▲ ． (2)求甲、乙被分在班号连续的两个班级的概率.
8、要使式子1+ x 有意义，则实数 x 的取值范围是 ▲ ． x −1
9、分解因式 a ( x −1)2 − a ( x −1) 的结果是 ▲ ．
10、计算
1− 3
4 3
×
6 的结果是▲ ．
11、设 x1、x2 是方程 x2 − 3x −1 =0 的两个根，则 x12 x2 + x1x22 = ▲ ．
24、（7 分）如图，某工地有一辆底座为 AB 的吊车，吊车从水平地面 C 处吊起货物，此时 测得吊臂 AC 与水平线的夹角为 18°，将货物吊至 D 处时，测得吊臂 AD 与水平线的夹 角为 53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时 D 处离水平地面的高度 DE=11m， 求吊臂的长. (参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32， sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33.)
12、如图，过原点 O 的直线与反比例函数=y1
k1 x
(
x
>
0
)
和= y2
k2 ( x > 0) 的图像分别交于
x
点
A1
,
A2
,若
OA1 OA2
=
3 2
,则
k1 k2
=
▲
．
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
2020年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6小题，每小题2分，合计12分．）
1．（2分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2分）根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（）
A．1.3×106B．130×104C．13×105D．1.3×105
3．（2分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）
A．B．
C．D．
4．（2分）如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）
A．28°B．22°C．32°D．38°
5．（2分）某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的。
【2020精品中考数学提分卷】南京市玄武区初三一模数学试卷+答案
南京市玄武区2019~2020学年度第一次调研测试九年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．2的相反数是（ ） A ．－2B ．2C ．－12D ．122．下列运算正确的是（ ） A ．2a ＋3b ＝5abB ．(－a 2)3＝a 6C ．(a ＋b )2＝a 2+b 2D ．2a 2·3b 2＝6a 2b 23．下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，交AB 于点G ，若∠1＝72°，则∠2的度数为（ ）A ．36°B ．30°C ．34°D ．33°5．已知二次函数y ＝x 2－5x ＋m 的图像与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为 （1，0），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（－1，0） B ．（4，0）C ．（5，0）D ．（－6，0）6．如图，点A 在反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图像上，点B 在反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图像上，AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足为C ，连接AC ，若△ABC 的面积是6，则k 的值为（ ） A ． 10B ．12C ．14D ．16二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） AB C DGFE1 2（第4题）（第6题）7．一组数据1，6，3，4，5的极差是 ▲ ．8．若式子1x －2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ．9．国家统计局的相关数据显示，2017年我国国民生产总值约为830 000亿元，用科学记数法表示830 000是 ▲ ． 10．分解因式x 3－4x 的结果是 ▲ .11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a －1＝0有实数根，则a 的取值范围为 ▲ ． 12．如图，在□ABCD 中，DB ＝DC ，AE ⊥BD ，垂足为E ，若∠EAB ＝46°，则∠C ＝ ▲ °．13．某圆锥的底面圆的半径为3 cm ，它的侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是 ▲cm 2．（结果保留π）14．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OD ⊥弦AB ，垂足为C ，连接CE ．若OC ＝3，△ACE 的面积为12，则CD ＝ ▲ ．15．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1 200元，第二个月商场搞促销活动，将此商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是x 元，则可列方程 ▲ ．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，AD ＝2，∠A ＝60°，点E 在边AC 上，将△ADE沿DE 翻折，使点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AC 时，A ′B 2＝ ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）计算 8－2sin45°＋(2－π)0－⎝⎛⎭⎫13－1；（2）解方程 x 2－2x －1＝0．（第12题）（第16题）（第14题）18．（7分）先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1x －2＋1÷x 2－2x ＋1x －2，其中x ＝3＋1．19．（8分）如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 在BD 上，且BE ＝DF ．连接AE 、CF ．（1）求证△AOE ≌△COF ；（2）若AC ⊥EF ，连接AF 、CE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由．20．某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：九年级抽取部分学生成绩的频率分布表ABCDOEF（第19题）九年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ； （2）请补全频数分布直方图；（3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？21．甲、乙两名同学参加1 000米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分A 、B 、C 三组进行比赛．（1）甲同学恰好在A 组的概率是 ▲ ； （2）求甲、乙两人至少有一人在B 组的概率．22．如图，将△ABC 沿BC 方向平移到△DEF ，DE 交AC 于点G ．若BC ＝2，△GEC 的面积是△ABC 的面积的一半，求△ABC 平移的距离．23．一辆货车从甲地出发以50 km/h 的速度匀速驶往乙地，行驶1 h 后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8 h 后两车相遇．图中折线ABC 表示两车之间的距离y （km ）与货车行驶时间x （h ）的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离是 ▲ km ，轿车的速度是 ▲ km/h ； （2）求线段BC 所表示的函数表达式；（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y （km ）与x （h ）的函数图像．A BCDEGF（第22题）24．如图，甲楼AB 高20 m ，乙楼CD 高10 m ，两栋楼之间的水平距离BD ＝20 m ，为了测量某电视塔EF 的高度，小明在甲楼楼顶A 处观测电视塔塔顶E ，测得仰角为37°，小丽在乙楼楼顶C 处观测电视塔塔顶E ，测得仰角为45°，求电视塔的高度EF ． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，2≈1.4，结果保留整数）25．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AD 于点E ，CD ＝ED ，连接BD 交⊙O 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）若BD ＝10，AB ＝13，求AE 的长．26．甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC 表示甲公司销售价y 1（元/千克）与销售量x （千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y 2（元）与销售量x （千克）之间的函数关系．C DEAB F37°45° （第24题） C （第25题）（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？27．【操作体验】如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°．如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA、OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2．所以图中P1，P2即为所求的点．（1）在图②中，连接P1A，P1 B，说明∠A P1B＝30°；【方法迁移】（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD 内作出所有的点P ，使得∠BPC ＝45°．（不写作法，保留作图痕迹）【深入探究】（3）已知矩形ABCD ，BC ＝2，AB ＝m ，P 为AD 边上的点，若满足∠BPC ＝45°的点P恰有两个，则m 的取值范围为 ▲ ．（4）已知矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝2，P 为矩形ABCD 内一点，且∠BPC ＝135°，若点P 绕点A 逆时针旋转90°到点Q ，则PQ 的最小值为 ▲ ．ABCD③南京市玄武区2019~2020学年度第一次质量调研测试九年级数学评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．5 8．x ≠2 9．8.3×105 10．x (x ＋2)(x ―2) 11．a ≤2 12．68 13．18π 14． 2 15． 150015%x ―120020%x＝80 16．20―8 3三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题9分）(1)解：原式＝22―2＋1―3 ………4分＝ 2－2 ………5分(2)解： x 2－2x ＝1x 2－2x ＋1＝2 (x －1)2＝2 x －1＝± 2x 1＝1＋2，x 2＝1― 2 ………4分18．（本题7分）解：原式＝1＋x ―2x ―2•x ―2(x ―1)2＝x ―1x ―2•x ―2(x ―1)2＝1x ―1………5分 当x ＝3＋1时原式＝13＝33………7分 19．（本题8分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ． 又BE ＝DF ，∴OB －BE ＝OD －DF ． ∴OE ＝OF ． 又∠AOE ＝∠C OF ，∴△AOE ≌△COF ………4分（2）解：四边形AECF 是菱形． ………5分理由如下： ∵OA ＝OC ，OE ＝OF ．∴四边形AECF 是平行四边形． ………7分 又AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形． ………8分20．（本题8分） （1）18，0.18． （2）图略．（3）120． ………8分 21．（本题7分） （1）13．………2分（2）解：所有可能出现的结果有：（A ，A ），（A ，B ），（A ，C ），（B ，A ），（B ，B ），（B ，C ），（C ，A ），（C ，B ），（C ，C ）共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“至少有一人抽到B 项目”（记为事件A ）的结果有5种，所以P (A )＝59．………7分22．（本题6分）证明：由平移得：∠B ＝∠DEF ，又∵点B 、E 、C 、F 在同一条直线上 ∴AB ∥DE ，∴△CGE ∽△CAB ． ∴ S △CGE S △CAB ＝(EC BC )2＝EC 2BC 2＝12 ．∵BC ＝2， ∴EC 24＝12 ．∴EC ＝2．∴BE ＝BC ―EC ＝2―2．即平移的距离为2―2． ………6分23．（本题8分）（1）150，75．………2分（2）解：根据题意，C 点坐标为（1.8，0），当x ＝1时，y ＝150－50＝100，∴B 点坐标为（1，100）设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ．因为y ＝kx ＋b 的图像过点（1，100）与（1.8，0），所以⎩⎨⎧1.8k ＋b ＝0，k ＋b ＝100．解方程组得⎩⎨⎧k ＝－125，b ＝225．线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝－125x ＋………6分（3）图中线段CD 即为所求．………8分 24．（本题8分）解：如图，分别过点A ，C 作AM ⊥EF ，CN ⊥EF 垂足分别为M 、N ．∴MF ＝AB ＝20，NF ＝CD ＝10．设EF ＝x m ，则EN ＝(x ―10) m ，EM ＝(x ―20) m ． 在Rt △ECN 中，∠ECN ＝45°， ∵tan45°＝ENCN ，∴CN ＝ENtan45°＝x ―10tan45°．在Rt △AEM 中，∠EAM ＝37°， ∵ tan37°＝EM AM，∴AM ＝EMtan37°＝x ―20 tan37°．又 AM ―CN ＝BD ， ∴x ―20 tan37°―x ―10tan45°＝20． ∴x ≈110．答：电视塔的高度为110米． ………8分 25．（本题8分） （1）证明：连接BE ．∵ AB 是直径， ∴∠AEB ＝90°．在Rt △BCD 和Rt △BED 中C DEABF37°45° （第24题）MN⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BC EC ＝DC ∴Rt △BCD ≌Rt △BED ．∴∠ADB ＝∠BDC ．又 AD ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD ．∴∠BDC ＝∠ABD ．∴AB ∥CD ．∴∠ABC ＋∠C ＝180°．∴∠ABC ＝180°－∠C ＝180°―90°＝90°．即BC ⊥AB ．又B 在⊙O 上，∴BD 与⊙O 相切．………4分（2）解：连接AF ．∵AB 是直径，∴∠AFB ＝90°，即AF ⊥BD ．∵AD ＝AB ，BC ＝10，∴BF ＝5．在Rt △ABF 和Rt △BDC 中⎩⎪⎨⎪⎧∠ABF ＝∠BDC ∠AFB ＝∠BCD ＝90° ∴Rt △ABF ∽Rt △BDC ．∴AB BD ＝BF DC． ∴1310＝5DC． ∴DC ＝5013． ∴ED ＝5013． ∴AE ＝AD ―ED ＝13―5013＝11913．………8分 26.（本题9分）解：（1）设y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝kx ＋b ．根据题意，当x ＝0时，y 1＝120；当x ＝80时，y 1＝72．所以⎩⎨⎧120＝b 72＝80k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－0.6b ＝120C （第25题）所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．………4分（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．当0＜x≤80时，w＝（y1－40）x―y2＝(－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．∵－0.2＜0，0＜x≤80∴当x＝50时，w有最大值，最大值为500．当80＜x≤84时，w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，∴当x＝84时，有最大值，最大值为470.4．综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．………9分27．（本题10分）（1）解：由作法可知：OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．∴∠A P1B＝30°．………2分EF上所有的点即为所求的点（不含点E、F）．………6分（2）如图，⌒（3）2≤m＜2＋1．………8分（4）34―2．………10分。