江苏省南京市2021届高三数学上学期期初学情调研试题【含答案】
江苏省南京市2021届高三数学上学期期初学情调研试题注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3 }，则A ∩B ＝A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2．已知(3－4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝，则a 与b 的夹角为3A ． B ． C ． D ．π6π35π62π34．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (4，0)到双曲线C ：－＝1的一条渐近线的距3x 2a 2y 29离为6，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4C ．D ．235．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是A ．(0，]B ．(0，]C ．[，π)D ．[，π)π3 2π3 π3 2π36．设a ＝log 4 9，b ＝2－1.2，c ＝()－，则827A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A的切线，切点为T ．若PT ＝PB ，则动点P 的轨迹方程为2A ．x 2＋y 2－14x ＋18＝0B ．x 2＋y 2＋14x ＋18＝0C ．x 2＋y 2－10x ＋18＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f ()的值是932A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由上图提供的信息可知A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则π6A ．函数g (x )的图象关于直线x ＝对称 B ．函数g (x )的图象关于点(，0)对称π12π6C ．函数g (x )在区间(－，－)上单调递增 D ．函数g (x )在区间(0，)上有25π12π67π6个零点11．已知(2＋x )(1－2x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x ＋a 3x ＋a 4x ＋a 5x ＋a 6x ，则5 2 3 4 56 A ．a 0的值为2 B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为12012．记函数f (x )与g (x )的定义域的交集为I ．若存在x 0∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[f (x )－g (x )](x －x 0)≥0恒成立，则称(f (x )，g (x ))构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ）A ．f (x )＝ln x ，g (x )＝B ．f (x )＝e x ，g (x )＝e x1x C ．f (x )＝x 3，g (x )＝x 2 D ．f (x )＝x ＋，g (x )＝3 1x x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝ ▲ ． r 3 Rr 14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：y ＝x 2交于A ，B 14两点，则弦AB 与抛物线C 所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．15．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，则a 4＝▲ ； 若a 1＝2，则S 20＝ ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)16．若不等式(ax 2＋bx ＋1)e x ≤1对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ▲ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(sin x ，2cos 2x )，x ∈R ．设函数f (x )＝m ·n ＋1．3（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若α∈[，]，且f (α)＝，求cos2α的值．π3 7π12 8518．（本小题满分12分）已知数列{a n }是公比为2的等比数列，其前n 项和为S n ．（1）在①S 1＋S 3＝2S 2＋2，②S 3＝，③a 2a 3＝4a 4这三个条件中任选一个，补充到上述73题干中．求数列{a n }的通项公式，并判断此时数列{a n }是否满足条件P ：任意m ，n ∈N *，a m a n 均为数列{a n }中的项，说明理由；（2）设数列{b n }满足b n ＝n ()n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n ．an ＋1an 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2＝ ，n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1）求证：CD ⊥AE ； 是否达标性别不达标达标男生3624女生1030P (χ2≥k )0.0500.0250.0100.0050.001k 3.8415.0246.6357.87910.828（2）记二面角C －AE －D 的平面角为θ，且|cos θ|＝，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：＋y 2＝1．x 24 （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求·的TF 1→ TF 2→取值范围；（2）设A (0，－1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点．若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝kx －x ln x ，k ∈R ．（1）当k ＝2时，求函数f (x )的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，f (x )≤k 恒成立，求k 的取值范围；（3）设n ∈N *，求证：＋＋…＋≤．ln12ln23ln n n ＋1n (n －1)4南京市2021届高三年级学情调研数学答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．2 14． 15．4；220 16．(－∞，－1]643四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(sin x ，2cos 2x )，3所以f (x )＝m ·n ＋1＝2sin x cos x －2cos 2x ＋13＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －)． ……………………… 4分3 π6（1）T ＝＝π． ……………………… 5分2π2（2）由f (α)＝，得sin(2α－)＝．85 π645由α∈[，]，得≤2α－≤π，π3 7π12 π2 π6所以cos(2α－)＝－＝－＝－，……………… 7分 π6 35从而 cos2α＝cos[(2α－)＋]＝cos(2α－)cos －sin(2α－)sin π6 π6 π6 π6 π6 π6＝－×－×＝． …………………… 10分35 32 45 12 －4－331018．（本小题满分12分）解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． …………………………………… 4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m ＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，因为S 3＝，即a 1＋a 2＋a 3＝，7373 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝，解得a 1＝，7313 因此a n ＝×2n －1． ………………………………… 4分13 此时a 1a 2＝＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，29 因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m ＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分（2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以＝2，因此b n ＝n ×2n －1．an ＋1an 所以T n＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2，n －1 则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2＋n ×2，n －1 n 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2－n ×2 ………………………10分n －1 n ＝－n ×21－2n 1－2n＝(1－n )2－1，n所以T n ＝(n －1)2＋1． ……………………………………12分n19．（本小题满分12分）解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝＝≈11.836＞6.635 100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)2450207，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分（2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )＝＝，P (B )＝＝． ……………………… 6分2460 253040 34随机变量X 的取值可能为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－)2×(1－)＝，25 34 9100P (X ＝1)＝C ××(1－)×(1－)＋×(1－)2＝，1 2 25 25 34 34 25 39100P (X ＝2)＝()2×(1－)＋C ××(1－)×＝，25 341 2 25 25 34 25P (X ＝3)＝()2×＝．25 34 325所以随机变量X 的分布列为：X0123P 9100 39100 25 325………………………… 10分期望E (X )＝0×＋1×＋2×＋3× 9100 39100 25 325＝1.55． ………………………… 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠PAD ＝90°，所以PA ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝． 2在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝，AD ＝2，2所以CD ＝＝，从而AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD 2AC 2＋CD 2＝4＝AD 2．所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分又AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分（2）解：因为PA ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．→ AB → AD → AP 因为AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2，所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，则＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．→ CD → AD 因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ，所以＝λ，→ CE → CP 设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)，故E (1－λ，1－λ，λ)，所以＝(1－λ，1－λ，λ)．→ AE 由（1）知，CD ⊥平面PAC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝＝(－1，1，0)．→ CD 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由得 {(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，)令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝||＝||＝，m ·n|m ||n |化简得3λ－8λ＋4＝0，解得λ＝或2．223因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝．23所以当|cos θ|＝时，实数λ的值为． ………………………… 12分2321．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：＋y 2＝1，所以F 1(－，0)，F 2(，0)．x 2433设T (x 0，y 0)，则 ·＝(－－x 0，－y 0)·(－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．TF 1→ TF 2→33因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即＋y 02＝1，所以·＝x 02－2，且x 024TF 1→ TF 2→ 34x 02∈[0，4]，所以·的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分TF 1→ TF 2→（2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝． ………………………… 6分8km 1＋4k 2 4(m 2－1)1＋4k 2因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 ·＝0，AB → AD → 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0，从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0，即 (1＋k 2)×－k (m ＋1)×＋(m ＋1)2＝0，4(m 2－1)1＋4k 2 8km1＋4k 2也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0，解得m ＝． ………………………… 9分35又线段BD 的中点M (－，)，且AM ⊥BD ，4km 1＋4k 2 m1＋4k 2所以＝－，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝±．1k又当k ＝±，m ＝时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝＞0，35 57625所以满足条件的直线l 的方程为y ＝±x ＋. ……………………… 12分 3522．（本小题满分12分）解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f′(x )＝1－ln x ，由f′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分（2）f (x )＝kx －x ln x ，故f′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ，因此f′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f′(x )＜0，f (x )单调递减；于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分（3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝(n ∈N *)，则 ＋ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，1n 21n 22n 2 因此≤． ……………………………………10分ln n n ＋1n －12 所以＋＋…＋≤＋＋…＋＝． …………………12分ln12ln23ln n n ＋10212n －12n (n －1)4。
江苏省南京市第五高级中学2020-2021学年高一上学期10月质量监测数学试题 Word版含答案
江苏省南京市第五高级中学2020至2021学年高一年级第一学期10月质量监测数学(满分150分,时间120分钟)班级 姓名 评价一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R,集合A ={x |0<x <2}, B ={x |x ≥1},则A ∩(∁R B )等于（ ）A. (0, 1]B. (0, 1)C. [1, 2)D. (0, 2)2. 已知集合A ={a , |a |, a -2},若2∈A ,则实数a 的值为 ( )A. ±2或4B. 2C. -2D. 43.下列说法中错误的是（ ）A. 方程+|3y +3|=0的解集是B. 方程x 2-x -6=0的解集为{(-2, 3)}C. 集合M ={y |y =x 2+1, x ∈R}与集合P ={(x , y )|y =x 2+1, x ∈R}表示同一个集合D. 方程组的解集是{(x , y )|x =-1或y =2}4. 若集合{|10}A x N x =∈≤，22a =，则下列结论正确是（ ） A. a A ∉ B. a A ⊆ C. {}a A ∈ D. {}a A ⊆5. 若实数x , y 满足x 2+y 2+xy =1,则x +y 的取值范围是（ ）A .B .C .D .6. 若关于x 的方程x 2+(m -2)x +5-m =0的两个根都大于2,则实数m 的取值范围是 ( )A . (-5, -4]B . (-∞, -4]C . (-∞, -2]D . (-∞, -5)∪(-5, -4]7.已知a 、b 、c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不一定能成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．22cb ca <D ．()0ac a c -<8.不等式022>--k kx x 对于一切实数恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．（-8,0）B ．（0,8）C ．），（），（∞+∞08-- D.），（），（∞+∞80-二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题所给的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.下列不等式中，错误的是（ ） A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+ B ．若a b >，则a c b c +<+ C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a bc d> 10. 若“∀x ∈M , |x |>x ”为真命题,“∃x ∈M , x >3”为假命题,则集合M 可以是（ ）A. (-∞, -5)B. (-3, -1]C. (3, +∞)D. [0, 3]11. 下列函数中最大值为的是（ ）A . y =x 2+B . y =x , x ∈[0, 1]C . y =D . y =x +, x >-212. 已知关于x 的方程x 2+(m -3)x +m =0,则下列结论中正确的是（ ）A . 方程x 2+(m -3)x +m =0有一个正根一个负根的充要条件是m ∈{m |m <0}B . 方程x 2+(m -3)x +m =0有两个正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1}C . 方程x 2+(m -3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}D . 当m =3时,方程的两个实数根之和为0三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13．命题：“0x ∀<，2230x x -+≤”的否定是_____________.14．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为______ 15.已知命题:1p a x a ≤≤+，命题2:40q x x -<，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.16. 已知非空集合M 满足M ⊆{0, 1, 2, 3},若存在非负整数k (k ≤3),使得对任意a ∈M ,均有2k -a ∈M ,则称集合M 具有性质P.那么具有性质P 的集合M 的个数为 .17.(本小题满分10分)解下列一元二次不等式：(1)2 76x x -+>；（2）111x x +≥-18. (本小题满分12分) 已知a , b 均为正数,且a ≠b ,求a b b a b b a +>+a19. (本小题满分12分)已知全集U =R,集合A ={x |a -1<x <2a +3}, B ={x |-2≤x ≤4}. (1) 当a =2时,求A ∩B 及(∁U A )∪(∁U B ); (2) 若A ∪B =B ,求实数a 的取值范围.20.(本小题满分12分)设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值； （2）若()12f =， ①0,0a b >>，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．21. (本小题满分12分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间高为3m,底面积为12m 2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体的报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x ≤6).(1) 当左右两面墙的长度为多少米时,甲工程队的报价最低? (2) 现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a >0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数R a x a ax y ∈+--=,1)1(2（1）若的值。
专题03 复数-备战2022年高考数学(文)母题题源解密(全国甲卷)(解析版)
专题03 复数1．已知2(1)32i z i -=+，则z = A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【试题来源】2021年全国高考甲卷（文） 【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解． 【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选B ．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z = A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可． 【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以2217()()||255z =+-=，故选C ．方法2：由题可得2222|3i |10||2|12i 3(1|5)12z +-+-====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z =A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】 D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．复数问题每年必考，多以选择题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：①考查单纯的复数运算求解题；②考查复数的几何意义以及有关概念．熟练掌握复数的加、减、乘、除运算法则是关键：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：12i (i)(i)i (i)(i)z a b a b c d z c d c d c d ++-==++-22()i ac bd bc ad c d ++-+=2222i(i 0)ac bd bc adc d c d c d+-=++≠++． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．虚数单位i 具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）41424344ii,i 1,i i,i 1()n n n n n ++++==-=-=∈N ；（2）41424344ii i )i 0(n n n n n +++++++=∈N ．1．已知复数1i z a =-，22+i z =（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数．则实数a = A ．12-B ．12 C ．2-D ．3【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一） 【答案】A【分析】结合复数的乘法运算求出12z z ，进而结合纯虚数的概念即可求出结果．【解析】由已()()()()12i 2i 212i z z a a a =-+=++-是纯虚数，所以210a +=且20a -≠，可得12a =-，故选A ．2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()()21i 1i z -=+，则z = A ．1 B ．2 C ．2D ．3【试题来源】湖北省黄石市有色一中2021届高三下学期5月模拟考试 【答案】B【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，然后根据复数的模的公式即可得出答案． 【解析】因为()()21i 1i z -=+，所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+，所以112z =+=．故选B ．3．设i 为虚数单位，若复数()()i 2i x +-的实部与虚部相等，则实数x 的值为 A ．3 B ．13C ．12D ．1【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二） 【答案】B【分析】由复数乘法运算展开()()i 2i x +-，再由实部、虚部相等列方程求x 的值．【解析】由()()()i 2i 212i x x x +-=++-的实部与虚部相等， 所以212x x +=-，解得13x =．故选B4．若复数z 满足()1i 22i z -=-，则z = A ．13 B ．13 C ．5D ．5【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研 【答案】D【分析】根据条件求出复数z ，进而可求得z ． 【解析】由(1)i 22i z -=-得i i 22i z -=-，则2i12i iz -==--，所以()()22125z =-+-=．故选D ．5．i 是虚数单位，复数z 满足：1i iz=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】A【分析】先求z ，再求z ． 【解析】1i,1i izz =-∴=+，1z i ∴=-．故选A ． 6．设复数z 满足()12i 5z +=，则z = A ．5 B ．5 C ．3D ．1【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】B【分析】由()12i 5z +=用复数的除法求出z ，再求z ． 【解析】由()12i 5z +=，得()()()()512i 512i 12i 12i 12i 5z --===-+-，所以12z i =+，5z B ．7．25i3i+-的虚部为 A ．110B ．1310C ．1710D ．1310-【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研 【答案】C【分析】利用复数的除法化简25i3i+-，即可知虚部． 【解析】25i (25i)(3i)117i 3i (3i)(3i)10++++==--+，故虚部为1710．故选C 8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足2i 1iz=+，则z =． A ．2 B ．2 C ．22D ．4【试题来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题 【答案】C【分析】先求出z ，然后根据复数的模求解即可 【解析】2i 1iz=+， ()2i 1i 22i z =+=-+，则4422z =+=，故选C 9．若复数1i z =-，则2|2|z z -= A ．0 B ．2 C ．4D ．6【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模 【答案】B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出22z z -，然后利用模长公式即可求出结果． 【解析】由题意可得()221i 2i z =-=-，则()()2221i 21i 2i 22i 2z z -=---=--+=-，所以2222z z -=-=．故选B ．10．设z C ∈，则“0z z +=”是“z 是纯虛数”的A ．充分但非必覂条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】B【分析】先证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；再证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件．即得解．【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 若0z z +=，则0,a z =不一定是纯虛数， 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；若z 是纯虛数，则()i 0,i z b b z b =≠=-，一定有0z z +=成立． 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件；所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要非充分条件．故选B11．已知i 是虛数单位，z 为复数，2+1i=z (3+i)，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】D【分析】先求出复数，即得解． 【解析】2i 11i 3i 22z -==-+，复平面内z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ． 12．若复数i1iz -=+，则z = A ．14B ．12 C ．22D ．2【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一） 【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出i 12z --=，结合复数的几何意义求出复数的模即可． 【解析】因为i(1i)i 1(1i)(1i)2z ----==+-，所以2||z =C13．若()1i 2i z +=，则z = A ．1i - B ．1i -- C ．1i +D ．1i -+【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文） 【答案】A【分析】先求出1i z =+，再由共轭复数的概念即可求解 【解析】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，故选A ． 14．若复数z 满足1i31iz z -+=+，则||z = A ．116B ．18C ．14D ．12【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考 【答案】D【分析】令i z x y =+(,)x y R ∈，由题设易得42i i x y -=-求x 、y ，进而可求||z ． 【解析】若i z x y =+(,)x y R ∈，则1i342i i 1iz z x y -+=-==-+， 所以0x =，12y =，即i 2z =， 所以1||2z =．故选D 15．i 是虚数单位，复数z 满足i 13i z ⋅=+，则||z = A ．10 B ．10 C ．8D ．22【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测 【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数模的公式求||z ． 【解析】因为i 13i z ⋅=+，所以()13i i13i 3i i i iz ++===-⋅， 所以()22||3110z =+-=．故选B ．16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点，A ，B ，C 对应的复数分别为12i -+，3i -，12i +(i 为虚数单位)，则点D 对应的复数为 A ．35i -+ B ．1i - C ．13i +D ．3i -+【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解． 【解析】由题知，()1,2A -，()3,1B -，()1,2C ，设(),D x y ． 则()4,3AB =-，()1,2DC x y =--． 因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC =．由14,23x y -=⎧⎨-=-⎩，解得3,5x y =-⎧⎨=⎩， 所以点()3,5D -对应的复数为35i -+．故选A ． 17．复数2i2i-+的共轭复数是 A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．34i 55-D ．34i 55+【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测 【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数2i2i-+，结合共轭复数的定义可得出结果． 【解析】因为()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 55--==-+-+，因此，复数2i2i -+的共轭复数是34i 55+．故选D ．18．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z = A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i +D ．1i -【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解．【解析】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选B ． 19．已知i 为虚数单位，复数1z 、2z 满足122z z ==，1248i2iz z +-=-，则12z z = A ．4- B ．4i - C ．4iD ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二） 【答案】D【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据题设有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，进而求12z z 即可． 【解析】()()()()1248i 2i 20i 4i2i 2i 5z z ++-===-+，设12i,i z a b z c d =+=+，则有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，解得2,2,0b d a c ==-==， 所以122i,2i z z ==-，则124z z =，故选D ．20．已知方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，则复数z a bi =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测 【答案】D【分析】把1i +代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a ，b ，再由复数的几何意义可得选项． 【解析】因为方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，所以()()21110i a b i ++++=， 整理得()2+10a b i b ++=，所以112a b ==-，，所以12z a bi i =+=-，所以复数z a bi =+在复平面上对应的点在第四象限，故选D ． 21．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为 A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理） 【答案】B【分析】根据条件可知211z z =，化简复数后求2z 的虚部．【解析】因为1121i,1z z z =+⋅=，所以211i 1i 1i (1i)(1i)2z --===++-，所以其虚部为12-．故选B ． 22．已知复数()()2i 2i z m =+-为纯虚数，则m =A ．1-B ．1C ．4-D ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）【答案】C【分析】根据导数的乘法运算化简复数z ，再根据纯虚数的定义即可求解．【解析】()422i z m m =++-为纯虚数，则4m =-．故选C ．23．若复数z 满足i i z z ⋅=-，则|i |z -=A ．22B ．2C ．1D ．22 【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简复数z ，再由模长公式计算即可求解．【解析】因为i i z z ⋅=-，所以()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z +-+===--+， 所以1i 11i i 222z ---==--， 故22112|i |222z ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 24．设若1z 、2z 、3z 为复数，则下列命题中正确的是A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则21z z = 【试题来源】预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关【答案】C【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC ．【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，若10z =，则230z z -=不一定成立，即23z z =不一定成立，B 错误； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．故选C25．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =A ．22B ．12C ．52D ．52 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）【答案】A【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，代入原式，利用复数相等求出,a b ，进而可得答案．【解析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由312i z z -=+可得24i 12i a b -+=+，则12a =-，12b =， 所以2222z a b =+=，故选A ． 26．复数()2i i +的虚部是A ．2iB ．i -C ．2D ．1-【试题来源】广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数()2i i +，再根据复数虚部的定义求解即可．【解析】因为()2+i i 12i =-+，所以虚部为2．故选C ．27．已知复数1z i =+，设复数22z w z =，则w 的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ．i -【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）（理）【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解．【解析】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-．故选A ． 28．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=A ．7B ．5C ．7D ．25【试题来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模（理）【答案】B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【解析】因为45i z =-，所以i 23i 4z +=-，所以()222435i z +=+-=，故选B ．29．已知i 为虚数单位，复数21i +的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．1-B ．1C ．i -D ．i【试题来源】（理）-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）【答案】B【分析】先对21i+化简，求出复数z ，从而可求出其共轭复数z ，进而可求出z 的虚部 【解析】由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)-==-++-，所以1i z =+，其虚部为1，故选B ．30．设复数z 满足()1i i z m -=+()m R ∈，若z 为纯虚数，则实数m =A ．1B ．-1C ．2D ．-2【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考【答案】A【分析】将i 1i m z +=-利用复数的除法运算化简，再令实部等于0，虚部不等于0即可求解 【解析】由()1i i z m -=+可得()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+， 所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，可得1m =，故选A ． 31．已知i 为虚数单位，若复数2i i ia z =-+ (a R ∈)为实数，则a = A ．2-B ．1-C ．1D ．2【试题来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）【答案】D【分析】先对2i i ia z =-+化简，然后由虚部为零可求出a 的值 【解析】因为()222i i i 12i i 12i iz a a a -=+=--+=-+-为实数， 所以2a =；故选D32．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+= ⎪⎝⎭． A ．1B ．iC ．1-D ．i -【试题来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）【答案】B【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可． 【解析】根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选B ． 33．已知复数z 满足121z i i =+-(其中i 为虚数单位)，则z = A ．3B ．22C ．2D ．10【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z ，然后利用复数模的公式计算．【解析】因为()()1i 12i 3i z =-+=+， 所以22||=3110z +=．故选D ． 34．若复数z 满足()23i 1i z ⋅-=-，复数z 的虚部是A ．5i 13 B ．513 C ．113D ．1i 13 【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得．【解析】由()23i 1i z ⋅-=-，得()()()()1i 23i 1i 5i 51i 23i 23i 23i 131313z -+-+====+--+ 所以复数z 的虚部是113故选C 35．若复数1=-i z i ，则|z |= A ．2B ．1C ．2D ．22【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（理）【答案】D【分析】首先化简复数z ，再求复数的模．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 36．若复数1=-i z i ，则z = A ．14 B 2C ．12D ．2 【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试（文） 【答案】B 【分析】化简122i z =-+，再求||z 得解． 【解析】由题得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+， 所以22112()()222z =-+=．故选B 37．已知复数z 满足()()1i 2i i z -=+，则z =A ．1B ．2C ．52D ．102【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试【答案】D【分析】()2i i 1iz +=-，利用复数的运算求出复数z ，从而求出z ． 【解析】()()()()()2i i 12i 1i 3i 1i 1i 1i 2z +-++-+===--+， 所以223110222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 38．已知复数z 满足z (1﹣i )=2+i 2021，则zi 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）【答案】B【分析】利用复数的乘法、除法运算即可求解．【解析】由z (1﹣i )=2+i 2021，则()()()()2020212213131111222i i i i i i z i i i i i +++⋅++=====+---+， 3122zi i =-+，所以zi 在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，点位于第二象限．故选B 39．若复数z 满足23i 13z z -=，则z = A ．23i -B ．23i +C ．32i -D ．32i +【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题【答案】A【分析】由题意得1323iz =-，根据复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念即可求出答案． 【解析】因为23i 13z z -=，所以()()()1323i 1323i 23i 23i z +==--+()1323i 23i 13+==+， 所以23i z =-，故选A ．40．已知复数12i z =-，21i z b =+(其中i 是虚数单位，b ∈R )，若12z z ⋅为实数，则b = A ．2-B ．12 C ．1 D ．2 【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简12z z ⋅，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【解析】因为12i z =-，21i z b =+()()()2122i 1i 22i i i 221i z z b b b b b ⋅=-⋅+=+--=++-，因为12z z ⋅为实数，210b ∴-=，解得12b =．故选B.。
立体几何中的探索性问题求解策略(原卷版)
专题35 立体几何中的探索性问题求解策略【高考地位】立体几何中的探索性问题是高考几何的一个难点，尤常见于新高考的多选题中，其题目特点是灵活性较强，需要相对丰富的空间想象能力及计算能力，对所研究几何体进行深入的剖析与推理，其常见类型有两种：一、空间中位置关系的探索；二、空间角的探索.类型一空间中位置关系的探索方法一几何法-的所有棱长均为E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，例1已知正四棱锥P ABCDB的一动点，现有以下结论：①线段EF的长度是△②EMF③存在点M使得PB⊥平面MEF；④EMF∠始终是钝角.其中不正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题【变式演练1】（多选）在直角三角形ABC 中，∠B ＝2π，AC ＝2BC ＝4，D 为线段AC 的中点，如图，将∠ABD 沿BD 翻折，得到三棱锥P ﹣BCD （点P 为点A 翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．∠PBD 的外接圆半径为2B ．存在某一位置，使得PD ∠BDC ．存在某一位置，使得PB ∠CDD ．若PD ∠DC ，则此时三棱锥P ﹣BCD 的外接球的体积为323π 【来源】山东省百师联盟2021届高三二轮联考数学试题（二）方法二 向量法例2、3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12BB AB BC ==，点E 在线段1CC 上，()101CC λλ=≤≤平面α过线段1AA 的中点以及点1B 、E ，现有如下说法： （1）[]0,1λ∃∈，使得1BE B E ⊥；（2）若12,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则平面α截长方体1111ABCD A B C D -所得截面为平行四边形；（3）若0λ=，2AB =，则平面α截长方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积为以上说法正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【来源】全国一卷2021届高中毕业班考前热身联合考试理科数学试题例3、（多选）在棱长固定的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别满足AE AB λ=，([0,1],[0,1])BF BC μλμ=∈∈，则（ ）A ．当12μ=时，三棱锥11A B EF -的体积为定值 B ．当12μ=时，存在λ使得1BD ⊥平面1B EF C ．当12λ=时，点A ，B 到平面1B EF 的距离相等 D ．当λμ=时，总有11A F C E ⊥【来源】江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期期初调研数学试题【变式演练2】（多选）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段1CD 上一动点（不包含端点），则下列说法正确的有（ ）A ．1AB ⊥平面11A D EB ．1DE A E +的最小值为1C ．存在点E 使得1DE AD ⊥D ．点D 到平面11A DE 【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（A ）【变式演练3】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，24AB AD PA CD ====，G 为PD 的中点．（1）求证AG ⊥平面PCD ；（2）若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题类型二 空间角的探索 方法一 几何法例3．如图，矩形ABCD 中，已知2,4,AB BC E ==为BC 的中点．将ABE △沿着AE 向上翻折至MAE 得到四棱锥M AECD -．平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线ME 与平面AECD 所成角为β，则下列说法错误的是（ ）A ．若F 为AD 中点，则ABE △无论翻折到哪个位置都有平面AEM ⊥平面MBFB ．若Q 为MD 中点，则ABE △无论翻折到哪个位置都有//CQ 平面AEM Csin αβ=Dcos αβ=【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期5月高考押题卷文科数学试题 【变式演练4】（多选）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1DP DD DA λμ=+，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则以下说法正确的是（ ）A ．当λμ=时，//BP 平面11CB D B ．当12μ=时，存在唯一点P 使得DP 与直线1CB 的夹角为3π C ．当1λμ+=时，CPD ．当1λμ+=时，CP 与平面11BCC B 所成的角不可能为3π 【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题方法二 向量法例4．如图1，菱形ABCD 中120ABC ∠=︒，动点E ，F 在边AD ，AB 上(不含端点)，且存在实数λ使EF BD λ→→=，沿EF 将AEF 向上折起得到PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图2所示.（1）若BF PD ⊥，设三棱锥P BCD -和四棱锥P BDEF -的体积分别为1V ，2V ，求12V V ；（2）试讨论，当点E 的位置变化时，二面角E PF B --是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由.【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第六次质量检测数学试题【变式演练5】O 中，平行四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AD ，点P 是半球面上的动点，且四棱锥P ABCD -的体积为83．（1）求动点P 的轨迹T 围成的面积；（2）是否存在点P 使得二面角P AD B --的大小为3π？请说明理由． 【来源】山西省临汾市2021届高三下学期二模数学（理）试题【高考再现】1．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【反馈练习】1．（多选）已知梯形ABCD ，112AB AD BC ===，//AD BC ，AD AB ⊥，P 是线段BC 上的动点；将ABD △沿着BD 所在的直线翻折成四面体A BCD '，翻折的过程中下列选项中正确的是（ ）A ．不论何时，BD 与A C '都不可能垂直B ．存在某个位置，使得A D '⊥平面A BC ' C ．直线A P '与平面BCD 所成角存在最大值 D ．四面体A BCD '的外接球的表面积的最小值为4π【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题2．（多选）已知某正方体的平面展开图如图所示，点E ，G 分别是棱BC ，BQ 的中点，F 是棱CR （不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．四面体AEFP 的体积为定值B ．存在点F 使得PC ⊥平面AEF C ．存在点F 使得//PG 平面AEFD ．当F 为棱CR 的中点时，平面AEF 截正方体所得上、下两个几何体的体积之比为17:7 【来源】2021新高考高考最后一卷数学第三模拟3．（多选）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F DC λ=，11D P D B μ=，其中,[0,1]λμ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．当λ=12时，三棱锥P -EFD 的体积为定值 B ．当µ=12时，四棱锥P -ABCD 的外接球的表面积是34πC ．PE PF +D．存在唯一的实数对(,)λμ，使得EP∠平面PDF【来源】广东省2022届高三上学期新高考普通高中联合质量测评摸底数学试题4．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，2DB DE=，点P在线段EF上.给出下列命题：①直线PD⊥直线AC；②直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是⎤⎥⎣⎦；③存在点P，使得直线PD⊥平面ACF；④存在点P，使得直线//PD平面ACF.其中所有真命题的序号是______.【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题5．七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi多面体等．在拓扑学中，共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体EABCFD中，EA⊥平面,//,//,,2, 4.ABCD EA FC AD BC AD AB AD AB BC FC EA⊥=====（1）在该七面体中，探究以下两个结论是否正确．若正确，给出证明；若不正确，请说明理由：①//EF平面ABCD；②AF⊥平面EBD；（2）求该七面体的体积．【来源】广东省珠海市第二中学2021届考前模拟数学试题6．如图，ABC 为正三角形，半圆O 以线段BC 为直径，D 是圆弧BC 上的动点（不包括B ，C 点）平面ABC ⊥平面BCD ．（1）是否存在点D ，使得BD AC ⊥？若存在，求出点D 的位置，若不存在，请说明理由； （2）30CBD ∠︒＝，求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值． 【来源】百强名校2021届高三5月模拟联考（A 卷）理科数学试题7．在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于,E F ，圆台上底的圆心1O 在11A B 上，直径为1.（1）求1A C 与平面1A ED 所成角的正弦值； （2）求二面角1E A D F --的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥，若存在，求点P 到直线11A B 的距离，若不存在则说明理由.【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题8．如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且//.AE BP（1）设点M 为棱PD 中点，求证//EM 平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD ？若存在，试求出线段PN 的长度；若不存在，请说明理由．【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期新起点考试数学试题9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，12AB BC AC A A ====，E ，F 分别为11A C ，11B C 的中点．（∠）在四边形11ABB A 内是否存在点G ，使平面//GEF 平面1ABC ？若存在，求出该点的位置；若不存在，请说明理由；（∠）设D 是1CC 的中点，求DA 与平面1ABC 所成角θ的正弦值．【来源】“超级全能生”2021届高三3月份高考数学（理）联考试题（丙卷）10．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，平面SAD ⊥平面ABCD ，SAD 是边长为2的正三角形，E ，F 分别为AD ，SB 的中点. （∠）证明：//EF 平面SCD ；（∠）在棱SA 上是否存在一点P ，使得锐二面角P BC S --若存在，求出SP SA 的值；若不存在，请说明理由.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（三）。
江苏省南通市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
南通市2021－2022(上)高三期中调研测试数 学 试 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩(C U B )＝A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，4)D ．[2，4)2．已知z ＝1－2i ，|z -－z |＝A ．2B ．4C ．4iD ．－4i3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，有下列四个等式 甲：a 1＝1；乙：a 4＝4；丙：S 3＝9；丁：S 5＝25． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．经研究发现，某昆虫释放信息素t s 后，在距释放处x m 的地方测得信息素浓度y 满足ln y ＝－12ln t －K tx 2＋A ，其中A ，K 为非零常数．已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s 后，信息素浓度为a2的位置距释放处的距离为A ．14mB ．12m C ．2m D ．4m5．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝6，则圆锥 SO 的体积为A ．182πB ．542πC ．163πD ．483π6．函数y ＝2sin xx 2＋1(x ∈[－2，2)的图象大致为7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且e a－e－12＝a＋12，eb－e－13＝b＋13，ec－2－15＝c＋15，则A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．－般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．Tschebyscheff )多项式．例如cos2x ＝P 2(cos x )＝2cos 2x －1，记作P 2(t )＝2t 2－1．利用P 3(t )求得sin18°＝A ．5－14 B ．3－52 C ．5－12 D ．5＋18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每/小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＞b ，则A ．ln(a 2＋1)＞ln(b 2＋1) B ．a 13＞b 13C ．1a ＜1bD ．(13)a ＜(13)b10．已知把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝f (x )图象，则A ．f (x )＝sin(2x －π3)B ．f (x )＝sin(2x －π6)C ．f (x )＝cos(2x －5π6)D ．f (x )＝cos(2x －2π3)11．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在线段AD 1上，点N 在线段BD 上，则 A ．当M 为AD 1的中点时，AC 1⊥MNB ．当MN //平面CC 1D 1D 时，AM ＝BNC ．当N 为BD 的中点时，三棱锥C 1－BMN 的体积为16D ．当M 为AD 1的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面BB 1D 1D 截得的圆的面积的最小值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为2，则→OA ·→OC ＝ ．14．已知函数f (x )＝(x －a )(x －3)2(a ∈R )，当x ＝3时，f (x )有极大值．写出符合上述要求的一个a 的值为 ．15．设函数f (x )的定义域为R ，f (x )为偶函数，f (x ＋1)为奇函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a ·2x＋b ，若f (0)＋f (1)＝－4，则f (72)＝ ．16．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得点B 落在CD 边上点B 1处，得到折痕MN 已知AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，则当tan ∠BMN ＝ 时，折痕MN 最短，其长度的最小值为 cm ．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，且a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ． 【解析】18．(本题满分12分) 函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos2x ．(1)求f (0)，f (π12)；(2)求函数f (x )在[－π4，π4]上的最大值与最小值．【解析】19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD //BC ，P A ⊥CD ，AB ＝BC ＝P A ＝PC ＝1，AD ＝2． (1)证明：CD ⊥平面P AC ；(2)若AC ＝1，求二面角A －PD －C 的正弦值．【解析】20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1e x(a ∈R ) ． (1)当a ＝－2时，求f (x )的单调区间； (2)当x ≥0时，f (x )≤1，求a 的取值范围． 【解析】21．(本题满分12分)在△ABC 中，已知D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，且AC －CD ＝32．(1)若AB ＝2BD ＝5，求△ABC 的面积； (2)若AB ＋BD ＝6，求AD ． 【解析】22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设x 1，x 2为两个不相等的正数，且f (x 1)＝f (x 2)，证明：2e ＜x 1＋x 2＜1．【解析】∴2e ＜x 1＋x 2＜1．。
2021-2022学年江苏省南通市海门区高一年级上册学期第一次学情调研数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省南通市海门区高一上学期第一次学情调研数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}1,3A ={}2,3B =A B ⋃=A ．3B ．C ．D ．{}3{}1,2,3{}1,2C【分析】根据集合并集定义即可得出答案.【详解】解：已知集合，，得{}1,3A ={}2,3B ={}1,2,3.A B ⋃=故选：C.2．函数的最小值为（ ）()40y x x x =+>A ．2B ．4C ．8D ．1B【分析】利用基本不等式求解即可【详解】，当且仅当时取得最小值44y x x =+≥=2x =故选：B3．下列一定正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则0x y <<11x y >21x =1x =C ．若D ．若，则x y ==x y <22x y <A 【分析】利用不等式的性质即可判断求解.【详解】因为，因为，故，，即，所以，故A11y x x y xy --=0x y <<0y x ->0xy >110x y ->11x y >正确；由，得，不一定为1，故B 错误；21x =1x =±x若C 错误；0x y =<若，，故D 错误．0x y <<22x y >故选:A.4．设全集，集合，，则的值是（ ）{}1,3,5,7,9U ={}1,5,9A a =-{}5,7U A = a A ．B ．C ．D ．22-88-C【分析】由已知条件可得出关于的等式，由此可解得实数的值.a a 【详解】已知全集，集合，，则，解得.{}1,3,5,7,9U ={}1,5,9A a =-{}5,7U A = 53a -=8a =故选：C.5．已知不等式的解集为，则的值为（ ）20x ax b ++<()1,2-a b -A ．B ．C ．D ．31-3-1D 【分析】由题意可知，、为方程的两根，利用韦达定理求出、的值，即可求1-220x ax b ++=a b 得结果.【详解】由题意可知，、为方程的两根，1-220x ax b ++=由韦达定理可得，解得，因此，.1212a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩12a b =-⎧⎨=-⎩1a b -=故选：D.6．已知，，则的取值范围是（ ）14a b ≤+≤12a b -≤-≤3a b -A ．B ．C ．D ．51922⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[]81-,[]1,8-[]1,8C 【分析】由不等式的性质可求解【详解】()()32a b a b a b -=-++，，()224a b -≤-≤14a b ≤+≤()()128a b a b -≤-++≤故选：C 7．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案.已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为（ ）A ．20B ．C ．40D．D【分析】根据面积得，结合基本不等式与重要不等式求得周长的最小值．100ab =【详解】设两直角边分别为，a b 所以该直角三角形的面积为，则1502S ab ==100ab =周长为20a b +≥=+当且仅当时等号成立，故周长的最小值为10a b ==故选：D易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．8．已知实数a ，b 满足，，则的值为（ ）20-+=a 20-+=b a b +A ．3B ．C ．D ．4B【分析】根据题意得a ，b 是方程的两个根.20-=x【详解】实数a ，b 满足，，20-+=a 20-=b所以a ，b 是方程的两个根，20-=x根据韦达定理+=a b 故选:B.二、多选题9．已知集合，且，则实数的可能值为（ ）{}22133A a a a =+++,,1A ∈a A ．B ．C ．D ．01-12-ABD【分析】由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.a a【详解】已知集合且，则或，{}22133A a a a =+++,,1A ∈11a +=2331a a ++=解得或或.0a =1a =-2a =-若，则，合乎题意；0a ={}2,1,3A =若，则，合乎题意；1a =-{}2,0,1A =若，则，合乎题意.2a =-{}2,1,1A =-综上所述，或或.0a =1a =-2a =-故选：ABD.10．下列关系中，正确的有（ ）A ．B ．C ．D ．{0}∅⊆13∈Q ⊆Q Z {0}∅∈AB【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项正确；{}0∅⊆对于B 选项，，B 选项正确；13∈Q 对于C 选项，，C 选项错误；⊆Z Q 对于D 选项，，而不是，D 选项错误.{}0∅⊆{}0∅∈故选：AB.11．下列命题为真命题的是（ ）A ．“”是“”的充分不必要条件；1a >11a <B ．命题“，”的否定是“，”；1x ∀<21x <1x ∃<21x ≥C ．若，则；0a b >>22ac bc >D ．设、，则“或”的必要不充分条件是“”.a b ∈R 0a ≠2b ≠2a b +≠AB【分析】本题首先可通过也有可能是负数得出A 正确，然后通过全程命题的否定是特称命题判断a 出B 正确，再然后通过判断出C 错误，最后通过“”是“或”的充分不必要条0c =2a b +≠0a ≠2b ≠件判断出D 错误.【详解】A 项：若，则；若，则也有可能是负数，1a >11a <11a <a 故“”是“”的充分不必要条件，A 正确；1a >11a <B 项：全程命题的否定是特称命题，则命题“，”的否定是“，”，B 正确；1x ∀<21x <1x ∃<21x ≥C 项：若，，则，C 错误；0a b >>0c =22ac bc =D 项：若，则或；2a b +≠0a ≠2b ≠若，，则，1a =1b =2a b +=故“”是“或”的充分不必要条件，D 错误，2a b +≠0a ≠2b ≠故选：AB.12．实数、满足 ，若有解，则实数可以为（ ）x y 13302xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭23123+<--m m x y m A ．B ．C ．D ．3-2-45AD 【分析】由已知可得出，根据已知条件求出的取值范围，利用基本不等式求出33x y =+y 的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可得出合适的选项.()3113633y x y y +=-++--m 【详解】因为实数、满足，则，由可得，x y 13302xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭33x y =+31032y <<+3y >所以，，()311133668333y y x y y y +=++=-++≥+=---当且仅当时，等号成立，4y =所以，，即，解得或.228m m ->2280m m -->2m <-4m >故选：AD.三、填空题13．函数的零点是__________.2y x =-2【分析】解方程即可.20x -=【详解】令，则，解得，所以函数的零点是0y =20x -=2x = 2.故2.14．不等式的解集是__________.231≤-x 或}{|1x x <53x ≥【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可3501x x -+≤-()()135010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩【详解】，所以，解得或，所以不等式的2353011-+-=≤--x x x ()()135010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩1x <53x ≥231≤-x 解集是或}.{|1x x <53x ≥故或}{|1x x <53x ≥15．若命题“”为假命题，则实数a 的取值范围是__________.2,240x x ax ∃∈-+≤R (2,2)-【分析】先求出特称命题的否定，结合二次函数的图象与性质即可列式求解【详解】∵“”是假命题，则“”为真命题，2,240x x ax ∃∈-+≤R 2,240x x ax ∀∈-+>R ，解得，故实数a 的取值范围是24160a ∴∆=-<22a -<<(2,2).-故(2,2).-四、双空题16．函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________，不2(0)y ax bx c a =++≠20ax bx c ++<等式的解集是__________.0ax b cx a +<+{}|12x x <<1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据图像求出a ，b ，c 之间的关系，再解不等式 即可.0ax b cx a ++＜【详解】由函数图像知，的解集为；20ax bx c ++<{}|12x x <<从而且，解得且，0,420,a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩0a >3b a =-2(0)=>c a a 所以不等式等价于，等价于 ，解得；0ax b cx a +<+3021x x -<+()()3210x x -+＜132x -<<故；{}|12x x <<1|3.2⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭x x 五、解答题17．设集合，{}|27A x x =<<{}|13513.=<-<B x x (1)求；A B ⋂(2)求().⋃R A B (1)；{}|26⋂=<<A B x x (2)或.()R A B ⋃ {|6x x =<}7x ≥【分析】（1）求得集合，再求交集即可；B （2）根据集合的补运算以及并运算，求解即可.【详解】（1）因为集合，，{}|27A x x =<<{}{}|13513|26=<-<=<<B x x x x .{}|26∴⋂=<<A B x x （2）或，或R A {|2x x =≤}7x ≥()R A B ⋃ {|6x x =<}7.x ≥18．已知a ＞0，b ＞0且1，12a b +=(1)求ab 最小值；(2)求a +b 的最小值．(1)8(2)3+【分析】（1）由基本不等式直接得出不等关系后可得最小值．ab （2）利用已知凑配出定值后，由基本不等式得最小值．【详解】（1）由已知，当且仅当即时等号成立，121a b =+≥8ab ≥12a b =2,4a b ==所以最小值是8；ab （2）由已知122()()333a b a b a b a b b a +=++=++≥+=+当且仅当，即2a b b a =1,2a b ==+所以的最小值是．a b +3+19．（1）若函数有且仅有一个零点，求的值；268y mx mx m =+++m （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．x 2680mx mx m +++≥R m （1）；（2）．1m =01m ≤≤【分析】（1）讨论不成立，当时令求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数0m =0m ≠0∆=和，解不等式组即可.∆【详解】解：（1）当时，无零点；0m =8y =当时，有且仅有一个零点，则，即：，0m ≠268y mx mx m =+++()236480m m m -+=20m m -=解得：或（舍），所以.1m =0m =1m =（2）当，恒成立，所以成立；0m =80≥0m =当时，，解得.0m ≠()2036480m m m m >⎧⎨-+≤⎩01m <≤故.01m ≤≤20．已知p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3.（1）当a ＝1时，p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（1）2＜x ＜3；（2）2≤a ≤.83（1）分解因式化简命题p ，解绝对值不等式化简q ，利用p ∧q 为真命题，求出实数x 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，列出不等式，解出实数a 的取值范围．【详解】p ：实数x 满足不等式（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0（a ＞0），解得：a ＜x ＜3a （a ＞0）.q ：实数x 满足不等式|x ﹣5|＜3，解得2＜x ＜8.（1）当a ＝1时，p ：1＜x 3.p3.p ∧q 为真命题，∴，解得2＜x ＜3.1328x x <<⎧⎨<<⎩∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，238a a ≤⎧⎨≤⎩解得：2≤a ≤.83∴实数a 的取值范围是2≤a ≤.83本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的应用，考查学生计算能力，属于中档题．21．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广245m 0.5m 0.25m 告牌的高为．m x （1）求广告牌的面积y 关于x 的表达式；（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．（1）；（2）设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为451.25(1)1y x x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭7m ．()261.25m 【分析】（1）设广告牌的宽为，则由题意可得，且，从而可求得广告牌的面积m t 451.251t x =+-1x >y 关于x 的表达式；（2）由（1）可得，然后利用基本不等式求解即可45451.25 1.25(1)46.2511x y x x x x =+=-++--【详解】解：（1）依题意设广告牌的宽为，则，m t (1)( 1.25)45x t --=所以，且，451.251t x =+-1x >所以广告牌的面积．451.25(1)1y xt x x x ⎛⎫==+> ⎪-⎝⎭（2）由（1）知，45451.25 1.25(1)46.2511x y x x x x =+=-++--，46.2561.25≥=当且仅当，即时等号成立．451.25(1)1x x -=-7x =所以当时，广告牌的面积最小最小值为．7x =()261.25m答：设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．7m ()261.25m 22．已知M 是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若0M ∈1M ∈x y M ∈，x y M -∈且，则.x M ∈0x ≠1M x ∈（1）判断是否正确，说明理由；1M -∈（2）证明：；13M ∈（3）证明：若，则且.x y M ∈，x y M +∈xy M ∈（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定包含元素；M 1-（2）根据定义依次确定包含元素；M 11,2,3,3-（3）根据定义确定包含元素，即得结论；根据定义依次确定包含元素M y -x y M +∈M ,即得结论．2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---xy M ∈【详解】（1）正确，证明如下：由①知，1M -∈0M ∈1M∈由②可得；011M -=-∈（2）证明：由（1）知，又1M -∈1M∈∴，()112M --=∈()213M --=∈由③得；13M ∈（3）证明：由①知0M∈由题知，∴由②可得y M ∈0y y M-=-∈又∵，∴，即；x M ∈()x y M --∈x y M +∈证明：由，，x M ∈y M ∈当时，则；0x =0=∈xy M 当时，则；1x ==∈xy y M 当且时，由②可得，0x ≠1x ≠1x M -∈再由③可得，1M x ∈11M x ∈-∴即，111M x x -∈-()11M x x ∈-∴即，()1x x M -∈2x x M -∈∴即当，2x M ∈x M ∈2x M∈又因为当，，∴，∴,x y M ∈x y M +∈112M x x x +=∈2M x∈∴当，可得,x y M ∈()22222,,,22x y x y x y M ++∈∴．()22222x y x y xy M ++-=∈关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．。
2025届高三上学期期初联考数学题型分类汇编(单选题)PDF版含答案
2025届高三上学期期初联考数学题型分类汇编单选题目录山东省部分学校2025届新高三7月联合教学质量检测数学（单选题）江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评数学（单选题）江苏省部分高中2025届高三上学期新起点联合测评数学（单选题）湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学（单选题）湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学（单选题）河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学（单选题）广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2025届高三上学期开学联考数学（单选题）广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学（单选题）广东省六校2025届高三上学期8月第一次联考试题数学（单选题）参考答案说明：本套资源为2025届高三上学期期初数学联考的单选题汇编，试题来源于山东、江苏、湖南、河北、广东等省的精品试卷，可供高三学生上学期练习和参考。
山东省部分学校2025届新高三7月联合教学质量检测数学（单选题）1.已知非空集合{},1A x x a B ⎧⎫=<=>⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()0,1 B.(]0,1 C.()1,+∞ D.[)1,+∞2.若1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数为（）A.80B.80- C.40D.40-3.已知函数()3223f x ax x b =-+在1x =处取得极小值1，则()f x 在区间[]1,2-上的最大值为（）A.2B.4C.6D.84.某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X 服从正态分布()96,144N ．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（）附：若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=A.第228名B.第455名C.第1587名D.第3173名5.已知随机变量()2,X Nμσ ，且()()37P X P X ≥=≤，则()5P X ≥=（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.66.某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（）A.240 B.360 C.480 D.6407.已知7ln 5a =，2cos 5b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c>> B.b c a>> C.c b a>> D.c a b>>8.小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n （*n ∈N ）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为()P n ，则下列结论错误的是（）A.()114P =B.()()21P P =C.()12P n <D.()P n 随着n 的增大而增大江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评数学（单选题）1.已知集合{}{}1,2,3,3,4A B ==，则A B ⋃=（）A.{}3 B.{}3,4C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,42.若复数21i 2i z =-+，则z =（）A.2B.3C.D.3.若cos 21π2cos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=（）A.24B.22C.14D.124.设0.1e a -=，2πtan 5b =，0.3log πc =，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a>> D.b a c>>5.在等差数列{}n a 中，3S 3=，6S 10=，9S =（）A.13B.17C.21D.236.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线7.若()*12nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中二项式系数和为64，则n =（）A.3B.4C.5D.68.已知正三棱锥-P ABC则三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A.13B.3C.8D.4江苏省部分高中2025届高三上学期新起点联合测评数学（单选题）1.已知集合{}()(){}21,120A x x B x x x ===++=，则A B = （）A.{}2- B.{}1- C.{}1 D.{}02.复数()i i 11z =+-的模为（）A.B.2C.D.33.已知向量()1,2a =r ，(),4b m = ，且//a b，则m =（）A.1B.2C.3D.44.已知数列{}n a 满足12a =，1221n n a a +=+，则2021a 的值为（）A.1000B.1013C.1011D.10125.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC 的形状是（）三角形A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角6.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C 的短轴为直径作圆O ，截直线1PF ，则C 的离心率为（）A.3B.2C.23D.37.在四边形ABCD 中，//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒，将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，如图，则在三棱锥A BCD -中，下列结论不正确的是（）A.CD AB⊥ B.CD BD ⊥C.平面ADC ⊥平面ABDD.平面ABC⊥平面BDC8.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()xf yf x xf y y=-，且当1x >时，()0f x >，则（）A.2()2()f x f x ≥B.322()()()f x f x f x ≥C.2()2()f x f x ≤ D.322()()()f x f x f x ≤湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学（单选题）1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，202x N x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2,2-2.若复数z 满足1ii z-=，则z =（）.A.1B.C.2D.3.已知()()()1,1,2,1,3,a b c x ===，若()3//a b c - ，则x 等于（）A.6B.5C.4D.34.已知π3π44<<α，π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos α=（）A.210B.10-C.7210D.7210-5.π5，则此圆锥体积为（）A.π3B.2π3C.πD.4π36.已知函数(3)3,1,()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.13a <<B.36a <<C.36a <≤ D.01a <<7.将函数()π2sin 212g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()h x 的图象，若()f x 与()h x 的图象关于x 轴对称，则()f x 的一个单调递增区间为（）A.π3π,44⎛⎫-⎪⎝⎭B.3ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭C.π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭D.3π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭8.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+-+=，则下列结论正确的是（）A.(4)12f =B.方程()f x x =有解C.12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是偶函数 D.12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学（单选题）1.若集合{}1,2,3A =，(){},|40,,B x y x y x y A =+->∈，则集合B 的真子集个数为（）A.5B.6C.7D.82.若0xy ≠，则“20x y +=”是“52x y y x +=-”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知()ln 3(e)f x x f x '=-，求(e)f '=（）A.14eB.13e- C.1e- D.144.下列说法错误的是（）A .若随机变量ξη、满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B.已知随机变量X ～(,)B n p ，若()2,()1E X D X ==，则12p =C.若事件A B 、相互独立，则()()P A B P A =D.若A B 、两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强5.某市高二年级期中联考的数学成绩()2~90,X N σ，若()80100P N a <<=，()70110P X b <<=，则()100110P X ≤<=（）A.12a- B.12b - C.2a b + D.2b a -6.已知ππ1cos cos 23264θθ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.32D.327.将函数11πcos2,[0,]224y x x x =-+∈的图象绕原点逆时针旋转θ角，得到曲线C .若曲线C 始终为函数图象，则tan θ的最大值为（）A.12 B.ππ2+ C.23 D.18.阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买20g 黄金，售货员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出x g 黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，取y g 黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的x g 和y g 黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（）A.大于20g B.等于20g C.小于20g D.无法确定河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学（单选题）1.若复数34i z =-，则i z z ⋅-=（）A.B.5C.D.2.点()()122,0,2,0F F -为等轴双曲线C 的焦点，过2F 作x 轴的垂线与C 的两渐近线分别交于A B ､两点，则AOB 的面积为（）A. B.4C. D.83.已知:30,p k q -<<：不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.A.212B.213C.224D.2255.过圆锥PO 高的中点O '作平行于底面的截面，则截面分圆锥PO 上部分圆锥与下部分圆台体积比为（）A.12B.13C.15D.176.平面四边形ABCD 中，点E F ､分别为,AD BC 的中点，28,5CD AB EF ===，则cos ,AB DC =（）A.516B.5564C.8-D.2340-7.已知首项为2的数列{}n a 满足114522n n n n a a a a ++--=，当{}n a 的前n 项和16n S ≥时，则n 的最小值为（）A.40 B.41 C.42 D.438.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin2a x ≥a 的取值范围为（）A.(]0,1B.1⎡⎤-⎣⎦C.)1,-+∞D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2025届高三上学期开学联考数学（单选题）1.若{}*23M x x =∈-≤≤N ，{}0,1,2N =，则M N ⋂（）A.∅B.{}0,2C.{}1,0,1- D.{}1,22.“12b <<”是“点()0,B b 在圆()()22:122C x y -+-=内”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 可以为（）A.()e 1sin e 1xx x -+ B.()e 1cos e 1xx x -+C.()3e1e 1xx x -+ D.()e1cos e 1xx x +-4.521x ⎫⎪⎭522x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A.10- B.0C.5D.105.若(),0,a b ∈+∞，b =，则b 的最小值为（）A.2B.4C.16D.646.函数()()3ππcos 0,,22f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，若直线12y =-与图象两个交点的横坐标分别为0和π，则ωϕ=（）A.8π3-B.7π3-C.4π3-D.2π3-7.若()()()3121ln22x f x x x x =-+--+-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1110S =，12n n S na +=，则()()19201i i i f a f a -=⎡⎤+=⎣⎦∑（）A.76B.38C.19D.08.若A 为函数()e xf x x =+图象上的一点，()2,0B ，则AB 的最小值为（） A.B.C.322D.2广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学（单选题）1．能正确表示图中阴影部分的是（A ．()()A B A B ⋃⋂ðB ．．已知复数z 满足()1i z +A ．1B ．A ．42B ．1205．在平面直角坐标系xOy 中，点F 相切，则动点P 的轨迹方程为（A ．22143x y -=B ．223x y -广东省六校2025届高三上学期8月第一次联考试题数学（单选题）1．若集合{}{}1,ln 1A x x B x x =≤=<，则()R A B = ð（）A ．()0,1B ．()0,e C ．()1,e D ．()e,+∞2．已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ，若11(0)(3)10P X P X <+<=，则(23)P X <<=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．若函数()mx m f x e -=在区间()2,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．[)2,0-B ．(],2-∞-C ．(),0-∞D ．[)2,+∞4．已知：()sin ,tan 3tan m αβαβ+==，则()sin αβ-=（）A ．4m B ．4m -C ．2m D ．2m -5．在菱形ABCD 中，若AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ ，则λ=（）A ．12-B ．12C ．2-D 6．已知函数()()2f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-7．将半径为R 的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（）A ．2πR B ．22πR C ．2R D ．4π²R8．设双曲线(2222:10,0)x y C a b a b-=>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与C 的右支交于M ，N 两点，记12MF F △与12NF F △的内切圆半径分别为12,r r .若2129r r a =，则C 的离心率为（）A BC ．3D ．4参考答案山东省部分学校2025届新高三7月联合教学质量检测数学（单选题）参考答案【答案】1.D 【解析】根据题意，{}101B x x ⎧⎫=>=<<⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以0a >，则{}{}A x x a x a x a =<=-<<，所以1a ≥.故选：D 【答案】2.B 【解析】由题意可得232n =，即5n =，则对51x ⎛⎫- ⎪⎝⎭有(()535521551C 21C rrrr rr r r T x x ---+⎛⎫=-=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，故()53114122521C 80T x x -⨯=⋅-⋅⋅=-，即展开式中含x 项的系数为80-.故选： B.【答案】3.C 【解析】()()26661f x ax x x ax =='--，因为函数()f x 在1x =处取得极小值1，所以()1660f a -'==，解得1a =，可得()3223f x x x b =-+，且()1231f b =-+=，解得2b =，()32232f x x x =-+，()()61f x x x ='-，当[]1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当[]1,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()02f =，()12321f =-+=，()12323f -=--+=-，()2161226f =-+=，则()f x 在区间[]1,2-上的最大值为6.故选：C.【答案】4.A 【解析】由()96,144N X ，29624120μσ+=+=，2962472μσ-=-=，则()721200.9545P X <<=，故()10.95451200.022752P X -≥==，100000.02275227.5228⨯=≈，故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名.故选：A.【答案】5.C 【解析】因为()()37P X P X ≥=≤，所以3752μ+==，所以()50.5P X ≥=.故选：C 【答案】6.B 【解析】每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目.第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6543360⨯⨯⨯=种.故选：B.【答案】7.B 【解析】由()ln 1x x +≤，当0x =时等号成立，知a c <，∵2ππ0532<<<，∴2π12coscos 5325>=>，c b ∴<.故选：B.【答案】8.B 【解析】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢1n +局，因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，由二项分布的概率公式可得赢1n +局的概率为1111222111C ((1C 222n n n n n nnP +++⨯=⨯-=，赢2n +局的概率为22122222111C ()(1)C 222n n n n n nnP ++-+-⨯=⨯=， ，赢2n 局的概率为222122211C ()C 22nnnn n n n P +=⨯=⨯，小王赢的概率为有()()()12212222222222111C C C 2C 2C 2C 22n n nn n nn n n n n n n n P n +++++=+++⨯=+++⨯ ()()0111222222222212121C 111C C CCC2C2222n n n nnn nnnnnnnn n n -++++=++++++⨯=-⨯=- ，有()114P =，()245C 1522216P =-=，()()221P P ≠，()12P n <，可知选项A ，C 正确，选项B 错误；由()()11222222212323C C 4C C 1222n n n n n n n n n n n P n P n +++++++-+-=-=，又由()()()()()()()()()()()()()12222222242!22!2!212222!4C C40!!11!1!nn nn n n n n n n n n n n n n ++⎡⎤+++-=-==-=>⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦，可得()()1P n P n +>，可知D 选项正确.故选：B江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评数学（单选题）参考答案【答案】1.D 【解析】由题意得{}1,2,3,4A B = .故选：D.【答案】2.C 【解析】因为21i 2i 1i z =-+=--，所以z ==故选：C.【答案】3.A 【解析】由题2222cos 2π22222cos 421222αα====⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2sin cos 4αα+=.故选：A.【答案】4.D 【解析】依题意，100.1e e a -<==，2ππtan tan 154b =>=，0.30.3log πlog 10c ==<，而0a >，所以b a c >>.故选：D 【答案】5.C 【解析】由等差数列的性质可知，在等差数列{}n a 中3S ，63S S -，96S S -仍为等差数列，所以()633962S S S S S -=+-，所以921S =．故选：C ．【答案】6.C 【解析】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在3(,3-∞-，3,)3+∞上单调递增，33(,33-上单调递减，所以33x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x在,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()303f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C.【答案】7.D 【解析】在二项式()*12nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 展开式中，二项式系数的和为62642==n ，所以6n =.故选：D .【答案】8.B 【解析】如图，ABC 为等边三角形，D 为BC 中点，作PH ⊥面ABC 垂足为H，设(0)AB a a =>，则PA =，根据正棱锥性质，则326,33AH PH ==，根据线面角的定义，三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成角为PAH ∠，则263sin 3aPH PAH PA ∠===.故选：B.江苏省部分高中2025届高三上学期新起点联合测评数学（单选题）参考答案【答案】1.B 【解析】由题意可得{}{}1,1,1,2,A B =-=--所以{}1,A B ⋂=-故选：B.【答案】2.C 【解析】2i z =-+，z =故选:C【答案】3.B 【解析】由题意得42m =，解得2m =.故选：B.【答案】4.D 【解析】由1221n n a a +=+，得112n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列，首项12a =，公差12d =，所以132(1)22n n a n +=+-=，所以20212021310122a +==.故选：D.【答案】5.D 【解析】由cos cos a c B b c A -=-，由余弦定理得22222222a c b b c a a c b c ac bc +-+--⨯=-⨯，化简得222222a b c a b c a b+-+-=，当2220a b c +-=时，即222+=a b c ，则ABC 为直角三角形；当2220a b c +-≠时，得a b =，则ABC 为等腰三角形；综上：ABC 为等腰或直角三角形，故D 正确．故选：D ．【答案】6.A 【解析】如图，取弦AB 的中点D ，连接OD ，则OD AB ⊥，即1OD PF ^，因为12PF PF ⊥，所以2//OD PF ，因为O 为12F F 的中点，所以D 是1PF 的中点，所以22OD PF =，因为12PF PF ⊥，所以OD 垂直平分弦AB ，因为r b =，2BC b =，所以12OD b ==，所以2PF b =，由椭圆定义可得122PF PF a +=，122F F c =，所以()22222224a b b c a b c⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩，解得32a b =，52c b =，所以离心率为53，故选：A ．【答案】7.D 【解析】对于B ，如图①，因为//,,90AD BC AD AB BAD =∠= ，所以45ABD ADB ∠=∠= ，又因为45BCD ∠= ，//AD BC ，所以135ADC ∠= ，所以1354590BDC ADC ADB ∠=∠-∠=-= ，所以CD BD ⊥，故B 正确；对于A ，由B 选项知CD BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以CD ⊥平面ABD ，因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥，故A 正确；对于C ，由选项A 知，CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABD ，故C 正确;对于D ，如图②过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以⊥AE 平面BCD ，显然AE ⊄平面ABC ，所以平面ABC 与平面BDC 不垂直，故D 错误.故选：D.【答案】8.D 【解析】由题意，0,0x y >>，()()()x f yf x xf y y=-.赋值1x y ==，得1(1)()1(1)1(1)01f f f f ==⋅-⋅=；赋值1x =，得1(1)1()()f yf f y f y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，即1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，则11x >，所以1()0f f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即()0f x <；赋值2x y =，得()222()()y f f y yf y y f y y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得21()()f y y f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；AC 项，由21()()f x x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x >，得()212()2()f xf x x f x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，其中由0x >，可知1220x x +-≥=，当1x >时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫>+-≥ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≥；当01x <<时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≤；故AC 错误；BD 项，21,x x y x ==，得232222111()()()()1x f f x f x x f f x x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭；又21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以3222211()()()1()f x f x x f x x f x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则322222222211()()()1()2()()0f x f x f x x f x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故322()()()f x f x f x ≤，且()f x 不恒为0，故B 错误，D 正确.故选：D.湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学（单选题）参考答案【答案】1.C 【解析】解不等式202+≥-x x ，得(2)(2)0(2)0x x x +-≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≤-或2x >，则{|2N x x =≤-或2}x >，而{}2,1,0,1,2M =--，所以{}2M N ⋂=-.故选：C【答案】2.B 【解析】由1ii z-=得()()()1i i 1i 1i i i iz ---===---，所以z =，故选：B【答案】3.A【解析】因为()()()1,1,2,1,3,a b c x === ，所以()31,2a b -=，又因为()3//a b c -，所以60x -=，解得6x =.故选：A.【答案】4.B 【解析】因为π3π44<<α，所以ππ042α<-<，又π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π3cos 45α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππ2342cos cos cos cos sin sin 44444425510⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫α=α-+=α--α-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A ，C ，D 错误.故选：B.【答案】5.B 【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，则252πππ52r ==，解得1r =2=，则此圆锥体积为212ππ1233V =⋅⋅=.故选：B.【答案】6.C 【解析】由于函数在R 上递增，故需满足()301313log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩，解得36a <≤.【答案】7.C【解析】由题意可得()πππ2sin 2sin 6124h x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 与()h x 的图象关于x 轴对称，所以()()π2sin 4f x h x x ⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭，令ππ3π2π2π,Z 242k x k k +≤+≤+∈，解得π5π2π2π,Z 44k x k k +≤≤+∈，取0k =，则π5π44x ≤≤，故选：C【答案】8.C 【解析】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+-+=，取1x y ==，得(1)(1)(2)22f f f +=-+，则(2)4f =，取2x y ==，得(2)(2)(4)82f f f +=-+，则(4)14f =，故A 错误；对于B ，取1y =，得()(1)(1)22f x f f x x +=+-+，则(1)()2f x f x x +-=，所以()(1)2(1),(1)(2)f x f x x f x f x --=----=2(2),,(2)(1)2x f f --= ，以上各式相加得[]22(1)2(1)()(1)2x x f x f x x -+⋅--==-，所以()()22Z f x x x x =-+∈，令2()2f x x x x =-+=，得2220x x +=-，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知2()2f x x x =-+，所以22111722224f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，21112222f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21124x x -+不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.湖南省部分学校2025届新高三联合教学质量检测数学（单选题）参考答案【答案】1.C 【解析】由题意可知()()(){}2,3,3,2,3,3B =，所以集合B 的真子集个数为3217-=个.故选：C 【答案】2.B 【解析】当20x y +=时，2152222x y y y y x y y -+=+=--=--，当52x y y x +=-时，即222520x xy y ++=，即()()220x y x y ++=，则有20x y +=或20x y +=，故“20x y +=”是“52x y y x +=-”的充分不必要条件.故选：B.【答案】3.A 【解析】因为1()3(e)f x f x ''=-，所以1(e)3(e)e f f ''=-，解得1(e)4ef '=.故选：A.【答案】4.D 【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：随机变量X ～(,)B n p ，则()2,()(1)1E X np D X np p ===-=，解得：12p =，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D.【答案】5.D 【解析】解：因为()2~90,X N σ，且()80100P N a <<=，()70110P X b <<=，所以()1001102b aP X -≤<=，故选：D 【答案】6.A 【解析】πππππππcos cos cos cos cos sin 2326232322323θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12π1ππ1π1sin sin cos()23262264θθθ⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1cos 62θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 22cos 1362θθ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．【答案】7.A 【解析】令原函数为()y f x =，即11()cos222f x x x =-+，求导得()1sin 2f x x '=+，当π[0,]4x ∈时，π2[0,]2x ∈，函数()f x '在π[0,]4上单调递增，π(0)1,()24f f ''==函数π(),[0,]4f x x ∈的图象上点(,())x f x 处切线斜率由1逐渐增大到2，记π4x =时的点为P ，令函数()f x 图象在P 处的切线倾斜角为α，则tan 2α=，曲线C 在除端点P 外的任意一点处的切线垂直于x 轴时，则曲线C 上存在两点，其横坐标相同，而曲线C 始终为函数图象，因此π2θα≤-，而0θ≥，则πsin()πcos 112tan tan()π2sin tan 2cos()2ααθαααα-≤-====-，所以tan θ的最大值为12.故选：A【答案】8.A【解析】设天平左臂长为1x ，右臂长为2x ，且12x x ≠，∴12121010x xx yx x =⎧⎨=⎩，∴12211010x x x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，21x x ≠，2112101021020x x x y x x ∴+=+>=⨯=，故选：A ．河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学（单选题）参考答案【答案】1.A 【解析】因为34i z =-，所以i 34z =+，()()2i 34i i 34i 3i 4i 34i i 1z z ⋅-=--+=---=-+，所以i i 1z z ⋅-=-+==.故选：A .【答案】2.B 【解析】设双曲线C 为：22221x y a a-=，因为2c ==，解得：22a =，所以双曲线C 为：22122x y -=，则双曲线C 的渐近线为：y x =±，所以2y xx =⎧⎨=⎩，解得：()2,2A ，则()2,2B -，所以AOB 为等腰直角三角形，所以AOB 的面积为21142422AB OF ⨯⋅=⨯⨯=.故选：B .【答案】3.A 【解析】若不等式23208kx kx +-<的解集为R ，当0k =时，308-<符合题意；当0k ≠时，需满足0k <且22342308k k k k ⎛⎫∆=-⨯⨯-=+ ⎪⎝⎭<，解得30,k -<<综合可得30,k -≤<而:30,p k -<<所以p 能推出q ，q 不能推出p ，即p 是q 的充分不必要条件.故选：A 【答案】4.D 【解析】分数字位数讨论：一位数5个；两位数有4416⨯=个；三位数有44348⨯⨯=个；四位数有443296⨯⨯⨯=个；五位数分以下两种情况讨论：①首位数字为1或2，此时共有44222448A =⨯=个；②首位数字为3，则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列，此时共有33212A =个.综上所述，共有51648964812225+++++=个比32000小的数.故选：D.【答案】5.D 【解析】设截面圆半径为r ，圆锥的高为h ，圆锥的体积为1V ,则圆台下底面圆的半径为2r ，圆台的高为h ，圆台的体积为2V ，所以()2222217π24π33V h r r r hr =++=，211π3V r h =，可得1217V V =.故选：D.【答案】6.A 【解析】因为平面四边形ABCD 中，点E F ､分别为,AD BC 的中点，所以FE FC CD DE FB BA AE =++=++，所以2FE FC CD DE FB BA AE CD BA =+++++=+，由28CD AB ==可得：8,4CD AB ==，两边同时平方可得：()222242FE CD BACD BA CD BA =+=++⋅，所以22425264162CD BA CD BA CD BA ⨯=++⋅=++⋅，解得：10DC AB ⋅=，所以105cos ,4816AB DC AB DC AB DC ⋅===⨯⋅.故选：A .【答案】7.B 【解析】由题意得12a =，22114522a a a a --=，解得21a =-，同理33224522a a a a --=，解得30a =，44334522a a a a --=，解得412a =，55444522a a a a --=，解得52a =，故{}n a 为一个周期为4的数列，且12341321022a a a a +++=-++=，故()4012341015S a a a a =+++=，()41123410217S a a a a =++++=，故n 的最小值为41.故选：B.【答案】8.D 【解析】由sin22sina x ≥，可得2sin cos 2sin a x x ≥，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，可得π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin cos 22x x<，可得2sin cos 2sin (cos sin 222x x xa x x ≥-，又因为22sin 2sin cos ,cos cos sin cos sin cos sin 22222222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4sincos (cos sin )2sin (cos sin (cos sin 222222222x x x x x x x x a x ≥-+-即2cos (c 1os sin 222x x xa +≥，因为2π2cos (cos sin 2sin cos sin cos 11222222s 42co x x x x x x x x x ++=+++==+，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，可得ππ3π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π2sin(,1]42x +∈，π11]4x ++∈，则11]π2)14x ∈++，要使得不等式sin2a x ≥1π14a x ≥++恒成立，所以12a ≥，即实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D.广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2025届高三上学期开学联考数学（单选题）参考答案【答案】1.D 【解析】依题意，{}1,2,3M =，{}0,1,2N =，所以{}1,2M N = .故选：D.【答案】2.A 【解析】点()0,B b 在圆()()22:122C x y -+-=内()()22012213b b ⇔-+-<⇔<<，所以“12b <<”是“点()0,B b 在圆()()22:122C x y -+-=内”的充分不必要条件.故选：A.【答案】3.A 【解析】对于D ，函数()e 1cos e 1xxx y +=-中，0x ≠，所以排除D ；对于B ，显然sin y x =，3y x =都为奇函数，cos x 为偶函数，且e 1e 1x xy -=+也是奇函数，理由如下：e 1e 1x x y -=+的定义域为全体实数，且e 1e 1e 1e 1x x xx ----=-++，所以e 1e 1x xy -=+是奇函数所以()e 1sin e 1xxx y -=+，()3e 1e 1xxx y -=+为偶函数，()e 1cos e 1xxx y -=+为奇函数，所以排除B ；对于C ，当[)0,x ∈+∞时，e 121e 1e 1x x x-=-++（由复合函数单调性可判断），3x 同时单调递增，且同时非负，所以()3e 1e 1xxx -+在[)0,x ∈+∞时也单调递增，所以排除C ；经检验A 选项符合题意.故选：A.【答案】4.B【解析】521x ⎫-⎪⎭展开式中的通项为()()()55522551C 1C r rrr rr rx x----=-，所以521x ⎫-⎪⎭522x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为()()1212551C 21C 0-⨯+-=.故选：B.【答案】5.C 【解析】因为(),0,a b ∈+∞，所以32b +≥=，因为b +=32≥，所以16b ≥，当且仅当4a =时，b 的最小值为16.故选：C.【答案】6.C【解析】由图象可得()f x 的周期为π0π-=，所以2π2πω==，因为()10cos 2f ϕ==-，且3ππ,22ϕ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以2π3ϕ=-或4π3ϕ=-，因为0在单调递增区间内，所以2π3ϕ=-，所以4π3ωϕ=-.故选：C.【答案】7.A 【解析】因为()()()3121ln 22xf x x x x=-+--+-，所以()()()()()()3322121ln2121ln 242x x f x f x x x x x x x-+-=-+--++-+--+=-所以()f x 的图象关于点()1,2对称，因为12n n S na +=，所以()()1212n n S n a n -=-≥，所以()()112212n n n n S S na n a n -+-=--≥，所以()()1212n n n a na n a n +=--≥，所以()121n na a n n n +=≥+，又1110S =，12n n S na +=，所以1110a =，2210a =，所以110n a n =，所以10n n a =，所以201022i i a a a -+==，()()204i i f a f a -+=，所以()()19192011476iii i f a f a -==⎡⎤+==⎣⎦∑∑.故选:A.【答案】8.B【解析】因为()e 10xf x ='+>，所以()e xf x x =+在上单调递增，且也单调递增，若()22,e 2A +，则2e 2AB =+，显然不符合题意；设()111,e xA x x +()12x≠，则函数在点A 处的切线的斜率为1e 1x k =+，所以取得最小值()()1111e 01e 112x x ABx kk x +-⇔=-⇔+⋅=-⇔-()()1111e 1e 20x xx x +++-=，令()()()e 1e 2xxg x x x =+++-，则()()()()()22e e e 112e 2e2x x x xxg x x x =++++=+++'，令e x t =，则0t >且ln x t =，令()22ln 22m t t t t t =+++()0t >，则()4ln 3m t t t =++'，显然()4ln 3m t t t =++'在上单调递增，又()44e4e10m --=-'<，()33e 4e 0m --='>，所以存在()430e ,et --∈使得()00m t '=，即()004ln 30m t tt =++='，所以当()00,t t ∈时()0m t '<，此时()m t 单调递减，当()0,t t ∞∈+时()0m t '>，此时()m t 单调递增，所以()m t 在0t 处取得极小值即最小值，又()()220000000002ln 2224322m t t t t t t t t t =+++=-+++220011722248t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，函数2117248y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()430e ,et --∈，4310e e 2--<<<，当12x =时211221022y ⎛⎫=-⨯-+=> ⎪⎝⎭，所以()00m t >，所以()0m t >恒成立，即()0g x '>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以10x =，此时()0,1A ，所以=.故选：B.广东省部分名校2025届高三上学期8月入学摸底联合测评考试数学（单选题）参考答案的圆心为，半径可得()122PF PF r R R -=+-若圆M 与圆O 内切，则1PF =可得()122PF PF R R r -=--综上所述：123PF PF -=，可知动点P 的轨迹是以1,F F 为焦点的双曲线，且所以动点P 的轨迹方程为2x -【答案】8.D【解析】解：如图，取ABCD 由题可知SEG α=∠，SFO β=∠由于SO ⊥平面ABCD ，EG ⊂又EG GO ⊥,,SO GO O SO ⋂=所以EG ⊥平面SOG ，SG ⊂平面因此tan tan SG SEG EG α=∠=，tan 因为,OF EG SO SG =≤，所以所以γβα≤≤故选：D.广东省六校2025届高三上学期8月第一次联考试题数学（单选题）参考答案题号12345678答案C A A C B D B D。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
【数学试卷】江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期开学考试(期初阳光调研)数学试题
2025届高三年级期初阳光调研试卷数学2024.9注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 是虚数单位，则2ii-=A.12i- B.12i-- C.12i+ D.12i-+2.已知集合{}26A x x =≤<，{}240B x x x =-<，则A B = A.()0,6 B.()4,6 C.[)2,4 D.()[),02,-∞+∞ 3.将函数()sin f x x =的图象先向左平移4π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则2g π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.1C.2D.－14.已知向量()1,1a =- ，()22,b x x =- ，则“2x =-”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为A.2B.12C.5D.57.已知函数()()e e 1xf x x a =+--（e 为自然对数的底数），()()ln e x g x x a =-的零点分别为1x ，2x ，则12x x 的最大值为A.eB.1eC.1D.2e8.在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为双曲线22:1C x y -=右支上两点，若6AB =，则AB 中点横坐标的最小值为A.C.3D.163二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研试题英语
第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。
AIt's generally believed that people act the way they do because of their personalities and attitudes.They recycle their garbage because they care about the environment.They pay$5 for a caramel brulee latte because they like expensive coffee drinks.It's undeniable that behavior comes from our inner dispositions（性情），but in many instances we also draw inferences about who we are,as suggested by the social psychologist Daryl Bem,by observing our own behavior.We can be strangers to ourselves.If we knew our own minds,why would we need to guess what our preferences are from our behavior？ If our minds were an open book,we would know exactly how much we care about the environment or like lattes.Actually,we often need to look to our behavior to figure out who we are.Moreover,we don't just use our behavior to learn about our particular types of character-we infer characters that weren't there before.Our behavior is often shaped by little pressures around us,which we fail to recognize.Maybe we recycle because our wives and neighbors would disapprove if we didn't.Maybe we buy lattes in order to impress the people around us.We should not mistakenly believethat we always behave as a result of some inner disposition.Whatever pressures there can be or inferences one can make,people become what they do,though it may not be in compliance（符合）with their true desires.Therefore,we should all bear in mind Kurt Vonnegut's advice:"We are what we pretend to be,so we must be careful about what we pretend to be."21.According to the passage,personalities and attitudes are commonly believed to_A.determine one's behaviorB.reflect one' s tasteC.influence one's surroundingsD.result from one's habits22.Which of the following would Daryl Bem most probably agree with？A.The return of a wallet can indicate one's honesty.B.A kind person will offer his seat to the old.C.One recycles plastics to protect the environment.D.One buys latte out of true love of coffee.23.What can be inferred from the underlined sentence in the passage？A.We fail to realize our inner dispositions.B.We can be influenced by outside pressures.C.Our behavior is the result of our true desires.D.Our characters can shape our social relationships.24.What does the author mainly discuss in the passage？A.Personalities and attitudes.B.Preferences and habits.C.Behavior and personalities.D.Attitudes and preferences.BOne moment it was quiet and calm in the forest,the next,the air was charged with tension.The elephant had heard the distant alarm calls of animals and her mood suddenly changed.l urged the elephant deeper into the forest.We sounded like a forest fire-crackling,snapping,trailblazing.But through all the noise came a sharp warning cry.The elephant stopped and we heard it again-the tell-tale call of a spotted deer.I looked quickly around the shadows of the forest.Rays of sunlight shone through tree branches,beneath which the patchwork（交错）of green plants and shadows-within-shadows would make tiger stripes（条纹）look more attractive.Apart from an occasional noise from the elephant's stomach,the forest was silent.Gradually,the tension slipped from our bodies.The elephant seized a nearby branch and put it into her mouth.l reached forward and gently moved my hand over the elephant's neck;there was a soft part,free of wrinkles and hairs,behind her ear.This was my fourth time to sense the aura of the forest in Corbett, although I saw no tigers in the end.Located at the foot of the Himalayan mountains,Corbett is home to about 135 Bengal tigers,but the forest seemed to be guarding their whereabouts（出没处），a silent reminder of their secrecy and rarity.Still,I was happy enough touching the elephant behind the ear.If I had so desperately wanted to see a tiger,l could have gone to a zoo.After all,spotting tigers merely confirms their beauty;tracking them can make you aware of something more.25.Which of the following was a clear signal of alarm？A.The elephant stopped.B.A spotted deer called.C.The elephant seized a branch.D.The forest was silent for a while.26.The author begins his account of the tour in the forest mainly by.A.describing various soundsparing different animalsC.listing different activitiesD.introducing various plants27.What does the underlined part"to sense the aura"most probably mean？A.To see the diversity.B.To enjoy the scenery.C.To feel the atmosphere.D.To experience the freedom.28.How does the author feel after several visits to Corbett？A.Seeing a Bengal tiger is quite thrilling.B.It is very time-consuming to travel in Corbett.C.It is really worthwhile to study the animals in Corbett.D.The process of finding Bengal tigers is most appealing.CThe idea of being able to walk on water has long interested humans greatly.Sadly,biological facts prevent us ever accomplishing such a thing without artificial aid-we simply weigh too much,and all our mass pushes down through our relatively small feet,resulting in a lot of pressure that makes us sink.However,several types of animals can walk on water.One of the most interesting is the common basilisk Basilicus basilicus,a lizard（蜥蜴）native o Central and South America.It can run across water for a distance of several meters,avoiding getting wet by rapidly hitting the water's surface with its feet.The lizard will take as many as 20 steps per second to keep moving forward.For humans to do this,we'd need huge feet that we could bring up to our ears in order to create adequate＂hitting."But fortunately there is an alternative:cornflour.By adding enough of this common thickening agent to water（and it does take a lot）,you can create a ＂non-Newtonian"liquid that doesn't behave like normal water.Now,if the surface of the water is hit hard enough,particles（粒子）in the water group together for a moment to make the surface hard.Move quickly enough and put enough force into each step,and you really can walk across the surface of an adequately thick liquid of cornflour.Fun though all this may sound,it's still rather messy and better read about in theory than carried out in practice.If you must do it,then keep the water wings handy in case you start to sink-and take a shower afterward!29.Walking on water hasn't become a reality mainly because humans.A.are not interested in itB.have biological limitationsC.have not invented proper toolsD.are afraid to make an attempt30.What do we know about Basilicus basilicus from the passage？A.It is light enough to walk on water.B.Its huge feet enable it to stay above water.C.It can run across water at a certain speed.D.Its unique skin keeps it from getting wet in water.31.What is the function of the cornflour according to the passage？A.To create a thick liquid.B.To turn the water into solid.C.To help the liquid behave normally.D.To enable the water to move rapidly.32.What is the author's attitude toward the idea of humans' walking on water？A.It is risky but beneficial.B.It is interesting and worth trying.C.It is crazy and cannot become a reality.D.It is impractical though theoretically possible.DThere have always been a lot of commonly believed but false ideas about being fat and doing exercise.Some people believe that they can't help putting on weight as they get older,while others hold that if they stop exercising,their muscles will turn into fat.Here are some more myths:I' ll never lose weight-I come from a fat familyWrong!While we can't change the body type we are born with,we can't blame our genes for making us fat.There's plenty of evidence that fatness runs in families,and the main reason is that they share the same habits of eating too much and exercising too little.I am fat because I burn calories slowlyWrong!Fatness is not caused by a slow metabolism（新陈代谢）。
南京市2023届高三年级学情调研数学参考答案
南京市2023届高三年级期初考试数学参考答案1．B 2．D 3．A4．C5．D 6．A7．B8．C9．BC 10．AC 11．ACD 12．ABD 13．1414．415．2－6316．(－2π，1－π]17．解：（1）在△ABD 中，由AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，得6sin ∠ADB＝3222，所以sin ∠ADB ＝1．因为0°＜∠ADB ＜135°，所以∠ADB ＝90°，所以BD ＝AB 2－AD 2＝32．（2）在△ADE 中，DE ＝23BD ＝22，因为∠ADE ＝90°，所以AE ＝AD 2＋DE 2＝26，cos ∠DAE ＝AD AE ＝31313．在△ACD 中，AC ＝2AE ＝226，AD ＝32，cos ∠DAC ＝31313，所以CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD∙AC∙cos ∠DAC ＝50，即CD ＝52，所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD∙CD＝－35．18．（1）解：因为a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，所以a 2－a 1＝6，a 3－a 2＝8．又因为数列{a n ＋1－a n }为等差数列，所以a n ＋1－a n ＝6＋(n －1)×2＝2n ＋4．当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n ＋2)＋2n ＋…＋6＋6＝(2n ＋8)(n －1)2＋6＝n 2＋3n ＋2．当n ＝1时，a 1＝6满足a n ＝n 2＋3n ＋2，综上，a n ＝n 2＋3n ＋2．（2）证明：由（1）得1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2．因为n ∈N *，故1n ＋2＞0，所以S n ＜12．19．（1）证明：连AC 交BD 于点N ，连MN ．因为底面ABCD 为平行四边形，所以N 为AC 的中点．因为M 为PC 中点，所以MN ∥PA ．又PA /⊂平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，所以PA ∥平面MBD ．（2）方法1取CD 中点E ，连AE ．因为AB ＝AD ，四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形，又∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，因此△ACD 为等边三角形，所以AE ⊥CD ，即AE ⊥AB ．又PA ⊥平面ABCD ，故以AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，C (1，3，0)，D (－1，3，0)，M (12，32，1)，所以AB →＝(2，0，0)，AM →＝(12，32，1)，AD →＝(－1，3，0)．设平面AMB 的一个法向量为n 1→＝(x ，y ，z )，n 1·AB →＝0，n 1·AM →＝0，＝0，＋32y ＋z ＝0，取x ＝0，y ＝2，z ＝－3，即n 1→＝(0，2，－3)．设平面AMD 的一个法向量为n 2→＝(x ，y ，z )，n 1·AD →＝0，n 1·AM →＝0，x ＋3y ＝0，＋32y ＋z ＝0，取x ＝3，y ＝1，z ＝－3，即n 1→＝(3，1，－3)．F NM DCBAPx yzE 则cos ＜n 1→，n 2→＞＝0×3＋2×1＋(－3)×(－3)7×7＝57，又＜n 1→，n 2→＞∈(0，π)，所以二面角B －AM －D 的平面角的正弦值为267．方法2因为AB ＝AD ，四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形．又∠BAD ＝120°，所以∠ABC ＝60°，因此△ABC 为等边三角形．又AB ＝2，N 为AC 的中点，所以BN ＝3．取AM 中点F ，连BF ，DF ，在Rt △BMN 中，MN ＝1，BN ＝3，所以BM ＝2．又因为AB ＝2，所以BF ⊥AM ，同理可证DF ⊥AM ，所以∠BFD 即为二面角B －AM －D 的平面角．在Rt △AMN 中，AN ＝MN ＝1，AM ＝2．在△BAM 中，BF ＝BA 2－AM 24＝142．同理在△DAM 中计算得DF ＝142．又BD ＝23，所以cos ∠BFD ＝BF 2＋DF 2－BD 22BF ·DF ＝－57．又∠BFD ∈(0，π)，所以sin ∠BFD ＝1－cos 2∠BFD ＝267，F NM DCBAP所以二面角B －AM －D 的平面角的正弦值为267．20．解：（1）K 2＝(45＋5＋35＋15)(45×15－35×5)2(45＋5)(35＋15)(45＋35)(5＋15)＝6.25．因为6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关．（2）设2人中合格人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝C 035C 215C 250＝335，P (X ＝1)＝C 135C 115C 250＝37，P (X ＝2)＝C 235C 015C 250＝1735，所以2人中合格人数的概率分布为X 012P335371735所以数学期望E (X )＝0×335＋1×37＋2×1735＝75．（3）该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率为35＋45100＝0.8．两次考试后两人全部合格可分为三类：第一类：两名学生第一次考试都合格，则概率为0.82＝0.64；第二类：两名学生中有一位第一次考试不合格，第二次合格，则概率为C 12×0.8×0.2×0.9＝0.288；第三类：两名学生中第一次考试都不合格，第二次都合格，则概率为0.22×0.92＝0.0324；所以0.64＋0.288＋0.324＝0.9604，所以2名学生至多两次四级考试后，这两人全部合格的概率为0.9604．21．解：（1）抛物线y2＝2px的焦点F(p2，0)．因为P(0，2)，且A为PF中点，所以A(p4，1)．因为A在抛物线上，所以1＝2p×p4，解得p＝2．（2）由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12＝22x1，y22＝22x2．＝kx＋2，2＝22x，消去x，得ky2－22y＋42＝0，则y1＋y2＝22k，y1y2＝42k．假设存在定点T(m，n)，则TA→＝(x1－m，y1－n)，TB→＝(x2－m，y2－n)，所以TA→·TB→＝(x1－m)(x2－m)＋(y1－n)(y2－n)＝(24y12－m)(24y22－m)＋(y1－n)(y2－n)＝18y12y22－24m(y12＋y22)＋m2＋y1y2－n(y1＋y2)＋n2＝4k2－24m(8k2－82k)＋m2＋42k－22nk＋n2＝(4－22m)1k2＋(4m＋42－22n)1k＋m2＋n2．要使得TA→·TB→－22m＝0，m＋42－22n＝0，解得m＝2，n＝4，所以存在定点T(2，4)，此时TA→·TB→＝m2＋n2＝18．22．解：（1）由f(x)＝e ax－x，得f′(x)＝a e ax－1．令f′(x)＝0，得x＝－1aln a．当x＜－1aln a时，f′(x)＜0；当x＞－1aln a时，f′(x)＞0，所以，f(x)的减区间为(－∞，－1aln a)，增区间为(－1aln a，＋∞)．（2）设g(x)＝f(x)－(1＋12ax2)＝e ax－12ax2－x－1，x∈[0，＋∞)．则g′(x)＝a e ax－ax－1，g′′(x)＝a(a e ax－1)＝a f′(x)．①当a≥1时，因为x ≥0，所以g′′(x )≥a (a －1)≥0，从而g′(x )在[0，＋∞)上单调递增．因此g′(x )≥g′(0)＝a －1≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，因此a ≥1符合题意．②当0＜a ＜1时，由（1）知，当x ∈(0，－1a ln a )时，g′′(x )＝a f ′(x )＜0，所以g′(x )单调递减，因此，当x ∈(0，－1a ln a )时，g′(x )＜g′(0)＝a －1＜0，所以g (x )单调递减，故g (－1a ln a )＜g (0)＝0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此0＜a ＜1不符合题意．③当a ＝0时，此时g (x )＝－x ，g (1)＝－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾，因此a ＝0不符合题意．④当a ＜0时，此时g (－2a )＝e －2－1＜0，与g (x )≥0恒成立矛盾．因此a ＜0不符合题意．综上，a ≥1．。