中考数学专题讲座_抛物线与几何问题
（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重 合)，请判断是否成
C O x A D P M E B N证△APM∽△ABE， 同理: （3）证PH=BH且△APM∽△PBH 再证△MEP∽△EGF可得。
、y 、y ，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不 存在，说明理由. 3、（青海西宁）如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线， 切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点． （1）求二次函数的解析式； y x O A B M O1 （2）求切线的函数解析式； （3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存 在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线 A O x y B F C 与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点． （1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求 出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5
来构建关于t、b的方程；(2)讨论 t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。
【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点
为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l, 设P是直线l上一动点.
（1）求点A的坐标; （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标; （3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S, 点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论 ①当点P在第二象限时，x<0、 ②当点P在第四象限是，x>0这二种情 况。
中,
1) 当 时,由 ,得 , 当 时, 由
, 解得 , 此时, 二次函数解析式为 ; 当 时, 由
, 解得
, 此时，二次函数解析式为
+
+ . 2) 当 时, 由 ,将 代 , 可得
, , （也可由
代 ， 代 得到） 所以二次函数解析式为
+
– 或 .
【例2】(江苏常州)
（1）∵
∴A(-2,-4) （2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4) 四边形ABOP2为等腰梯形时，P1() 四边形ABP3O为直角梯形时，P1() 四边形ABOP4为直角梯形时，P1() （3）
【学力训练】
1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为 轴，过D且垂直于AB的直线为 轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L． （3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使 PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理 由） 2、（广东肇庆）已知点A（a， ）、B（2a，y ）、C（3a，y ）都在抛物线 上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求△ABC的面积； （3）是否存在含有
中考数学专题讲座 抛物线与几何问题
【知识纵横】
抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、顶点 式：y =a(x—h) 2‑＋k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是 方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是 解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是 解题的关键。
且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的 高． (1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝ ____________； (2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以 D、N、E为顶 点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合 条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件 的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE 与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程． A H C B y
【例3】（浙江丽水）（1）设所在直线的函数解析式为， B O
A P M （第24题）
∵（2，4）， ∴, , ∴所在直线的函数解析式为 （2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动， ∴（0≤≤2）. ∴顶点的坐标为(,). ∴抛物线函数解析式为. ∴当时， （0≤≤2）. ∴点的坐标是（2，）. ② ∵==， 又∵0≤≤2， ∴当时，PB最短 （3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为. 假设在抛物线上存在点，使. 设点的坐标为（，）. ①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点， ∵，，
【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原 点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否 存在这样的点F， 使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标 是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D， 连结BD，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝ ∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴的
【典型例题】
【例1】 (浙江杭州) Q（t，b）。平移二 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点
次函数 的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交 于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。 （1）是否存在这样的抛物线F， ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO= ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为 直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG 下方的抛物线上 一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的 坐标和△APG的最大面积.
【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边 形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线 MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于 x的二次函数，求它的最大值。
【例5】（山东济南）已知：抛物线(a≠0)，顶点C
(1，)，与x轴交于
A、B两点，． （1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴 交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两 点不重合)，过点P作PM⊥AE于M， PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 明理由． 若是，请求出此定值；若不是，请说
【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为
（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线 交于点，顶点到点时停止移动．
B O A P M
（1）求线段所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点的横坐标为, ①用的代数式表示点的坐标； ②当为何值时，线段最短； （3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△ 的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值； （3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。
由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的 函数关系式是y=-2x ①当点P在第二象限时，x<0, △POB的面积 ∵△AOB的面积， ∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴x的取值范围是 ②当点P在第四象限是，x>0, 过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积 ∵△AA′B的面积 ∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴x的取值范围是
-2 M O D N x P
抛物线与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】 (浙江杭州)（1）∵ 平移 的图象得到的抛物线 的顶点为 , ∴ 抛物线 对应的解析式为: . ∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ . 令 ,得
，
, ∴
)(
)|
, 即 , 所以当 时, 存在抛物线 使得 .-- 2分 (2) ∵ , ∴ ,得 : , 解得 . 在
y x O D E C F A B 负半轴上，边 在 轴的正半轴上，且 ， ，矩形 绕点 按顺时针方向旋转 后得到矩形 ．点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，点
的对应点为点 ，抛物线 过点 ． （1）判断点 是否在 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在 轴的上方是否存在点 ，点 ，使以点 为顶点的平行四边形的面积是矩形 面积的2倍，且点 在抛物线上，若存在，请求出点 ，点 的坐标；若不存在，请说明理由． 7、（苏州市）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点 为M、N．直线y＝kx＋b 与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，
【例5】（山东济南）
中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破七 二次函数与几何综合题 类型四
由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3， 此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】 要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即 可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况， 分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)， 即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.
2020年中考数学专题——运用平移规律求解抛物线相关问题
运用平移规律求解抛物线相关问题由二次函数的性质可知，抛物线2()y a x h k =-+(0a ≠)的图象是由抛物线2y ax =(0a ≠)的图象平移得到的.在平移时，a 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的h 或k 发生变化(图象的位置发生变化)。
平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿x 轴平移，上、下沿y 轴平移，即 2y ax =k −−−−→上下平移个单位2y ax k =+h −−−−→左右平移个单位2()y a x h k =-+.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，一、找平移方法例1 抛物线2245y x x =---是由抛物线224y x x =-+怎样平移得到的?分析 先将这两个抛物线的解析式都化为2()y a x h k =-+(0a ≠)的形式，得到各自的顶点坐标，再比较顶点坐标，并结合平移规律即可找到平移方法. 解 将抛物线2245y x x =---化为顶点式: 22(1)3y x =-+-，∴顶点坐标为(1,3)--.将抛物线224y x x =-+化为顶点式:22(1)2y x =--+∴顶点坐标为(1,2).由顶点(1,2)到(1,3)--可得，将抛物线22(1)2y x =--+向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线22(1)3y x =-+-，所以，抛物线2245y x x =---是由抛物线224y x x =-+向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到的.二、写平移后的解析式例2在平面直角坐标系中，如果抛物线211422y x x =-+不动，而把y 轴、x 轴分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，写出这个抛物线在新的坐标系中的解析式. 分析 先弄清楚抛物线的平移方向和单位，再将这个抛物线都化为2()y a x h k =-+(0a ≠)形式，利用平移规律，即可写出平移后的解析式，解 抛物线的解析式改写为21(1)2y x =-. 因为把y 轴、x 轴分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，所以实际上是把抛物线211422y x x =-+的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位. 先由“左加右减”的规律可知，抛物线21(1)2y x =-的图象向左平移3个单位所得 函数图象的解析式是2211(13)(2)22y x x =-+=+. 再由“上加下减”的规律可知，抛物线21(2)2y x =+的图象向下平移1个单位所得 函数图象的解析式是21(2)12y x =+-.所以，平移后的解析式为21(2)12y x =+-. 三、算待定字母的值例3 若抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线221y x x =-+，求b 和c 的值.分析 先将新的抛物线的解析式化为顶点式的形式，题中求原抛物线的解析式，可将新的图象逆向平移，即先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，就得到原来的抛物线.解 将抛物线221y x x =-+化为顶点式为2(1)y x =-.把它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线2(12)3y x =---，整理，得266y x x =-+，所以6b =-，6c =.四、求图形的面积例4 如图1，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,6)A ，(6,0)B ，(8,6)C ，若把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，求两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图1中阴影部分). 分析 先把点,,A B C 的坐标代入抛物线解析式2y ax bx c =++中，利用待定系数法求出解析式;再把抛物线解析式改写成顶点式，并写出顶点坐标;然后根据平移规律写出平移后抛物线的顶点坐标;最后利用“割补法”可将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积即可.解 抛物线2y ax bx c =++经过点(0,6)A ，(6,0)B ，(8,6)C ，∴636606486c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1246a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为21462y x x =-+21(4)22x =--， 其顶点坐标为(4,2)-.因为抛物线21462y x x =-+的顶点P 的坐标为(4,2)-，所以由平移规律可知，把抛物线向上平移2个单位，则抛物线顶点落在x 轴上，此时的顶点'P 的坐标为(4,0)，即'2PP =.设平移后抛物线与y 轴交于点'A ，连结''A P ，AP (如图2).由平移图形的性质，可知''//A P AP ，''A P AP =，所以四边形''A APP 是平行四边形.如图2，由“割补法”可得，阴影部分的面积=平行四边形''A APP 的面积=2×4=8. 五、探究存在问题例5 如图3所示，将抛物线沿1C ：2y =+沿x 轴翻折，得抛物线2C .(1)请直接写出抛物线2C 的表达式.(2)现将抛物线1C 向左平移(0)m m >个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为,A B ;将抛物线2C 向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为,D E .在平移过程中，是否存在以点,,,A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在，请求出此时m 的值;若不存在，请说明理由.分析 (1)抛物线1C 与2C 关于x 轴对称，因此，它们的解析式中的各项系数及常数项均对应地互为相反数.(2)如图4，先利用方程求出抛物线1C 与x 轴的交点坐标，再求出其顶点坐标，然后根据平移规律，用含m 的代数式分别表示出点M 与N ，点A 与E 的坐标.连结,,,AN NE EM MA ，从而得到四边形ANEM 为平行四边形，再根据矩形的判定，即可求得m 的值.解 (1)抛物线2C 的解析式为2y =-.(2)存在以点,E M 为顶点的四边形是矩形的情形.理由如下:令20+=，解得11x =%，21x =-，所以原抛物线1C 与x 轴的交点坐标为(1,0)和(1,0)-，顶点坐标为。
中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)
中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解题思路：1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；解题思路1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；解题思路：1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；解题思路：1.过点B做OA平行线2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．求证：∠PDQ＝90°；解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．解题思路：1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；解题思路：构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。
【2021中考数学专题复习】抛物线与x轴的交点问题含答案
2021年九年级数学中考复习《抛物线与x轴的交点问题》1．已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．02．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C、BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分图形的面积和为（）A．18B．12C．9D．63．如图，二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点C使∠CBA ＝135°，则点C的坐标是（）A．（4，﹣1）B．（4，﹣）C．（4.5，﹣）D．（4.5，﹣）4．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m 与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（）A．﹣7＜m＜﹣3B．3＜m＜6C．﹣7＜m＜3D．﹣3＜m＜65．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0），与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）D．（﹣1，0）6．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1．若关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，则t的值是（）A．t＝7B．t＝3C．t＝7或t＝D．t＝3或t＝7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．28．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n 9．抛物线y＝x2+bx+4与x轴有且只有1个公共点，则b＝．10．如图，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，4）为圆心，3为半径的圆上的动点，M是线段P A的中点，连结OM．则线段OM的最大值是．11．将抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴只有一个交点，则a的值为．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为（2，﹣4）；当CD最短时，则抛物线顶点纵坐标为．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A，在x轴下方作垂直于y 轴的直线BC抛物线于点B、C，连接AB、AC，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为．14．已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M．①若抛物线经过（0，4），则b＝．②若AB＝6，则OM的长为．16．若函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17．已知点P为二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若△APC为直角三角形且AC为直角边，则点P的横坐标的值为．18．已知关于x的二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3．（1）该函数图象经过点（2，﹣3）．①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；②分别求出这个二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标；（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．20．如图，已知抛物线y＝x2﹣9与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C'．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC 于点G．（1）求抛物线的解析式．（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线与x轴相交于A，B两点，C为抛物线与y轴的交点，点A（﹣3，0），点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的关系式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．23．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（4，﹣2），且经过点B（0，6）．（1）求该二次函数的解析式．（2）求出二次函数图象与x轴的交点A和C的坐标．（3）在抛物线上存在一点P，使△ACP的面积等于8．求出点P的坐标．24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的表达式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，解得a＝﹣2，∴二次函数y＝4x2﹣1，∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，故选：B．2．解：把（0，0）代入y＝﹣（x+3）2+k，得﹣（0+3）2+k＝0，解得k＝6，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+6，∴B点坐标为（﹣3，6），∵BC⊥x轴于C，∴图中阴影部分图形的面积和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．故选：A．3．解：二次函数y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，则y＝﹣x2+﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠CBA＝135°，∴∠CBD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，设BD＝CD＝m，∴C（3+m，﹣m），∵点C在二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象上，∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，解得m1＝1，m2＝0（舍去），∴C（4，﹣1），故选：A．4．解：如图所示，当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m一定小于0，故选：A．5．解：令x＝0，得到y＝c，∴C（0，c），∵D（m，c），得函数图象的对称轴是x＝，设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x＝，得＝，解得x＝﹣2，即A点坐标为（﹣2，0），故选：B．6．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，解得b＝2，∴一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0可以写成x2+3x+3﹣t＝0，当方程x2+3x+3﹣t＝0有两个相等的实数根时，32﹣4×（3﹣t）＝0，解得t＝，此时x ＝﹣＝﹣，∵关于x的一元二次方程x2+（b+1）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣4≤x≤1的范围内只有一个解，∴当t＝，x＝﹣符合题意；令y＝x2+3x+3﹣t，则或，解得t＝7，由上可得，t的值是或7，故选：C．7．解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．8．解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，∴p，q一定处在m，n中间故选：A．9．解：令y＝0，则当抛物线y＝x2+bx+4的图象与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2+bx+4＝0的根的判别式△＝0，即b2﹣4×4＝0，解得b＝±4．故答案是：±4．10．解：令y＝x2﹣3，则x＝±3，故点B（﹣3，0），设圆的半径为r，则r＝3，连接PB，而点M、O分别为AP、AB的中点，故OM是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OM最大，则OM＝BP＝（BC+r）＝（+3）＝4，故答案为：4．11．解：抛物线y＝（x+1）2﹣4向上平移a个单位后得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4+a，此时抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4+a），因为新抛物线恰好与x轴有一个交点，所以﹣4+a＝0，解得a＝4．故答案为：4．12．解：根题意知，当CD⊥y轴时，线段CD最短．∵点C的坐标为（2，﹣4），∴点D的坐标为（0，﹣4）．将其代入y＝ax2﹣4ax+3a，得3a＝﹣4，解得a＝﹣．∴该抛物线解析式是：y＝﹣x2+x﹣4．∵y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2+．∴该抛物线的顶点坐标是（2，）．∴抛物线顶点纵坐标为．故答案是：．13．解：由抛物线y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知，A（1，1）．∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，∴y B＝﹣3．则﹣x2+2x＝﹣3，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．∵BC⊥y轴，∴B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）．∴BC＝4．∴S△ABC＝×4×4＝8．故答案是：8．14．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，连接MA、NB，则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），∴点M到x轴的距离为3，∵MN＝2，∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，∴阴影部分的面积是6，故答案为：6．15．解：①抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，抛物线过点（0，4），则c＝4，故b2﹣16＝0，解得b＝±4（舍去正值），故b＝﹣4，故答案为﹣4；②抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，则：A（m，h）、B（n，h），由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝6＝n﹣m＝＝，解得：h＝9，即OM＝9，故答案为9．16．解：x＝﹣＝﹣＝2，解得：b＝﹣4，故x2﹣bx﹣5＝2x﹣13，即为：x2﹣6x+8＝0，解得：x＝2或4，故答案为：x1＝2，x2＝4．17．解：对于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3，故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．①当∠ACP为直角时，如下图，由点A、C的坐标知，OA＝OC＝3，即直线AC的与x轴负半轴的夹角为45°，而∠ACP为直角，故直线PC的倾斜角为45°，故设直线PC的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣3，故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，联立①②并解得：x＝0或1（舍去0），故点P的坐标为：（1，﹣4）；②当∠P AC为直角时，同理可得：点P（﹣2，5）；故答案为﹣2或1．18．解：（1）①∵该二次函数图象经过点（2，﹣3），∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，解得m＝4．∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣4）；②令x＝0，则y＝﹣3．∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．令y＝0，则x1＝﹣1，x2＝3．∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．（2）y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3＝（x﹣）2﹣﹣3，∴该函数的顶点坐标是（，﹣﹣3）．∴顶点恰好落在y轴上，∴该函数图象向右平移个单位．∴．19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；（3）联立方程组得：，解得：（舍去），，∴D（4，5）．在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴F（0，1）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，∴E（0，﹣3）．∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．过点D作DM⊥y轴于点M，∴S△DEF＝EF•DM＝8．20．解：（1）由x2﹣9＝0得，x1＝﹣3，x2＝3，∵点A位于点B的左侧，∴A（﹣3，0），∵直线y＝x+m经过点A，∴﹣3+m＝0，解得，m＝3，∴点D的坐标为（0，3），∴AD＝＝3；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+3，y＝x2+bx+2＝（x+）2+3﹣，则点C′的坐标为（﹣，3﹣），∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣9），∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣9，∴3﹣＝﹣﹣4，解得，b1＝1+，b2＝1﹣，∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+（1+）x+3或y＝x2+（1﹣）x+3．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x＝﹣，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3．（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴A（﹣3，0），令x＝0，得C（0，3），∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线AC的解析式为y＝x+3，∴∠BAO＝45°，∵PH⊥AO，PG⊥AB，∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，∴△PQG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣m+3），∴Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m，∴当m＝﹣时，PQ max＝，此时P（﹣，），∵△PQG是等腰直角三角，∴△PQG周长＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），＝（+1）（﹣m2﹣m），＝（+1）PQ，∴△PFG周长的最大值为：（+1）．22．解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1，点A（﹣3，0），则点B（1，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），将点C的坐标代入上式并解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：点B关于函数对称轴的对称点为点A，AC交x＝﹣1于点P，此时△PBC的周长最小，理由：△PBC的周长＝BC+PB+PC＝BC+P A+PC＝BC+AC为最小，设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝1﹣3＝﹣2，故点P的坐标为（﹣1，﹣2）；（3）由点C的坐标知，OC＝3，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×3×|x|＝4××3×1，解得x＝4或﹣4．当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．23．解：（1）抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣4）2﹣2，将点B的坐标代入上式得，6＝a（0﹣4）2﹣2，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝（x﹣4）2﹣2；（2）令y＝（x﹣4）2﹣2＝0，解得x＝2或6，故点A、C的坐标分别为（2，0）、（6，0）；（3）△ACP的面积＝×AC×|y P|＝×（6﹣2）×|y P|＝8，则y P＝±4，即±4＝（x﹣4）2﹣2，解得x＝4±2，故点P的坐标为（4﹣2，4）或（4+2，4）．24．解：（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴y＝a（x+1）（x﹣3），又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴a（0+1）（0﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA＝90°，∵OC⊥x轴，∴∠COA＝∠COQ＝90°，∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝∠OAC，∴△QOC∽△COA，∴，即＝，∴OQ＝9，又∵点Q在x轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴，解得，∴点D（，﹣）；（3）存在，理由：如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，P A，设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A（﹣1，0），∴AE＝2，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x＝1，∴P（1，﹣4），∴PE＝4，则PM＝|y+4|，∵S四边形AEPC＝S四边形OEPC+S△AOC＝×1×（3+4）+×1×3＝5，又∵S四边形AEPC＝S△AEP+S△ACP，S△AEP＝AE×PE＝×2×4＝4，∴S△ACP＝5﹣4＝1，∵S△MAP＝3S△ACP，∴×2×|y+4|＝3×1，∴|y+4|＝3，∴y1＝﹣1，y2＝﹣7，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP＝3S△ACP，点M的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）。
九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析二次函数小综合抛物线中的定线问题
典例精讲【例】如图，过点(－1，1)的直线与抛物线y＝－x2－32x＋1交于M，N两点，分别过M，N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G．求证：点G在一条定直线上，并求出该直线的解析式典题精练如图，直线MN与抛物线y＝－x2交于M，N两点，交y轴于点F，过点N作NH⊥x轴于点H，交MO的延长线于点E，直线EF交x轴于点G(2，0)．求证：点E在一条定直线上．典例精讲【例】如图，过点(－1，1)的直线与抛物线y ＝－x 2－32x ＋1交于M ，N 两点，分别过M ，N 且与抛物线 仅有一个公共点的两条直线交于点G ．求证：点G 在一条定直线上，并求出该直线的解析式【解答】设直线MN ：y ＝k (x ＋1)＋1＝kx ＋k ＋1，直线MG ：y ＝k 1x ＋b 1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立23121y x x y kx k ⎧=--+⎪⎨⎪=++⎩，∴x 2＋(32＋k )x ＋k ＝0，∴x 1＋x 2＝－32－k ，x 1⋅x 2＝k ， 联立211312y x x y k x b ⎧=--+⎪⎨⎪=+⎩，∴2x 1＝－32－k 1，x 12＝b 1－1，∴直线MG ：y ＝(－2x 1－32)x ＋x 12＋1，同理，直线NG ：y ＝(－2x 2－32)x ＋x 22＋1， 由2112223(2)1,23(2)12y x x x y x x x ⎧=--++⎪⎪⎨⎪=--++⎪⎩解得x ＝122x x +＝－34－2k ，y ＝－x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋1＝－4k ＋178， 消去k 可得y ＝12x ＋52，∴点G 在定直线y ＝12x ＋52上．典题精练如图，直线MN 与抛物线y ＝－x 2交于M ，N 两点，交y 轴于点F ，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，交MO 的延长线于点E ，直线EF 交x 轴于点G，0)．求证：点E 在一条定直线上．解：设M(x1，－x22)，N(x，－x22)，则MN：y＝(－x1－x2)x＋x1x2，OM：y＝－x1x，∴F（0，x1x2），又∵G的坐标为0)，可得FG：y(x∵NH⊥x轴，∴x E＝x2，∴y E＝－x1x2(x2)，解得x2＝x E∴点E在定直线x。
2025年四川省中考数学 培育新素养 专题考法精研-专题7 二次函数与几何综合问题
联立൞
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10
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解得൞
或ቊ
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= ，
∴M
= ，
综上，点 M 的坐标为
，
，
或
.
,−
.
归纳总结：本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数
12
（1）求该抛物线的解析式.
解：（1）∵抛物线 y ＝ x2＋ bx ＋ c 与 x 轴交于点 A （－1，0），与 y 轴交
＝ − ，
− ＋ = ，
于点 C （0，－4），∴ቊ
解得ቊ
∴该抛物线的解
＝ − .
＝ − ，
析式为 y ＝ x2－3 x －4.
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∴∠ CTB ＝90°＝∠ CQT ＝∠ QGB ，
∴∠ QCT ＋∠ CTQ ＝90°＝∠ CTQ ＋∠ BTG ，
∴∠ QCT ＝∠ BTG .
∵ CT ＝ BT ，
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∴△ CQT ≌△ TGB （AAS），
∴ QT ＝ GB ， CQ ＝ TG .
设 TQ ＝ GB ＝ m ，则 CQ ＝ TG ＝3－ m ，
Hale Waihona Puke 解即可.分析： （3）以 CB 为对角线作正方形 CTBK ，可得∠ BCK ＝
∠ BCT ＝45°， CK ， CT 与抛物线的另一个交点即为 M ，过点 T 作 x 轴
中考数学抛物线难题解析(含答案)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．(4)补充：在（3）的条件下，点P、Q、B、O为顶点的四边形能否成为梯形，若能，求出相应Q的坐标。
41直角坐标系XOY中，将直线y=kx沿y轴下移3个单位长度后恰好经点B（-3,0）及y 轴上的C点。
若抛物y=-x2+bx+c与x轴交于A点B点，（点A在点B的右侧），且过点C 。
（1）求直线BC及抛物线解析式（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求p点坐标如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC交抛物线对称轴交于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P，Q两点，且点P在第三象限.①当线段PQ=3AB/4时，求tan∠CED的值；②当以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答.第25题图第25题备用图直角坐标系XOY中，半径2√5的⊙C与x轴交于A（-1，0），B（3，0）且点C在X轴上方。
2020年中考数学专题突破一：抛物线中的面积问题(铅垂高)
专题一：抛物线中的面积问题（铅垂高）【导例引入】 导例：抛物线2123333y x x =-++交x 轴正半轴于点A （33，0），交y 轴于点B （0，3），且这个抛物线的顶点为C ．连接AB 、AC 、BC ，则抛物线的对称轴为直线 ，线段CD 的长为 ，△ABC 的面积为 ．【方法指引】如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S △PAB ＝·PQ·，根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ 最大时，S △PAB 取得最大值．导例答案：3 2 33【例题精讲】类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2﹣x﹣2），则DF＝﹣x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA＝EC＝EB＝，过D作Y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分为∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC两种情况列方程求解即可．类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM＝BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．类型三：由已知面积来定未知面积类问题例3. 如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．（2）①求证：抛物线l经过点C．②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标（2）由旋转的性质可求得点D和点C的坐标，将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y＝0，从而可证明点抛物线l经过点C；如图1所示；过点G作GE⊥y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积，最后依据S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可；（3）过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可．类型四：与面积倍分有关的综合题例4. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y＝﹣x﹣3，线段CD的长为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）将（2）中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN（点M，Q，N分别与点A，O，F对应），使点M，N在抛物线上，则点M，N的坐标分别为M，N．【分析】（1）根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C，顶点D的坐标，由顶点式可得抛物线的解析式；（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，求出BM的解析式，找到此解析式与抛物线的另一个交点，即为所求；（3）找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，M，N在抛物线上，求出与AF垂直的点M，N的坐标即可．【真题精炼】1．（2018•青海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．2．（2017秋•吴中区期末）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．3．（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．4．（2014秋•常熟市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时，求m的值．（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．5．（2013秋•苏州期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为（1，﹣4）．（1）求A的坐标及抛物线的解析式；（2）若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC 上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△P AA1面积的3倍，求点P的坐标．参考答案例1 【解答】解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），．设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AC＝，BC＝2，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，∴∠OEC＝2∠ABC．∴tan∠OEC＝＝．当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．∴点D的横坐标为2．当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．∵tan∠MGD＝，∴GM＝6k，GD＝3k，∴GC＝MG﹣CM＝2k，∴GR＝k，CR＝k．∴RD＝3k﹣k＝k．∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x ＝．∴点D的横坐标为．综上所述，当点D的横坐标为2或．【例2】解：（1）∵A（1，0），对称轴l为x＝﹣1，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM+∠NBQ＝90°．∵∠PMB＝90°，∴∠PBM+∠BPM＝90°．∴∠BPM＝∠NBQ．又∵∠BMP＝∠BNQ＝90°，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ．∴PM＝BQ．∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，且对称轴为x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣3，0），点Q的坐标为（﹣1，0）．∴BQ＝2．∴PM＝BQ＝2．∵点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上B、C之间的一个动点，∴结合图象可知点P的纵坐标为﹣2，将y＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3，得﹣2＝x2+2x﹣3，解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+（舍去），∴此时点P的坐标为（﹣1﹣，﹣2）；（3）存在．如图2，连接AC．可设点P的坐标为（x，y）（﹣3＜x＜0），则y＝x2+2x﹣3，∵点A（1，0），∴OA＝1．∵点C是抛物线与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝﹣3．即点C（0，﹣3）．∴OC＝3．由（2）可知S四边形PBAC＝S△BPM+S四边形PMOC+S△AOC＝BM•PM+（PM+OC）•OM+OA•OC＝（x+3）（﹣y）+（﹣y+3）（﹣x）+×1×3＝﹣y﹣x+．将y＝x2+2x﹣3代入可得S四边形PBAC＝﹣（x2+2x﹣3）﹣x+＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，﹣3＜x＜0，∴当x＝﹣时，S四边形PBAC有最大值．此时，y＝x2+2x﹣3＝﹣．∴当点P的坐标为（﹣，﹣）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为．例3：【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（1，0）．又∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3．∴B（0，3）．将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点G的坐标为（﹣1，4）．（2）①证明：由旋转的性质可知；OC＝OB＝3，∴C（﹣3，0）．当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3＝﹣9+6+3＝0，∴点抛物线l经过点C．②如图1所示；过点G作GE⊥y轴．∵GE⊥y轴，G（﹣1，4），∴GE＝1，OE＝4．∴S梯形GEOC＝（GE+OC）•OE＝×（1+3）×4＝8．∵由旋转的性质可知；OD＝OA＝1，∴DE＝3．∴S△OCD＝OC•OD＝×3×1＝，S△GED＝EG•ED＝×1×3＝．∴S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED＝8﹣﹣＝5．（3）如图2所示：过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．∵PG∥CD，∴△PCD的面积＝△GCD的面积．∵OD＝OA＝1，∴D（0，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b．∵将点C（﹣3，0）、D（0，1）代入得：，解得：k＝，b＝1，∴直线CD的解析式为y＝+1．∵PG∥CD，∴直线PG的一次项系数为．设PG的解析式为y＝x+b1．∵将点G的坐标代入得：+b1＝4，解得：b1＝，∴直线PG的解析式为y＝+．∵将y＝+与y＝﹣x2﹣2x+3联立．解得：，，∴P（﹣，）．例4：【解答】解：（1）作DW⊥x轴，CW⊥y轴交于W点．CW＝•cos∠DCW＝1．DW＝•sin∠DCW＝1．∴C点坐标为（0，﹣3），D点坐标为（1，﹣4），由顶点式可得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2分）（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，根据二次函数解析式可得：A（﹣1，0），由直线CD的解析式可知：E（﹣3，0），∵C（﹣3，0），∴∠AEH＝45°，∴△OEH是等腰三角形，∵OH⊥EC，∴H点的坐标是（﹣1.5，﹣1.5）∵AF∥CD，∴∠OAF＝45°，∴G（﹣0.5，﹣0.5），∵M是GH的中点，∴M（﹣1，﹣1），求出BM的解析式y＝x﹣，此解析式与抛物线的一个交点就是要求的P（﹣，﹣）．（3分）（3）△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，则直线MN的解析式为y＝x+b，∵MN＝AF，∴M（1，﹣4），N（2，﹣3）．（4分）【真题精讲】1、【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．2．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB＝2，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB＝∠ABC＝45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝1，BC＝2，CD＝d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴，∴CD＝AB＝1，∴d+2＝1，∴d＝﹣1，∴D（0，﹣1）②△BCD∽△ABC，∴，∴，∴d＝6，∴D（0，6）；（3）如图，∵CE∥轴，∴令y＝﹣2，∴﹣2＝﹣x2+3x﹣2，∴x＝0（舍）或x＝3，∴E（3，﹣2），∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），∵点F是线段BC上的点，∴0＜m＜2，HF＝﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，∴S△CHF+S△EHF＝HF×3＝（﹣m2+2m）＝﹣（m2﹣2m+1）+＝﹣（m﹣1）2+∴m＝1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．3．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP＝S△BPE+S CPE＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S△BCP最大＝（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，①m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝，②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），解得m＝﹣当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°，m2﹣4m+3＝0，解得m＝1或m＝3（舍）当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，解得m＝2或m＝3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．4．【解答】解：（1）由题意可得：y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，0＝m（x﹣3）（x+1），解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）如图1，∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，∴顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△，∠M为直角的直角三角形时，有：DM2+MB2＝BD2．DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．故m＝﹣时，△BDM为以∠M为直角的直角三角形；（3）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图2：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，则×（）2﹣﹣＝﹣，故P（，﹣）．5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，点B 的坐标为（1，﹣4），∴xy＝k＝1×（﹣4）＝﹣4，∴双曲线y＝﹣，∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A在第二象限内，∴可设A点坐标为：（﹣m，m）（m＞0），代入双曲线解析式得；m＝2，∴点A（﹣2，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，2），B（1，﹣4），O（0，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x；（2）由A（﹣2，2），B（1，﹣4），代入y＝kx+d得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x﹣2，设E（n，﹣n2﹣3n），过E作EF∥y轴，交AB于点F，则F点坐标为（n，﹣2n﹣2），∴EF＝（﹣n2﹣3n）﹣（﹣2n﹣2）＝﹣n2﹣n+2，∴S△ABE＝S△AEF+S△BEF＝×（﹣n2﹣n+2）×3＝﹣（n+）2+，∴S△ABE的最大值为：，此时，n＝﹣，﹣n2﹣3n＝，∴E（﹣，）；（3）∵B（1，﹣4）且直线BC∥x轴，∴令﹣x2﹣3x＝﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴C（﹣4，﹣4），∴S△ABC＝5×6×＝15，过点C作AB的平行线CD，交抛物线于点D，设直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x+t，则﹣4＝﹣2×（﹣4）+t，解得：t＝﹣12，∴直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x﹣12，令﹣2x﹣12＝﹣x2﹣3x，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去），当x＝3时，y＝﹣18，∴存在点D（3，﹣18）满足条件．6．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴×8•x＝×4×4，解得：x＝2，∴点E的坐标为（2，8）．（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4，∴∠ODB＝45°，BD＝4，∴∠BDC＝135°．∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8），∴CM＝PM＝1，∴∠CPM＝45°，CP＝，∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△CDB∽△CPQ，∴＝，即，解得：PQ＝2，∴点Q的坐标为（1，11）．7．【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，∴解得：∴b、c的值分别为﹣4，3；（2）∵A（0，3），B（1，0），∴OA＝3，OB＝1，可得旋转后C点的坐标为（4，1），当x＝4时，由y＝x2﹣4x+3得y＝3，可知抛物线经过y＝x2﹣4x+3经过点（4，3）∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．（3）∵点P在y＝x2﹣4x+1上，可设P点的坐标为（x0，x02﹣4x0+1），将y＝x2﹣4x+1配方得y＝（x﹣2）2﹣3∴对称轴为直线x＝2，∵S△PMM1＝3S△P AA1 MM1＝AA1＝2∴x0＜2，①当0＜x0＜2时，∵S△PMM1＝3S△P AA1，×2×（2﹣x0）＝3××2×x0，解得：x0＝，∴x0＝，此时x02﹣4x0+1＝﹣∴点P的坐标为（，﹣），②当x0＜0时，同理可得×2×（2﹣x0）＝3××2×（﹣x0）解得：x0＝﹣1，∴x0＝﹣1，此时x02﹣4x0+1＝6，∴点P的坐标为（﹣1，6），综上所述，可知：点P的坐标为（，﹣）或（﹣1，6）．。
中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破七 二次函数与几何综合题 类型二
设 M(0，m)，直线 BM 的解析式为 y＝k2x＋b2， 将点 M，B 代入，得m0＝＝b－2，2k2＋b2，解得kb22＝＝m2m.，
m ∴直线 BM 的解析式为 y＝2x＋m，∵点 P为直线 BM 与抛物线的交点，
m y＝2x＋m， ∴联立方程组得y＝－14x2＋32x＋4，化简得(x＋2)(x－8＋2m)＝0，
∵S△ACD＝3，∴－32t2－92t＝3，解得 t1＝－1，t2＝－2.
当 t＝－1 时，点 D 的坐标为(－1，－4)， 当 t＝－2 时，点 D 的坐标为(－2，－3)． 综上所述，满足条件的点 D 的坐标为(－1，－4)或(－2，－3)．
【思路点拨】 第一步：设点 D 的横坐标为 t, 用含 t 的式子表示△ACD 的面积； 第二步：利用面积关系 S△ACD＝3，列关于 t 的方程求解，进而得出点 D 的 坐标．
(4)如图，已知点 P 是直线 AC 下方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，求四边形 APCO 面积的最大值；
解：由(1)(3)可知点 A(－3，0)，C(0，－3)， lAC：y＝－x－3， 设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F， 则点 P 的坐标为(m，m2＋2m－3)， 点 F 的坐标为(m，－m－3)． 则 PF＝－m－3－(m2＋2m－3)＝－m2－3m.
∴S 四边形 APCO＝S△ACP＋S△ACO＝12OA·PF＋12OA·OC＝12×3×(－m2－3m＋3) ＝－32(m2＋3m)＋92＝－32m＋322＋683.
由题意可知，－3＜m＜0，
3
63
∴当 m＝－2时，S 四边形 APCO 最大值为 8 .
【思路点拨】 第一步：设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，用含 m 的式子表示出 PF 的长； 第二步：由 S 四边形 ＝S ＋S APCO △ACP △ACO 列出式子，即可得到最大值．
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二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题旳基本原则是：充分利用选择题旳特点，小题 小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题旳基本思想是既要看到各类常规题旳解题思想， 但更应看到选择题旳特殊性，数学选择题旳四个选择支中 有且仅有一种是正确旳，又不要求写出解题过程. 因而， 在解答时应该突出一种“选”字，尽量降低书写解题过程， 要充分利用题干和选择支两方面提供旳信息，根据题目旳 详细特点，灵活、巧妙、迅速地选择解法，以便迅速智取， 这是解选择题旳基本策略. 详细求解时，一是从题干出发 考虑，探求成果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件. 实际上，后者在解答选择题 时更常用、更有效.
• 例3 下列四个点中，在反百分比函数y＝− 旳图象上旳是（ ）
• A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
• 思绪分析：根据反百分比函数中k=xy旳特点进行解答即可．
• 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反百分比函数旳图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错 误． 故选A．
• 思绪分析：反百分比函数旳图象是中心对称图形， • 则与经过原点旳直线旳两个交点一定有关原点对称． • 解：因为直线y=mx过原点，双曲线 旳两个分支有关原点对称，
所以其交点坐标有关原点对称，一种交点坐标为（3，4），另一种交 点旳坐标为（-3，-4）． 故选：C． • 点评：此题考察了函数交点旳对称性，经过数形结合和中心对称旳定 义很轻易处理．
• 一. 一次函数、反百分比函数和二次函数图象旳分析问题