双曲线画法
几何画板画双曲线的两种方法
几何画板画双曲线的两种方法双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线，也是高中数学中必须要研究的一类圆锥曲线。
几何画板作为数学教学辅助工具，可以用其来绘制圆锥曲线，省去在黑板上画图的时间。
本几何画板教程就来给大家介绍介绍几何画板画双曲线的两种方法。
方法一：具体的操作步骤如下：步骤一打开几何画板，单击左边侧边栏工具箱下的“自定义工具”，在弹出的自定义工具包选择“圆锥曲线A”——双曲线。
在自定义工具下选择双曲线示例步骤二在画布空白处单击一下鼠标确定双曲线的中点坐标，拖动鼠标此时会出现双曲线的形状，如下图所示。
确定双曲线的中点坐标示例步骤三拖动鼠标在适当位置单击一下，确定好双曲线的大小、位置和方向后单击鼠标即可。
这样就制作出双曲线图像了，如下图所示。
在画板上绘制双曲线图像示例步骤四拖动双曲线上的红点，改变其位置，就可以改变双曲线的位置和形状，演示如下图。
拖动点调整双曲线示例方法二：具体操作如下：1.利用已知点和线段构造圆。
在“绘图”菜单中选择“定义坐标系”。
用线段工具绘制线段AB。
选择“点工具”，在x轴上绘制一点C。
选中线段AB、点C，选择“构造”—“以圆心和半径绘圆”命令，画出圆C。
利用点工具线段工具和构造菜单构造点、线段和圆2.构造焦点。
双击y轴，选中C点，在“变换”菜单中选择“反射”，在y轴另一侧出现点C’。
在“变换”菜单中选择“反射”构造焦点C’3.构造线段和直线。
选择“点工具”，在圆C上任取一点P。
选择“线段工具”画出线段PC’。
选中点C、点P，选择“构造”—“直线”命令，作出直线CP。
利用线段工具和构造菜单构造线段C’P和直线CP4.构造线段C’P的中点。
选中线段C’P，选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段C’P的中点M。
在“构造”菜单中选择“中点”构造线段C’P的中点5.构造中垂线与直线的交点。
选中点M、线段C’P，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段C’P的垂直平分线，点击线段C’P的垂直平分线与直线CP的相交处，作出交点H。
CAD中描绘双曲线的技巧
CAD中描绘双曲线的技巧双曲线是数学中的一种经典曲线，它具有许多独特的性质和应用。
在CAD软件中，描绘双曲线可以帮助我们更好地设计和建模。
本文将介绍一些CAD软件中描绘双曲线的技巧。
首先，我们需要了解双曲线的方程。
双曲线的标准方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别是椭圆的，确定了双曲线的形状和尺寸。
在CAD软件中，可以使用不同的工具和命令来描绘双曲线。
下面是几种常用的方法：1. 使用多段线工具：某些CAD软件提供了绘制多段线的工具，可以使用此工具绘制形状为双曲线的曲线。
首先，选择多段线工具，然后从一个点开始，依次点击屏幕上的点，通过调整点的位置和曲线的弯曲角度，逐渐绘制出双曲线的形状。
2. 使用曲线工具：大多数CAD软件都提供了曲线工具，可以通过指定点和曲率来描绘双曲线。
选中曲线工具，点击两个点，然后通过修改曲率参数，调整双曲线的形状。
3. 使用参数方程：双曲线还可以使用参数方程来描述。
参数方程为：x = a * cosh(t)，y = b * sinh(t)。
在CAD软件中，可以使用参数曲线或坐标数学功能函数来描绘双曲线。
4. 使用CAD插件或扩展功能：某些CAD软件提供了各种插件或扩展功能，通过安装和使用这些插件，可以轻松绘制出各种形状的曲线，包括双曲线。
通过搜索相应的插件或扩展功能，并按照说明进行安装和使用，即可描绘出双曲线。
无论使用哪种方法，我们都需要调整参数来改变双曲线的形状和尺寸。
在CAD软件中，通常可以通过调整参数来修改双曲线的椭圆参数a和b，从而获得所需的形状。
在绘制过程中，可以使用网格和辅助线来辅助位置和控制双曲线的形状。
此外，还可以使用一些额外的工具和功能来进一步完善双曲线的设计。
例如，可以在双曲线上添加文本或注释，以便更好地描述其属性和用途。
还可以使用渐变、填充或阴影效果来增强双曲线的视觉效果。
综上所述，CAD软件提供了多种方法来描绘双曲线。
在几何画板中,怎么画反比例函数图象双曲线分支的一部分？
在几何画板中，怎么画出反比例函数图象的一部分？画反比例图象可以事先设置函数的定义域，然后再绘制出函数的图象；但在制卷和编制课件的实际操作中往往是先绘制出软件所默认函数的图象，然后才根据页面的空间情况进行取舍，下面根据我在实际操作中所得介绍两种情况供各位参考，但愿能起到抛砖引玉的作用：问题1：怎样画反比例函数的函数图象一个分支的的一部分？方法一：绘制反比例函数图象（如：2y x=）→ 选定反比例函数图象（任意点选一个分支即可） → 右键 → 属性 → 绘图 → 范围输入数值（如下图输入的是..0606x 30≤≤） →确定即可.特别说明：在图象有箭头的情况下，鼠标置于图象的箭头端，此时会呈现一个“×”状，鼠标左键按住后还可以根据需要随意将图象拉长和缩短，最后在属性里把“显示箭头和端点”前面的“√”去掉，“隐去”箭头和端点.方法二：绘制反比例函数图象（如：2yx=）→ 用点工具在反比例函数图象标出两个点（如下面左图的B C 、点） → 分别选定点 → 右键 → 横坐标（如图的..B C x 064x 339==，） →按照方法一操作 … 范围输入数值（如下图输入的是..064x 339≤≤）→ 确定把点和标签隐藏（见下面右图）.也可以根据需要仿照方法一的特别说明进行拉伸.问题2：怎样“同时”画反比例函数图象各自的两个分支的部分图象，并且要使两个部分要关于原点成中心对称？按照问题1的方法先画好一个分支的部分（本例仍按问题1的方法来操作函数2yx=在第一象限的分支的部分） → 再画出一个同样的的反比例函数图象（如图在同一坐标系内再画一个同样的函数图象2yx=） → 右击刚画好的图象 → 在属性里改动自变量的取值范围（根据反比例函数图象两个分支的中心对称性可知B C 、的关于原点O 为中心对称的点为''B C 、，即..BC x 064x 339==，的关于原点的对称点坐标应为''..B C x 064x 339=-=-，，所以其相应的自变量的取值范围由..064x 339≤≤改写为..064x 339-≤≤- → 确定即可 →根据试卷和课件需要设置好线条的粗细、颜色等（见下面的右图）.郑宗平 2015/5/25• • • • • • • • • • • • ••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
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定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
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演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
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我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
第43课 双曲线的概念和标准方程
第五单元《圆锥曲线》教案
一、创设情境
椭圆形状在生产生活中运用广泛，双曲线也是如此。
比如下图花瓶的外轮廓为双曲线形；在工业上，冷却塔的外形也是按照双曲线的形状进行设计，不仅占地面积小，而且便于通风，节约能源.
二、概念形成
1. 双曲线的图像绘制
类比椭圆图像的绘画过程，画出双曲线的图像. 具体操作流程如下：
(1)把一条两边长度不等的拉链的两端分别固定在F1，F2两个定点上(拉链两边的长度差要小于两定点之间的距离)
(2)取铅笔将笔尖固定在拉头处，拉开拉链，使得笔尖慢慢移动，画出一部分图形.
(3)再交换，将拉链两端位置分别固定在F2，F1两个定点处，重复上述画法可以画出另一部分图形.
2. 双曲线的概念
观察Geogebra的动态动画，描述动点和两个顶点之间的关系，得到双曲线的概念.
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两方法吗？两个定点叫做
A.椭圆
B.两条射线
C.双曲线
D.线段
2. 设双曲线 (m>0)的焦距为12，则m=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.
已知双曲线的标准方程为 ，求焦点坐标和焦距. 五、课堂小结
x 2
2m −y 2
7m
=1 y 2144−x 2
25=1。
初三数学双曲线图像绘制与解析详解
初三数学双曲线图像绘制与解析详解双曲线是数学中常见的一种曲线，它在初三数学中也是一个重要的内容。
本文将详细介绍初三数学中关于双曲线图像绘制与解析的知识。
让我们一起来了解吧！双曲线是由平面上一动点P到两个定点F1，F2的距离之差等于常数d所确定的轨迹。
在数学上，我们用双曲线方程来描述双曲线，其一般形式为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b分别代表双曲线在x轴和y轴上的拟合程度，d代表定点之间的距离差。
现在，我们来详细了解绘制和解析双曲线的方法。
一、绘制双曲线图像要绘制双曲线图像，我们可以通过以下步骤进行：1. 确定焦点和顶点：根据双曲线方程，我们可以得到焦点F1和F2的坐标（a, 0）和（-a, 0），以及顶点的坐标（0, 0）。
2. 确定坐标轴和比例尺：根据双曲线的特点，我们可以选择合适的坐标轴和比例尺来绘制双曲线。
通常情况下，我们可以选择以焦点为中心的坐标轴，并根据实际需求确定比例尺。
3. 绘制双曲线曲线：根据给定的双曲线方程，我们可以将不同的点代入方程计算出它们的坐标，并在坐标轴上标出这些点。
将这些点连成一条曲线，就是所求的双曲线图像。
二、解析双曲线性质在初三数学中，我们不仅需要会绘制双曲线图像，还需要了解一些双曲线的性质。
下面我们来介绍几个常见的双曲线性质。
1. 双曲线的两支对称：根据双曲线方程，我们可以得知双曲线关于y轴对称，即曲线在y轴上是对称的，使得在绘制曲线时我们只需要画出其中一支即可。
2. 双曲线的渐近线：根据双曲线的方程，我们可以得到两条斜率分别为正负的渐近线，即曲线趋近于这两条直线。
对于双曲线方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1的情况，其中的两条渐近线分别为直线y = b/a * x 和直线y = -b/a * x。
3. 双曲线的离心率：双曲线的离心率是一个重要的参数，用e表示。
它是双曲线焦点与顶点之间的距离与焦点到曲线的点之间的距离之比。
【高中数学】双曲线
则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5， 即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳 离心率，不用愁，寻找等式消 b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的 标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的 标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
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第十课 双曲线的画法的画法和性质一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．双曲线的标准方程：设M (x , y )是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a (c >a >0)，则 ||MF 1|－|MF 2||＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+--++, 图10－1整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程12222=-by a x . 3．双曲线的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca 2的距离的比是常数ac(c >a >0)，则点M 的轨迹是双曲线。
点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于焦点F 的准线。
常数e ＝ac(e >1)是双曲线的离心率。
图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径作两个圆，|OA |＝a , |OB |＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点，点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ，交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，过点P 作PR ⊥OP ，交Ox 轴于R ，过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。
设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, y ＝|RM |＝|CN |＝|OC |t g φ＝bt g φ,图10－3∴ 双曲线的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=btg y a x sec (φ是参数).二．双曲线的画法： 画法1：图10－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB |＝2a ，(|AB |<|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|AB |；4．在AB 延长线上分别取C '，使|BC '|＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|BC |、|AC |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC |、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点C 、点P 1 (或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。
理论根据：点P 1是两圆的交点，∴ 点P 1到F 1与F 2的距离的差等于两圆的半径的差, 即 ||PF 1|－|PF 2||＝|AC |－|BC |＝|AB |＝2a .说明：点C 不要直接在BC 上取，那样画出来的双曲线将在x 轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点C 在BC 上运动时，当点C 非常接近点B 时，两圆没有交点，于是画出来的图形就不好看了。
2a B CA画法2：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a ，(2a <|F 1F 2|)；图10－53．以F 1为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ；4．连接PF 1、PF 2，作PF 2的中垂线与直线PF 1交于点M ，连接MF 2；5．将点M 定义为“追踪点”，分别选中点M 、点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。
理论根据：点M 在PF 2的中垂线上，∴ |MP |＝|MF 2|, ∴ |MF 1|－|MF 2|＝|MF 1|－|MP |＝|F 1P |＝2a . 即点M 到两个定点F 1和F 2的距离的差等于定长2a 。
点M 的轨迹是一个双曲线。
画法3：1．在平面直角坐标系中取点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，把它们作为焦点，在OF 1上取一点A 1，使它作为双曲线的顶点；2．度量OF 1、OA 1，把它们的长分别作为c 和a ，使a <c ；3．计算c c a -2，在Ox 轴上取一点N ，使|ON |＝c ca -2,过点N 作Ox 轴的垂线作为双曲线的准线；4．选中Ox 轴，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P ；5．计算e ＝a c ，并度量|NP |的长，计算|NP |×ac；6．以点F 2为圆心，|NP |×ac为半径作圆，此圆与过点P 且垂直于Ox 轴的直线相交于M 1，M 2两点；7．分别选中点M 1和点P (或点M 2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。
图10－6理论根据：点M 1到点F 2的距离是|NP |×ac ，点M 1到准线l 的距离|M 1D |＝|NP |,∴ 的距离到直线点的距离到点l M F M 121＝ac ＝e . ∴ 点M 1在双曲线上。
画法4：1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b (a , b >0)为半径画两个圆; 2．圆OA 与x 轴的正方向交于点C ，过C 作x 轴的垂线，3．在圆OA 上取一点P ，连接OP ，直线OP 与过点C 且和x 轴垂直的直线交于点N ，过点N 作x 轴的平行线NM ；4．过点P 作PR 垂直于OP ，交x 轴于点R ；5．过点R 在x 轴的垂线交直线NM 于点M ；6．分别选中点M 和点P ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。
理论根据： 设∠xOP ＝φ，则|OR |＝|OP |se c φ＝a se c φ, |RM |＝|NC |＝|OC |t g φ＝bt g φ, 根据双曲线的参数方程知，点M的轨迹是一个双曲线。
图10－7e=a 2c三．双曲线中动弦的画法(一)．双曲线焦点弦的画法：图10－81．在坐标系中作出两个焦点F1、F2，在图形外作一条线段，使它的长等于2a(2a<|F1F2|)；2．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，连接PF2，作PF2的中垂线交直线PF1于点M；选中点M和点P，用“轨迹”功能作出双曲线；3．连接PF1延长与圆交于点Q；4．同样方法作出点Q在双曲线上的对应点N；5．连接MN，则线段MN一定过焦点F1，且点M、N都在双曲线上；6．保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在双曲线上拖动它，则点N相应在双曲线上移动，且MN始终经过点F1.理论根据：双曲线上的点M、N是由圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点F1，则相应的线段MN在双曲线上也经过定点F1.图10－91．用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点D；2．在以a为半径的圆上取一点M，作出它在双曲线上的相应点P；3．作DE⊥Ox轴，垂足是E，过点E作以a为半径的圆的切线ER、ES，连接RS；4．过点D作RS的垂线，垂足是D'；5．连接MS'，延长与圆交于N，作出点N在双曲线上的对应点Q；6．连接PQ，则PQ始终经过点D，且P、Q都在双曲线上；7．保留坐标系、双曲线、定点D和过定点D的弦PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在双曲线上拖动它，则点Q相应在双曲线上移动，且PQ始终经过点D；.理论根据：双曲线上的点P、Q是由大圆上的点M、N得到的，线段MN在大圆上经过定点D'，则相应的线段PQ在双曲线上也经过定点MD。
问题的关键是怎样由点D得到点D'，我们看到，点D和点D'的纵坐标是一样的，另外在双曲线中过点D且垂直于x的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是R、S，所以点D'.一定在RS上，这样就得到了点D'.图10－101．用参数方程的画法画出一条双曲线，计算两圆半径的比a , b ，在双曲线上取一点P ； 2．在图形外画一条斜率为k 的线段，过点P 作斜率为k 的线段的平行线；3．选中a , b , k, 用“计算”算出22kab 的值；4．过原点O 作斜率为22kab 的直线，与过点P 斜率为k 的直线相交于点M ；5．以点M 为中心，将点P 旋转180°，得到点Q ，则点Q 在双曲线上； 6．连接PQ ，则PQ 就是斜率为k 的双曲线中的平行弦；7．保留坐标系、双曲线、斜率k 和PQ ，隐藏其它的内容；选中点P 在双曲线上拖动点P ，则弦PQ 始终与AC 平行，且点P 、Q 在双曲线上；8．作PQ 的中点，标记为“追踪点”，则点P 运动时，就可以得到中点的轨迹。
理论根据：设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)都在双曲线12222=-by a x 上，且PQ 的斜率为k ，若PQ 的中点为M (x 0,y 0), 有1221221=-b y a x ，1222222=-b y a x ，两式相减得2212122121))(())((by y y y a x x x x -+=-+。
∴00x y ＝22221221)()(ka b a y y b x x =--, ∴ 中点M 在过原点且斜率为22kab 的直线上。
四．双曲线切线的画法：(一) 过双曲线上一个定点P的切线：1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点F1、F2；2．在双曲线上标出定点P；图10－113．以F1为圆心，双曲线的实轴2a为半径作圆；4．连接F1P交圆于点M；5．连接F2M，作F2M的中垂线，这条中垂线过点P，并且是双曲线的切线。
理论根据：∵点P在双曲线上，∴||PF1|－|PF2||＝2a,又|F1M|＝2a，∴|PF2|＝|MP|,点P在F2M的中垂线上，直线MP经过点M且与双曲线有且仅有一个交点，所以直线MP是双曲线过点P的切线。
(二) 过双曲线外一点作双曲线的切线：1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点F1、F2；2．在双曲线外标出定点T；3．以点F1为圆心，双曲线的实轴2a为半径作圆；4．以点T为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆F1于点M、N；5．连接MF2，作MF2的中垂线TCP，同样连接NF2，作NF2的中垂线TDQ；6．直线TCP、TDQ都是过点T的椭圆的切线。