2018高考数学总复习复数
专题03 复数基础篇-2018年高考数学备考艺体生系列 含
专题三 复数复数的概念及其几何意义【背一背基础知识】1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示． 2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数．3．复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =．特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==． 4．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ一一对应． 5．复数的模：向量OZ的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z =【讲一讲基本技能】1．必备技能：对于复数的基本概念及其几何意义的考查，一般首先通过复数的基本运算将复数利用一般形式进行表示，然后利用相关知识与公式进行求解． 2．典型例题例1【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C 【解析】试题分析：由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知i 是虚数单位，复数()11Z m m i =-++（其中m R ∈）是纯虚数，则m =（ ）A. 1-B. 1C. 1±D. 0 【答案】B【解析】因为复数是纯虚数，即10{10m m -=+≠ ，解得1m =，故选B.例3【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C.【练一练趁热打铁】1.【2017北京，文2】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ 【答案】B2.设复数113z i =-，21z i =-，则12z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】()()1213124z z i i i +=-+-=-，对应点的坐标为()2,4-，所以复数12z z +在复平面内对应的点在第四象限，故选D ． 3.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【解析】复数四则运算【背一背基础知识】1．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-．2．复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；乘法法则：()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++． 【讲一讲基本技能】1．必备技能：对于复数的基本运算，首先确定复数的实部与虚部，然后利用复数四则运算的基本运算法则进行即可． 2．典型例题例1【2017课标II ，文2】(1i)(2i)++= （ ） A.1i - B.13i + C.3i + D.33i + 【答案】B例2【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（ ） A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】A 【解析】试题分析：由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 例3.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ． 【解析】()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 【练一练趁热打铁】1.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =+⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ） （D【解析】试题分析：由,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.2．【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1-.【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-. 3．复数21ii+的模是 ．． 【解析】因为()()()()()21212111112i i i i i i i i i i i --===-=+++-，=．（一） 选择题（12*5=60分）1．【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z = ( )A. 5i -B. 5iC. 1+5iD. 15i - 【答案】A【解析】()()122+5,5z i i i z i =+=∴=- . 故选A.2.【2018届河北省邢台市高三上学期期末】设复数3z i =-，则复数zi的实部为（ ）A. -3B. 3C. -1D. 1 【答案】C【解析】复数3z i =-， 3,z i =-- 313311z i ii i i ---===--，故实部为-1.故答案为：C.3.【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟】已知i 是虚数单位，复数21i-的虚部为A. 1B. iC. -1D. i - 【答案】A【解析】()()()21i 21i 1i 1i 1i +==+--+，故虚部为1.4．【2018届安徽省马鞍山市高三第一次（期末】i 是虚数单位，复数211z i i=++在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限 D. 第四象限 【答案】C5．【2018届福建省漳州市高三1月调研】在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则12z z = ( ) A. －1－2i B. －1＋2i C. 1－2i D. 1＋2i 【答案】C【解析】由已知得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，所以＝222212121i i i i i i i ++-+===--，故选C.6．【2018届福建省漳州市高三1月调研】若复数z 满足z(2－i)＝1＋7i ，则|z|＝( )C. D. 2 【答案】B【解析】因为()()()()17i 2i 17i 13i 2i 2i 2i z +++===-+--+，所以z =故选B.7.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知复数4723iz i-=+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】()()()()47234713261223232313i i i iz i i i i -----====--++- ，复数所对应的点为()1,2-- ，为第三象限的点，故选C.8．【2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考】已知复数12z i =-，()2z m i m R =+∈，若动12z z ⋅为纯虚数，则12z z ⋅=（ ）A.52i B. 52C. 2i -D. -2 【答案】A【解析】因为12z z ⋅为纯虚数，故得到()()()12·2122z z i m i m m i =-+=++-， 1210.2m m +=⇒=- 1252i z z ⋅=.故答案为：A.9.已知i 是虚数单位，11z i=+，则z =（ ）A ．0B ．1C ．D ．2 【答案】C ．【解析】111z i i=+=- =，故选C ．10．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．1z i =--B ．1z i =-+C ．2z = 【答案】D【解析】1z i =- ，1z i ∴=+=D ．11.【2016高考新课标Ⅲ文数】若z ） （A ）1（B ）1-（C ）43i 55+（D ）43i 55- 【答案】D【解析】43i ||55z z ==-，故选D ． 12．【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知复数31iz i+=-，则关于z 的四个命题：1:p z 的虚部为2i ； 2:p z =3:p z 的共轭复数为12i - 4:p z 在复平面内对应的点在第四象限.其中的真命题为( )A. 12,p pB. 24,p pC. 23,p pD. 34,p p 【答案】C二、填空题（4*5=20分）13．复数1i i-+_______.【来源】【全国区级联考】北京市东城区2018届高三上学期期末考试数学（文）试题 【答案】-2i 【解析】1i i -+=22ii i i i i-+=--=-. 故答案为-2i.14．【2018届北京市通州区高三上学期期末】已知复数2i ia-的实部与虚部相等，那么实数a =_______.【答案】2 【解析】复数()()()2i 2i 2i i a i a ai i -⋅--==+⋅- ，由题意复数2i ia-的实部与虚部相等，则实数a =2, 即答案为2.15．【2018届福建省厦门市高三年级上学期期末】复数z 满足()1i 2i z -=，则z =__________．【解析】由题意得2i 2i(1i)i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴|1i|z =-+=答案：.l ’ik,16．【2018届河北省廊坊市第八高级中学高三模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+，且其对应的点为Z ，则点Z 的坐标为__________． 【答案】()2,3 【解析】3223iz i i-+==+，所以()2,3Z ，填()2,3．。
2018届高考数学热点难点突破—熟记概念巧解复数问题
2018届高考数学热点难点突破—熟记概念巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．基础知识回顾:一、复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数． 2．复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 3共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复数的模向量OZ的模r 叫做复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋bi |，即|z |＝|a ＋bi |＝a 2＋b 2.二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量 OZ .三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(2)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋di ≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．应用举例:类型一复数的概念例1．【2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A . 2i +B . 2i -C . 5i +D . 5i - 【答案】D点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式，复数z a b i =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1O P t O A t O B =-+，虚部为()1O P t O A t O B=-+，在复平面内对应的点关于是轴对称。
最新-2018届高考数学一轮复习 第13单元第73讲 复数的概念与运算课件 理 湘教版 精品
1 z为纯虚数； 2 z为实数； 3 z对应的点在复平面的第二象限．
分析：依据复数分类的条件和代数形式的 几何意义求解．
解析：1当m 3时，z为纯虚数．z为纯虚数
lgm2 2m 2 0 m 3或m 1 m2 3m 2 0 m 2或m 1 m 3.
0，即(x tan x0 2) x0 1i 0，由复数相等的
充要条件得
x02
x0
tan x0
1 0
2
0，求得x0
1，tan
1，
又 (0， )，所以 .故 ，实根为 1.
2
4
4
评析：涉及复数方程问题一般转化为复数 相等的充要条件问题求解．
素材2.z的共轭复数为，若z z 4，z z 8，求 z 的值． z
3
，即 1
1
m
3.
评析：复数为何属性的数的问题通常可转 化为其实数、虚部应满足的条件，复数对应的 点位于复平面的什么位置也取决于实部和虚部 的取值．
素材1：计算：
1 1 i1 i2 ；
1i
2 2 3 i ( 2 )2.
1 2 3i 1 i
解析：1原式 i 2i 2i2 2.
2原式 i1 2 3i ( 2 )2 i 1 i i 0.
实数a
.
解析：由已知可得 a2 22 22 12，则a 1.
5.若复数为纯虚数(i为虚数单位，a为实数)，则实数a .
解析：因为 a i a i1 i a 1 1 ai
1 i 1 i1 i
2
a 1 i为纯虚数，所以 a 1 0，且1 a 0，
222源自所以a 1.评析：此题若令z=x+yi，问题的条件和结
论都是较复杂的式子，不好处理．从复数的加、 减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何 问题．
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
高考数学一轮总复习 第五章 5.5 复 数
∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数； 解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析 设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离
专题17 复数-高考题专项练习(解析版)
专题17 复数-高考题专项练习一、单选题1．（2018·全国高考真题（文）） A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】根据公式，可直接计算得(23)32i i i +=-+ 【解析】 ，故选D ．【名师点睛】复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错． 2．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 故选D ．3．（2019·全国高考真题（文））设，则= A ．2 B ． C ．D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求． 【解析】因为，所以，所以，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．4．（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1y x +-= D ．22(+1)1y x +=【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C ．【名师点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．5．（2020·浙江高考真题）已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a = A ．1 B ．–1 C ．2D ．–2【答案】C【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选C 6．（2020·全国高考真题（理））复数的虚部是 A ． B ． C ．D ．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可． 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数的虚部为．故选D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题． 7．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4= A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可． 【解析】．故选A ．【名师点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题． 8．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |= A ．0B ．1【答案】D【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可． 【解析】由题意可得()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故．故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题． 9．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则 A ．0 B ．1 C ． D ．2【答案】C【分析】先根据将化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 10．（2017·山东高考真题（文））已知i 是虚数单位，若复数z 满足，则= A ．-2i B ．2i C ．-2D ．2【答案】A【解析】由得22(i)(1i)z =+，即，所以，故选A ．【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．注意下面结论的灵活运用：（1）(1±i)2＝±2i ；（2）＝i ，＝－i ．11．（2017·全国高考真题（理））设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则． 其中的真命题为 A ．B ．【答案】B【解析】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得，所以，故正确；当时，因为22i 1z ==-∈R ，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B ．【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可．12．（2017·北京高考真题（文））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得，故选B ．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量． 13．（2018·全国高考真题（文））设，则 A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模． 【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+，则，故选C ． 【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14．（2019·北京高考真题（理））已知复数z=2+i，则A．B．C．3D．5【答案】D【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得．【解析】因为z2i,z z(2i)(2i)5=+⋅=+-=故选D．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题．．15．（2018·浙江高考真题）若复数，其中i为虚数单位，则 =A．1+i B．1−iC．−1+i D．−1−i【答案】B【解析】22(1i)1i,1i1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目．从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一．16．（2019·全国高考真题（理））设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果．【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．17．（2019·全国高考真题（文））设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i【答案】D【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以，选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．18．（2020·北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则． A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果． 【解析】由题意得，．故选B ．【名师点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题．19．（2020·海南高考真题）= A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=，故选B. 20．（2020·海南高考真题） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算． 【解析】，故选D.【名师点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题． 21．（2017·全国高考真题（理））复数等于 A ． B ． C ．D ． 【答案】D【解析】＝2－i ．故选D ．【名师点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作．22．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，则 A ．1或 B ．或 C ．D ．【答案】A【解析】由,4z a z z =+⋅=得，所以，故选A ．【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得的方程即可．23．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷II （文）） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由题意，故选B ．【名师点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+)i(,,,)ad bc a b c d R ∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b R ∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．24．（2017·全国高考真题（文））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限． 所以选C ．【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为、虚部为、模为、对应的点为、共轭复数为25．（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． B ． C ． D ．2【答案】C【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，则．故选C ． 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有： （1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）； （4）；（5）；（6）．26．（2018·全国高考真题（理）） A ． B ． C ．D ． 【答案】D【分析】根据复数除法法则化简复数，即得结果．【解析】212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D ．【名师点睛】本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力． 二、填空题1．（2017·天津高考真题（文））已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________． 【答案】-2 【解析】为实数， 则．【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈，当时，为虚数，当时，为实数，当0,0a b =≠时，为纯虚数． 2．（2019·江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是________． 【答案】2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值． 【解析】， 令得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3．（2017·上海高考真题）已知复数满足，则________． 【答案】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案． 【解析】由，得，设(,)z a bi a b R =+∈， 由得，即，解得， 所以，则．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．4．（2019·浙江高考真题）复数（为虚数单位），则________． 【答案】【分析】本题先计算，而后求其模．或直接利用模的性质计算． 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【解析】1|||1|2z i ===+． 5．（2018·天津高考真题（理））i 是虚数单位，复数________． 【答案】4–i【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果． 【解析】由复数的运算法则得．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6．（2019·上海高考真题）设为虚数单位，，则的值为________． 【答案】【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即 ，本题正确结果：【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 7．（2019·天津高考真题（文））是虚数单位，则的值为________． 【答案】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-． 8．（2018·上海高考真题）已知复数满足()117i z i +=-（是虚数单位），则________． 【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则|z|=5=．故答案为5．【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 9．（2020·江苏高考真题）已知是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是________． 【答案】3【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值． 【解析】因为复数，所以2223z i i i i =-+-=+， 所以复数的实部为3．故答案为3．10．（2020·天津高考真题）是虚数单位，复数________． 【答案】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果．【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-．故答案为． 11．（2020·全国高考真题（理））设复数，满足，，则=________． 【答案】【分析】方法一：令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，根据复数的相等可求得2ac bd +=-，代入复数模长的公式中即可得到结果．方法二：设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+， 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算．【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，，又，所以，，，2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-==．故答案为．方法二：如图所示，设复数所对应的点为，12OP OZ OZ =+，由已知，所以平行四边形为菱形，且都是正三角形，所以12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-= 所以．【名师点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解12．（2017·江苏高考真题）已知复数z=（1+i ）（1+2i ），其中i 是虚数单位，则z 的模是________．【答案】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解析】复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，所以|z |==【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．13．（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【分析】先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果． 【解析】因为，则12i 2i iz +==-，则的实部为． 【名师点睛】本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．三、双空题1．（2017·浙江高考真题）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则________，ab =________．【答案】5， 2【解析】由题意可得，则，解得，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + 的数叫做复数（其中a，b R ）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即i 2 1 . 其中a 叫做复数的实部， b 叫做虚部实数：当 b = 0 时复数a + 为实数虚数：当b 0 时的复数 a + 为虚数；纯虚数：当 a = 0 且b（2））两个复数相等的定义：0 时的复数 a + 为纯虚数a bi c di a c且b d（其中，a，b，c，d，R）特别地a bi 0 a b 0（3））共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ；（4））复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a, b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi ，把【2】复数的基本运算z a 2b2 叫做复数z 的模；设z1 a1b1i ，z2a2 b2 i（1））加法：z1z2a1 a2b1 b2 i ；（2））减法：z1z2a1a2b1b2i ；（3））乘法：z1 z2 a1a2 b1b2 a2 b1a1b2 i 特别z z a2 b 2 。
（4））幂运算：i1i i 2 1 i 3i i 4 1 i 5i i 6 1【3】复数的化简z c dia bi（a, b是均不为0 的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z c di c di a bi ac bd ad bc ia bi a bi a bi a 2 b2对于z c dia ba bi0 ，当 c da b时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为z c dia bixi 进一步建立方程求解二．例题分析【例1】已知z a 1 b 4 i ，求（1））当a, b 为何值时z 为实数（2））当a, b 为何值时z 为纯虚数（3））当a, b 为何值时z 为虚数（4））当a, b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数z ( x21) ( x 1)i 为纯虚数，则实数x 的值为A． 1 B ．0 C 1 D ．1或1【变式2】求实数m 的值，使复数别是：( m 22m 3) (m23m 4) i 分（1）实数。
复数—(2018-2022)高考真题汇编
复数—（2018-2022）高考真题汇编一、单选题(共35题；共70分)1．（2分）（2022·浙江）已知a，b∈R，a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1，b=−3B．a=−1，b=3C．a=−1，b=−3D．a=1，b=3【答案】B【解析】【解答】由题意得a+3i=bi−1，由复数相等定义，知a=−1，b=3.故答案为：B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．2．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i【答案】D【解析】【解答】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故答案为：D【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.3．（2分）（2022·全国乙卷）设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则（）A．a=1，b=−1B．a=1，b=1C．a=−1，b=1D．a=−1，b=−1【答案】A【解析】【解答】易得(a+b)+2ai=2i，根据复数相等的充要条件可得a+b=0，2a=2，解得：a=1，b=−1．故选：A【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则以及复数相等的充要条件即可求解.4．（2分）（2022·全国甲卷）若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【解答】解：由题意得， z =−1−√3i ，则zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4 则z zz−1=−1+√3i 3=−13+√33i .故选：C【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.5．（2分）（2022·全国甲卷）若 z =1+i ．则 |iz +3z̅|= （ ）A ．4√5B ．4√2C ．2√5D ．2√2【答案】D【解析】【解答】解：因为z=1+i ，所以iz +3z =i (1+i )+3(1−i )=2−2i ，所以 |iz +3z|=√4+4=2√2 ． 故选：D【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得iz +3z =2−2i ，再由复数的求模公式即可求出.6．（2分）（2022·全国乙卷）已知 z =1−2i ，且 z +az̅+b =0 ，其中a ，b 为实数，则（ ）A ．a =1，b =−2B ．a =−1，b =2C ．a =1，b =2D ．a =−1，b =−2【答案】A【解析】【解答】易知 z̅=1+2i 所以 z +az̅+b =1−2i +a(1+2i)+b =(1+a +b)+(2a −2)i 由 z +az̅+b =0 ，得 {1+a +b =02a −2=0，即 {a =1b =−2 . 故选：A【分析】先求得 z̅ ，再代入计算，由实部与虚部都为零解方程组即可. 7．（2分）（2022·北京）若复数 z 满足 i ⋅z =3−4i ，则 |z|= （ ）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】【解答】由已知条件可知 z =3−4ii=−4−3i ，所以 |z|=√(−4)2+(−3)2=5 . 故答案为：B【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.8．（2分）（2022·新高考Ⅱ卷）若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】【解答】解：由题意得，z=1−1i=1−ii2=1+i，则z̅=1−i，则z+z̅=2，故选：D【分析】先由复数的四则运算，求得z，z̅，再求z+z̅即可.9．（2分）（2021·新高考Ⅱ卷）复数2−i1−3i在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【解答】解：2−i1−3i=(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，表示的点为(12，12)，位于第一象限.故答案为：A【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可10．（2分）（2021·北京）在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A．2+i B．2−i C．1−i D．1+i 【答案】D【解析】【解答】解：z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.11．（2分）（2021·浙江）已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】C【解析】【解答】因为(1+ai)i=3+i，所以1+ai=3+ii=3i−1i·i=1−3i利用复数相等的充分必要条件可得：a=−3.故答案为：C.【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。
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2018高考复习专题复数2【三年高考】1. 【2017江苏】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 . 【答案】5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()a b c d a c b d a d b c a b c d +=-++∈R +i i i ,，其次要熟悉复数的相关概念，如复数i(,)a b a b +∈R 的实部为a ，虚部为b i a b -2.【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.3.【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。
除法实际上是分母实数化的过程。
在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。
4.【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B ） （C ） （D 【答案】A【解析】试题分析：由4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.5. 【2017北京，理2】若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞） 【答案】B 【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .6. 【2017天津，理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 【答案】2- 【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(,)z a bi a b R =+∈， 当0b ≠时，z 为虚数， 当0b =时，z 为实数， 当0,0a b =≠时，z 为纯虚数.7.【2017浙江，12】已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5，2【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 8．【2016新课标理改编】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y + .【解析】试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+ 考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.9.【2016高考新课标3理数改编】若i 12z =+，则4i1zz =- . 【答案】i 【解析】 试题分析：4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 10.【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(31)-， 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<．考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ .11.【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________. 【答案】1-. 【解析】试题分析：(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：1-. 考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化12.【2016高考山东理数改编】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】12i - 【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.13.【2016高考天津理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2 【解析】试题分析：(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈，a bi c di ac bd ad bc i a b c d R22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b .-a bi14．【2015高考新课标2，理2改编】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = ． 【答案】0【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =． 15.【2015高考湖北，理1改编】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为 ． 【答案】i 【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ．【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势. 复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主.故预测2018年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数相等的应用是最可能出现的命题角度！复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．【2018年高考考点定位】高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大．【考点1】复数的有关概念 【备考知识梳理】1.i 称为虚数单位,规定21i =-；2.形如a bi +(,a b R ∈)的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a bi +为实数；若0b ≠，则a bi +为虚数；若0a =且0b ≠，则a bi +为纯虚数．3.共轭复数：复数a bi -称为复数z a bi =+的共轭复数，记为z ，那么z 与z 对应复平面上的点关于实轴对称，且2z z a +=，2z z bi -=，222zz z a b ==+，z z z R =⇔∈a bi +与c di +共轭⇔,a cb d ==-(,a b ，,cd R ∈)．【规律方法技巧】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥. 3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． 【考点针对训练】1.设i 为虚数单位，若复数()()2282i z m m m =+-+-是纯虚数，则实数m = ．【答案】－4【解析】由题意可得2280m m +-=且2m ≠，所以4m =-．2.若复数()(1)z x i i =++是纯虚数，其中x 为实数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z = ．【答案】2i -【考点2】复数相等，复数的几何意义 【备考知识梳理】1.复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．特别00z a bi a b =+=⇔==.2.复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z a bi =+ (,a b R ∈)的模，记作z 或a bi +，即z a bi =+= 3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x 轴叫做实轴，y 轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.复数的几何表示：复数z a bi =+ (,a b R ∈)可用平面直角坐标系内点(),Z a b 来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的． 复数的几何意义（1）复数z a bi=+复平面内的点(),Z a b (,a b R ∈).（2）复数z a bi =+ (,a b R ∈)(),OZ a b =.4.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： （1）0(z z r r -=是正常数）↔轨迹是一个圆.（2）1212(z z z z z z -=-、是复常数）↔轨迹是一条直线.（3）12122(z z z z a z z -+-=、是复常数，a 是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在.（4）122(z z z z a a ---=是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在. 【规律方法技巧】1. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系，即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z a bi =+ (,a b R ∈)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点(),Z a b 相对应. 【考点针对训练】1.若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a 。