§6.2导数的应用
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章：导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章：导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章：导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤：1. 引入导数的概念：通过生活中的例子，如物体运动的瞬时速度，引出导数的定义。
2. 讲解导数的定义及其几何意义：解释导数的定义，并通过图形演示导数的几何意义。
3. 导数的计算法则：讲解基本导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 导数的应用：通过实例讲解函数的单调性、极值等概念，并引导学生运用导数解决实际问题。
5. 总结与拓展：总结本章内容，提出进一步的学习要求和思考题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、生动，能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。
2. 课堂练习：评价学生是否能够正确计算导数，并应用导数解决实际问题。
3. 课后作业：评价学生是否能够独立完成作业，并对导数的应用有深入的理解。
教学资源：1. 教案、PPT等教学资料；2. 数学软件或计算器；3. 实际问题案例。
教学建议：1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念，提高学生的学习兴趣和积极性；2. 通过图形演示导数的几何意义，帮助学生直观理解导数的概念；3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业，及时巩固所学知识；4. 结合实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。
第六章：导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章：函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章：导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章：导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤：6.1-6.3：通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念，引导学生利用导数判断函数的单调性，并应用于实际问题。
新高考 高中数学 选修三 课件+类型题6.2.1 导数与函数的单调性
(2)如果在(a，b)内， f′(x)＜0 ，则 f(x)在此区间是减函 数，(a，b)为 f(x)的单调减区间．
上述结论可用图来直观理解． 图 1－3－1
典型例题
类型一、导数与单调性的关系 例 1、设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图 1 －3－2 所示，则导函数 y＝f′(x)可能为( )
(2)由题意知 f(x)＝ln x－2ax 的定义域为(0，＋∞)， 又 f′(x)＝1x－2a， 因为 a>0，x>0，令1x－2a>0，则 1－2ax>0. 所以在 x∈(0，21a)时，f(x)＝ln x－2ax 是增函数； 在 x∈(21a，＋∞)时，f(x)＝ln x－2ax 是减函数． 所以当 a>0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0，21a)， 函数 f(x)的单调减区间是(21a，＋∞)．
【答案】 C
类型二、利用导数研究函数的单调性 例 2、讨论函数 f(x)＝1ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
2 【思路探究】 按照导数研究函数单调性的步骤求解．
【自主解答】 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax＋1－a＋x 1＝ax2＋x－x a＋1， (1)当 a＝0 时，f′(x)＝x－x 1， 由 f′(x)＞0，得 x＞1；由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1. 所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数；
方法点评：
利用导数研究函数单调性的方法 第一步：求定义域，对函数求导； 第二步：解导数等于 0 时的方程； 第三步：导数大于 0 的区间与定义域求交集为增区间， 小于 0 的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．
导数及其应用课件PPT
又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得
共形映射
第六章共形映射（The Conformal mapping）第一讲授课题目：§6.1共形映射的概念；§6.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性.学时安排：2学时.教学目标：1、理解导数的几何意义；2、弄清共形映射的概念；3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：1-3作业布置：164板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念；2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理；教学过程：§6.1共形映射的概念(The conception of conformal mapping)一、导数的几何意义（Geometric meaning of derivative ）1、解析变换的保域性（Transform domain of security analysis ）解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质.注1：单叶函数是一个单射的解析函数.例 1 函数α+=z w 及z w α=是z 平面上的单叶解析函数它们把z 平面映射成w 平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射0≠α.例 2 z e w =在每个带形,2Im π+<<a z a 内单叶解析，并且把这个带形区域映射成w 平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a 是任意实常数.引理（Lemma ）：设函数)(z f 在0z z =解析，并且)(00z f w =.设...)3,2,1(0)(,0)(...)('')('0)(0)1(00=≠====-p z f z f z f z f p p ，那么0)(w z f -在0z 有p 阶零点，并且对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点.证明：由已知条件可知0)(w z f -在0z 有p 阶零点.由于)(z f 不恒等于零，作以0z 为心的开圆盘ρ<-|:|0z z D ，其边界为C ，使得)(z f 在C D D ⋃=上解析，并且使得0)(w z f -及)(z f '除去0z z =外在D 上无其它零点.有0|)(|min 0>=-∈μw z f Cz 取w ，使μ<-<||00w w .由儒歇定理，比较w z f -)(及0)(w z f -在内D 的零点的个数.由于),())(()(00w w w z f w z f -+-=-而当C z ∈时,0|||)(|00>->≥-w w w z f μ可见w z f -)(及0)(w z f -在D 内的零点个数同为p （每个n 阶零点作n 个零点）.因为0w w ≠，所以0z z ≠，而0]')([0≠-≠z z w z f . 所以w z f -)(在D 内的每个零点都是一阶的.由此引理可证明下面定理定理(Theorem)6.1、设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则D z ∈∀，有 .0)('≠z f注2：这个定理的逆定理不成立，例如z e w =的导数在z 平面上任意一点不为零，而z e w =在整个z 平面上不是单叶的.定理(Theorem)6.2设函数)(z f w =在0z z =解析，并且0)('0≠z f ，那么)(z f 在0z 的一个邻域内单叶解析.定理(Theorem)6.3设函数)(z f w =在区域D 内解析，并且不恒等于常数，则)(1D f D =是一个区域.注3：如果)(z f w =在区域D 内单叶解析，根据定理6.3，它把区域D 双射成区域)(D f .于是)(z f 有一个在)(D f 内确定的反函数)(w z ϕ=.定理(Theorem)6.4设函数)(z f 在区域D 内单叶解析，则)(z f w =在)(D f 内存在单叶解析的反函数)(w z ϕ=，且 .)('1)('z f w =ϕ 证明：考虑以下思路：)(0D f w ∈∀，有D z ∈∀0,1)()(000000z z w w w w z z w w w w --=--=--ϕϕ 因为当0w w →时，)()(00z z w z ϕϕ=→=，所以,)('1)()(lim 1lim 1)()(lim 0000000000z f z z z f z f z z w w w w w w z z z z w w =⎪⎪⎭⎫ ⎝--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--→→→ϕϕ即可给出定理的证明.2、导数的几何意义(Geometric meaning of derivative)设函数)(z f w =是区域D 内的单叶解析函数.)(,000z f w D z =∈.则有0)('0≠z f .过0z 作一条简单光滑曲线C ： ),()()()(b t a t iy t x t z z ≤≤+==]),[()(000b a t z t z ∈=.)(')(')('t iy t x t z dtdz +== 则)(0t z '存在，且0)(0≠'t z作过曲线C 上点)(00t z z =及)(11t z z =的割线，割线的方向向量为0101t t z z --，当1t 趋近于0t 时，向量0101t t z z --与实轴的夹角0101arg t t z z --存在极限，即为曲线C 在0z z =的切线的位置.已知,0)('lim 0010101≠=--→t z t t z z t t 所以，有),('arg arg lim 0010101t z t t z z t t =--→ 这就是曲线C 在)(00t z z =处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的. 函数)(z f w =把简单光滑曲线C 映射成一条简单曲线Γ： ),())((1t t t t z f w o ≤≤=由于())('))(('000t z t z f t w ='，可见Γ也是一条光滑曲线；它在0w 的切线与实轴的夹角是()),('arg ))(('arg )('))(('arg arg 00000t z t z f t z t z f t w +==' 因此，Γ在0w 处切线与实轴的夹角及C 在0z 处切线与实轴的夹角相差)('arg 0t z .注4：这里的)('arg 0t z 与曲线C 的形状及在0z 处切线的方无关.另外在D 内过0z 另有一条简单光滑曲线)(:11t z z C =，函数)(z f w =把它映射成一条简单光滑曲线))((:11t z f w =Γ.和上面一样，1C 与1Γ在0z 及0w 处切线与实轴的夹角分别是)('arg 01t z 及),('arg ))(('arg )('))(('arg 01010101t z t z f t z t z f +=所以，在0w 处曲线Γ到曲线1Γ的夹角恰好等于在0z 处曲线C 到曲线1C 的夹角：),('arg )('arg )('))(('arg )('))(('arg 001000101t z t z t z t z f t z t z f -=-因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性.下面再说明它的模的几何意义.因为,|||)()(|lim |)('|0000z z z f z f z f z z --=→ 由于|)('|0z f 是比值|||)()(|00z z z f z f --的极限，它可以近似地表示这种比值.在)(z f w =所作映射下，||0z z -及|)()(|0z f z f -分别表示z 平面上向量0z z -及w 平面上向量)()(0z f z f -的长度，这里向量0z z -及)()(0z f z f -的起点分别取在0z 及)(0z f .当较小||0z z -时，|)()(|0z f z f -近似地表示通过映射后，|)()(|0z f z f -对||0z z -的伸缩倍数，而且这一倍数与向量0z z -的方向无关.我们把|)('|0z f 称为在点0z 的伸缩率.从几何直观上来看.设)(z f w =是在区域D 内解析的函数，0)(',),(,00000≠∈=∈z f D z z f w D z ，那么)(z f w =把z 平面上半径充分小的圆ρ=-||0z z 近似地映射成w 平面上圆),0(|)('|||00+∞<<=-ρρz f w w因此，解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性.二、共形映射的概念(The concept of conformal mapping) 定义(Definition)6.1对于区域D 内的映射)(z f w =，如果它在区域D 内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称映射)(z f w =是第一类保角映射；如果它在区域D 内任意一点保持曲线的交角的大小不变，则称映射)(z f w =是第二类保角映射.定理(Theorem)6.5如)(z f w =在区域D 内解析，且0)(≠'z f 则)(z f w =所构成的映射是第一类保角映射. 定义(Definition)6.2设)(z f w =是区域D 内的第一类保角映射，如果当21z z ≠时，有()21)(z f z f ≠，，则称)(z f 为共形映射.例1z e w =在复平面上解析，且0)(≠='z z e e ，因此z e 在任何区域内都构成第一类保角映射，但它在复平面上不是共形映射，而在区域π4Im 0<<z 内，z e w =构成共形映射.§6.2共形映射的基本问题(The basic problem of conformal mapping)一、共形映射的基本问题(The basic problem of conformalmapping)对于共形映射，我们主要研究下列两个方面的问题.问题一 对于给定的区域D 和定义在D 上的解析函数()z f =ω，求像集()D f G =，并讨论()z f 是否将D 共形的映射为G .问题二 给定两个区域D 和G ，求一解析函数()z f =ω，使得()z f 将D 共形的映射为G .对于问题二，我们只需考虑能把D 变为单位圆内部即可.这是因为若存在函数()z f =ξ把D 变为1<ξ，而函数()ωξg =把G 变为1<ξ，则()()z f g 1-=ω把D 映射为G （下图）.二、 解析函数的保域性与边界对应原理(Analytic functions of protection domain and the boundary correspondence principle )对于问题一，有下面两个定理.定理(Theorem)6.6（保域性定理） 设函数()z f 在区域D 内解析，且不恒为常数，则像集合()D f G =是区域.定理(Theorem)6.7 （边界对应原理）设区域D 的边界为简单闭曲线C ，函数()z f =ω在C D D Y =上解析，且将C 双方单值的映射成简单闭曲线Γ.当z 沿C 正向绕行时，相应的ω的绕行方向定为Γ的正向，并令G 是以Γ为边界的区域，则()z f =ω将D 共形的映射为G .注1：定理6.6说明了解析函数把区域变为区域， 注2：定理6.7为像区域的确定给出了一个一般性的方法. 注3：是Γ的方向.（如下图），区域D 在曲线C 的内部，在C 上沿逆时针方向取三个点321,,z z z ，函数()z f =ω将C 于321,,z z z 分别映射为Γ和321,,ωωω.若321,,ωωω也按逆时针方向排列，则像区域G 在Γ的内部.例1 设区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=10,2arg 0:z z z D π，求区域D 在映射3z =ω下的像区域G .解：（如下图），设区域D 的边界为321C C C ++，其中1C 的方程为θi e z =（θ从0到2π），相应的像曲线1Γ的方程为 ϕθωi i e e ==3（ϕ从0到23π）； 2C 的方程为iy z =（y 从1到0），相应的像曲线2Γ的方程为()iv y i =-=3ω （v 从-1到0）3C 的方程为x z =（x 从0到1），相应的像区线3Γ的方程为u x ==3ω（u 从0到1）.因此像区域为()b⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<=23arg 0,10:πωωωG .三、 共形映射的存在唯一性(Conformal mapping of the existence and uniqueness)1、问题二函数的存在性：当区域D 是下面两种情况之一时，将不存在解析函数，使之保形地映射为单位圆内部.第一，区域是扩充复平面；第二，区域是扩充复平面除去一点（不妨设为∞点，如果是有限点z ，只需做一映射01z z -=ξ即可）.无论哪一种情况，如果存在函数)(z f =ω将它们共形映射为1<ω，则)(z f 在整个复平面上解析，且1)(<z f .根据刘维尔定理（见§3.4）)(z f 必恒为常数.这显然不是我们所要求的映射.2、问题二函数的唯一性： 一般说来是不唯一的，例如，对任意给定的常数0θ，映射0θωi ze =均把单位圆内部映射为单位圆内部.那么，到底在什么情况下，共形映射函数存在且唯一呢？黎曼（Riemann ）在1851年给出了下面的定理，它是共形映射的基本定理.定理(Theorem)6.8（黎曼存在唯一性定理） 设D 与G 是任意给定的两个单连域，它们的边界至少包含两点，则一定存在解析函数)(z f =ω 把D 保形的映射为G .如果在D 和G 内在再分别任意指定一点0z 和0ω，并任給一实数)(00πθπθ≤<-，要求函数)(z f =ω满足00)(ω=z f 且00)(arg θ='z f 则映射)(z f =ω是唯一的.注4：黎曼存在唯一性定理肯定了满足给定条件的函数的存在唯一性，但没有给出具体的求解方法.2 1§6.3 分式线性映射分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.1、理解分式线性函数所构成的映射2、掌握分式线性映射的性质3、切实掌握两个典型区域间的映射分式线性映射的保圆性、保行性解析函数的保域性与边界对应原理分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件讲授法多媒体与板书相结合P习题六：4-9164一、分式线性函数及其分解二、分式线性映射的保圆性三、分式线性映射的保行性四、分式线性映射的保对称点性五、两个典型区域间的映射[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握分式线性函数所构成的映射第二讲授课题目：§6.3 分式线性映射；教学内容：分式线性函数及其分解、分式线性映射的保圆性、保行性、保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件、两个典型区域间的映射.学时安排：2学时.教学目标：1、理解分式线性函数所构成的映射；2、掌握分式线性映射的性质；3、切实掌握两个典型区域间的映射；教学重点：分式线性映射的保圆性、保行性；教学难点：分式线性映射的保对称点性、唯一决定分式线性映射的条件；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：4-9作业布置：164板书设计：一、分式线性函数及其分解；二、分式线性映射的保圆性；三、分式线性映射的保行性；四、分式线性映射的保对称点性；五、两个典型区域间的映射参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握分式线性函数所构成的映射；教学过程：§6.2 分式线性映射（The fraction linearity mapping ）形如：dz c baz w ++=的函数，称为分式线性函数.其中d c b a ,,,是复常数，而且0≠-bc ad .在0=γ时，我们也称它为整式线性函数. 一、 分式线性函数及其分解(Fractional linear function and its decomposition) 一般分式线性函数总可以分解为下列四种简单函数复合： （1）α+=z w （α为一个复数）； （2）z e w i θ=（θ为一个实数）； （3）rz w =（0>r ）； （4）、zw 1=. 例2 将分式线性函数iz zw +=2分解为四种简单函数复合 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-+=+=-i z e i z ii z z w i 1222222π，其复合过程为w z z z z z z z ez z iz i −−→−−→−−−→−−→−−→−++-242321143221π1、平移、旋转与相似映射 (1) 平移映射：α+=z w令iy x z +=，21ib b b +=，iv u w +=，则有1b x u +=，2b y v +=，它将曲线C 沿b 的方向平移到曲线γ(2)旋转映射：z e w i θ=令0θi e z =，则有)(0θθ+=i e w ，它将曲线C 绕原点旋转到曲线γ. (3 ) 相似映射：rz w =令θρi e z =，则有θρi e r w =，它将曲线C 放大（或缩小）到曲线γ 2、反演映射：zw 1=令θi re z =，则有)(1θ-=i e r w 即zw 1=，zw arg arg -=由zw 1=可知，当1<z 时，1>w ；当1>z 时，1<w 因此反演映射zw 1=的特点是将单位圆内部（或外部）的任一点映射到将单位圆外部（或内，部）且辐角反号.反演映射zw 1=可以分两步进行，第一步，将z 映射为z w 11=:zw 11=,且 z w arg arg 1=再将1w 映射为w 满足: 1w w=,且11arg arg w w -=定义 6.3设某圆的半径为B A R ,,为两点在从圆心出发地射线上，且2R B o A o =⋅,则称B A 与是关于圆周对称的.即设已给圆)0(|:|0+∞<<=-R R z z C ，如果两个有限点1z 及2z 在过0z 的同一射线上，并且20201||||R z z z z =--，那么我们说1z 及2z 是关于圆C 的对称点.因此，zw 1=可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成. 二、分式线性映射的保行性(Fractional linear maps preserving feasibility)规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆. 定理(Theorem)6.8 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆.证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及zw 1=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射z w 1=也把圆映射为圆即可. 由此可得如下定理定理(Theorem)6.9分式线性函数在扩充复平面上是共形映射.三、分式线性映射的保圆性(Fractional linear maps preserving circle of)定理(Theorem)6.10扩充 z 平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w 平面上任何圆. 证明：由映射zw 1=把圆映射为圆可证明此定理. 注1：圆C 上的点是它本身关于圆C 的对称点；注2：规定0z 及∞是关于圆C 的对称点；注3 :利用此定理也可以解释关于直线的对称点.例1 求实轴在映射iz i w +=2下的像曲线. 解：在实轴上取三点∞=1z ，02=z ，13=z ，则对应的三个像点为01=w ，22=w ，i w +=13，所以像曲线为11=-w ，上半平面被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部.四、分式线性映射的保对称点性(Fractional linear maps of symmetric point of)引理:不同两点1z 及2z 是关于圆C 的对称点的必要与充分条件是通过1z 及2z 的任何圆与圆C 直交.定理(Theorem)6.11设点1z 及2z 关于圆C 的对称，则在分式线性映射下，它们的像点1w 及2w 关于圆C 的像曲线Γ对称.证明：设Γ'是过1w 及2w 的任意一个圆，则其原像C '是过1z 及2z 的圆.由1z 及2z 是关于圆C 对称，有C '与C 正交，由保角性Γ'与Γ正交，即过1w 与2w 的任意圆Γ'与Γ正交，因此1w 及2w 关于圆C 的像曲线Γ对称.五、唯一决定分式线性映射的条件(The only decision the conditions of fractional linear maps)定理(Theorem)6.12 在z 平面上任意三个不同的点321,,z z z 以及扩充 w 平面上任意三个不同的点321,,w w w ，存在唯一的分式线性函数，把321,,z z z 分别映射成321,,w w w .证明：在z 平面上，考虑已给各点都是有限点的情形.设所求分式线性函数（也称为分式线性变换）是d cz b az w ++=那么，由dcz b az w d cz b az w d cz b az w ++=++=++=222222111,, 得))(())(())((1111d cz d cz d cz b az d cz b az w w ++++-++=-))(())((11d cz d cz bc ad z z +++-= 同理，有：))(())((131313d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((232323d cz d cz bc ad z z w w +++-=-，))(())((222d cz d cz bc ad z z w w +++-=-， 因此，有231321231321::z z z z z z z z w w w w w w w w ----=----， 将上式整理后可以解出形如dcz b az w ++=的分式线性函数.显然得这样的分式线性函数是唯一的. 由此，我们可以解出分式线性函数.由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的.推论1：如果k z ，或k w 中有一个为∞，则只需要将对应点公式中含有∞的项换为1.推论2：设)(z f w =是一分式线性映射，且)(11z f w =及)(22z f w =，则它可表示成2121z z z z k w w w w --=-- （k 为复常数） 特别：当01=w ，∞=2w 时，有 21z z z z k w --= （k 为复常数） 六、 两个典型区域间的映射(Mapping between the twotypical regions)例1 求一分式线性映射把上半平面0Im >z 保形映射成单位圆盘内部1<w .解：所求映射一方面把0Im >z 内某一点0z 映射成0=w ，另一方面把0Im =z 映射成1=w .由于线性映射把关于实轴0Im =z 的对称点映射成为关于圆1=w 的对称点，所求映射不仅把0z 映射成0=w ，而且把0z 映射成∞=w .因此这种映射形如：0z z z z k w --= （k 为待定的复常数） 当z 是实数时，有,1||00=--z z z z 对应1=w ，所以,1||=k 于是θi e k =，其中θ是一个实常数.因此所求的映射一般为：,00z z z z e w i --=θ 由于z 是实数时，1=w ，因此它把直线0Im =z 映射成圆1=w ，从而把上半平面0Im >z 映射成1<w ，取i z -0，0=θ，得所求映射为：iz i z w +-= 例2 求一分式线性映射把单位圆内部1<z 保形映射成单位圆盘内部1<w .解：在|z |<1内任取一点0z ，映射成00=w ，并且把1=z 映射成1=w .由于0z 与01z 关于圆1=z 对称，所以这种映射把01z 映射成∞=w .因此这种映射形如：01001/1z z z z k z z z z k w --=--= （01z k k -=为待定的复常数） 当|z|=1时，有),(1000z z z z z z z z z -=-=- 于是,1|||1|||||1001==--=k z z z z k w 因此θi e k =1，其中θ是一个实常数.所求的映射为：,100z z z z e w i --=θ2 1§6.4几个初等函数构成的共形映射幂函数、指数函数、综合举例1、掌握幂函数构成的共形映射2、掌握指数函数构成的共形映射函数构成的共形映射指数函数构成的共形映射讲授法多媒体与板书相结合P习题六：4-9164一、幂函数构成的共形映射二、指数函数构成的共形映射三、综合举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4]《复变函数与积分变换》,苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008. 基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好第三讲授课题目：§6.4几个初等函数构成的共形映射；教学内容：幂函数、指数函数、综合举例学时安排：2学时.教学目标：1、掌握幂函数构成的共形映射；2、掌握指数函数构成的共形映射；教学重点：函数构成的共形映射；教学难点：指数函数构成的共形映射；教学方式：多媒体与板书相结合.P习题六：4-9作业布置：164板书设计：一、幂函数构成的共形映射；二、指数函数构成的共形映射；三、综合举例；参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月；4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月；课后记事：基本掌握幂函数构成的共形映射，指数函数构成的共形映射掌握不好；§6.4几个初等函数构成的共形映射(Conformal mapping composed of several elementary functions)一、 幂函数(Power function)()整数2≥=n z w n容易得到：函数n z w =将角形域)2(000nπθθθ≤<<共形映射为角形域00θϕn <<（如下图）.因此通俗地讲，幂函数的特点是扩大角形域.相应地，根式函数n z w =作为幂函数的逆映射，则是将角形域)2(000nπθθθ≤<<共形映射为角形域00θϕ<<.同样，我们也通常说，根式函数的特点是缩小角形域.注意：如果是扇形域（即模有限），则模要相应的扩大或缩小，这一点往往容易忽略.例1 区域{}0Re ,0Im ,1:>><=z z z z D 求一共形映射，将D 变为上半平面.解: 如下图，首先由21z z =将D 变为上半单位圆域.接着由分式线形映射11211z z z -+=将其变为第一象限，最后由映射22z =ω将其变为上半平面.因此所求映射为22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=z z ω. 二、指数函数(Exponential function)z e w =容易得到 ：函数z e w =将带形域()π2Im 0≤<<h h z 共形映射为角形域h w <<arg 0（图6.20）.因此可以简单的说，指数函数的特点是将带形域变成角形域.相应的，对数函数z w ln =作为指数函数的逆映射，则是将角形域()π2arg 0≤<<h h w 变成带形域h z <<Im 0.例2 求一共形映射，将带形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=ππz z D Im 2:映射为上半平面.解: 如下图，首先由平移映射i z z 21π-=将带形域D 变为带形域2Im 01π<<z ，再由相似映射122z z =变为带形域2Im 02π<<z ，最后由指数函数2z e w =变为上半平面.因此所求的映射为⎪⎭⎫⎝⎛-=i z ew 22π.三、综合举例（Comprehensive example ）例3 设区域{}0Im ,1:><=z z z D ，求一个共形映射，将区域D 保形映射成上半平面.解： 作一分式线性映射11'-+=z z w 把-1及+1分别映射成w '平面上的0及∞两点，于是把1=z 及0Im =z 映射成w '平面上在原点互相直交的两条直线.z 平面上的实轴映射成w '平面上的实轴； 0=z 映射成1-='w ，半圆的直径AC 映射成w '平面上的负半实轴；平面-z O)1(-B )(i D -)0(A C平面-'w C)1(-D )1(B )0(A C平面-w圆1=z 映射成w '平面上的虚轴；又由于i z =映射成i i i w -=-+=11'半圆ADC 映射成w '平面上的下半虚轴.由在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w '平面上的的区域：第三象限23'arg ππ<<w . 作映射2'w w =当w '在第三象限中变化时，w arg 在π2及π3之间变化.因此w '平面上的第三象限就映射成w 平面上的上半平面. 因此，所求共形映射为：22)11('-+==z z w w . 例4 求一个共形映射，把z 平面上的带形π<<z Im 0保形映射成w 平面上的单位圆1<w .解：由于指数函数z e w ='把w 平面上的已给带形保形映射成w '平面上的上半平面. 取w '平面上关于实轴的对称点-i 及i ，那么函数iw iw w +-='', 把的w '平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆1<w . 因此，所求共形映射为：ie i e w z z +-=Oi-i平面-'w 平面-z。
6.2偏导数
例1 求zx3xy2 y3在点(-1, 2)处的偏导数.
解
z x 1 3y2 ,
z 6xy 3y2 , y
z (1 3y2 ) 13,
x x1
x1
y2
y2
z
(6xy 3y2 )
0
y x1
x 1
y2
y2
例6.2.2 z x y (x 0,且 x 1) 的偏导数 z , z .
x)'y
2x3
18xy.
❖练习2 求下列函数的二阶偏导数
(1) z arctan y
z x
1
1 ( y)2
(
y x2
x
)
x2
y
y2
,
z y
1 1 ( y)2
(1) x
x2
x
y2
,
x
x
2z x2
2xy (x2 y2 )2
,
2z xy
y2 x2 (x2 y2)2
,
2z y 2
2xy (x2 y2)2
x
y
(3)
u ln(x 2 y 3z)
u 1 ; u 2 ; u 3 x x 2 y 3z y x 2y 3z z x 2y 3z
2.求下列函数的二阶偏导数
(1) z x4 3x2 y3 z 4x3 6xy3; z 9x2 y2
x
y
2z x2
12x2
6y3;
2z xy
18xy2;
2z yx
18 xy 2 ;
2z y 2
18x2 y
(2) z ex cos y z ex cos y; z ex sin y
多元函数微分学-3 (4月14日)
主讲人： 王秀玲
z z 定理2 定理 (充分条件) 若函数 的偏导数 , x y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分. 点 续 证：z = f (x + x, y + y) f (x, y)
= [ f (x + x, y + y) f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) f (x, y)]
证:令 F(x, y) = f (x0 + x, y0 + y) f (x0 + x, y0 ) 令
φ (x) = f (x, y0 + y) f (x, y0 ) ψ ( y) = f (x0 + x, y) f (x0, y)
则 F(x, y) =φ (x0 + x) φ (x0 )
= [ f x (x0 +θ1 x, y0 + y) f x (x0 +θ1 x, y0 ) ]x
主讲人： 王秀玲
例1. 求函数 z = e z 解: = ex+2y x
x+2y
2 z x+2y =e 2 x 2 2 z z x+2y = 4ex+2y 2e = 2 yx y 3 2 z z = ( ) = 2ex+2y yx2 x yx 2 z 2 z 注意:此处 注意 = , 但这一结论并不总成立. xy yx
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
2 z z z z ( )= = f x y (x, y) ( ) = 2 = f xx (x, y); y x xy x x x z 2z z 2z ( )= = f yx (x, y); ( ) = 2 = f y y (x, y) x y yx y y y
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义；2. 导数的计算；3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、计算方法及应用；2. 利用图形展示导数的几何意义；3. 通过例题演示导数的计算过程；4. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 相关实际问题。
第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 解释导数的几何意义1.3 导数的计算方法第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的计算规则2.3 高阶导数第三章：导数在实际问题中的应用3.1 运动物体的瞬时速度和加速度3.2 函数的极值问题3.3 曲线的凹凸性和拐点第四章：导数的其他应用4.1 曲线的切线和法线4.2 函数的单调性4.3 函数的凸性第五章：练习与拓展5.1 导数计算的练习题5.2 实际问题的练习题5.3 拓展练习题六、教学过程6.1 导入：通过回顾函数图像，引导学生思考如何描述函数在某一点的瞬时变化率。
6.2 新课讲解：详细讲解导数的定义，通过图形和实例直观展示导数的几何意义。
6.3 例题演示：挑选典型例题，展示导数的计算过程，引导学生理解和掌握计算方法。
6.4 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、导数的计算7.1 基本导数公式：讲解常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
7.2 导数的计算规则：介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数等。
7.3 高阶导数：讲解函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念及计算方法。
八、导数在实际问题中的应用8.1 运动物体的瞬时速度和加速度：结合物理知识，讲解导数在描述物体运动中的应用。
8.2 函数的极值问题：引导学生利用导数求解函数的极值，探讨极值在实际问题中的应用。
6.2 Lyapunov第二方法
V (x ) x 2
显 然 ， V ( x ) 0 x 0 ,且 V ( x ) 0 x 0 。
现 在 ， 我 们 考 虑 V 沿 上 述 微 分 方 程 的 解 对 时 间 t的 导 数 ， 有
V 2 x x 1 0 x2 0 x 0
由 于 V ( x ) 正 定 ， V 负 定 ， 从 而 渐 近 稳 定 。
定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从
而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿
越v(x)=C 走向内部。这表明，limt0x(t)=0，即原
点（零解）是渐近稳定精的选可。编辑ppt
8
练 习 ： P 277,2(1 ,2,3)
精选可编辑ppt
9
定理6 (不稳定性定理)
如果对微分方程组(6.20)存在函数V(x)和非负常数,满足
x2
x1
x2
x1
精选可编辑ppt
7
定理5(Lyapunov渐近稳定性定理) 如果对微分方程组(6.20)可以找到一个函数V(x),满足
（1）V(x)0
(2) V(x)0 则方程组(6.20)的零解是渐近稳定的.
几何解释：
由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层
层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负
§6.2 李雅普诺夫第二方法
为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程 的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造 所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动 的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具。
导数的概念及几何意义
利用导数求切线的方程
已知曲线 C：y＝1x3＋4. 33
(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程． (2)在第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[解] (1)将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4. ∴切点 P(2,4)． ∵Δy＝13(2＋Δx)3＋43－13×23－43 ＝4Δx＋2(Δx)2＋13(Δx)3， ∴ΔΔxy ＝4＋2Δx＋13(Δx)2， 当 Δx 趋于 0 时，4＋2Δx＋13(Δx)2 趋于 4，所以曲线在 x＝2 处 的导数等于 4. 即切线的斜率为 4，故所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x －y－4＝0.
也称为 y＝f(x)在 x0 点的__导__数____．
(2)记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝_xl_1i→m_x_0 _f_x_x1_1_－ －__fx_0x_0__＝_Δl_ixm→_0__f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0___.
2．导数的几何意义 函数y＝fx在x0处的导数;是曲线y＝fx在点_______x_0_;f_x_0__处的 切线的______斜__率．函数y＝fx在点x0;fx0处切线的斜率反映了 导数的几何意义． 注意：导数的物理意义：函数S＝St在点t0处的导数S′t0;就是 当物体的运动方程为S＝St时;物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v; 即v＝S′t0；函数v＝vt在点t0处的导数v′t0;就是当物体的运动 速度方程为v＝vt时;物体在时刻t＝t0时的瞬时加速度a;即a＝ v′t0．
方法归纳 求函数y＝fx在点x0处的导数的三个步骤
1．求函数fx＝x2＋3在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝f a＋Δx －f a
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§6.2导数的应用【复习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
【知识梳理】1. 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数； 2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3. 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4. 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. （1）求f '（x ）.（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数；若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数. 【课前预习】1.函数y =x 2（x －3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2） C2.函数f （x ）=ax 2－b 在（－∞，0）内是减函数，则a 、b 应满足 A.a <0且b =0 B.a >0且b ∈R C.a <0且b ≠0 D.a <0且b ∈R3.已知f （x ）=（x －1）2+2，g （x ）=x 2－1，则f ［g （x ）］ A.在（－2，0）上递增 B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增4.在（a ，b ）内f '（x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的________条件.5. 函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π）【典型例题】题型一：借助导数处理单调性、极值和最值例1．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C ．f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）例2．（1）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）(A )－2 (B)0 (C)2 (D)4 例 3．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。
题型二：导数综合题例4．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,、22()x f x （,. 求点A B 、的坐标；题型三：导数实际应用题例5．请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？★例6．已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x ＝0，x ＝2时取得极小值． （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）能否找到函数f (x )垂直于x 轴的对称轴,并证明你的结论;（Ⅲ）设使关于x 的方程f (x )＝λ2x 2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ,且两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意 t ∈[－3，3], λ∈A 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【巩固练习】1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.32. 已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有 ( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个3. 若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________. 4.设f （x ）=x 3－22x －2x +5.（1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围. 5．设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值， 并求出f （x ）的单调区间.6．已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.★7．若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.★8．设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间.★9．已知函数f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.【本课小结】【课后作业】1．函数f （x ）＝x ＋2cos x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为_________;在区间[0，2π]上最大值为___________．2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是 。
3．设函数y =x 3+ax 2+bx +c 的图象如图所示，且与y =0在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数的递减区间。
4．是否存在这样的k 值，使函数21232)(2342++--=x kx x x k x f 在（1，2）上递减，在（2，－∞）上递增。
5．讨论函数()[]2,0|,27184|23∈+-=x x x x f 的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．★6．已知过函数f （x ）=123++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。
（1）求a 、b 的值；（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －2007对于x ∈[－1，4]恒成立； 令()()132++--=tx x x f x g 。
是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值1？★7．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f ⑴求函数)(x f 的单调区间、极值.⑵若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.．★8．过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于),(222y x P ，过点P 2作曲线C 的切线l 2与曲线C 交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x = 已知（1）求点P 2、P 3的坐标. （2）求数列}{n x 的通项公式.（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ，求证：9411121>+++n d d d .§6.2导数的应用（简答）【课前预习】1.C2.B3.C4.充分5.C 【典型例题】例1．C 例2．C例 3．1)()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增。
2) 由1）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值31(1)a --。
例4．)4,1(),0,1(B A -。
例5．当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大。
★例6．（Ⅰ）f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2－5.（Ⅱ）函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴x ＝1. （Ⅲ）不存在. 【巩固练习】1.D2. D3. b >04.（1）f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.（2）m >7.5． a =31，b =－21. 函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）.6．f '（x ）=3ax 2+6x －1. （1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.（2）a ≤－3.★7．a 的取值范围为［5，7］. ★8．（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）. 1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立. ∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增.3°a >6时，在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减.★9．（1） a ≤0. （2）a ≥3. （3）f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.【课后作业】 1．()12,36+π+π2．0,3a c b ==≤；江苏省镇江中学高三数学第一轮复习教学案3．（1）a =－3 （2）递减区间是（0，2） 4． 21k = 5．最大值f （0）＝27，最小值.023=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ★6．解：（1）∴a =－3，b =－1 （2）A ≥2024。