数学2-2 导数及其应用
数学2-2 导数及其应用一、选择题：1．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有（ ） A 、)1(2)2()0(f f f <+ B 、)1(2)2()0(f f f ≤+ C 、)1(2)2()0(f f f ≥+ D 、)1(2)2()0(f f f >+2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1B ．12C ．12-D ．1-5．设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e>- 6．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2e B. e C.ln 22D. ln 27．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 8．函数3223125y x x x =--+在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4C ．-4，-15D ．5，-16二、填空题9．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ． 10．直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b = 11．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 12．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =三、解答题13．已知函数2()()x f x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角为45° （I ）使用a 表示,b c ；（Ⅱ）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；2 BCAy x1 O 3 4 5 61 2 3 414．设函数f (x )=1x e-+ax(a R ∈). (Ⅰ)若函数f (x )在x =1处有极值, 且函数g (x )=f (x )+b 在(0,+∞)上有零点，求b 的最大值； (Ⅱ)若f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围；15．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)．（1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．16．已知函数()f x ax =，()ln g x x =（a 为常数） （I ）求函数()()y f x g x =-极值；（II ）试就a 的不同取值，研究直线()f x ax =与()ln g x x =的交点个数17．设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.导数及其应用一、选择题：1．C 2．A 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8． A 二、填空题9．((0))f f = 2 ；(1)f '= -2 ． 10．ln 21b =- 11．2=a 12．提示：要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22()333(1)f x ax ax '=-=-01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。
02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，mi n ()(1)202f x f aa ==-≥⇒≥，舍去。
03当0a >时1()0f x x a'=⇒=±① 若111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和 1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减。
所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400411()120f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩② 当111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。
综上可知a=4.三、解答题13．解：（I ）2'()(2)()xx f x ax b eax bc c e --=+-++2[(2)],xax b a x c b e -=-+-+- ·························································· 2分由已知得：'(0)1(0)2f b c f a =-=⎧⎨=⎩，即212c ab a=⎧⎨=+⎩（Ⅱ）方法一：由（I ）得2'()(1)xf x ax x e -=-+-()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，即210ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。
即21xa x -≤对[2,)x ∈+∞恒成立， 令222111111()()24x x x x x x ϕ-==-=--，112,0,21()4mix x x x ϕ≥∴<≤∴=-14a ∴≤-方法二：同方法一。
令2312(),'()x x x x x x ϕϕ--== 当2x >时'()0x ϕ>，()x ϕ 在[2,)x ∈+∞单调递增，mi 1()(2)4x x ϕϕ∴==-14a ∴≤-14．解: (Ⅰ)f '(x )= 1x e --2a x,又函数f (x )在x =1处有极值,∴f '(1)=0,a =1,经检验符合题意g '(x )= 1x e --21x,当x ∈(0,1)时, g '(x )<0, g (x )为减函数, 当x =1时,g '(x )=0, 当x ∈(1,+∞)时g '(x )>0，g (x )为增函数, ∴g (x )在x =1时取得极小值g (1)=2+b ,依题意g (1)≤0, ∴b ≤-2, ∴b 的最大值为-2;(Ⅱ)f '(x )= 1x e --2a x ，当f (x )在(1，2)上单调递增时, 1x e --2a x ≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x 21x e -,令h (x )= x 21x e -，则h '(x )= 1x e -( x 2+2 x )>0在[1，2]上恒成立, 即h (x ) 在[1，2]上单调递增,∴h (x ) 在[1，2]上的最小值为h (1)=1, ∴a ≤1; 当f (x )在[1,2]上单调递减时,同理a ≥x 21x e -,h (x )= x 21x e -在[1,2]上的最大值为h (2)=4e , ∴a ≥4e ; 综上实数a 的取值范围为a ≤1或a ≥4e ；15．解(1) ()()()F x h x x ϕ=-= 22ln (0)x e x x ->，22()()()2e x e x e F x x x x-+'∴=-=． 当x e =时，()0F x '=．当0x e <<时，()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x e >时，()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当x e =时，()F x 取极小值，其极小值为0．(2)解法一：由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =处有公共点，因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即e k e kx y -+=． 由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．2)2(e k -=∆ ，∴由0≤∆，得e k 2=．下面证明e x e x -≤2)(ϕ当0>x 时恒成立． 令()()2G x x ex e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2，则22()()2e e e x G x e x x-'=-=， 当x e =时，()0G x '=．当0x e <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x e >时，()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当x e =时，()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2ln 20G x e x ex e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立． ∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线2y ex e =-． 解法二： 由(Ⅰ)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且当x e =时取等号) ．若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令x e =，则e k e b ≥+且e k e b ≤+k e b e ∴+=，即e k e b -=．后面解题步骤同解法一．16．解：（I ）令1()()(),()ln ,'(),F x f x g x F x ax x F x a x=-∴=-=-令'()0,1F x ax =∴= （1）当0a >时，驻点是1,a 当1x a >时，'()0F x >；当10x a<<时，'()0F x <，1x a∴=是函数的极小值，且极小值为11ln a -，函数无极大值点。
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
2-2导数及其应用常考题型导数的运算法则 含解析
导数的运算法则【知识梳理】1．导数的四则运算法则（1)条件：f（x），g(x)是可导的．(2）结论：①f（x)±g（x)]′＝f′(x）±g′(x）．②f(x）g(x)］′＝f′(x)g(x)＋f（x)g′（x)．③错误!′＝错误!(g(x）≠0）．2．复合函数的求导公式（1）复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g（x)）．②可分解为y＝f(u）与u＝g（x)，其中u称为中间变量．（2)求导法则：复合函数y＝f（g(x））的导数和函数y＝f(u），u ＝g(x)的导数间的关系为：y x′＝y u′·u x′.【常考题型】题型一、利用导数四则运算法则求导典例］求下列函数的导数：（1）y＝x2＋log3x;（2)y＝x3·e x；(3)y＝错误!。
解] (1）y′＝（x2＋log3x）′＝（x2)′＋（log3x)′＝2x＋错误!.（2）y′＝（x3·e x）′＝（x3)′·e x＋x3·（e x）′＝3x2·e x＋x3·e x＝e x（x3＋3x2）．（3)y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。
【类题通法】求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．【对点训练】求下列函数的导数：（1）y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；（3)y＝e x sin x。
解：(1）y′＝（sin x－2x2)′＝(sin x)′－（2x2）′＝cos x－4x。
（2）y′＝（cos x·ln x)′＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x)′＝－sin x·ln x＋错误!.（3）y′＝错误!′＝错误!＝错误!＝错误!题型二、复合函数的导数运算典例］求下列函数的导数：（1）y＝错误!；(2）y＝e sin（ax＋b)；（3）y＝sin2错误!;(4)y＝5log2(2x＋1)．解] （1)设y＝u－错误!，u＝1－2x2，则y′＝（u－12）′ （1－2x2）′＝错误!·(－4x）＝－错误!（1－2x2)－错误!(－4x）＝2x(1－2x2）－错误!。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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[思路点拨]
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
选修2-2《导数及其应用》的教学建议
简析 ：答案是 a = 4, b = 11，而学生往往会多出一
解 a = 3, b = 3 ．
限，不去追求理论上的抽象性和严谨性．
1.2 对于导数定义
在定义
f '(x0 )
=
lim x→ 0
f
f(x +
= lim 0
x x→ 0
x) x
给出后，可以给出定义的几种变化形式：
f (x ) 0
f '(x) = lim
y = lim
f(x0 )
f (x0
x →0 x
x→ 0
x
x) ；以及
f '(x) = lim
24
福建中学数学
2008 年第 6 期
选 修 2-2《 导 数 及 其 应 用 》 的 教 学 建 议
林奕生 福建省南平市高级中学 ( 353000)
人教 A 版选修 2-2 中“微积分”的设计主线是：
瞬 间速度—变化 率—导数— 导数应用— 定积分，这
与 大学教材中 “微积分”的 设计主线是 不同的．在
2x + c ( c 为常数)，若 x ∈[ 1, 2] 时，f ( x) < c2 恒成立，
求 c 的范围．
简 析 ：令 g (x) = x3 x/ 2 2x ，原 命题 等 价于 g( x) < c2 c 在 x∈[ 1,2] 上恒成立；
有 [g( x)]max < c2 c ． 求导得： g '( x) = ( x 1)(3x + 2)
(1)把闭 区间 [ a,6] 用 n + 1 个分点( 包括两个端 点
x0 = a , xn = b )分为任意 n 个小区间，并非要求一定分 成 n 等份， 只是在多数问 题中，为了 解题方便， 才
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
选修2-2第一章导数及其应用归纳整合
边梯形面积的区别．
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专题一 应用导数解决与切线相关的问题 根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可 以应用导数解决一些与切线相关的问题．
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【例 1】 设函数 f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程． 1 解 f′(x)＝8x－ x. 所以在点(1，f(1))处切线的斜率 k＝f′(1)＝7， 又 f(1)＝4＋2＝6， 所以切点的坐标为(1,6)， 所以切线的方程为 y－6＝7(x－1)，即 y＝7x－1.
(2)求函数最值的步骤
一般地，求函数y ＝f(x) 在[a ，b] 上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数 关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是 函数的最值．
为增(或减)函数的充分条件．
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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的．
(2) 连续函数f(x) 在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能
没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点
3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的