最新人教版高中数学必修2第二章“空间中直线与直线之间的位置关系”教案1
高中数学必修二《空间中直线与直线的位置关系》优秀教学设计
课题空间中直线与直线的位置关系（第一课时）教学目标知识与技能:(1)掌握直线与平面之间的三种位置关系;(2)会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法;(3)初步理解与运用公理4 解决问题。
过程与方法:(1)让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识;(2)通过学习经历异面直线的概念的形成过程,借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法;(3)借助长方体的模型,发现与感知平行线的传递性。
情感、态度与价值观:(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;(2)增强动态意识,培养学生观察、对比、分析的思维,通过平移转化渗透数学中的化归与辩证唯物主义思想;(3)把问题交给学生解决,让学生自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯。
学情分析学生通过前面知识的学习,已经具备了一定的空间意识和空间想象能力,对空间数学的学习有一定的好奇与兴趣,能够积极参与研究,但在分析推理能力、空间想象能力方面有所欠缺,合作交流的意识也不够强,要均衡发展,各个方面的学习都有待加强,即使是在简单的计算问题上也不容马虎。
教学重难点重点:异面直线概念的理解,掌握并会应用平行线的传递性;难点:对异面直线的理解与求法。
教学方法策略采用问题驱动、实例分析、合作探究等方式组织教学活动。
问题——自主、合作——探究教学活动过程活动一【导入】温故知新师:同学们,上节课我们学习了平面的有关知识,那现在大家来齐背一下公理1至3.生:(背诵)【设计意图：检查学生对旧知的掌握情况，为新课作铺垫。
】师:其实除了上节课,早在初中的时候我们已经接触过平面了。
那大家是否还记得,同一平面内的两条直线有几种位置关系?它们分别有几个公共点?生:相交和平行。
相交的两条直线有一个公共点,平行的没有公共点。
【设计意图：唤起学生的记忆，让学生体会到知识的连续性。
】师:既然在平面里两条直线的位置关系只有这两种,那也就是说,平面内不平行的两条直线就一定会?生:相交。
人教A版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：C C既不平行也不相交。
直线'A B与直线'学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第2课时)》教案(1)-新版
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系（二）（一）核心素养培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想，培养学生的空间想象能力.（二）学习目标1.掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2.培养学生的空间想象能力.（三）学习重点1.判断直线与平面的位置关系.（四）学习难点1.判断直线与平面的位置关系.2.平面与空间的相互转化.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（预习教材第48至49页，找出疑惑之处）2.预习自测问题：(1) 什么叫直线在平面内?(2) 什么叫直线与平面相交?(3) 什么叫直线与平面平行?(4) 直线在平面外包括哪几种情况?【答案】(1)如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.(2)如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.(3)如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.(4)直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.(二)课堂设计1．知识回顾复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.【答案】相交；平行；异面.复习2：异面直线是指________________________的两条直线，它们的夹角可以通过______________ 的方式作出，其范围是__________.【答案】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；平行移动；(]90,0. 复习3：平行公理：__________________________________________； 空间等角定理：________________________________________.【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2．问题探究探究：直线及平面的位置关系观察长方体,你能发现长方体D C B A ABCD ''''-中,线段B A '所在的直线与长方体D C B A ABCD ''''-的六个面所在平面有几种位置关系吗?新知：(1)如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.(2)如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.(3)如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.(4)直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.用三种语言描述直线与平面之间的位置关系，如下表：●活动① 互动交流，初步实践下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3【知识点】直线与平面的位置关系.【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】我们借助长方体模型,棱1AA 所在直线有无数点在平面ABCD 外,但棱1AA 所在直线与平面ABCD 相交,所以命题①不正确;11B A 所在直线平行于平面ABCD ，11B A 显然不平行于BD ，所以命题②不正确; 11B A ∥AB ，11B A 所在直线平行于平面ABCD ，但直线AB ⊂平面ABCD ,所以命题③不正确;l 与平面α平行,则l 与α无公共点,l 与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.【思路点拨】通过直观的模型解决问题.【答案】B●活动② 巩固基础，检查反馈【设计意图】 巩固检查对直线与平面位置关系的理解与认识.例1 如右图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中N M ,分别是111BB B A 、的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；(2)CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；(3)AM 所在的直线与平面11C CDD 的位置关系；(4)CN 所在的直线与平面11C CDD 的位置关系.【知识点】直线与平面的位置关系的判定.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】(1)AM 所在的直线与平面ABCD 相交；(2)CN 所在的直线与平面ABCD 相交；(3)AM 所在的直线与平面11C CDD 平行；(4)CN 所在的直线与平面11C CDD 相交.【思路点拨】利用定义与反证法.【答案】(1)相交；(2)相交；(3)平行；(4)相交.同类训练 已知直线a 不平行于平面α，给出下列四个结论：①α内的所有直线都与a 异面；②α内不存在与a 平行的直线；③α内的直线都与a 相交；④直线a与平面α有公共点.以上正确命题的序号________.【知识点】线面关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】因为直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或直线a在平面α内，所以选项①、②、③均不正确.【思路点拨】找模型.【答案】④●活动③强化提升，灵活应用例2 下列命题正确的有________.①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面.【知识点】直线与平面的位置关系的判定.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；故①⑤正确.【思路点拨】模型与特例.【答案】①⑤3.课堂总结知识梳理直线与平面的位置关系判定.重难点归纳（1）直线与平面的位置关系判定；（2）位置关系用图形语言、符号语言如何表示；（3）长方体作为模型研究空间问题的重要性.（三）课后作业基础型 自主突破1.如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面( )A.只有一个 B .恰有两个 C.没有或只有一个 D .有无数个【知识点】线面关系.【数学思想】分类讨论的思想【解题过程】当点M 在过a 且与b 平行的平面或过b 且与a 平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M 不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个.故选C.【思路点拨】找模型.【答案】C2.若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则( )A.α内的所有直线与l 异面 B .α内不存在与l 平行的直线C.α内存在唯一的直线与l 平行 D .α内的直线与l 都相交【知识点】线面关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】直接画图可选B.【思路点拨】找模型.【答案】B能力型 师生共研3.已知：直线a ∥直线b ，P a =α ，求证：直线b 与平面α相交.【知识点】直线与平面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】如图所示，因为直线a ∥直线b ，所以a 和b 确定平面β，因为P a =α ，所以平面α和平面β相交于过点P 的直线l .因为在平面β内l 与两条平行直线b a 、中的一条直线a 相交，所以l 必与b 相交，设Q l b = .又b 不在平面α内，故直线b 与平面α相交.【思路点拨】产生一个交点.【答案】已证.自助餐1.若直线上有两个点在平面外，则( )A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内【知识点】直线与平面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】画出相应的图形来判断.【思路点拨】找模型.【答案】D2.下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【知识点】直线与平面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】①两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能;②两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面;③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能;④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.【思路点拨】模型化与反证法.【答案】A.3.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中,使三条直线共面的充分条件有 .(把符合要求的条件序号都填上)【知识点】直线与平面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】①中两直线相交确定平面,由于第三条直线不过前两条直线的交点且又分别与它们都相交,所以第三条直线也在这个平面内.②中可能有直线和平面平行.③中直线最多可确定3个平面.④两条平行线确定一个平面,第三条直线与它们都相交,所以第三条直线也在这个平面内.【思路点拨】模型化.【答案】①④.4.如图，已知平面l =βα ，点α∈A ，点α∈B ，点β∈C ，且l B l A ∉∉,，直线AB 与l 不平行，那么平面ABC 与平面β的交线与l 有什么关系？证明你的结论.【知识点】点线面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】平面ABC 与平面β的交线与l 相交.证明如下：因为线AB 与l 不平行，且αα⊂⊂l AB ,，所以AB 与l 一定相交.设P l AB = ，又因为β⊂⊂l ABC AB ,，所以β∈∈P ABC P ,.所以点P 是平面ABC 与平面β的一个公共点，而点C 也是平面ABC 与平面β的的一个公共点，且C P 、是不同的两点，所以直线PC 就是平面ABC 与平面β的的交线，而P l PC = ，所以平面ABC 与平面β的交线与l 相交.【思路点拨】关键是转化到同一平面内.【答案】相交。
人教课标版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教案(1)-新版
2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、． 能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算． 【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ， 因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角． 【答案】55。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系精品教案
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例 3 如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.随堂练习1．填空题：学生独立完成答案：.（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB ∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD –A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1 “a、b为异面直线”是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立. 上述结论中，正确的是（）A ．①④⑤正确B ．①③④正确C ．仅②④正确D ．仅①⑤正确【解析】 ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线.故选D例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
人教A版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系教案(1)
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，共面直线BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
人教A版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系教学案新人教A
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
共面直线=>a ∥c公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
高中数学第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案新人教A版必修2
黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第二章《2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系》教案【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培育学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的概念、范围及应用。
【教学重难点】重点：一、异面直线的概念；二、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学进程】（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线必然平行吗？问题3：没有公共点的两直线必然在同一平面内吗？一、通过身旁诸多实物，引导学生思考、举例和彼此交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
二、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）教学新课一、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？二、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，若是两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线彼此平行。
在空间中，是不是有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线彼此平行。
符号表示为：设a、b、c是三条共面直线直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD中，别离是的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明：连接BD因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=21B D同理FG∥BD且FG=21BD因为EH∥FG且EH=FG所以四边形 EFGH是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中若是加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？4、组织学生思考教材P46的思考题让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边别离对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生一路归纳出如下定理等角定理：空间中若是两个角的两边别离对应平行，那么这两个角相等或互补。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形. 它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.题能力.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.异面直线a、b，记作a⊥b.例 3 如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.学生独立完成答案：.2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′=2．如图，已知长方体ABCD –A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1 “a、b为异面直线”是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立.上述结论中，正确的是（）A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线.故选D例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
人教A版数学必修二教案：§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？通过观察得出结论：BB′与DD′平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a∥b,b∥c a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.同理，FG∥BD，且FG=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.变式训练1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.求证：四边形EFGH是菱形.证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=,EF=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH.所以四边形EFGH为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，AC⊥BD.求证：四边形EFGH是正方形.证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=.同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=，EF=.所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.因为AC=BD，所以EF=EH.因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH. 所以四边形EFGH为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.变式训练如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD，又C AB，C1平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD，又B DC，D 1平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异面直线AD和BC所成的角.图11解：设G是AC中点，连接EG、FG.因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=，FG∥AD，且FG=.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=，CD=，且HG·HE·sin∠EHG=，求AB和CD所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，图12∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.由题意可知EFGH是平行四边形，HG=，HE=，∴HG·HE·sin∠EHG=sin∠EHG.∴sin∠EHG=.∴sin∠EHG=.故∠EHG=45°.∴AB和CD所成的角为45°.（四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三（五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
共面直线
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）P45朝例2（投影片）
例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
（3）教材P47探究
让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
3、组织学生思考教材P47的思考题
（投影）
让学生观察、思考：
∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。
（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
=>a ∥c
2
（3）例3（投影）
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习
教材P48 练习1、2
充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。
（四）课堂小结
在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （）
2、填空题：
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。