广东省广州市仲元中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题文(含解析)

广东省广州市仲元中学2018-2019学年高二上期中考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题得：，则成立，而且，所以前后互推都成立，故选C2. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A. 9B. 18C. 27D. 36【答案】B【解析】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过3.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B.C.D.【答案】C 【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果. 详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.4.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）A. B.C. D. 或【答案】D 【解析】该程序框图表示的是分段函数，输出的由得，由，得，输入的或，故选D.5.设非空集合满足，则（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．【详解】解：∵，∴∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型.6.甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【详解】由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92.乙成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93.∴，；，∴，故选B.【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题.众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数，方差是用来体现数据的离散程度的.7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（）A. -3B. -5C. -2D. -1【答案】A【解析】【分析】利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.【详解】由题意知，样本中心点的坐标为，线性回归方程为，，解得，故选A.【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.8.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知，即，所以，，所以渐近线方程为，故选D．考点：双曲线的几何性质．9.7名学生中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2人，则这2人都会说外语的概率为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，这2人都会说外语包含的基本事件个数，由此能求出这2人都会说外语的概率．【详解】解：7名学生中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2人，基本事件总数，这2人都会说外语包含的基本事件个数，则这2人都会说外语的概率为．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型,考查运算求解能力，是基础题．10.已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由椭圆的离心率可得的关系，得到椭圆方程为，设出的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率．【详解】解：由，得，∴，则椭圆方程为，设，则，把A，B的坐标代入椭圆方程得：，①-②得：，∴．∴直线l的斜率为．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．11.（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．考点：充要条件的判定．12.椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设,外接圆的方程为,则,解之得,所以,由题设可得:,即,也即,因,故，即,也即,故,应选A．考点：椭圆的标准方程和圆的标准方程．【易错点晴】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求圆的一般方程的问题．解答问题的关键是如何求出三角形的外接圆的圆心坐标,求解时充分借助题设条件将圆的方程设成一般形式,这是简化本题求解过程的一个重要措施,如果将其设为圆的标准形式,势必会将问题的求解带入繁杂的运算之中．解答本题的另一个问题是如何建立关于的不等式问题,解答时也是充分利用题设中的有效信息,进行合理的推理判断,最终将问题化为的不等式的求解问题,注意到整个过程都没有将表示为的表达式,这也是简化本题求解过程的一大特点．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点，动点满足，若，则______．【答案】3【解析】【分析】由于动点满足，可知动点在椭圆上，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】解：由于点，动点满足，即，即，因此P的轨迹是椭圆，且，因为，．故答案为：3．【点睛】本题考查了两点间的距离公式、椭圆的定义，是基本知识的考查．14.已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，双曲线一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，又由双曲线过点，将点P的坐标代入可得的值，进而可得答案．【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，∵双曲线过点，∴，即．∴所求双曲线方程为，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．15.若“”是“函数的图象不过第三象限”的充要条件，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，求出m的范围，结合充要条件的定义进行求解即可．【详解】解：函数的图象不过第三象限，则，即，若”是“函数的图象不过第三象限”的充要条件，则，故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合指数函数的性质求出m的范围是解决本题的关键．16.设分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为______．【答案】15【解析】试题分析：，此时点P为直线与椭圆的交点，故填15考点：本题考查了椭圆定义点评：利用椭圆定义转化为求解距离差的最值问题，然后借助对称性转化，根据两点之间线段最短进行求解，其过程简便.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.命题；命题q ：方程表示焦点在y 轴上的椭圆．若命题p 与q 至少有一个是假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】或．【解析】 【分析】先分别求出命题、q 为真命题时，a 的取值范围；再求出命题p 与q 都是真命题时，实数a 的取值范围，进而可得出命题p 与q 至少有一个是假命题时，实数a 的取值范围. 【详解】解：若命题为真命题， 当时，不等式恒成立， 当时，要使恒成立则得，即，综上，即；若命题q 为真命题， 则方程表示焦点在y 轴上的椭圆．则得，即，即，若p 与q 至少有一个是假命题， 则当同时为真命题时，则，得，则p 与q 至少有一个是假命题， 对应或，即实数a 的取值范围是或．【点睛】本题主要考查由复合命题的真假求参数的问题，熟记复合命题真假的判定即可，属于基础题型.18.已知双曲线C：的一条渐近线倾斜角为，过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且．（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的方程．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线倾斜角为，得到，进而即可求出结果；（2）先由题意作出图像，得到双曲线的一条渐近线，作，求出；再由点到直线距离公式求出，进而即可求出结果.【详解】解：（1）∵双曲线C：的一条渐近线倾斜角为，∴，即，∴，∴双曲线C的离心率．（2）由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，作，所以是梯形；因为F是的中点，所以，又，所以由点到直线距离公式可得，，∴，∴，，则双曲线的方程为：．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率与方程，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.19.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动. （i）共有多少种不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）（ⅰ）12；（ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为，，，，，于是可以求出概率.试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得. 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，则事件A 包含，，，，，6个基本事件，所以所求概率．20.一台机器的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下统计数据：已知与之间有线性相关关系.（Ⅰ）求关于的回归方程；（Ⅱ）估计使用年限为年时，维修费用约是多少?参考公式：线性回归方程中斜率和截距公式分别为：，.【答案】（I ）；（II ）万元.【解析】【分析】（Ⅰ）求出对应的系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入x的值，求出对应的函数值即可．【详解】解:（Ⅰ）,,,,,,故线性回归方程为.（Ⅱ）当时,,故估计使用年限为年时，维修费用约是万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：1）根据电价的分档情况，可以写出分段函数，当时，；当时，，当时，；（2）由（1）可知：当时，，则，根据频率分布直方图可知，解出；（3）分别求出各组中值点的电价，并求其概率（频率），再求平均值．试题解析：（1）当时，；当时，，当时，，所以与之间的函数解析式为：；（2）由（1）可知：当时，，则，结合频率分布直方图可知：，∴；（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550．当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，故的概率分布列为：所以随机变量的数学期望．22.设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质写出点的坐标，，，由向量的坐标运算计算，由这个关系可解得；（2）外接圆圆心为斜边的中点，半径，由相切的性质得，求出，再由，求出即可；（3）设的内切圆的半径为，则的周长为，由此可得，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系代入，换元令，转化为，可知当时，有最大值，从而求出内切圆面积的最大值与相应的直线方程即可.试题解析：（1）由题，为的中点.设，则，，，由题，即，∴即，∴.（2）由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，∵由题外接圆与直线相切，∴，即，即，∴，，，故所求的椭圆的方程为.（3）设，，由题异号，设的内切圆的半径为，则的周长为，，因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，由韦达定理得，，（），令，则，，当时，有最大值3，此时，，，故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.。