2017届宁夏银川九中高三下学期第一次模拟考试理科数学试题及答案

银川九中2017届高三年级第一次模拟数学(理科)试卷（时间：120分钟 满分：150分） 出卷人本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π=343V R π= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数1a i i+-为纯虚数，则它的共轭复数是( ) A. 2i B. 2i - C. iD. i -2. 下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( )A. y ＝x 3＋1B. y ＝log 2(|x|＋2)C. y ＝(12)|x| D. y ＝2|x|3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5= （ ）A.33B.72C.84D.1894．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ）5．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．16.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3)（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知实数m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线22y x m +＝1的离心率为（ ）D ．以上都不对8．曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）A ．41 B ．－12 C ．43 D ．189.为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点.已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 （ ）A.4B.3C.2D.110．设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数 11.已知正方形ABCD 的边长为2，点P,Q 分别是边AB ，BC 边上的动点且,AQ DP ⊥ ，则QP CP ⊥的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.),0[]1(+∞--∞B.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程）13.已知点P 在抛物线y 2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 .14. 已知圆C ：x 2+y 2-6x-4y+8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .15． 如图,为了测得河的宽度CD ，在一岸边选定两点A 、B ，使A 、B 、D 在同一直线上.现测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m ，则河的宽度是 .16.球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为22和2，则该球的体积为 ；三、解答题：本大题共解答5题，共60分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17.（本小题满分12分）已知函数22()2(1)57f x x n x n n =-+++-．（Ⅰ）设函数()=的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a，求证：{}n ay f x为等差数列；（Ⅱ）设函数()=的图像的顶点到x轴的距离构成数列{}n b，求{}n by f x的前n项和S．n18. （本小题满分12分）为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10.（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5】的概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，43.5】和（43.5，45.5】的顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5】内的人数为X，求X的分布列及数学期望EX。

19. （本小题满分12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE ；(3)求二面角A －BE －D 的大小．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C 、D 分别在x 轴、y轴上滑动，CP = ．记点P 的轨迹为曲线E ．（I ）求曲线E 的方程；（ II ）经过点（0，1）作直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，,OM OA OB =+ 当点M 在曲线E 上时，求四边形OAMB 的面积．21．（本小题满分12分） 已知221()ln ,02f x x a x a =->. （I ）求函数f （x ）的最小值；（ II ）当x> 2a,证明：()(2)3.22f x f a a x a ->- 四、选做题：（本小题满分10分。

请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，BC 边上的点D满足BD=2DC ，以BD 为直径作圆O 恰与CA 相切于点A ，过点B 作BE ⊥CA 于点E ，BE 交圆D 于点F ． （I ）求∠ABC 的度数：（ II ）求证：BD=4EF ．23．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为z 轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C 1的极坐标方程为p=4（cos θ+sin θ），P 是C 1上一动点，点Q 在射线OP 上且满足OQ=12OP ，点Q 的轨迹为C 2。

（I ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（II ）已知直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤ϕ<π），l 与曲线C 2有且只有一个公共点，求ϕ的值．24．（本题满分10分）选修4—5:不等式选讲设f （x ）=|x|+2|x-a|（a>0）．（I ）当a=l 时，解不等式f （x ）≤4；（ II ）若f （x ）≥4恒成立，求实数a 的取值范围2017届银川九中高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，)13．（14,-1） 14．221412x y -= 15．60 m 16．π332三、解答题：（本大题共解答5题，共60分．17．(本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵222()2(1)57[(1)]38f x x n x n n x n n =-+++-=-++-，∴38n a n =-， ---------2分∴13(1)8(38)3n n a a n n +-=+---=，∴数列{}n a 为等差数列． ---------4分（Ⅱ）由题意知，|||38|n n b a n ==-， ---------6分∴当12n ≤≤时，83n b n =-，211()[5(83)]133;222n n n n b b n n n n S b b ++--=++=== ----8分当3n ≥时，38n b n =-，123521(38)n n S b b b b n =++++=++++-2(2)[1(38)]31328722n n n n -+--+=+=．---------10分∴22133,12231328,32n n n n S n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩． ---------12分18．(本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图第四组第五组的频率分别为0.175，0.075.再由频率之比和互斥事件的的和事件的概率等于概率之和：P=0.25+0.375+0.175=0.8 ------------5分（2）设抽取的顾客人数为n ，则由已知可得n=40.尺码落在区间（43.5，45.5】的人数为3人，所以可知X 可能取到的值为0，1，2.又尺码落在区间（37.5，43.5】的人数为10人，所以: P(X=0)=2615213210=C C , P(X=1)=135********=C C C , P(X=2)=26121323010=C C C ------11分所以X 的数学期望EX=136 ----12分19．(本小题满分12分）[解析] (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)．所以CF →＝(22，22，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF⊥平面BDE .设平面ABE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝0，n ·BE →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0(x ，y ，z )·(0，－2，1)＝0所以x ＝0，z ＝2y .令y ＝1，则z ＝ 2. 所以n ＝(0,1，2)，从而cos 〈n ，CF →〉＝n ·CF→|n ||CF →|＝32因为二面角A —BE —D 为锐角，所以二面角A —BE —D 的大小为π6. 20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，---------2分由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，∴(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1．---------5分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，---------7分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2． ---------9分这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝322，原点到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝33， 平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62．---------12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）f (x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )x．---------1分当x ∈(0，a )时，f (x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2ln a ．---------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ），f (x )在(2a ，＋∞)单调递增，则所证不等式等价于f (x )－f (2a )－ 32a (x －2a )＞0．---------7分设g (x )＝f (x )－f (2a )－ 32a (x －2a )，则当x ＞2a 时，g (x )＝f (x )－ 3 2a ＝x －a 2x － 3 2a ＝(2x ＋a )(x －2a )2x＞0，---------9分所以g (x )在[2a ，＋∞)上单调递增，当x ＞2a 时，g (x )＞g (2a )＝0，即f (x )－f (2a )－ 32a (x －2a )＞0，故f (x )－f (2a )x －2a ＞ 3 2a ．四、选做题（本小题满分10分） 22．选修4－1：几何证明选讲22解：（Ⅰ）连结OA 、AD ．∵AC 是圆O 的切线，OA ＝OB ，∴OA ⊥AC ，∠OAB ＝∠OBA ＝∠DAC ， ---------2分又AD 是Rt △OAC 斜边上的中线，∴AD ＝OD ＝DC ＝OA ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠AOD ＝60 ，故∠ABC ＝ 12∠AOD ＝30 ．---------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60 ，∴EA＝ 12AB＝12×32BD＝34BD，EB＝32AB＝32×32BD＝34BD，---------7分由切割线定理，得EA2＝EF×EB，∴316BD2＝EF×34BD，∴BD＝4EF．--------10分23．选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则ρ＝ 12ρ0＝12·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，---------3分两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2．---------5分（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得(t cosφ＋1)2＋(t sinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t ＝0，---------7分t1＝0，t2＝sinφ－cosφ，由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，因为0≤φ＜ ，所以φ＝4．---------10分24．选修4—5:不等式选讲解：（Ⅰ）f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ＜0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x ＞1．---------2分当x ＜0时，由2－3x ≤4，得－ 23≤x ＜0；当0≤x ≤1时，1≤2－x ≤2；当x ＞1时，由3x －2≤4，得1＜x ≤2．综上，不等式f (x )≤4的解集为[－ 23，2]．---------5分（Ⅱ）f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ＜0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x ＞a ．---------7分可见，f (x )在(－∞，a ]单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取最小值a ．所以，a 取值范围为[4，＋∞)． ---------10分。