随机信号课堂讲义(给学生)-Ch1-Ch2-2015
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随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
第2章 随机信号
[例]设随机过程 (t ) sin( t ),其中 是一个随机变量， 0 的分布律为 1 2
解：由随机变量的均值 函数定义
1 1 1 2 ，求E ( )及R( , )。 1 2 2 4 2
1 (t ) sin(t ), ( ) sin( ) 2 2
4
2.1 定义与基本特性
例2.1 噪声电压信号：多次观察到不同波形。
2015-5-19
5
例2.2 用掷币实验产生信号。
正面：250 Hz的余弦波，X1(t)=cos(500πt)
反面：250 Hz的正弦波，X2(t)=sin(500πt)
记为
X t , cos(500 t I / 2)
=-2 e
2 r 2 / 2 2 0
2 2
R(t1, t2 ) 2 cos w0 (t1 t2 )
2015-5-19 34
由均值与自相关函数容易导出协方差函数和方差、 相关系数
C X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) 2 cos w0 (t1 t2 )
第2章 随机信号
通信抗干扰技术国家级重点实验室
确定信号与随机信号
• 确定信号：携带某种信息，随时间、空间或其他 参量变化的物理量抽象为信号，并用确定的时间 函数来表示，这类信号称为确定信号。 • 随机信号：按时间或其他参量推进，但又是随机 的。信号源于不确定的随机现象，但是特性服从 某种统计规律，这类信号称为随机信号。 • 随机与确定是相对的，“随机”是指“不可预知” 或“不确定”。按照信息论的观点，对接收者来 讲只有信号表现出某种不可预测性才可能蕴涵信 息。但随机信号并不是完全不可预测的，具有部 分预测性。
CH1-2随机变量及其基础 应用数理统计课件
<
X
≤
x+
Δx)＝ ｘ＋Δｘφ（ｘ）≈ φ(x)Δx →０ ｘ
5)结论：(1)对连续型随机变量 X ， P{X = c} = 0 (2) P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F(b) − F(a)
(3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。
P(a1 < X ≤ b1 , a2 < Y ≤ b2 ) = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 )
y
b2
a2 0 a1
b1
x
7.离散型随机变量的联合分布列
若二维随机变量 (ξ, η) 的可能取值为有限个 （或可列个）数对 (xi , y j ) 时，其对应的概率：
x −∞
p(t)dt
=Fξ
( x)就表示阴影部分的面积
例 4. 设随机变量 X 具有概率密度为
⎧ ke−3x , x > 0
ϕ(x) = ⎨
⎩0,
x ≤ 0，
试确定常数k ，并求P( X > 0.1) 及F(x) 。
∫ ∫ 解 ： (1)Q
∞
ϕ (x)dx = 1， ∴
−∞
∞ ke−3x dx = 1 ，
★几何上，此概率即为分布曲面之下，以区域 G 为 底的曲顶柱体的体积。
例 5. 设 (ξ , η) 具有概率密度
⎧ p(x, y) = ⎨
⎩
ce −2x−3 y 0
, x ≥ 0, y ≥ 0 , 其他
试求：(1)常数 c ；（2）分布函数 F (x, y) ；
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
随机信号chapter1.4(3)[1]
![随机信号chapter1.4(3)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d7c493342f60ddccda38a0a8.png)
6
复随机变量
复随机变量： Z = X+jY
o X和Y均为实值随机变量 o ������ =
−1 o 欧拉公式：������ ������������ = cos ������ + ������ ∙ ������������������(������) o 复随机变量的物理意义：幅度与相位均为随机变量 o 实随机变量是复随机变量的特例(Y=0)
复随机变量的期望：
o ������ ������ = ������ ������ + ������������ = ������ ������ + ������������(������) o ������ ������1 + ������2 = ������ ������1 + ������ ������2
Y是否独立？相关？正交？
4
随机变量基础回顾
例2：设X∼U(−1/2 ,1/2)均匀分布, 而 Y=cosX,试求X和
Y是否独立？相关？正交？
cov ������, ������ = ������ ������������ − ������ ������ ������ ������ = ������(������������)
������ ������������������ ������������ −������������ ������������ = ������
������ (������������−������)������ ������������ =
0
������ ������ − ������������
正态分布：������ ∼ ������ ������, ������ 2 ，������������ ������ = exp(������������������ − ������ 2 ������2 /2)
随机信号分析课件第2章
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均
T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h
E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
第2章 随机信号
m(v) mX (n) E X (n) xi Pi (n)
i 1
t1
t2随机信号分析
t3
t4
26
随机信号分析
27
2.1.3 基本数字特征
随机信 (t1, t2 ) E X(t1)X(t2 )
随机信号分析 21
2.1.2 概率分布与密度函数
随机信号的一维概率分布函数 F(x;t) ：
F ( x; t ) P X (t ) x
随机信号的一维概率密度函数 f (x;t)
F ( x; t ) f ( x; t ) x F ( x; t )
x
f ( x; t )dx
所以，t＝1时刻， X(t)等于A ，可能值为 0与1 ，
X t A 0 0.9 1 0.1 0.1
P A 0 0.9 P A 1 0.1
所以在t＝1时刻，随机变量X(t,s)即A最有 可能出现值为0 。
随机信号分析 19
随机信号分析 2
第2章 随机信号
本章讨论： 1）随机信号的定义、基本概念； 2）几个典型的信号及其分析方法； 3）随机信号一般特性与描述方式； 4）高斯信号与独立信号
随机信号分析
3
第2章 随机信号
2.1 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号
X1 t cos 200 t
17
例题2续
（2）
F x, y;0, 0.0025 P A cos 200 0 x; A cos 200 0.0025 y
第3章 随机信号
R( )e
d
P ( f )
R( ) P ( )
维纳——辛钦定理
3.2.4 随机过程的频谱特性
维纳——辛钦定理是联系频域和时域两种分析方法的基本关 系式。
（1）当τ=0时，对PSD进行积分可以得到平稳过程的总功率
R(0)
P ( f )df
（2）各态历经过程的任一样本的PSD等于过程的PSD。 （3）PSD具有非负性和实偶性：
高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知
性，不能用确切的时间函数描述。 3.1.1、定义 角度1（样本函数）：随机过程 (t)是随机试验全体样本函 数{ x1(t),x2(t),…xn(t) }的集合
角度2（随机变量）：随机过程 (t)是在时间进程中处于不
如果存在
n Fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) x1x2 xn
则称其是随机过程 (t)的n维概率密度函数 n越大，对随机过程统计特性的描述就越好。
3.1.3 随机过程的数字特征
PY ( ) 2 Pn ( ) Pn ( )e jT Pn ( )e jT Pn ( )(2 e jT e jT ) 2(1 cosT ) Pn ( )
1、定义 如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布均服从正态 分布，则称它为正态过程或高斯过程。 n维正态概率密度函数表示式为：
定义： 设(t)是实平稳随机过程，它的自相关函数为
R( ) E[ ( t ) ( t )]
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email ? 服务器容量构置、信箱大小的设置等;
网络交换机示意图
问题2： 该网络中某主干链路上的交换机各时刻的数据流量是多少？
交换机容量、速度的设计等问题.
本课程从信号与系统角度学习如何分析随 机信号，学习和掌握线性系统在随机信号 作用下的分析方法与基础理论，为后续课 程（例如 通信原理、信息论、信号检测与 估计、纠错编码理论等）奠定理论基础.
P(A | B) P(AB) , (P(B) 0) P(B)
相应地事件A出现下事件B的条件概率为：
P(B | A) P(AB) , (P(A 0)) P( A)
乘法定理：
P(A B) P(A | B)P(B) P(B | A)P(A)
统计独立性 : 设A, B为随机试验的两个事件，当
P(A) P(A | B) ， 或 P(B) P(B | A)
（3）雷达（或声纳）问题
有目标时：X(t) = a S(t-t0) + n(t) ; 无目标时：X(t) = n(t) ;
如何从中判断出是否有目标 ？ 如何判断是什么目标 ？ 如何判断目标的距离 ？
（4）计算机网络、网络通信问题
问题1： 大工校园网域名为 “” 信箱服务器每分钟接收和发送多少
随机信号分析
Random Signals Analysis
郭成安
信息与通信工程学院 信息技术研究所 创新园大厦 A530室
Tel: 84706006(O) Email: cguo@
Ch.1 绪论
为什么学习随机信号分析？
随机现象、随机信号举例
（1）通信系统 -- 典型的通信系统框图
课件: 通过各班学委发给其他同学.
三、教材和主要参考书
[1] 《随机信号分析》. 赵淑清，哈尔滨工业大学出版社，(教材)
[2] 《随机过程》，吴祈耀，国防工业出版社，1984
[3] 《随机信号分析》，章潜五，西安电子科技大学出版社，
1990
[4] Probabilities, Random Variables and Stochastic Processes, A. Papoulis, McGraw-Hill, 1984
相对频率（Relative frequency）：
fA
nA n
-- 其中 nA 为 A 在试验中出现的次数, n为全部试验次数.
概率与相对频率的关系：
lim nA P(A) n n
♦ 概率的公理化定义：
-- 现代概率论是建立在结构性公理基础上，从更一般性、抽象角度研究问题；
设 S 是某随机试验的样本空间, 对于试验中的每一个事件A赋予一个实数, 记为 P(A), 如果满足下列条件,则称为事件 A 的概率:
对于每一个事件A , 有
0 P(A) 1
P(S) = 1
(结果必然会落在 S 中，或 S 中至少有一个结果出现）
对于两两互不相容的事件 Ak (k=1,2,…,n), 有
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2) P(An )
2．条件概率、统计独立
条件概率：设 A, B为随机试验中的两个事件，则事件 B 出现下，事件A 的条件概率为
二、 本课程内容Байду номын сангаас
1. 概率论基础知识（简要复习）； 2. 随机信号、随机过程基础理论； 3. 随机信号作用于线性系统、随机信号分析方法； 4. 线性系统对随机信号的响应（系统输入—输出）分析方法； 5. 窄带随机信号分析及其线性变换（Hilbert Transform）; 6. 随机信号通过非线性系统的分析方法（简介）.
噪声
编
发
接
信源
码
射
信道
收
器
器
器
l 噪声： 典型的随机信号 l 数字通信
信号 S(t) 经 A/D 变换，转化成数字信号： S(t) 采样为 S(t0), S(t1) , … , S(tn) ;
量化为 Sq(t0), Sq (t1) , … , Sq (tn) ; 用2进制表示 Sq (ti) ：101011
称事件A与事件B是统计独立的，因此这时有： P(A B) P(A) P(B)
该式也为统计独立的条件。
• 一般情况下：
P(B | A) P(B) ， P(A | B) P(A)
即 A 的出现对于B出现的概率有影响，只有两者独立时，才不存在影响。
3．随机变量与概率分布
随机变量定义： 设随机试验的样本空间 S={ }, 如果对于每一个 S
重点强调的内容： 本课程中的基本概念； — 哪些概念？ 本课程中所涉及和研究的基本问题； — 哪些问题？ 用于解决这些问题的基本方法； — 什么方法？ — 与原来所学的有什么不同？
课程学时分布 (2015秋季)：
40 学时， 1--16周：
1 - 16周 : 星期二 5、6节， 教室: 综109； 1、3、5、7周: 星期五 1、2节， 教室: 综109 。
成绩分布：
（1） 平时作业 与 平时提问及测验： 30%； （作业要求必做，禁止抄袭，平时测验时间不定，缺考以零分计）；
（2） 期末考试 : 70% （考试形式: 一纸开卷）。
研究生入学复试内容之一： “信号与信息处理” 等专业研究生入学考试(复试)课程
本课程要求的前期基础知识： 高等数学、概率论基础、信号与系统。
解
码
用户
器
l 为什么数字通信信号质量比模拟通信好？ l 主要原因：通信中有噪声干扰，而数字通信抗干扰能力强.
处理器
(比较器)
（2）电子测量：测量误差 随机误差；
实测值 : r(t)=V(t) + n(t) , 其中 V(t) 为理想值, n(t) 为噪声。 l 如何提高测量精度？ 应用随机信号分析知识。
[5] 其他有关随机过程, 随机信号分析方面的教材或书籍.
四、概率论基础知识（简要复习）
1．概率简述 • 概率（Probability）：
用数值表示某事件出现的可能性，记为 P(A)，称为事件 A 的概率。
P(A)处于[0，1]之间，
0 P(A) 1
在一般随机试验中有很多可能的结果.在一次试验中不能准确预言哪个结果是否一定 出现。然而大量重复试验会发现，各种结果出现的可能性是有不同的大小，而这个 可能性是确定的，不是随机变化的。该可能性即是概率。
网络交换机示意图
问题2： 该网络中某主干链路上的交换机各时刻的数据流量是多少？
交换机容量、速度的设计等问题.
本课程从信号与系统角度学习如何分析随 机信号，学习和掌握线性系统在随机信号 作用下的分析方法与基础理论，为后续课 程（例如 通信原理、信息论、信号检测与 估计、纠错编码理论等）奠定理论基础.
P(A | B) P(AB) , (P(B) 0) P(B)
相应地事件A出现下事件B的条件概率为：
P(B | A) P(AB) , (P(A 0)) P( A)
乘法定理：
P(A B) P(A | B)P(B) P(B | A)P(A)
统计独立性 : 设A, B为随机试验的两个事件，当
P(A) P(A | B) ， 或 P(B) P(B | A)
（3）雷达（或声纳）问题
有目标时：X(t) = a S(t-t0) + n(t) ; 无目标时：X(t) = n(t) ;
如何从中判断出是否有目标 ？ 如何判断是什么目标 ？ 如何判断目标的距离 ？
（4）计算机网络、网络通信问题
问题1： 大工校园网域名为 “” 信箱服务器每分钟接收和发送多少
随机信号分析
Random Signals Analysis
郭成安
信息与通信工程学院 信息技术研究所 创新园大厦 A530室
Tel: 84706006(O) Email: cguo@
Ch.1 绪论
为什么学习随机信号分析？
随机现象、随机信号举例
（1）通信系统 -- 典型的通信系统框图
课件: 通过各班学委发给其他同学.
三、教材和主要参考书
[1] 《随机信号分析》. 赵淑清，哈尔滨工业大学出版社，(教材)
[2] 《随机过程》，吴祈耀，国防工业出版社，1984
[3] 《随机信号分析》，章潜五，西安电子科技大学出版社，
1990
[4] Probabilities, Random Variables and Stochastic Processes, A. Papoulis, McGraw-Hill, 1984
相对频率（Relative frequency）：
fA
nA n
-- 其中 nA 为 A 在试验中出现的次数, n为全部试验次数.
概率与相对频率的关系：
lim nA P(A) n n
♦ 概率的公理化定义：
-- 现代概率论是建立在结构性公理基础上，从更一般性、抽象角度研究问题；
设 S 是某随机试验的样本空间, 对于试验中的每一个事件A赋予一个实数, 记为 P(A), 如果满足下列条件,则称为事件 A 的概率:
对于每一个事件A , 有
0 P(A) 1
P(S) = 1
(结果必然会落在 S 中，或 S 中至少有一个结果出现）
对于两两互不相容的事件 Ak (k=1,2,…,n), 有
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2) P(An )
2．条件概率、统计独立
条件概率：设 A, B为随机试验中的两个事件，则事件 B 出现下，事件A 的条件概率为
二、 本课程内容Байду номын сангаас
1. 概率论基础知识（简要复习）； 2. 随机信号、随机过程基础理论； 3. 随机信号作用于线性系统、随机信号分析方法； 4. 线性系统对随机信号的响应（系统输入—输出）分析方法； 5. 窄带随机信号分析及其线性变换（Hilbert Transform）; 6. 随机信号通过非线性系统的分析方法（简介）.
噪声
编
发
接
信源
码
射
信道
收
器
器
器
l 噪声： 典型的随机信号 l 数字通信
信号 S(t) 经 A/D 变换，转化成数字信号： S(t) 采样为 S(t0), S(t1) , … , S(tn) ;
量化为 Sq(t0), Sq (t1) , … , Sq (tn) ; 用2进制表示 Sq (ti) ：101011
称事件A与事件B是统计独立的，因此这时有： P(A B) P(A) P(B)
该式也为统计独立的条件。
• 一般情况下：
P(B | A) P(B) ， P(A | B) P(A)
即 A 的出现对于B出现的概率有影响，只有两者独立时，才不存在影响。
3．随机变量与概率分布
随机变量定义： 设随机试验的样本空间 S={ }, 如果对于每一个 S
重点强调的内容： 本课程中的基本概念； — 哪些概念？ 本课程中所涉及和研究的基本问题； — 哪些问题？ 用于解决这些问题的基本方法； — 什么方法？ — 与原来所学的有什么不同？
课程学时分布 (2015秋季)：
40 学时， 1--16周：
1 - 16周 : 星期二 5、6节， 教室: 综109； 1、3、5、7周: 星期五 1、2节， 教室: 综109 。
成绩分布：
（1） 平时作业 与 平时提问及测验： 30%； （作业要求必做，禁止抄袭，平时测验时间不定，缺考以零分计）；
（2） 期末考试 : 70% （考试形式: 一纸开卷）。
研究生入学复试内容之一： “信号与信息处理” 等专业研究生入学考试(复试)课程
本课程要求的前期基础知识： 高等数学、概率论基础、信号与系统。
解
码
用户
器
l 为什么数字通信信号质量比模拟通信好？ l 主要原因：通信中有噪声干扰，而数字通信抗干扰能力强.
处理器
(比较器)
（2）电子测量：测量误差 随机误差；
实测值 : r(t)=V(t) + n(t) , 其中 V(t) 为理想值, n(t) 为噪声。 l 如何提高测量精度？ 应用随机信号分析知识。
[5] 其他有关随机过程, 随机信号分析方面的教材或书籍.
四、概率论基础知识（简要复习）
1．概率简述 • 概率（Probability）：
用数值表示某事件出现的可能性，记为 P(A)，称为事件 A 的概率。
P(A)处于[0，1]之间，
0 P(A) 1
在一般随机试验中有很多可能的结果.在一次试验中不能准确预言哪个结果是否一定 出现。然而大量重复试验会发现，各种结果出现的可能性是有不同的大小，而这个 可能性是确定的，不是随机变化的。该可能性即是概率。