随机信号课堂讲义(给学生)-Ch1-Ch2-2015
email ? 服务器容量构置、信箱大小的设置等;
网络交换机示意图
问题2： 该网络中某主干链路上的交换机各时刻的数据流量是多少？
交换机容量、速度的设计等问题.
本课程从信号与系统角度学习如何分析随 机信号，学习和掌握线性系统在随机信号 作用下的分析方法与基础理论，为后续课 程（例如 通信原理、信息论、信号检测与 估计、纠错编码理论等）奠定理论基础.
P(A | B) P(AB) , (P(B) 0) P(B)
相应地事件A出现下事件B的条件概率为：
P(B | A) P(AB) , (P(A 0)) P( A)
乘法定理：
P(A B) P(A | B)P(B) P(B | A)P(A)
统计独立性 : 设A, B为随机试验的两个事件，当
P(A) P(A | B) ， 或 P(B) P(B | A)
（3）雷达（或声纳）问题
有目标时：X(t) = a S(t-t0) + n(t) ; 无目标时：X(t) = n(t) ;
如何从中判断出是否有目标 ？ 如何判断是什么目标 ？ 如何判断目标的距离 ？
（4）计算机网络、网络通信问题
问题1： 大工校园网域名为 “” 信箱服务器每分钟接收和发送多少
随机信号分析
Random Signals Analysis
郭成安
信息与通信工程学院 信息技术研究所 创新园大厦 A530室
Tel: 84706006(O) Email: cguo@
Ch.1 绪论
为什么学习随机信号分析？
随机现象、随机信号举例
（1）通信系统 -- 典型的通信系统框图
课件: 通过各班学委发给其他同学.
三、教材和主要参考书
[1] 《随机信号分析》. 赵淑清，哈尔滨工业大学出版社，(教材)
[2] 《随机过程》，吴祈耀，国防工业出版社，1984
[3] 《随机信号分析》，章潜五，西安电子科技大学出版社，
1990
[4] Probabilities, Random Variables and Stochastic Processes, A. Papoulis, McGraw-Hill, 1984
相对频率（Relative frequency）：
fA
nA n
-- 其中 nA 为 A 在试验中出现的次数, n为全部试验次数.
概率与相对频率的关系：
lim nA P(A) n n
♦ 概率的公理化定义：
-- 现代概率论是建立在结构性公理基础上，从更一般性、抽象角度研究问题；
设 S 是某随机试验的样本空间, 对于试验中的每一个事件A赋予一个实数, 记为 P(A), 如果满足下列条件,则称为事件 A 的概率:
对于每一个事件A , 有
0 P(A) 1
P(S) = 1
(结果必然会落在 S 中，或 S 中至少有一个结果出现）
对于两两互不相容的事件 Ak (k=1,2,…,n), 有
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2) P(An )
2．条件概率、统计独立
条件概率：设 A, B为随机试验中的两个事件，则事件 B 出现下，事件A 的条件概率为
二、 本课程内容Байду номын сангаас
1. 概率论基础知识（简要复习）； 2. 随机信号、随机过程基础理论； 3. 随机信号作用于线性系统、随机信号分析方法； 4. 线性系统对随机信号的响应（系统输入—输出）分析方法； 5. 窄带随机信号分析及其线性变换（Hilbert Transform）; 6. 随机信号通过非线性系统的分析方法（简介）.
噪声
编
发
接
信源
码
射
信道
收
器
器
器
l 噪声： 典型的随机信号 l 数字通信
信号 S(t) 经 A/D 变换，转化成数字信号： S(t) 采样为 S(t0), S(t1) , … , S(tn) ;
量化为 Sq(t0), Sq (t1) , … , Sq (tn) ; 用2进制表示 Sq (ti) ：101011
称事件A与事件B是统计独立的，因此这时有： P(A B) P(A) P(B)
该式也为统计独立的条件。
• 一般情况下：
P(B | A) P(B) ， P(A | B) P(A)
即 A 的出现对于B出现的概率有影响，只有两者独立时，才不存在影响。
3．随机变量与概率分布
随机变量定义： 设随机试验的样本空间 S={ }, 如果对于每一个 S
重点强调的内容： 本课程中的基本概念； — 哪些概念？ 本课程中所涉及和研究的基本问题； — 哪些问题？ 用于解决这些问题的基本方法； — 什么方法？ — 与原来所学的有什么不同？
课程学时分布 (2015秋季)：
40 学时， 1--16周：
1 - 16周 : 星期二 5、6节， 教室: 综109； 1、3、5、7周: 星期五 1、2节， 教室: 综109 。
成绩分布：
（1） 平时作业 与 平时提问及测验： 30%； （作业要求必做，禁止抄袭，平时测验时间不定，缺考以零分计）；
（2） 期末考试 : 70% （考试形式: 一纸开卷）。
研究生入学复试内容之一： “信号与信息处理” 等专业研究生入学考试(复试)课程
本课程要求的前期基础知识： 高等数学、概率论基础、信号与系统。
解
码
用户
器
l 为什么数字通信信号质量比模拟通信好？ l 主要原因：通信中有噪声干扰，而数字通信抗干扰能力强.
处理器
(比较器)
（2）电子测量：测量误差 随机误差；
实测值 : r(t)=V(t) + n(t) , 其中 V(t) 为理想值, n(t) 为噪声。 l 如何提高测量精度？ 应用随机信号分析知识。
[5] 其他有关随机过程, 随机信号分析方面的教材或书籍.
四、概率论基础知识（简要复习）
1．概率简述 • 概率（Probability）：
用数值表示某事件出现的可能性，记为 P(A)，称为事件 A 的概率。
P(A)处于[0，1]之间，
0 P(A) 1
在一般随机试验中有很多可能的结果.在一次试验中不能准确预言哪个结果是否一定 出现。然而大量重复试验会发现，各种结果出现的可能性是有不同的大小，而这个 可能性是确定的，不是随机变化的。该可能性即是概率。
网络交换机示意图
问题2： 该网络中某主干链路上的交换机各时刻的数据流量是多少？
交换机容量、速度的设计等问题.
本课程从信号与系统角度学习如何分析随 机信号，学习和掌握线性系统在随机信号 作用下的分析方法与基础理论，为后续课 程（例如 通信原理、信息论、信号检测与 估计、纠错编码理论等）奠定理论基础.
P(A | B) P(AB) , (P(B) 0) P(B)
相应地事件A出现下事件B的条件概率为：
P(B | A) P(AB) , (P(A 0)) P( A)
乘法定理：
P(A B) P(A | B)P(B) P(B | A)P(A)
统计独立性 : 设A, B为随机试验的两个事件，当
P(A) P(A | B) ， 或 P(B) P(B | A)
（3）雷达（或声纳）问题
有目标时：X(t) = a S(t-t0) + n(t) ; 无目标时：X(t) = n(t) ;
如何从中判断出是否有目标 ？ 如何判断是什么目标 ？ 如何判断目标的距离 ？
（4）计算机网络、网络通信问题
问题1： 大工校园网域名为 “” 信箱服务器每分钟接收和发送多少
随机信号分析
Random Signals Analysis
郭成安
信息与通信工程学院 信息技术研究所 创新园大厦 A530室
Tel: 84706006(O) Email: cguo@
Ch.1 绪论
为什么学习随机信号分析？
随机现象、随机信号举例
（1）通信系统 -- 典型的通信系统框图
课件: 通过各班学委发给其他同学.
三、教材和主要参考书
[1] 《随机信号分析》. 赵淑清，哈尔滨工业大学出版社，(教材)
[2] 《随机过程》，吴祈耀，国防工业出版社，1984
[3] 《随机信号分析》，章潜五，西安电子科技大学出版社，
1990
[4] Probabilities, Random Variables and Stochastic Processes, A. Papoulis, McGraw-Hill, 1984
相对频率（Relative frequency）：
fA
nA n
-- 其中 nA 为 A 在试验中出现的次数, n为全部试验次数.
概率与相对频率的关系：
lim nA P(A) n n
♦ 概率的公理化定义：
-- 现代概率论是建立在结构性公理基础上，从更一般性、抽象角度研究问题；
设 S 是某随机试验的样本空间, 对于试验中的每一个事件A赋予一个实数, 记为 P(A), 如果满足下列条件,则称为事件 A 的概率:
对于每一个事件A , 有
0 P(A) 1
P(S) = 1
(结果必然会落在 S 中，或 S 中至少有一个结果出现）
对于两两互不相容的事件 Ak (k=1,2,…,n), 有
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2) P(An )
2．条件概率、统计独立
条件概率：设 A, B为随机试验中的两个事件，则事件 B 出现下，事件A 的条件概率为
二、 本课程内容Байду номын сангаас
1. 概率论基础知识（简要复习）； 2. 随机信号、随机过程基础理论； 3. 随机信号作用于线性系统、随机信号分析方法； 4. 线性系统对随机信号的响应（系统输入—输出）分析方法； 5. 窄带随机信号分析及其线性变换（Hilbert Transform）; 6. 随机信号通过非线性系统的分析方法（简介）.
噪声
编
发
接
信源
码
射
信道
收
器
器
器
l 噪声： 典型的随机信号 l 数字通信
信号 S(t) 经 A/D 变换，转化成数字信号： S(t) 采样为 S(t0), S(t1) , … , S(tn) ;
量化为 Sq(t0), Sq (t1) , … , Sq (tn) ; 用2进制表示 Sq (ti) ：101011
称事件A与事件B是统计独立的，因此这时有： P(A B) P(A) P(B)
该式也为统计独立的条件。
• 一般情况下：
P(B | A) P(B) ， P(A | B) P(A)
即 A 的出现对于B出现的概率有影响，只有两者独立时，才不存在影响。
3．随机变量与概率分布
随机变量定义： 设随机试验的样本空间 S={ }, 如果对于每一个 S
重点强调的内容： 本课程中的基本概念； — 哪些概念？ 本课程中所涉及和研究的基本问题； — 哪些问题？ 用于解决这些问题的基本方法； — 什么方法？ — 与原来所学的有什么不同？
课程学时分布 (2015秋季)：
40 学时， 1--16周：
1 - 16周 : 星期二 5、6节， 教室: 综109； 1、3、5、7周: 星期五 1、2节， 教室: 综109 。
成绩分布：
（1） 平时作业 与 平时提问及测验： 30%； （作业要求必做，禁止抄袭，平时测验时间不定，缺考以零分计）；
（2） 期末考试 : 70% （考试形式: 一纸开卷）。
研究生入学复试内容之一： “信号与信息处理” 等专业研究生入学考试(复试)课程
本课程要求的前期基础知识： 高等数学、概率论基础、信号与系统。
解
码
用户
器
l 为什么数字通信信号质量比模拟通信好？ l 主要原因：通信中有噪声干扰，而数字通信抗干扰能力强.
处理器
(比较器)
（2）电子测量：测量误差 随机误差；
实测值 : r(t)=V(t) + n(t) , 其中 V(t) 为理想值, n(t) 为噪声。 l 如何提高测量精度？ 应用随机信号分析知识。
[5] 其他有关随机过程, 随机信号分析方面的教材或书籍.
四、概率论基础知识（简要复习）
1．概率简述 • 概率（Probability）：
用数值表示某事件出现的可能性，记为 P(A)，称为事件 A 的概率。
P(A)处于[0，1]之间，
0 P(A) 1
在一般随机试验中有很多可能的结果.在一次试验中不能准确预言哪个结果是否一定 出现。然而大量重复试验会发现，各种结果出现的可能性是有不同的大小，而这个 可能性是确定的，不是随机变化的。该可能性即是概率。
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随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
第2章 随机信号
[例]设随机过程 (t ) sin( t ),其中 是一个随机变量， 0 的分布律为 1 2
解：由随机变量的均值 函数定义
1 1 1 2 ，求E ( )及R( , )。 1 2 2 4 2
1 (t ) sin(t ), ( ) sin( ) 2 2
4
2.1 定义与基本特性
例2.1 噪声电压信号：多次观察到不同波形。
2015-5-19
5
例2.2 用掷币实验产生信号。
正面：250 Hz的余弦波，X1(t)=cos(500πt)
反面：250 Hz的正弦波，X2(t)=sin(500πt)
记为
X t , cos(500 t I / 2)
=-2 e
2 r 2 / 2 2 0
2 2
R(t1, t2 ) 2 cos w0 (t1 t2 )
2015-5-19 34
由均值与自相关函数容易导出协方差函数和方差、 相关系数
C X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) 2 cos w0 (t1 t2 )
第2章 随机信号
通信抗干扰技术国家级重点实验室
确定信号与随机信号
• 确定信号：携带某种信息，随时间、空间或其他 参量变化的物理量抽象为信号，并用确定的时间 函数来表示，这类信号称为确定信号。 • 随机信号：按时间或其他参量推进，但又是随机 的。信号源于不确定的随机现象，但是特性服从 某种统计规律，这类信号称为随机信号。 • 随机与确定是相对的，“随机”是指“不可预知” 或“不确定”。按照信息论的观点，对接收者来 讲只有信号表现出某种不可预测性才可能蕴涵信 息。但随机信号并不是完全不可预测的，具有部 分预测性。
CH1-2随机变量及其基础 应用数理统计课件
<
X
≤
x+
Δx)＝ ｘ＋Δｘφ（ｘ）≈ φ(x)Δx →０ ｘ
5)结论：(1)对连续型随机变量 X ， P{X = c} = 0 (2) P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F(b) − F(a)
(3)连续型随机变量的分布函数是连续函数。
P(a1 < X ≤ b1 , a2 < Y ≤ b2 ) = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 )
y
b2
a2 0 a1
b1
x
7.离散型随机变量的联合分布列
若二维随机变量 (ξ, η) 的可能取值为有限个 （或可列个）数对 (xi , y j ) 时，其对应的概率：
x −∞
p(t)dt
=Fξ
( x)就表示阴影部分的面积
例 4. 设随机变量 X 具有概率密度为
⎧ ke−3x , x > 0
ϕ(x) = ⎨
⎩0,
x ≤ 0，
试确定常数k ，并求P( X > 0.1) 及F(x) 。
∫ ∫ 解 ： (1)Q
∞
ϕ (x)dx = 1， ∴
−∞
∞ ke−3x dx = 1 ，
★几何上，此概率即为分布曲面之下，以区域 G 为 底的曲顶柱体的体积。
例 5. 设 (ξ , η) 具有概率密度
⎧ p(x, y) = ⎨
⎩
ce −2x−3 y 0
, x ≥ 0, y ≥ 0 , 其他
试求：(1)常数 c ；（2）分布函数 F (x, y) ；
随机信号分析PPT课件
RY ( )
N0 (bebu)(beb(u))du 20
N0b2 eb e2budu N 0b e b
2
0
4
相关函数为偶函数，τ<0时
R Y ( )
输出自相关函数为
N 0b e b 4
RY()
N0beb 4
a
25
输出的平均功率为
E[Y 2 (t)] RY (0)
N 0b 4
b为时间常数的倒数
a
2
4.1 线性系统的基本理论 4.1.1 线性时不变系统
x(t)
y(t)
L[ ·]
y(t)L[x(t)]
连续时间系统 双侧系统
离散时间系统
单侧系统
a
双侧信号 单侧信号
3
线性系统
L [ a 1 ( t ) x b 2 ( t ) x a ][ x 1 ( t L ) b ][ x 2 ( L t )]
RXY()0 h(u)RX(u)du
输出自相关R 函YX数(为)0 h(u)RX(u)du
RY()h(u)h(v)RX(uv)dudv
0
R Y()0 h(u)RXY(u)du
R Y()0 h(u)R Y aX(u)du
18
输出的均方值（总平均功率）
E[Y2(t)]h(u)h(v)RX(uv)dudv
(
)
N 0b 4
eb
与白噪声输入时 情况相同
a
31
例4.3中的相关函数可以进一步表示为
R Y()4 N 0e b 1 b 1 2/ 2 1be ( b)
二、双侧随机信号
K X(t)
Y(t) h(t)
Y(t)0h(u)X (tu)U (tu)du
随机信号chapter1.4(3)[1]
![随机信号chapter1.4(3)[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/d7c493342f60ddccda38a0a8.webp)
6
复随机变量
复随机变量： Z = X+jY
o X和Y均为实值随机变量 o ������ =
−1 o 欧拉公式：������ ������������ = cos ������ + ������ ∙ ������������������(������) o 复随机变量的物理意义：幅度与相位均为随机变量 o 实随机变量是复随机变量的特例(Y=0)
复随机变量的期望：
o ������ ������ = ������ ������ + ������������ = ������ ������ + ������������(������) o ������ ������1 + ������2 = ������ ������1 + ������ ������2
Y是否独立？相关？正交？
4
随机变量基础回顾
例2：设X∼U(−1/2 ,1/2)均匀分布, 而 Y=cosX,试求X和
Y是否独立？相关？正交？
cov ������, ������ = ������ ������������ − ������ ������ ������ ������ = ������(������������)
������ ������������������ ������������ −������������ ������������ = ������
������ (������������−������)������ ������������ =
0
������ ������ − ������������
正态分布：������ ∼ ������ ������, ������ 2 ，������������ ������ = exp(������������������ − ������ 2 ������2 /2)
随机信号分析课件第2章
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均
T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h
E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
第2章 随机信号
m(v) mX (n) E X (n) xi Pi (n)
i 1
t1
t2随机信号分析
t3
t4
26
随机信号分析
27
2.1.3 基本数字特征
随机信 (t1, t2 ) E X(t1)X(t2 )
随机信号分析 21
2.1.2 概率分布与密度函数
随机信号的一维概率分布函数 F(x;t) ：
F ( x; t ) P X (t ) x
随机信号的一维概率密度函数 f (x;t)
F ( x; t ) f ( x; t ) x F ( x; t )
x
f ( x; t )dx
所以，t＝1时刻， X(t)等于A ，可能值为 0与1 ，
X t A 0 0.9 1 0.1 0.1
P A 0 0.9 P A 1 0.1
所以在t＝1时刻，随机变量X(t,s)即A最有 可能出现值为0 。
随机信号分析 19
随机信号分析 2
第2章 随机信号
本章讨论： 1）随机信号的定义、基本概念； 2）几个典型的信号及其分析方法； 3）随机信号一般特性与描述方式； 4）高斯信号与独立信号
随机信号分析
3
第2章 随机信号
2.1 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号
X1 t cos 200 t
17
例题2续
（2）
F x, y;0, 0.0025 P A cos 200 0 x; A cos 200 0.0025 y
第3章 随机信号
R( )e
d
P ( f )
R( ) P ( )
维纳——辛钦定理
3.2.4 随机过程的频谱特性
维纳——辛钦定理是联系频域和时域两种分析方法的基本关 系式。
（1）当τ=0时，对PSD进行积分可以得到平稳过程的总功率
R(0)
P ( f )df
（2）各态历经过程的任一样本的PSD等于过程的PSD。 （3）PSD具有非负性和实偶性：
高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知
性，不能用确切的时间函数描述。 3.1.1、定义 角度1（样本函数）：随机过程 (t)是随机试验全体样本函 数{ x1(t),x2(t),…xn(t) }的集合
角度2（随机变量）：随机过程 (t)是在时间进程中处于不
如果存在
n Fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) x1x2 xn
则称其是随机过程 (t)的n维概率密度函数 n越大，对随机过程统计特性的描述就越好。
3.1.3 随机过程的数字特征
PY ( ) 2 Pn ( ) Pn ( )e jT Pn ( )e jT Pn ( )(2 e jT e jT ) 2(1 cosT ) Pn ( )
1、定义 如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布均服从正态 分布，则称它为正态过程或高斯过程。 n维正态概率密度函数表示式为：
定义： 设(t)是实平稳随机过程，它的自相关函数为
R( ) E[ ( t ) ( t )]
第二章 随机信号
一维高斯分布（正态分布） 一维高斯分布（正态分布）是常见的一种重要的概 率分布。在各个时刻对应的随机变量均符合一维高 率分布。 斯分布的随机过程称为高斯随机过程。 斯分布的随机过程称为高斯随机过程。通信电路中 的多是噪声满足此条件。 的多是噪声满足此条件。若改噪声在系统的作用频 域内保持均匀的功率谱密度，则可近似看做白噪声， 域内保持均匀的功率谱密度，则可近似看做白噪声， 称为高斯白噪声。 称为高斯白噪声。
s(t)=A(t)cos[ωct+φ(t)+θ]
同相分量和正交分量： 同相分量和正交分量：
如图所示为s(t)的同相分量和异相分量的提取模型。 的同相分量和异相分量的提取模型。 如图所示为 的同相分量和异相分量的提取模型
本章小结
随机变量是指取值按照某种概率，具有不确定性的变量。 随机变量是指取值按照某种概率，具有不确定性的变量。随 机变量的重要统计特征有均值、方差、协方差、 机变量的重要统计特征有均值、方差、协方差、相关函数和 自相关函数。 自相关函数。 如果一个信号在各个时刻取值不是确定值而是服从某种概率 分配，则该信号称为随机信号（随机过程）。 ）。随机过程可以 分配，则该信号称为随机信号（随机过程）。随机过程可以 看做一些列随机变量的有机组合。 看做一些列随机变量的有机组合。 随机过程的均值、方差是关于时间的确定函数。随机过程的 随机过程的均值、方差是关于时间的确定函数。 自协方差和自相关函数是关于两个时间点的函数。 自协方差和自相关函数是关于两个时间点的函数。
2.1.3 随机变量的数字特征
1. 统计均值 随机变量在统计上的平均值
其中， 是离散变量的情况， 其中，对X是离散变量的情况，还有 是离散变量的情况
2. 方差 或
3. 标准差 4. 二维随机变量 的协方差 二维随机变量XY的协方差
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对于二维离散型随机变量，有
P{X xi ,Y y j} pij
pij称为(X,Y)的联合概率分布列，简称 为分布列。
2.二维概率密度
定义 若二维分布函数FXY(x,y)连续并 存在二阶偏导数，则定义
f XY
( x,
y)
2 FXY ( x, xy
y)
为(x,y)的二维联合概率密度，简称为 二维概率密度。
e S ，就得到一个定义在空间S上的实 单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简 写为X。
1.3.2 离散型随机变量及其分布律
如果随机变量X只能取有限个或可 列无穷多个数值，则称X为离散型随机 变量。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
豫章故郡，洪都新府。星分翼轸，地 接衡庐 。襟三 江而带 五湖， 控蛮荆 而引瓯 越。物 华天宝 ，龙光 射牛斗 之墟； 人杰地 灵，徐 孺下陈 蕃之榻 。雄州 雾列， 俊采星 驰。台 隍枕夷 夏之交 ，宾主 尽东南 之美。 都督阎 公之雅 望，棨 戟遥 临；宇文新州之懿范，襜帷暂驻。十 旬休假 ，胜友 如云； 千里逢 迎，高 朋满座 。腾蛟 起凤， 孟学士 之词宗 ；紫电 青霜， 王将军 之武库 。家君 作宰， 路出名 区；童 子何知 ，躬逢 胜饯。 时维九月，序属三秋。潦水尽而寒潭 清，烟 光凝而 暮山紫 。俨骖 騑于上 路，访 风景于 崇阿； 临帝子 之长洲 ，得天 人之旧 馆。层 峦耸翠 ，上出 重霄； 飞阁流 丹，下 临无地 。鹤汀 凫渚， 穷岛屿 之萦回 ；桂殿 兰宫， 即冈峦 之体势 。 披绣闼，俯雕甍，山原旷其盈视，川 泽纡其 骇瞩。 闾阎扑 地，钟 鸣鼎食 之家； 舸舰迷 津，青 雀黄龙 之舳。 云销雨 霁，彩 彻区明 。落霞 与孤鹜 齐飞， 秋水共 长天一 色。渔 舟唱晚 ，响穷 彭蠡之 滨；雁 阵惊寒 ，声断 衡阳之 浦。 遥襟甫畅，逸兴遄飞。爽籁发而清风 生，纤 歌凝而 白云遏 。睢园 绿竹， 气凌彭 泽之樽 ；邺水 朱华， 光照临 川之笔 。四美 具，二 难并。 穷睇眄 于中天 ，极娱 游于暇 日。天 高地迥 ，觉宇 宙之无 穷；兴 尽悲来 ，识盈 虚之有 数。望 长安 于日下，目吴会于云间。地势极而南 溟深， 天柱高 而北辰 远。关 山难越 ，谁悲 失路之 人？萍 水相逢 ，尽是 他乡之 客。怀 帝阍而 不见， 奉宣室 以何年 ？ 嗟乎！时运不齐，命途多舛。冯唐易 老，李 广难封 。屈贾 谊于长 沙，非 无圣主 ；窜梁 鸿于海 曲，岂 乏明时 ？所赖 君子见 机，达 人知命 。老当 益壮， 宁移白 首之心 ？穷且 益坚， 不坠青 云之志 。酌贪 泉而觉 爽，处 涸辙以 犹欢。 北海 虽赊，扶摇可接；东隅已逝，桑榆非 晚。孟 尝高洁 ，空余 报国之 情；阮 籍猖狂 ，岂效 穷途之 哭！ 勃，三尺微命，一介书生。无路请缨 ，等终 军之弱 冠；有 怀投笔 ，慕宗 悫之长 风。舍 簪笏于 百龄， 奉晨昏 于万里 。非谢 家之宝 树，接 孟氏之 芳邻。 他日趋 庭，叨 陪鲤对 ；今兹 捧袂， 喜托龙 门。杨 意不逢 ，抚凌 云而自 惜；钟 期既 遇，奏流水以何惭？ 呜乎！胜地不常，盛筵难再；兰亭已 矣，梓 泽丘墟 。临别 赠言， 幸承恩 于伟饯 ；登高 作赋， 是所望 于群公 。敢竭 鄙怀， 恭疏短 引；一 言均赋 ，四韵 俱成。 请洒潘 江，各 倾陆海 云尔： 滕王高阁临江渚，佩玉鸣鸾罢歌舞。 画栋朝飞南浦云，珠帘暮卷西山雨。 闲云潭影日悠悠，物换星移几度秋。 阁中帝子今何在？槛外长江空自流。