例谈数学思想在解题中的运用
先猜后证的数学思想在解题中的应用
先猜后证的数学思想在解题中的应用第六图书馆猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证——这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知tanx的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能...猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证——这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知tanx的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能...数学教学研究余锦银湖北省大冶市第一中学2007第六图书馆第六图书馆先猜后证的数学思想在解题中的应用余锦银(湖北省大冶市第一中学 435100) 猜想是一种合情推理,属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程,波利亚说过:“在您证明一个数学定理之前,您必须猜想这个定理证明的主导思想”.数学猜想是证明的前提,但由于猜想是一种跳跃的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出判断,因而对猜想的结果还需要严格证明.波利亚还指出“先猜后证———这是大多数的发现之道”,“预见结论、途径便可以有的放矢”,先猜后证的关键是猜想.从最近几年的高考题可以看出:高考对猜想能力的考查日趋加深,考查的形式也是多样的.这从另一侧面反映出猜想能力的重要性,以及培养的必要性.数学猜想可分为以下几种类型:1 类比性猜想类比性猜想,是指运用类比方法,通过比较两个问题的共同性,得出新命题或新方法的猜想.例1 若对任意常数a,且a≠0,都有f(a+x)=1+f(x)1-f(x),问f(x)是否为周期函数?若是,求出它的一个周期.分析 通过审题分析,洞察出本题的实质是判断满足上述条件的函数是否为周期函数,进一步联想到等式f(a+x)=1+f(x)1-f(x)与等式tanπ4+α=1+tanα1-tanα的结构极为相似,分析后者可知t an x的周期为π,是常数项π/4的4倍,故猜想结构相似的函数f(x)可能是以4a为周期的函数,即f(x+4a)= f(x),通过验证可知猜想正确.这里的猜想并非凭空想象,而是由题目己知条件,从整体上把握而产生的猜想,是观察题目所给的条件,由直观而产生的直觉猜想.正是由于猜想的先导作用,才为证明和验算辅平了道路.例2 已知a,b,c∈R+,求证:a a b b c c≥()++ 3分析 寻找一个合适的类比对象,将原不等式退化为一个结构类似的二元不等式:a ab b≥(ab)a+b2(a,b>0).(1)欲证(1)式,只需证:在a≥b>0,及0<a<b两种情况下,aba-b≥1(2)都成立,即得证.反思回顾证明过程可知:证明这个二元不等式的关键是将(1)变形为(2).由于原不等式与此不等式结构类似,故猜想原不等式证明方法也与此相似:要证a a b b c c≥(abc)a+b+c3,即要证aba-b bcb-c cac-a≥1.不失一般性,设a≥b≥c,可以证得aba-b≥1,bcb-c≥1,cac-a≥1,三式相乘即得证.反思 类比性猜想就是解题时联想一个结构类似的数学模型或题型,然后从中寻找启示或直接仿照其方法来研究待解问题,有简化类比猜想、结构类比猜想和降维类比猜想.当联想不到结构类似的熟知题型时,甚至可以将原问题退化为一个结构类似的简单问题,再反思简单问题的解答思路,从中寻找原问题的思维启示.2 归纳性猜想归纳性猜想,是指运用不完全归纳法,对研究的问题的个例、特例进行观察分析,从中得到有关命题的形式、结论或方法的猜想.例3 (2007年天津21题)在数列{a n}中,a1=2,an+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ> 0.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和S;(Ⅲ)证明存在∈N+,使得+≤+对任意122007年第10期 数学教学研究abc a b c.annnkan1anak1akn 第六图书馆∈N+均成立.分析 本题第(Ⅰ)问可以先分析几个特例:a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,a3=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.由此可归纳猜想出数列{an }的通项公式为an=(n-1)λn+2n.再用数学归纳法证明即可.第(Ⅱ)问略.第(Ⅲ)问见下面探索性猜想.反思 归纳性猜想往往从特例或特殊值出发,通过观察对比,洞察特例的共性特征,猜想一般结论和规律,最后证明猜想的正确性.这样将一道没有明确目标的解答题转化成了方向明确的证明题,如某些递推数列周期的发现.另一方面,通过特值命题解决思路和方法的启发,可寻求原命题的解决思路与方法,如数学归纳法第二步传递性的证明常常能从第一步初始值命题的证明中得到启发.在解题时,如果你不能解决所提出的问题,可先解决“一个与此有关的问题”.你能不能想出一个更容易着手的问题?一个更普遍的问题一个更特殊的问题?你能否解决这个问题的一部分这就是数学家波利亚解题时的“绝招”.3 探索性猜想探索性猜想是指根据已有的知识和结果,经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性猜想.如例3第(Ⅲ)问是2007年天津高考压轴题中最难的一问,较难突破,通过分析,猜想数列an+1 an 的第一项a2a1最大,然后再证明猜想的正确性:an+1 an <a2a1=λ2+42,n≥2.(3)由λ>0知a n>0,要使(3)式成立,只要2an+1<(λ2+4)a n(n≥2).而 (λ2+4)a n=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n >4λ(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2.所以(3)式成立.因此,存在k=1,使得an+1an≤ak+1ak=a2a1对任意n∈N+均成立例 如图,在直三棱柱B2′B′′中,B′⊥′,B′⊥B′,求证△B为等腰三角形 图1分析 此题的难点是确定△A BC的底边,这必须靠猜想:①BC为底边,理由是BC′同时与A′C和A B′垂直;②若加上条件A′C⊥A B′,则△ABC为正三角形;③A′C⊥AB′时,此三棱柱可“旋转”,理由是直三棱柱,且AB′,BC′,CA′具有垂直的轮换性,直觉此三棱柱沿上、下底面(假设的)的中心连线旋转120°时“垂直”重合.通过③肯定②,从而肯定①.由分析可知,猜想为难点找到了突破口,而且得到③以及证明的途径.反思 在解题过程中应该充分利用直觉,洞察题目中已知与未知的连结点,做出猜想、预测,然后论证猜想.开放性命题都需要探索性猜想来引导思维方向,如2007年高考湖南卷解几20题、江苏数列20题,上海卷21题等等都是存在性探索题,首先都是猜想存在,然后再验证猜想即可.4 仿造性猜想仿造性猜想是指依据数学问题的形式“模式”,利用模型构造法做出相应数学规律或方法的猜想.例5 若a,b,c为正数,求证:a2+b2+ b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c).分析1 不等式的左端很容易使用人想到距离或向量的模,联想到向量三角不等式:|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,该不等式专用于研究模的和差与和差的模之间的大小关系,与本题代数不等式结构特征相似,可尝试构造向量m=(a,b),n=(b,c),p=(c,a),则 m+n+p=(a+b+c,a+b+c),a2+b2+b2+c2+c2+a2=|m|+|n|+|p|≥|m+n+p|=2(a+b+c). 图分析2 不等式的左端也很容易使人想到勾股定理,且每式可代表某直角三角形一斜边.于是猜想此题可借用三角形完成,不等式右端使人想到边长为++的正方形的对角线,由此我们构造一边长为++的正方形,并在其中作出直角边长分别22数学教学研究 2007年第10期.41A C A C C A C C A:A C.2a b ca b c 第六图书馆为a,b,c的三角形.如图2,AE=a2+b2,EF=b2+c2,FC=c2+a2,AC=2(a+b+c),由此得AE+EF+FC≥AC,故 a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c),其中等号在A,E,F,C四点共线,即a=b=c时成立.华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微.”通过深入的观察、联想,由数想形,利用代数式的结构特征诱发图形的直观猜想.反思 从数式的结构和特点出发,在所学数学“模式”的基础上进行广泛的联想,构造一个与原命题相关的数学模型,实现问题的转化,从而使原命题得到解决.5 审美性猜想审美性猜想是运用数学美的思想———简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等,对研究的对象或问题的特点,结合已有知识与经验所作出的直觉性猜想.例6 已知x,y,z∈R,且x+2y+3z=6,求证: x2+2y2+3z2≥6.分析 使用均值换元法.令x=1+2+36+α,y=1+2+36+β,z=1+2+36+γ,则α+2β+γ=0,故x2+2y2+3z2=(1+α)2+2(1+β)2+3(1+γ)2=1+2+3+2(α+2β+3γ)+α2+2β2+3γ2=6+0+α2+2β2+3γ2≥6,当α=β=γ=0时取等号.只是根据数学的对称美猜想均值换元,也只是进行了均值换元,一道原本较难的题目,不再需要任何思维就解出来了,这就是数学美的威力!本题还可以使用仿造性猜想:设m=(x,2y,3z),n=(1,2,3),则 |m|2=(x2+(2y)2+(3z)2)2=x2+2y2+3z2,|n|2=(12+(2)2+(3)2)2=6,又已知m·n=x+2y+3z=6,故由|m|2≥(m·n)2ㄧnㄧ2知结论成立.反思 当我们研究数学美时,就能发现其中蕴涵着解题思路,启迪着解题灵感,数学美引导着我们发现问题、提出猜想.当我们解不等式和证明不等式时都猜想着:超越不等式代数化、无理不等式有理化、分式不等式整式化,这是因为数学的简洁美;我们还根据数学的和谐美进行目标消差和条件与结论的相互表达;根据对称美猜想均值换元.根据数学美提出猜想,常能优化解题思路、简化解题过程.在数学解题中,不但要运用逻辑进行分析,而且还应在分析问题结构特征、洞察问题实质的同时,运用数学直觉猜想活跃思维.牛顿说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”至于猜想的实现途径,由以上例题可以看出,它们可能是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等.实施猜想前,请记住“在证明一个数学问题之前,你先得猜想这个问题的内容;在你完全作出详细证明之前,你先得猜想证明的思路”.参考文献[1] [美]G·波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,1984[2] [美]G·波利亚.数学与似真推理[M].福州:福建人民出版社,1985[3] 任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996[4] 胡炯涛.数学教学论[M].南宁:广西教育出版社,1996(收稿日期:2007207209)322007年第10期 数学教学研究第六图书馆。
着眼整体,轻松解题——例谈整体思想在初中数学解题中的应用
一
体思想 ， 将２ ｘ 。 ＋ ３ ６ 作为整体代人所求代数 式进行计算 ， 就 很 容
易求解．
，
分析 ： 注 意 题 目的形 式 特 征 ， 把（ ｘ 一 ｘ ） 看做一个整体 ， 运 用
整 体 换 元设 ｖ ＝ （ ｘ 一 ｘ ） ， 把 原 式 化 为ｙ ５ ｙ ＋ ６ ， 进 一 步 用 十 字 相 乘
２ ｘ ＞ Ｏ， ￣ 进 一 步 得 到ｘ ＝二 ， ｙ ＝ ２， 所 ￣ｘ ｙ ＝ ３ ．
２
例４ ： 如果ａ ￣ － ４ ａ ＋ ｂ ‘ ＋ ６ ｂ ＋ １ ３ ＝ ０ ， 求ａ ＋ ｂ 的值 ． 分析 ： 已知 条 件 给 出 一 个 二 元 二 次 方 程 ， 无 法 通 过 解 方 程 求 得ａ 、 ｂ 的值 ，如 果 对 已知 条 件进 行 全 面观 察 ，注 意 到ａ － ＿ ４ ａ ＋
３ ｘ（ 一 ５） ＋ ８ －＝２ 一 ＝
１ ５ ＋８
７
：
例６ ： 解 方程 ｌ ｘ １
…
一
＝
－
ｘ
２
：ｌ ｘ ＋１
２ ｘ
例２ ： 已知 ＋ 一 １ ３ ． 求 二
的值 ．
分析 ： 如果 先 去 分母 ， 两边 同 乘 以Ｘ ‘ （ ｘ ＋ １ ） ， 方 程变 形 为 一
一
ｘ ＋ ｖ ： ３ ｘ ｙ ， ￣２ １ ｘ － ３ ｘ ｙ ＋ ２ ｙ ２（ ｘ ＋ ｙ ） － ３ ｘ ｙ ： ｘ ｙ ： 三
： —
— 一
．
ｘ ＋ ｘ ｙ ＋ ｙ （ ｘ ＋ ｙ ） ＋ ｘ ｙ ４ ｘ ｙ ４ 二、 着 眼全 局 。 出奇 制胜 着眼全局 ． 就 是 从 全 局上 对 已 知条 件 进 行 观 察 分 析 ， 综 合 考 虑． 从 而 得 出解 决 问题 的途 径 ．
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈高中数学解题思想
射影定理 Ａ ＝ Ｃ ＡＢ Ｍ Ａ ｘ 。设ＩＭ［ ，ＮＩＣ： ２，则 Ａ ＝ Ｘ Ａ Ｉ Ｘ－ａ
Ｘ ＝Ｘ．ａｘ ｒ 方程 Ｘ ２Ｘ ４ｒ０的 一 个根 ， （ ２） ２ 是 Ｌ ｒ＋ ａ ＝ 同理 ＩＮＩ Ａ 也 是方 程 Ｘ ．ｒ ＋ ａ ０的一 个 根 ， ２ Ｘ ４ｒ ２ ＝ 由韦达 定理 ｘ ｘ ２，。 ２ ｒ． ＋ ＝ ．
所示， 要使 ｘ ｌｇｘ的解 为 ０ ｘ÷， ２ ｏ ＜ ＜＜ 只须方程 ｘ＝ｏ ：ｌｇｘ的
解 专 所 （）ｌｍ， 而ｍ寺 为 ， 以专 ｏ专 从 ＝ｇ
二 、 数 与 方程 思 想 函
９８
＠
…
２ ｌ年 第７ 总 第 １５ Ｏ２ 期（ ７ 期）
… … … … … ～ … ●
动 点 Ｃ在 优 弧 Ａ Ｂ上 ， Ｃ 为 圆心 ， 一 圆 与 ＡＢ相 切 ， 以 作 设
在 ｙ ｌｇ Ｘ的上 面， 以 ｘ＜ｏ ＝ｏ 所 ２ ｌｇ ｘ的解 是空 集。
（ ） ０ ｍ＜ ， ＝ Ｘ 和 ｙ ｌ 在 同一 坐 标 系 内如 图 ２ 若 ＜ ｌＹ ＝ｏ ｘ ｇ
思想方法， 为分类思想， 它是近代、 现代数学中的一种重要 的思想方法。 在教学 中， 应教给学生分类 思想， 培养辨证思 维，弓 导他们 由形象分类进入本质分类，使所 学知识系统 ｌ 化、 条理化， 形成一个完整的知识 网络。 数学 问题 的论域往
往 表 现 为 一 个 大集 合 一 全 集。 分类 就 是 将 大 集 合分 为 一 些
杂向简单转化， 也可不 同数学问题之间相互转化， 目的就是 将 问题的条件转化为 问题的结论。 转化思想 就是使一种研
究对象在 一定条件转化为另一种研究对象的方法， 她是解 决数学 问题的一种重要思维方法， 要顺利实现转化， 就离不 开对基本技能的熟练掌握。 例 ３ 如图， ０的半径为 ５ 弦 Ａ ： 圆 ， Ｂ所对的圆心角为 ，
例谈整体思想在数学解题中的应用
例谈整体思想在数学解题中的应用打开文本图片集“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念.整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.例1已知函数f（某）=某2+2a某+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.另解：设f（某）的两个零点为某1，某2∈[1，2]，则f（某）=某2+2a某+b=（某-某1）（某-某2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令某=，则+a+b=f（）=-某1-某2，即a+b=某1-·某2--.由于某1，某2∈[1，2]，即知某1-某2-∈[，]，所以0≤a+b≤2.评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁.此题还可以作如下的变式：已知函数f（某）=某3+2a某+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2022年浙江省高中数学竞赛第19题：设二次函数f（某）=a某2+（2b+1）某-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.解：由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于某的方程某4+a某3+2某2+b某+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.此题留给读者思考.一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.例2ma某{某3+2某+t，某≤1}=.一般性解法：设f（某）=某3+2某+t，某≤1，再对f（某）求导，求出f（某）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.另解：注意到y=某3+2某在某≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求ma某{某3+2某+t，某≤1}，只要求ma某{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：ma某{y+t，y≤3}=t+3.评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知ma某{某2-2某-t，0≤某≤3}=2，则t=.同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.例3已知e为自然对数的底数，设函数f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2），则A.当k=1时，f（某）在某=1处取到极小值B.当k=1时，f（某）在某=1处取到极大值C.当k=2时，f（某）在某=1处取到极小值D.当k=2时，f（某）在某=1处取到极大值一般性解法：学生往往不假思索，先对f（某）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2）所决定的.评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（某）=（某-a）2（某+b）ek，b∈R，某=a是f（某）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.另一背景即2022年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（某）=某（某-1）2（某-2）3（某-3）4，则函数y=f（某）的极大值点为（）A.某=0B.某=1C.某=2D.某=3上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.例4已知a>0，b∈R，函数f（某）=4a某3-2b某-a+b.（1）证明：当0≤某≤1时，①函数f（某）的最大值为2a-b+a；②f（某）+2a-b+a≥0.（2）略.一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（某）=4a某3-2b某-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.另解：①证明：由于f"（某）=24a某>0，故由函数的凹凸性知：f （某）ma某=ma某{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.②由题意，函数f（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（某）d某=0.设折线A-C-B对应的函数为g（某），由于函数f（某）在[0，1]上为凹函数，故某∈[0，1]时，g（某）≥f（某）.于是，g（某）d某≥f（某）d某=0，即知g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（某）ma某≥f（某）min.若不然，即f（某）ma某S△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：g（某）d某=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（某）d某≥f（某）d某=0矛盾.因此，由f（某）ma某≥f（某）min，知f（某）+2a-b+a≥f（某）min+f（某）ma某≥f（某）min+f（某）min≥0.评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（某）ma某≥f（某）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和命制的意义所在.杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.。
例谈整体思想在数学解题中应用[论文]
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例谈整体思想在数学解题中的应用摘要：整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体上把握全局，注重问题的整体结构和特征，分析条件和结论的联系，从而使问题得以解决，常能化繁为简，变难为易，使解题过程显得简洁明快。
关键词：数学思想整体思想数学是一门具有严密逻辑性的基础学科，随着人类的进步和科学的发展，人们对数学的严密性和逻辑性有了更高的要求，因此，数学教师从教学的一开始就要有意识地培养学生的数学思维品质，有意识地贯穿数学思想方法，激发学生的创新思维和寻求新知识新方法的欲望，使学生把握一些解题的规律和方法，这样把学生从各种纷繁复杂的题型中解脱出来，使他们从中得到一些乐趣，在乐中求新，在新中获得更大的收益，其中整体思想是一种经常用到的数学解题的思想方法。
整体思想作为一种重要的思想方法，它在中学数学的各个方面都有广泛的应用。
学生若能灵活运用整体思想，常常能化繁为简，变难为易，提高解题的准确性和灵活性。
整体思想，就是在处理与解决问题时，胸怀整体的全局，暂时忽略或模糊问题的某些局部，注重问题的整体结构和整体特征，从整体上把握解决问题的方向，从整体上分析条件和结论的联系，并作出决策。
对于有一些数学问题，我们如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能化零为整，化分散为集中，使解题过程显得简洁明快，体现和谐美和数学美。
下面我们通过具体实例来探究整体思想在解题中的应用。
一、在求函数值中的应用例：已知函数f（x）=x3+x+sinx+2，且f（-2）=8则：f（2）=（）a.10b.6c.-4d.8解析：由于y=x3，y=x，y=sinx都是奇函数，所以将x3+x+sinx 看作一个整体，故设g（x）=x3+x+sinx，（此函数为奇函数）所以f（x）=g（x）+2∵f（-2）=8 ∴f（-2）=g（-2）+2∴g（2）=-6∴f（2）=g（2）+2=-4，故选c。
二、在函数单调性中的应用例：求函数y=（x2+5）/（x2+4）1/2的最值。
例谈数学思想在解题中的应用
、
用 分类 讨 论 思 想 巧 妙 解 题
当被 研 究 的 问题 包 含 多 种 可 能 情 况 ， 能 一 概 而 论 时 ， 不
行 四边 形 ， 以 ＡＤ＝ Ｃ， 所 Ｅ ＡＥ＝ Ｂ Ｃ Ｄ． 因 为 ＡＢ＝ Ｄ＝ ＡＤ＝ 。 Ｃ ７． ５
握 一 定 的 数 学 思 想 与方 法 ， 解 、 握 基 本 的数 学 知 识 及 技 理 掌 能提 到并 重 的 位 置 。那 么 初 中数 学 教 学 中 常 用 到 哪 些 数 学
思想 方 法 呢？ 现 举 例 说 明 ：
一
数。
Ａ
Ｄ
析解 ：过 Ａ点作 Ａ ∥ Ｅ Ｄ 交 Ｂ Ｃ， Ｃ于 Ｅ， 因为 Ａ Ｄ∥
析解 ： 由两 实 数 ａ ｂ在 数 轴 上 的位 置 可 知 、
所 以 ａ ｂ Ｏ．— ＞ ＋ ＜ ｂ ａ０
例 ２ 某 商 场 销 售 一 批 名 牌 衬 衫 ，平 均 每 天 可售 出 ２ ０
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ ０ Ｈ Ｎ Ｄ
实 践 平 台
例谈数掌思想 在解题 中的 应 用
文 ／ 庆 思 吴
评 注 ： 审题 时 不 仅要 找 到 隐 含 的 相 等 关 系 ， 出方 程 ， 在 列 还 要 抓 住 “ 快 减 少 库 存 ” 样 的 要 求 ， 能 对 所 得 的 方 程 尽 这 才 的解 进 行 合 理 的取 舍 。
Ｅ
Ｃ
必 须 按 可 能 出现 的所 有 情 况 来 分 别 讨 论 ， 得 出 各 种 相 应 的
结 论 ． 种处 理 问 题 的 思 想 方 法 称 为分 类 思 想 。 这
Ｂ Ｃ＝１ 所 以 Ｂ Ｂ Ｃ ２， Ｅ＝ Ｃ— Ｅ＝１ — ＝ ＡＥ＝ Ｄ： ２ ５ ７， Ｃ ＡＢ＝ ７． 所 以
例谈初中数学思想方法的教学7篇
例谈初中数学思想方法的教学7篇第1篇示例：初中数学思想方法的教学是提高学生数学学习能力和解决问题能力的重要环节。
数学思想方法的培养是数学教学中的一项重要任务，它不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够激发学生的学习兴趣和动手能力，培养学生的解决问题的能力。
教师在初中数学教学中应注重培养学生的数学思想方法，提高他们的数学素养。
一、提倡启发式教学方法启发式教学方法是培养学生数学思想方法的有效手段之一。
教师可以通过引导学生思考和提出问题的方式，激发学生的求知欲和好奇心，促使学生主动探究和发现数学规律。
教师可以给学生一道有趣的问题，让学生通过分析和推理找出解决问题的方法，这样可以激发学生的兴趣，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。
二、注重实践教学方法实践教学方法是培养学生数学思想方法的重要途径之一。
通过数学实践，学生可以将抽象的数学知识与实际生活联系起来，理解数学的应用价值，从而加深对知识的记忆和理解。
教师可以设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生在解决问题中体会数学的魅力，培养他们的动手能力和实践能力。
三、鼓励合作学习方法合作学习是培养学生数学思想方法的有效途径之一。
通过合作学习，学生可以相互交流、讨论，共同解决问题，从而提高解决问题的效率和质量。
教师可以组织学生分组讨论、合作完成任务，引导学生相互合作、互帮互助，培养学生的团队合作精神和沟通协作能力。
四、激发创新思维能力第2篇示例：初中数学作为学生数学学科的启蒙阶段，数学思想方法的教学显得尤为重要。
正确的数学思想方法不仅影响到学生对数学的学习态度和兴趣，还直接影响到数学学科的学习效果。
教师们在进行初中数学教学时，需要注重培养学生的数学思想方法，激发学生学习数学的兴趣和潜能。
初中数学教学要注重启发性教学。
数学是一门反映客观规律的抽象科学，因此教学应注重培养学生的逻辑思维和数学思维能力。
在教学过程中，教师应引导学生通过具体问题认识抽象概念，通过实际情境应用抽象理论。