亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
1.5亥姆霍兹定理
在角坐标系下： 在角坐标系下：
∇ A = ex∇ Ax + e y ∇ Ay + ez ∇ Az
2 2 2 2
三、亥姆霍兹定理 表述一： 表述一： 由其散度、 在空间有限区域 τ 内的矢量场 A(r ) ，由其散度、旋度 和边界条件唯一确定。 和边界条件唯一确定。 表述二： 表述二： 内有定义的有界、连续矢量函数， 在曲面 S 所围空间 τ 内有定义的有界、连续矢量函数， 可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和， 可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和，即
F = ∇ϕ + ∇ × A
ϕ
A
称为 F 的标量位 称为 F 的矢量位
∇⋅F =ห้องสมุดไป่ตู้0
二、拉普拉斯运算 1、标量拉普拉斯运算
F = ∇× A
的矢量位。 A 称为矢量场 F 的矢量位。
∇ ⋅ ∇u = ∇ u
2
在直角坐标系中的表示
∂u ∂u ∂u ∇ u= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
在圆柱坐标系中的表示
∂u 1 ∂ 2u ∂ 2 Az 1 ∂ 2 + ρ ∇ u= ∂ρ ρ ∂φ 2 + ∂z 2 ρ ∂ρ
在球坐标系中的表示
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂u ∇ u= 2 r + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ 2
2
2、矢量拉普拉斯运算
∇ A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × (∇ × A)
2
∇× A = 0
2、零恒等式Ⅱ 零恒等式Ⅱ
A = −∇u
5.1 亥姆霍兹方程
第五章贝塞尔方程5.1 亥姆霍兹方程),,(z y x rθϕρxyzzh柱坐标,,z ρϕ一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程直角坐标系中的拉普拉斯算子：222222zz x ∂∂+∂∂+∂∂=∆柱座标：)(1)(1222zz ∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∆ϕρρρρρ)()()(),,(z Z R z u ϕρϕρΦ=0))(22222=Φ+Φ+ΦdzZd R d d RZ d dR d d Z ϕρρρρρ022=Φ+Φλϕd d λρρρρρ=++222222dzZd Z d dR R d R d R 分离变量a.,2,1,02==m mλϕϕϕm B m A m m sin cos )(+=Φ),,(z y x rθϕρxyzzhμρρρρ-=-=-+222222111dzZd Z m d dR R d R d R b.''=-Z Z μ0)(12222=-++R m d dR d R d ρμρρρc1.=μDzC Z +=mmBA ρρ=+''0Z =222210d R dR mR d d ρρρρ+-=22220d R dR m R d d ρρρρ+-=2()0d dR m R d d ρρρρ-=2220(ln )d R m R d ρ-=ln ln m m R AeBeρρ-=+c2.≠μc2.1.>μzzDeCeZ μμ-+=ρμ=x 0)1(1])(1[122222222=-++=-++R xm dx dR x dx R d R m d dR d R d ρμρρρμ贝塞耳方程上下底的非齐次边界条件0)(12222=-++R m d dR d R d ρμρρρ0''=-Z Z μ),,(z y x rθϕρxyzzh<μc2.2.ρh x =)sin()cos(hz D hz C Z +=μ-=2h 0)1(12222=+-+R xmdx dR x dx R d 虚宗量贝塞耳方程上下底的齐次边界条件''=-Z Z μ2''0Z h Z +=222221()0d R dR m h R d d ρρρρ++--=),,(z y x rθϕρxyzzh波动方程的分离变量02=∆-u a u tt a.令)()(),(r v t T t r u =0''2=∆-v T a v T 0''2=∆-vvT a T 22''k vv T a T -=∆=0''22=+T k a T 02=+∆v k v 振动方程亥姆霍兹方程热传导方程的分离变量02=∆-u a u t a.令)()(),(r v t T t r u =0'2=∆-v T a v T 0'2=∆-vv T a T 0'22=+T k a T 02=+∆v k v 亥姆霍兹方程增长或衰变的方程亥姆霍兹方程1. 球坐标0sin 1)(sin sin 1)(122222222=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂v k v r v r r v r r r ϕθθθθθ),()(),,(ϕθϕθY r R r v =0sin )(sin sin )(22222222=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂RY k Y r R Y r R r R r r r Y ϕθθθθθ0)1(sin 1)(sin sin 1222=++∂∂+∂∂∂∂Y l l YY ϕθθθθθ0)]1([)(222=+-+R l l r k drdR r dr d 球贝塞耳方程krx =0)]1([)(22=+-+R l l x dxdR x dx d ),,(z y x rθϕρxyzz0)]1(['''412/122/32/12/1=+-+++---y x l l x y x y x y x )()(2/1x y xr R -='21'2/12/3y x y x R --+-='''41]''21[]''[2/32/12/12/32/12y x y x y x y x y x R x ++-=+-=-0)]1(['''412212=+-+++----y x l l x y y x y x 0])21(['''222=+-++y l x xy y x 它是阶贝塞耳方程21+l 0)]1([)(22=+-+R l l x dxdR x dx d2. 柱坐标0)(1)(12222=+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂v k zv z v v ϕρρρρρ)()()(),,(z Z R z v ϕρϕρΦ=022=Φ+Φλϕd d 0''=-Z Z μ0)(122222=-+++R mk d dR d R d ρμρρρ,2,1,02==m m λϕϕϕm B m A m m sin cos )(+=Φ上下底的齐次边界条件0<μρ22h k x -=)sin()cos(hz D hz C Z +=μ-=2h 0)(1222222=--++R m h k d dR d Rd ρρρρ0)1(12222=-++R x m dx dR x dx R d ),,(z y x r θϕρx yz zh。
齐次亥姆霍兹方程
齐次亥姆霍兹方程是一种常见的偏微分方程，它在数学和物理领域中被广泛应用。
本文将详细介绍齐次亥姆霍兹方程的定义、特性及其在实际问题中的应用。
定义与特性齐次亥姆霍兹方程属于二阶线性偏微分方程，可以用以下形式表示：△ u +k^2 u = 0 其中，△表示Laplace算子，u是待求函数，k是一个常数。
该方程常常用于描述波动现象和振荡现象，在电磁学、声学和量子力学等领域中有广泛应用。
齐次亥姆霍兹方程的一个重要特点是它是一个线性方程，因此满足叠加原理。
也就是说，如果u₁(x, y, z)和u₂(x, y, z)是方程的两个解，那么对于任意常数a和b，线性组合au₁(x, y, z) + bu₂(x, y, z)也是方程的解。
这使得齐次亥姆霍兹方程求解具有一定的灵活性。
求解方法齐次亥姆霍兹方程的求解方法多种多样，常见的方法有分离变量法、傅里叶变换法和格林函数法。
1.分离变量法：假设u(x, y, z)可以表示为形式为X(x)Y(y)Z(z)的函数乘积，将此形式的解代入方程中，通过对三个独立变量的分别求解得到X(x)、Y(y)和Z(z)的表达式，从而得到u(x, y, z)的解。
2.傅里叶变换法：将方程进行傅里叶变换，通过傅里叶分析的方法将微分方程转换成代数方程，然后求解代数方程得到u(x, y, z)的表达式，再进行逆傅里叶变换获得原方程的解。
3.格林函数法：引入格林函数，通过格林函数的性质和齐次亥姆霍兹方程的边界条件，构建积分方程，进而求解得到u(x, y, z)的表达式。
这些方法各有特点，选择何种方法求解要根据具体问题和边界条件来决定。
应用领域齐次亥姆霍兹方程的应用广泛，在电磁学、声学和量子力学等领域都有重要的应用。
1.电磁学中的齐次亥姆霍兹方程用于描述电磁波在无源介质中的传播。
通过解齐次亥姆霍兹方程，可以求解电磁波的传播特性，如频率、波长、传播速度等，并且可以得到电磁波的传播模式。
2.声学中的齐次亥姆霍兹方程用于描述声波在均匀介质中的传播。
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解亥姆霍兹方程是物理学和工程学中常见的偏微分方程，描述了波动现象的行为。
在不同的坐标系下，亥姆霍兹方程的展开形式和部分解会有所不同。
本文将介绍亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解，并对其在物理学和工程学中的应用进行简要探讨。
1. 直角坐标系在直角坐标系下，亥姆霍兹方程的展开形式为：\[ \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 \]\( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子，\( k^2 \) 是波数。
亥姆霍兹方程描述了自由波在无散无旋场中的传播情况，是波动方程的一种特例。
在直角坐标系下，亥姆霍兹方程的部分解可以通过分离变量的方法来得到。
假设解为：\[ \psi(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) \]将其代入亥姆霍兹方程，可以得到三个单独的常微分方程，分别是：\[ \frac{d^2X}{dx^2} + k_x^2X = 0 \]\[ \frac{d^2Y}{dy^2} + k_y^2Y = 0 \]\[ \frac{d^2Z}{dz^2} + k_z^2Z = 0 \]\( k_x^2, k_y^2, k_z^2 \) 分别是在 x, y, z 方向上的波数。
\[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial\psi}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \theta^2} + k^2 \psi = 0 \]\[ \psi(r, \theta) = R(r)\Theta(\theta) \]R(r) 和Θ(θ) 分别是 r 和θ 的函数。
5. 圆柱体坐标系R(ρ), Φ(φ), Z(z) 分别是ρ, φ, z 的函数，λ(ρ) 是与ρ相关的函数。
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
目前常用的正交坐标系有十一种，它们分别是直 角坐标系、柱坐标系、球坐标系、椭圆柱坐标系、抛物线 柱坐标系、锥面坐标系、旋转长椭球坐标系、旋转扁椭 球坐标系、旋转抛物面坐标系、双球面坐标系、环面坐 标系。 2.1 直角坐标系
直角坐标系，方程展开形式和方程解：
（2-1）
其中
为任意值且 ，A 与给定条件有关。
带勒让多项式之和 。 [1]
2.8 旋转抛物面坐标系
旋转旋转抛物面坐标系，方程形式和方程解：
（2-8）
其的解。二阶常微分方程解可
用数值法进行求解。
2.9 双球面坐标系
双球面坐标系，方程形式：
其中， 是双球面参数，
。
（2-5）
2.10 环面坐标系
其中
分别是常微分方程
推广与实践
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的 展开形式和部分解
李 博 方勃懿 (哈尔滨工程大学 150001) 【摘 要】亥姆霍兹方程是一类椭圆偏微分方程，该方程用来表示电磁波规律和性质。本文通过 使用分离变量方法求解了亥姆霍兹方程在不同坐标系的展开形式和部分解析解。 【关键词】偏微分方程；亥姆霍兹方程；分离变量法
环面坐标系，方程形式：
和
的解。
为任意值，A 与给
定条件有关，二阶常微分方程解可用数值法进行求解。
2.6 锥面坐标系
锥面坐标系，方程形式和方程解：
其中
分别是
（2-6）
和
和
的解。cn(u)
为雅式椭圆函数，α，β为圆锥参数，A 与给定条件有
关，kt, kr为任意值，二阶常微分方程解可用数值法进行
求解。
2.7 旋转长椭球和扁椭球坐标系
Solution and extensive form of Helmholtz equation in eleven orthogonal coordinates
称为亥姆霍兹方程课件
01
02
03
量子波动
在量子力学中，亥姆霍兹 方程可以用于描述微观粒 子的波动性质，如波函数 、概率幅等。
量子谐振子
在量子力学中，亥姆霍兹 方程用于描述量子谐振子 的运动规律，如能级、辐 射等。
量子散射
在量子散射理论中，亥姆 霍兹方程用于研究粒子与 障碍物相互作用时的散射 规律。
PART 06
总结与展望
稳定性解
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解是稳定的，这意味着当系统受到微小扰动时，解能够 恢复到原始状态或接近原始状态。稳定性解通常与系统的长期行为和平衡状态有关。
稳定性解的意义
稳定性解对于理解系统的长期行为和稳定性至关重要。在物理学和工程学中，稳定性解 可以用于描述系统的平衡状态和稳定性条件，对于控制和设计系统具有重要的实际意义
对未来研究的展望
探索更复杂的应用场景
深入研究方程解的性质
随着科技的发展，我们需要将亥姆霍兹方 程应用到更复杂的场景中，如非线性波动 、多介质波动等。
目前对于亥姆霍兹方程解的性质研究还不 够深入，未来可以进一步研究解的稳定性 、分岔行为等。
发展数值模拟和计算方法
加强与其他学科的交叉研究
随着计算机技术的发展，我们可以发展更 加高效、精确的数值模拟和计算方法，以 更好地解决实际问题。
当时，科学家们开始研究波动 现象的本质和传播规律，特别 是在流体介质中。
亥姆霍兹方程的提出为解决这 些问题提供了一个数学框架， 并成为了流体力学和声学领域 的基础。
亥姆霍兹方程的应用领域
亥姆霍兹方程在许多科学和工程领域 都有应用，包括物理、化学、生物医
学、地球科学和工程学科等。
在物理中，它可以用于描述电磁波、 引力波等波动现象。
吉布斯-亥姆霍兹方程
吉布斯—亥姆霍兹方程
• 亥姆霍兹（1821—1894）德国物理学家
• 简介：中学毕业后在军队服役8年，取得公费进入 柏林医学科学院。1842年获医学博士学位后，被 任命波茨坦驻军军医。1847年他在德国物理学会 发表了关于力的守恒讲演，在科学界赢得很大的 声望，次年担任了柯尼斯堡大学生理学副教授。 1868年亥姆霍兹研究转向物理学，并于1871年任 柏林大学物理学教授。他从克劳修斯的方程，导 出了后来称作吉布斯---亥姆霍兹方程
毕业于耶鲁大学，并成为耶鲁工程学院的研究生，1863年 取得美国首批博士学位，留校教授拉丁文和自然哲学。 1866-1869去欧洲进修，就学于Ｈ．Ｖｏｎ亥姆霍兹等， 他是美国学院、美国艺术和科学研究院以及欧洲１４个科 学机构的院士或通信院士，并接受一些荣誉学衔和奖章。 他于１８７６年和１８７８年先后在康涅狄格科学院学报 上发表了奠定化学热力学基础的经典之作《论非均相物体 的平衡》的第一、二部分。这一长达三百余页的论文被认 为是化学史上最重要的论文之一，其中提出了吉布斯自由 能，化学势等概念，阐明了化学平衡、相平衡、表面吸附 等现象的本质。
.
吉布斯—亥姆霍兹方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 知道一个温度下的△rGm • 求其他温度下的△rGm？ • 求助于Ｇｉｂｂｓ－Ｈｅｌｍｈ
ｏｌｚ公式
.
.
.
吉布斯—亥姆霍兹方程
• 耶鲁大学（Yale University）,旧译“耶劳大书院”，是一 所坐落于美国康涅狄格州纽黑文市的私立大学，创于1701 年，初名“大学学院”（Collegiate School）。耶鲁大学 是美国历史上建立的第三所大学， 世界大学排名，仅次 于剑桥大学和哈佛大学。
.
该式是由吉布斯（Gibbs）和亥姆霍兹（Helmholtz） 各自独立证明的，故此式叫吉布斯—亥姆霍兹 （Gibbs--- Helmholtz）公式。
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解亥姆霍兹方程是物理学和工程学中常见的偏微分方程之一，它描述了许多波动现象，包括电磁波和声波。
在许多情况下，亥姆霍兹方程的解可以使用正交函数展开来表示。
本文将介绍在十一种坐标系下，亥姆霍兹方程的正交函数展开和部分解。
1. 直角坐标系在直角坐标系中，亥姆霍兹方程为：$\Delta u + k^2u = 0$其中$\Delta$是拉普拉斯算符，$k$是波数。
解的正交函数展开形式为：$u(x,y,z)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty\sum_{p=0}^\inftyA_{mnp}sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right)sin\left(\frac{n\piy}{b}\right)sin\left(\frac{p\pi z}{c}\right)$其中，$a,b,c$是坐标系的尺寸，$A_{mnp}$是常数。
这个展开式称为三维傅里叶级数展开。
$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partialu}{\partialr}\right)+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(sin\theta \frac{\partialu}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\ phi^2}+k^2u=0$其中，$j_l(\alpha_{ln}r)$是第$l$阶球贝塞尔函数，$Y_l^m(\theta,\phi)$是球谐函数，$a_{lmn}$和$\alpha_{ln}$是常数，$\gamma$是相位。
这个展开式称为三维球坐标系的傅里叶级数展开。
4. 半圆柱坐标系其中，$r,\theta,\phi$是椭球坐标系的三个坐标，$a$是椭球的主半轴长度，$k$是波数。
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亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
亥姆霍兹方程是一种重要的偏微分方程，它描述了波动问题和热传导问题的数学模型。
在一些特定的情况下，亥姆霍兹方程可以在一些正交坐标系下得到简化。
正交坐标系是指坐标系中的坐标轴两两垂直，并且在任意一个点上，两个坐标轴上的
偏导数为零。
在三维空间中，常见的正交坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系等。
∇^2φ(x,y,z)+k^2φ(x,y,z)=0
其中∇^2是拉普拉斯算子，k是波数，φ是待求函数。
在直角坐标系下，亥姆霍兹方程的部分解包括平面波解、球面波解和柱面波解等。
平面波解是指波动方程的解在无穷远处可以表示为平面波的形式。
在直角坐标系下，
平面波解可以表示为：
其中A是常数，k是波矢向量，r是位置向量。
φ(x,y,z)=Bjl(kr)
其中C是常数，Jm是第m阶的贝塞尔函数，k是波数，ρ是径向坐标，θ是极角。
除了直角坐标系，亥姆霍兹方程在柱坐标系和球坐标系下也可以得到简化的形式。
1/ρ*(∂/∂ρ(ρ∂φ/∂ρ))+1/ρ^2*(∂^2φ/∂θ^2)+∂^2φ/∂z^2+k^2φ(ρ,θ,z)=0
正交坐标系下的亥姆霍兹方程的展开形式和部分解的求解对于求解波动问题和热传导
问题非常重要，它们在科学与工程的研究中有着广泛的应用。