时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程
第17讲 时变电磁场(2)..
矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。 瞬时矢量
理想介质
t
t
Hale Waihona Puke 复矢量2 2 E k E 0 2 2 H k H 0
2 2 E E 2 0 t 2 2 H H 0 2t
(k )
E0 H 0 cos 2 t (r )
使用二次式时需要注意的问题
二次式只有实数的形式，没有复数形式
场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即“ 先取实后相
乘”
如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子
瞬时电磁场能流密度
S(r,t) E(r, t ) H (r, t )
故电场的复矢量为
E ( z) ex [0.03e j / 2 0.04e j / 3 ]e jkz
E ( z) ex [0.03e
H ( z) 1 j 0 E ( z) ey
j / 2
0.04e
j / 3
]e
jkz
（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
例 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式
E ( z, t ) ex Exm cos(t kz x ) ey E ym sin(t kz y )
解：由于
E ( z, t ) ex Exm cos( t kz x ) ey E ym cos(t kz y ) 2
H J jD E jB D B 0
～ t
j
略去“.”和下标m
时谐电磁场
磁铁 S
运动
N 静 止 线圈
＋ －
i
图4 - 1 由磁通量增加产生的感应电动势与电流
＋
K
U －
＋ －
线圈2
线圈1
图4 - 2 接通线圈1的开关K时，在线圈2中的与穿过曲 面S和回路C交链的磁通Ψ的正向成右手 螺旋关系。 时变磁通可通过在线圈附近
移动磁铁来产生， 如图4-1所示， 或者 由打开或接通另一个线圈的电路来建立，
如图4-2所示。
❖
2章知道， 在导体内维持电
流 以必用须导在体导内体 的 内 感 存 应C 在 电Ei非 场n 保 （dl 守非场库，仑电我场们）可
来定义感应电动势
❖
如果空间中同时存在由静止电荷
产生的保守电场Ec， 则总电场E=Ein+Ec， 因此电场沿闭合路径的积分为
C E dl C (Ein Ec ) dl C Ein dl
第4章 时谐电磁场与电磁波
❖ 4.1 法拉第电磁感应定律 ❖ 4.2 位移电流 ❖ 4.3 麦克斯韦方程及边界条件 ❖ 4.4 坡印廷定理与坡印廷矢量 ❖ 4.5 时谐电磁场 ❖ 4.6 平面电磁波 ❖ 4.7 电磁波的极化 ❖ 4.8 电磁波的色散与群速 ❖ 4.9 均匀平面电磁波对平面边
界的垂直入射
利用式
1 R
aR R2
，式
B(r) 0 4 V
J (r) aR R2
dV
又可以写为
B(r) 0
4
V
J
(r)
1 R
dV
应用恒等式
▽ ×(ψA)=▽ ψ×A+ψ▽ ×A
同时注意到▽ 是对场点作用的算子， 故 ▽ ×J(r′)=0， 磁通密度可以表达如下
电磁场与电磁波1-6章公式总结.
三种坐标下的位矢表示：直角坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：标量的梯度：矢量的散度：矢量的旋度：散度定理：斯托克斯定理：拉普拉斯运算符：标量拉普拉斯运算：矢量拉普拉斯运算：电流的连续性方程：，恒定电流场：（要电流不随时间变化，即要电荷在空间分布不随时间变化）电场强度：高斯定理：电场性质：磁感应强度：安培环路定理：磁场性质：媒质的传导特性：（表示电荷的运动速度）法拉第电磁感应定律：麦克斯韦方程组与磁场的边界条件：静电场和恒定磁场的基本方程和边界条件如上可查（电场与磁场不相互影响，故有略去项）电位函数：微分方程：边界方程：系统电容：1取适合坐标；2设带等量相反电荷；3求出电场；4求出电位差；5计算荷差比。
静电场的能量：能量密度：矢量磁位：，微分方程：边界方程：标量位矢：微分方程：边界方程：系统电感：恒定磁场的能量：能量密度：恒定电场分析：本构以，电荷密度对恒定电场无影响可以置零。
对比电容与漏电导：唯一性定理：在场域的边界面上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域内具有唯一解。
镜像法遵循的原则：1所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间中；2镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定。
波动方程：达朗贝尔方程（依洛仑兹规范）：洛仑兹规范：库仑规范：电磁能量守恒：（坡印廷定理）时谐电磁场的复数表示：复矢量的麦克斯韦方程：，，，亥姆霍兹方程（波动方程的复数化）：，，时谐场的位函数：洛仑兹条件变为达朗贝尔方程变为平均能流密度：平均电、磁场能量密度：理想介质中的均匀平面波函数：，第一项为方向，第二项为方向理想介质中的均匀平面波的传播特点：沿任意方向传播的均匀平面波：合成波的极化形式取决于和分量的振幅和相位之间的关系：有：，直线极化波：或圆极化波：电场的和分量的振幅相等；，左旋极化波；，右旋极化波椭圆极化波：振幅和相位都不等，最简单而形成。
均匀平面波在导电媒质中的传播（）：，称为衰减常数，称为相位常数（与波数相近），速度变为平均坡印廷矢量：弱导电媒质中的均匀平面波：，，良导体中的均匀平面波：趋肤深度群速与相速的关系：①，无色散；②，正常色散；③，反色散均匀平面波对分界面的垂直入射：定义：反射系数，透射系数且有关系：对理想导体平面的垂直入射：媒质1为理想介质，媒质2为理想导体，得，故有，对理想介质分界面的垂直入射：媒质1与2均为理想介质，，得，，故有，均匀平面波对多层介质分界面的垂直入射：自右起，算出第2个分界面右边的等效阻抗，连续计算至自左起的第1个分界面右边。
亥姆霍兹方程推导
亥姆霍兹方程与波动场中的其他物理量，如速度、加速度、位移等密切相关。 通过该方程，可以建立这些物理量之间的联系，为波动现象的研究提供方便。
推导亥姆霍兹方程的目的
揭示波动现象的本质
通过推导亥姆霍兹方程，可以深入了解波动现象的本质和规律，掌握波动场的基 本性质和传播特点。
为实际应用提供理论支持
亥姆霍兹方程的解的性质
解的存在性和唯一性
在一定的边界条件和初始条件下，亥姆霍兹方程存在唯一 解。解的存在性和唯一性可以通过数学方法如分离变量法、 格林函数法等来证明。
解的振荡性质
亥姆霍兹方程的解具有振荡性质，即解在空间中呈现周期 性的变化。这种振荡性质与波的传播和干涉现象密切相关。
解的衰减性质
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解会随着距离的增加而逐 渐衰减。这种衰减性质与波的扩散和衰减现象有关。
将亥姆霍兹方程转化为等价的变分问题，即 求泛函的极值问题。
网格剖分
将求解区域剖分为有限个单元，每个单元内的 解用形函数近似表示。
单元分析
对每个单元进行分析，建立单元刚度矩阵和荷载 向量。
总体合成
将所有单元的刚度矩阵和荷载向量按照一定规则合 成总体刚度矩阵和荷载向量。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对总体刚度矩阵和荷载向 量进行修正。
进而研究热传导的规律。
05
数值方法求解亥姆霍兹方程
有限差分法
差分格式
将亥姆霍兹方程中的微分项用差分格式近似，从 而将偏微分方程转化为代数方程。
网格划分
在求解区域上划分网格，将连续的空间离散化， 便于计算机处理。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对差分方程进行修正，以 保证解的正确性。
亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍亥姆霍兹兹的名字命名。
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。
因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。
如：电磁场中的▽^2 E+k^2 E=0，▽^2 H+k^2 H=0，称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
其中：k^2=μω^2(ε-jσ/ω) 为波数，当忽略位移电流时，k^2=μεω^2；以上^2为平方。
相关书籍数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。
式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。
当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。
在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。
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电磁场与电磁波基础知识总结
电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数 A ∙B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++le e e d x y z矢量面元=++Se e e x y z d dxdy dzdx dxdy体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ体积元dz d d dVϕρρ=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系 矢量线元d l = e r d r e θr d θ+e ϕr sin θd ϕ矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ体积元ϕθθd drd r dVsin 2=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A SSd Φ0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γmaxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x z A A A x y z11()z A A A z ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕxy z∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y zA A A 1zzzA A A ρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A 21sin sin r r zr r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SVd dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u ll 0cos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P u u u ulx y zαβγcos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u u u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场()0∇⨯∇=u -u =∇F 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zyyyx x x z z z x y zu u uu A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第二章一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：001d ==VqdV ρεε⋅⎰⎰SE S （高斯定理） d 0⋅=⎰l E l 0∇⋅=E ρε0∇⨯=E 场与位：3'1'()(')'4'V dV ρπε-=-⎰r r E r r r r ϕ=-∇E 01()()d 4πV V ρϕε''='-⎰r r |r r |介质中：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ0∇⨯=E极化：0=+D E P εe 00(1)=+==D E E E r χεεεε==⋅P e PS n n P ρ=-∇⋅P P ρ2. 恒定电场 电荷守恒定律：⎰⎰-=-=⋅Vsdv dtd dt dq ds J ρ0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流与运流电流：=J E σρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0⋅=⎰J l l 0∇⋅=J 0∇⨯J =3. 恒定磁场 真空中：0 d ⋅=⎰B l lI μ（安培环路定理） d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ0∇⋅=B场与位：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ=∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μm 00(1)=+B H =H =H r χμμμμm =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律() d d in lC dv B dl dt ⋅=-⋅⨯⋅⎰⎰⎰SE l B S +）（法拉第电磁感应定律∂∇⨯=-∂B E t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S lSt∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流：d=DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S lS l SS V Sl tl t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J BE D B t t ρ()()()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m eme e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H DB H J E J D B D B t t&tt ρρm e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B t t ρρ 三、边界条件1. 一般形式12121212()0()()()0n n S n Sn σρ⨯-=⨯-=→∞⋅-=⋅-=（）e E E e H H J e D D e B B2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n S n S n ρ12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第三章一、静电场分析 1. 位函数方程与边界条件 位函数方程：220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qCφ两导体间的电容：=C q /U 任意双导体系统电容求解方法：3. 静电场的能量N 个导体：112ne i i i W q φ==∑连续分布：12e VW dV φρ=⎰电场能量密度：12ω=⋅D E e二、恒定电场分析1.位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E lE l J S E SSSU R G I d d σ（L R =σS ） 4.静电比拟法：G C —，σε—2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析 2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇=211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A lSlL IIIψ0=+i L L L3. 恒定磁场的能量N 个线圈：112==∑Nmj j j W I ψ连续分布：m 1d 2=⋅⎰A J V W V 磁场能量密度：m 12ω=⋅H B第四章一、边值问题的类型（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ （2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ （4）自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
亥姆霍兹方程推导波动方程电动力学
一、介绍亥姆霍兹方程是描述波动现象的重要方程之一，在电动力学中也有着重要的应用。
本文将围绕亥姆霍兹方程推导波动方程在电动力学中的应用展开讨论，旨在深入探讨相关理论，并提供前沿的研究成果。
二、亥姆霍兹方程的基本原理1. 亥姆霍兹方程的概念及作用亥姆霍兹方程是描述波动现象的偏微分方程。
它是一种线性波动方程，能够描述一维波动现象，如声波、光波等。
亥姆霍兹方程也是电磁波方程中的一个重要组成部分，具有广泛的应用价值。
2. 亥姆霍兹方程的数学表示亥姆霍兹方程可用数学符号表示为△u+k²u=0，其中△为拉普拉斯算子，u为波函数，k为波数。
该方程是一个关于波函数u的二阶偏微分方程，描述了波在空间中的传播过程。
三、亥姆霍兹方程在电动力学中的应用1. 电磁波方程的推导电磁波是由电场和磁场相互作用形成的波动现象，其传播过程可由亥姆霍兹方程描述。
通过麦克斯韦方程和波动方程的推导，可以得到描述电磁波传播的波动方程，从而揭示了电磁波的性质和特点。
2. 电磁波的传播特性利用亥姆霍兹方程可以研究电磁波的传播特性，如波速、频率、偏振等。
通过对波动方程的分析和求解，可以深入了解电磁波在空间中的传播规律，为相关技术和应用提供理论依据。
3. 电磁波在介质中的传播介质对电磁波的传播具有影响，利用亥姆霍兹方程可以研究介质中电磁波的传播性质。
介质的介电常数和磁导率对电磁波的传播速度和衰减效应有重要影响，因此通过亥姆霍兹方程可进行相关研究和分析。
四、前沿研究与应用1. 亥姆霍兹方程的数值模拟随着计算机技术的发展，利用亥姆霍兹方程进行电磁波传播的数值模拟成为研究的热点。
采用有限差分、有限元等方法，可以对电磁波在复杂介质和结构中的传播进行模拟和分析，为相关领域的工程设计和优化提供支持。
2. 电磁波的控制与调制利用亥姆霍兹方程可以研究电磁波的控制和调制技术。
通过改变波函数的边界条件、介质特性等方式，可以实现对电磁波的传播和辐射特性的调控，为通信、雷达、遥感等领域的应用提供新的思路和方法。
时谐电磁场的位函数和亥姆霍兹方程
如果电场和磁场都用复数形式给出，即有
r r r jφ ( rr ) ⎧ ⎪ E ( r ) = E0 e r jφ ( rr ) ⎨r r ⎪ ⎩ H (r ) = H 0e
电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。 时谐场中二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形 式，不能将复数形式的场量直接代入。 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为
r r r r E (r , t ) = E0 cos[ω t + φ (r )] r r r r H (r , t ) = H 0 cos[ω t + φ (r )]
或直接积分，得
r 1 T r ω 2π ω r Sav = ∫ S dt = S dt ∫ 0 0 2π T r k ω 2π ω r kE02 2 2 ω = t − kz t = E e e [ cos ( )]d 0 z z ωμ0 2π ∫0 2ωμ0
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14
例2 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为
r r jω t r jω t r 1 r S av = [Re( E e ) × Re( H e )]av = E 0 × H 0 2
r r r* 1 S av = Re( E × H ) 2
时间平均值与时间无关
r r jφ ( rr ) − jφ ( rr ) 1 r r 1 ] = E0 × H0 = Re[ E0 × H0e e 2 2
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r r jω t r jω t r 1 r S av = [Re( E e ) × Re( H e )]av = E 0 × H 0 2
r r r* 1 S av = Re( E × H ) 2
时间平均值与时间无关
r r jφ ( rr ) − jφ ( rr ) 1 r r 1 ] = E0 × H0 = Re[ E0 × H0e e 2 2
r r r* r r r r* r − jkz jkz − jkz E = e x E0 e , D = e xε 0 E0 e , H = e y H 0 e , B = e y μ0 H 0 e jkz
r r* r r * 1 1 = Re( E D + B H ) = (ε 0 E02 + μ0 H 02 ) 4 4
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1 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以 表示成复数形式。 瞬时矢量
r r ⎧B = ∇ × A ⎪ r ⎨r ∂A = − − ∇ϕ E ⎪ ∂t ⎩
复矢量
r r ⎧ ⎪B = ∇ × A r ⎨r ⎪ ⎩ E = − jω A − ∇ϕ
洛仑兹条件
v ∂ϕ ∇ ⋅ A = − με ∂t
在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有
r r r∗ r r∗ r r∗ 1 1 1 . .B ) Sav = Re( E × H ) , weav = Re( E D ) , wmav = Re( H 2 4 4
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r r r r r r 关于S ( r ) 的几点说明 S( (r r,,tt)) 和 S av av r r S (r , t ) 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它
r r r r r∗ r 1 r r ) 在某一个瞬时的取值；而 S av (r ) = Re[ E (r ) × H (r )] 中的 E ( r ) 2 r r r r ) 都是复矢量，与时间无关，所以 S av ( r ) 也与时间无 和 H (r )
关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。 r r rr r r r r r r) 1 T r r S ( S ( r , t ) av (r , t )dt ，可由 S ( r , t ) 利用 Sav (r ) = ∫0 Sr 计算 S av (r ) ，但不能直 r r r T r r r r r r jωt r r S ( r , t ) S ( ) av ( r ) 计算 S ( r , t ) 接由 S av ，也就是说 S (r , t ) ≠ Re[ S av (r )e ]
例1 已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量
r ∂ r kE0 − jkz − jkz =− (−e x E0 e ) = −e x e jωμ0 ωμ0 ∂z
（2）电场和磁场的瞬时值为
r r r jωt ⎡ ⎤ E ( z , t ) = Re ⎣ E ( z )e ⎦ = e y E0 cos(ωt − kz )
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时谐电磁场
时谐场的位函数 亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量
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时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变 化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种 以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁 场。 ------时谐电磁场是时变电磁场的一种特殊情况 注意两点： 所谓时谐场，是指场矢量的各个分量随时间作简谐变化。而 场矢量，一般并不一定是时间的正弦或余弦函数。
r r r r E ( z , t ) = e x E0 cos(ωt − kz ), H ( z , t ) = e y H 0 cos(ωt − kz )
其中E0、H0 和 k 为常数。求：(1) w 和 wav ；(2) S 和 Sav。 1 r r r r 1 解:(1) w = we + wm = ( E D + BH ) = (ε 0 E 2 + μ0 H 2 ) 2 2 1 2 2 2 2 = ⎡ − + cos ( ) cos (ωt − kz)⎤ E t kz H ε ω μ 0 0 0 0 ⎣ ⎦ 2 由于 所以
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2 பைடு நூலகம் ∂ 2 ω → − 在时谐时情况下，将 ∂t → jω 、 ，即可得到复矢 2 ∂t 量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。
3 亥姆霍兹方程
瞬时矢量
r r ⎧ 2 ∂ E ∇ − =0 με E ⎪ 2 理想介质 ⎪ ∂t r ⎨ 2 r ⎪∇ 2 H − με ∂ H = 0 ⎪ ∂ 2t ⎩ r r 2 ⎧ 2r ∂E ∂ E E ∇ − − =0 μσ με ⎪ 2 ∂t ∂t 导电媒质 ⎪ r r ⎨ 2 r ⎪∇ 2 H − μσ ∂H − με ∂ H = 0 ⎪ ∂t ∂ 2t ⎩
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r r − jkz 为 E ( z ) = e y E0 e ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢
量H ；（2）瞬时坡印廷矢量S ；（3）平均坡印廷矢量Sav 。 r r 解：（1）由 ∇ × E = − jωμ0 H 得
r H ( z) = − 1 jωμ0 1 r ∇ × E ( z) = − r ∂ r (e z ) × (e y E0 e − jkz ) jωμ0 ∂z 1
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r r 时变电磁场；而 S av (r )只适用于时谐电磁场。
r r r r r r r r r r 在 S (r , t ) = E (r , t ) × H (r , t ) 中， E (r , t ) 和H (r , t ) 都是实数形式且是
rr r 时间的函数，所以 S 也是时间的函数，反映的是能流密度 r,, t) S(r t)
或直接积分，得
r 1 T r ω 2π ω r Sav = ∫ S dt = S dt ∫ 0 0 2π T r k ω 2π ω r kE02 2 2 ω = t − kz t = E e e [ cos ( )]d 0 z z ωμ0 2π ∫0 2ωμ0
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例2 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为
r r r kE0 jωt ⎤ H ( z , t ) = Re ⎡ H e z ( )e cos(ωt − kz ) = − x ⎣ ⎦
ωμ0
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瞬时坡印廷矢量为
r r r r r kE0 S = E × H = e y E0 cos(ωt − kz ) × [−e x cos(ωt − kz )]
r kE = ez cos 2 (ωt − kz )
ωμ0
2 0
ωμ0
（3）平均坡印廷矢量为 r r r kE0 − jkz ∗ 1 − jkz S av = Re[e y E0 e × (−e x e )] 2 2ωμ0
r kE02 r k 1 E02 ) = ez = Re(e z 2 ωμ0 ωμ0
r r r r 1 T r 1 T r r 1 r 2 S av = ∫ ( E × H ) dt = E0 × H 0 ∫ cos [ωt + φ ( r )]dt = E0 × H 0 T 0 T 0 2
如果电场和磁场都用复数形式给出，即有
r r r jφ ( rr ) ⎧ ⎪ E ( r ) = E0 e r jφ ( rr ) ⎨r r ⎪ ⎩ H (r ) = H 0e
电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。 时谐场中二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形 式，不能将复数形式的场量直接代入。 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为
r r r r E (r , t ) = E0 cos[ω t + φ (r )] r r r r H (r , t ) = H 0 cos[ω t + φ (r )]
weav
wmav
1 T 1 T 1 r. r = ∫ we dt = ∫ E D dt T 0 T 0 2
1 T 1 T 1 r .r = ∫ wm dt = ∫ H B dt T 0 T 0 2
r 1 T r 1 T r r S av = ∫ S dt = ∫ ( E × H ) dt T 0 T 0
(2)
r r r r S = E ( z , t ) × H ( z , t ) = e z E0 H 0 cos 2 (ωt − kz )
r r r* r 1 1 S av = Re( E × H ) = e z E0 H 0 2 2
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wav = weav + wmav
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例3 已知截面为 a × b 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 r a πx r E = −ey jωμ H 0 sin e− jβ z a π r a πx r π x − jβ z r H = (ex j β H 0 sin + ez H 0 cos )e a a π 式中H0 、ω、β、μ都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量。 r ur 解：（1）E 和 H 的瞬时值为 r r jωt a πx r E ( x, z , t ) = Re[ Ee ] = eyωμ H 0 sin sin(ωt − β z ) π a r r jωt πx r a H ( x, z , t ) = Re[ He ] = −ex β H 0 sin sin(ωt − β z ) + a π πx r cos(ωt − β z ) ez H 0 cos
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复矢量
r r 2 ⎧∇ E + k E = 0 ⎪ r ⎨ 2r 2 ⎪ ⎩∇ H + k H = 0