亥姆霍兹波动方程
吉布斯-亥姆霍兹方程
吉布斯-亥姆霍兹方程
吉布斯─亥姆霍兹方程，是对计算系统的吉布斯自由能变化的有用热力学公式。
为一温度函数。
此方程式以约西亚·吉布斯与赫尔曼·冯·亥姆霍兹来命名。
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。
例如，考虑波动方程；在假定u(r,t) 是可分离变量情况下分离变量。
其结果是，当且仅当等式两边都等于恒定值时，该方程在一般情况下成立。
从这一观察中，可以得到两个方程，一个是对A(r) 的，另一个是对T(t) 的。
研究
1847年，亥姆霍兹出版了《力量的守恒》（Erhaltung der Kraft）一书，阐明了能量守恒的原理，亥姆霍兹自由能即以他来命名。
他也研究过电磁学，他的研究预测了麦克斯韦方程组中的电磁辐射，相关的方程式以他来命名。
除了物理，亥姆霍兹也对感知的研究作出贡献。
他发明了检眼镜，以及以他命名的共鸣器(Helmholtz-Resonator)，他两部光学和声学的著作，《作为乐理的生理学基础的音调感受的研究》（Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik）、《生理光学手册》（Handbuch der Physiologischen Optik），对后世影响很大。
《论音调的感觉》，亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）大师1863年作品。
主要从物理学的角度论述了各音调给人的感觉，同时具有很高的美学价值。
麦克斯韦亥姆霍兹方程
麦克斯韦亥姆霍兹方程
麦克斯韦亥姆霍兹方程是物理学中的一组基本方程，描述了电磁场的演化规律。
它由四个方程组成，分别是麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程。
麦克斯韦方程是描述电磁场的基本方程，它包括电场和磁场的产生和演化规律。
其中，安培定律和法拉第电磁感应定律描述了电磁场的演化规律，高斯定理和法拉第电磁感应定律描述了电磁场的产生规律。
亥姆霍兹方程是描述电磁场的波动性质的方程，它可以描述电磁波在介质中的传播规律。
亥姆霍兹方程的解可以得到电磁波的传播速度、波长和频率等特性。
麦克斯韦亥姆霍兹方程是电磁学领域的基础方程之一，对于研究电磁场的产生、演化规律和波动特性具有重要的意义。
它不仅在电子学、电磁波学等领域得到广泛应用，也在原子物理学和相对论等领域中发挥着重要作用。
- 1 -。
亥姆霍兹方程
, z) exp[ j (cos
x
cos
y)]d(cos )d(cos )
研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面 上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
18
复振幅分布及其角程讨论传播规律
19 0 6
将 U(x, y, z) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的 顺序，可以推导出，二阶线性微分方程
算得到为
A( f x , f y , z) U (x, y, z) exp[ j (xf x yf y )]dxdy
由于各个不同空间频率 的空间傅里叶分量可看作是沿不同
方向传播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅
分布的角谱
同时有逆变换为 U (x, y, z) A( f x , f y , z) exp[ j (xf x yf y )]dfxdf y
6
球面波的复振幅表示
19 0 6
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的 波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点 光源的集合,它所发出的光波就是球面波的叠加 这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。 球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点 到球心的距离成反比 当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在 光场中任何一点产生的复振幅可写作
exp
j
k z
x x
y
y
位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
10
平面波的复振幅表示
19 0 6
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的 光波称为平面波 如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方 向余弦为 cos,cos,cos ，则平面波传播到空间某点的复振 幅的一般表达式为 U (x, y, z) a exp( jk r)
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解1. 引言1.1 引言亥姆霍兹方程是描述波动现象的重要方程之一，广泛应用于物理学、工程学和数学领域。
正交坐标系是一种常用的坐标系，其特点是坐标轴相互垂直且长度可变。
在研究亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解之前，我们首先需要了解亥姆霍兹方程的基本概念和正交坐标系的特点。
亥姆霍兹方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述波的传播和振动问题。
在物理学中，亥姆霍兹方程可以用来描述声波、光波等波动现象。
在工程学和数学领域，亥姆霍兹方程也有广泛的应用，如在电磁场、热传导等问题中。
正交坐标系是一种常用的坐标系，其特点是坐标轴相互垂直且长度可变。
在正交坐标系中，任意一个矢量都可以分解成坐标轴上的分量，从而简化了问题的分析和求解过程。
十一种正交坐标系分别是直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等，每种坐标系都有其特定的展开形式和求解方法。
通过研究亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解，可以更深入地理解波动现象和振动问题在不同坐标系下的特性。
这也为解决实际工程和科学问题提供了重要的理论基础。
在接下来的正文中，我们将具体探讨亥姆霍兹方程在各种正交坐标系下的展开形式和部分解，以及对应的数学推导和物理意义。
2. 正文2.1 亥姆霍兹方程简介亥姆霍兹方程是描述波动现象和传播现象中的一个重要方程，广泛应用于物理学、工程学和数学等领域。
它是一个偏微分方程，通常用来描述波动方程、热传导方程和扩散方程等。
其一般形式可以表示为：\[\Delta u + k^2 u = 0\]\( \Delta \) 是拉普拉斯算子，\( k \) 是传播介质的波数。
亥姆霍兹方程的解决方法可以分为两类：求解特定边界条件下的解析解和利用数值方法求解。
在具有特殊对称性的问题中，可以通过正交坐标系下的展开形式和部分解来求解亥姆霍兹方程。
在接下来的内容中，我们将介绍亥姆霍兹方程在十一种正交坐标系下的展开形式和部分解，以帮助读者更好地理解这一重要方程的解决方法和应用。
亥姆霍兹方程推导
亥姆霍兹方程与波动场中的其他物理量，如速度、加速度、位移等密切相关。 通过该方程，可以建立这些物理量之间的联系，为波动现象的研究提供方便。
推导亥姆霍兹方程的目的
揭示波动现象的本质
通过推导亥姆霍兹方程，可以深入了解波动现象的本质和规律，掌握波动场的基 本性质和传播特点。
为实际应用提供理论支持
亥姆霍兹方程的解的性质
解的存在性和唯一性
在一定的边界条件和初始条件下，亥姆霍兹方程存在唯一 解。解的存在性和唯一性可以通过数学方法如分离变量法、 格林函数法等来证明。
解的振荡性质
亥姆霍兹方程的解具有振荡性质，即解在空间中呈现周期 性的变化。这种振荡性质与波的传播和干涉现象密切相关。
解的衰减性质
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解会随着距离的增加而逐 渐衰减。这种衰减性质与波的扩散和衰减现象有关。
将亥姆霍兹方程转化为等价的变分问题，即 求泛函的极值问题。
网格剖分
将求解区域剖分为有限个单元，每个单元内的 解用形函数近似表示。
单元分析
对每个单元进行分析，建立单元刚度矩阵和荷载 向量。
总体合成
将所有单元的刚度矩阵和荷载向量按照一定规则合 成总体刚度矩阵和荷载向量。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对总体刚度矩阵和荷载向 量进行修正。
进而研究热传导的规律。
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数值方法求解亥姆霍兹方程
有限差分法
差分格式
将亥姆霍兹方程中的微分项用差分格式近似，从 而将偏微分方程转化为代数方程。
网格划分
在求解区域上划分网格，将连续的空间离散化， 便于计算机处理。
边界条件处理
根据问题的边界条件，对差分方程进行修正，以 保证解的正确性。
吉布斯亥姆霍兹方程
吉布斯亥姆霍兹方程吉布斯亥姆霍兹方程（Gibbs-Helmholtz equation）是一个物理方程，描述了系统在恒温恒压条件下的热力学性质，特别是物质的熵变与Gibbs自由能变化之间的关系。
该方程的应用十分广泛，可以用于预测化学反应的可逆性以及描述化学平衡等方面。
本文将详细介绍吉布斯亥姆霍兹方程的推导和应用。
首先，我们需要了解一些基本概念。
Gibbs自由能（G）是描述物质在给定温度和压强下的热力学性质的一个函数。
它可以通过以下方程来计算：G=H-TS其中，H为焓（enthalpy），T为温度，S为熵（entropy）。
焓可以看作是系统的热能加上对外做的功，而熵则代表了系统的无序程度。
根据吉布斯自由能的定义，我们可以得到以下方程：dG=dH-TdS-SdT其中，dG表示G的微小变化量，dH表示H的微小变化量，dS表示S的微小变化量，dT表示温度的微小变化量。
我们可以通过该方程推导吉布斯亥姆霍兹方程。
首先，我们需要应用热力学第一定律，即能量守恒定律。
根据热力学第一定律，我们可以得到如下关系：dH = dq - PdV其中，dq表示热量的微小变化量，P表示系统的压强，dV表示体积的微小变化量。
将上式代入前述的dG方程，得到：dG = dq - PdV - TdS - SdT我们可以将上述方程重写为：dG = dq - (PdV + TdS + SdT)接下来，我们需要将dq表达成温度和熵的函数。
利用熵的定义，我们可以得到：Tds = dqrev其中，dqrev表示可逆过程中的热量变化。
将上式代入前述的dG方程，得到：dG = Tds - (PdV + TdS + SdT)我们可以将上述方程重写为：dG = Tds - (PdV + SdT + TdS)将温度和熵梯度项合并，并重新排序，得到：dG = Tds - PdV - SdT现在，我们可以应用分部积分法，将右侧的第一项重新整理为：Tds = d(Ts)将这个结果代入原方程，得到：dG=d(Ts)-PdV-SdT这就是吉布斯亥姆霍兹方程的最终形式。
亥姆霍兹方程
亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一条描述电磁波的椭圆偏微分方程，以德国物理学家亥姆霍亥姆霍兹兹的名字命名。
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。
因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。
如：电磁场中的▽^2 E+k^2 E=0，▽^2 H+k^2 H=0，称为亥姆霍兹齐次方程，是在谐变场的情况下，E波和H波的波动方程。
其中：k^2=μω^2(ε-jσ/ω) 为波数，当忽略位移电流时，k^2=μεω^2；以上^2为平方。
相关书籍数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。
式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。
当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。
在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。
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电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E