《正方形的性质与判定》第2课时示范课教学设计【数学九年级上册北师大】

《正方形的性质与判定》教学设计
第2课时
一、教学目标
1.理解并掌握正方形的判定定理，并会用正方形的判定定理进行证明和计算；
2.经历正方形判定定理及中点四边形的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明正方形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
二、教学重难点
重点：理解并掌握正方形的判定定理，会用正方形的判定定理进行证明和计算.
难点：探究证明正方形的判定定理，探究并证明中点四边形.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
【复习回顾】
教师活动：先提出问题让学生观察，然后
再动画演示.
问题：观察下列实物中的正方形，说一说
什么是正方形？
预设答案：一组邻边相等且有一个角是直
角的平行四边形叫做正方形.
追问：正方形具有哪些性质呢？
预设答案：
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
【想一想】
你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？
预设答案：
追问：怎样判定一个四边形是正方形呢？【操作】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.
你知道这样做的道理吗？
【合作探究】
教师活动：研究正方形的判定方法，准备了两个探究活动，活动1是从矩形的基础上探究，活动2是从菱形的基础上探究，最后得出正方形的4种判定方法.
活动1准备一张矩形的纸片，按照下图
折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
满足怎样条件的矩形是正方形？
预设答案：
【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成
一个正方形.
【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形. 【证明】
猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD 是矩形，AB =BC . 求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是矩形
∵∵A =90°，四边形ABCD 是平行四边形 又∵ AB =BC ，
∵四边形ABCD 是正方形.
猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ∵BD .
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是矩形
∵OA =OC =OB =OD ，∵BAD =90°. 又∵ AC ∵BD ，
∵∵AOB ∵ ∵AOD （SAS ）. ∵AB = AD .
∵四边形ABCD 是正方形.（正方形的定义）.
D
A
B C
【归纳】
正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∵四边形ABCD是正方形.
正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AC∵BD，
∵四边形ABCD是正方形.
活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
满足怎样条件的菱形是正方形？
预设答案：
【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形.
【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形. 【证明】
猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，∵A =90°. 求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是菱形
∵AB =BC ，四边形ABCD 是平行四边形 又∵ ∵A =90°，
∵四边形ABCD 是正方形.
猜想4：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =BD .
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∵OA =OC ，OB =OD ，AC ∵BD . 又∵ AC =BD ，
∵OA =OC =OB =OD ，∵AOB =∵BOC = ∵COD =∵AOD =90°.
∵∵AOB 、∵AOD 、∵BOC 、∵COD 都
D
A
B C
是等腰直角三角形.
∵∵BAD=90°
∵四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.
【归纳】
正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，∵A=90°，
∵四边形ABCD是正方形.
定理4：对角线相等的菱形是正方形.
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，AC=BD，
∵四边形ABCD是正方形.
【典型例题】
思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？
预设答案：
猜想：正方形
你能尝试证明吗？
【证明】
已知：如图，点A1，B1，C1，D1 分别是正方形ABCD各边的中点.
求证：四边形A1B1C1D1 为正方形.
证明：连接AC，BD，
∵A1，B1分别是AB和BC边中点，
∴A1B1∥AC且A1B1=1
2 AC，
同理可证C1D1∥AC且C1D1 =1
2 AC，
A1D1∥BD且A1D1 =1
2 BD，
B1C1∥BD且B1C1 =1
2 BD.
∴四边形A1B1C1D1 为平行四边形.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AC = BD（正方形的对角线相等）AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），
∴A1B1= A1D1 =B1C1= C1D1，∠1 = 90°.
∴四边形A1B1C1D1 是菱形，∠2 = 90°.
∴四边形A1B1C1D1 为正方形.
归纳：以正方形的四边中点为顶点可以组成一个正方形.
【议一议】
教师活动：做一做环节从任意的四边形和正方形角度探究了中点四边形，议一议主要从矩形和菱形的角度探究，得出猜想并证明，最后得出决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.
问题1：菱形的中点四边形会是什么形状？
预设答案：
猜想：菱形的中点四边形是矩形.
问题2：矩形的中点四边形会是什么形状？
预设答案：
猜想：矩形的中点四边形是菱形.
请尝试证明这两个猜想？
【证明】
已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.
求证：四边形EFGH为矩形.
证明：连接AC，BD，
∵E，F分别是AB和BC边中点，
∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1 = 90°. ∴四边形PFQO 为矩形.
∴∠2=90°.
∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）
归纳：以菱形的四边中点为顶点可以组成一个矩形.
已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.
求证：四边形EFGH为菱形.
证明：连接AC，BD，
∵E，F分别是AB和BC边中点，
∴EF∥AC且EF = 1
2
AC，
同理可证HG∥AC且HG =1
2 AC，
EH∥BD且EH=1
2
BD，FG∥BD且FG=
1
2
BD.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
∴EF =EH
∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）
归纳：以矩形的四边中点为顶点可以组成一个菱形.
追问：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
预设答案：
决定中点四边形的形状的主要因素是:原四边形的对角线的长度和位置关系.
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应
H分别在它的四条边上，且AE= BF = CG = DH. 四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
答案：
1.证明: 在正方形ABCD中，BE＝DF，
易证∵CEB∵∵AEB∵∵AFD∵∵CFD，
即CE＝AE＝AF＝FC，
∵四边形AECF是菱形．
2. 解：四边形EFGH是正方形.
∵在正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH，易证∵AEH∵∵DHG∵∵CGF∵∵BFE，
即EH＝HG＝GF＝FE，且∵AHE＝∵DGH．
∵∵DGH＋∵DHG＝90°，
∵∵EHG＝180°－(∵AHE＋∵DHG)＝90°，
∵四边形EFGH是正方形.
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
教科书第25页。