天津市高考数学压轴卷理(含解析)

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天津市2021高考数学压轴卷理（含解析）(1)

2021天津高考压轴卷数学理word一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.已知集合A={x|x ＞1}，B={x|x ＜m}，且A ∪B=R ，那么m 的值能够是（）A ． ﹣1B ． 0C ． 1D ． 22．设集合{}|24x A x =≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的概念域，那么A B =(A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2]3.函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移个单位后，取得一个偶函数的图象，那么φ的一个可能的值为（）A ．B ．C ． 0D ． 4.函数f （x ）=log 2（1+x ），g （x ）=log 2（1﹣x ），那么f （x ）﹣g （x ）是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数又不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数5．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，那么函数2()y x g x =的部份图象能够为．6.设z=2x+y ，其中变量x ，y 知足条件，假设z 的最小值为3，那么m 的值为（） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 47.已知点P （x ，y ）在直线x+2y=3上移动，当2x +4y 取最小值时，过P 点（x ，y ）引圆C ：=1的切线，那么此切线长等于（）A ． 1B ．C ．D ． 28.已知函数f （x ）=ln （e x ﹣1）（x ＞0）（）A ．若f （a ）+2a=f （b ）+3b ，则a ＞bB ．若f （a ）+2a=f （b ）+3b ，则a ＜bC ．若f （a ）﹣2a=f （b ）﹣3b ，则a ＞bD ．若f （a ）﹣2a=f （b ）﹣3b ，则a ＜b二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9. 设常数a∈R，假设的二项展开式中x4项的系数为20，那么a= ．10. 已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，那么2α﹣β的值．11.记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．那么a10= ．12.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦别离为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为______________.14.等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周取得一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，那么当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为，现有甲、乙两人从袋中连番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每一个球在每一次被掏出的机遇是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（Ⅰ）求随机变量ξ的散布列及数学期望；（Ⅱ）求乙取到白球的概率．16.在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且A+B=120°，求△ABC的面积及AB的长．17.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）假设直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及现在点E的位置（结论不要求证明）．18.数列{a n}是递增的等差数列，且a1+a6=﹣6，a3•a4=8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值；（3）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．19. 已知椭圆C ：的右核心为F （1，0），且点（﹣1，）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是不是存在定点Q ，使得恒成立？假设存在，求出点Q 的坐标，假设不存在，请说明理由．20. （13分）已知f （x ）=lnx ，g （x ）=af （x ）+f′（x ），（1）求g （x ）的单调区间；（2）当a=1时， ①比较的大小； ②是不是存在x 0＞0，使得|g （x ）﹣g （x 0）|＜对任意x ＞0成立？假设存在，求出x 0的取值范围；假设不存在，请说明理由．2021天津高考压轴卷数学理word 参考答案1. 【答案】D.【解析】依照题意，假设集合A={x|x ＞1}，B={x|x ＜m}，且A ∪B=R ，必有m ＞1，分析选项可得，D 符合；应选D ．2. 【答案】D.【解析】{}|24{2}x A x x x =≤=≤，由10x ->得1x >，即{1}B x x =>,因此{12}AB x x =<≤，因此选D.3. 【答案】【解析】令y=f （x ）=sin （2x+φ），那么f （x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）， ∵f （x+）为偶函数， ∴+φ=kπ+， ∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．应选B ．4. 【答案】【解析】∵f （x ）=log 2（1+x ），g （x ）=log 2（1﹣x ），∴f （x ）﹣g （x ）的概念域为（﹣1，1）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=log 2，那么F （﹣x ）=log 2=log 2（）﹣1=﹣log 2=﹣F （x ）故f （x ）﹣g （x ）是奇函数．应选A.5. 【答案】C.【解析】'cos y x =,即()cos g x x =，因此22()cos y x g x x x ==，为偶函数，图象关于y 轴对称，因此排除A,B.当2cos 0y x x ==，得0x =或,2x k k Z ππ=+∈，即函数过原点，因此选C.6. 【答案】A. 【解析】作出不等式组对应的平面区域，∵假设z 的最小值为3，∴2x+y=3，由，解得，同时（1，1）都在直线x=m上，∴m=1．应选：A．7. 【答案】D.【解析】∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8，当且仅当x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值8时，P点的坐标为（，），点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，应选：D．8. 【答案】A.【解析】依照复合函数的单调性可知，f（x）=ln（e x﹣1）（x＞0）为增函数，∵函数的概念域为（0，+∞）．∴a＞0，b＞0，设g（x）=f（x）+2x，∵f（x）是增函数，∴当x＞0时，g（x）=f（x）+2x为递增函数，∵f（a）+2a=f（b）+3b，∴f（a）+2a=f（b）+3b＞f（b）+2b，即g（a）＞g（b），∵g（x）=f（x）+2x为递增函数，∴a＞b，应选：A．9. 【答案】【解析】∵的二项展开式的通项公式为T r+1=•a r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，求得r=2，故二项展开式中x4项的系数为•a2=20，解得a=±，故答案为：±．10. 【答案】【解析】∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜α＜，又＜β＜π，∴﹣π＜2α﹣β＜﹣，∵tan2α===，tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）===1，∴2α﹣β=﹣．11. 【答案】【解析】等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．12. 【答案】【解析】由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部份的体积相等，∴几何体的体积V=×23=4．13. 【答案】【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．S ABCD=故答案为：14. 【答案】【解析】依照题意，得∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C﹣HAM 的体积最大设∠BCD=θ，那么Rt△BCD中，BC=AB=可得CD=，BD=Rt△ACD中，依照等积转换得CH==Rt△ABD∽Rt△AHM，得，因此HM==因此，S△CMH=CH•HM==∵4+2tan2θ≥4tanθ，∴S△CMH=≤=，当且仅当tanθ=时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=，可得cosθ=（舍负）由此可得CD==，即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为应选：C15. 【解析】（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，由题意知…（1分）=，解得n=4或n=﹣3（舍去）…（3分）∴黑球有4个，白球有3个．由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分），，，…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）∴ξ的散布列为ξ12345P…（8分）因此数学期望为：…（9分）（Ⅱ）∵乙后取，∴乙只有可能在第二次，第四次取球，记乙取到白球为事件A，则，…（11分）答：乙取到白球的概率为．…（12分）16. 【解析】∵A+B=120°，∴C=60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b=，ab=2，∴S△ABC==，AB=c====．17. 【解析】以D为坐标原点，成立如下图的坐标系，那么D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C （0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1）∴•=0∴DA1⊥ED1；（4分）（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为=（x，y，z），那么∵=（0，﹣1，1），=（1，m﹣1，0）∴．取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．∵直线DA1与平面CED1成角为45°，∴sin45°=|cos＜，＞|=，∴=，解得m=．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，现在点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18. 【解析】（1）由得：，∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根，∴x1=﹣2，x2=﹣4；∵等差数列{a n}是递增数列，∴a3=﹣4，a4=﹣2，∴公差d=2，a1=﹣8．∴a n=2n﹣10；（2）∵S n==n2﹣9n=﹣，∴（S n）min=S4=S5=﹣20；（3）由a n≥0得2n﹣10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当1≤n≤5且n∈N*时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣n2+9n；当n≥6且n∈N*时，T n=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+…+a n）=S n﹣2S5=n2﹣9n﹣2（25﹣45）=n2﹣9n+40．∴T n=．19. 【解析】（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴依照椭圆的概念可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），那么=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，那么•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立.20. 【解析】，g（x）的概念域为（0，+∞）．①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；②当a＞0时，由g'（x）＞0，得；由g'（x）＜0，得，即增区间是，减区间是．（2），∴①当x=1时，μ（x）=0，现在②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴．（3）⇔⇔∵lnx∈（0，+∞），∴g（x0）＞lnx不能恒成立．故x0不存在．。

天津市高考数学压轴试卷(理科)

高考数学压轴试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.Z（M）表示集合M中整数元素的个数，设集合A={x|-1＜x＜8}，B={x|5＜2x＜17}，则Z（A∩B）=（）A. 3B. 4C. 5D. 62.i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m=（）A. -1B. 0C. 1D. 0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为（）A. B. C. D.4.不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A. B. C. D.5.下列函数中，即是奇函数，又是R上的单调函数的是（）A. f（x）=ln（|x|+1）B.C. D. f（x）=x-16.展开式中x2的系数为（）A. -1280B. 4864C. -4864D. 12807.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去两部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（）A.B.C.D.8.函数f（x）=x2-ln x+ax，若不等式f（x）≤0恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）A. B. -2＜a≤-1C. -3＜a≤-1D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9.已知两点M（0，2），N（2，-2），以线段MN为直径的圆的方程为______．10.学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为______．12.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为______．13.设函数f（x）=，若f（m）＞1，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=a sinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．15.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．16.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD=2，PA=2．（1）PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．18.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆=1（a）的右焦点为F，右顶点为A，已知|OA|-|OF|=1，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．19.数列{a n}是等比数列，公比大于0，前n项和S n（n∈N*），{b n}是等差数列，已知a1=，=+4，a3=，a4=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（Ⅱ）设{S n}的前n项和为T n（n∈N*）（i）求T n；（ii）证明：＜．20.设函数f（x）=xe kx（k≠0），（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=x2-2bx+4，当k=1时，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：；∴；∴Z（A∩B）=5．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出Z（A∩B）．考查描述法的定义，交集的运算，理解Z（M）的定义．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（1+mi）（1+i）=（1-m）+（1+m）i是纯虚数，∴，即m=1．故选：C．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题．由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+，故由此运算规律进行计算，当i=8时不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：n=6，i=2，S=0满足条件i≤6，S=0+=，i=4满足条件i≤6，S=+，i=6满足条件i≤6，S=++，i=8不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为++=．故选A．4.【答案】C【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4-）×1=．故选：C．先根据约束条件画出可行域，求三角形的顶点坐标，从而求出表示的平面区域的面积即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求平面区域的面积，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=ln（|x|+1），有f（-x）=ln（|-x|+1）=ln（|x|+1）=f（x），则函数f（x）为偶函数，不符合题意；对于B，，有f（-x）=-f（x），函数f（x）为奇函数，且在R 上的单调递减，符合题意；对于C，，有f（-x）=-f（x），函数f（x）为奇函数，但在R上不是单调函数，不符合题意；对于D，f（x）=x-1=，f（x）的定义域为{x|x≠0}，在R上不是单调函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与定义域以及单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握分段函数的解析式的形式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出3x3项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出x4，第二个括号里出，具体为，化简得到-1280x2，故选：A．得到第一个括号里出3x3项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出x4，第二个括号里出，转化求解即可．本题考查二项式定理的应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去两个三棱锥，把相关数据求解几何体是表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，截去两部分，∵正方体的棱长是1，∴剩余部分表面积为：S=6××1×1+2×=3+，故选：B．8.【答案】D【解析】解：f（x）定义域为由x2-ln x+ax≤0得ax≤-x2+ln x，等价为a≤-x+，设h（x）=-x+，（x＞0），h′（x）=-1+=，设g（x）=-x2+1-ln x，则g（x）在（0，+∞）上为减函数，当x=1时，g（1）=-1+1-ln1=0，当x＞1时，g（x）＜0，此时h′（x）＜0，h（x）为减函数，当0＜x＜1时，g（x）＞0，此时h′（x）＞0，h（x）为增函数，即当x=1时，h（x）取得极大值，此时h（1）=-1，则h（x）对应的图象如图：要使a≤-x+，的整数解只有两个，则这两个整数解只能为x=1，x=2，即y=a应该满足h（3）＜a≤h（2），即-3＜a≤-2.故选：D．利用参数分离法转化为a≤-x+，设h（x）=-x+，研究函数的极值和单调性，利用数形结合进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程应用，利用参数分离法进行转化，构造函数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．9.【答案】（x-1）2+y2=5【解析】【分析】根据题意，设MN的中点为O，由MN的坐标求出O的坐标以及MN的长，即可得要求圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案．本题考查圆的标准方程的计算，注意分析圆心坐标以及半径，属于基础题．【解答】解：根据题意，设MN的中点为O，则以线段MN为直径的圆的圆心为O，半径r=，又由M（0，2），N（2，-2），则O（1，0），|MN|==2，则r=，则要求圆的标准方程为：（x-1）2+y2=5；故答案为：（x-1）2+y2=5．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B.故答案为B.11.【答案】9π【解析】【分析】本题考查长方体外接球表面积的求法，关键是明确长方体的对角线为其外接球的直径，是基础题．由已知求得长方体的对角线长，得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由已知可得，长方体的对角线长为，则长方体外接球的半径r=．∴长方体外接球的表面积为．故答案为：9π．12.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题．结合已知及向量的基本定理可得，结合已知，可求m，t．【解答】解：由题意及图，，又，∴，∴，又，∴，解得，．故答案为：．13.【答案】（-∞，0）∪（e，+∞）【解析】解：函数f（x）=，当m≥1，f（m）＞1，即为ln m＞1，解得e＜m；当m＜1，f（m）＞1即为1-m＞1，解得m＜0．综上可得，m＜0或1＜m．故答案为：（-∞，0）∪（e，+∞）．由分段函数的解析式，讨论m≥1，m＜1，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到．本题考查分段函数的运用，考查对数函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．14.【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=a sinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y-1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y-8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a-16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【解析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．15.【答案】（Ⅰ）解：由A=2B，知sin A=sin2B=2sin B cosB，…………（1分）由正、余弦定理得．………………（3分）因为b=3，c=1，所以a2=12，则．………………（5分）（Ⅱ）解：由余弦定理得．……（6分）由于0＜A＜π，所以………（8分）故…………（11分）………（13分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式进行求解本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．16.【答案】解：（1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜．对于事件A，三次比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜．因此，P（A）=0.8×0.9=0.72；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ，则随机变量ξ的可能取值为-1000和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P，则．随机变量ξ的分布列如下表所示：所以，．因此，田忌一年赛马获利的数学期望为-100×12=-1200金．【解析】（1）由题意知，田忌第三场比赛必输，则前两场比赛都胜，因而利用相互独立事件的概率乘法公式可得出答案；（2）先计算出田忌比赛一次获胜的概率，并计算出田忌比赛一次获利的数学期望，再这个期望上乘以12即可得出田忌一年赛马获利的数学期望．本题考查离散型随机变量及其数学期望，解决本题的关键就是弄清概率的类型，并计算出相应事件的概率，考查计算能力，属于中等题．17.【答案】证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD=2，PA=2．∴AB=AC==2，∴AB2+AC2=BC2，PA2+AC2=PC2，∴AB⊥AC，AP⊥AC，∵AB⊥PC，AC PC=C，AC，PC平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又AB平面PAC，∴PA⊥AB，∵AB∩AC=A，AB，AC平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段PD上，存在一点M（a，b，c），使得二面角M-AC-D的大小为60°，且=λ，（0≤λ≤1），A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-1，1，0），=（a，b，c-2），=（-1，1，-2），∴，∴M（-λ，λ，2-2λ），∴=（0，2，0），=（-λ，λ，2-2λ），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），平面ACD的法向量=（0，0，1），∵二面角M-AC-D的大小为60°，∴cos60°==，解得．∴在线段PD上，存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为60°，=4-2．【解析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为60°，=4-2．本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知得a-c=1，即，解得a=2，所以c=1，得，椭圆方程为．（Ⅱ）解：由题意，画图如下：设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k（x-2），设B（x B，y B）由方程组，消去y，整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0解得x=2或，即得：x B=，则y B=k（x B-2）=k（-2）=-．∴B点坐标为（，-）．∵F点坐标为（1，0），∴直线l BF的方程为：y=-（x-1）．∵k BF•k HF=-1，∴k HF=-=．∴直线l HF的方程为：y=（x-1）．∴H点坐标为（0，-），∴直线l HM的方程为：y=-x-．由为，解得：．∴M点坐标为（，-），∴|OM|2=（）2+（）2，|AM|2=（）2+（）2．∵在△OMA中，∠MOA≤∠MAO，∴|OM|2≥|AM|2，即：≥．化简，得：20k2+9≥4k2+15，∴16k2≥6，即：k2≥．∴k≤-，或k≥．直线l的斜率的取值范围为：（-∞，-]∪[，+∞）．【解析】本题第（Ⅰ）题可根据|OA|-|OF|=1解得a、c的值，然后即可得到椭圆的标准方程及离心率e；第（Ⅱ）题可设直线l的斜率为k（k≠0），设直线l的方程为y=k（x-2），然后联立直线l与椭圆的标准方程可得点B的坐标，然后步步推进可得M点坐标，再根据在△OMA中，∠MOA≤∠MAO，得到|OM|2≥|AM|2，代入具体关于k的表达式，可得k的取值范围．本题第（Ⅰ）题主要考查椭圆的基本概念及离心率的知识点；第（Ⅱ）题综合考查了联立直线与椭圆的标准方程可得点的坐标，互相垂直的直线求直线方程，以及三角形知识的综合题．本题属较难的中档题．19.【答案】解：（I）设等比数列{a n}的公比q＞0，，--2=0，解得q=．∴a n=．设等差数列{b n}的公差为d，∵a3==，a4==．∴2b1+8d=8，3b1+16d=16，解得b1=0，d=1，∴b n=n-1．（Ⅱ）（i）S n==1-{S n}的前n项和为T n=n---……-=n-=n-1+．（ii）证明：==-．∴=-+-+……+-=-＜．【解析】（I）设等比数列{a n}的公比q＞0，，--2=0，解得q．可得a n．设等差数列{b n}的公差为d，由a3==，a4==．利用通项公式可得b n．（Ⅱ）（i）利用求和公式可得S n=1-可得{S n}的前n项和为T n═n-1+．（ii）由（i）可得：=-．利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）f′（x）=（1+kx）e kx，因为f（0）=0，且f′（0）=1，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x．（4分）（2）令f′（x）=（1+kx）e kx＞0，所以1+kx＞0，当k＞0时，x＞-，此时f（x）在（-∞，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增；当k＜0时，x＜-，此时f（x）在（-∞，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减．（8分）（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，即存在x∈[1，2]，使g（x）=x2-2bx+4≤-，即2b≥x+，即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥2+．（14分）【解析】（1）f′（x）=（1+kx）e kx，由f（0）=0，且f′（0）=1，能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）令f′（x）=（1+kx）e kx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性．（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，由此能求出实数b取值范围．本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．。

2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k Î³，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-×³-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。

2020年天津市高考数学压轴试卷(二)(有答案解析)

9.答案：（x-1）2+y2=5
解析：【分析】根据题意，设 MN 的中点为 O，由 MN 的坐标求出 O 的坐标以及 MN 的长，即可得要求圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案．本题考查圆的标准方程的计算，注意分析圆心坐标以及半径，属于基础题．【解答】
解：根据题意，设 MN 的中点为 O，则以线段 MN 为直径的圆的圆心为 O，半径 r= ，
19. 数列{an}是等比数列，公比大于 0，前 n 项和 Sn（n∈N*），{bn}是等差数列，已知
a1= ， = +4，a3= ，a4=
．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式 an，bn；（Ⅱ）设{Sn}的前 n 项和为 Tn（n∈N*）（i）求 Tn；
（ii）证明：
＜．
20. 设函数 f（x）=xekx（k≠0），（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）设 g（x）=x2-2bx+4，当 k=1 时，若对任意 x1∈R，存在 x2∈[1，2]，使 f（x1） ≥g（x2），求实数 b 取值范围．
12.答案：
解析：【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题．
结合已知及向量的基本定理可得
，结合已知
m，t．【解答】
解：由题意及图，
又
，
∴
，
∴
，
又
，
，可求，
∴
，解得，．
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故答案为：．
13.答案：（-∞，0）∪（e，+∞）
解析：解：函数 f（x）=
B.
C.
D. f（x）=x-1

KS5U2024高考压轴卷——数学(理)(全国甲卷) 含解析

KS5U2024高考压轴卷全国甲卷数学试卷（理工农医类）说明：1．本试卷分第1卷和第11卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2.本试卷满分150分，120分钟完卷．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l已知集合A={x l-1釭<s},B ={xE Nly= I o g3(x-2)}，则矿B=（）A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}2欧拉公式矿＝cos0+isin0把自然对数的底数e'虚数单位i,cos0和sin0联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足(e;•+ i) · z = I + i,则正确的是()A.z的共辄复数为－i C.z的虏部为IB.z的实部为l D.z的模为13在(l+x)3+（l+x)4+(l+x)5的展开式中，含x2项的系数是（） A.16 B.19 C.214已知角a的终边经过点p[A.5－沉B.41而2a＇），则2cos—+sin a= ()4 4 2－而－5C. 5＋而4 4D.24D.扣－545.执行下面的程序框图，输出的s = (I I25 A —B.—1224c.－D .l6已知向量OA=(l,0),08=(1,1),0力坐标原占，6点P(x ,y)满足约束条件{°三OP O A 三1，则O::;;OP-OB::;;2z=x-2y 的最大值为() A.-2B.2C.一3D. 37.2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A,B, C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有()A. 18种B. 24种C. 36种D.48种8.Cl., 13, y为不同的平面，m,n, I为不同的直线，则m..L0的一个充分条件是A.nJ_a,nJ_/J ，mJ_a c.aJ_y,fJJ_y,mJ_aB.a nr =m ,a .Lr ,fJ.Lr D.a.LfJ,anf]=l,m.Ll9如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y-(单位：小时）与储藏温度x（单位：．C）满足函数关系y = e•x+b (a, b.为常数），若该果蔬在7°C的保鲜时间为288小时，在21·c的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过()A.l4'CB.l5'Cc.l3.cD.l6'CJO “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为J5，则该多而体外接球的表面积为（A. 8兀C.2兀B. 4亢4D.-nx 2v2II.设凡，F 2是双曲线C—--S,=l(a>O,b >O )的左、右焦点，0是坐标原点，点P 是C上异千实轴a 2 b2 端点的任意一点，若I PF; II PF 21-1 OPl 2= 2a 2，则C的离心率为（）A.石B.五C.3D.212已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且（x-2)[f'(x)-f(x)]>0,/(4-x)=f(x)e七2入．，则不等式e 3/(I n x )＜寸(3)的解集是（）A.(0,e 3)B.(l,e 3)C.(e 心）D.(e3，叫第11卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.已知f(x)=x 2+1为偶函数，则a=(3x+2)(x-a)14已知丛ABC 的三边长AB =4cm, BC = 2cm ,A C = 3cm ,则丛ABC 的面积为cm 215.已知两点M(-1,0),N(l,0),若臼线x-y+m=O 上存在唯一点P 满足PM -PN=O ,则实数m 的值为16已知F为抛物线C:x2=4y的焦点，过点F的直线／与抛物线C相交千不同的两点A、B,若抛物线C4的最小值为在A、B两点处的切线相交千点P,则IPFl2＋了了三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知S,，为各项均为正数的数列{a,，｝的前n项和lZi E (0, 2), a: + 3a,, + 2 = 6S,,(l)求{a,,}的通项公式；(2)设九＝，数列｛丸｝的前，i项和为兀，若对VnEN.，区4T,，恒成立，求实数t的最大值a,,a,i+118某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收渠并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益}{单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）：月份I23456广告投入侵 2 7 8 lO收益20 30 34 37他们分别用两种模型＠y = b x+ a, ® y = ae 1,'进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．8 6 4残差残差图｀2 -－－ i -－一疗3 _ ｀、,4-－－ 5-－－－6 -－－－。

高考数学真题解析——2023天津卷第15题(填空题压轴)

高考数学真题解析——2023天津卷T14（填空题压轴）若函数f（x）＝ax2﹣2x﹣|x2﹣ax+1|有且仅有两个零点，则a的取值范围为．初次审题很快能发现这是常见的零点问题，那就只需要常规的处理方式，转化为“)xf=”，既“ax2﹣2x = |x2﹣ax+1|”有两解，然后再利用图象等处g)((x理方式求解参数的范围。

接下来……(～￣▽￣)～不会了y = |x2﹣ax+1|的图象本身就因为含参数带有不确定性，只能画个草图，而且！！！y = ax2﹣2x也有这个问题，它俩结合在一起，图象就更难讨论了。

此路不通，再开一条大路呗！( •̀ω•̀)无法利用图象，怎么办呢？“ax2﹣2x = |x2﹣ax+1|”这个绝对值看起来不是个好人，干它，消灭它！那就有一个问题，我们知道去掉||m绝对值是要看0m还是0m。

<=>m、0可是x2﹣ax+1到底是哪一种呢？大家可以顾一下一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数，我们简称“三个二次”之间的关系：这样我们就知道有三种情况，所以要进行分类讨论（重要的数学思想：分类讨论）。

由于Δ＝0和Δ＜0时对于去掉绝对值的影响是一样的，所以我们可以分为两类Δ≤0和Δ>0。

那么接下来了我们开始进行讨论：要记住我们的目标等式“ax 2﹣2x = |x 2﹣ax +1|”有两解1. 042≤-=a Δ，既22≤≤-a （注意：在分类讨论的时候，先讨论简单的类型，有助于拿分，在这里x 2﹣ax +10≥恒成立，情况较为简单）这时绝对值去掉，等式变为“ax 2﹣2x = x 2﹣ax +1”，化简整理转化为()()01212=--+-x a x a ()[]()0111=+--x x a很多同学不会含参数的因式分解，需要多多练习，可以结合根和系数之间的关系来入手。

很明显方程 ()[]()0111=+--x x a 有两个根1-=x 或()011=+-x a ，这时我们要注意两个问题①()011=+-x a 11-=a x 要想有意义，必须1≠a ②两个根指的是不同的两个根，也就是111-≠-a ，既0≠a再结合大前提22≤≤-a （我们现在进行的一切讨论都是在大前提的基础下进行的），故a 的取值范围为22≤≤-a 且1≠a 且0≠a .刚刚我们讨论了x 2﹣ax +10≥恒成立的情况，但它也可能可以在某些范围上是大于零，某些范围上是小于零，甚至于是等于零。

天津市高考数学压轴卷理

2017天津市高考压轴卷理科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞2.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．03.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法4.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等5.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③6.执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72557.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）608.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 10.12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为11.设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =12.如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。

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2014天津高考压轴卷数学理word一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x ＞1}，B={x|x ＜m}，且A ∪B=R ，那么m 的值可以是（） A ． ﹣1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 2．设集合{}|24x A x =≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =I (A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2] 3.函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（） A ． B ．C ． 0D ．4.函数f （x ）=log 2（1+x ），g （x ）=log 2（1﹣x ），则f （x ）﹣g （x ）是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数又不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数5．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为．6.设z=2x+y ，其中变量x ，y 满足条件，若z 的最小值为3，则m 的值为（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47.已知点P （x ，y ）在直线x+2y=3上移动，当2x +4y取最小值时，过P 点（x ，y ）引圆C ：=1的切线，则此切线长等于（）A．1 B．C．D．28.已知函数f（x）=ln（e x﹣1）（x＞0）（）A．若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＞b B．若f（a）+2a=f（b）+3b，则a＜bC．若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＞b D．若f（a）﹣2a=f（b）﹣3b，则a＜b二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．9. 设常数a∈R，若的二项展开式中x4项的系数为20，则a= ．10. 已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值．11.记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10= ．12.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______________.14.等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）求乙取到白球的概率．16.在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且A+B=120°，求△ABC 的面积及AB的长．17.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点．（Ⅰ）求证：DA1⊥ED1；（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45°，求的值；（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）．18.数列{a n}是递增的等差数列，且a1+a6=﹣6，a3•a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n的最小值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．19. 已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20. （13分）已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），（1）求g（x）的单调区间；（2）当a=1时，①比较的大小；②是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．2014天津高考压轴卷数学理word 参考答案 1. 【答案】D.【解析】根据题意，若集合A={x|x ＞1}，B={x|x ＜m}，且A ∪B=R ，必有m ＞1，分析选项可得，D 符合；故选D ．2. 【答案】D.【解析】{}|24{2}x A x x x =≤=≤，由10x ->得1x >，即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤I ，所以选D.3. 【答案】【解析】令y=f （x ）=sin （2x+φ），则f （x+）=sin[2（x+）+φ]=sin （2x++φ），∵f （x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k ∈Z ，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B ． 4. 【答案】【解析】∵f （x ）=log 2（1+x ），g （x ）=log 2（1﹣x ）， ∴f （x ）﹣g （x ）的定义域为（﹣1，1）记F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=log 2，则F （﹣x ）=log 2=log 2（）﹣1=﹣log 2=﹣F （x ）故f （x ）﹣g （x ）是奇函数．故选A.5. 【答案】C.【解析】'cos y x =,即()cos g x x =，所以22()cos y x g x x x ==，为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除A,B.当2cos 0y x x ==，得0x =或,2x k k Z ππ=+∈，即函数过原点，所以选C.6. 【答案】A.【解析】作出不等式组对应的平面区域， ∵若z 的最小值为3， ∴2x+y=3，由，解得，同时（1，1）都在直线x=m 上， ∴m=1．故选：A ． 7. 【答案】D.【解析】∵x+2y=3，2x+4y=2x+22y≥2x+2y=23=8，当且仅当 x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值8时，P 点的坐标为（，），点P 到圆心C 的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，故选：D ． 8. 【答案】A.【解析】根据复合函数的单调性可知，f （x ）=ln （e x﹣1）（x ＞0）为增函数， ∵函数的定义域为（0，+∞）． ∴a ＞0，b ＞0，设g （x ）=f （x ）+2x ， ∵f （x ）是增函数，∴当x ＞0时，g （x ）=f （x ）+2x 为递增函数， ∵f （a ）+2a=f （b ）+3b ，∴f （a ）+2a=f （b ）+3b ＞f （b ）+2b ，即g （a ）＞g （b ），∵g （x ）=f （x ）+2x 为递增函数， ∴a ＞b ，故选：A ． 9. 【答案】【解析】∵的二项展开式的通项公式为 T r+1=•a r•x10﹣3r，令10﹣3r=4，求得 r=2，故二项展开式中x4项的系数为•a2=20，解得a=±，故答案为：±．10. 【答案】【解析】∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜α＜，又＜β＜π，∴﹣π＜2α﹣β＜﹣，∵tan2α===，tanβ=﹣，∴tan（2α﹣β）===1，∴2α﹣β=﹣．11. 【答案】【解析】等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．12. 【答案】【解析】由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V=×23=4．13. 【答案】【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．S ABCD=故答案为：14. 【答案】【解析】根据题意，得∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，因此，三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C ﹣HAM的体积最大设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB=可得CD=，BD=Rt△ACD中，根据等积转换得CH==Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==因此，S△CMH=CH•HM==∵4+2tan2θ≥4tanθ，∴S△CMH=≤=，当且仅当tanθ=时，S△CMH达到最大值，三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值．∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=，可得cosθ=（舍负）由此可得CD==，即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时，CD的长为故选：C15. 【解析】（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，由题意知…（1分）=，解得n=4或n=﹣3（舍去）…（3分）∴黑球有4个，白球有3个．由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分），，，…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）∴ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5P…（8分）所以数学期望为：…（9分）（Ⅱ）∵乙后取，∴乙只有可能在第二次，第四次取球，记乙取到白球为事件A，则，…（11分）答：乙取到白球的概率为．…（12分）16. 【解析】∵A+B=120°，∴C=60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b=，ab=2，∴S△ABC==，AB=c====．17. 【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B （1，1，0），C（0，1，0），D1（0，1，2），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）（Ⅰ）证明：=（1，0，1），=（﹣1，﹣m，1）∴•=0∴DA1⊥ED1；（4分）（Ⅱ）解：设平面CED1的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（0，﹣1，1），=（1，m﹣1，0）∴．取z=1，得y=1，x=1﹣m，得=（1﹣m，1，1）．∵直线DA1与平面CED1成角为45°，∴sin45°=|cos＜，＞|=，∴=，解得m=．﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（Ⅲ）解：点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18. 【解析】（1）由得：，∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根，∴x1=﹣2，x2=﹣4；∵等差数列{a n}是递增数列，∴a3=﹣4，a4=﹣2，∴公差d=2，a1=﹣8．∴a n=2n﹣10；（2）∵S n==n2﹣9n=﹣，∴（S n）min=S4=S5=﹣20；（3）由a n≥0得2n﹣10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当1≤n≤5且n∈N*时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a n）=﹣S n=﹣n2+9n；当n≥6且n∈N*时，T n=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|=﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+…+a n）=S n﹣2S5=n2﹣9n﹣2（25﹣45）=n2﹣9n+40．∴T n=．19. 【解析】（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q （，0），使得恒成立.20. 【解析】，g（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，g'（x）＜0，（0，+∞）是g（x）的单调区间；②当a＞0时，由g'（x）＞0，得；由g'（x）＜0，得，即增区间是，减区间是．（2），∴①当x=1时，μ（x）=0，此时②当0＜x＜1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＞μ（1）=0．∴③当x＞1时，μ'（x）＜0，∴μ（x）＜μ（1）=0．∴．（3）⇔⇔∵lnx∈（0，+∞），∴g（x0）＞lnx不能恒成立．故x0不存在．- 11 -。

天津市高考数学压轴卷 理(含解析)

天津市2021高考数学压轴卷 理（含解析）(1)