吉林省长春市2020年中考数学评价检测试卷解析版
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A. 8
B. -8
C. 16
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
9. 分解因式：a3b-4ab=______．
10.
= ______ ．
11. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，对角线 AC
是⊙O 的直径，AB=2，∠ADB=45°，则⊙O 的半径长为
______．
D. -16
12. 2022 年在北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校 都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由 AB，BC 两部分组成，AB，BC 的长度都为 200 米，一位同学 乘滑雪板沿此轨道由 A 点滑到了 C 点，若 AB 与水 平面的夹角 α 为 20°，BC 与水平面的夹角 β 为 45°， 则他下降的高度为______米．
17. 为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活 动，先以每小时 6 千米的速度走平路，后又以每小时 3 千米的速度上坡，共用了 3 小时；原路返回时，以每小时 5 千米的速度下坡，又以每小时 4 千米的速度走平路 ，共用了 4 小时，问平路和坡路各有多远．
18. 如图，在△ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径作⊙O，交 AC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线 DE，交 BC 于点 E． 求证：DE⊥BC．
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三、解答题（本大题共 10 小题，共 78.0 分）
15. 先化简，再求值：（
）
，其中 a=2020．
16. 一个不透明的口袋中有 3 个小球，上面分别标有数字 2，3，4，每个小球除数字不 同外其他都相同，小颖先从口袋中随机摸出个小球，记下数字后放回并搅匀；再从 口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小颖两次摸出的小球 上的数字之和为 6 的概率．
C. 2.15×106
D. 0.215×107
3. 如图，是由 4 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视
图是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 计算（2m）3 的结果是（ ）
A. 2m3
B. 8m3
C. 6m3
D. 8m
5. 若关于 x 的一元二次方程 x2-4x+c=0 有实数根，则常数 c 的值不可能为（ ）
甲 91 89 77 86 71 31 97 93 72 91
81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙 84 93 66 69 76 87 77 82 85 88
90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据
分段 学校
30≤x≤39
13. 如图，长方形 ABCD 中，AB=4，AD=3，长方形内有一 个点 P，连接 AP，BP，CP，已知∠APB=90°，CP=CB， 延长 CP 交 AD 于点 E，则 AE=______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a（x+2）2+b-1 与 y=a（x-3）2+b 交于点 A． 过点 A 作 y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点 B、C（点 B 在点 A 左侧，点 C 在点 A 右侧），线段 BC 的长为______．
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19. 如图，在 4×4 的网格中，每个小正方形的边长为 1，线段 AB、 CD 的端点均为格点． （1）AB 的长度为______，CD 的长度为______． （2）若 AB 与 CD 所夹锐角为 α，求 tanα 的值．
20. 为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请 将有关问题补充完整． 收集数据：随机抽取甲乙两所学校的 20 名学生的数学成绩进行分析：
A. -4
B. 4
C. -16
D. 16
6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，按以下步骤作图：
①以点 B 为圆心，以小于 BC 的长为半径画弧，分别交
、BC 于点 E、F；
②分别以点 E、F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，
两弧相交于点 G； ③作射线 BG，交 AC 边于点 D，若 BC=4，AB=5，则 S△ABD （ ）
88
91
268.43
乙
81.95
86
m
115.25
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经统计，表格中 m 的值是______． 得出结论： a 若甲学校有 400 名初二学生，估计这次考试成绩 80 分以上人数为______． b 可以推断出______学校学生的数学水平较高，理由为______．（至少从两个不同 的角度说明推断的合理性）
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
甲1
1
0
0
3
7
8
乙 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
统计量 学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81.85
A. 3
B.
C. 6
D.
7. 如图，某江段江水流向经过 B、C、D 三点拐弯后与原来方向相
同，若∠ABC=125°，∠BCD=75°，则∠CDE 的度数为（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 35°
D. 50°
8. 如图，点 B 是反比例函数 图象上的一点，矩形 OABC 的周长是 20，正方形
OCDF 与正方形 BCGH 的面积之和为 68，则 k 的值为（ ）
中考数学评价检测试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1. 在 0，-3，1，π 中，无理数是（ ）
A. 0
B. -3
C. 1
D. π
2. 长春市农博产业园占地 2150000 平方米，数字 2150000 用科学记数法表示为（ ）
A. 21.5×105
B. 2.15×105
2020年吉林省长春市中考评价检测数学试题及答案
吉林省长春市2020年中考数学评价检测试卷一．选择题1.-2的相反数可以是( )A. +(-2)B. -(+2)C. -12D. -(-2)2.如图是正方体的表面展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小为（ （A. -2B. -3C. -6D. -73.下列计算中正确的是（）A. a2+b3＝2a5B. a4÷a＝a4C. a2•a4＝a8D. （﹣a2）3＝﹣a64.如图，关于x的不等式x≥32a的解集表示在数轴上，则a的值为()A. -1B. 2C. 1D. 35.已知多边形的每个内角都是108°,则这个多边形是( )A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 不能确定6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°7.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距（）A. 100海里B. 海里C. 50海里D. 25海里8.如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx(k ＞0，x ＞0)的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ，N ，且OM =2MA ，若AB =3，那么点N 的横坐标为( )A.32C. 4D. 6二．填空题9.因式分解：4x 2y ﹣9y 3＝_____．10.用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设_____．11.关于x 的一元二次方程x 2+k =0有实数根，则实数k 的取值范围为_____．12.一次函数y ＝kx +6的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一次函数的表达式为_____． 13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，点B 、C 的对应点分别为点B '、C ′，AB ′与BC 相交于点D ，当B ′C ′∥AB 时，则CD ＝__．14.某数学兴趣小组研究二次函数()212302y ax ax a =-++≠的图象发现，随着a 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_____．三．解答题15.计算：2()()(2)a b a b a b +-+-16.体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次． （1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的概率是多少 （2）如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率．17.某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?18.如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 的中点，点P 是BC 边上一动点，PE ⊥MC ，PF ⊥BM ，垂足为E 、F ．(1)当矩形ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF 为矩形？猜想并证明你的结论． (2)在(1)中，当点P 运动到什么位置时，矩形PEMF 变为正方形，为什么？19.河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题：（1）【收集数据】若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是________（ ①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩； ②按男、女各随机抽取18名学生的成绩；的的③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩．（2）【整理数据】将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空：（C类和D类部分的圆心角度数分别为________°（________°（②估计九年级A（B类学生一共有________名．（3）【分析数据】教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下表：你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由．20.我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为30°”.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果12AC AB =，那么30B ∠=︒.请你根据上述命题，解决下面的问题：（1）如图1，A ，B 为格点，以A 为圆心，AB 长为半径画弧交直线l 于点C ，则∠=CAB ______︒；（2）如图2，D 、F 为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）． 作Rt DEF ∆，使点E 在直线l 上，并且90DEF ∠=︒，15EDF ∠=︒.（3）如图3，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 为ABC ∆内一点，AD AC =，CE AD⊥于E ，且12CE AD =. ①求BAD ∠的度数； ②求证：BD CD =.21.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间路程y（千米）与出发后所用时间x(小时）之间的函数关系如图所示.的（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.（2）求m的值.（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇.22.如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．23.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，动点P从点B出发，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动，到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒．(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值(4)若点E为BC中点，直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值．24.如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．（1）求A，D两点的坐标；（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接P A、PD．①当点P横坐标为2时，求△P AD的面积；②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．的参考答案一．选择题1.-2的相反数可以是( )A. +(-2)B. -(+2)C. -12D. -(-2)【答案】D【解析】【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，即可得出答案．【详解】解：-2的相反数是2，可以是-（-2）；故选D．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．2.如图是正方体的表面展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小为（ （A. -2B. -3C. -6D. -7【答案】C【解析】【分析】根据相对的面相隔一个面得到相对的2个数，相加后比较即可．【详解】易得3和-6是相对的两个面；-4和-2是相对两个面；1和5是相对的2个面，∵3+(-6)=-3（-4+(-2)=-6（1+5=6（∴原正方体相对两个面上的数字和最小的是-6（【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解决本题的关键是根据相对的面的特点得到相对的两个面上的数字．3.下列计算中正确的是（）A. a2+b3＝2a5B. a4÷a＝a4C. a2•a4＝a8D. （﹣a2）3＝﹣a6【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，可判断A；根据同底数幂的除法，可判断B；根据同底数幂的乘法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．【详解】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查积的乘方、同类项合并、同底数幂的乘法和除法，解题的关键是知道积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4.如图，关于x的不等式x≥32a-的解集表示在数轴上，则a的值为()A. -1B. 2C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式进而得出答案．【详解】∵不等式x≥32a-的解集表示在数轴上为：1x≥-，故31 2a-=-，解得：1a=．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．5.已知多边形每个内角都是108°,则这个多边形是( )A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数=边数可得答案．【详解】∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°-108°=72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°=5，∴这个多边形是五边形，故选A．【点睛】此题考查多边形的外角与内角，解题关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°【答案】B【解析】试题分析：∵OB（OC（（OCB（40°（（（BOC（180°（2（OCB（100°（∴由圆周角定理可知：∠A（12（BOC（50°（故选B（7.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距（）的A. 100海里海里 C. 50海里 D. 25海里【答案】C【解析】【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，即可得出结果．【详解】解：∵由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝50海里，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝50海里，故选：C．【点睛】本题考查方向角问题，根据题意得出△ABC为等边三角形是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么点N的横坐标为()A.32B.32+ C. 4 D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM ，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M 的坐标，进而确定反比例函数的关系式；用直线AB 的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x 的值即可．【详解】过点N 、M 分别作NC ⊥OB ，MD ⊥OB ，垂足为C 、D ，∵△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=OB=3，∠AOB=∠ABO=60°， 又∵OM=2MA ， ∴OM=2，MA=1，在Rt △MOD 中，∠OMD=90︒-∠MOD =30°，OD=12OM=1，MD ==∴点M 的坐标为 (1)，∴反比例函数的关系式为：y=设OC=a ，则BC=3-a ，， 在Rt △BCN 中，∠BNC=90︒-∠NBC =30°，∴，(3-a)，解得：32a +=，32a =(舍去)，∴点N 的横坐标为32+ 故选：B ．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．二．填空题9.因式分解：4x 2y ﹣9y 3＝_____． 【答案】y（2x+3y（（2x -3y（ 【解析】 【分析】直接提取公因式y ，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】4x 2y（9y 3=y(4x 2-9y 2=x(2x+3y)(2x -3y).【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 10.用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设_____．【答案】若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 上或⊙O 内． 【解析】 【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案．【详解】用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 上或⊙O 内． 故答案为：若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，且d ＞r ，则点P 在⊙O 上或⊙O 内． 【点睛】本题主要考查了反证法，正确掌握反证法的解题方法是解题关键． 11.关于x 的一元二次方程x 2+k =0有实数根，则实数k 的取值范围为_____． 【答案】k ≤0 【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根和根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程20x k +=有实数根，1a =，0b =，c k =，∴2240410b ac k =-=-⨯⨯≥⊿， 解得：0k ≤， 故答案为：0k ≤．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于k 的不等式是解此题的关键． 12.一次函数y ＝kx +6的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一次函数的表达式为_____． 【答案】y ＝±2x +6 【解析】 【分析】先求出一次函数y ＝kx +6与x 轴和y 轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k 的方程，解方程即可求出k 的值．【详解】解：一次函数y ＝kx +6与x 轴的交点为（﹣6k，0），与y 轴的交点为（0，6）． ∵y ＝kx +6和两坐标轴围成的三角形的面积是9， ∴12×6×|﹣6k|＝9， ∴k ＝±2，．所以解析式为：y ＝±2x +6． 故答案为y ＝±2x +6．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和线段长度的转化．13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，点B 、C 的对应点分别为点B '、C ′，AB ′与BC 相交于点D ，当B ′C ′∥AB 时，则CD ＝__．【答案】74【解析】 【分析】设CD ＝x ，由B ′C ′∥AB ，可推得∠BAD ＝∠B ′，由旋转的性质得：∠B ＝∠B ′，于是得到∠BAD ＝∠B ，AC ＝AC ′＝4，AD ＝BD ＝8﹣x ，由勾股定理可求解． 【详解】设CD ＝x ， （B ′C ′（AB ， （（BAD ＝（B ′，由旋转的性质得：（B ＝（B ′，AC ＝AC ′＝6， （（BAD ＝（B ， （AD ＝BD ＝8﹣x ， （（8﹣x ）2＝x 2+62，（x ＝74， （CD ＝74，故答案为：74．【点睛】考核知识点：旋转的性质．理解旋转的性质是关键. 14.某数学兴趣小组研究二次函数()212302y ax ax a =-++≠的图象发现，随着a 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_____． 【答案】(0，3)，(4，3) 【解析】 【分析】先把原函数化为()1432y ax x =--+的形式，再根据当0x =或40x -=时函数值与a 值无关，把x 的值代入函数解析式即可得出y 的值，进而得出两点坐标．【详解】∵()211234322y ax ax ax x =-++=--+， 当0x =或40x -=时函数值与a 值无关， ∵当0x =时，3y =；当4x =时，3y =，∴两定点坐标为：(0，3)，(4，3)， 故答案为：(0，3)，(4，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意把函数化为()1432y ax x =--+的形式是解答此题的关键．三．解答题15.计算：2()()(2)a b a b a b +-+- 【答案】5a 2﹣4ab ． 【解析】 【分析】根据乘法公式即可求出答案． 【详解】原式=a 2﹣b 2+4a 2﹣4ab +b 2 =5a 2﹣4ab ．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 16.体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次． （1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的概率是多少 （2）如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率． 【答案】（1）14；（2）14. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次踢后，足球踢到了小华处的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过踢三次后，球踢到了小明处的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：（1）画树状图得：∵共有4种等可能的结果，经过两次踢后，足球踢到了小华处的有1种情况，∴足球踢到了小华处的概率是：14； （2）画树状图得：∵共有8种等可能结果，经过踢三次后，球踢到了小明处的有2种情况， ∴经过踢三次后，球踢到了小明处的概率为：28＝14． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．17.某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天． 【解析】 【分析】(1)设这项工程的规定时间是x 天，则甲队单独施工需要x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可. 【详解】(1)设这项工程的规定时间是x 天，则甲队单独施工需要x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意，得: 1551511.5x x++=． 解得: 30x =，经检验， 30x =是原方程的解，且符合题意． 答:这项工程的规定时间是30天．的(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，111()183045÷+=（天），答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.18.如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．(2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？【答案】(1) 当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形，理由见解析；(2) 当P是BC的中点时，矩形PEMF 为正方形，理由见解析【解析】【分析】(1)根据矩形的性质推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．(2)根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．【详解】(1)当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∵AD=2AB=2CD，AM=DM=12 AD，∴AB=AM=DM=CD，∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠MEP=∠FPE=90°，∴四边形PEMF 矩形，即当AD=2AB 时，四边形PEMF 为矩形； (2)当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形． 理由是：∵四边形PEMF 为矩形， ∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°， 在△BFP 和△CEP 中9045PFB PEC FBP ECP BP CP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△BFP ≌△CEP(AAS)， ∴PE=PF ，∵四边形PEMF 是矩形， ∴矩形PEMF 是正方形，即当P 是BC 的中点时，矩形PEMF 为正方形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．19.河西中学九年级共有9个班，300名学生，学校要对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行抽样分析，请按要求回答下列问题：（1）【收集数据】若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是________（ ①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩； ②按男、女各随机抽取18名学生的成绩； ③按班级在每个班各随机抽取4名学生的成绩．（2）【整理数据】将抽取的36名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图如下．请根据图表中数据填空：（C类和D类部分的圆心角度数分别为________°（________°（②估计九年级A（B类学生一共有________名．（3）【分析数据】教育主管部门为了解学校教学情况，将河西、复兴两所中学的抽样数据进行对比，得下表：你认为哪所学校本次测试成绩较好，请说明理由．【答案】(1) （；（2）①60；30；②225；（3）河西中学，理由：平均分相同，河西中学极差和方差较小，河西中学成绩更稳定（或复兴中学，理由：平均分相同，复兴中学A（B类频率和高，复兴中学高分人数更多）【解析】【分析】（1）抽取的学生必须具有代表性，能够反映全年级的的情况，可得出抽样方法中最合理的是①（（2（①分别用C 类和D 类所占的百分比×360°，计算即可；②A（B 类学生一共有的人数=300×A（B 类学生所占的百分比之和，计算就可求解（（3）从平均数、方差、高分段的人数，对两所学校分别分析即可（【详解】解：（1）若从所有成绩中抽取一个容量为36的样本，以下抽样方法中最合理的是：①在九年级学生中随机抽取36名学生的成绩，故答案为①（（2（①C 类部分的圆心角度数为360°×16=60°（D 类部分的圆心角度数为360°×112=30°（ 故答案为60°（30°（②估计九年级A（B 类学生一共有300×1124⎛⎫+⎪⎝⎭=225（ 故答案225（ （3（河西中学，理由是平均分相同，河西中学极差和方差较小，河西中学成绩更稳定． 复兴中学，理由是平均分相同，复兴中学A（B 类频率和高，复兴中学高分人数更多．【点睛】本题考查了抽样调查、扇形统计图、用样本估计总体、频数与频率等，熟练掌握相关知识，能从统计图表中得到必要的信息是解题的关键（20.我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为30°”.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果12AC AB =，那么30B ∠=︒.请你根据上述命题，解决下面的问题：（1）如图1，A ，B 为格点，以A 为圆心，AB 长为半径画弧交直线l 于点C ，则∠=CAB ______︒；（2）如图2，D 、F 为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作Rt DEF ∆，使点E 在直线l 上，并且90DEF ∠=︒，15EDF ∠=︒.（3）如图3，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 为ABC ∆内一点，AD AC =，CE AD ⊥于E ，且12CE AD =. ①求BAD ∠的度数；②求证：BD CD =.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）①30°；②见解析.【解析】【分析】（1）如图1中，作CF ⊥AB 于F ．由作图可知：AC=AB=2CF ，即可推出∠CAB=30°．（2）以D 为圆心，DF 长为半径画弧交直线a 于点G ，连接FG 交直线l 于E ，连接DE ，△DEF 即为所求．（3）①根据AC=2CE ，推出∠CAE=30°．②作DH ⊥BC ，想办法证明BH=CH 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作CF ⊥AB 于F ．由作图可知：AC=AB=2CF ，∴∠CAB=30°，故答案为30．（2）如图△DEF即为所求．（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=12 AC∴∠CAD=30°②作DH⊥BC于H．∵∠AEC=90°，∠CAE=30°∴∠ACE=60°，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠DCF=∠DCH=15°，∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD，∴△CDE≌△CDH（AAS），∴CE=CH=12AC=12BC，∴BH=CH，∵DH⊥BC，∴DB=DC．【点睛】此题考查作图-应用与设计，等腰直角三角形的性质，直角三角形30度角的判定，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B地行驶，两车之间的路程y（千米）与出发后所用时间x(小时）之间的函数关系如图所示.（1）求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.（2）求m的值.（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇.【答案】（1）甲的速度是60km/h，乙的速度是80km/h；（2）m=70；（3）3 14【解析】【分析】（1）设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，根据图形找到等量关系列出二元一次方程组即可求解；（2）求出0.5h乙走的路程，根据图像即可求解；（3）求出甲车没有故障停车两车相遇的时间即可比较.【详解】（1）设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，根据函数图像可得0.5()701.5180x yx y+=⎧⎨+=⎩解得6080 xy=⎧⎨=⎩故甲的速度为60 km/h，乙的速度为80 km/h（2）甲车故障后，0.5h乙走的路程为0.5×80=40，∴m=110-40=70（3）甲车没有故障停车两车相遇的时间为180 6080+=97∴可以提前1.5-97=314h.【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到等量关系求出甲乙两车的速度.22.如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．【答案】（1）①BE＝DG，②BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．理由见解析；（3）BG2+DE2＝25．【解析】【分析】（1）先判断出（ABE≌△DAG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出（ABE∽△DAG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET=x，AT=y．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）（如图（中，（四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，（AE ＝AG ，AB ＝AD ，（BAD ＝（EAG ＝90°，（（BAE ＝（DAG ，在（ABE 和（DAG 中，AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，（（ABE （（DAG （SAS ），（BE ＝DG ；（如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由（知，（ABE （（DAG ，（（ABE ＝（ADG ，（（ATB +（ABE ＝90°，（（ATB +（ADG ＝90°，（（ATB ＝（DTH ，（（DTH +（ADG ＝90°，（（DHB ＝90°，（BE （DG ，故答案为：BE ＝DG ，BE （DG ；（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．如图（中，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．（四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，（（BAD＝（DAG，（（BAE＝（DAG，（AD＝2AB，AG＝2AE，（ABAD＝AEAG＝12，（（ABE（（ADG，（（ABE＝（ADG，BEDG＝12，（DG＝2BE，（（ATB+（ABE＝90°，（（ATB+（ADG＝90°，（（ATB＝（DTH，（（DTH+（ADG＝90°，（（DHB＝90°，（BE（DG；（3）如图（中，作ET（AD于T，GH（BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵∠GAH+∠DAG=90°，∠BAE+∠DAG=90°，∴∠GAH=∠BAE，又∵∠GHA=∠ATE=90°，∴（AHG（（ATE，（GH AH AGET AT AE==＝2，（GH＝2x，AH＝2y，（4x2+4y2＝4，（x2+y2＝1，（BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出（ABE≌△ADG或（ABE∽△ADG是解本题的关键．23.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，动点P从点B出发，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动，到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒．(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值(4)若点E为BC中点，直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值．【答案】(1) BQ=2t(0≤t≤9) ；(2) S=2t2(0＜t≤4)，S=8t(4＜t≤9)；(3) t=6；(4) t=5或214或112或8【解析】【分析】(1)先计算得出点P和点Q走完全程所需时间，即可直接写出BQ的长；(2)分点P在AB上时和点P在AD上时，两种情况讨论，由三角形面积公式可求S与t的函数关系式；(3)当点P在AD上，且AP=CQ时，四边形APCQ是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在2-□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小() A．+B．-C．⨯D．÷2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为()A．933.8610⨯D．8⨯C．7⨯B．90.3386103.38610⨯3.386103．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变4．（3分）一元二次方程2+=的根的情况是()413x xA．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作等边三角形DEF，使点F在其内部，连结FC，则DFE∠的大小是()A．76︒B．66︒C．60︒D．48︒6．（3分）在ABCD中，AB BC<，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若∆的周长为()ABCD的周长为20cm，则CDEA ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1:2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．4mB ．25mC ．833mD ．8m8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，//BE AC ，//AE OB ．函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,2)，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：24a a = ．10．（3分）关于x 的方程21x a +=的解是负数，则a 的取值范围是 ．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交MAN ∠的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若60MAN ∠=︒，则ACB ∠的大小为 ．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，若8AB =，则EF = ．13．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为3(2-，2)、5(2，2)，连结AB ，若函数21()2y x h =-与线段AB 有交点，则h 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：2(1)(3)x x x ---，其中51x =．16．（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次黄色的概率．17．（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．18．（7分）如图，ABP ∆是等边三角形的顶点A 、B 均在O 上，PB 与O 相切于点B ，BC 为O 直径．（1）求证：PA 是O 的切线．（2）连结OP，若4BC=，则OP的长为．19．（7分）图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC∆顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC∆中BC边上的中线AD．（2）在图②中画出ABC∆的AB边上确定一点E，使2AE BE=．（3）在图③中画出BMN∆，使得BMN∆与ABC∆是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、AC边上，位似比为13．20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：（1）下列调查方式最合理的是（填序号）．①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内的200名在校学生．（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．①补全条形统计图．②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人．（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．21．（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y（件)、甲（件)与加工新产品的时间x（天)的函数图象如图所示．y乙（1）甲工厂每天加工件新产品；（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；（件)与加工新产品的时间x（天)的函数（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙关系式，并写出自变量x的取值范围．22．（9分）【问题情境】如图①，在Rt ABC=，点D为AB中点，连结CD，点E为CB∠=︒，AC BCACB∆中，90上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE CF=．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt ABC=，点D为AB中点，连结CD，点E为CB∠=︒，AC BC∆中，90ACB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边ABC∆中，4AB=，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C 重合），将射线DE 绕点D 逆时针旋转60︒交BC 于点F ．当2CF CE =时，CE = ．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =．动点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA 匀速向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 匀速向终点B 运动，以PC 、PQ 为邻边构造平行四边形PQMC ，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的长．（2）当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，求t 的值．（3）设平行四边形PQMC 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．（4）以PC 为边向左侧做正方形PCEF ，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t 的取值范围．24．（12分）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： ．（2）求抛物线2112y x x =-++的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线2:41L y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '，设四边形BB C C ''的面积为(0)S S>．①当四边形BB C C''为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在2-□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小() A．+B．-C．⨯D．÷【解答】解：231-+=，235--=-，236-⨯=-，2 233-÷=-，26513-<-<-<，∴在2-□3的“□”中填入一个运算符号“⨯”使运算结果最小，故选：C．2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为()A．93.38610⨯B．90.338610⨯C．733.8610⨯D．83.38610⨯【解答】解：将338600000用科学记数法表示为：83.38610⨯．故选：D．3．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变【解答】解：几何体由上下两层组成，将正方体①移走前的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，没有改变；将正方体①移走前的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，没有发生改变；将正方体①移走前的俯视图为：前面有两个正方形，后面有四个正方形，正方体①移走后的俯视图为：前面有一个正方形，后面有四个正方形，发生改变，4．（3分）一元二次方程2413x x +=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：原方程可变形为24310x x -+=，△2(3)44170=--⨯⨯=-<，∴一元二次方程2413x x +=没有实数根． 故选：A ．5．（3分）如图，以正五边形ABCDE 的边DE 为边作等边三角形DEF ，使点F 在其内部，连结FC ，则DFE ∠的大小是( )A ．76︒B ．66︒C ．60︒D ．48︒【解答】解：因为DEF ∆是等边三角形，所以60DFE ∠=︒，故选：C ．6．（3分）在ABCD 中，AB BC <，对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ，连结CE ，若ABCD 的周长为20cm ，则CDE ∆的周长为( )A ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm【解答】解：对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ，AE CE ∴=， ABCD 的周长为20cm ，10AD DC cm ∴+=，CDE ∴∆的周长10DE CE CD AE DE CD AD CD cm =++=++=+=，7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1:2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．4mB ．25mC ．833mD ．8m 【解答】解：如图，AB 的坡度为1:2， ∴12AC BC =，即142AC =， 解得，2AC =， 由勾股定理得，22224225()AB BC AC m =+=+=，故选：B ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，//BE AC ，//AE OB ．函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,2)，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．6【解答】解：//BE AC ，//AE OB ，∴四边形AEBD 是平行四边形，四边形OABC 是矩形，C 的坐标为(0,2)，12DA AC ∴=，12DB OB =，AC OB =，2AB OC ==， DA DB ∴=，∴四边形AEBD 是菱形；连接DE ，交AB 于F ，如图所示： 四边形AEBD 是菱形，AB ∴与DE 互相垂直平分，3OA =，2OC =，1322EF DF OA ∴===，112AF AB ==，39322+=，∴点E 坐标为：9(2，1)．函数(0,0)ky k x x =>>的图象经过点E ，99122k ∴=⨯=．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：24a a = 6a ． 【解答】解：24246a a a a +==． 故答案为：6a ．10．（3分）关于x 的方程21x a +=的解是负数，则a 的取值范围是 0.5a > ． 【解答】解：21x a +=的解为12x a =-，120a ∴-<，则0.5a >， 故答案为：0.5a >．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交MAN ∠的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若60MAN ∠=︒，则ACB ∠的大小为 30︒ ．【解答】解：由题意可得：2AB BC CD AD cm ====， ∴四边形ABCD 是菱形，//BC DA ∴，1302CAB CAD MAN ∠=∠=∠=︒，30ACB CAD ∴∠=∠=︒，故答案为：30︒．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，若8AB =，则EF = 2 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，D 是AB 的中点，且8AB =， AD BD ∴=，142CD AB ∴==， AF DF =，AE EC =，122EF CD ∴==．故答案为：2．13．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是 2210+ ．【解答】解：根据题意，三角形的底边为2(1024)2÷-=，腰的平方为223110+=， 因此等腰三角形的腰为10， 因此等腰三角形的周长为：2210+． 答：展开后等腰三角形的周长为2210+．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为3(2-，2)、5(2，2)，连结AB ，若函数21()2y x h =-与线段AB 有交点，则h 的取值范围是 7922h- ．【解答】解：函数21()2y x h =-，∴对称轴为x h =，当32h <-时，点3(2-，2)在函数图象上，则有2132()22h =--，解得72h =-或12h =（舍)，当52h >时，点5(2，2)在函数图象上， 则有则有2152()22h =-，解得12h =（舍)或92h =， 7922h∴-时函数与线段AB 有交点， 故答案为7922h-． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(1)(3)x x x ---，其中51x =． 【解答】解：原式22213x x x x =-+-+1x =+，当51x =时，原式11=+=．16．（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次黄色的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有9种，其中摸出的小球一次红色一次黄色的情况有2种，所以摸出的小球一次红色一次黄色的概率为29．17．（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．【解答】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(150%)x+万部，根据题意得：3003005(150%)x x-=+，解得：20x=，经检验，20x=是原方程的解，且符合题意，(150%)30x∴+=．答：每月实际生产智能手机30万部．18．（7分）如图，ABP∆是等边三角形的顶点A、B均在O上，PB与O相切于点B，BC为O直径．（1）求证：PA是O的切线．（2）连结OP，若4BC=，则OP的长为4．【解答】证明：（1）如图，连接OA ，OP ，AC ，PB 与O 相切于点B ，90PBO ∴∠=︒， ABP ∆是等边三角形，AB PB ∴=，60PAB PBA APB ∠=∠=︒=∠， 30OBA ∴∠=︒， OA OB =，30OAB OBA ∴∠=∠=︒， 90OAP ∴∠=︒，且OA 是半径，PA ∴是O 的切线；（2）PA 是O 的切线，PB 是O 的切线，OP ∴平分APB ∠，1302OPB APB ABC ∴∠=∠=︒=∠，BC 是直径，90BAC PBO ∴∠=︒=∠，且AB PB =，OPB ABC ∠=∠，()ABC BPO ASA ∴∆≅∆4BC PB ∴==，故答案为：4．19．（7分）图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC ∆顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC∆中BC边上的中线AD．（2）在图②中画出ABC∆的AB边上确定一点E，使2AE BE=．（3）在图③中画出BMN∆，使得BMN∆与ABC∆是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、AC边上，位似比为13．【解答】解：（1）如图①所示，AD即为所求；（2）如图②所示，点E即为所求；（3）如图③所示，MN即为所求．20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：（1）下列调查方式最合理的是②（填序号）．①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内的200名在校学生．（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．①补全条形统计图．②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人．（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．【解答】解：（1）下列调查方式最合理的是②从不同住宅楼中随机选取200名居民，故答案为：②；（2）①在图书馆学习的有：200(160%10%)60⨯--=（人)，在图书馆学习4h的有：60(14166)603624-++=-=（人)，补全的条形统计图，如右图所示；②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有：20060%120⨯=（人)，故答案为：120；（3）2450163661020001420200+++++⨯=（人)，答：该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的有1420人．21．（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y甲（件)、y乙（件)与加工新产品的时间x（天)的函数图象如图所示．（1）甲工厂每天加工20件新产品；（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙（件)与加工新产品的时间x（天)的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）160820÷=（件)；故答案为：20；（2）方法一：80204÷=，422-=，答：乙工厂维修设备的时间是2天；方法二：设y甲与x的函数关系式为y mx=甲，由题意，得8160m=，解得20m=，y 甲与x的函数关系式为20y x=甲，当80y=时，4x=，422-=（天)，答：乙工厂维修设备的时间是2天；（3）乙工厂第8天共加工了(82)40240-⨯=件，设y乙与x的函数关系式为y kx b=+乙，由题意，得480 8240k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得4080kb=⎧⎨=-⎩，y ∴乙与x 的函数关系式为4080y x =-乙．22．（9分）【问题情境】如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 于点F ．易知：BE CF =．（不需要证明） 【探索发现】如图②，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 的延长线上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 的延长线于点F ． 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由． 【类比迁移】如图③，在等边ABC ∆中，4AB =，点D 是AB 中点，点E 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），将射线DE 绕点D 逆时针旋转60︒交BC 于点F ．当2CF CE =时，CE =33-或17-+ ．【解答】解：【问题情境】证明：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，CD AB ∴⊥，12CD BD AD AB ===，45BCD B ∠=∠=︒， 90BDC ∴∠=︒， 90EDF ∠=︒， CDF BDE ∴∠=∠，在BDE ∆与CDF ∆中，B DCF BD CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BDE CDF ASA ∴∆≅∆，BE CF ∴=；【探索发现】成立， 理由：在Rt ABC ∆中，D 为AB 中点，CD BD ∴=，又AC BC =，DC AB ∴⊥，45DBC DCB ∴∠=∠=︒， DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，90EDB BDF CDF BDF ∴∠+∠=∠+∠=︒， CDF BDE ∴∠=∠， ADF CDE ∴∠=∠， AF CE ∴=， CF BE ∴=；【类比迁移】ABC ∆是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒， 60FDE ∠=︒，120BDF ADE ∴∠=︒-∠，120AED ADE ∠=︒-∠， BDF AED ∴∠=∠， ADE BDF ∴∆∆∽，∴AD AEBF BD=， 点D 为AB 中点，4AB =，2AD BD ∴==，4AC BC ==， 2CF CE =，∴设CE x =，则2CF x =，当点E 在线段AC 上时，4AE x ∴=-，42BF x =-，∴24422x x -=-， 解得：33x =-，33x =+（不合题意，舍去），33CE ∴=-，如图④，当点E 在AC 的延长线上时，4AE x =+，42BF x =-，∴24422x x +=-， 解得：17x =-+，（负值舍去），17CE ∴=-+．综上所述，33CE =-或17-+，故答案为：33-或17-+．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =．动点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA 匀速向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 匀速向终点B 运动，以PC 、PQ 为邻边构造平行四边形PQMC ，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的长．（2）当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，求t 的值．（3）设平行四边形PQMC 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．（4）以PC 为边向左侧做正方形PCEF ，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =，26AB AC ∴==；（2）当PQ AB ⊥时，9060BAC ABC ∠=︒-∠=︒，9030APQ BAC ∴∠=︒-∠=︒，2AP AQ ∴=，由题意得：2AQ t =，PC t =，3AP t ∴=-，322t t ∴-=⨯， 解得：35t =； 当//PQ BC 时，30AQP ABC ∠=∠=︒，90APQ ACB ∠=∠=︒，2AQ AP ∴=，22(3)t t ∴=-， 解得：32t =； 综上所述，当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，t 的值为35秒或32秒； （3）分两种情况：①当302t <时，作QG AC ⊥于G ，如图1所示：则12AG AQ t ==，33QG AG t ==， S ∴=平行四边形233PQMC PC QG t t t =⨯=；即23S t =（当30)2t< ②当332t <时，如图2所示：四边形PQMC 是平行四边形，//QM PC ∴，PC BC ⊥，QM BC ∴⊥，30ABC ∠=︒， 11(62)322QH BQ t t ∴==-=-， S ∴=直角梯形PCHQ 的面积133(3)32t t t t =-+⨯=； 即333(3)2S t t =<； （4）分两种情况：①当//PQ BC 时，正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是正方形PCEF ，轴对称图形，如图3所示：则30AQP ABC ∠=∠=︒，90APQ ACB ∠=∠=︒，2AQ AP =，22(3)t t ∴=-，解得：32t =； ②当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是等腰直角CPF ∆时，是轴对称图形； 则45CPF ∠=︒，作QD AC ⊥于D ，如图4所示：则12AD AQ t ==，33QD t ==， //PQ CM ，45QPD ∴∠=︒，QPD ∴∆是等腰直角三角形，3PD QD t ∴==，AD PD PC AC ++∠=，33t t t ∴+=， 解得：633t =-综上所述，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，t 的取值为32或633- 24．（12分）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： 顶点在x 轴上 ．（2）求抛物线2112y x x =-++的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线2:41L y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '，设四边形BB C C ''的面积为(0)S S >．①当四边形BB C C ''为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1） “同轴对称抛物线”的顶点重合， ∴顶点关于x 轴对称且重合，∴顶点在x 轴上，故答案为：顶点在x 轴上；（2）221131(1)222y x x x =-++=--+， ∴ “同轴对称抛物线”的顶点坐标为3(1,)2-， 213(1)22y x ∴=--； （3）①由题可知，(1,13)B a -，(1,31)C a ∴-，抛物线241y ax ax =-+的对称轴为2x =，(3,13)B a '∴-，(3,31)C a '-，2BB CC ''∴==，26BC a ∴=-或62BC a =-， 262a ∴-=或622a -=，0a ∴=（舍去）或23a =； ②函数的对称轴为2x =，函数L 的顶点坐标为(2,14)a -， L 与“同轴对称抛物线”是关于x 轴对称的，所以整数点也是对称的出现， 抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x 轴上的整数点可以是3个或5个，L ∴与x 轴围城的区域的整数点为4个或3个； 当0a >时，当1x =时，2131a --<-，∴213a <， 当2x =时，142a -<-，34a ∴>， ∴314a <； 当0a <时， 当2x =时，142a -，14a ∴-， 当1x =-时，510a +<，15a ∴<-，1145a ∴-<-； 综上所述：314a <或1145a -<-．。
2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5--C．3-D． 4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．3⨯D．50.7910⨯7.9107910⨯B．47.910⨯C．53．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒7．（3分）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC>．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．BDN CDN∠=∠B．2ADC B∠=∠C．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：24a -= ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5∠的值．OF=，求tan OBEBE=，220．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．20142019-年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB= ．23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5-C．3-D． 4.2-解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于4-，-，且小于2因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．30.7910⨯D．57.910⨯⨯C．57910⨯B．47.910解：79000这个数用科学记数法表示为：47.910⨯．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．解：32x-，1x，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=解：在Rt ABD∆中，90ADB∠=︒，则sinBDAAB=，cosADAAB=，tanBDAAD=，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒解：222040BOC BDC ∠=∠=⨯︒=︒， 18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ； ②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ． 下列说法不一定正确的是( )A ．BDN CDN ∠=∠B ．2ADC B ∠=∠ C ．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠， 2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠， 90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒， 290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ， 3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =， PCD ACB ∴∆∆∽， ∴PD CD CPAB CB CA==，2AP PC =， ∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)ky x x =>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 (3015)m n + 元． 解：根据单价⨯数量=总价得，(3015)m n +元， 故答案为：(3015)m n +．10．（3分）分解因式：24a -= (2)(2)a a +- ． 解：24(2)(2)a a a -=+-．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 1 ．解：关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△0=，2(2)40m ∴--=，1m ∴=，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 72 度． 解：正五边形的一个外角360725︒==︒． 故答案为：72．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 2π- （结果保留)π．解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+=45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12223602ACBCAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯⨯=-阴扇形，故答案为2π-．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为72．解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)， 4AB ∴=，抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==，∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++，解得，72k =． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =． 解：原式26962a a a =-++- 27a =+．当2a =时，原式2(2)79=+=．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC∆．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：36080203x x-=，解得：2x=，经检验，2x=是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5BE=，2OF=，求tan OBE∠的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB OD∴=，BE AC⊥，DF AC⊥，90OEB OFD∴∠=∠=︒，在OEB∆和OFD∆中，OEB OFDBOE DOF OB OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() OEB OFD AAS∴∆≅∆，OE OF∴=；（2）解：由（1）得：OE OF =， 2OF =， 2OE ∴=， BE AC ⊥， 90OEB ∴∠=︒，在Rt OEB ∆中，2tan 5OE OBE BE ∠==． 20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表． 20142019-年长春市空气质量级别天数统计表根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 2018 年． （2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5972+=，因此中位数是7天， 这6年的“重度污染”的天数的平均数为1315591586+++++=天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，433013-=天； 2016年，51438-=天； 2017年，655114-=天； 2018年，1236558-=天； 2019年，1261233-=天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为12365100%89%65-⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80240÷=（千米/时）； 4062480a =⨯⨯=，故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100120k b =⎧⎨=-⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为100120y x =-；（3）两车相遇前：80100(2)240100x +-=-，解得135x =； 两车相遇后：80100(2)240100x +-=+，解得235x =， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时． 22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP=时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=35．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD是矩形，90A ADA∴∠=∠'=︒，由翻折可知，90DA E A∠'=∠=︒，90A ADA DA E∴∠=∠'=∠'=︒，∴四边形AEA D'是矩形，DA DA='，∴四边形AEA D'是正方形．（2）解：结论：PQF∆是等腰三角形．理由：如图②中，四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，QFP APF ∴∠=∠，由翻折可知，APF FPQ ∠=∠，QFP FPQ ∴∠=∠，QF QP ∴=，PFQ ∴∆是等腰三角形．（3）如图③中，四边形PGQF 是菱形，PG GQ FQ PF ∴===，QF QP =，PFQ ∴∆，PGA ∆都是等边三角形，设QF m =，60FQP ∠=︒，90PQD ∠'=︒，30DQD ∴∠'=︒，90D ∠'=︒，1122FD DF FQ m ∴'===，332QD D F '='=， 由翻折可知，32AD QD ='=，PQ CQ FQ m ===， 52AB CD DF FQ CQ m ∴==++=， ∴332552m AD AB m ==． 35． 23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．解：（1）当点P 与B 重合时，54t =，解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，2222435AC AB BC ∴=+=+=，3sin 5A ∴=，4cos 5A =， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t ==， 54EC t ∴=-．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PEC ∆中，75PC t =-，3cos 5C =， 321cos (75)355EC PC C t t ∴==-=-．（3）当PDQ ∆是等腰直角三角形时，则PE DE =，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE PA A t ==，54256DE AC AE CD t t t =-----=-，PE DE =，356t t ∴=-，59t ∴=． 如图⑤中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t ==-=-， 3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， ∴28214555t t -=-， 解得5945t =． 观察图象可知满足条件的t 的值为509t <<或497455t <<．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，//QM AB 时，过点Q 作QG AB ⊥于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH BC ⊥于H ． ////PB MN DH ，PM DM =，BN NH ∴=，在RtPQG 中，26PQ PE t ==，42455QG PQ t ∴==，在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==， 242463555BC BH CH t t t =+=++=， 解得518t =． 如图⑦中，当点P 在线段BC 上，//QM BC 时，点点D 作DH BC ⊥于H ，过点P 作PK QM ⊥于K ．//QM BC ，DM PM =，2DH PK ∴=，在Rt PQK ∆中，82(75)5PQ PE t ==-， 324(75)525PK PQ t ∴==-， 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==， 2DH PK =，∴8242(75)525t t =⨯-， 解得65t =， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，∴点A 的坐标为：(0,1)-；（2）将点(1,2)代入221y x ax =--，得：2121a =--，解得：1a =-，∴函数的表达式为：221y x x =+-，2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线的开口向上，对称轴为1x =-，如图1所示：∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，顶点坐标为：2(,1)a a --， 当0a >时，对称轴在y 轴右侧，如图2所示：0x ，∴最低点就是(0,1)A -，图象的最低点到直线2y a =的距离为2，2(1)2a ∴--=，解得：12a =； 当0a <，对称轴在y 轴左侧，顶点2(,1)a a --就是最低点， 如图3所示：22(1)2a a ∴---=，整理得：2(1)2a +=，解得：11a =--21a =-；综上所述，a 的值为12或1--； （4）0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -， ∴直角边为EF 与FG ，抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，(0,1)A -， 2AA a ∴'=-，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则1p x =-，1EA OA ==，∴点P 在对称轴x a =的左侧，2(1)PP a ∴'=+，2AA PP '='，222(1)a a ∴-=⨯+， 解得：23a =-； 当点P 在FG 边上时，如图5所示：则1p y a =-，2211x ax a ∴--=-，解得：1x a =+，2x a =，(PP a a ∴'=+--= 2AA PP '='，224a a a∴-=+，解得：14 3a=-，20a=（不合题意舍去）；综上所述，a的值为23-或43-．。
吉林省长春市2020年中考数学试题(解析版)
（1）求证： OE OF ．
（2）若 BE 5 ， OF 2 ，求 tan OBE 的值．
20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污
片记为 B ）
17.图①、图②、图③均是 3 3 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点， 线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 AB 为边画 ABC ．
要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
秒 5 个单位长度的速度向点 C 运动，同时点 D 从点 C 出发，沿 CA 以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 点 P 到达点 C 时，点 P 、D 同时停止运动．当点 P 不与点 A 、C 重合时，作点 P 关于直线 AC 的对称点 Q ，
连结 PQ 交 AC 于点 E ，连结 DP 、 DQ ．设点 P 的运动时间为 t 秒．
年份
2014
30
215
73
28
13
6
2015 2016 2017 2018 2019
43
193
87
19
15
8
51
237
58
15
5
0
65
211
62
16
9
2
123
202
39
0
1
0
126
180
38
16
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷(十三)
中考数学评价检测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.2020的相反数是（）A. 2020B. -2020C.D.2.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（）A. 0.77×10-5mB. 0.77×10-6mC. 7.7×10-5mD. 7.7×10-6m3.如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A. 三棱柱B. 四棱锥C. 长方体D. 正方体4.下列运算正确的是（）A. （m+n）2=m2+n2B. （x3）2=x5C. 5x-2x=3D. （a+b）（a-b）=a2-b25.如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示为（）A. B.C. D.6.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为（）A. B. C. D. 17.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A. cmB. cmC. 64 cmD. 54cm8.如图，四边形OABF中，∠OAB=∠B=90°，点A在x轴上，双曲线y=过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF=4，则k的值为（）A. 6B. 8C. 12D. 16二、填空题（本大题共7小题，共25.0分）9.比较大小：-3______-2．10.因式分解：mn2-9m=______．11.下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是______．12.如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的内角和是______．13.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合，折痕是EF，连结EC．若AB=2，BC=4，则CE的长为______．14.如图，抛物线y=x2+bx+c（c＞0）与y轴交于点C，顶点为A，抛物线的对称轴交x轴于点E，交BC于点D，tan∠AOE=．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC=2AD时，c的值是______．15.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77乙93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70-79分为生产技能良好，60-69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）部门平均数中位数众数甲78.377.575乙7880.581得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为_____；b．可以推断出_____部门员工的生产技能水平较高，理由为_____．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）三、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.先化简，再求值：+，其中x=-1．17.甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局；若两人出的牌不同，则A胜B，B 胜C，C胜A.（1）用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；（2）求出现平局的概率.18.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱．现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题．19.如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若cos∠A=，AE=8，则⊙O的半径长为______．20.如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均为格点（1）在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出△ABC的高CM；（2）在图②中，连结点B与格点D．点P是BC的中点，点Q为BD上的一动点，当△CPQ的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出△CPQ．21.甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示（1）a的值是______，甲的速度是______km/h．（2）求乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（3）若甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？22.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点F为CE中点，连结DF、BF．【感知】如图①，当点D在AC上，点E在AB上时，易证：DF=BF，DF⊥BF．【探究】如图②，将△ADE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转45°，此时【感知】中的结论还是否成立？说明理由．【应用】如图③，将△ADE从图①中的位置绕着点A逆时针旋转90°，过点F作FG⊥BD于点G，若AB=6，AD=2，则线段FG的长为______．23.如图，BD是菱形ABCD的对角线，AB=BD=2cm．动点P从点A出发，沿折线AB-BC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，且不与点B重合时，过点P作PQ∥BD交折线AD-DC于点Q．以PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始终在PQ的同侧．设正三角形PQE与△ABD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）当点E落在BD上时，求t的值．（2）当点P在AB边上时，求S与t之间的函数关系式．（3）当点E落在∠BDC的平分线上时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称．在实数范围内定义函数y=（其中m为常数）的图象为G．（1）当点（-1，2）在G上时，求m的值；（2）当点B在G上时，求m的值；（3）m≠0时，连结AB，当G与线段AB恰好有两个公共点时，m=______．（4）当y最小值的取值范围是-2≤y最小值≤-1时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2020的相反数是：-2020．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：0.000 0077=7.7×10-6m．故选D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：由图得，这个几何体为三棱柱．故选：A．由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体．4.【答案】D【解析】解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故本选项错误；B、（x3）2=x6，故本选项错误；C、5x-2x=3x，故本选项错误；D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项正确；故选：D．根据完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了对完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式的应用，注意：完全平方公式有（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，题目比较好，难度适中．5.【答案】A【解析】解：由题意可知：2x+4≥0，∴x≥-2，故选：A．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：连接AQ，BQ，∵∠P=45°，∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形．∵AB=2，∴2BQ2=4，∴BQ=．故选：A．连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．过A作AE⊥CP 于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选：C．8.【答案】A【解析】解：如图，过F作FC⊥OA于C，∵，∴OA=3OC，BF=2OC∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m∵S△BEF=4∴BE=则E（3m，n-）∵E在双曲线y=上∴mn=3m（n-）∴mn=6即k=6．故选：A．由于，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=，然后即可求出E（3m，n-），依据mn=3m（n-）可求mn=6，即求出k的值．此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E 点坐标是解题关键．9.【答案】＜【解析】解：∵（3）2=18，（2）2=12，∴-3＜-2．故答案为：＜．先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小．此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．10.【答案】m（n-3）（n+3）【解析】解：原式=m（n2-9）=m（n-3）（n+3）．故答案为：m（n-3）（n+3）．首先提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．11.【答案】等腰三角形三线合一【解析】解：利用作图可得到OA=OB，PA=PB，利用等腰三角形的性质可判定OP平分∠AOB．故答案为：等腰三角形的三线合一．【分析】利用基本作图得到△OAB为等腰三角形，OP垂直平分AB，然后根据等腰三角形的性质可判定射线OP平分∠MON．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．12.【答案】540°【解析】解：∵多边形从一个顶点出发可引出2条对角线，∴n-3=2，解得n=5，∴内角和=（5-2）•180°=540°．故答案为：540°．根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n-3）求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列式进行计算即可得解．本题考查了多边形的内角和公式．能够利用多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．13.【答案】2.5【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，∵将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合，∴AE=CE，∴DE=AD-AE=4-CE，∵CE2=DE2+CD2，即CE2=（4-CE）2+22，∴CE=2.5，故答案为2.5．由四边形ABCD是矩形，得到CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，根据折叠的性质得到AE=CE，根据勾股定理列方程即可得到结论．该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，矩形的性质，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．14.【答案】或【解析】解：由tan∠AOE=，可设A、B点坐标分别为（2m，3m）、（2n，3n），∵AD∥OC，∴∠ADB=∠OCB，∠DAB=∠COA，∴△BAD∽△BOC．①当点A在线段OB上时，如图1所示．∵OC=2AD，∴D点为线段BC的中点，∵C（0，c），B（2n，3n），∴D点横坐标为=n，由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，∴n=2m，∴B点坐标为（4m，6m），∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，∴有，解得：，或，∵c＞0，∴c=；②当点B在线段OA上时，如图2所示．∵OC=2AD，∴OB=2AB．∵C（0，c），B（2n，3n），∴D点横坐标为×2n=3n，由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上，∴n=m，∴B点坐标为（m，2m），∵A，B在抛物线上，且抛物线对称轴为x=2m，∴有，解得：，或．∵c＞0，∴c=．综上所述：c的值为或．故答案为：或．设A（2m，3m）、B（2n，3n），分点A在线段OB上及点B在线段OA上两种情况，由OC=2AD，利用相似三角形的性质可得出m、n间的关系，将A、B点坐标代入抛物线与抛物线对称轴x=2m联立方程组，解方程组即可求得c的值．本题考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据OC=2AD找到A、B 点坐标的关系．15.【答案】解：（1）填表如下：a.240b.乙；①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．③乙部门生产技能测试中，优秀的员工人数为12多于甲8人，表示乙部门员工的生产技能水平较高．【解析】本题考查了数据分析的应用和用样本估计总体，属于中档题．根据收集的数据按分数段填表即可；a.用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案；b.根据情况进行讨论分析，理由合理即可．16.【答案】解：原式=-==x+1，当x=-1时，原式=．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17.【答案】解：（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）∵出现平局的有3种情况，∴出现平局的概率为：=.【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得出现平局的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.18.【答案】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，依题意，得：，解得：．答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗．【解析】设买美酒x斗，普通酒y斗，根据现在买两种酒2斗共付30钱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19.【答案】【解析】（1）证明：连接OB，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB=∠BCF，∴∠OBC=∠BCF，∴∠ABO=∠AEC=90°，∴OB⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）∵∠AEC=90°，cos∠A=，AE=8，∴AC=10，CE=6，∵OB∥CE，∴△AOB∽△ACE，∴，∴，∴OB=，∴⊙O的半径长为，故答案为：．（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OCB=∠BCF，得到∠OBC=∠BCF，求得∠ABO=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AC=10，CE=6，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20.【答案】解：如图所示，（1）CM即为所求；（2）△CPQ即为所求．【解析】（1）在图①网格中，根据勾股定理画出△ABC的高CM即可；（2）在图②网格中，根据平行四边形的对角线相等且互相平分线找到点P，连接AP交BD于点Q，即可画出△CPQ．本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．21.【答案】4.5 60【解析】解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a=4+0.5=4.5（小时），甲车的速度==60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）设乙开始的速度为v千米/小时，则4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），4v=360，则D（4，360），E（4.5，360），∴线段OD的函数关系式为y=90x（0≤x≤4），设直线EF的解析式为y=kx+b，，解得，所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；综上所述，乙车距A地的路程y与x之间的函数关系式为：y=；（3）易知C（0，40），设线段CF的解析式为y=kx+40，根据题意得，7k+40=460，解得k=60，∴线段CF的解析式为y=60x+40，∵甲乙两车距离不超过10km时，车载通话机可以进行通话，∴，解得，，解得，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（小时）．（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a=4.5，甲从A到B共用了（+7）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；（2）分段函数；设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），计算出4v=360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）；（3）求出线段CF的解析式，再根据题意列不等式组解答即可．本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．22.【答案】【解析】解：（1）DF=BF，DF⊥BF理由如下：如图①中，∵∠ABC=∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=CF=EF=CE，BF=CF=EF=CE，∴DF=BF，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∵DF=CF，∴∠DCF=∠CDF，∴∠DFE=∠DCF+∠CDF=2∠DCF，∵BF=CF，∴∠FCB=∠FBC，∴∠BFE=∠FBC+∠FCB=2∠BCF，∴∠DFB=∠EFD+∠EFB=2（∠DCF+∠BCF）=2∠ACB=90°，∴DF=BF．（2）（1）中的结论仍然成立如图②中，过点C作CM∥DE，交DF的延长线于M，连接DB，BM．∵DE∥CM，∴==，∠DEC=∠MCE，∵F是CE的中点，∴CF=EF，∴DF=FM，CM=DE，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD，BC=AB，∠DEA=∠DAE=∠CAB=∠ACB=45°，∴∠DEC=135°=∠ECM，∠DAB=90°，∴∠BCM=∠ECM-∠ACB=90°，∴∠DAB=∠BCM，且AB=BC，CM=DE=AD，∴△ADB≌△BCM（SAS），∴DB=BM，∠ABD=∠MBC，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠MBC+∠DBC=90°=∠DBM，且DB=BM，∴△DBM是等腰直角三角形，又∵DF=FM，∴BF=DF，BF⊥DF．（3）如图③中，延长DF，AC交于M，连接BF，BM．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠EDA=∠ABC=90°，AD=DE，AB=BC，∵∠DAC=90°，∴DE∥AC，∴==，∵F是EC中点，∴EF=CF，∴DF=FM，DE=CM，∵∠ACB=∠BAC=45°，∴∠DAB=135°=∠BCM，且AB=BC，AD=DE=CM，∴△ADB≌△CMB（SAS），∴BD=BM，∠ABD=∠CBM，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠CBM+∠DBC=90°，∴∠DBM=90°且BD=BM，∴△DBM是等腰直角三角形，又∵DF=FM∴BF=DF，BF⊥DF，∴△DFB是等腰直角三角形，又∵FG⊥BD，∴FG=BD，作DN⊥AB交BA的延长线于N，∵∠DAB=135°，∴∠DAN=45°且DN⊥AB，∴DN=AN，∵AN2+DN2=AD2=8，∴AN=DN=2，∴BN=AB+AN=8，在Rt△ADB中，DB==2，∴FG=BD=．故答案为（1）如图①中，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠ACB=90°，DF⊥BF．（2）如图②中，过点C作CM∥DE，交DF的延长线于M，连接DB，BM，易得DF=FM，CM=DE，可证明△ADB≌△BCM，可得BD=BM，BD⊥BM，即△DBM是等腰直角三角形，且DF=FM，则结论成立（3）如图③中，连接DF并延长交AC的延长线于M，连接BM，BF，易得DF=FM，CM=DE，可证明△ADB≌△BCM，可得BD=BM，BD⊥BM，即△DBM是等腰直角三角形，且DF=FM，可得△DBF是等腰直角三角形，且FG⊥BD，则FG=BD，作DN⊥AB，根据勾股定理依次可得AN，DN，BD长度，则FG的长度也求出了．本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=BD，∴∠A=∠C=60°，△ABD与△BCD是等边三角形，∵PQ∥BD，以PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始终在PQ的同侧，∴点P在AB上时，四边形APEQ是菱形，且△APQ与△EPQ是全等的等边三角形；点P在BC上时，四边形CPEQ是菱形，且△CPQ与△EPQ是全等的等边三角形；∴当AP=PE=PB时或CP=PE=PB时，点E落在BD上，即点P在AB中点或BC中点时，点E落在BD上，∴t==1（s）或t==3（s），∴当点E落在BD上时，求t的值为1s或3s；（2）∵△APQ是等边三角形，∴三角形各边的高为边长的，当0＜t≤1时，S=S△PQE=S△APQ=AP•AP=t×t=t2；当1＜t＜2时，如图1所示：过点E作EH⊥PQ于H，交BD于O，∵PQ∥BD，∴△EMN与△EPQ都是等边三角形，AP=PQ=PE=t，∴==，∵∠APE=120°，∴∠BPN=60°，∵∠PBN=60°，∴△BPN是等边三角形，∴PN=PB=2-t，EN=PE-PN=t-2+t=2t-2，∴MN===2t-2，OE=EN=（t-1），∴S=t2-MN•OE=t2-×（2t-2）×（t-1）=-t2+2t-；（3）①当点P在AB上时，点E落在∠BDC的平分线上，如图2所示：∵△BCD是等边三角形，∴∠BDM=30°，∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠QDE=90°，∵△APQ与△EPQ是全等的等边三角形，∴∠AQE=120°，∴∠EQD=60°，∴∠QED=30°，∴DQ=QE，∵PQ∥BD，∴DQ=PB，∵四边形APEQ是菱形，∴PB=AP，∵AB=2，∴AP=×2=，∴t=s；②当点P在BC上时，点E落在∠BDC的平分线上，如图3所示：∵△BCD是等边三角形，∴∠DMC=90°，BM=CM=1，同①得：∠EPM=60°，∴∠PEM=30°，∴PM=PE，∵四边形CPEQ是菱形，∴PM=PC，∴PM=CM，∴BP=，∴t==（s）；综上所述，当点E落在∠BDC的平分线上时，t的值为s或s．【解析】（1）证出点P在AB中点或BC中点时，点E落在BD上，得出t=1或t=3；（2）分两种情况，当0＜t≤1时，当1＜t＜2时，由等边三角形的性质和三角形面积公式即可得出答案；（3）①当点P在AB上时，点E落在∠BDC的平分线上，由直角三角形的性质得出DQ=QE，由菱形的性质得出PB=AP，进而得出答案；②当点P在BC上时，点E落在∠BDC的平分线上，证出∠DMC=90°，BM=CM=1，由直角三角形的性质得出PM=PE，由菱形的性质得出PM=PC，求出BP=，进而得出答案．本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线定义、含30°角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质以及等边三角形的性质是解题的关键．24.【答案】【解析】解：（1）把点（-1，2）代入y=x2+x+m，则1-1+m=2，∴m=2；（2）∵点A的坐标为（m，2）（其中m为常数），点B与点A关于y轴对称，∴点B的坐标为（-m，2），当-m≥1时，即m≤-1时，把点（-m，2）代入y=x2+x-m，则m2-m-m=2，解得m=1±，（舍去）当-m＜1时，即m＞-1时，把点（-m，2）代入y=x2+x+m，则m2-m+m=2，解得m=±，（负值舍去），综上，m=；（3）当m＜0时不存在两个交点，当m＞0时存在两个交点，此时只有一种情况成立，即y=x2+x+m=2时，且△=1-4（m-2）=0，解得m=符合题意，故答案为：；（4）当图形G上最低点落在函数y=x2+x-m（x≥1）的图象上时，则最低点坐标为（1，2-m），∴-2≤2-m≤-1，解得：3≤m≤4；当图形G上最低点落在函数y=x2+x-m（x＜2）的图象上时，同理：-≤m≤-；综上所述，m的取值范围为：3≤m≤4或-≤m≤-．（1）直接代入求值即可；（2）求得B点的坐标，分两种求得代入求值即可；（3）当m≠0时，两个公共点只能分别在G1，G2上，分别求解即可；（4）分两种情况：①图形G上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，②图形G上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解．。
2020年吉林长春中考数学试卷(解析版)
2020年吉林长春中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）．A. B. C. D.2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为平方米的新少年宫，预计年月正式投入使用．这个数用科学记数法表示为（ ）．A. B. C. D.3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）．A. B.C. D.4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）．A. B.C. D.5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点，通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）．垂直中心线塔身中心线A.B.C.D.6.如图，是⊙的直径，点、在⊙上，，则的大小为（ ）．A.B.C.D.7.如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连接．下列说法不一定正确的是（ ）．A.B.C.D.8.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，，函数（）的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张元，儿童票每张元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费 元．10.分解因式： ．11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 .12.正五边形的一个外角的大小为 度．13.如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，则阴影部分的面积为 （结果保留）．14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．xyO三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.先化简，再求值：，其中．16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）17.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求：图图图（）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形．（）三个图中所画的三角形的面积均不相等．（）点在格点上．18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了元．预计今年的销量是去年的倍，年销售额为万元．已知去年的年销售额为万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？（1）（2）19.如图，在平行四边形中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．求证：．若，，求的值．20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从年到年的空气质量级别天数的统计图表．（1）（2）（3）（4）空气质量级别天数年份优良轻度污染中度污染重度污染严重污染年长春市空气质量级别天数统计表空气质量为达标的天数空气质量为优的天数年份天数（天）年长春市空气质量为达标和优的天数折线统计图根据上面的统计图表回答下列问题：长春市从年到年空气质量为“达标”的天数最多的是 年．长春市从年到年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．长春市从年到年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到）．你认为长春市从年到年哪一年的空气质量好？请说明理由．空气质量为优的天数的年增长率今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数21.（1）（2）（3）已知、两地之间有一条长千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．时千米甲车的速度为 千米/时，的值为 ．求乙车出发后，与之间的函数关系式．当甲、乙两车相距千米时，求甲车行驶的时间．（1）（2）22.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．图【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形，现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．图图（3）【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上，要使四边形为菱形，则．（1）（2）（3）（4）23.如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．图当点与点重合时，求的值．用含的代数式表示线段的长．当为锐角三角形时，求的取值范围．如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．图24.在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．【答案】解析:设数轴上被墨水遮盖的数为，则由题意可知：．（1）（2）（3）（4）求点的坐标．当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为，求的值．设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数（为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 (与不重合)，过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．C1.选项：，故错误；选项：，故错误；选项：，故正确；选项：，故错误．故选．解析:科学记数法：．故选．解析:四棱柱的侧面展开图是四个矩形，所以只有符合题意．故选．解析:，在数轴上表示为：故选．解析:∵于点，∴在中，，故答案为：．B 2.A 3.D 4.B 5.解析:∵为⊙的直径，点、在⊙上，，∴，∴．故选．解析:∵点的坐标为，轴，∴点的坐标为，∵点是线段上的点，设点的坐标是，则，过点作轴于点，如下图所示，则有，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，故点坐标为，点坐标为，∵点在函数（）的图象上，∴，即，随的增大而增大，B 6.C 7.C 8.∵，∴，故答案选．9.解析:由题意得，共需花费：（元）．故答案为：．10.解析:因式分解：故答案为：．11.解析:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：．12.解析:∵（度），∴正五边形每个外角的大小是度．故答案为：．13.解析:∵，且，∴，且，∴．故答案为：．解析:由题可知：∵，，，∴，∵令，∴，解得：，，∵，∴，，∴，，∴．解析:原式，当时，原式．解析:方法一：树状图如下：阴影面积14.．15.．16.第一张第二张开始（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．方法二：列表法如下表：第一张结果第二张（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．解析:答案不唯一，示例如图一：图图图图一图①中，，故为钝角三角形；图②中，，故为直角三角形；图③中，，，，故为锐角三角形．故符合题意．如图二所示：画图见解析．17.（1）图图图图二在图①中，延长，过点作垂足为，则，，则的面积为；在图②中，过点作于点，则，，则的面积为；在图③中，取格点，，，则，，，，，，则的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，所以的面积；，故符合题意．解析:设该村企去年黑木耳的年销量为万斤，依题意得，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为万斤．解析:在平行四边形中，，万斤．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）（3）∵，，∴，∴，又∵，∴≌，∴．∵，，∴，∵，∴，在中，，．解析:年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，∴达标天数最多的是年．故答案为：．“重度污染”天数从小到大排列：，，，，，，∴中位数：，平均数：．故答案为：；．由折线统计图可知：（1）（2） ; （3） ; （4）年．20.（4）（1）（2）（3）年：天，年：天，年：天，年：天，年：天，∴天数增加最多的是年，增长率：．故答案为：；．年空气质量好．因为年达标天数最多．解析:由题意可知：甲出发两小时，经过的路径为，∴，∴甲车的速度为千米时，甲车行驶完两地需：小时，∴对应的时间刚好为小时，∵是两车行驶的总路程，∴，故答案为：；．设与之间的函数关系式为，由图可知，函数图象过点，，所以，解得，所以与之间的函数关系式为．两车相遇前：，解得：，两车相遇后：，解得：，答：当甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．（1） ;（2）．（3）小时或小时．21.甲（1）（2）（3）解析:在矩形中，，由翻折得：，∴，∴四边形是矩形，又∵，∴矩形是正方形．在矩形中，，∴，由翻折得：，∴，∴，∴是等腰三角形．设，由（）可知：为等腰三角形，，∴，又∵四边形为菱形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，（1）证明见解析．（2）是，证明见解析．（3）22.（1）（2）∴，由折叠可知：，，∴，∴在中，，，，∴，∴，由折叠可得：，，∴，∵四边形为矩形，∴，∴．故答案为：．解析:当点与点重合时，．解得．在中，，，所以，，．如图，图当点在上时，在中，．（1）．（2）．（3）或．（4）或．23.（3）（4）所以．如图，图当点在上时，在中，，，所以．先考虑临界值等腰直角三角形，那么．如图，图当点在上时，在中，．而，由，得，解得．如图，图当点在上时，在中，．而，由，得，解得．再数形结合写结论：当为锐角三角形时，或．如图，图当点在上时，延长交于点．作于，作于．由，是的中点，可知是的中点．在中，，所以．在中，，由，得．如图，图当点在上时，作于．由，是的中点，可知．在中，，所以．在中，，由，得，解得．∴的值为或．24.（1）．（1）（2）（3）解析:当时，，所以．将点代入，得，解得．所以（如图所示）．图抛物线的开口向上，对称轴为．因此当时，随的增大而增大．抛物线的对称轴为，顶点坐标为．图如图，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是．已知最低点到直线的距离为，所以．解得．如图，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点．（2），．（3）或．（4）或．（4）图所以．整理，得．解得（如图），或（舍去正值）．抛物线的对称轴为，，所以．图①如图，当点在边上时，．因为，所以点在对称轴的左侧，所以．由，得．解得．图②如图，当点在边上时，．解方程，得，所以．由，得．解得，或（舍去）．综上：或．。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷
中考数学评价检测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若运算“1□（-2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（）A. +B. -C. ×D. ÷2.在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（）A. 63.2×104B. 6.32×105C. 0.632×106D. 6.32×1063.下列图形不是正方体展开图的是（）A. B. C. D.4.不等式组的解集为（）A. x≥-2B. -2＜x＜3C. x＞3D. -2≤x＜35.已知一次函数y=-2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（）A. 0B. 3C. -3D. -76.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数为（）A. 75°B. 50°C. 35°D. 30°7.如图，在△ABC中，∠C=90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（）A.B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.比较大小：-______-1（填“＞”、“=”或“＜”）10.某种商品n千克的售价是m元，则这种商品8千克的售价是______元．11.如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是______．12.二次函数y=2x2+3x-2的图象与x轴有______个交点．13.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术而闻名世界．其主体工程青州航道桥是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高AB为163米，大桥主跨BD的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为α，那么用塔高和α的三角函数表示主跨BD的长为______米．14.在平面直角坐标系中，点A（-3，3）、B（-4，1）、C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值÷（x-），其中x=．16.某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是______．17.寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？18.如图，是边长为1的小正三角形组成的网格．（1）在图①中，画出以小正三角形的顶点为顶点的一个正六边形ABCDEF，使这个正六边形的周长尽可能的大．（2）请判断：命题“六个内角都相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题？如果是真命题，请把它改写成“如果…那么…”的形式；如果是假命题，请你在图②中画图说明．（3）画出以小正三角形的顶点为顶点的一个六边形，使它满足：①是凸六边形；②是中心对称图形；③不是轴对称图形．19.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连结OF并延长OF交⊙O于点E，连结BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC=BC，连结BC．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）⊙O的半径为10，sin A=，求EG的长．20.下面的两个统计图是中国互联网信息中心发布的第43次《中国互联网络发展状况统计报告》的内容，图①为网民规模和互联网普及率，图②为手机网民规模及其占网民比例．根据统计图提供信息，回答下列问题：（1）2008-2018年，互联网普及率增加了______个百分点，手机网民占网民比例增加了______个百分点，相比其他年份，______年手机网民占整体网民的增长比例最大．（2）2008年手机上网人数约占全体国民的______%．（精确到个位）（3）估计2019年网民规模是否会超过64%，请简要说明理由．21.如图，半圆O的直径AB=5cm，点C是半圆O上的动点，连结AC、BC．设AC=x（单位：cm），△ABC的面积为y（单位：cm2）．（当点C与A、B重合时，y的值为0）轩轩根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是轩轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组值，结果如表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54 4.55y/cm20 1.25 2.45 3.58 4.57 5.41 6.25 4.910（2）在下图中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题；（2）问的直角坐标系中画出直线y1=x，根据图象得出当y=y1时x的正数值约为______（精确到0.1）22.儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg 范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？23.综合与实践：折纸中的数学问题情境：在矩形纸片ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别在AB，CD 上，且AE=CF．将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P．将△NCF沿NF折叠，点C的对应点为点Q．数学思考：（1）如图①，若点P，Q分别落在边BC，AD上，则四边形PNQM的形状是______．（2）如图②，若点P，Q均落在矩形ABCD的内部，其他条件不变，你认为（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展探究：（3）如图③，在（2）的条件下，若AD=2AB=4，当四边形PNQM为菱形时，求AE的长度．24.已知：二次函数C1：y1=ax2+2ax+a-1（a≠0）（1）把二次函数C1的表达式化成y=a（x-h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数C1的图象经过点A（-3，1）．①求a的值；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：若运算“1□（-2）”的结果为正数，则□内的运算符号为“-”，故选：B．根据有理数的减法解答即可．此题考查有理数的混合计算，关键是根据有理数的减法解答．2.【答案】B【解析】解：将632000用科学记数法表示为：6.32×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：A、C、D经过折叠均能围成正方体，B•折叠后上边没有面，不能折成正方体．故选：B．由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．4.【答案】C【解析】解：，解①得：x＞3，解②得：x≥-2，所以不等式组的解集为：x＞3．故选：C．分别求出两不等式的解集，进而得出它们的公共解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，正确利用不等式的性质得出解集是解题关键．5.【答案】B【解析】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y的值随x的增减性，然后利用解析式即可求出在0≤x≤5范围内的函数值最大值．一次函数y=kx+b的图象的性质：①当k＞0，y的值随x的值增大而增大；②当k＜0，y的值随x的值增大而减小．【解答】解：∵一次函数y=-2x+3中k=-2＜0，∴y的值随x的值增大而减小，∴在0≤x≤5范围内，x=0时，函数值最大y=-2×0+3=3．故选：B．6.【答案】C【解析】解：∵a∥b，∴∠1=∠4=75°，∴∠2+∠3=∠4，∵∠1=75°，∠2=40°，∴∠3=75°-40°=35°．故选：C．直接利用平行线的性质得出∠1=∠4=75°，进而利用三角形外角的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出∠4的度数是解题关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．【解答】解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故选：C．8.【答案】B【解析】解：连接OB，如图所示：∵OB是矩形OABC的对角线，∴S△OAB=S△OBC又∵点D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴，又∵CD=BD，OC是△OCD和△OBD的高，∴S△OCD=S△OAB=1，又∵S△OBC=S△OCD+S△OBD，∴S△OAB=S△OBC=2又∵S△OBE=S△OAB-S△OAE，∴S△OBE=2-1=1，又∵S四边形OEBD=S△ODE+S△OBE，∴S四边形OEBD=1+1=2，故选：B．由矩形的性质求出S△OAB=S△OBC，反比例函数系数k的几何意义△OAE和△OCD的面积各为1，根据等底同高，面积和差求出四边形OEBD的面积为2．本题综合考查了矩形的性质，反比例函数的性质，三角形的面积和差法，等底同高法两个三角形的面积相等相关知识点，重点掌握反比例函数系数k的几何意义，难点是作辅助线将不规则的四边形转化成三角形求解．9.【答案】＜【解析】解：|-|≈1.4，|-1|=1，∵1.4＞1，∴-＜-1．故答案为：＜．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．10.【答案】【解析】【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答．本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格．【解答】解：根据题意，得：，故答案为：．11.【答案】（0，0）【解析】解：如图所示：胜利公园的点的坐标是：（0，0）．故答案为：（0，0）．直接利用解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），进而建立平面直角坐标系得出原点位置即可．此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．12.【答案】2【解析】解：∵△=32-4×2×（-2）=25＞0，∴二次函数y=2x2+3x-2的图象与x轴有2个交点．故答案为2．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断抛物线与x轴的交点个数．本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．13.【答案】【解析】解：由题意可得，BD=，故答案为：根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．14.【答案】＜m＜【解析】解：如图所示：将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，则A'（3，3），B'（1，4），C'（1，2），∴直线A'B'的解析式为y=-x+，直线A'C'的解析式为y=x+，设直线x=2与△A'B'C'的边交于点D，E，y=-x+中，令x=2，则y=；y=x+中，令x=2，则y=；∴当点M（2，m）在线段DE上（不含端点）时，＜m＜，故答案为：＜m＜．将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，与直线x=2交于点D，E，则点M在线段DE上（不含端点），据此可得m的取值范围．本题主要考查了旋转的性质，解题时要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．15.【答案】解：原式=÷==，当x=，原式=．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16.【答案】解：（1）画树状图如图所示：共有12种等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6种，∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为=；（2）.【解析】解：（1）见答案；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3种等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2种，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是.故答案为：．【分析】（1）由树状图得出共有12种等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6种，由概率公式即可得出结果；（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3种等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2种，由概率公式即可得出结果．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．17.【答案】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，∴，∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40-z）副，根据题意得：16z+10（40-z）≤550，∴z≤25，∴最多可以购买25副围棋；【解析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40-z）副，根据题意得：16z+10（40-z）≤550，即可求解；本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．18.【答案】解：（1）如图①中，正六边形ABCDEF即为所求；（2）是假命题，如图②中六个内角都相等的六边形不是正六边形；（3）如图③满足：①是凸六边形；②是中心对称图形；③不是轴对称图形．【解析】（1）根据正六边形的定义即可画出图形；（2）六个内角都相等的六边形不一定是正六边形，画图即可说明；（3）画一个六边形，使它满足：①是凸六边形；②是中心对称图形；③不是轴对称图形即可．本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握正六边形的定义．19.【答案】（1）证明：连结OD，∵OA=OD，F是弦AD的中点，∴OF⊥AD，∴∠EFG=90°，∴∠E+∠FGE=90°，∵BC=GC，∴∠BGC=∠GBC，∵∠FGE=∠BGC，∴∠GBC=∠FGE，∵OE=OB，∴∠ABE=∠E，∴∠ABE+∠GBC=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵sin A=，OA=10，∴AF=8，OF=6，BC=GC=15，AC=25，∴AG=10，EF=4，∴FG=2，由勾股定理，得EG=2．【解析】（1）连结OD，求出∠ABE+∠GBC=90°，根据切线的判定得出即可；（2）解直角三角形求出AF、OF，求出EF、FG，根据勾股定理可得EG=2．本题考查了勾股定理，解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．20.【答案】37 59.1 2009 9【解析】解：（1）2008-2018年，互联网普及率由22.6%增长到59.6%，增长了37个百分点；手机网民占网民比例由39.5%增长到98.6%，增长了59.1个百分点，由图②知，相比其他年份，2019年手机网民占整体网民的增长比例最大，故答案为：37、59.1、2009；（2）2008年手机上网人数约占全体国民的39.5×22.6%≈9%，故答案为：9；（3）估计2019年网民规模是不会超过64%，∵2018年网名规模为59.6%，近几年涨幅约为2%～4%，∴估计2019年网民规模不会超过64%．（1）根据“2008-2018年，互联网普及率由22.6%增长到59.6%”、“手机网民占网民比例由39.5%增长到98.6%”及图②折线变化趋势逐一求解可得；（2）2008年手机上网人数约占全体国民的39.5×22.6%，计算、取近似值即可得；（3）根据“2018年网名规模为59.6%，近几年涨幅约为2%～4%”估计可得．本题主要考查条形统计图与折线统计图，解题的关键是弄清两幅图形中数据之间的关系．21.【答案】y=x（0≤x≤5） 4.6【解析】解：（1）∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=x，∴BC==，∴y=x（0≤x≤5），当x=3时，y=3×=6，当x=4时，y=4×=6，故答案为：y=x，（0≤x≤5）；（2）建立如图所示的平面直角坐标系，画出该函数的图象；（3）根据图象得当y=y1时x的正数值约为4.6，故答案为：4.6．（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到BC==，于是得到y=x（0≤x≤5）；（2）建立平面直角坐标系，根据题意画出该函数的图象即可；（3）根据图象得到两函数的交点坐标．本题考查了圆的综合题，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积的计算，画函数的图象，求函数图象的交点坐标，正确的画出函数的图象是解题的关键．22.【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），，解得，，即y与x之间的函数关系式是y=10x+10（5≤x≤50）；（2）当y=300时，300=10x+10，得x=29，当y==250时，250=10x+10，得x=24，故24≤x≤29，即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【解析】（1）根据体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，可以求得y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．23.【答案】平行四边形【解析】解：（1）结论：四边形PNQM是平行四边形．理由：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C=90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM=NC，∵AE=CF，∴△EAM≌△FCN（SAS），∴∠AME=∠CNF，∵∠AME=∠EMP，∠CNF=∠FNQ，∴∠AMP=∠QNC，∵AD∥BC，∴∠AQN=∠CNQ，∴∠AMP=∠AQN，∴PM∥QN，∵MQ∥PN，∴四边形PNQM是平行四边形．故答案为平行四边形．（2）成立．理由如下：如图②中，延长NQ交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C=90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM=NC，∴PM=NQ，∵AE=CF，∴△EAM≌△FCN（SAS），∴∠AME=∠CNF，∵∠AME=∠EMP，∠CNF=∠FNQ，∴∠AMP=∠QNC，∵AD∥BC，∴∠AHN=∠CNH，∴∠AMP=∠AHN，∴PM∥NH，∴四边形PNQM是平行四边形．（3）如图③中，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长QP交AB于G．∵四边形PNQM是菱形，∴MN⊥PQ，∵PQ∥AD∥BC，∴AG=DK=OM=AB=AD=1，∵PM=AM=2，∴sin∠MPO=，∴∠MPO=30°，∵∠EPM=90°，∴∠EPG=90°-30°=60°∴OP=OM=，∵OG=2，∴EG=PG•tan60°=2-3，∴GP=2-，∴AE=AG-EG=1-（2-3）=4-2．（1）结论：四边形PNQM是平行四边形．想办法证明MQ∥PN，MP∥NQ即可．（2）成立．想办法证明PM∥NQ，PM=NQ即可．（3）如图③中，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长QP交AB于G．解直角三角形求出AG，EG即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）y1=ax2+2ax+a-1=a（x+1）2-1，∴顶点为（-1，-1）；（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（-3，1）．∴a（-3+1）2-1=1，∴a=；②∵A（-3，1），对称轴为直线x=-1，∴B（1，1），当k＞0时，二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过A（-3，1）时，1=9k-3k，解得k=，二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1=k+k，解得k=，∴≤k≤，当k＜0时，∵二次函数C2：y2=kx2+kx=k（x+）2-k，∴-k=1，∴k=-4，综上，二次函数C2：y2=kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k≤或k=-4．【解析】（1）化成顶点式即可求得；（2）①把点A（-3，1）代入二次函数C1：y1=ax2+2ax+a-1即可求得a的值；②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．。
吉林省长春市2020年中考数学评价检测试卷(十六)及解析
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十六）二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）检验4个工件，每个工件以标准质量为基准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的工件是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．52．（3分）今年参加国庆70周年阅兵的全体受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次．将15000用科学记数法表示为（）A．15×103B．1.5×104C．0.15×105D．0.15×106 3．（3分）对如图所示的几何体认识正确的是（）A．几何体是四棱柱B．棱柱的侧面是三角形C．棱柱的底面是四边形D．棱柱的底面是三角形4．（3分）在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BC∥AE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BC∥AE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（）A．①②B．①③C．①②④D．①③④6．（3分）《孙子算经》中记载鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔，若设鸡x只，兔y 只，可列方程组（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝14，则△ABD的面积是（）A．14B．28C．42D．568．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：3a3﹣12ab2＝．10．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是．11．（3分）用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设．12．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接连成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝60°时，如图2，测得时，如图1，AC的长为．13．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为．14．（3分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）化简（1﹣）÷．16．（6分）在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．17．（6分）用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．18．（7分）已知：直线1及直线1外一点M．请根据下列提供的数学原理一、二、三，分别在图①，②，③中使用直尺和圆规作直线MN，使得MN∥l．（保留作图痕迹，不写作法）19．（7分）如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，O是BC边中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结BE，CE．（1）求证：四边形CDBE为矩形．（2）若tan A＝2，AD＝5，求线段BE的长．20．（7分）某汽车经销商为了能更好的了解某季度纯电动汽车的续航能力，现分两次不重复的各抽取了10台纯电动车进行了续航里程的测试．并将测试的情况进行整理、描述和分析（续航里程用x表示，共分成四组：（A）100≤x＜200，（B）200≤x＜300，（C）300≤x＜400，（D）x≥400，单位：km）．下面给出了部分信息：第一次抽取10台车的续航里程在C组中的数据是：380，310，300，310．第二次抽取10台车的续航里程是：220，301，175，310，400，310，385，430，234，455．第一次测试的续航里程扇形统计图如图两次测试的续航里程统计表第一次第二次平均里程321.4b中位数c310众数310310根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a、b、c的值，a＝，b＝，c．（2）根据以上数据，你认为这两次测试中的哪一次的纯电动汽车续航能力更强？请说明理由（一条理由即可）．（3）若经销商这一季度共购进1600台纯电动汽车，结合这两次测试，估计这一季度续航能力较强（x≥380）的纯电动汽车有多少辆？21．（8分）甲、乙两人分别安装同一种零件40个，其中乙在安装两小时后休息了2小时，后继续按原来进度工作，他们每人安装的零件总数y（个）与安装时间x（小时）的函数关系如图1所示，两人安装零件总数之差z（件）与时间x（小时）的函数关系如图2所示．（1）a＝；b＝．（2）求出甲工作2小时后的安装的零件数y与时间x的函数关系．（3）甲、乙两人在什么时间生产的零件总数相差8个？22．（9分）思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．23．（10分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，以DE为一边作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF：DE＝4：3，连结AG，CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG与△ABC重叠部分面积为S．（1）当AG＝CG时，求t的值．（2）当点D在边AB上运动时，求S与t的函数关系式．（3）当△ACG的面积为6时，直接写出t的值．24．（12分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）检验4个工件，每个工件以标准质量为基准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的工件是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．5【分析】由选项入手，绝对值最小的即为所求．【解答】解：|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，∴﹣2最接近标准质量，故选：A．2．（3分）今年参加国庆70周年阅兵的全体受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次．将15000用科学记数法表示为（）A．15×103B．1.5×104C．0.15×105D．0.15×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：15000＝1.5×104，故选：B．3．（3分）对如图所示的几何体认识正确的是（）A．几何体是四棱柱B．棱柱的侧面是三角形C．棱柱的底面是四边形D．棱柱的底面是三角形【分析】由图可知，该几何体是三棱柱，由三棱柱的性质即可求解．【解答】解：由图可知，该几何体是三棱柱，∴底面是三角形，侧面是四边形，故选：D．4．（3分）在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：在数轴上表示不等式﹣2≤x＜4的解集为：故选：A．5．（3分）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有BC∥AE；③如果∠1＝∠2＝∠3，则有BC∥AE；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正确的有（）A．①②B．①③C．①②④D．①③④【分析】根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠1＝∠3，故①正确，当∠2＝30°时，∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠3≠∠4，故AE与BC不平行，故②错误，当∠1＝∠2＝∠3时，可得∠3＝∠4＝45°，∴BC∥AE，故③正确，∵∠E＝60°，∠4＝45°，∴∠E≠∠4，故④错误，故选：B．6．（3分）《孙子算经》中记载鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔，若设鸡x只，兔y 只，可列方程组（）A．B．C．D．【分析】根据题意结合“有若干只鸡兔在在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚”可以列出相应的方程组，本题得解决．【解答】解：由题意可得：．故选：B．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝14，则△ABD的面积是（）A．14B．28C．42D．56【分析】作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AP平分∠BAC，则根据角平分线的性质定理得到DH＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，由作法得AP平分∠BAC，∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4，∴S△ABD＝×14×4＝28．故选：B．8．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：3a3﹣12ab2＝3a（a+2b）（a﹣2b）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝3a（a2﹣4b2）＝3a（a+2b）（a﹣2b），故答案为：3a（a+2b）（a﹣2b）10．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】先根据方程有两个实数根得出△＝（﹣2）2﹣4m×3≥0，解之求出m的范围，再由一元二次方程得出m≠0，从而得出答案．【解答】解：根据题意知△＝（﹣2）2﹣4m×3≥0，解得m≤，∵方程是一元二次方程，∴m≠0，则m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．11．（3分）用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案．【解答】解：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O 内．故答案为：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O 内．12．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接连成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝60°时，如图2，测得时，如图1，AC的长为2．【分析】图2中证明△ABC为等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝；图1中，证明四边形ABCD是正方形，由勾股定理即可得出答案．【解答】解：如图2，连接AC，∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝60°，∴四边形ABCD是菱形，△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝．如图1，连接AC，∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝，则AB2+BC2＝AC2，∴AC＝＝2，故答案为：2．13．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，则∠AOB的度数为120°．【分析】根据题意和同弧所对的圆周角和圆心角的关系，即可求得∠AOB的度数，本题得以解决．【解答】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，故答案为：120°．14．（3分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为 2.25m．【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（3，0）代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入x＝0时得到的y值即为水管的长．【解答】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；令x＝0，则y＝﹣+3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：2.25．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）化简（1﹣）÷．【分析】首先计算括号内的分式，把第二个分式的分子和分母分解因式，然后把除法转化为乘法计算即可．【解答】解：（1﹣）÷＝÷＝•＝．16．（6分）在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．17．（6分）用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．【分析】本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，列出方程求解即可．【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝1500整理得：x2﹣70x+825＝0解得：x＝55（舍去）或x＝15．答：截去的正方形的边长为15cm．18．（7分）已知：直线1及直线1外一点M．请根据下列提供的数学原理一、二、三，分别在图①，②，③中使用直尺和圆规作直线MN，使得MN∥l．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据题意提供的数学原理一、二、三，分别在图①，②，③中使用直尺和圆规作直线MN，使得MN∥l即可．【解答】解：如图所示，根据题意的数学原理一、二、三，图1，2，3中直线MN即为所求．19．（7分）如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，O是BC边中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结BE，CE．（1）求证：四边形CDBE为矩形．（2）若tan A＝2，AD＝5，求线段BE的长．【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形CDBE是平行四边形，由矩形的判定可得结论；（2）由锐角三角函数可求CD＝10，由矩形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵O是BC边中点，∴OC＝OB，又∵OE＝OD，∴四边形CDBE是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四边形CDBE为矩形；（2）∵tan A＝＝2，且AD＝5，∴CD＝10，∵四边形CDBE为矩形，∴BE＝CD＝10．20．（7分）某汽车经销商为了能更好的了解某季度纯电动汽车的续航能力，现分两次不重复的各抽取了10台纯电动车进行了续航里程的测试．并将测试的情况进行整理、描述和分析（续航里程用x表示，共分成四组：（A）100≤x＜200，（B）200≤x＜300，（C）300≤x＜400，（D）x≥400，单位：km）．下面给出了部分信息：第一次抽取10台车的续航里程在C组中的数据是：380，310，300，310．第二次抽取10台车的续航里程是：220，301，175，310，400，310，385，430，234，455．第一次测试的续航里程扇形统计图如图两次测试的续航里程统计表第一次第二次平均里程321.4b中位数c310众数310310根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a、b、c的值，a＝20，b＝322，c＝305．（2）根据以上数据，你认为这两次测试中的哪一次的纯电动汽车续航能力更强？请说明理由（一条理由即可）．（3）若经销商这一季度共购进1600台纯电动汽车，结合这两次测试，估计这一季度续航能力较强（x≥380）的纯电动汽车有多少辆？【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；（2）根据二次的平均数大于第一次的平均数进行判断即可；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）a%＝1﹣×100%﹣30%﹣10%＝20%，∴a＝20；b＝（220+301+175+310+400+310+385+430+234+455）＝322；c＝＝305；故答案为：20，322，＝305；（2）第2次的纯电动汽车续航能力更强，理由：第二次的平均数大于第一次的平均数；（3）1600×＝560（辆），答：估计这一季度续航能力较强（x≥380）的纯电动汽车有560辆．21．（8分）甲、乙两人分别安装同一种零件40个，其中乙在安装两小时后休息了2小时，后继续按原来进度工作，他们每人安装的零件总数y（个）与安装时间x（小时）的函数关系如图1所示，两人安装零件总数之差z（件）与时间x（小时）的函数关系如图2所示．（1）a＝4；b＝10．（2）求出甲工作2小时后的安装的零件数y与时间x的函数关系．（3）甲、乙两人在什么时间生产的零件总数相差8个？【分析】（1）根据题意和图象中的数据可以求得a、b的值；（2）根据函数图象中的数据可以求得甲工作2小时后的安装的零件数y与时间x的函数关系；（3）根据函数图象，利用分类讨论的方法可以求得甲、乙两人在什么时间生产的零件总数相差8个．【解答】解：（1）由图可得，a＝10﹣6＝4，b＝4+（40﹣10）÷（10÷2）＝4+30÷5＝4+6＝10，故答案为：4，10；（2）甲后来的速度为：＝6件/小时，甲做完40个需要的时间为：2+（40﹣4）÷6＝2+36÷6＝2+6＝8，设甲工作2小时后的安装的零件数y与时间x的函数关系是y＝kx+b，∵甲工作2小时后的安装的零件数y与时间x的函数图象过点（2，4），（8，40），∴，得，即甲工作2小时后的安装的零件数y与时间x的函数关系是y＝6x﹣8（2＜x≤8）；（3）设t小时时，甲、乙两人生产的零件总数相差8个，乙的速度为：10÷2＝5件/小时，当4＜t≤8时，6+（t﹣4）×（6﹣5）＝8，解得，t＝6，当8＜t＜10时，5（10﹣t）＝8，解得，t＝8.4，答：甲、乙两人在6小时或8.4小时时生产的零件总数相差8个．22．（9分）思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是200米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为PC⊥PE，PC＝PE．③当α＝135°时，直接写出PC的值．【分析】（1）证明△ABP≌△DCP（ASA），得出AB＝CD＝200米即可；（2）①延长EP交BC于F，证明△FBP≌△EDP（AAS），得出PF＝PE，BF＝DE，证出△EFC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论；②延长ED交BC于H，证明△CPH≌△EPD（SAS），得出PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，得出∠CPE＝∠HPD＝90°，证出PC⊥PE即可；③当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，则四边形ACFD是矩形，得出CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，求出CD＝＝2，BF＝BC﹣CF＝2，得出BD＝＝2，由面积法求出CN＝＝，由勾股定理得出BN＝＝，得出PN＝BD﹣BN ＝，由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，如图④所示：则四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，∴CD＝＝＝2，BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，∴BD＝＝＝2，∵DF•BC＝CN•BD，∴CN＝＝＝，BN＝＝＝，∴PN＝BD﹣BN＝×2﹣＝，∴PC＝＝＝．23．（10分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，以DE为一边作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF：DE＝4：3，连结AG，CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG与△ABC重叠部分面积为S．（1）当AG＝CG时，求t的值．（2）当点D在边AB上运动时，求S与t的函数关系式．（3）当△ACG的面积为6时，直接写出t的值．【分析】（1）由题意得：BD＝3t，则AD＝6﹣3t，DG＝4t，CF＝8﹣4t，FG＝BD＝3t，当AG＝CG时，由勾股定理得出AD2+DG2＝FG2+FC2，即（6﹣3t）2+（4t）2＝（3t）2+（8﹣4t）2，解得t＝1即可；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，S＝矩形DEFG的面积＝3t×4t＝12t2；②当1＜t≤2时，证明△ADH∽△ABC，得出＝，解得DH＝8﹣4t，同理得FM＝6﹣3t，S＝×6×8﹣×2×（6﹣3t）（8﹣4t）＝﹣12t2+48t﹣24；（3）分三种情况：①由题意得×6×8﹣12t2﹣×4t×（6﹣3t）﹣×3t×（8﹣4t）＝6，解得t＝；②由题意得×4t×（6﹣3t）+×3t×（8﹣4t）﹣×6×8＝6，解得t＝；③AC＝＝10，CD＝16﹣3t，同（2）得△CDE∽△CAB，得出＝＝，解得DE＝（16﹣3t），CE＝（16﹣3t），由题意得EF＝（16﹣3t），则×6×8﹣×[（16﹣3t）+6][8﹣（16﹣3t）]﹣×[（16﹣3t）][（16﹣3t）]＝6，解得t＝．【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝BF，GF＝BD，∠BDG＝∠BFG＝90°，∴∠ADG＝∠CFG＝90°，由题意得：BD＝3t，则AD＝6﹣3t，DG＝4t，CF＝8﹣4t，FG＝BD＝3t，当AG＝CG时，由勾股定理得：AG2＝AD2+DG2，CG2＝FG2+FC2，∴AD2+DG2＝FG2+FC2，即（6﹣3t）2+（4t）2＝（3t）2+（8﹣4t）2，解得：t＝1，即当AG＝CG时，t＝1秒；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，如图1所示：S＝矩形DEFG的面积＝3t×4t＝12t2；即S＝12t2（0＜t≤1）；②当1＜t≤2时，如图2所示：∵∠ADH＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DH＝8﹣4t，同理得：FM＝6﹣3t，∴S＝×6×8﹣×2×（6﹣3t）（8﹣4t）＝﹣12t2+48t﹣24；即S＝﹣12t2+48t﹣24（1＜t≤2）；（3）分三种情况：①如图1所示：由题意得：×6×8﹣12t2﹣×4t×（6﹣3t）﹣×3t×（8﹣4t）＝6，解得：t＝；②如图3所示：由题意得：×4t×（6﹣3t）+×3t×（8﹣4t）﹣×6×8＝6，解得：t＝；③如图4所示：由勾股定理得：AC＝＝＝10，∴CD＝6+10﹣3t＝16﹣3t，同（2）得：△CDE∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：DE＝（16﹣3t），CE＝（16﹣3t），由题意得EF＝（16﹣3t），∴×6×8﹣×[（16﹣3t）+6][8﹣（16﹣3t）]﹣×[（16﹣3t）][（16﹣3t）]＝6，解得：t＝；综上所述，当△ACG的面积为6时，t的值为秒或秒或秒．24．（12分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是（1，2）．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；（2）由条件知x＞0，根据题意得，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，∵0≤x≤2，∴x+y＝3，∴，解得：，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0，∴，，∴，∴x2+4＝3x，∴x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵，又x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G ．∵∠EFH＝45°，∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，同理d（O，P）＝OG，∵OG≥OF，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十五）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）在0，3-，1，π中，无理数是( ) A ．0B ．3-C ．1D ．π2．（3分）长春市农博产业园占地2150000平方米，数字2150000用科学记数法表示为()A ．521.510⨯B ．52.1510⨯C ．62.1510⨯D ．70.21510⨯3．（3分）如图，是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）计算3(2)m 的结果是( ) A ．32mB ．38mC ．36mD ．8m5．（3分）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，则常数c 的值不可能为( ) A ．4-B ．4C ．16-D ．166．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则(ABD S ∆ )A．3B．103C．6D．2037．（3分）如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若125ABC∠=︒，75BCD∠=︒，则CDE∠的度数为()A．20︒B．25︒C．35︒D．50︒8．（3分）如图，点B是反比例函数kyx=图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为()A．8B．8-C．16D．16-二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：34a b ab-=．10．（3分）188÷=．11．（3分）如图，四边形ABCD是Oe的内接四边形，对角线AC是Oe的直径，2AB=，45ADB∠=︒，则Oe的半径长为．12．（3分）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20︒，BC与水平面的夹角β为45︒，则他下降的高度为米．13．（3分）如图，长方形ABCD 中，4AB =，3AD =，长方形内有一个点P ，连结AP ，BP ，CP ，已知90APB ∠=︒，CP CB =，延长CP 交AD 于点E ，则AE = ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(2)1y a x b =++-与2(3)y a x b =-+交于点A ．过点A 作y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点B 、C （点B 在点A 左侧，点C 在点A 右侧），线段BC 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：22144(1)11a a a a -+-÷--，其中2020a =． 16．（6分）一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字2，3，4，每个小球除数字不同外其他都相同，小颖先从口袋中随机摸出个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小颖两次摸出的小球上的数字之和为6的概率．17．（6分）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．18．（7分）如图，在ABC∆中，AB BC=，以AB为直径作Oe，交AC于点D，过点D作Oe的切线DE，交BC于点E．求证：DE BC⊥．19．（7分）如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．（1）AB的长度为，CD的长度为．（2）若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．20．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91897786713197937291 81928585958888904491乙84936669768777828588 90886788919668975988整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分段学校3039x剟4049x剟5059x剟6069x剟7079x剟8089x剟90100x剟甲1100378乙分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：统计量学校平均数中位数众数方差甲81.858891268.43乙81.9586m115.25经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为．b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）21．（8分）甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发后所用的时间x（时)的函数图象如图所示．（1）求t的值．（2）求甲车距它出发地的路程y与x之间的函数关系式．（3）直接写出两车相距120千米时乙车行驶的时间．22．（9分）如图，ABC∆和ADE∆是有公共顶点的直角三角形，90BAC DAE∠=∠=︒，点P 为射线BD，CE的交点．（1）如图1，若ABC ∆和ADE ∆是等腰三角形，求证：ABD ACE ∠=∠；（2）如图2，若30ADE ABC ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，6AB =，4AD =，若把ADE ∆绕点A 旋转，当90EAC ∠=︒时，请直接写出PB 的长度．23．（10分）如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）当t = 秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当矩形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．24．（12分）定义：对于给定的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，把形如22(0)(0)ax bx c x y ax bx c x ⎧++=⎨-++<⎩…的函数称为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的衍生函数． （1）已知二次函数222y x x =--． ①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．②若点3(,)2P m -在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m 的值．③当23x -剟时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值．（2）当二次函数2122(0)y x x a a=+-<的衍生函数的图象与以(3,2)A -、(5,2)B 、(5,4)C -、(3,4)D --为顶点的矩形ABCD 的边只有两个公共点时，直接写出a 的取值范围．2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十五）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）在0，3-，1，π中，无理数是( ) A ．0B ．3-C ．1D ．π【解答】解：在0，3-，1，π中，无理数是π， 故选：D ．2．（3分）长春市农博产业园占地2150000平方米，数字2150000用科学记数法表示为()A ．521.510⨯B ．52.1510⨯C ．62.1510⨯D ．70.21510⨯【解答】解：62150000 2.1510=⨯． 故选：C ．3．（3分）如图，是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形， 故选：C ．4．（3分）计算3(2)m 的结果是( ) A ．32mB ．38mC ．36mD ．8m【解答】解：原式38m =， 故选：B ．5．（3分）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，则常数c 的值不可能为( ) A ．4-B ．4C ．16-D ．16【解答】解：根据题意得△2(4)40c =--…， 解得4c …． 故选：D ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则(ABD S ∆ )A ．3B ．103C ．6D ．203【解答】解：作DH AB ⊥于H ，如图， 由作法得BD 平分ABC ∠，DH DC ∴=，在Rt ABC ∆中，22543AC -=，DC DH =Q ，BD BD =， Rt BDC Rt BDH ∴∆≅∆，4BH ∴=， 1AH ∴=，设CD DH x ==，则3AD x =-， 在Rt ADH ∆中，2221(3)x x +=-，解得43x =， 1141052233ABD S AB DH ∆∴==⨯⨯=g ． 故选：B ．7．（3分）如图，某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来方向相同，若125ABC ∠=︒，75BCD ∠=︒，则CDE ∠的度数为( )A ．20︒B ．25︒C ．35︒D ．50︒【解答】解：由题意得，//AB DE ， 如图，过点C 作//CF AB ，则//CF DE ，180BCF ABC ∴∠+∠=︒， 18012555BCF ∴∠=︒-︒=︒， 755520DCF ∴∠=︒-︒=︒， 20CDE DCF ∴∠=∠=︒．故选：A ．8．（3分）如图，点B 是反比例函数ky x=图象上的一点，矩形OABC 的周长是20，正方形OCDF 与正方形BCGH 的面积之和为68，则k 的值为( )A ．8B ．8-C ．16D ．16-【解答】解：设(,)B a b ，Q 正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，2268a b ∴+=，Q 矩形OABC 的周长是20，10a b ∴+=， 2()100a b ∴+=，222100a b ab ++=，682100ab +=，16ab =，设反比例函数解析式为(0)ky k x=≠，B Q 在反比例函数图象上， 16k ab ∴==，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）分解因式：34a b ab -= (2)(2)ab a a +- ． 【解答】解：原式2(4)(2)(2)ab a ab a a =-=+-， 故答案为：(2)(2)ab a a +- 10．（3分）188÷= 32． 【解答】解：1893188842÷===． 故答案为：32． 11．（3分）如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，对角线AC 是O e 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒，则O e 的半径长为 2 ．【解答】解：AC Q 是O e 的直径，90ABC ∴∠=︒，45ACB ADB ∠=∠=︒Q ， ABC ∴∆为等腰直角三角形，222AC AB ∴==，O ∴e 的半径长2．故答案为2．12．（3分）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB ，BC 两部分组成，AB ，BC 的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A 点滑到了C 点，若AB 与水平面的夹角α为20︒，BC 与水平面的夹角β为45︒，则他下降的高度为 210 米．【解答】解：过点A 作AE BD ⊥于点E ，过点B 作BG CF ⊥于点G ， 在Rt ABE ∆中，sin AEABα=Q ， sin2068AE AB ∴=⨯︒≈，在Rt BCG ∆中，sin BGBCβ=Q ， sin45142BG BC ∴=⨯︒≈，∴他下降的高度为：210AE BG +=，故答案为：21013．（3分）如图，长方形ABCD 中，4AB =，3AD =，长方形内有一个点P ，连结AP ，BP ，CP ，已知90APB ∠=︒，CP CB =，延长CP 交AD 于点E ，则AE =43．【解答】解：延长AP 交CD 于F ，90APB ∠=︒Q ， 90FPB ∴∠=︒， 90CPF CPB ∴∠+∠=︒，Q 四边形ABCD 是矩形，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，3BC AD ==， 90EAP BAP ABP BAP ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAP ABP ∴∠=∠， 3CP CB ==Q ， CPB CBP ∴∠=∠， CPF ABP EAP ∴∠=∠=∠， EPA CPF ∠=∠Q ，EAP APE ∴∠=∠， AE PE ∴=，222CD DE CE +=Q ，2224(3)(3)AE AE ∴+-=+，解得：43AE =， 故答案为：43．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(2)1y a x b =++-与2(3)y a x b =-+交于点A ．过点A 作y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点B 、C （点B 在点A 左侧，点C 在点A 右侧），线段BC 的长为 10 ．【解答】解：设抛物线2(2)1y a x b =++-的对称轴与线段BC 交于点E ，抛物线2(3)y a x b =-+的对称轴与线段BC 交于点F ，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE AE =，CF AF =，2()2[3(2)]10BC BE AE AF CF AE AF ∴=+++=+=⨯--=．故答案为：10．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：22144(1)11a a a a -+-÷--，其中2020a =． 【解答】解：原式211(1)(1)1(2)a a a a a --+-=--g22(1)(1)1(2)a a a a a -+-=--g12a a +=-， 当2020a =时，原式202012021202022018+==-． 16．（6分）一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字2，3，4，每个小球除数字不同外其他都相同，小颖先从口袋中随机摸出个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小颖两次摸出的小球上的数字之和为6的概率． 【解答】解：列表如下：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出小球上的数字之和为6的结果数为3， ∴小颖两次摸出的小球上的数字之和为6的概率3193=． 17．（6分）为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．【解答】解：设平路有x 千米，坡路有y 千米， 由题意可知363445xyx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得44353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，答：平路有443千米，坡路有53千米．18．（7分）如图，在ABC∆中，AB BC=，以AB为直径作Oe，交AC于点D，过点D作Oe的切线DE，交BC于点E．求证：DE BC⊥．【解答】证明：连接OD，OA OD=Q，ODA OAD∴∠=∠，BA BC=Q，BCA BAC∴∠=∠，BCA ODA∴∠=∠，//OD BC∴，DEQ是Oe的切线，OD DE∴⊥，DE BC∴⊥．19．（7分）如图，在44⨯的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．（1）AB的长度为5，CD的长度为．（2）若AB与CD所夹锐角为α，求tanα的值．【解答】解：（1）根据题意得，222425AB =+=，222313CD =+=，故答案为：25；13；（2）取格点E ，连接CE ，使//CE AB ，取格点F ，连接EF ，使得EF 于点G ，如图所示90EDF EGD ∠=∠=︒Q ，GED DEF ∠=∠， DEG FED ∴∆∆∽，∴EG DG DEED FD FE ==，即2313EG DG == 413EG ∴=，613DG = 713CG CD DG ∴=-=， ∴4tan 7EG ECG CG ∠==，//AB CE Q ， ECG α∴=∠，∴4tan 7α=． 20．（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为．b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【解答】解：整理、描述数据：故答案为：0，0，1，4，2，8，5；分析数据：经统计，乙校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88．故答案为：88；得出结论：a 若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为1540030020⨯=（人)． 故答案为：300；b （答案不唯一）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．21．（8分）甲、乙两车分别从相距480千米的A 、B 两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C 地，甲车到达C 地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B 地直达A 地，两车同时到达A 地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发后所用的时间x （时)的函数图象如图所示． （1）求t 的值．（2）求甲车距它出发地的路程y 与x 之间的函数关系式． （3）直接写出两车相距120千米时乙车行驶的时间．【解答】解：（1）(48060)60420607-÷=÷=（小时），7132t -==， 即t 的值是3；（2）当03x 剟时，设y 与x 的函数关系式为y kx =， 3603k =，得120k =，即当03x 剟时，y 与x 的函数关系式为120y x =， 当34x <…时，360y =，当47x <…，设y 与x 的函数关系式为y ax b =+，436070a b a b +=⎧⎨+=⎩，得120840a b =-⎧⎨=⎩， 即当47x <…，y 与x 的函数关系式为120840y x =-+， 由上可得，y 与x 的函数关系式为120(03)360(34)120840(47)xx y x x x ⎧⎪=<⎨⎪-+<⎩剟……； （3）设乙车行驶的时间为m 小时时，两车相距120千米，乙车的速度为60千米/小时，甲车的速度为3603120÷=（千米/小时），甲乙第一次相遇前，60(60120)(1)120480m ++⨯-+=，得83m =，甲乙第一次相遇之后，60(60120)(1)480120m ++⨯-=+，得4m =， 甲车返回A 地的过程中，当5m =时，两车相距120160180+⨯=（千米）， (12060)(5)180120m -⨯-=-，得6m =，答：两车相距120千米时乙车行驶的时间是83小时、4小时或6小时．22．（9分）如图，ABC ∆和ADE ∆是有公共顶点的直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）如图1，若ABC ∆和ADE ∆是等腰三角形，求证：ABD ACE ∠=∠；（2）如图2，若30ADE ABC ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）在（1）的条件下，6AB =，4AD =，若把ADE ∆绕点A 旋转，当90EAC ∠=︒时，请直接写出PB 的长度．【解答】解：（1）ABC ∆Q 和ADE ∆是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AB AC ∴==，2AD AE ==，DAB CAE ∠=∠． ADB AEC ∴∆≅∆． ABD ACE ∴∠=∠．（2）（1）中结论成立，理由：在Rt ABC ∆中，30ABC ∠=︒， 3AB AC ∴=，在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，3AD AE ∴=，∴AD AE AB AC=． 90BAC DAE ∠=∠=︒Q ，BAD CAE ∴∠=∠，ADB AEC ∴∆∆∽．ABD ACE ∴∠=∠（3）解：①当点E 在AB 上时，2BE AB AE AB AD =-=-=．90EAC ∠=︒Q ，222246213CE AE AC ∴=+=+=．同（1）可证ADB AEC ∆≅∆．DBA ECA ∴∠=∠．PEB AEC ∠=∠Q ，PEB AEC ∴∆∆∽．∴PB BE AC CE=． ∴6213PB = 613PB ∴． ②当点E 在BA 延长线上时，10BE =．90EAC ∠=︒Q ， 222246213CE AE AC ∴=+=+=．同（1）可证ADB AEC ∆≅∆．DBA ECA ∴∠=∠．BEP CEA ∠=∠Q ，PEB AEC ∴∆∆∽．∴PB BE AC CE=． ∴6213PB =． 3013PB ∴=． 综上所述，PB 的长为613或3013． 23．（10分）如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t = 145秒时，点N 落在AC 边上． （2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当矩形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．【解答】解：（1）如图1，作CG AB ⊥于点G ，设BG h =，45B ∠=︒Q ，14AB =，CG BG h ∴==，14AG h =-， 4tan 3CG A AG ==Q ，即4143h h =-，解得：8h =，则6AG =，DP DQ t ==Q ，2PN PQ t ∴==，由//PN CG 知APN AGC ∆∆∽，∴AP PNAG CG =，即7268tt-=，解得：145t =，故答案为：145．（2）①如图2，Q 四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒Q ，BQ MQ ∴=，即72t t -=，解得73t=，故当7 03t<…时，22(2)4S t t==；②如图3，90BQF∠=︒Q，45B∠=︒，7BQ FQ t∴==-，45BFQ MFE∠=∠=︒，则37MF MQ QF t=-=-，90M∠=︒Q，37ME MF t∴==-，则2221149(2)(37)21222S t t t t=-⨯-=-+-714()35t<<；综上，2274(0)314971421()2235t tSt t t⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩…．（3）111485622ABCS AB CG∆==⨯⨯=g，①如图4，作HR AB⊥于点R，Q四边形PQMN为正方形，且PM为对角线，45HPB B∴∠=∠=︒，117(147)222tHR PB t +∴==⨯-+=，PM Q 将ABC ∆面积平分，12PBH ABC S S ∆∆∴=，则171(7)56222t t ++=⨯g g ，解得747t =-+（负值舍去）；②如图5，作KT AB ⊥于T ，设4KT m =，由4tan 3KTA AT ==知3AT m =，45KQT ∠=︒Q ，4KT QT m ∴==，则347AQ m m m =+=，又14(7)7AQ t t =--=+，则77m t =+，77tm +∴=，Q 直线NQ 将ABC ∆面积平分，12AKQ ABC S S ∆∆∴=，即11745622m m ⨯⨯=⨯，整理，得：22m =，则27()27t+=，解得：772t =-+，综上，t 的值为477或727-．24．（12分）定义：对于给定的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，把形如22(0)(0)ax bx c x y ax bx c x ⎧++=⎨-++<⎩…的函数称为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的衍生函数． （1）已知二次函数222y x x =--．①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．②若点3(,)2P m -在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m 的值． ③当23x -剟时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值． （2）当二次函数2122(0)y x x a a=+-<的衍生函数的图象与以(3,2)A -、(5,2)B 、(5,4)C -、(3,4)D --为顶点的矩形ABCD 的边只有两个公共点时，直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1）①2222(0)22(0)x x x y x x x ⎧--=⎨---<⎩… ②当0m …时，23222m m --=-解得：11m =21m =（舍去） 当0m <时，23222m m ---=-解得：112m =-+，212m =-- 综上所述，m的值为1+或1-或1-． ③当20x -<…时，2222(1)1y x x x =---=-+- 1x ∴=-时，y 的最大值为1-；2x =-时，y 的最小值为112y =--=-当03x 剟时，2222(1)3y x x x =--=-- 1x ∴=时，y 的最小值为3-；3x =时，y 的最大值为431-=综上所述，当23x -剟时，这个二次函数的最大值为1，最小值为3-． （2）如图，二次函数2122(0)y x x a a=+-<的衍生函数为 22122(0)122(0)x x x a y x x x a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩… 0a <Q ，即10a <，10a->， ∴当0x …时，即y 轴右侧，图象开口向下，有最高点(,2)M a a '---当0x <时，即y 轴左侧，图象开口向上，有最低点(,2)M a a ''- 由题意，得①当(,2)M a a '---，(,2)M a a ''-均在矩形ABCD 的内部时，则：3524220a a a a a >-⎧⎪-<⎪⎪->-⎨⎪--<⎪<⎪⎩，解得：20a -<<； ②当(,2)M a a '---在矩形ABCD 的内部，(,2)M a a ''-在矩形ABCD 的外部，且左侧交点在CD 边上时， 则：2245221(3)2(3)24a a a a-<-⎧⎪-<⎪⎪--<⎨⎪⎪-⨯-+⨯--<-⎪⎩，解得：944a -<<-； ③当(,2)M a a '---，(,2)M a a ''-均在矩形ABCD 的外部时，则：222152522a a-->⎧⎪⎨⨯+⨯->⎪⎩，解得：256a <-； 综上所述，a 的取值范围为：20a -<<，944a -<<-，256a <-．。
2020年吉林省长春市中考数学综合学习评价与检测试卷(一) (含答案解析)
2020年长春市中考综合学习评价与检测数学试卷（一）（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列整数中，与37.4最接近的整数是 （A ）5. (B)6. （C ）7. （D ）8. 【答案】B.【解析】∵366=，497=，36＜37.4＜49，∴ 6＜37.4＜7，但37.4更接近6.∴选B. 【结语】考查无理数与有理数的比较大小，进而考查无理数的整数部分和小数部分.2.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是(A) (B) (C) （D ）【答案】D.【解析】考查轴对称图形和中心对称图形的定义.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点叫做对称中心，这个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
满足定义的图形只有D.∴选D.3. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地 球卫星“东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为（A ）60.43910⨯. （B ）64.3910⨯. (C) 54.3910⨯. (D) 343910⨯. 【答案】C.【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．439000=54.3910⨯，∴ 选C.3. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地 球卫星“东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道, 距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为 （A ）0. 439X106. （B ）4. 39X106.(04. 39X105. 4. 一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是(A) -2＜x ＜1. (B) -2≤x ＜1. (C) -2＜x ≤1. （D ）-2≤x ≤1. 【答案】B.【解析】通过数轴上表示的解集的公共部分，注意空心圈和实心点的区别.不等式组的解集为-2≤x ＜1.在数轴上表示不等式组的解集为B. ∴选B ．【结语】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，加强数形结合思想和方法的考查，关键是能正确在数轴上看出不等式组的解集，确定时注意空心圈和实心点的区别.5.如图，在△ABC 中，点D 在边BA 的延长线上，∠ABC 的平分线和∠DAC 的平分线相交于点M.若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M 的大小为 （A ）20°. (B) 25°. (C)30°. (D) 35°. 【答案】C.【解析】∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°，∠DAC=100°. 又BM 平分∠ABC ，AM 平分∠DAC ，∴ ∠ABM=20°，∠CAM=50°.∴∠M=180°-20°-130°=30°.∴选C.【结语】考查三角形内角和180°及其推论（外角），角的平分线定义，做求角度的计算. 6.下列运算一定正确的是(A)2222a a a +=. (B)2a 36a a ⋅=. (C) 236(2)6a a =. (D)22()()a b a b a b +-=- . 【答案】D.【解析】考查整式的加减乘除运算及其公式的用法. (A)224a a a +=，属合并同类项的知识. ∴A 错；(B)2a 35a a ⋅=，属同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ∴B 错；(C) 236(2)8a a =，属积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.∴C 错； (D)22()()a b a b a b +-=-，考查乘法公式中的平方差公式 .∴选D.7. 如图，有一热气球到达A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是α，与楼 的水平距离AC 为12米.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升的高度为 (A)12 · tan α米. (B)12tan α米. (C) 12 · sin α米. (D) 12sin α米. 【答案】A.【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=α，AC=12米.∴tan BC AC α=，tan 12BCα=，12tan BC α=⋅. ∴选A.【结语】一是锐角三角函数要在直角三角形中计算；二是考查锐角三角函数的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键.8.如图，一块含有30°角的直角三角板的直角顶点与坐标原点0重合，30°的顶点A 在反比例函数ky x=的图象上，顶点B 在反比例函数3y x=的图象上，则k 的值为 (A)- 6. (B)6. (C)-9. (D)9. 【答案】C.【解析】作BC ⊥x 轴于点C ，作AD ⊥x 轴于点D. ∴∠ADO=∠BCO=90°.∵∠A=30°，∠AOB=90°.∴OB:OA=1: 3，∠AOD=∠OBC ，△AOD ∽△OBC.∴:3:1AOD OBC S S ∆∆=. 又顶点B 在反比例函数3y x=的图象上，∴ 1.5OBC S ∆=. ∴ 1.53 4.5AOD S ∆=⨯=.∴9k =-.∴选C. 【结语】反比例函数求k 包括三种类型.一是待定系数法求k ；二是借助矩形、直角三角形面积求k ；三是建立k 的方程求k .注意点A 在第二象限，k 是负值.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9. 计算：123-= . 【答案】3.【解析】1223=，2333-=.【结语】考查最简二次根式、同类二次根式和合并同类二次根式的定义.根号内的被开方数必须是整数或者整式，被开方数不含有能够开的尽方的因数或者因式；几个二次根式化简为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；合并同类二次根式，等于把根号前面的系数相加减，根号和根号内的被开方数保持不变.10.举例说明命题：“如果a 、b 都是无理数，那么ab 也是无理数”是假命题，a 、b 的值可以为2a =、b = .【答案】22（答案不唯一）.【解析】∵ab 2224=⨯=，4是有理数，不是无理数，∴ “如果a 、b 都是无理数，那么ab 也是无理数”是假命题.【结语】判断一个命题是假命题，在数学范围内会举反例即可. 11.多项式32269a a b ab -+分解因式的结果是 . 【答案】2(3)a a b -.【解析】32269a a b ab -+222(69)(3)a a ab b a a b =-+=-.【结语】考查因式分解的定义及其方法的应用.把一个多项式写成几个整式乘积的形式叫做把一个多项式因式分解.方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本题具有小综合性，属一提二式类型.12.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何?”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果 每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱.问：共有几个 人?”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为. 【答案】911616x x -=+.【解析】结合答案给的方程来理解，做到多退少补.【结语】应用题注重恰当的设未知数带来的等量关系的建立，同时了解中国传统的数学文献带来的无限魅力. 13.将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个圆 如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切，我们将圆的 这种性质称为定宽性…除了圆之外，还有一些几何图形也具有定宽性，如勒洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画 一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形.如图是定宽的圆和勒洛三角形，若圆的半径2，则图中的勒洛三角形的周长为 .【答案】4π.【解析】一段弧的长为60441803l ππ⨯==，∴ 勒洛三角形周长为4343ππ⨯=. 【结语】掌握扇形求弧长和面积公式是解决问题的关键.14.如图，抛物线221y x x =--与y 轴交于点A ，过点A 作y 轴的垂线交抛物线于另一点B.点C 为抛物线上的点，过点C 作y 轴的垂线交抛物线的对称轴于点D.当四边形ABCD 为平行四边形时，四边形ABCD 的面积是 . 【答案】6.【解析】当x =0时，1y =-，∴ A （0，-1）. 2221(1)2y x x x =--=--， 对称轴是直线1x =，抛物线是轴对称图形，∴ B （2，-1），即有AB=2. 在□ABCD 中，DC=2，∴点C 的横坐标是3，纵坐标是232312y =-⨯-=. ∴S □ABCD =2×3.【结语】二次函数与平行四边形相结合综合题.考查二次函数的性质和平行四边形的性质，同时与方程相结合解决问题.三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. （6分）先化简，再求值：22411()422x x x x+÷-+-， 其中2x =. 【答案】2. 【解析】原式=42[](2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x -+⋅--+-+=2(2)(2)(2)x x x x x x +⋅-=-+.当2x =时，原式=2.【结语】考查分式的基本性质带来的分式的混合运算.把握好运算顺序和分式的通分、约分是解决好分式的化简求值的关键.16. （6分）一个不透明的袋子里有三个小球，上面分别标有数字3, -4, 5,每个小球 除所标数字不同外其余均相同.小文先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字.请用画树状图（或列表）的方法，求小文两次摸出小球上的数字都是正数的概率. 【答案】49. 【解析】画树状图∴P （小文两次摸出小球上的数字是正数）=49. 【结语】用画树状图或者列表法表示出随机事件的所有等可能性是解决问题的重点. 17.（6分）一辆汽车从A 地驶往B 地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路. 已知汽车在普通公路上行驶的平均速度为60km/h ，在高速公路上行驶的平均速度 为100km/h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了 2.2h.求普通公路和高速公路的长. 【答案】60㎞，120㎞.【解析】设普通公路长为xkm ，则高速公路长为2xkm .依题意，得2 2.260100x x +=. 解得60x =. 经检验，60x =是原方程的解，且符合题意. 2120x =.答：普通公路和高速公路的长分别为60㎞，120㎞.【结语】列一元一次方程解应用题.恰当设未知数，注重等量关系的建立是解决问题的关键. 18.（7分）如图，在四边形ABCD 中，AB//DC ，AB = AD ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE 丄AB 交AB 的延长线于点E ，连结OE.（1）求证：四边形ABCD 是菱形. （2）若 AB=5， BD=2，求 OE 的长. 【答案】（1）略. （2）2. 【解析】（1） 证明：∵AB ∥CD ，∴∠OAB=∠DCA. ∵AC 平分∠BAD ，∴∠OAB=∠DAC. ∴∠DCA=∠DAC. ∴CD=AD. ∵AB=AD ， ∴CD=AB.又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形.又∵AD=AB ，∴四边形ABCD 是菱形. （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴OC=OA ，BD ⊥AC . ∵CE ⊥AB ，∴OE=OA=OC. ∵BD=2， ∴OB=12BD=1. 在Rt △AOB 中，AB=5，OB=1.∴OA=222AB OB -=. ∴OE=OA=2.【结语】考查平行四边形及其特殊的平行四边形的性质与判定方法；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；勾股定理等知识，加强演绎推理与合情推理.19.（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A 、B 、C 均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图. （1）在图①中，画△ABC 的高线AD.（2）在图②中，画△ABC 的中线CE . （3）在图③中，画△ABC 的角平分线BF.要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法. 【答案】见解析.【解析】（1）作出垂线段AD，标记出垂直符号和垂足D.（2）AB在3×4网格的对角线上，AB与横向网格线交点标上点E，连结CE.（3）将BC向右延长1个单位长度到D，有AB=BD=5，△ABD是等腰三角形，AD在2×4网格的对角线上，AD与横向网格线交点为N，连结BN与AC交于点F，三角形内画实线段，三角形外画虚线段.【结语】借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，但必要的数学原理还是要讲的，要注重的，不可随意确定点的位置.20.(7分)国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60， 60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100)；b.国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63. 6 65. 9 66.4 68. 5 69. 1 69.3 69. 5C.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:d.中国的国家创新指数得分为69. 5.(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息；回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第 .(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应l的上方.请在图中用“O”圈出代表中国的点.的点位于虚线1(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元.(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是 .①相比于点A、 B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力.②相比于点B、C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.【答案】（1）17. （2）如图. （3）2.8（近似值，但不要误差太大）. （4）①②【解析】（1）结合条形统计图由大到小排列数据，中国的国家创新指数得分排名世界第17位.（2）如图. （3）2.8（在这个值左右有些误差页可以）（4）同A、B相比加快建设创新型国家①对的；同B、C相比决胜全面建成小康社会② 对的.【结语】要学会或者说做到站在不同的角度定义事物是否合理是重点.21. （8分）某汽车租赁公司对某款汽车的租赁方式按时段计费，该公司要求租赁方必须在9天内（包括9天）将所租汽车归还.租赁费用y （元）随时间x （天）的变化 图象为折线0A-AB-BC ，如图所示. （1）当租赁时间不超过3天时，求每日租金.（2）当6≤x ≤9时，求y （元）与x （天）的函数关系式.（3）甲、乙两人租赁该款汽车各一辆，两人租赁的时间共为9天，甲租的天数少于 3天，乙比甲多支付费用720元.请问乙租这款汽车多长时间？【答案】（1）150元/天. （2）210450y x =-. （3）7天.【解析】（1）4503÷=150元/天. ∴每日租金为150元/天.（2）当6≤x ≤9时，设y （元）与x （天）之间的函数关系式为y kx b =+. ∵图象经过（6，810）（9，1440），681091440k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，210k =，450b =-. ∴210450y x =-. （3）设乙租这款车m 天，则甲租(9)m -天. ∴210450150(9)720m m ---=.解得7m =.经检验，7m =是方程的解，且符合题意. 答：乙租这款车7天.【结语】一次函数图象信息题，注意从图象和从应用题的角度获得解题信息与数据是本题的重点.22. (9分)综合与实践.折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形， 同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为2的正方形纸片ABCD 对折，使边AB 与CD 重合，展开后得 到折痕EF.如图①：点M 为CF 上一点，将正方形纸片ABCD 沿直线DM 折叠，使点C 落在EF 上的点N 处,展开后连接DN 、MN 、AN ，如图②(—)填一填，做一做： (1)图②中，∠CMD=，线段NF=；(2)图②中，试判断△AND 的形状，并给岀证明.剪一剪、折一折：将图②中的△ AND 剪下来，将其沿直线GH 折叠，使点A 落 在点A'处，分别得到图③、图④.(二)填一填(3)图③中阴影部分的周长为.(4)图③中，若∠A 'GN = 80°，则∠A'HD= °.(5)图③中，相似的三角形(包括全等三角形)共有 对. (6)如图④，点A'落在边ND 上，若A'N = 2A'D,则AGAH= .【答案】（1）75°，2. （2）略. （3）6. （4）40. （5）4 . （6）54. 【解析】（6）承接（5）我们有△A 'GN ∽△HA 'D. ∴''''A G GN A NHA A D HD ==，设A 'G=x .∴4232'3x x HA HD -==， ∴2'3(2)x HA x =-，89(2)HD x =-. ∴23(2)x x -+89(2)x -=2，∴ 76x =. ∴54AG AH =. 【结语】在培养学生的动手操作能力方面这题给人耳目一新的感觉，做好深层次的推理与计算是解决问题的难点. 以图形的翻折为背景，加强了学生的动手操作能力，注重了图形的变换.此题取材于2019年齐齐哈尔市中考题，又有创新，值得探究学习.23. (10分)对于平面直角坐标系中的动点P 和图形G ，给出如下定义：如果Q 为图形G 上一个动点，P 、Q 两点间距离的最大值为max d ，P 、Q 两点间距离的最小值为min d ， 我们把max d min d -的值叫做点P 和图形G 之间的“极差距"，记作d(P ，图形G). 如图，正方形ABCD 的中心为点O ，A(2, 2). （1）点O 到线段AB 的“极差距”d(O ，AB) =.（2）设该正方形与y 轴交于点E 和F ，点P 在线段EF 上，d(P ，正方形ABCD) = 3， 求点P 的坐标.【答案】（1）2. （2）（0，1714）或（0，1714-）. 【解析】（1）点P 落在坐标原点上，点Q 落在点E 处有最小值2，点Q 落在点A 或B处有最大值2.∴d(O ，AB) =2.（2）当点P 在线段OE 上时，设P （0，m ）. 点Q 落在点E 处有最小值2m -，点Q 落在点C 或D 处有最大值PC=3+2m -=5m -. 在Rt △PCF 中，PF=2m +. ∴2222(2)(5)m m ++=-，1714m =. ∴P （0，1714）； 同理，当点P 在线段OF 上时，有P （0，1714-）. 综上所述，P （0，1714）或（0，1714-）.【结语】理解文字的定义部分很重要，以不变应万变，加强数形结合和分类讨论的数学思想和方法的学习，从位置关系决定数量关系的角度计算解决问题.24. （12分）【2019年北京及其改编】在平面直角坐标系xoy 中，抛物线21y ax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上. （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P （12，1a-）、Q （2，2）.若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.（4改编）设抛物线的顶点为M ，若45°≤∠MAB ≤60°，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）（2，1a -）；（2）对称轴是直线x =1；（3）a ≤12-；（4）1≤a a ≤1-. 【解析】（1）当0x =时，1A y a =-，∴ A （0，1a-）.又点A 向右平移2个单位长度得到点B ∴B （2，1a-）. （2）∵A （0，1a -），B （2，1a -），抛物线是轴对称图形. ∴ 抛物线的对称轴是直线0212x +==. （3）∵抛物线的对称轴是直线12bx a ==-，∴2b a =-.当a ＞0时，如图，x =2，1144y a a a a=--=-≠2，∴抛物线开口向上不成立；当a ＜0时，如图，x =2，1144y a a a a =--=-=2，∴12a =-，且a 越大，开口越小 ，有交点，∴ a ≤12-. 综上所述，a ≤1-.（4改编）1≤a ≤a ≤1-.作MN ⊥AB 于N ，PQ =2，22112(1)y ax ax a x a a a=--=---， ∴ MN =11()a a a a ----=.当a ＞0时，如图1和2，∠MAB =45°，△MAB 是等腰直角三角形，有a =1；∠MAB ≤60°，△MAB 是等边三角形，a .∴1≤a .图1∠MAB =45° 图2∠MAB =60° 图3∠MAB =45° 图4∠MAB =60° 当a ＜0时，如图3和4，∠MAB =45°，△MAB 是等腰直角三角形，有a -=1，∴1a =-；∠MAB ≤60°，△MAB 是等边三角形，MN a -a =∴a ≤-1.。