T2-2学习笔记(一)
选修2-2知识小结
a
b
b
c
b
f (x)dx。
f (x)dx0。
b x
定积分的基本性质 性质1.a kf ( x )dx k a f ( x )dx 性质2. 性质3.
b b
( f ( x) g ( x))dx
a
b
f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
导数的应用
1、求函数f(x)单调区间 (1)求f’(x) (2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
2、求函数极值 （1）求方程f’(x)=0的根 （2）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判 断f(x)在这个根处取极值的情况
3、求函数的最值
( 3) 求极限
y lim
x 0
x
.
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0且a 1); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
数学选修2-2知识导航 2.2.2间接证明 含解析 精品
2.2.2 间接证明知识梳理证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不直接证明的方法通常称为__________.如反证法，反证法的证明过程概括为：“__________”“__________”“__________”“ __________”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.知识导学在数学证明问题时，如果直接证明或正面证明不易证出或不易入手的情况下，可从反面证，用反证法来证，反证法的应用需要逆向思维，依据是互为逆否命题的等价性，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立，用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等，反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形，学习时注意体会.疑难突破反证法证明过程包括三个步骤剖析：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果.(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立，那么为什么这样证？其理论根据又是什么呢？用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性,即“若p则q”等价于“若⌝q则⌝p”成立，这里得出矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理矛盾，也可以与自身相矛盾，反证法的使用范围是正面不太容易证,而反面好证的情况下，“存在性”“唯一性”“至多”“至少”等问题常用反证法.典题精讲【例1】已知p3+q3=2，求证:p+q≤2.思路分析：本题的已知为三次式，且很难降次，虽然可分解为(p+q)(p2-pq+q2)=2，但还出现了我们不需要的二次式p2-pq+q2，所以正面很难入手，而所证的是一次式p+q，由一次式很容易升高次数，所以可用反证法.证明：假设p+q=t＞2,则p＞2-q.∴p3＞(2-q)3.∵p3+q3=2,∴p3+q3＞(2-q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8-12q+6q2=6(q-1)2+2≥2.∴2＞2与事实矛盾.绿色通道：在已知次数较高，而所证次数较低,正面解答不易时，可用反证法,注意反证法假设要全部否定结论.变式训练:设a、b都是整数，且a2+b2能被3整除.求证：a和b都能被3整除.证明：假设a、b中至少有一个不被3整除.不妨设a=3k+m(m=1或m=2且k∈Z),当b=3n(n∈Z),则a2+b2=(3k+m)2+(3n)2=9k2+6km+m2+9n2=3(3k2+2km+3n2)+m2.∵3(3k2+2km+3n2)能被3整除,m2不能被3整除,∴a 2+b 2不能被3整除,与已知矛盾.当b=3n+1(n ∈Z )时,a 2+b 2=(3k+m)2+(3n+1)2=9k 2+6km+m 2+9n 2+6n+1=3(3k 2+2km+3n 2+2n)+m 2+1.∵m 2+1不能被3整除，∴a 2+b 2不能被3整除,与已知矛盾.当b=3n+2(n ∈Z )时,a 2+b 2=(3k+m)2+(3n+2)2=9k 2+6km+m 2+9n 2+12n+4=3(3k 2+2km+3n 2+4n)+m 2+4.∵m 2+4不能被3整除，∴a 2+b 2不能被3整除,与已知矛盾.综上,可知a 和b 都能被3整除.【例2】 证明2是无理数.思路分析：无理数的概念是不是有理数的数,所以正面不易说明.若假设2是有理数得出矛盾就能说明2不是有理数，而是无理数.证明：假定2是有理数，则可设pq =2，其中p 、q 为互质的正整数. ∴2=22pq ,即q 2=2p 2. ∴q 2是偶数.∴q 也是偶数.设q=2m(m 为整数),则4m 2=2p 2.∴p 2=2m 2.∴p 2是偶数.∴p 也是偶数.∴p 、q 都是偶数，有公因数2,与p 、q 互为质数矛盾. ∴假设2是有理数不成立. ∴2是无理数.绿色通道：在证明“不是”或“没有”等否定性命题时常用反证法.变式训练:求证：正弦函数没有比2π小的正周期.证明：假设正弦函数y=sinx 有比2π小的正周期T ，(0＜T ＜2π),则sin(x+T)=sinx,对于任意x 都成立,∴x=0时，sinT=0.∴T=π.∴sin(x+π)=sinx.但当x=2π时,sin(2π+π)=-1,sin 2π=1,sin(x+π)≠sinx, 与sin(x+π)=sinx 矛盾.∴正弦函数没有比2π小的正周期.【例3】 已知a 、b 、c 、d ∈R ,且a+b=c+d=1,ac+bd ＞1.求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数.思路分析：本题要证a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数,具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能.所以正面证明很复杂,对于“至多”“至少”性问题可用反证法.证明：假设a 、b 、c 、d 都不是负数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.∵a+b=c+d=1,∴b=1-a≥0,d=1-c≥0.∴ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-(a+c)+1=(ac-a)+(ac-c)+1=a(c-1)+c(a-1)+1.∵a(c-1)≤0,c(a -1)≤0,∴a(c-1)+c(a-1)+1≤1,即ac+bd≤1.与ac+bd ＞1相矛盾.∴假设不成立.∴a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数.绿色通道：对于“至多”“至少”类命题的证明，常用反证法.变式训练:已知a 、b 、c ∈(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 证法一：假设三式同时大于41, 即b-ab ＞41,c-bc ＞41,a-ac ＞41. 相乘得a(1-a)b(1-b)c(1-c)＞641. 又∵a 、b 、c ∈(0,1),a(1-a)≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a a , b(1-b)≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+b b , c(1-c)≤412)1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+c c , ∴a(1-a)b(1-b)c(1-c)≤641. 矛盾，∴假设不成立，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 证法二：假设三式同时大于41. ∵0＜a ＜1,∴1-a ＞0,2141)1(2)1(=≥+>+-b a b a . 同理,212)1(,212)1(>+->+-a c c b . 三式相加得2323>矛盾,∴假设不成立. ∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于41. 问题探究问题：1，3，2能否为同一等差数列中的三项？导思：有些问题在不定性或结论不确定时，我们可进行探索性研究，可从正面研究.若正面不易研究，再从反面研究，或假设成立会导致什么结果，或举反例否定，从而确定答案，下结论.探究：目前等差数列是谁不知道，无法正面验证，只能从反面假设，是同一等差数列中的三项，得出矛盾说明假设错误，原结论正确；得不出矛盾，则说明假设正确.假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1=3-md，2=3+nd，m、n为两个正整数，消去d得n+2m=3(n+m).∵n+2m为有理数,3(n+m)为无理数,∴n+2m≠3(n+m).∴假设不成立，即1、3、2不能为同一等差数列中的三项.。
高一数学必修二笔记
高一数学必修二笔记一、引言作为一名高一学生，我在学习数学必修二的过程中，积累了一些经验和感悟，并特意整理了以下笔记，以便于复习和巩固。
二、笔记内容1. 第一章立体几何初步（1）掌握空间直角坐标系：空间直角坐标系是描述空间几何体位置关系的重要工具，它可以方便地表示点的坐标和几何体的位置关系。
（2）理解空间向量：空间向量的概念是解决立体几何问题的关键，它可以表示空间中任意一点的位置和方向，以及两个点之间的距离。
（3）熟悉空间平行关系：空间中两条直线平行或垂直的条件是它们的方向平行或相反。
（4）掌握空间角和距离的计算：空间角和距离是立体几何中的重要概念，可以通过向量方法进行计算和证明。
2. 第二章平面解析几何初步（1）理解直线方程：直线的方程是解决平面解析几何问题的基础，它可以表示直线上的所有点的位置关系。
（2）掌握两点间的距离公式：两点间的距离公式是解决平面解析几何问题的常用方法之一，它可以方便地计算两点之间的距离。
（3）熟悉圆的方程：圆的方程可以表示圆上的所有点的位置关系，它是平面解析几何中的基本形式之一。
（4）掌握圆锥曲线的概念和性质：圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它可以描述自然界中许多复杂的现象，如行星运动轨迹等。
3. 第三章函数及其图像（1）理解函数的定义和性质：函数是高中数学的核心内容之一，它可以描述自然界中各种变量之间的关系，如函数单调性、奇偶性等。
（2）掌握基本初等函数的性质：基本初等函数是函数的基础，包括指数函数、对数函数、幂函数等，它们具有各自的特点和性质。
（3）熟悉函数的图像：函数的图像是描述函数性质的重要工具之一，它可以直观地表示函数的变化趋势和周期性等特征。
三、学习心得在学习必修二的过程中，我深刻地认识到数学是一门需要不断思考、不断探索的学科。
通过整理笔记，我更加清晰地了解了各个知识点之间的联系和区别，从而更好地把握了数学的整体结构和脉络。
同时，我也意识到数学学习需要不断地思考和探索，只有不断地尝试新的方法和技巧，才能更好地解决实际问题。
【原创】人教A版选修2-2：第一章 章末小结与测评
第一章导数及其应用
(3)检验 f′(x)＝0 的根的两侧 f′(x)的符号： 若左正右负，则 f(x)在此根处取得极大值． 若左负右正，则 f(x)在此根处取得极小值． 即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失 分点，学习时务必引起注意． 3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方 法与步骤： (1)求 f(x)在(a，b)内的极值． (2)将(1)求得的极值与 f(a)，f(b)相比较，其中最大的一 个值为最大值，最小的一个值为最小值．
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
(2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝ax＋x＋2 12＝ax2＋x2xa＋＋122x＋a. 当 a≥0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当 a<0 时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12xx＋－1122≤0，函数 f(x) 在(0，＋∞)上单调递减．
f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a
－1，＋∞)上为增函数．依题意当 x∈(1,4)时，f′(x)<0，当
x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.故 4≤a－1≤6，即 5≤a≤7.因此
a 的取值范围是[5,7]．
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
[对点训练]
Hale Waihona Puke 一章导数及其应用③当 0<1a<e 时，令 g′(x)<0⇒0<x<1a， 所以 g(x)在0，1a上单调递减，在1a，e上单调递增． 所以 g(x)min＝g1a＝1＋ln a＝3，a＝e2，满足条件． 综上，存在实数 a＝e2，使得当 x∈(0，e]时，g(x)有最 小值 3.
第8讲 选修2-2复习小结(学生版)
第8讲 选修2-2复习小结一．基础知识回顾 (一)推理与证明1.归纳与内比：(1)归纳推理：从 中推演出 的结论的推理．归纳推理是由 到 、由 到 的推理．由归纳推理得到的结论 成立。
(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的 或 ，推演出它们在其他方面也 或 的推理．类比推理是由 到 的推理．由类比推理得到的结论 成立。
我们把 和 统称为 （3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由 到 的推理．（4）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提： ；②小前提 ；③结论 ．2.数学证明方法：(1)综合法：①定义： ②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．(2)分析法①定义： ②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.（3）反证法：①定义：在证明数学命题时，先假定 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明原命题成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．② 反证法的证题步骤：(1)假设: ；(2)正确推理， ；(3)否定假设， ．（4）数学归纳法：证明一个与 有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n 取 时命题成立；②(归纳递推)假设 ．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立． （二）导数及其应用1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f(x)，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝ 0，Δy ＝y 1－y 0＝ ，则当Δx≠0时，商 ＝ΔyΔx称作函数y ＝f(x)在区间[x 0，x 0＋Δx](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f(x)在点x 0处的瞬时变化率 通常称为f(x)在x ＝x 0处的导数，并记作 ，即 ． (2)几何意义：函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f(x)上点(x 0，f(x 0))的 ．导函数y ＝f′(x)的值域即为 ． 3．函数f(x)的导函数：如果函数y ＝f(x)在开区间(a ，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a ，b)内可导，其导数也是开区间(a ，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右上表） 5．导数运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；(2)[f(x)g(x)]′＝ ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤′＝ [g(x)≠0]．（4）复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x)在点x 处有导数u x ′＝φ′(x)，函数y ＝f(u)在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f′(u)，则复合函数y ＝f(φ(x))在点x 处有导数，且y′x ＝y′u ·u′x ，或写作f′x (φ(x))＝f′(u)φ′(x)． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是 函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f′(x)<0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是 函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为 函数，若在(a ，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a ，b)上为 函数．6．函数的极值：(1)判断f(x 0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程 的根；③检查f′(x)在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f(x)在[a ，b]上必有最值的条件如果函数y ＝f(x)的图象在区间[a ，b]上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f(x)在(a ，b)内的 ；②将函数y ＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （三）定积分1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分的几何意义是直线 所围成的曲边梯形的 ．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)dx ＝ (k 为常数)；(2)ʃba [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝ ；(3)ʃba f(x)dx ＝ .3．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃba f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做 ，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成 ，即ʃb a f(x)dx ＝F(x)|ba ＝F(b)－F(a)．4．定积分在几何中的应用：(1)当x ∈[a ，b]且f(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝ (2)当x ∈[a ，b]且f(x)<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝ .(3)当x ∈[a ，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝ .(4)若f(x)是偶函数，则ʃa －a f(x)dx ＝2ʃa0f(x)dx ；若f(x)是奇函数，则 .5．定积分在物理中的应用：(1)匀变速运动的路程公式：做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝ʃba v(t)dt ．(2)变力做功公式：一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a<b)(单位：m)，则力F 所做的功W ＝ʃba F(x)dx . （四）复数的引入1．数系的扩充：数系扩充的脉络是：符号表示为 ，2．复数的有关概念：(1)复数的概念：形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的 和 ．（2）复数的分类：若 ，则a ＋bi 为实数，若 ，则a ＋bi 为虚数，若 ，则a ＋bi 为纯虚数．(3)复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔ (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔ (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示 ．复数集C 和复平面内 组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(6)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝ .3．复数的运算：(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝ ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝ ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝ ；④除法：z 1z 2＝a ＋bic ＋di＝ ＝ (c ＋di≠0)．二．典例精析：探究点一：数学证明方法例1：（1）已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2≥ab＋bc ＋ca.（2）若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c.（3）若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．（4）数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明．变式迁移1：（1）设a ，b ，c>0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a＋b ＋c.（2）已知a>0，求证： a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2.（3）若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.（4）用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n≥2，n∈N *)．探究点二：导数及其应用例 2.已知函数k f x x x x k =+-+>2()l n (1)(0),2（1）当2k =时，求曲线()(1,(1y f x f =在点处的切线方程；（2）当1k ≠时，求函数()f x 的单调区间变式训练2：已知函数3()f x ax bx c =++在点1x =处取得极值8c -.（1） 求,a b 的值； （2）若()f x 有极大值18，求()f x 在[－3,3]上的最大值．探究点三：导数的实际应用例3：已知某家企业的生产成本z （单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x （单位：t ）的函数，其解析式分别为：32187580z x x x =-+-， 15x ω=（1）试写出该企业获得的生产利润y （单位：万元）与产量x （单位：t ）之间的函数解析式； （2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？变式训练3：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km .（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？探究点四：复数的概念与运算例4：（1）已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： ① 实数； ②虚数； ③纯虚数．（2）如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数；②对角线CA →所表示的复数；③ 求B 点对应的复数．（3）计算①＋4－35；②－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 010；③ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ；变式迁移4：（1）当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，①为实数；②为虚数；③ 为纯虚数；④复数z 对应的点在复平面内的第二象限(2)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是__________．(3)求下列各题的结果：①已知复数z ＝3＋i－32，z 是z 的共轭复数，则z·z ＝____.②复数－1＋351＋3i的值是___．③ 已知复数z 满足iz ＋i＝2－i ，则z ＝______.三．方法规律作结1．用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)2．数学归纳法：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，并证明当n ＝k ＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n 取第一个值n 0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n 0时命题成立，由假设合理推证出n ＝k ＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立，这就一定有n ＝2成立，n ＝2成立，则n ＝3成立，n ＝3成立，则n ＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n ≥n 0的整数就都成立了．3．(1)第①步验证n ＝n 0使命题成立时n 0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．(2)第②步证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法． 1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．4．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P(x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P(x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P(x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y －f(x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f(x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程． 5．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．6．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f(x)＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f(x)在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x)的符号不同．3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 7．定积分ʃb a f(x)dx 的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x 2dx ＝π (半径为2的1个圆的面积)，ʃ2－24－x 2dx ＝2π.一．选择题1． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 2． (1＋i)20－(1－i)20的值是 ( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i3.由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用( )A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．特殊推理 4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是 ( )A ．假设2是有理数B 假设3是有理数C ．假设2或3是有理D ．假设2＋3是有理数5． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C. 3 D. 32 6． 定积分 (1－cos x)dx 的值为 ( ) A ． 2π－1 B ．2π C ．－2π D ．2π＋17．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是 ( )A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)8． 已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f ′(x)的图像大致形状 ( )9． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝010． 已知函数f(x)＝2x 3＋3x ＋cos x ，则f ′(x)等于 ( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．2x 2＋13x －23－sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x11． 已知函数f(x)＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为 ( )A ．a>13B ．a≥13C ．a<13且a≠0D ．a≤13且a≠012．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)二．填空题13．设f(x)＝8sin 3x ，则曲线在点P(π6，1)处的切线方程为14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是 ．15. 如图，函数y ＝f(x)的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f′(5)＝ 16. f(x)＝x （x+1）（2x+1）（3x+1）…….（nx+1）则f′(0) ＝17．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 ．18．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测当n ≥2时，有 ．19．曲线y ＝x 2和y 2＝x 所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为20．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋yi ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是 ． 三．解答题21．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．22．已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2. 求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.23．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b)．24．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时：(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？25．数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 26．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.27．设函数f(x)＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．28．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为 每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．29．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x>0，试求f(x)dx.30．设函数f(x)＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．。
高中数学选修2-2知识点汇编
数学选修2-2第一章推理与证明知识点必记1.归纳推理的定义是什么？ 答：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。
2归纳推理的思维过程是什么？ 答：大致如图：3.归纳推理的特点有哪些？答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
4.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊．．到特殊．．的推理。
5.类比推理的思维过程是什么？ 答：6.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般．．到特殊．．的推理。
7．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论 8.“三段论”可以表示为什么？答： ①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
9.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
10.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
11.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
人教A版选修2-2第1章章末总结.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①又y1＝f(x1)②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)f(x)＝x(x－a)2.知识点三导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值； 特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .知识点四 导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．例5 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．知识点五 定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题． 利用定积分解决问题时要注意找清被积函数和积分上下限．例6 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积．例7在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，如图所示，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．答案重点解读例1 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 例2 解 (1)函数的定义域是R ， f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0，解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3 (k ∈Z )，令12＋cos x <0， 解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，因此，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是 增加的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a .a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. a ＝0时，函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)， 即f (x )在R 上是增加的．例3 解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )－1－32a ＋bb－a 32＋b1－32a ＋b 从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1. 又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1. 例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0， ∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727； 当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7，因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7.所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)． 例6 解所求面积 S ＝542ππ-⎰|sin x |d x＝-2π-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －54ππ⎰ sin x d x＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22.例7 解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 围 成的 面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.面积S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t 2， (1－t )，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S 为： S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13 (0≤t ≤1)，由S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0， 得t ＝0，或t ＝12.由于当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t <1时，S ′(t )>0， 所以S (t )在0<t <12上单调递减，在12<t <1上单调递增．1所以当t＝2时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．。
高中数学必修二选修2-1知识点归纳
必修二 知识点归纳： 第一章 空间几何体1. 棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
（正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。
）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。
） 棱锥 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。
斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。
棱台 正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。
斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。
四面体：三棱锥正四面体：六条棱均相等的三棱锥。
空间四边形ABCD ：三棱锥，其中有四条边：AB 、BC 、CD 、DA ；两条对角线：AC 、BD 。
2. 三视图（会识别，会画图）3. 斜二测画法画直观图：见《名师面对面》P10：3题；P12：6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径，l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S ’)h 其中S ，S ’为底面积，h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系：2R=√3a 注意：将《名师面对面》P12-21重做一遍。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。
２．三个公理：（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（２）不共线三点确定一个平面。
推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。
②两条平行直线确定一个平面。
③两条相交直线确定一个平面。
（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
注意：将《名师面对面》P22-24重做一遍。
３．空间两直线的位置关系：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。
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T2-2学习笔记（一）
本专题需要掌握的知识点如下：
1、阅读教学设计模板；
2、确定教学终点（教学目标）；
3、确定教学起点（学情分析）；
4、设计教学环节（台阶）；
5、确定教学内容落点；
6、选择学习方式。
本专题需要掌握的水平点如下：
1、掌握阅读教学设计的备课模板并应用于备课实践；
2、能回溯优秀课例中教学目标所指向的点（课文理解感受的关键处）及其教学内容。
知识点解释
阅读教学设计模板：指从优秀教师的课例研究中提炼的阅读教学的台阶状教案样式。
其理路是：（1）根据文本体式，确定课文理解感受的关键点、关键处，即阅读教学目标或称教学的终点。
（2）依据学生自读状况设定教学起点，区分学生自己能理解感受的地方，理解感受有问题和困难的地方，明确教学起点。
（3）按照文本理解和感受的事理逻辑，合理组织教学内容，设计2-3个教学环节，每个环节的内容落点分几个步骤，几个步骤通常指向一个相关联的关键点、关键处。
（4）相对应于内容落点的步骤，选择合适的学习方式。
确定教学终点（阅读教学目标）：基于教师自身的阅读体验，结合对学生（课前）阅读状况的判断，根据文本体式（这个类语篇类型）的体质，确定“这个篇”课文理解感受的关键点、关键处，并准确陈述。
确定教学起点（学情分析）：从经验判断，或采用预习题等方法，了解学生（课前）“这个篇”课文的阅读状况，区分学生自己能理解感受的地方，理解感受有问题和困难的地方，明确教学起点。
研究表明，学生理解感受有问题和困难的地方，往往就在“这个篇”课文理解感受的关键点、关键处。
所以，也能够采用从课文理解感受关键处逆推的办法，预估学生（课前）的阅读状况。
设计教学环节（台阶）：按照文本理解和感受的事理逻辑，合理组织教学内容。
根据对优秀教师的课例研究，（大陆）好的阅读教学，通常是2-3个教学环节，主要环节15-20分钟，组织学生较充分的“学的活动”。
2-3个环节呈阶梯状，形成从教学起点走向教学目标的台阶。
确定教学内容落点：有两层含义：（1）确定一个环节的教学目标，即在这个环节里要学生能（自主地）理解感受的某个（某些）关键点、关键处，通常还会细分出几个小点，构成这个环节学习内容的“步骤”。
（2）确定教学内容，即学生能（自主地）理解感受的某个（某些）关键点、关键处需要学习的语文知识，核心是阅读方法。
选择学习方式：即组织学生“学的活动”，从教师这个面来表述，
就是“教学方法”。
在阅读教学中，学习方式的选择，是相对应于教学环节中的“步骤”，即教学目标与内容的最小单位，有时也对应于教学环节的内容落点。
能够这样来理解：使学生能自主地理解感受课文的“这个点”，或学会“这个点”语文知识，学生用什么样的学习方式，能够学得更好、更有效些？
水平点解释
1、掌握阅读教学设计的备课模板并应用于备课实践；
2、能回溯优秀课例中教学目标所指向的点（课文理解感受的关键处）及其教学内容：
课例研究的一种样式。
研读优秀教师的课例，分析其教学目标所指向的点，回溯优秀教师所确定的理解感受课文的关键点、关键处，及相对应的学习内容：通过教师的提问处、引导学生讨论的点，回溯优秀教师在备课时是如何预估学生（课前）阅读状况的。
研修课程：三个互补的“工作坊”
共同备课的特点：①聚焦主题；②专家参与；
③促使反思（目的），发展学科教学知识 引领性课程：阅读教学目标与教学内容的确定
*主题学习工作坊
专题一：阅读教学目标与教学内容指什么？（必修）90（2） 反思 分享 经验
运用 消化
专题二：为什么要审议和开发教学内容？（必修）80（2） 专题三：如何确定教学目标和教学内容？（必修）72（2）
共同备课，并不是追求一篇课文的“最佳设计”，它的目的是，促使教师反思自己的经验，是希望教师尝试着使用“主题学习工作坊”所学的理论。
它的成效，主要表现在备课教师经验的获得上。
阅读教学设计备课模板简介：
备课备两头
如《生命，生命》课例，教学目标：理解三个事例给“我”带来的关于生命的震撼与感悟。
教学环节的组织：
终点：学习目标
起点：学情估量 自读填空，初读感知 1、默读勾画，震撼词句 后续活动：让学生用本课五 1、自由朗读全文 2、小组交流，班级展示 个生字词写一段感悟生命的
2、自主完成填空
3、教师发言，小结感悟 段落。
3、班级交流
学情预估：1、能自主解决字词；2、能看懂文章大意；3、难解震撼和感悟
借助注释，读懂词意； 展开想象，读出词情； 互文印证，读透词心。
薛法根《真理诞生在一百个问号之后》研习
黄颜色：理解课文的关键处（教学目标）
绿颜色：可能是学生理解有困难的地方
教学方法是跟着步骤走，学习方式对应教学步骤。
（薛法根、王崧舟、孙双金、于永正）
“什么是共同备课”
课例研究，是课堂教学研究的新领域，也是课程与教学研究的一种新方法。
从课例中获取学科教学知识（PCK ）
学生
*PCK 是教师教什么，怎么教的决策和实施，以及清晰或含混的之所以教这些，这么教的理据。
语文课例研究的样式：名课研习、课例研讨、课例评析、课例兼评、课例综述、共同备课 内容落点1
学习方式
内容落点2 学习方式 内容落点3
学习方式。