非等差等比数列前n项和计算方法

第二章：数列 1、数列中与n 之间的关系：11,(1),(2).n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a b A +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式： ()()11122n n n n n a a S na d -+=+= ⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项()Λ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

⑤单调性：{}n a 的公差为d ，则：ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列；ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列；ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；⑥数列{n a }为等差数列n a pn q ⇔=+（p,q 是常数）⑦若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列。

3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a b 、G 、成等比数列2,G ab ⇒=（ab 同号）。

反之不一定成立。

⑶通项公式：11n n m n m a a q a q --== ⑷前n 项和公式：()11111n n n a q a a q S q q --==-- ⑸常用性质①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则m n p q a a a a ⋅=⋅；②Λ,,,2m k m k k a a a ++为等比数列，公比为k q (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列{}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；正项等比数列{}n a ；则{}lg n a 是公差为lg q 的等差数列；④若{}n a 是等比数列，则{}{}2n n ca a ，， 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， {}()r n a r Z ∈是等比数列，公比依次是21.r q q q q，，， ⑤单调性：110,10,01a q a q >><<<或{}n a ⇒为递增数列；{}110,010,1n a q a q a ><<<>⇒或为递减数列；{}1n q a =⇒为常数列；{}0n q a <⇒为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等比数列.求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能 累加法：形如(1n f a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：11221(1)(2)..(1.)n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨--=--=⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;④若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.累乘法： 形如1()n n a f n +=⋅1()n n a f n a +⎛⎫= 型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造：11221(1)(.2)(1..)n n n n a f n a a f n a a f a ---=-=-⎧⎪⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-⋅-⋅⋅≥有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

构造数列法：㈠形如q pa n n +=+1（其中,p 均为常数且p ≠）型的递推式：（1）若1p =时，数列{n a }为等差数列;（2）若0q =时，数列{n a }为等比数列;（3）若1p ≠且0≠q 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设1()n n a p a λλ++=+,展开移项整理得1(1)n n a pa p λ+=+-,与题设1n n a pa q +=+比较系数（待定系数法）得1,(0)()111n n q q q p a p a p p p λ+=≠⇒+=+---1()11n n q q a p a p p -⇒+=+--,即1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭构成以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的通项整理可得.n a 法二：由q pa a n n +=+1得1(2)n n a pa q n -=+≥两式相减并整理得11,n n n n a a p a a +--=-即{}1n n a a +-构成以21a a -为首项，以p 为公比的等比数列.求出{}1n n a a +-的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.n a㈡形如1()n n a pa f n +=+(1)p ≠型的递推式： ⑴当()f n 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设[]1(1)n n a An B p a A n B -++=+-+，通过待定系数法确定A B 、的值，转化成以1a A B ++为首项，以p 为公比的等比数列{}n a An B ++，再利用等比数列的通项公式求出{}n a An B ++的通项整理可得.n a法二：当()f n 的公差为d 时，由递推式得：1()n n a pa f n +=+，1(1)n n a pa f n -=+-两式相减得：11()n n n n a a p a a d +--=-+，令1n n n b a a +=-得：1n n b pb d -=+转化为类型Ⅴ㈠求出 n b ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.n a法一：设[]1()(1)n n a f n p a f n λλ-+=+-，通过待定系数法确定λ的值，转化成以1(1)a f λ+为首项，以p 为公比的等比数列{}()n a f n λ+，再利用等比数列的通项公式求出{}()n a f n λ+的通项整理可得.n a法二：当()f n 的公比为q 时，由递推式得：1()n n a pa f n +=+——①，1(1)n n a pa f n -=+-，两边同时乘以q 得1(1)n n a q pqa qf n -=+-——②，由①②两式相减得11()n n n n a a q p a qa +--=-，即11n n n n a qa p a qa +--=-，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出.n a 法三：递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数）或1n n n a pa rq +=+（其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++，引入辅助数列{}n b （其中nn n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。

⑶当()f n 为任意数列时，可用通法：在1()n n a pa f n +=+两边同时除以1n p +可得到111()n n n n n a a f n p p p +++=+，令n n na b p =，则11()n n n f n b b p++=+，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出n b 之后得n n n a p b =.对数变换法：形如1(0,0)q n n pa p a +=>>型的递推式：在原递推式1q n a pa +=两边取对数得1lg lg lg n n a q a p +=+，令lg n n b a =得：1lg n n b qb p +=+，化归为q pa a n n +=+1型，求出n b 之后得10.n b n a =（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。

倒数变换法： 形如11n n n n a pa a ---=（p 为常数且0p ≠）的递推式：两边同除于1n n a a -，转化为111n n p a a -=+形式，化归为q pa a n n +=+1型求出1na 的表达式，再求n a ； 还有形如1n n n ma a pa q +=+的递推式，也可采用取倒数方法转化成111n n m m a q a p+=+形式，化归为q pa a n n +=+1型求出1na 的表达式，再求n a .形如n n n qa pa +=++12型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列}{1--n n a a 的形式求解。

方法为：设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得h k 、，于是1{}n n a ka +-是公比为h 的等比数列，这样就化归为q pa a n n +=+1型。

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.n a5、非等差、等比数列前n 项和公式的求法①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅的前n 项和.n 项和公式时所用的方法.一般地，当数列的通项12()()n c a an b an b =++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项： 设12n a an b an b λλ=-++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21c b b λ=-，从而可得 12211211=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+1a b =-④11;m m m n n n C C C -+=-⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+-也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。