2019—2020年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析(试卷).docx
《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：62+82=a2，所以a2=100；（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：62+x2=82，所以a2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
最新2019-2020年度北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》同步练习题及答案解析-精品试题
八上1.3勾股定理的应用一．选择题（共10小题）1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m2．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm3．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米4．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm5．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D 点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．8 B．10 C．12 D．167．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会 B．可能会C．一定会D．以上答案都不对8．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺9．一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）A．36海里B．48海里C．60海里D．84海里10．如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断，树尖B点触地，经测量BC=3m，那么树高是（）A．4m B．m C．（+1）m D．（+3）m二．填空题（共10小题）11．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为．12．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了cm．13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．（结果保留根号）14．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．15．小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．16．一艘船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有km．17．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是m/s．18．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．19．如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，AB=7，BC=5，CG=5，求这只蚂蚁爬行的最短距离．20．如图示（单位：mm）的矩形零件上两孔中心A和B的距离为mm．三．解答题（共10小题）21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？23．一架方梯AB长13米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB为5米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了3米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？24．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？25．八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米．（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．26．有一只喜鹊在一棵5m高的小树上觅食，它的巢筑在距该树6m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m，当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去，若它飞行速度为5m/s，则它至少需要多少时间才能赶回巢中？27．如图，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=30m，BC=42m，AE=50m，则这条小路的面积是多少？28．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，荡秋千到AB 的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB，等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．29．如图，某居民楼A与公路MN相距60m（AB=60m），在公路MN上行驶的汽车在距居民楼A100m的点P处就可使其受到噪音的影响，求在公路上以10m/s的速度行驶的汽车给居民楼A的居民带来多长时间的噪音影响．30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，（1）求BC的长；（2）这辆小汽车超速了吗？八上1.3个勾股定理的应用参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016春•庐江县期末）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为=13m，所以旗杆折断之前高度为13m+5m=18m．故选D．【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．2．（2016春•临沭县期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB 的长．【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB===195cm．故选A．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．3．（2015•岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10（m），故小鸟至少飞行10m．故选：B．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．（2015•伊宁市校级一模）如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===30cm．故选B．【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．5．（2015秋•滨湖区期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．故选A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．6．（2015秋•新泰市期末）已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB 为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB==10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．故选B．【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．7．（2015春•北流市期中）在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会 B．可能会C．一定会D．以上答案都不对【分析】由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可解答．【解答】解：如图所示，AB=10米，AC=6米，根据勾股定理得，BC===8米＜9米．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．8．（2015春•青山区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．9．（2014春•台山市校级期末）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（）A．36海里B．48海里C．60海里D．84海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了48，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里，根据勾股定理得：=60（海里）．故选C．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．10．（2013秋•东兴市校级期末）如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断，树尖B点触地，经测量BC=3m，那么树高是（）A．4m B．m C．（+1）m D．（+3）m【分析】由题意知树枝折断部分、竖直部分和折断部分构成了直角三角形，根据题目提供数据分别求出竖直部分和折断部分，二者的和即为本题的答案．【解答】解：由题意知：AC=1，BC=3，由勾股定理得：AB===，∴树高为：AC+AB=（+1）m，故选C．【点评】本题考查了勾股定理的相关知识，解决本题时，先由勾股定理求得树枝折断部分，然后与竖直部分加在一起即为本题的解．二．填空题（共10小题）11．（2016•富顺县校级模拟）如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为150cm ．【分析】根据题意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色丝带的长即可．【解答】解：如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，故答案为：150cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．12．（2016春•潮州期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；根据勾股定理，得：AD==5cm；∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．13．（2016春•武冈市期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是dm ．（结果保留根号）【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为25dm，宽为（3+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=252+[（3+3）×3]2=949，解得x=．故答案为dm．【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．14．（2015秋•苏州校级期末）在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高15 米．【分析】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202=[30﹣（x﹣10）]2，解得x=15m．故这棵树高15m．【点评】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．15．（2015秋•东明县期末）小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？能（填“能”或“不能”）．【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．【点评】本题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．16．（2015春•岳池县期末）一艘船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有200 km．【分析】两段航行的路线正好互相垂直，构成直角三角形，利用勾股定理即可解答即可．【解答】解：如图，A为出发点，B为正东方向航行了160km的地点，C为向正北方向航行了120km的地点，故AB=160km，BC=120km，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===200km．故答案为200．【点评】本题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，关键是要根据题意画出图形即可解答．17．（2015秋•蓝田县期末）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是20 m/s．【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：BC==40（m），故小汽车的速度为v==20m/s．故答案为：20．【点评】本题考查了勾股定理的应用，是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．18．（2015秋•宜兴市校级期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是10 cm．【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故答案为：10．【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．19．（2014秋•平山区校级月考）如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知，AB=7，BC=5，CG=5，求这只蚂蚁爬行的最短距离cm ．【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【解答】解：如图（1），AG===13cm；（2）AG==cm．故答案为cm．【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．20．（2012秋•上蔡县校级期中）如图示（单位：mm）的矩形零件上两孔中心A和B的距离为100 mm．【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．【解答】解：∵AC=120﹣60=60mm，BC=140﹣60=80mm，∴AB===100（mm）．故答案为：100．【点评】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．三．解答题（共10小题）21．（2016春•浠水县期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA ⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【分析】如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得AB=500米，∵AB•CD=BC•AC，∴CD=240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．22．（2016春•重庆校级期中）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【分析】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解答】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB=x，AB+AC=16，∴AC=16﹣x．在Rt△ABC中，AB=x，AC=16﹣x，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6．故旗杆在离底部8米的位置断裂．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．23．（2016春•广州校级期中）一架方梯AB长13米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB 为5米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了3米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【分析】（1）在Rt△ABO中，根据勾股定理AO=，即可求出梯子顶端距地面的高度；（2）在Rt△A′B′O中，根据勾股定理OB′=，先求出OB′的长，梯子底部在水平方向滑动的长度即是BB′=OB′﹣OB的长，．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO===12（m），（2）∵AA′=3m，∴A′O=AO﹣AA′=9m，∴OB′===，∴BB′=OB′﹣OB=﹣5=2﹣5（m），∴梯子的底端在水平方向滑动了2﹣5米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键．24．（2015秋•龙口市期末）如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=10﹣x，将DA=8，CB=2代入关系式即可求得．【解答】解：设基地E应建在离A站x千米的地方．则BE=（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2∴302+x2=DE2…（3分）在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2∴202+（50﹣x）2=CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE=CE∴DE2=CE2∴302+x2=202+（50﹣x）2解得x=20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方．【点评】考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．25．（2013秋•亭湖区校级期末）八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米．（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【解答】解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2﹣BD2=652﹣252=3600，所以，CD=±60（负值舍去），所以，CE=CD+DE=60+1.6=61.6米，答：风筝的高度CE为61.6米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．26．（2014春•江都市校级期中）有一只喜鹊在一棵5m高的小树上觅食，它的巢筑在距该树6m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m，当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去，若它飞行速度为5m/s，则它至少需要多少时间才能赶回巢中？【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：过A做AE⊥CD，垂足为E，由题意可得AE=6，CE=14﹣1﹣5=8在Rt△ACE中，则t==2秒．答：它至少需要2秒的时间才能赶回巢中．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．27．（2014春•东莞市校级期中）如图，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=30m，BC=42m，AE=50m，则这条小路的面积是多少？【分析】根据勾股定理求得BE的长，即可求得CE的长，则要求的平行四边形的面积即为CE•AB 的值．【解答】解：由长方形性质知：∠B=90°在Rt△ABE中，∵AB=30m，AE=50m，∴BE===40m．∴CE=BC﹣BE=42﹣40=2m．S四边形AECF=CE•AB=2×30=60m2．答：小路的面积为60m2．【点评】此题主要是勾股定理的运用．勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．28．（2014春•禹州市期中）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB，等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．【分析】利用已知得出B′E的长，再利用勾股定理得出即可．【解答】解：由题意可得出：B′E=1.4﹣0.6=0.8（m），则AE=AB﹣0.8，在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2，∴（AB﹣0.8）2+2.42=AB2解得：AB=4，答：秋千AB的长为4m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．（2014春•台安县期中）如图，某居民楼A与公路MN相距60m（AB=60m），在公路MN上行驶的汽车在距居民楼A100m的点P处就可使其受到噪音的影响，求在公路上以10m/s的速度行驶的汽车给居民楼A的居民带来多长时间的噪音影响．【分析】设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．由勾股定理得到AP的长，然后求得PP′长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可．【解答】解：如图，设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．∵由勾股定理得到：PB===80，∴PP′=2PB=2×80=160米，∴影响时间为160÷10=16秒，答：影响时间为16秒．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．30．（2014秋•兴化市校级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，（1）求BC的长；（2）这辆小汽车超速了吗？【分析】（1）在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC；（2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速．【解答】解：（1）在直角△ABC中，已知AC=30米，AB=50米，。
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题A(较难 附答案)
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题A（较难附答案）1．已知如图，圆柱OO1的底面半径为13cm，高为10cm，一平面平行于圆柱OO1的轴OO1，且与轴OO1的距离为5cm，截圆柱得矩形ABB1A1，则截面ABB1A1的面积是（）A．240cm2B．240πcm2C．260cm2D．260πcm22．图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有___条线段的长度为正整数.3．如图,Rt△ABC中,∠B=90〬,AB=9,BC=6,,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段AN的长等于( )A．5 B．6 C．4 D．34．如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于（）A．B．C．D．5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．6，8，10 C．2，3，4 D．1，1，26．三角形的三边长分别为①5，12，13；②9，40，41；③8，15，17；④13，84，85，其中能够构成直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为点C，则AC：CB为（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：68．若三角形的三边长分别等于，，2，则此三角形的面积为________．9．下列各组数中，能构成直角三角形的是()A．1，1，B．4，5，6 C．5，12，23 D．6，8，1110．学校的书香苑呈三角形形状，三边分别是9，12，15，那么书香苑的面积是（）A．135 B．180 C．108 D．5411．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC 周长是_________12．求图中直角三角形中未知的长度：b=______，c=________．13．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是_____．14．如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且P A+AB+BQ最小，此时P A+BQ＝________．15．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为37，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y 的数量关系是_____．16．在ABCD中，AB=3，BC=4，当ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180o；③AC⊥BD；④AC=BD．其中正确的有_________．（填序号）17．如图所示，△ABC经过平移得到△DEF，已知CE＝2 cm，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∠A＝90°，则CF＝_________cm，平移的距离是_________．18．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.19．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．20．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______cm.21．如图，5×5的正方形网格中隐去了一些网格线，AB，CD间的距离是2个单位，CD，EF间的距离是3个单位，格点O在CD上（网格线的交点叫格点）．请分别在图①、②中作格点三角形OPQ，使得∠POQ=90°，其中点P在AB上，点Q在EF上，且它们不全等．22．（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为10、25、10；（2）求此三角形的面积及最长边上的高.23．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60˚的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,则A城遭受这次台风影响有多长时间?24．如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，D为BC边上一点，把△ABC 沿AD折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．25．如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？26．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是12米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是23米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？.27．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为1．（1）图1中阴影正方形的面积是，并由面积求正方形的边长，可得边长AB长为；（2）在图2：3×3正方形方格中，由题（1）的解题思路和方法，设计一个边长为的正方形。
第1章 勾股定理 北师大版数学八年级上册综合素质评价(含答案)
第一章 综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝5，则AB 的平方为( )(第1题)A .9B .16C .25D .412.下列各组数中，是勾股数的是( )A .0.3，0.4，0.5B .35，45，1C .4，5，6D .7，24，253.在△ABC 中，∠B ＝35°，BC 2－AC 2＝AB 2，则∠C 的大小为( )A .35°B .55°C .65°D .90°4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD 的长度是( )(第4题)A .2B .3C .4D .55.[情境题 生活应用]如图，在A 村与B 村之间有一座大山，原来从A 村到B 村，需沿道路A →C →B (∠C ＝90°)绕过村庄间的大山，打通A ，B 间的隧道后，就可直接从A 村到B 村.已知AC ＝9 km ，BC ＝12 km ，那么打通隧道后从A 村到B 村比原来减少的路程为( )(第5题)A.7kmB.6kmC.5kmD.2km6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC 和正方形BCFG的面积和为( )(第6题)A.225B.200C.150D.无法计算7.[情境题生活应用母题教材P6习题T1]如图母题①，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，如图②，则滑轮到地面的距离为( )(第7题)A.9米B.12米C.15米D.24米8.[2024岳阳月考]如图，长为6cm的橡皮筋AB固定两端A和B后把中点C向上竖直拉升4cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )(第8题)A .2 cmB .3 cmC .4 cmD .5 cm9.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AD ⊥BC 于点D ，E 为AD 上任意一点，则CE 2－BE 2＝( )(第9题)A .1B .2C .4D .510.[新考向 数学文化]意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理.若设图①中空白部分的面积为S 1，图③中空白部分的面积为S 2，则下列等式成立的是( )(第10题)A . S 1＝a 2＋b 2＋2abB . S 1＝a 2＋b 2＋abC . S 2＝c 2D . S 2＝c 2＋12ab 二、填空题(每题3分，共15分)11.[2024天津西青区期中]如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm 2.(第11题)12.已知三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高等于 .13.如图，一座桥横跨一河，桥AB的长为40m，一艘小船自桥北头(A处)出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸(C处)后，发现已偏离桥南头(B处)9m，则小船实际行驶的路程为 m.(第13题)14.[母题教材P17复习题T5]如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12n mile和16n mile，1h后两轮船分别位于点A，B处，且相距20n mile.如果知道甲轮船沿北偏西40°方向航行，则乙轮船沿 方向航行.15.[2024青岛期末]如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3m的半圆，其边缘AB＝CD＝16m，点E在CD上，CE＝4m.一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为 m.(π取3)三、解答题(16题10分，17～19题每题12分，20题14分，21题15分，共75分)16.如图，∠B＝90°，求x的值.17.如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13.试说明△ACD是直角三角形.18.[2024赣州期末]图①是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高AB＝5cm，连杆BC＝30cm，灯罩CD＝20cm.如图②，转动BC，CD，使得∠BCD成平角，且灯罩端点D离桌面l的高度DH为45cm，求AH的距离.19.观察下列勾股数：①3，4，5，且32＝4＋5；②5，12，13，且52＝12＋13；③7，24，25，且72＝24＋25；④9，b，c，且92＝b＋c；…(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b＝ ，c＝ ；(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确.20.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝.(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ；A B C D(2)求该长度最短的金属丝的长；(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度为m，则m2的值为 .21.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，验证勾股定理，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.(1)如图①，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板.①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图①验证a2＋b2＝c2；②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少.(2)如图②，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓(实线)的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积.答案详解详析一、1. D 2. D 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C9. D【点拨】在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2－AD2，CD2＝AC2－AD2，所以在Rt△BDE和Rt△CDE中，BE2＝BD2＋ED2＝AB2－AD2＋ED2，EC2＝CD2＋ED2＝AC2－AD2＋ED2，所以EC2－EB2＝（AC2－AD2＋ED2）－（AB2－AD2＋ED2）＝AC2－AB2＝32－22＝5.10. B 13.41二、11.64 12.601314.北偏东50°（或东偏北40°）【点拨】因为AP＝1×12＝12（nmile），PB＝1×16＝16（n mile），AB＝20n mile，所以AP2＋BP2＝400＝AB2，所以∠APB＝90°.因为∠APN＝40°，所以∠BPN＝50°.因为∠EPN＝90°，所以∠BPE＝40°.所以乙轮船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行.15.15【点拨】如图是U型池的内侧面展开图，则AD≈3×3＝9（m），CD＝16m，CE＝4m.所以DE＝CD－CE ＝16－4＝12（m）.在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2≈92＋122＝152，所以AE≈15 m.故他滑行的最短路程约为15m.三、16.【解】由勾股定理，得62＋x2＝（x＋4）2，解得x＝2.5.故x的值为2.5.17.【解】因为AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，所以AC 2＝152－92＝144.因为52＋144＝132，所以AD 2＋AC 2＝CD 2，所以∠DAC ＝90°，所以△ACD 是直角三角形.18.【解】由题意，得BD ＝BC ＋CD ＝50 cm .如图，过点B 作BE ⊥DH 于点E ，易得EH ＝AB ＝5 cm ，BE ＝AH ，所以DE ＝DH －EH ＝40 cm ，所以BE 2＝BD 2－DE 2＝302.所以BE ＝30 cm ，所以AH ＝30 cm .19.【解】（1）40；41（2）猜想第n 组勾股数为2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1.因为（2n ＋1）2＋（2n 2＋2n ）2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，（2n 2＋2n ＋1）2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n ＋1，所以（2n ＋1）2＋（2n 2＋2n ）2＝（2n 2＋2n ＋1）2.因为n 是正整数，所以2n ＋1，2n 2＋2n ，2n 2＋2n ＋1是一组勾股数.20.【解】（1）A（2）由（1）可知该长度最短的金属丝的长为2AC .因为圆柱底面的周长为12，所以BC ＝12×12＝6.因为圆柱的高AB ＝8，所以AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10，所以该长度最短的金属丝的长为2AC＝2×10＝20.（3）2368【点拨】若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则m2＝42×1222＝2368.21.【解】（1）①设题图①中大、小两个正方形的面积分别为S1和S2，则S2＝（b－a）2＝a2＋b2－2ab，S1＝S2＋4×12ab＝a2＋b2.又因为S1＝c2，所以a2＋b2＝c2.②因为AB＝13，EF＝7，所以大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，所以四个直角三角形的面积和为169－49＝120，设AE为x，DE为y，则4×12xy＝2xy＝120，易知x2＋y2＝132＝169，所以（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝169＋120＝289，所以x＋y＝17，所以直角三角形两直角边之和为17.（2）由题意，得AB＋BC＝48÷4＝12，OH＝OB＝6.设AH＝BC＝x，则AB＝12－x，OA＝6＋x，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB2＋OA2＝AB2，即62＋（6＋x）2＝（12－x）2，解得x＝2，所以OA＝OH＋AH＝6＋2＝8，所以该图形的面积为4×12OB·OA＝2OB·OA＝2×6×8＝96.。
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题B(基础 附答案)
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题B（基础附答案）1．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（）A．120 B．160 C．216 D．962．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则S△BCE：S△ADE等于（）A．2：5 B．16：25 C．14：25 D．14：213．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以BC为边的正方形面积为（）A．3 B．12 C．D．4．直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB的值是（）A．6 B .8 C .10 D.75．如图①②，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为，设铁环中心为，铁环钩与铁环相切的点为，铁环与地面接触点为，，且5tan12α=，若人站立点与点的水平距离等于，则铁环钩的长度为（）cm.A．40B．42C．39D．366．一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它斜边上的高线长为（）A．5 B．2.5 C．2.4 D．27．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC边中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于( )A ．65B ．85C ．125D ．2458．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ．给出以下结论： ①DG=DF ； ②四边形EFDG 是菱形； ③2PC PA PB =⨯； ④当PC PB CPA BPC PA PC=∠=时，BE 的长为PCA ∆，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，△ACE 是以□ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称.若E 点的坐标是（7，－3），则D 点的坐标是 ( )A ．(4,0)B ．(,0)C ．(5,0)D ．(,0)10．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）A ．3,4,5B ．5,13,15C ．7,14,25D ．8,12,2011．如图，⊙O 的半径为1，圆心O 到直线AB 的距离为2，M 是直线AB 上的一个动点，MN 与⊙O 相切于N 点，则MN 的最小值是_____________.12．在等边△ABC 中，点E 是AC 边的中点，高AD=6，在AD 上找一点M ，使CM+ME 的值最小，则CM+ME 的最小值是____________。
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题1(基础 附答案)
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题1（基础附答案）1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．8、15、7 B．8、10、6 C．5、8、10 D．8、39、402．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．B．C．D．3．有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．5 B．C．5或D．无法确定4．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B-∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b-c）；④a：b：c=5：12：13其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对6．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B、C三点都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于（）AB C D7．分别以下列各组数一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1 2,C．111345，，D．2,3,48．如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（）A．2－2 B．－1 C．－1 D．2－9．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为________cm2.10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形AEFG的边长为1cm. 正方形AEFG绕点A 旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_______cm.11．小河两岸边各有一棵树，分别高30尺和20尺，两树的距离是50尺，每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，速度相同，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方离开比较高的树的距离为___________尺．12．根据下图中的数据，确定a＝_______，B＝_______，x＝_______.13．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为_______．14．如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=4 ，CD=，则AD边的长为__．15．若直角三角形三边长分别为6cm,8cm和Xcm，则X=_________.16．如图，矩形OABC中，AB=1，AO=2，将矩形OABC绕点O按顺时针转90o，得到矩形OA，B，C，，则BB，=_______.17．（如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：BD2＋CD2＝2AD2．18．如图，公路PQ和公路MN交于点P，且∠NPQ＝45°，公路PQ上有一所学校A，AP ＝80米，现有一拖拉机在公路MN上以10米∕秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？20．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．21．如图，牧童在A处放牛，其家在C处，A、C到河岸L的距离分别为AB=2km，CD=4km 且，BD=8km．（1）牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C，试确定P在何处，所走路程最短？请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），不必说明理由．（2）求出（1）中的最短路程．22．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，需要爬行的最短距离是多少？23．如图所示是一块菜地，已知AD＝8 m，CD＝6 m，∠D＝90°，AB＝26 m，BC＝24 m，求这块菜地的面积．24．求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图1，AB=8，AC=6；（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．参考答案1．B【解析】试题解析：A、82+72≠152，故不是直角三角形，故错误；B、62+82=102，故是直角三角形，故正确；C、52+82≠102，故不是直角三角形，故错误；D、82+32≠402，故不是直角三角形，故错误．故选B．2．B【解析】根据勾股定理的逆定理即可进行判断.∵，∴以3、4、5为边长的线段能构成直角三角形；∵，∴以2、3、4为边长的线段不能构成直角三角形；∵，∴以为边长的线段能构成直角三角形；∵，∴以7、24、25为边长的线段能构成直角三角形；故选B.3．C【解析】当第三边是斜边时，根据勾股定理得，第三边的长为；当第三边是直角边时，根据勾股定理得，第三边的长为.故选C.4．C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理分析判断即可.【详解】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴①正确；②a 2＝（b+c ）（b ﹣c ），∴a 2＝b 2﹣c 2，∴a 2+c 2＝b 2，∴△BAC 是直角三角形，∴②正确；③∵a ：b ：c ＝3：4：5，∴设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∵a 2+b 2＝25k 2，c 2＝25k 2，∴a 2+b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形，∴③正确；故选：D ．【点睛】直角三角形的判定是本题的考点，熟练运用勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键，此类题型属于基础题.5．A【解析】223OB AB AO =-== ,4OB ==,431BD ∴=-= 米.故选A.6．B【解析】连接AB ，BC ，AC ，找到AC 中点D ，连接BD.设C 到AB 的距离为h ，小方格边长为1，∴，，∴△ABC 为等腰三角形，∴BD ⊥AC ，且，△ABC 的面积为S=12AC ⋅BD=4. 又∵△ABC 面积=12×AB×h=4， ∴h=8AB . 故选B.7．B【解析】根据勾股定理的立逆定理，∵2227+=> ，∴A 不符合；∵22212+= ，∴B 符合； ∵22211251341445⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴C 不符合； ∵22+32=13<42，∴D 不符合； 故选B.【点睛】如果三角形三边符合“222a b c +=”，那么这个三角形是直角三角形；则只需要计算每个选项中，较小的两边长的平方的和是否等于第三边长的平方.8．C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，, .设 .作 于点F.∵CE 平分∠ACD ，， , . ∵DF 2+EF 2=DE 2，解之得故选C.9．84 【解析】作CD AB ⊥ ,垂足为D ，设AD=x,则BD=15-x,根据勾股定理得： 2222AC AD BC BD -=- ，即()222213-1415x x =-- 解得： 3356,55x CD == ,则S=561158452⨯⨯= .故答案为84.10 【解析】如图,当当点F 在线段AC 上时,CF 最小.222AC == , AF ==,CF AC AF ∴=-==.11．20【解析】由题意得：如图所示：AB=20尺，DC=30尺，BC=50尺，设EC为x，则BE为（50-x），在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2=202+（50-x）2，在Rt△DEC中，DE2=DC2+EC2=302+x2，又∵AE=DE，∴x2+302=（50-x）2+202，解得：x=20，即这条鱼出现的地方离比较高的树的树根距离为20尺．故答案是：20．12．15；144；40.x==. 【解析】根据勾股定理可得：a；B=169+25=144；40 13．13【解析】根据勾股定理可推出,在长方体中,能容纳最长棱的计算公式是,根据公式代入数值可得:=13.14．【解析】试题解析：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F，由已知可得，，，于是过点A作AG⊥DF，垂足为G，则，，在Rt△ADG中，根据勾股定理得15．10或【解析】当6和8为直角边时，；当8为斜边时，；∴x的值为10或16．【解析】试题解析：如图所示：∵矩形OABC中，AB=1，AO=2，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA′B′C，∴BD=3，B′D=1，则17．见解析【解析】试题分析：（1）通过证BA＝CA，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得出△ABD≌△ACE；（2）证CE=BD,DE2=2AD2，再在Rt△CDE中利用勾股定理即可.解：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE．（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD=CE．∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，∴CE2＋CD2＝DE2．∵△ADE是等腰直角三角形，∴DE2＝AD2＋AE2＝2AD2．∴BD2＋CD2＝2AD2．18．受影响的时间为12秒.【解析】试题分析：过点A作AB⊥DP于点B，则AB是点A到道路MN的最短距离，结合已知条件求出AB 的长度为80米，由80<100可知，学校要受影响；再以点A为圆心，100米为半径作圆A 交MN于点C和点D，连接AD、CD，利用已知条件求出CD的长，用CD的长度除以10，可得受影响的时间.试题解析：作AB⊥DP于B，则AB为A到道路的最短距离，在Rt△APB中，∵∠NPQ=45°，∴∠PAB=∠NPQ=45°，∴BA=BP，∴BA2+BP2=AP2=()2，∴BA=BP=80，∵80小于100，∴有影响；以点A为圆心，100米为半径作圆A交MN于点C和点D，连接AD、CD，∴在Rt△ABD中，BD=（米），∵AC=AD，AB⊥CD，∴CB=BD=60，∴受影响的时间为：（60×2）÷10=12秒.19．（1）10cm ；（2）2204S t t =-；（3）3或4011 【解析】20．36．【解析】链接AC ，先根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，有AC 2=AB 2+BC 2=42+32=25，又AC>0，∴AC=5∵AC 2+CD 2=52+122=169=132=AD 2∴∠ACD=90°，S 四边形ABCD =AB×BC+AC×CD=36。
北现大版八年级上册第一章勾股定理-折叠问题专题练习题
2019-2020勾股定理折叠问题（含答案）知识点睛1.折叠问题处理思路：（1）找折痕；（2）设未知数，表达线段、转移线段；（3）利用勾股定理列方程．一、单选题1．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A．5 B．4 C．6 D．102．如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D点与BC边中点D重合,若BC=8,CD=6,则CF长为（）A．1.5 B．5C．2 D．133．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3.2D ．3.64．如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A 与B 重合,折痕为DE,则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A ．2：5B ．14：25C ．16：25D ．4：215．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=5CM ，BC=10CM ，CD 上有一点E ，ED=2cm ，AD 上有一点P ，PD=3cm ，过点P 作PF ⊥AD ，交BC 于点F ，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q ，则PQ 的长是( ).A.413 cmB.3cmC.2cmD.27cm 6．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）A ．53B ．35C ．43D ．347．如图，有一块Rt △ABC 的纸片，∠ABC=900,AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿AD 折叠，使点B 落在AC 上的E 处，则BD 的长为( )A.3B.4C.5D.68．将宽为1cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．33cmD ． 233cm 9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积（ ）cm 2.A ．8B ．10C ．15D ．2010．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A．53B．52C．4 D．511．如图矩形ABCD中，AB=3，BC=3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（）A．5 B．4 C．3 D．212．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，若折痕DE的长是cm，则BC的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm二、填空题13．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长为____．14．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线M折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为_____．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为_____．16．如图，纸片中，，，，点在边上，以为折痕折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长是____．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝3，BC＝4，则EF的长为______．18．如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是_____．19．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE 折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____．20．如图，矩形纸片ABCD中，，，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△沿EF折叠，使点在BC边上，当折痕EF移动时，点在BC边上也随之移动则的取值范围为______．21．如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=5，点E为DC边上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D 的对应点D’落在矩形ABCD的对称轴上时，DE的长为____________.22．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是____cm．三、解答题23．小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：操作一：如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.（1）如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长.（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数.操作二：如图，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE重合，已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？操作三：如图，小丽又拿出另一张Rt △ABC 纸片，将纸片折叠，折痕CD ⊥AB 。
最新2019-2020年度北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元测试卷及解析-精品试题
《第1章勾股定理》一、选择题1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，132．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，64．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）A．30 B．40 C．50 D．605．下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．三个正方形的面积如图，当B=144、C=169时，则A的值为（）A．313 B．144 C．169 D．257．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空题：9．如图，直角三角形中未知边的长度x= ．10．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形．11．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是米．12．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．三、解答题：13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．14．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？15．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？参考答案与试题解析一、选择题1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；B、∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，不合题意；C、62+82=102，∴此三角形是直角三角形，不合题意；D、52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【考点】勾股定理．【分析】利用相似三角形的对应边成比例，运用勾股定理就可以解决．【解答】解：设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，直角边扩大2倍后为2a，2b，那么据勾股定理得原来c2=a2+b2，现在的斜边．即斜边扩大到原来的2倍，故选B．【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边成比例解答．3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理得到答案．【解答】解：因为32+42=25 52=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的判定的运用．4．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）A．30 B．40 C．50 D．60【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得另一条直角边的长，进而就可以求出直角三角形的面积．【解答】解：另一直角边长是：=5．则直角三角形的面积是×12×5=30．故选A．【点评】熟练运用勾股定理由直角三角形的两条边求出第三边；直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．5．下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股定理的逆定理．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①52+122=132，能构成直角三角形；②72+242=252，能构成直角三角形，能构成直角三角形；③（3a）2+（4a）2=（5a）2，能构成直角三角形；④（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形．故可以构成直角三角形的边长有3组．故选C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．三个正方形的面积如图，当B=144、C=169时，则A的值为（）A．313 B．144 C．169 D．25【考点】勾股定理．【分析】根据a2+b2=c2，结合B=144、C=169，可求出a2的值，继而可得出A的值．【解答】解：由题意可得：a2+b2=c2，解得：a2=25，即A的值为25．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的正方形的关键，关键是根据图形得出a2+b2=c2，题目出的很好，注意掌握勾股定理的表达式．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形面积的两种不同求法列出关于CD的方程即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∴AB===13cm；∴S△ABC=×5×12=30cm2；∴×13CD=30，解得CD=cm．故选C【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，巧妙利用直角三角形两种面积求法是解题的关键．8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折的性质可知：AC=AE=6，CD=DE，设CD=DE=x，在RT△DEB中利用勾股定理解决．【解答】解：在RT△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4，设CD=DE=x，在RT△DEB中，∵DEDE2+EB2=DB2，∴x2+42=（8﹣x）2∴x=3，∴CD=3．故选B．【点评】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．二、填空题：9．如图，直角三角形中未知边的长度x= ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理直接解答即可．【解答】解：根据勾股定理可得：52+32=x2，解得：x=或﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．本题难度不大，注意细心运算即可．10．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理逆定理，三角形两短边的平方和等于长边的平方，即可得出其为直角三角形．【解答】解：∵152+362=392，∴可得三角形为直角三角形．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的应用．11．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是12 米．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】梯子和建筑物之间可构成直角三角形，梯子长为斜边，梯子的底端离建筑物的距离为一直角边，运用勾股定理可将另一直角边求出，即梯子可以到达建筑物的高度．【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，∴另一直角边长==12m，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案为：12．【点评】本题的关键是建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，进行求解．12．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是10 cm．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故答案为：10．【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．三、解答题：13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．【解答】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，故：门高7.5尺，竹竿高=7.5+1=8.5尺．【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．14．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解答】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB=x，AB+AC=16，∴AC=16﹣x．在Rt△ABC中，AB=x，AC=16﹣x，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6．故旗杆在离底部8米的位置断裂．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．15．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？【考点】勾股定理的应用．【专题】探究型．【分析】在Rt△DCE中利用勾股定理求出CE的长即可解答【解答】解：在Rt△DCE中，∵DE=AB=2.5m，CD=2m，∴CE===1.5m．∴BE=CE﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．答：梯子底端B应再向左拉0.8m．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。
八年级数学勾股定理综合测试(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：勾股定理的内容是什么？问题2：勾股定理逆定理的内容是什么？问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？问题4：0.3，0.4，0.5是不是一组勾股数？勾股数的定义是什么？勾股定理综合测试（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.一个直角三角形两直角边长分别为5和12，下列说法正确的是( )A.斜边长的平方为119B.三角形的周长为29C.斜边长为13D.三角形的面积为60答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.下列三条线段不能组成直角三角形的是( )A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15C.a=9，b=40，c=41D.a∶b∶c=2∶3∶4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理逆定理3.在直角△ABC中，AC=BC，AB=4，则BC=( )A.4B.C.或D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理4.如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=10，阴影部分是以AB为边的一个正方形，则此正方形的面积为( )A.8B.64C.100D.136答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.如图，直线上有三个正方形A，B，C，若A，C的边长分别为3和4，则正方形B的面积为( )A.5B.25C.24D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图6.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A.5B.6C.8D.10答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理7.在△ABC中，AB＝10，AC＝，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A.10B.8C.6或10D.8或10答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理8.如图是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）求1路车从A站到D站所走的路程( ) A.6 B.C. D.9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理。
2019-2020北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题(有答案)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（）A．30 B．25 C．20 D．152．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB 的长度为（）A．13 B．169 C．12 D．54．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5．下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．4，6，8 C．6，8，10 D．13，14，156．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝9，b＝12，c＝15C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A7．下列各组数据中，能做为直角三角形三边长的是（）A．1、2、3 B．3、5、7 C．32、42、52D．5、12、138．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，259．如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）米路，却踩伤了花草．A．1 B．2 C．5 D．1210．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是9，则正方形D的边长．13．已知，点O为数轴原点，数轴上的A，B两点分别对应﹣3，3，以AB为底边作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．14．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝．15．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．16．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．17．如图，一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，则木杆折断之前的高为（m）．18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．三．解答题（共7小题，共66分）19．如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：∵S1＝，S2＝，S3＝，∴S1+S2＝S3．即2+ 2＝2．20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．（1）线段AB的长是；（2）在图中画出一条线段EF，使EF的长为，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．21．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．22．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣1 2n B勾股数组Ⅰ/ 8勾股数组Ⅱ35 /23．学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米．（1）若连接AC，试证明：△ABC是直角三角形；（2）求这块地的面积．24．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4米秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？25．如图，长方体的底面积为30cm2，长、宽、高的比为3：2：1，则：（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？（2）长方体的表面积和体积分别是多少？（3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程是cm．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20．故选：C．2．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．3．解：AB＝＝13，故选：A．4．解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，∴AD2＝100﹣36＝64，∴AD＝8，∴以AD为直径的半圆的面积是π（AD）2＝πAD2＝8π．故选：B．5．解：A、12+22＝5≠32，故不能组成直角三角形，错误；B、42+62≠82，故不能组成直角三角形，错误；C、62+82＝102，故能组成直角三角形，正确；D、132+142≠152，故不能组成直角三角形，错误．故选：C．6．解：A、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故选项正确；B、∵92+122＝152，∴能构成直角三角形，故选项错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠A＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误；D、∵∠C﹣∠B＝∠A，∴∠C＝∠B+∠A，∴最大角∠C＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误．故选：A．7．解：A、12+22≠32，所以以1、2、3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、32+52≠72，所以以3、5、7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、（32）2+（42）2≠（52）2，所以以32、42、52为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、52+122＝132，所以以5、12、13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．8．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；B、52+72≠92，不能构成直角三角形，故选项正确；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；D、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故选项错误．故选：B．9．解：由题意可得，直角三角形的斜边为：＝5，则他们仅仅少走了3+4﹣5＝2（米）．故选：B．10．解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：∵（a+b）2＝21，∴a2+2ab+b2＝21，∵大正方形的面积为13，2ab＝21﹣13＝8，∴小正方形的面积为13﹣8＝5，故答案为：512．解：根据勾股定理的几何意义得：S D＝S A+S B+S C＝9，可知，D的边长为＝3．故答案为：3．13．解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC＝＝＝，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM＝OC＝，∴点M对应的数为±．故答案为：．14．解：由于AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴S△ABC＝×12×5＝30，故答案为：3015．解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．16．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，故答案为：13，84，85．17．解：∵一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，∴折断的部分长为＝2.5，∴折断前高度为2.5+1.5＝4（m）．故答案为：4．18．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25（dm）．故答案为：25．三．解答题19．解：∵S1＝4，S2＝9，S3＝13，∴S1+S2＝S3．即AC2+BC2＝AB2．故答案为：4，9，13，AC，BC，AB．20．解：（1）线段AB的长是：＝；故答案为：；（2）如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2＝（）2＝5，DC2＝8，EF2＝13，∴AB2+DC2＝EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．21．解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．22．解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．故答案为：17；3723．解：（1）∵AD＝4，CD＝3，AD⊥DC由勾股定理可得：AC＝＝＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2 ，∴△ABC是直角三角形；﹣（2）△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4═24（m2）所以这块地的面积是24平方米．24．解：（1）出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米，∵AC＝40米，AB＝30米，∴AC1＝28，AB1＝21，∴B1C1＝＝35＞25，∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意得，（40﹣4t）2+（30﹣3t）2＝252，解得：t＝5，t＝15（不合题意舍去），答：出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰．25．解：（1）设长方体的高为xcm，则长为3xcm，宽为2xcm，由题意得3x•2x＝30，解得x＝，则3x＝3，2x＝2．答：这个长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、cm．（2）长方体的表面积为：（3×2+3×+2×）×2＝（30+15+10）×2＝110（cm2），长方体的体积为：3×2×＝30．答：长方体的表面积是110cm2，体积是30cm3；（3）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+）2+（3）2＝90；所以最短路径的长为AB＝＝3（cm）．故答案为3．。
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第二章 实数 单元检测题(满分：120分 时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下面四个实数，你认为是无理数的是( )A.13B. 3 C ．3 D ．0.32．下列四个数中，是负数的是( )A ．|－2|B ．(－2)2C ．－2 D.（－2）23．设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3<a<4；④a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|，则化简a 2－|a ＋b|的结果为( )A ．2a ＋bB ．－2a ＋bC ．bD ．2a －b 5．k ，m ，n 为三个整数，若135＝k15，450＝15m ，180＝6n ，则下列关于k ，m ，n 的大小关系正确的是( )A ．k<m ＝nB ．m ＝n<kC ．m<n<kD ．m<k<n6．下列说法：①5是25的算术平方根；②56是2536的一个平方根；③(－4)2的平方根是－4；④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1.其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．下列计算正确的是( )A.（－3）（－4）＝－3×－4 B.42－32＝42－32C.62＝ 3 D.62＝ 38．如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是( )A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根 9．下列各式中，正确的是( )A.22＋32＝2＋3 B ．32＋53＝(3＋5)2＋3 C.152－122＝15＋12·15－12 D.412＝21210．规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如[23]＝0, [3.14]＝3，按此规定[10＋1]的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题(每小题3分，共24分)11．－5的相反数是___.12．16的算术平方根是____. 13．写出一个比－3大的无理数___. 14．计算：8－18＝____.15．比较大小：22____π.(填“＞”、“＜”或“＝”)16．已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是____.17．若x ，y 为实数，且|x ＋2|＋y －3＝0，则(x ＋y)2014的值为____.18．已知m ＝20132014－1，则m 2－2m －2013＝____.三、解答题(共66分)19．(10分)(1) (2012－π)0－(13)－1＋|3－2|＋3；(2) 1＋(－12)－1－（3－2）2÷(13－3)020．(10分)先化简，再求值：(1)(a －2b)(a ＋2b)＋ab 3÷(－ab)，其中a ＝2，b ＝3；(2) (2x ＋3)(2x －3)－4x(x －1)＋(x －2)2，其中x ＝－ 3.21．(10分)(1)有这样一个问题：2与下列哪些数相乘，结果是有理数？A．3 2 B．2－ 2 C.2＋ 3 D.32E．0问题的答案是(只需填字母)：____；(2)如果一个数与2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么．(用代数式表示)22．(12分)计算：(1)32＋50＋1345－18；(2)22÷52×1234；(3)(6－412＋38)÷2 2.23．(8分)甲同学用如下图所示的方法作出了C点，表示数13，在△OAB中，∠OAB ＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O，A，C在同一数轴上，OB＝OC.(1)请说明甲同学这样做的理由；(2)仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点F.24．(8分)如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．(1)如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？(2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，5，2 2.25．(10分)阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，23＋1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一)53＝5×33×3＝533；(二)23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－1＝3－1；(三)23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25＋3：①参照(二)式化简25＋3＝__5－3__.②参照(三)式化简25＋3＝__5－3__.(2)化简：13＋1＋15＋3＋17＋5＋…＋199＋97.答案：一、选择题(每小题3分，共30分)1—5 BCCCD 6---10 CDCCB 二、填空题(每小题3分，共24分)11．－5的相反数是__5__.12．16的算术平方根是__4__.13．写出一个比－3大的无理数__－π2__.14．计算：8－18＝__－2__.15．比较大小：22__<__π.(填“＞”、“＜”或“＝”)16．已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是__494__.17．若x ，y 为实数，且|x ＋2|＋y －3＝0，则(x ＋y)2014的值为__1__.18．已知m ＝20132014－1，则m 2－2m －2013＝__0__.三、解答题(共66分)19．(10分)(1) (2012－π)0－(13)－1＋|3－2|＋3；解：原式＝0(2) 1＋(－12)－1－（3－2）2÷(13－3)0. 解：原式＝－3＋ 320．(10分)先化简，再求值：(1)(a －2b)(a ＋2b)＋ab 3÷(－ab)，其中a ＝2，b ＝3；解：原式＝a2－5b2＝－13(2) (2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－ 3.解：原式＝x2－5＝－221．(10分)(1)有这样一个问题：2与下列哪些数相乘，结果是有理数？A．3 2 B．2－ 2 C.2＋ 3 D.32E．0问题的答案是(只需填字母)：__A，D，E__；(2)如果一个数与2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么．(用代数式表示)解：(2)设a为有理数，这个数为x，则x·2＝a，∴x＝a2＝22a22．(12分)计算：(1)32＋50＋1345－18； (2)22÷52×1234；解：原式＝62＋ 5 解：原式＝35(3)(6－412＋38)÷2 2.解：原式＝123＋223．(8分)甲同学用如下图所示的方法作出了C 点，表示数13，在△OAB 中，∠OAB＝90°，OA ＝2，AB ＝3，且点O ，A ，C 在同一数轴上，OB ＝OC.(1)请说明甲同学这样做的理由；(2)仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点F.解：(1)在Rt △OAB 中，由勾股定理得OB 2＝OA 2＋AB 2，所以OC ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝22＋32＝13， 即点C 表示数13(2)画图略．在△ODE 中，∠EDO ＝90°，OD ＝5，DE ＝2，则OF ＝OE ＝29，即F 点为－2924．(8分)如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．(1)如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？(2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，5，2 2.解：(1)AB＝4，AC＝32＋32＝32，BC＝12＋32＝10，所以AB的长度是有理数，AC和BC的长度是无理数(2)图略25．(10分)阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，23＋1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一)53＝5×33×3＝533；(二)23＋1＝2×（3－1）（3＋1）（3－1）＝2（3－1）（3）2－1＝3－1；(三)23＋1＝3－13＋1＝（3）2－123＋1＝（3＋1）（3－1）3＋1＝3－1.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25＋3：①参照(二)式化简25＋3＝__5－3__.②参照(三)式化简25＋3＝__5－3__.(2)化简：13＋1＋15＋3＋17＋5＋…＋199＋97.解：(1)①2×（5－3）（5＋3）（5－3）＝2（5－3）（5）2－（3）2＝5－ 3②5－35＋3＝（5）2－（3）25＋3＝（5＋3）（5－3）5＋3＝5－ 3(2)原式＝3－12＋5－32＋7－52＋……＋99－972＝99－12＝311－12。