中原名校2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
中原名校2019-2020学年高三下学期质量考评一数学理科试题(带答案解析)
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 ， 的值（ ， 的值四舍五入取整数），并计算 ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为 ，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
14． 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列，若 ， ，则 的面积为__________．
15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
河南省中原高三数学下学期第一次联考试题 理(扫描版)
高三数学下学期第一次联考试题理（扫描版）理科数学试题参考答案一、 选择题：二．填空题： 【13】 72 【14】 ±1 【15】 3 【16】 ①③三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当1n =时，112S a a ==+.………………………………………1分当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.…………………………………………………3分 因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =，1a =-.…………5分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-⋅.则23111325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅ . ①2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ . ②①-②得 2111222222(21)2n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………………9分 2112(222)(21)2n n n -=++++--⋅114(21)(21)2n n n -=+---⋅(23)23n n =--⋅-.…………………………………………………12分所以(23)23n n T n =-⋅+.……………………………………………………………13分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====． ………………4分 （Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．所以ξ的可能取值为0,1,2，则 ………………………………………6分242662(0)155C P C ξ====，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===．所以，ξ的分布列为…………………………10分 所以，28120125151E ξ=⨯+⨯+．……………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //．……2分因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………3分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………4分 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………5分 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………6分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．…………7分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以(301)EA =-u u u r ，，，(440)AC =-u u u r ，，．设平面EAC 的法向量为()n x y z =r ，，，则有0n EA n AC ìï=ïíï=ïîr u u u r g r u u ur g 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(113)n =r ，，． ………………9分易知平面ABCD 的法向量为(01)v =r，0，． ………………10分所以cos ,11n v n v n v<>=v v v v g v v ． ………………11分因为二面角与两平面的法向量所成角相等或互补， 而由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角 ，所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………12分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． 设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以(301)EA =-u u u r ，，，(440)AC =-u u u r ，，．设平面EAC 的法向量为()n x y z =r ，，，则有00n EA n AC ìï=ïíï=ïîr u u u r g r u u u r g 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(113)n =r ，，． ………………9分易知平面ABCD 的法向量为(01)v =r，0，． ………………10分所以cos ,11n v n v n v<>=v v v v g v v ． ………………11分因为二面角与两平面的法向量所成角相等或互补， 而由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角 ，所以二面角B AC E--的余弦值为11113-． ………………12分 20.（本小题满分12分）解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．……………………………………………………………………………3分故曲线C 的方程为2214x y +=． …………………………………………………5分 （Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值. …………………………………………………6分 因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则 整理得 22(4)230m y my +--=．…………………7分 22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．解得1y =，2y =．则21||y y -= 因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-21=． ………………………10分 设1()g t t t =+，t =t ≥．则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()3g t ≥．所以2AOB S ∆≤0m =时取等号，即max ()2AOB S ∆=．所以AOB S ∆．………………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）（1）依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-++=-+a x a a x f x f a x aa x f x f x x x xln 2)1()(2)(ln )1(2)(2)(解之得a x a x f x ln )(-=……4分（2）a a a a a x f xx ln )1(ln ln )('-=-=当x ＞0时()0f x '> 当x ＜0时()0f x '<∴()f x )在(,0)-∞上递减在(0,)+∞上递增∴min ()f x ＝f (0) ＝1 ……8分 （3）由（2）得 ln 1x a x a -≥恒成立，令a ＝e ， 则1x e x +≥在1xe x +≥中令x ＝－n k （k ＝1，2，…n -1） ∴1－n k ≤n ke - ∴(1)n k k e n--≤∴（1－n 1）n ≤e －1 （1－n 2）n ≤e －2 …（1－n n 1-）n ≤e －(n －1)，（nn ）n＝1∴（n n ）n ＋（n n 1-）n ＋（n n 2-）n ＋…＋（n1）n ≤1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1-e e 1])1(1[11)1(1＜--=--e e e ee n n ……12分 22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》 【证明】(1)连结BC,∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。
河南省中原名校2020届高三下学期质量考评数学(理)试题
中原名校2019-2020学年下学期质量考评高三数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}2|1x B x e -=≤，则A B ⋃=（ ） A ．(,4)-∞ B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2]3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为84．已知向量(,1)a m =r ，(3,2)b m =-r ，则3m =是a b r r∥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．已知角a 的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是（ ） A ．1或1- B ．25或25- C ．1或25- D ．1-或25- 6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．甲被录用B ．乙被录用C ．丙被录用D ．无法确定被录用7．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,300i =⋯），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是（ ） A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1C ．对所有的解释变量ˆˆ(1,2,,300),i i x i bx a =+L 的值一定与i y 有误差D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 8．已知x ，y 满足条件0,020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ） A ．16- B ．6- C ．274-D ．2749．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．422+．811．已知,a b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则对任意正实数x ，22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若22nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是__________．14．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，若b =1c =，则ABC △的面积为___________．15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为_________．16．已知点(0,1)A -是抛物线22(0)x py p =>的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且||||PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．如图1，在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =．将ADE △沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥．（1）证明：BE ∥平面1A FG ；（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值．19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，0的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． （参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈； (33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．）20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()(1)ln ()f x a x x ex a R =-+∈，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()0xf x e -≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．[选做题）请考生在第22～23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN △的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|||1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()|5|f x x ≤-的解集包含[0,2]，求实数a 的取值范围．中原名校2019-2020学年下期质量考评一高三数学（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为1(1)(12)33112(12)(12)555i i i i z i i i i ++--====-++-，所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限．故选D ．2．【解析】{}4|0log 1{|14}A x x x x =<<=<<，{}2|1{|2}x B x e x x -=≤=≤，则(,4)A B ⋃=-∞．故选A ．3．【解析】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=，方差为2228⨯=．故选D ．4．【解析】当a b r r∥时，(2)130m m --⨯=，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，∴3m =是a b r r∥的充分不必要条件．故选A ．5．【解析】由题意得点P 与原点间的距离5||r m ==． ①当0m >时，5r m =，∴33sin 55m a m ==，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，∴33sin 55m a m ==--，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上，2sin cos a a +的值是25或25-．故选B ． 6．【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，但两人的说法相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了．故选A ．7．【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则ˆˆbx a +的值与i y 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．8．【解析】画出x ，y 满足的0,020x y y x x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„（k 为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-． 故选B ．9．【解析】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =．矩形ABCD 的外接圆直径225AC AB BC =+=，且2PB =．所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+=，因此，该三棱锥的外接球的表面积为224(2)29R R πππ=⨯=．故选C ．10．【解析】由题意得：1122PF F F c ==，设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，又∵1212PF PF a +=，2122PF PF a -=．∴2122PF c a +=，2222PF c a -=，∴122a a c -=，则()22222112212222923393633333c a a c e c a a a c a c e a c ca ca c a ++++=+===++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a cc a =，即23e =时等号成立．则2133e e +的最小值为8． 11．【解析】由题意得所求为曲线ln y x =上的点与以(2,3)C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心(2,3)C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(,ln )(0)M m m m >，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1k m '=，从而有1CM k k '⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心(2,3)C -的距离为d ==21)19=-D ．12．【解析】由题意，函数1,0()ln ,0x xf x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点．当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x=，要使()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，又由312ln ()xg x x-'=，令12ln 0x -=，可得x =x ∈时，()0g x '>，则()g x单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调速减，且()0g x >，所以当x =时，max 1()2g x e=，若直线y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，则10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．当0x <时，y kx =和1()g x x =有一个交点，则0k >．综上，实数k 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ． 二、填空题13．1 14．2 15．3π16113．【解析】22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，10n =．令1x =，则展开式中各项系数和为10(12)1-=．14．【解析】A ，B ，C 成等差数列，∴2A C B +=，又180A B C ++=︒， ∴3180B =︒，即60B =︒． 由正弦定理sin sin c b C B =，所以1sin 2C =，因为c b <，所以6C π=，故2A π=，所以122ABC S bc ==△．故答案为：2． 15．【解析】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=，所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为3π．16．【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1)． 当直线PA 和抛物线相切时m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k -=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即(2,1)P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b -=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故22221,1a b b a =+=-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1c a ==+． 三、解答题 17．【解析】（1）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得12n n n a a a +-=，13(2)n n a a n +=≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=．因为点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=． 则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以1(1)221n b n n =+-⋅=- （2）因为1213n n n n b n c a --==， 所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++ 两式相碱得：21222221133333n n nn T --=+++⋯+- 整理得：21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM ．∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点，又F 为CD 的中点，∴FG DM ∥．依题意可知DE BM =∥，则四边形DMBE 为平行四边形，∴BE DM ∥，从而BE FG ∥．又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ，∴BE ∥平面1A FG （2）∵1DE A D ⊥，DE DC ⊥，且1A D DC D ⋂=， ∴DE ⊥平面1A DC ，又∵1A F ⊂平面1A DC ，∴1DE A F ⊥， ∵1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=，∴1A F ⊥平面BCDE ，如图，以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =．则(0,0,0)F ，13)A ，(1,4,0)B ，(1,2,0)E -，(1,1,0)G ，13)FA =u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r ，1(1,2,3)A E =--u u u r ，(2,2,0)EB =u u u r ．设平面1A FG 的法向量为()111,,n x y z =r ，则100n FA n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即111300z x y =+=⎪⎩，令11x =，得(1,1,0)n =-r ． 设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则100m A E m EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即22222230220x y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得(1,1,3)m =-u r ． 从而10cos ,525m n <>==⨯u r r ， 故平面1A FG 与平面1A BE 10 19．【解析】（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈，则X 服从正态分布(65,14)N ，所以(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==． （2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=，所以所有Y 的取值为15，30，45，60，121(15)233P Y ==⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=， 1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111(60)23318P Y ==⨯⨯=， 所以Y 的分布列为：Y 15 30 45 60P13 718 29 118所以1721()1530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=20．【解析】（1）12AF F △，则：bc =，又2c e a ==，222a b c =+，解得：24a =，21b =． ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=． （2）假设y 轴上存在点(0,)M t ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ， 由2214x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：2258440x mx m ++-=，()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得：25m <， ∴1285m x x +=-，212445m x x -=， ∴120425x x m x +==-，005m y x m =+=，∴4,55m m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥．由MN l ⊥可得：5114015mt m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-， 由AM BM ⊥可得：12121y t y t x x --⋅=-， ∵11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得：()212122()()0x x m t x x m t +-++-=， 则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±． 当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． 故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．21．【解析】（1）因为()(1)ln ,0f x a x x ex x =-+> 所以1()ln x f x a x e x -⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 因为(1)f e '=，且(1)f e =，所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex =（2）设()()(1)ln (1)x x g x f x e a x x ex e x =-=-+-≥， 则1()ln 1x g x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭， ①若0a ≤，则()g x '在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立．②若0a >，令1()()ln 1x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭， ∴211()x h x a e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，易知()h x '在[1,)+∞上单调递减，且(1)2h a e '=-，（ⅰ）当20a e -≤即02e a <≤时，()0h x '≤在[1,)+∞上恒成立， ∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，即()g x '在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立，∴()g x 在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立（ⅱ）当20a e ->即2e a >时，0(1,)x ∃∈+∞使()0h x '=，∴()h x 在()01,x 递增，此时()(1)0h x h >=，∴()0g x '>，∴()g x 在()01,x 递增，∴()(1)0g x g >=，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是2e a ≤22．【解析】 （1）由122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=， ∴3πθ=，所以直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ．点2,33P π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33332d ππ⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ （2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，则PMN △的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△23．【解析】 （1）当2a =时，()|2||1|8f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-．所以不等式的解集为：(,3][7,)x ∈-∞-⋃+∞（2）依题意即()|||1||5|f x x a x x =++-≤-在[0,2]x ∈时恒成立， 当[0,1]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[0,1]x ∈恒成立，∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(1,2]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||62x a x +≤-，2662x x a x -≤+≤- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(1,2]x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩，∴40a -≤≤． 综上，40a -≤≤（其它解法酌情给分）。
2020-2021学年河南省高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析
高中毕业班第一次模拟考试数 学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝N ﹡，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{2}B ．{2，4，6}C ．{l ，3，5}D ．{4，6}2．已知i 是虚数单位，复数z 满足（i －1）z ＝i ，则z 的虚部是A ．12B ．－12C ．12iD ．－12i 3．若cos （2π2，则cos （π－2α）＝ A ．－59 B ．59C ． －29 D ．29 4．在区间上任选两个数x 和y ，则y ＜sinx 的概率为A ．24π B ．1－24πC ．22πD ．1－22π5．将函数y ＝cos （2x ＋6π）图象上的点P （4π，t ）向右平移m （m ＞0）个单位长度得到点P '，若P '位于函数y ＝cos2x 的图象上，则A ．t ＝－12，m 的最小值为12πB ．t ＝32－，m 的最小值为12π C ．t ＝－12，m 的最小值为6π D ．t ＝32－，m 的最小值为6π 6．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝4，t ＝3，则输出y ＝A ．61B ．62C ．183D ．1847．在31()n x x －的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为A ．－1 10B ．110C ．220D ．－2208．已知M 是抛物线C ：2y ＝2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线C 的焦点．若｜MF ｜＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKF ＝A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．函数f （x ）＝｜x ｜＋2a x （其中a ∈R ）的图象不可能是10．已知P 为矩形ABCD 所在平面内一点，AB ＝4，AD ＝3，PA 5PC ＝5PB uu r ·PD uu u r ＝A．－5 B．－5或0 C．5 D．0 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．16B．13C．1 D．212．已知函数f（x）＝（22x－x－1）x e，则方程e2＋tf（x）－9e＝0（t∈R）的根的个数为A．2 B．3C．4 D．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x－y＋3＝0平行，则此双曲线的离心率为______________．14．若实数x，y满足100,2,x yxy⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＞≤则221yx＋的取值范围是_______________15．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺．问受粟几何?”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米．”则该圆柱形容器能装米_________斛．（古制1丈＝10尺，1斛＝1．62立方尺，圆周率π≈3）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞b ，a ＞c ．△ABC 的外接圆半径为1，a ＝3．若边BC 上一点D 满足BD ＝2DC ，且∠BAD ＝90°，则△ABC 的面积 为______________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足n a ＝2n S ＋1（n ∈N ﹡）．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）若n b ＝（2n －1）·n a ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X 表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，侧面ABB 1A 1是边长为2的正方形，点E ，F 分别在线段AA 1，A 1B 1上，且AE ＝12， A 1F ＝34，CE ⊥EF （Ⅰ）证明：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）若CA ⊥CB ，求直线AC 1与平面CEF 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知圆O ： 221x y ＋＝过椭圆C ：22221y x a b ＋＝(a ＞b ＞0)的短轴端点，P ，Q 分别是圆O 与椭圆C 上任意两点，且线段PQ 长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0，t)作圆O 的一条切线交椭圆C 于M ，N 两点，求△OMN 的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2x ＋2ax ＋bcosx 在点（2π、f （2π））处的切线方程为y ＝34π． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论f （x ）在上的增减性；（Ⅱ）若f （x 1）＝f （x 2），且0＜x 1＜x 2＜π，求证：12()2x x f '＋＜0． （参考公式cos θ－cos ϕ＝－2sin 2θϕ＋sin 2θϕ－）请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝1（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ．（Ⅰ）判断直线l 与圆C 的交点个数；（Ⅱ）若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜x ＋2｜－｜x －2｜＋m （m ∈R ）．（Ⅰ）若m ＝1，求不等式f （x ）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f （x ）＝x 有三个实根，求实数m 的取值范围．。
2020届中原名校高三下学期质量考评一数学理科试题(含答案解析)
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 ， 的值（ ， 的值四舍五入取整数），并计算 ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为 ，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
A．( ，0)B．( ，0)C．(0， )D．(0， )
二、填空题
13．若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．
14． 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列，若 ， ，则 的面积为__________．
15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
18．如图1，在等腰 中， ， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， 在线段 上，且 。将 沿 折起，使点 到 的位置（如图2所示），且 。
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷及答案解析(附答题卡)
高三级数学（理科）答卷 第1页（共6页）2020届高三年级第二学期第一次模拟考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆ 2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为 A ．2 B ． 2 C ． D ．3．已知函数f (x )＝xax x 212++，若4))0((=f f ，则log 6a =A ．B ．2C ．1D ．6 4．命题p ：数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，命题q ：数列{}n a 是常数列，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0<b ，0>cB ．0>b ，0>cC ．0>b ，0<cD ．0<b ，0<ci aii1+2--1-21212()()2c x bx x f ++-=高三级数学（理科）答卷 第2页（共6页）6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机 抽取一个数，则它小于8的概率是A ．710 B ．35 C ．12 D ．257．在平行四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-=AD AB ＝，则该四边形的面积为A．B ．C ．5D ．108．设实数y x ,满足⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x ，则y x 2+的最大值和最小值分别为A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-9．设{}n a 是公比不为－1的等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ， 则下列等式中恒成立的是 A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A ．B ．CD 11．已知函数=，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是A ．B ．C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=o，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为552()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩(,0]-∞(,1]-∞高三级数学（理科）答卷 第3页（共6页）A ．83π B ．163π C ．323π D ．643π二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上． 13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_________________． 14．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则7S = . 15．函数x x y cos 4sin 3-=在θ=x 处取得最大值，则=θsin ．16．已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 .三、解答题：第17~21题为必做题，每题满分各为12分，第22~23题为选做题，只能选做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且43cos =B a 3sin =A b ． （1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长L ．18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，分别是的中点，.2221＝＝＝＝AB CB AC AA（1）证明：//平面； （2）求二面角的余弦值．19．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x a x =-(R ∈a ).(2,0)A -M λ=111ABC A B C -,D E 1,AB BB 1BC 1A CD 1D A C E --高三级数学（理科）答卷 第4页（共6页）（1）当a >0时，求f (x )的单调区间； （2）讨论函数f (x )的零点个数.20．(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4，且过点)2,2(P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．21．(本小题满分12分)心理学研究表明，人极易受情绪的影响．某选手参加7局4胜制的乒乓球比赛．（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为31；但实际上，如果前一局获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到21；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为41. 求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A 、sin B 、sin C ，记A 、B 、C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<选做题：请考生在下面两题中任选一题作答． 22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知动点，都在曲线： 上，且对应参数值分别为α与α2（02απ<<），点为的中点．（1）求点M 的轨迹的参数方程（用α作参数）；（2）将点M 到坐标原点)0,0(O 的距离d 表示为α的函数，并判断点M 的轨迹是否过坐标原点)0,0(O .2222:1(0)x y C a b a b+=>>0000(,)(0)Q x y x y ≠C Q x E (0,22)A AE A AE x D G D y QG QG P Q C ()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数M PQ高三级数学（理科）答卷 第5页（共6页）23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->．（1）证明：()f x ≥2； （2）若()35f <，求实数a 的取值范围．2019—2020学年度第二学期第一次模拟考试数学（理科）答卷题 号 一 二 三总分 17 18 19 20 21 22/23 得 分本框为考号填涂区和选择题答题区，必用2B 铅笔填涂，填涂的正确方法是：一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 6[A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]考 号 填 涂 区以下为非选择题答题区必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效。
河南省中原名校2020届高三下学期质量考评数学(理)试题 Word版含答案
中原名校2019-2020学年下学期质量考评高三数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}2|1x B x e -=≤，则A B ⋃=（ ） A ．(,4)-∞ B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2]3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为84．已知向量(,1)a m =r ，(3,2)b m =-r ，则3m =是a b r r∥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．已知角a 的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是（ ） A ．1或1- B ．25或25- C ．1或25- D ．1-或25- 6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A ．甲被录用B ．乙被录用C ．丙被录用D ．无法确定被录用7．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,300i =⋯），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是（ ） A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量ˆˆ(1,2,,300),i i x i bx a =+L 的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 8．已知x ，y 满足条件0,020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ） A ．16- B ．6- C ．274-D ．2749．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．422+．811．已知,a b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则对任意正实数x ，22()(ln )x a x b -+-的最小值为（ ） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若22nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是__________．14．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，若b =1c =，则ABC △的面积为___________．15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为_________．16．已知点(0,1)A -是抛物线22(0)x py p =>的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且||||PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a =，121n n a S +=+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．如图1，在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =．将ADE △沿DE 折起，使点A 到1A 的位置（如图2所示），且1A F CD ⊥．（1）证明：BE ∥平面1A FG ；（2）求平面1A FG 与平面1A BE 所成锐二面角的余弦值．19．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，0的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额． （参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈； (33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．）20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F，离心率为2，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数()(1)ln ()f x a x x ex a R =-+∈，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()0xf x e -≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．[选做题）请考生在第22～23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，点P的极坐标是23π⎫⎪⎝⎭． （1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求PMN △的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|||1|f x x a x =++-．（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()|5|f x x ≤-的解集包含[0,2]，求实数a 的取值范围．中原名校2019-2020学年下期质量考评一高三数学（理）参考答案一、选择题1．【解析】因为1(1)(12)33112(12)(12)555i i i i z i i i i ++--====-++-，所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限．故选D ．2．【解析】{}4|0log 1{|14}A x x x x =<<=<<，{}2|1{|2}x B x e x x -=≤=≤，则(,4)A B ⋃=-∞．故选A ．3．【解析】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=，方差为2228⨯=．故选D ．4．【解析】当a b r r∥时，(2)130m m --⨯=，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，∴3m =是a b r r∥的充分不必要条件．故选A ．5．【解析】由题意得点P 与原点间的距离5||r m ==． ①当0m >时，5r m =，∴33sin 55m a m ==，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，∴33sin 55m a m ==--，44cos 55m a m -==-， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭． 综上，2sin cos a a +的值是25或25-．故选B ． 6．【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，但两人的说法相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了．故选A ．7．【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则ˆˆbx a +的值与i y 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选D．8．【解析】画出x，y满足的0,020x yy xx y k⎧⎪⎨⎪++⎩厖„„（k为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y=+的最大值为9，可得直线0y=与直线93x y=+的交点(3,0)B，使目标函数3z x y=+取得最大值，将3x=，0y=代入20x y k++=得：6k=-．故选B．9．【解析】三棱锥P ACD-的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD-，PB⊥底面ABCD，可知四边形ABCD为矩形，且3AB=，4BC=．矩形ABCD的外接圆直径225AC AB BC=+=，且2PB=．所以，三棱锥P ACD-外接球的直径为22229R PB AC=+=，因此，该三棱锥的外接球的表面积为224(2)29R Rπππ=⨯=．故选C．10．【解析】由题意得：1122PF F F c==，设椭圆方程为()2211221110x ya ba b+=>>，双曲线方程为()2222222210,0x ya ba b-=>>，又∵1212PF PF a+=，2122PF PF a-=．∴2122PF c a+=，2222PF c a-=，∴122a a c-=，则()22222112212222923393633333c a a c e c a a a c a c e a c ca ca c a ++++=+===++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a cc a =，即23e =时等号成立．则2133e e +的最小值为8． 11．【解析】由题意得所求为曲线ln y x =上的点与以(2,3)C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心(2,3)C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(,ln )(0)M m m m >，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1k m '=，从而有1CM k k '⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心(2,3)C -的距离为d ==21)19=-D ．12．【解析】由题意，函数1,0()ln ,0x xf x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点．当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =，要使()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，又由312ln ()xg x x-'=，令12ln 0x -=，可得x =x ∈时，()0g x '>，则()g x单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调速减，且()0g x >，所以当x =时，max 1()2g x e=，若直线y k =和2ln ()x g x x =有两个交点，则10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．当0x <时，y kx =和1()g x x =有一个交点，则0k >．综上，实数k 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ． 二、填空题 13．1 14．2 15．3π16113．【解析】22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，10n =．令1x =，则展开式中各项系数和为10(12)1-=．14．【解析】A ，B ，C 成等差数列，∴2A C B +=，又180A B C ++=︒， ∴3180B =︒，即60B =︒． 由正弦定理sin sin c b C B =，所以1sin 2C =，因为c b <，所以6C π=，故2A π=，所以122ABC S bc ==△．故答案为：2． 15．【解析】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=，所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为3π．16．【解析】由于A 在抛物线准线上，故2p =，故抛物线方程为24x y =，焦点坐标为(0,1)． 当直线PA 和抛物线相切时m 取得最小值，设直线PA 的方程为1y kx =-，代入抛物线方程得2440x kx -+=，判别式216160k -=，解得1k =±，不妨设1k =，由2440x x -+=，解得2x =，即(2,1)P ．设双曲线方程为22221y x a b -=，将P 点坐标代入得22141a b -=，即222240b a a b --=，而双曲线1c =，故22221,1a b b a =+=-，所以()22221410a a a a ----=，解得1a =，故离心率为1c a ==+． 三、解答题 17．【解析】（1）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得12n n n a a a +-=，13(2)n n a a n +=≥． 又21213a S =+=，所以213a a =．故数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=．因为点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=． 则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列． 所以1(1)221n b n n =+-⋅=- （2）因为1213n n n n b n c a --==， 所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n nn n T ---=+++⋯++ 两式相碱得：21222221133333n n nn T --=+++⋯+-整理得：21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅ 18．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接DM ．∵3BG CG =，∴G 为CM 的中点，又F 为CD 的中点，∴FG DM ∥．依题意可知DE BM =∥，则四边形DMBE 为平行四边形，∴BE DM ∥，从而BE FG ∥．又FG ⊂平面1A FG ，BE ⊄平面1A FG ，∴BE ∥平面1A FG （2）∵1DE A D ⊥，DE DC ⊥，且1A D DC D ⋂=， ∴DE ⊥平面1A DC ，又∵1A F ⊂平面1A DC ，∴1DE A F ⊥， ∵1A F DC ⊥，且DE DC D ⋂=，∴1A F ⊥平面BCDE ，如图，以F 为原点，FC 所在直线为x 轴，过F 作平行于CB 的直线为y 轴，1FA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -，不妨设2CD =．则(0,0,0)F，1A ，(1,4,0)B ，(1,2,0)E -，(1,1,0)G，1FA =u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，1(1,2,A E =-u u u r ，(2,2,0)EB =u u u r ．设平面1A FG 的法向量为()111,,n x y z =r ，则100n FA n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即11100x y =+=⎪⎩，令11x =，得(1,1,0)n =-r ． 设平面1A BE 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则100m A E m EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即2222220220x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得(1,1,m =-u r ．从而cos ,m n <>==u r r ， 故平面1A FG 与平面1A BE19．【解析】（1）由已知频数表得：5304050452010()3545556575859565200200200200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 22222()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(8565)0.1(9565)0.05210+-⨯+-⨯=，由2196225σ<<，则1415σ<<，而214.5210.5210=>，所以14σ≈，则X 服从正态分布(65,14)N ，所以(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+<<=-<<+=0.95450.68270.81862+==． （2）显然，()()0.5P X P X μμ<=≥=，所以所有Y 的取值为15，30，45，60，121(15)233P Y ==⨯=，111227(30)2323318P Y ==⨯+⨯⨯=，1211122(45)2332339P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，1111(60)23318P Y ==⨯⨯=， 所以Y 的分布列为：Y 15 30 45 60P13 718 29 118所以1721()1530456030318918E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=， 需要的总金额为：200306000⨯=20．【解析】（1）12AF F △，则：bc =，又c e a ==，222a b c =+，解得：24a =，21b =． ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=． （2）假设y 轴上存在点(0,)M t ，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ， 由2214x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得：2258440x mx m ++-=，()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得：25m <， ∴1285m x x +=-，212445m x x -=， ∴120425x x m x +==-，005m y x m =+=，∴4,55m m N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥．由MN l ⊥可得：5114015mt m -⨯=-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，可得：35m t =-，由AM BM ⊥可得：12121y t y t x x --⋅=-， ∵11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得：()212122()()0x x m t x x m t +-++-=， 则：()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1m =±． 当1m =时，点30,5M ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足题意；当1m =-时，点30,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． 故y 轴上存在点30,5M ⎛⎫± ⎪⎝⎭，使得ABM △是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．21．【解析】（1）因为()(1)ln ,0f x a x x ex x =-+> 所以1()ln x f x a x e x -⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 因为(1)f e '=，且(1)f e =，所以切线方程为(1)y e e x -=-，即y ex =（2）设()()(1)ln (1)x x g x f x e a x x ex e x =-=-+-≥， 则1()ln 1x g x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭， ①若0a ≤，则()g x '在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立．②若0a >，令1()()ln 1x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭， ∴211()x h x a e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，易知()h x '在[1,)+∞上单调递减， 且(1)2h a e '=-，（ⅰ）当20a e -≤即02e a <≤时，()0h x '≤在[1,)+∞上恒成立，∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，即()g x '在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g '=，∴()0g x '≤恒成立，∴()g x 在[1,)+∞上单调递减， 又(1)0g =，∴()0g x ≤恒成立（ⅱ）当20a e ->即2e a >时，0(1,)x ∃∈+∞使()0h x '=，∴()h x 在()01,x 递增，此时()(1)0h x h >=，∴()0g x '>，∴()g x 在()01,x 递增，∴()(1)0g x g >=，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是2e a ≤22．【解析】 （1）由12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t，得到y =，则sin cos ρθθ=， ∴3πθ=，所以直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ．点23P π⎫⎪⎝⎭到直线l的距离为2sin 33d ππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ （2）由22cos 203ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得220ρρ--=， 所以121ρρ+=，122ρρ=-， 所以12||3MN ρρ=-==，则PMN △的面积为11||322PMN S MN d =⨯=⨯=△23．【解析】 （1）当2a =时，()|2||1|8f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-．所以不等式的解集为：(,3][7,)x ∈-∞-⋃+∞（2）依题意即()|||1||5|f x x a x x =++-≤-在[0,2]x ∈时恒成立， 当[0,1]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[0,1]x ∈恒成立，∴4014a a--≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤；当(1,2]x ∈时，||15x a x x ++-≤-，即||62x a x +≤-，2662x x a x -≤+≤- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(1,2]x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩，∴40a -≤≤． 综上，40a -≤≤（其它解法酌情给分）。
2020届中原名校高三下学期质量考评（一）数学（理）试题（解析版）
2020届中原名校高三下学期质量考评（一）数学（理）试题一、单选题1．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．已知集合{}40log 1A x x =<<，{}21x B x e -=≤，则A B =（ ）A ．(),4-∞B ．()1,4C ．()1,2D ．(]1,2【答案】A【解析】分别化简集合,A B ,再求并集即可 【详解】{}{}40log 1=14A x x x x =<<<<{}{}21=2x B x e x x -=≤≤，则A B =(),4-∞故选：A 【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题 3．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【答案】D【解析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=.故选:D. 【点睛】 样本123,,,,n x x x x 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数为ax b +,方差为22a s . 4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 5．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-B ．25或25- C ．1或25-D ．1-或25【解析】根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论． 【详解】由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．①当0m >时，5r m =，∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=．②当0m <时，5r m =-， ∴3344sin ,cos 5555m m a a m m -==-==--， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭．综上可得2sin cos a a +的值是25或25-． 故选B ． 【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C.本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关 【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误； 相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ） A ．16- B ．6-C ．274-D ．274【答案】B【解析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件 件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值． 【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9， 可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ， 使目标函数3z x y =+取得最大值， 将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ． 【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =. 矩形ABCD 的外接圆直径225AC AB +BC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+=因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+C ．8D ．6【答案】C【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a =，2ce a ='，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+= 当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ） A．B ．18C．1D．19-【答案】D【解析】该题可以看做是圆上的动点到曲线ln y x =上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线ln y x =上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m ，曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+，整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件，其到圆心()2,3C -的距离为d ==()2119=-故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.12．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B【解析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x =有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==当(0,)x e ∈时，h ()0x '＞，∴()h x 在(0,)e 上单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，h ()0x '＜，∴()h x 在(,)e +∞上单调递减， 所以当x e =时，()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k 的取值范围为1(0,)2e综上可得实数k 的取值范围为1(0,)2e， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.二、填空题13．若22nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 【答案】1【解析】由题意得出展开式中共有11项，10n =；再令1x =求得展开式中各项的系数和． 【详解】由22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以10n =； 令1x =，可求得展开式中各项的系数和是：10121-=（）．故答案为：1． 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.14．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，若b =1c =，则ABC ∆的面积为__________．【解析】由A ，B ，C 成等差数列得出B ＝60°，利用正弦定理得C 进而得2A π=代入三角形的面积公式即可得出． 【详解】∵A ，B ，C 成等差数列，∴A +C ＝2B ， 又A +B +C ＝180°，∴3B ＝180°，B ＝60°． 故由正弦定理1sin sin sin 26c b C c b C C B π=∴=<∴=，故2A π=所以S △ABC 122bc ==，故答案为：2【点睛】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题． 15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________． 【答案】3π【解析】求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．【详解】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为6π，腰为1的等腰三角形， ∴该正十二边形的面积为121n 312i 61s S π=⨯⨯⨯⨯=， 根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为2331ππ=⨯， 故答案为：3π．【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.16．已知点()0,1A -是抛物线22x py =的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点，且PF m PA =，若双曲线C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过P 点，当m 取最小值时，双曲线C 的离心率为______. 21【解析】由点A 坐标可确定抛物线方程，由此得到F 坐标和准线方程；过P 作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义可得PN m PA=，可知当直线PA 与抛物线相切时，m取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得P 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率. 【详解】()0,1A 是抛物线22x py =准线上的一点 2p ∴=∴抛物线方程为24x y = ()0,1F ∴，准线方程为1y =-过P 作准线的垂线，垂足为N ，则PN PF =PF m PA = PF PN m PAPA∴==设直线PA 的倾斜角为α，则sin m α=当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切 设直线PA 的方程为1y kx =-，代入24x y =得：2440x kx -+=216160k ∴∆=-=，解得：1k =± ()2,1P ∴或()2,1-∴双曲线的实轴长为()221PA PF -=-，焦距为2AF =∴双曲线的离心率()21221e ==+-故答案为：21+ 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当m 取得最小值时，直线PA 与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P 点坐标.三、解答题 17．设数列的前项和为，且，数列满足，点在上，（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），（2）.【解析】（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】 由可得， 两式相减得，．又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．由点在直线上，所以．则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则因为，所以．则，两式相减得：．所以．【点睛】 用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18．如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 为CD 的中点，G 在线段BC 上，且3BG CG =。
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中原名校2020届高三下学期第一次模拟考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
一､选择题
1.若i 为虚数单位,则复数112i z i +=
+在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】D
【解析】
根据复数的运算,化简得到3155
z i =-,再结合复数的表示,即可求解,得到答案． 【详解】由题意,根据复数的运算,可得()()()()1121331121212555
i i i i z i i i i +-+-====-++-, 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
位于第四象限. 故选D .
2.已知集合{}40log 1A x x =<<,{}
21x B x e -=≤,则A B =（ ） A. (),4-∞
B. ()1,4
C. ()1,2
D. (]1,2
【答案】A
【解析】 分别化简集合,A B ,再求并集即可 【详解】{}{}40log 1=14A x x x x =<<<<
{}
{}21=2x B x e x x -=≤≤,则A B =(),4-∞ 故选：A
3.若样本1231,1,1,
,1n x x x x ++++的平均数是10,方差为2,则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++,下列结论正确的是（ ）
A. 平均数为20,方差为4
B. 平均数为11,方差为4
C. 平均数
21,方差为8 D. 平均数为20,方差为8
【答案】D
【解析】 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】样本1231,1,1,
,1n x x x x ++++的平均数是10,方差为2, 所以样本12322,22,22,
,22n x x x x ++++的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=. 故选:D.
【点睛】样本123,,,,n x x x x 的平均数是x ,方差为2s ,则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数为ax b +,方差为22a s .
4.已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-,则3m =是//a b 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 充要条件
【答案】A
【解析】
向量1a m =（，）,32b m =-（，）,//a b ,则32m m =-（）,即2230m m --=,3m =或者-1,判断出即可．
【详解】解：向量1a m =（，）
,32b m =-（,）, //a b ,则32m
m =-（）,即2230m m --=, 3m =或者-1,
所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件,
故选：A ．
5.已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠,则2sin cos a a +的值是( )
A. 1或1-
B. 25或25-
C. 1或25-
D. 1-或25 【答案】B
【解析】。