2020年上海市虹口区中考数学二模试卷
（）
A．8，7.5
B．8，7
C．7，7.5
D．7，7
【分析】先根据折线图将这 10 个数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念求解可
得．
【解答】解：由折线图知，这 10 个数据分别为 3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
所以这组数据的众数为 8，中位数为 ＝7.5，
故选：A． 【点评】本题主要考查众数和中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次
故选：B． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2
﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
4．（4 分）如图为某队员射击 10 次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是
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23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在边 BC 上，联结 AD，以 AD 为一边作△ ADE，满足 AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，联结 EC． （1）求证：CA 平分∠DCE； （2）如果 AB2＝BD•BC，求证：四边形 ABDE 是平行四边形．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点 A（﹣1，0）和 点 B（3，0），该抛物线对称轴上的点 P 在 x 轴上方，线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90° 至 PC（点 B 对应点 C），点 C 恰好落在抛物线上． （1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴； （2）求点 P 的坐标； （3）点 Q 在抛物线上，联结 AC，如果∠QAC＝∠ABC，求点 Q 的坐标．
k＜1 ．
【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则 k﹣1＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵抛物线 y＝（k﹣1）x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的，
22．（10 分）如图 1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边 OM 上的点 A 处，另 一端 B 在边 ON 上滑动，图 2 为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO 为 37°，∠ AOB 为 45°，OB 长为 35 厘米，求 AB 的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75）
他的月收入是
元．
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15．（4 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD
的度数是
．
16．（4 分）如图，在△ABC 中，AD 为边 BC 上的中线，DE∥AB，已知 ＝ ， ＝ ，
那么用 ， 表示 ＝
．
17．（4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝10，点 E 在正方形内部，且 AE⊥BE，cot∠BAE
∴OA＝OB，
故 A、B、C 正确，
故错误的是 D， 故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础
题．
6．（4 分）已知在△ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），
那么交点 O 是△ABC 的（ ）
示意图
作图步骤
（1）分别以点 B、C 为圆心，大于 BC 长为半径作
25．（14 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝ ，DC＝5，BC ＝6，以点 B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边 CD、BC 于点 E、F．
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（1）求 sin∠BDC 的值； （2）联结 BE，设点 G 为射线 DB 上一动点，如果△ADG 相似于△BEC，求 DG 的长； （3）如图 2，点 P、Q 分别为边 AD、BC 上动点，将扇形 DBF 沿着直线 PQ 折叠，折叠 后的弧 D'F'经过点 B 与 AB 上的一点 H（点 D、F 分别对应点 D'，F'），设 BH＝x，BQ＝ y，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写定义域）．
【解答】解：由尺规作图可知，MN、PQ 分别是线段 BC、AC 的垂直平分线，
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∴点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，
∴AD、BE 是△ABC 的中线，
∴点 O 是△ABC 的重心，
故选：C．
【点评】本题考查的是尺规作图、三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三
条中线的交点是解题的关键．
＝
．
9．（4 分）方程
＝1 的解为
．
10．（4 分）函数 y＝
的定义域为
．
11．（4 分）如果抛物线 y＝（k﹣1）x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的，那么 k 的取值范围
是
．
12．（4 分）从一副 52 张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是
．
13．（4 分）某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所
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数最多的数据叫做众数． 5．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AB
【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明 A、B、C 正确即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
C．第三象限
D．第四象限
【分析】由 k＝﹣1＜0，b＝1＞0，即可判断出图象经过的象限．
【解答】解：∵直线 y＝﹣x+1 中，k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
∴直线的图象经过第一，二，四象限．
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数 y＝kx+b 的图象有四种情况：
①当 k＞0，b＞0，函数 y＝kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大而
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而减小．
3．（4 分）如果关于 x 的方程 x2﹣4x+m＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围为
（）
A．m≤4
B．m＜4
C．m≥4
D．m＞4
【分析】由方程有两个不相等的实数根得出△＝（﹣4）2﹣4m＞0，解之可得．
【解答】解：根据题意知△＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得 m＜4，
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2020 年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．（4 分）下列各数中，无理数是（ ）
A．2﹣1
B．
C．
D．2π
【分析】根据有理数的分类和无理数的概念求解可得． 【解答】解：A．2﹣1＝ ，是分数，属于有理数；
D； （2）分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 长为半径作 圆弧，两弧分别交于点 P、Q，联结 PQ 交 AC 于点 E；
（3）联结 AD、BE，相交于点 O
A．外心
B．内切圆的圆心
C．重心
D．中心
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．（4 分）（a2）3＝
．
8．（4 分）化简：
与点 D'，E'对应），如果点 A，D'、E'在同一直线上，那么 AE'的长为
．
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三、解答题(本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（10 分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷
，其中 x＝ +2．
20．（10 分）解不等式组：
并把解集在数轴上表示出来．
21．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx+3 与 x，y 轴分别交于点 A、B， 与双曲线 y＝ 交于点 C（a，6），已知△AOB 的面积为 3，求直线与双曲线的表达式．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式得
到答案．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，x≠0，
解得，x≥﹣1 且 x≠0，
故答案为：x≥﹣1 且 x≠0．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式被开方数是非负数、
分式的分母不为 0 是解题的关键． 11．（4 分）如果抛物线 y＝（k﹣1）x2+9 在 y 轴左侧的部分是上升的，那么 k 的取值范围是
增大；
②当 k＞0，b＜0，函数 y＝kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而
增大；
③当 k＜0，b＞0 时，函数 y＝kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随 x 的值增大
而减小；
④当 k＜0，b＜0 时，函数 y＝kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增大
B． ＝4 是整数，属于有理数； C． 是分数，属于有理数；
D．2π是无理数； 故选：D． 【点评】本题主要考查无理数，解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数， ②无限不循环小数，③含有π的数，如 是无理数，因为π是无理数．
2．（4 分）直线 y＝﹣x+1 不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
8．（4 分）化简：性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1﹣
|，然后再去绝对值．
【解答】解：因为 ＞1，
所以
＝ ﹣1
故答案为： ﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列数中为无理数的是()B. 1.5⋅2⋅C. 0.123456D. √8A. −372.直线y=2x−3不经过第()象限．A. 一B. 二C. 三D. 四3.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，则k的取值范围是()A. k≥1B. k>1C. k≤1D. k≤1且k≠04.若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是()A. 9，9B. 10，9C. 9，9.5D. 11，105.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD=50°，那么∠CAD的度数是()A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°BC长为半径作弧，弧线两两6.如图，在△ABC中，按下列步骤作图：分别以B、C为圆心，大于12交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC=90°，在下列说法中：①E为△ABC外接圆的圆心；②图中有4个等腰三角形；③△ABE是等边三角形；④当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：(−x2)3=．8. 化简：√(√7−3)2=_______．9. 方程x −1=√1−x 的解为：______．10. 函数y =√x+3x−2有意义，则x 的取值范围是______． 11. 已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象如图所示，且OC =OB ，则b +c =______．12. 从一副扑克牌中随机抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q ；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是 (填序号)．13. 在样本的频数分布直方图中，共有5个小长方形，若前面4个小组的频率分别为0.1，0.3，0.2，0.1，且第五组的频数是60，则样本容量是______ ．14. 如图，购买“黄金1号”王米种子，所付款金额y 元与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则购买1千克“黄金1号”玉米种子需付款______元，购买4千克“黄金1号”玉米种子需______元．15. 如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A =115°，∠D =100°.已知梯形的两底AD//BC ，请你求出另外两个角的度数是______，______；16. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且BD ：DC =1：2，如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于______(结果用a⃗ 、b ⃗ 的线性组合表示)．17.在正方形ABCD中，AD=4，点E在对角线AC上运动，连接DE，过点E作EF⊥ED，交直线AB于点F(点F不与点A重合)，连接DF，设CE=x，tan∠ADF=y，则x和y之间的关系是________(用含x的代数式表示)．18.如图，将△ABC绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得△AB′C，如果∠BAB′=32°，且AC′//BC，那么∠B′AC=______度．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.先化简，再求值：x2+1x2+2x+1÷1x+1−x+1，其中x=√3−1．20.解不等式组请结合题意，完成本题的解答．(1)解不等式①，得__________．(2)解不等式③，得__________．(3)把不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．(4)从图中可以找出三个不等式的解集的公共部分，得不等式组的解集为____________．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=m与直线y=−2x+1交于点xA(−1,a)．(1)求a，m的值；(2)点P是双曲线y=m上一点，且OP与直线y=−2x+1平行，求点P的横坐标．x22.如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．(结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)23.如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．24.已知抛物线y=−x2+bx+c的顶点坐标为A(1,5)．备用图(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为抛物线上在第一象限内的动点，过点P作PQ丄x轴，Q为垂足，则PQ+0Q是否有最大值？若有，求出其最大值；若没有，说明理由．(3)已知B(−1,5)为抛物线外一点，则在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MC，且点C恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．25.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD=13，AD=11，BC=21，E是BC的中点，P是AB上的任意一点，连接PE，将PE绕点P逆时针旋转90°得到PQ．(1)求sin B的值；(2)若P是AB的中点，求点E所经过的路径EQ⏜的长及PE扫过的面积(结果保留π)；(3)若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长．【答案与解析】1.答案：D是分数，属于有理数；解析：解：A.−37B.1.5⋅2⋅是无限循环小数，即分数，属于有理数；C.0.123456是有限小数，即分数，属于有理数；D.√8的结果是无限不循环小数，属于无理数；故选：D．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：B解析：本题考查了一次函数的性质：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；直线与y轴的交点坐标为(0,b).根据一次函数的性质由k=2>0得到一次函数图象经过第一、三象限；由b=−3得到一次函数图象与y轴的交点坐标在x轴下方，所以直线y=2x−3经过第一、三、四象限．解：∵k=2>0，∴一次函数图象经过第一、三象限，∵b=−3，∴一次函数图象与y轴的交点坐标在x轴下方，∴直线y=2x−3经过第一、三、四象限．故选B．3.答案：C解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，∴△=[2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8≥0，解得：k≤1．故选：C．根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.答案：C解析：本题为统计题，考查众数与中位数的定义，属于基础题．根据众数和中位数的概念求解可得．将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数值，叫做这组数据的众数．将数据重新排列为8，9，9，9，10，10，11，11，=9.5．∴这组数据的众数为9，中位数为9+102故选：C．5.答案：B解析：解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴DB=AC，OD=OB，OA=OC，∴OA=OD，∴∠CAD=∠ADO，∵∠COD=50°=∠CAD+∠ADO，∴∠CAD=25°，故选：B．只要证明OA=OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题；本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.答案：B解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了三角形外心、线段垂直平分线的性质和等腰三角形和等边三角形的判定与性质．利用基本作图可判断MN垂直平分BC，则BE=CE，DB=DC，利用圆周角定理可对①进行判断；根据斜边上的中线性质和垂直平分线的性质可判定△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，则可对②进行判断；根据等边三角形的判定方法对③进行判断；利用DB=DC得到∠DBC=∠C=30°，再计算出∠ABC=60°，于是可判断△ABE是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可对④进行判断．解：由作法得MN垂直平分BC，则BE=CE，DB=DC，∵∠BAC=90°，∴BC为△ABC外接圆的直径，E点为△ABC外接圆的圆心，所以①正确；∵AE=BE=CE，DB=DC，∴△ABE、△AEC和△DBC都为等腰三角形，所以②错误；只有当∠ABC=60°时，△ABE是等边三角形，所以③错误；当∠C=30°时，∠ABC=60°，则△ABE是等边三角形，而∠DBC=∠C=30°，所以BD为角平分线，所以BD⊥AE，所以④正确．故选B．7.答案：−x6解析：本题考查的是幂的乘方运算，运用幂的乘方法则：计算即可．解：(−x2)3=−x6．8.答案：3−√7解析：【试题解析】本题主要考查了二次根式，关键是熟练掌握二次根式的性质.先比较两个数，利用二次根式的性质进行化简即可．解：原式=|√7−3|=3−√7，故答案为3−√7．9.答案：0或1解析：解：原方程可化为：(x−1)2=1−x，解得：x1=0，x2=1，经检验，x=0，x=1是原方程的解，故答案为：0或1．两边平方解答即可．此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答．10.答案：x≥−3且x≠2解析：本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0以及分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可．解：由x+3≥0且x−2≠0，得x≥−3且x≠2，故答案为x≥−3且x≠2．11.答案：−1解析：解：当x=0时，y=c，则C点坐标为(0,c)，∵OC=OB，∴B点坐标为(c,0)，把B(c,0)代入y=x2+bx+c得c2+bc+c=0，∴b+c=−1．故答案为−1．先确定抛物线与y轴交点C的坐标为(0,c)，利用OB=OC可确定B点坐标为(c,0)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征把B(c,0)代入y=x2+bx+c后经过变形即可得到b+c的值．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).也考查了二次函数图象上点的坐标特征．12.答案：③解析：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案．解：∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是254=127；Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是454=227；梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是1354；∴概率最大的是抽到梅花；故答案为③．13.答案：200解析：此题考查了频数(率)分布直方图，弄清题意是解本题的关键．根据前面4个小组的频率求出第5组的频率，用频数除以频率求出样本容量即可．解：根据题意得：60÷(1−0.1−0.3−0.2−0.1)=60÷0.3=200，则样本容量为200．故答案为：20014.答案：5 18解析：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象和图象中的数据可以求得各段对应的函数解析式，从而可以解答本题．解：当0≤x ≤2时，设y 与x 的函数关系式为y =kx ，2k =10，得k =5，∴当0≤x ≤2时，y 与x 的函数关系式为y =5x ，当x =1时，y =5×1=5，当x >2时，设y 与x 的函数关系式为y =ax +b ，{2a +b =103a +b =14，得{a =4b =2， 即当x >2时，y 与x 的函数关系式为y =4x +2，当x =4时，y =4×4+2=18，故答案为：5，18．15.答案：65° 80°解析：解：在梯形ABCD 中，AD//BC∴∠A +∠B =180°，∠D +∠C =180°而∠A =115°，∠D =100°．∴∠B =65°，∠C =80°故答案为65°，80°．根据梯形的定义，可知AD//BC ，再根据平行线的性质即可求出另外两个角的度数．本题考查的是梯形的性质，利用平行线的性质求同旁内角是解决本题的关键．16.答案：13b ⃗ −13a ⃗解析：解：如图，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∵BD =13BC ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −13a ⃗ ．故答案为13b⃗ −13a⃗．根据三角形法则求出BC⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题；本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．17.答案：y=−√24x+1或y=√24x−1解析：本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、三角函数等知识，熟练掌握正方形中辅助线的作法是关键，并注意F在直线AB上，分类讨论．分两种情况：①当F在边AB上时，如图1作辅助线，先证明△FGE≌△EHD，得FG=EH=√22x，AF=4−√2x，根据正切的定义表示即可；②当F在BA的延长线上时，如图2，同理可得：△FGE≌△EHD，表示AF的长，同理可得结论．解：分两种情况：①当F在边AB上时，如图1，过E作GH//BC，交AB于G，交DC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，GH⊥DC，GH⊥AB，∴EH=CH=√22x，∠FGE=∠EHD=90°，∴DH=4−√22x=GE，∵∠GFE=∠HED，∴△FGE≌△EHD，∴FG=EH=√22x，∵BG=CH=√22x，∴AF=4−√2x，Rt△ADF中，，即y=−√24x+1；②当F在BA的延长线上时，如图2，同理可得：△FGE≌△EHD，∴FG=EH=√22x，∵BG=CH=√22x，∴AF=√2x−4，Rt△ADF中，tan∠ADF=y=AFAD =√2x−44=√24x−1．故答案为y=−√24x+1或y=√24x−1．18.答案：42解析：先利用旋转的性质得到∠CAC′=∠BAB′=32°，AB=AB′，再根据等腰三角形性质和三角形内角和定理计算出∠B=74°，接着利用平行线的性质得到∠B′AC′=∠AB′B=74°，然后计算∠B′AC′−∠CAC′即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解：∵△ABC绕着点A旋转，使点B恰好落在BC边上，得△AB′C，∴∠CAC′=∠BAB′=32°，AB=AB′，∵AB=AB′∴∠B=∠AB′B=12×(180°−32°)=74°，∵AC′//BC，∴∠B′AC′=∠AB′B=74°，∴∠B′AC=∠B′AC′−∠CAC′=74°−32°=42°．故答案为42．19.答案：解：原式=x2+1(x+1)2⋅(x+1)−(x−1)=x2+1x+1−x2−1x+1=2x+1，当x=√3−1时，原式=√3=2√33．解析：【试题解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.答案：解：(1)解不等式①，得x≥−3；故答案为x≥−3；(2)解不等式③，得x<2；故答案为x<2；(3)把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来，如图：(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为−2<x<2．故答案为−2<x<2．解析：本题考查解一元一次不等式组．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．21.答案：解：(1)∵点A的坐标是(−1,a)，在直线y=−2x+1上，∴a=−2×(−1)+1=3，∴点A的坐标是(−1,3)，代入反比例函数y=mx，∴m=−3．(2)∵OP与直线y=−2x+1平行，∴OP的解析式为y=−2x，∵点P是双曲线y=−3x上一点，∴设点P坐标为(x,−3x)，代入到y=−2x中，∴−3x=−2x，∴x=±√6 2∴点P的横坐标为±√62．解析：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题有关知识．(1)将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A(−1,3)坐标代入反比例解析式中即可求得m的值；(2)根据题意求得直线OP的解析式，然后根据直线OP的解析式和反比例函数的解析式即可求得P 的坐标．22.答案：解：在Rt△BOE中，∠BOE=55°，tan55°=BEOE，∴OE=BEtan55∘，在Rt△BDE中，∠BDE=25°，tan25°=BEDE，∴DE=BEtan25∘，∴DO=30，∴DO=DE+OE=BEtan25∘+BEtan55∘=30，解得，BE≈10.6，在Rt△BDE中，∠BDE=25°，sin25°=BEBD，∴BD=BEsin25∘≈25，答：滑动支架BD的长大约为25cm．解析：根据锐角三角函数可以求得BE的长，然后根据sin∠BDE的值即可求得BD的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．23.答案：(1)证明：∵点C是AB的中点，∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，{AD=CE CD=BE AC=BC，∴△ADC≌△CEB(SSS)；(2)证明：连接DE，如图所示：∵△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE，∴CD//BE，又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形．解析：本题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．(1)由SSS证明△ADC≌△CEB即可；(2)由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD//BE，即可得出结论．24.答案：解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点坐标为A(1,5)，∴−b2a =−b2×(−1)=1，4ac−b24a=4×(−1)×c−b24×(−1)=5，解得：b=2，c=4，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+4; (2)设点P点坐标为(m,−m2+2m+4)，则PQ=−m2+2m+4，OQ=m，∴PQ+OQ=−m2+2m+4+m=−m2+3m+4=−(m−32)2+254,∴当m=32时，PQ+OQ有最大值，最大值是254；(3)假设存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MC，且点C恰好落在抛物线上，设点M坐标为(1,n)，∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点坐标为A(1,5)，∴对称轴为直线x=1，AM=5−n，∵点B(−1,5)与点A(1,5)关于y轴对称，∴BA⊥AM，AB=2，由旋转可知：∠BMC=90°，MB=MC，作CD⊥AM于D，则∠CDB=90°，∴∠DCM=∠BMA，∴△DCM≌△BMA，∴CD=MA，DM=AB，∵点M坐标为(1,n)，点A(1,5)，∴AM=CD=5−n，DM=AB=2，∴点C点坐标为(n−4,n−2)，∴−(n−4)2+2(n−4)+4=n−2，解得：n1=3，n2=6，则点M的坐标为：(1,3)或(1,6)，综上所述，存在这样的点M，其坐标为(1,3)或(1,6)．解析：本题主要考查二次函数的应用以及旋转的性质，待定系数法求二次函数解析式，深入理解题意是解决问题的关键．(1)用顶点坐标公式代入计算求出b、c的值即可求出抛物线的解析式；(2)设点P点坐标为(m,−m2+2m+4)，分别把线段PQ、OQ用含m的代数式表示，得到PQ+OQ与m的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求出最大值；(3)假设存在，设出点M坐标(1,n)，先根据旋转的性质证明出判定△DCM≌△BMA的条件，然后根据全等三角形的性质把点C坐标用含n的代数式表示，把点C点坐标代入二次函数解析式后解方程即可求出n的值，从而求出点M点坐标．25.答案：解：(1)如图1，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，∵AD//BC，∴AM=DN，∵AB=CD=13，∠AMB=∠DNC=90°，∴Rt△AMB≌Rt△DNC(HL)，∴BM=CN=(21−11)÷2=5，∴AM=√AB2−BM2=√132−52=12，∴sinB=AMAB =1213；(2)如图1，连接AC，∵P是AB的中点，E是BC的中点，∴PE是△ABC的中位线，∴PE=12AC，∵MC=21−5=16，AM=12，∴AC=√122+162=20，∴PE=10，∴点E所经过的路径EQ⏜的长为：90π×10180=5π，PE扫过的面积为：90π×102360=25π；(3)如图2，当点Q落在直线AB上时，∵sinB=1213，∴设PE=12m.则BE=13m=212，∴m=2126，∴BP=5m=10526，如图3，当点Q落在DA的延长线上时，过P作PH⊥AD交DA的延长线于H，延长HP交BC于G，设BP=x，则AP=13−x∵AD//BC，∴∠B=∠HAP，∴PH=1213(13−x)，BG=513x，∵∠PGE=∠QHP=90°，∠GPE=90°−∠HPQ=∠HQP，PE=PQ，∴△PGE≌△QHP(AAS)，∴EG=PH，∴212−513x=1213(13−x)，解得BP=x=3914．解析：(1)作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，证明Rt△AMB≌Rt△DNC，可得BM=CN=5，在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义即可得出求sin B的值；(2)连接AC，利用三角形中位线定理，可得PE=12AC=5，再代弧长和扇形面积的计算公式即可得出点E所经过的路径EQ⏜的长及PE扫过的面积；(3)分点Q落在直线AB上和点Q落在DA的延长线上两种情况，分别求解即可得出BP的长．本题考查三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义，弧长和扇形面积的计算，解决(2)问的关键是利用三角形的中位线定理求出圆弧的半径PE的长．。
2020届中考复习上海市虹口区中考数学二模试题(有配套答案)
上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（﹣2）3的计算结果是（）A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．82．下列根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C．D．3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（）A．12 B．0.3 C．0.4 D．405．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线6．下列命题中，正确的是（ ） A ．四边相等的四边形是正方形 B ．四角相等的四边形是正方形 C ．对角线垂直的平行四边形是正方形 D ．对角线相等的菱形是正方形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当a=1时，|a ﹣3|的值为 ． 8．方程的解为 ．9．已知关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ． 10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 （写出一个符合条件的即可）． 11．函数y=的定义域是 ．12．若A （﹣，y 1）、B （，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ． 14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 人数12269119则这些学生成绩的众数是 分．15．如图，在梯形△ABCD 中，E 、F 分别为腰AD 、BC 的中点，若=， =，则向量= （结果用表示）．16．若两圆的半径分别为1cm 和5cm ，圆心距为4cm ，则这两圆的位置关系是 ．17．设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）．18．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应．若以点A 、D 、E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=8．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式．21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；的值；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联的值．结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k225．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；（2）设，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求的值．上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（﹣2）3的计算结果是（）A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．8【考点】有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．【解答】解：（﹣2）3=﹣8．故选C．【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C．D．【考点】同类二次根式．【分析】运用化简根式的方法化简每个选项．【解答】解：A、=2，故A选项不是；B、=2，故B选项是；C、=，故C选项不是；D、=3，故D选项不是．故选：B．【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，2x≤﹣4，系数化为1得，x≤﹣2．在数轴上表示为：．故选C．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（）A．12 B．0.3 C．0.4 D．40【考点】频数（率）分布直方图．【分析】由频数之和等于数据总数计算出学生总数，再由频率=计算最喜欢足球的频率．【解答】解：读图可知：共有（6+5+12+8+7+2）=40人，最喜欢足球的频数为12，是最喜欢篮球的频率是=0.3，故选：B．【点评】此题考查频数（率）分布直方图，熟知计算公式：频率=是解题的关键．5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线【考点】作图—基本作图．【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．故选：A．【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．6．下列命题中，正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【考点】正方形的判定．【专题】证明题．【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析．【解答】解：A，错误，四边相等的四边形也可能是菱形；B，错误，矩形的四角相等，但不是正方形；C，错误，对角线垂直的平行四边形是菱形；D，正确，符合正方形的判定；故选D ．【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当a=1时，|a ﹣3|的值为 2 ． 【考点】绝对值．【分析】直接将a 的值代入化简求出答案． 【解答】解：当a=1时，|a ﹣3|=|1﹣3|=2． 故答案为：2．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 8．方程的解为 3 ．【考点】无理方程．【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值． 【解答】解：两边平方得：2x+3=x 2 ∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解， 当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解． 故答案为3．【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x 的值代入原方程进行检验．9．已知关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＜1 ． 【考点】根的判别式． 【专题】推理填空题．【分析】关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于m 的不等式，从而求得m 的范围． 【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=m ， ∴△=b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m ＞0， 解得：m ＜1． 故答案为m ＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 x 2+y 2=5 （写出一个符合条件的即可）． 【考点】高次方程． 【专题】开放型．【分析】根据（﹣1）2+22=5列出方程即可． 【解答】解：∵（﹣1）2+22=5， ∴x 2+y 2=5， 故答案为：x 2+y 2=5．【点评】此题考查高次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值，根据解写方程应先列算式再列方程是关键． 11．函数y=的定义域是 x ≠ ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x ﹣1≠0，解得x 的范围． 【解答】解：根据题意得：2x ﹣1≠0， 解得：x ≠． 故答案为：x ≠．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．12．若A （﹣，y 1）、B （，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+图象上的两点，则y 1 ＜ y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．【分析】直接计算自变量为﹣和所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：∵A （﹣，y 1）、B （，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+图象上的两点，∴y 1=﹣（﹣﹣1）2+=﹣+，y 2=﹣（﹣1）2+=﹣+，∴y 1＜y 2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是把A点和B点坐标代入抛物线解析式求出y1和y2．13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，∴从中随机摸出一个小球，共有7中等可能结果，其中是奇数的有4种结果，则其标号是奇数的概率为，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表：成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10人数 1 2 2 6 9 11 9则这些学生成绩的众数是9 分．【考点】众数．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．依此即可求解．【解答】解：∵在这一组数据中9分是出现次数最多的，∴这些学生成绩的众数是9分．故答案为：9．【点评】考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．15．如图，在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若=， =，则向量= 7（结果用表示）．【考点】*平面向量；梯形中位线定理．【分析】由在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，可得=（+），继而求得答案．【解答】解：∵在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，∴=（+），∵=， =，∴=2﹣=10﹣3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意梯形的中位线平行于上下底，且等于上底与下底和的一半．16．若两圆的半径分别为1cm和5cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是内切．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】推理填空题．【分析】只需将两圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之间的数量关系，就可解决问题．【解答】解：∵4=5﹣1，即两圆的圆心距等于两圆的半径之差，∴两圆内切．故答案为内切．【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R，r（其中R≥r），圆心距为d，则d＞R+r⇔两圆外离；d=R+r⇔两圆外切；R﹣r＜d＜R+r⇔两圆相交；d=R﹣r⇔两圆内切；0≤d＜R﹣r⇔两圆内含．17．设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是（结果保留根号）．【考点】正多边形和圆．【专题】分类讨论．【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．【解答】解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r=R，∴正六边形的“接近度”===．故答案为．【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．18．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是5或3或．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分三种情况讨论：①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到m的值，③当AD=AE=m 时，△ADE是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=AD=m，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：分三种情况讨论：①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，∴AM=NE，AM=AD=m，CN=BC=3，∴NE=3﹣m，∴m=3﹣m，∴m=3，③当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=m，∴NE=m﹣3，∵AN2+NE2=AE2，∴42+（m﹣3）2=m2，∴m=，综上所述：当m=5或3或时，△ADE是等腰三角形．故答案为：5或3或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=8．【考点】分式的化简求值．【分析】先计算除法：将分母因式分解同时将除法转化为乘法，约分后即变为同分母分式相加可得，再将x=8代入计算即可．【解答】解：原式=+=+=，当x=8时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式．【专题】计算题．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=2x2+4x﹣1；（2）y=2x2+4x﹣1=2（x2+2x+1﹣1）﹣1=2（x+1）2﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．【考点】解直角三角形．【分析】CE⊥AB于点E，分别解RT△BCE、RT△ACE求得BE、CE及AE的长，可得AB；根据中线结合BD的长可得DE，在RT△CDE中由勾股定理可得CD，继而计算得cos∠CDB．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，在RT△BCE中，∵BC=2，sinB=，∴CE=BC•sinB=2×=2，∴BE===2，在RT△ACE中，∵tanA=，∴AE===4，∴AB=AE+BE=4+2=6，∵CD是边AB上的中线，∴BD=AB=3，∴DE=BD﹣BE=1，在RT△CDE中，∵CD===，∴cos∠CDB===．故边AB的长为6，cos∠CDB=．【点评】本题主要考查了解直角三角形的能力，构建直角三角形是解题的前提，依据三角函数、勾股定理解直角三角形求出所需线段的长是解题的关键．22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？【考点】分式方程的应用．【分析】设该班级共有x名同学，根据实际每个学生做的个数﹣原计划制作的个数=5，可列出关于x的分式方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设该班级共有x名同学，依题意得﹣=5，解得：x=40，或x=﹣30（舍去）．检验：将x=40代入原方程，方程左边=20﹣15=5=右边，故x=40是原方程的解．答：这个班级共有40名同学．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）通过证明△ABF≌△CDE得到AB=CD，加上AB∥CD，则可判断四边形ABCD是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再证明△CHG∽△DAG，利用相似比得到=，然后利用比例的性质和等线段代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD=∠ADB，∵AF∥EC，∴∠AFB=∠CED，∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴AB=CD，而AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵CH∥AD，∴△CHG∽△DAG，∴=，∴=，即=，∴AD•DC=BH•DG．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；的值；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k的值．2【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；（2）作DE∥OA，根据题意得出==，求得DE=，即D的横坐标为，代入AB的解析式求得纵坐标，；然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM．的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2【解答】解：（1）∵B（0，m）（m＞0），∴OB=m，∵tan∠BAO==2，∴OA=，∴A（，0），设直线AB的解析式为y=kx+m，代入A（，0）得，0=k+m，解得k=﹣2，∴直线AB的解析式为y=﹣2x+m；（2）如图1，∵AD=2DB，.. ∴=，作DE∥OA，∴==，∴DE=OA==，∴D的横坐标为，代入y=﹣2x+m得，y=﹣+m=，∴D（，），∴k=×=；1（3）如图2，∵A（，0），B（0，m），∴E（，），AB==m，∴OE==m，BE=m，∵EM⊥x轴，∴F的横坐标为，∵△OEF∽△OBE，∴=，∴=，∴EF=m，∴FM=﹣m=m．∴F（m， m），∴k=×=．2..【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的性质以及勾股定理的应用，求得关键点的坐标是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；（2）设，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，作AM⊥DF于M，只要证明△AEM≌△BED得ME=DE，再根据中位线定理、垂径定理即可解决．（2）先证明四边形AMDC是矩形，再利用=即可解决问题．（3））如图2中，因为点O是重心，所以AM、CN是中线，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，利用（2）的结论先求出ED、EF，由△BDE∽△FDB得=可以求出a，再求出AB、CE即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作AM⊥DF于M．∵AM⊥EF，..∴FM=ME，∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠C=∠AME=90°，∴AM∥BC，AC∥DF，∵BD=DC，∴BE=AE，∴ED=AC=1，在△AEM和△BED中，，∴△AEM≌△BED，∴ME=ED=1，∴EF=2ME=2．（2）如图1中，∵ =x，∴=1﹣x，∵ED∥AC，∴=，∴DE=2（1﹣x），∵AM∥CD，AC∥DM，∴四边形AMDC是平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形AMDC是矩形，∴AM=CD，∵=，∴==，∴=，∴y=4x．（3）如图2中，∵点O是重心，∴AM、CN是中线，∴BN=AN，BM=MC，..∵MN∥AC，MN=AC，∴=，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，由（2）可知x===，∴EF=4y=，∵===，∴ED=，DF=，∵DF∥AC，∴∠FEA=∠EAC，∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF，∴∠EAC=∠AFE，∵∠AFE+∠BFE=90°，∠EAC+∠ABC=90°，∴∠BFD=∠EBD，∵∠BDE=∠BDF，∴△BDE∽△FDB，∴=，∴=，∴a=（负根以及舍弃）．∴BC=6a=2，在RT△ABC中，AB===2，在RT△ECD中，EC===，∴==．..【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、重心的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，知道重心把中线线段分成1：2两部分，属于中考压轴题．..。
上海市虹口区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．332．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =- 3．若点A （1+m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则m+n 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．3D ．14．下列运算正确的是（ ）A ．2a ﹣a=1B ．2a+b=2abC ．（a 4）3=a 7D ．（﹣a ）2•（﹣a ）3=﹣a 55．在下列函数中，其图象与x 轴没有交点的是（ ）A ．y=2xB ．y=﹣3x+1C ．y=x 2D ．y=1x6．下列运算正确的是（ ）A ．2a+3a=5a 2B ．（a 3）3=a 9C ．a 2•a 4=a 8D ．a 6÷a 3=a 2 7．如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且AG ＝CE ，AE ⊥EF ，AE ＝EF ，现有如下结论：①BE ＝DH;②△AGE ≌△ECF;③∠FCD ＝45°;④△GBE ∽△ECH ．其中，正确的结论有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个8．已知反比例函数2y x-=，下列结论不正确的是（ ） A ．图象经过点（﹣2，1） B ．图象在第二、四象限C ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x ＞﹣1时，y ＞2 9．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°10．下列计算正确的是( )A ．a 2•a 3＝a 6B ．(a 2)3＝a 6C ．a 2+a 2＝a 3D ．a 6÷a 2＝a 311．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=10°，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △ACD ：S △ACB =1：1．其中正确的有（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有①③④D ．①②③④二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.14．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 15．比较大小：417（填入“＞”或“＜”号） 16．计算22111x x x +--的结果为 ． 17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，F 为AB 上一点，AF ＝2，点E 从点A 出发，沿AC 方向以2cm/s 的速度匀速运动，同时点D 由点B 出发，沿BA 方向以lcm/s 的速度运动，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5），连D 交CF 于点G ．若CG ＝2FG ，则t 的值为_____．18．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，联结CP，将△BCP沿着直线CP翻折，若点B落在边AD上的点E处，且EP//AB，则AB的长等于________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．(1)求证：四边形DBEC是菱形；(2)若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．20．（6分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数．（2）若由3名“喜欢乘车”的学生，1名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出2人担任组长（不分正副），求出2人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）21．（6分）观察下列等式：①1×5+4=32；②2×6+4=42；③3×7+4=52；…（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式：_____；（2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边：_____=502；（3）按照上面的规律，写出第n 个等式，并证明其成立．22．（8分）如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 上y 轴上，点B在反比例函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，过点E 作x 的垂线，交反比例函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象于点P ，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ；记矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ，点E 的运动时间为t 秒．（1）求该反比例函数的解析式．（2）求S 与t 的函数关系式；并求当S=92时，对应的t 值． （3）在点E 的运动过程中，是否存在一个t 值，使△FBO 为等腰三角形？若有，有几个，写出t 值．23．（8分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P.（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.24．（10分）如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，求∠OFA 的度数25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4=y x（x>0）交于点1)（，A a ． 求a ，k 的值；已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P（m ，n ）（m>3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x（x>0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4m =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．26．（12分）小明和小亮为下周日计划了三项活动，分别是看电影（记为A ）、去郊游（记为B ）、去图书馆（记为C ）．他们各自在这三项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同．（1）小明选择去郊游的概率为多少；（2）请用树状图或列表法求小明和小亮的选择结果相同的概率．27．（12分）如图，已知A （3，0），B （0，﹣1），连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA ＝BC ，连接AC ．如图1，求C 点坐标；如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角△BPQ ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：PA ＝CQ ；在（2）的条件下若C 、P ，Q 三点共线，求此时∠APB 的度数及P 点坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴3故选D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.2．A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A正确；y=2x2–2的对称轴为x=0，B错误；y=–2x2–2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x–2）2的对称轴为x=2，D错误．故选A．1．3．D【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n 的值，代入计算可得．【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，∴1+m=3、1﹣n=2，解得：m=2、n=﹣1，所以m+n=2﹣1=1，故选D．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.4．D【解析】【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．【详解】A、2a﹣a=a，故本选项错误；B、2a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、（a4）3=a12，故本选项错误；D、（﹣a）2•（﹣a）3=﹣a5，故本选项正确，故选D．【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 5．D【解析】【分析】依据一次函数的图象，二次函数的图象以及反比例函数的图象进行判断即可．【详解】A．正比例函数y=2x与x轴交于（0，0），不合题意；B．一次函数y=-3x+1与x轴交于（13，0），不合题意；C．二次函数y=x2与x轴交于（0，0），不合题意；D．反比例函数y=1x与x轴没有交点，符合题意；故选D．6．B【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【详解】A、2a+3a=5a，故此选项错误；B、（a3）3=a9，故此选项正确；C、a2•a4=a6，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．7．C【解析】【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE ＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝GE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，∴HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE 和△CEF 中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF（SAS））,∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．8．D【解析】【分析】【详解】A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；C 选项：当x ＜0，且k ＜0，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；D 选项：当x ＞0时，y ＜0，故本选项错误．故选D ．9．C【解析】【分析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．10．B【解析】试题解析：A.235,a a a ⋅=故错误. B.正确.C.不是同类项，不能合并，故错误.D.624.a a a ÷=故选B.点睛：同底数幂相乘，底数不变,指数相加.同底数幂相除，底数不变,指数相减.11．C【解析】【详解】如图所示，∵（a+b ）2=21∴a 2+2ab+b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=1．故选C ．考点：勾股定理的证明．12．D【分析】①根据作图过程可判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可推知∠CAD＝10°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用10°角所对的直角边是斜边的一半，三角形的面积计算公式来求两个三角形面积之比.【详解】①根据作图过程可知AD是∠BAC的角平分线，①正确；②如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝10°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝10°，∴∠1＝90°－∠2＝60°，即∠ADC＝60°，②正确；③∵∠1＝∠B＝10°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，③正确；④如图，∵在直角△ACD中，∠2＝10°，∴CD＝AD，∴BC＝CD＋BD＝AD＋AD＝AD，S△DAC＝AC∙CD＝AC∙AD.∴S△ABC＝AC∙BC＝AC∙AD＝AC∙AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC∙AD：AC∙AD＝1:1，④正确.故选D.【点睛】本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．16或1【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】（1）当三角形的三边是5，5，6时，则周长是16；（2）当三角形的三边是5，6，6时，则三角形的周长是1；故它的周长是16或1．故答案为：16或1．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14．150o【解析】【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ，65180n ππ⨯∴=， 解得：150n =故答案为150o ．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积15．＞【解析】【分析】∴4．考点：实数的大小比较．【详解】请在此输入详解！16．11x - 【解析】【分析】直接把分子相加减即可.【详解】22111x x x +--=11(1)(1)1x x x x +=+--,故答案为：11x -.本题考查了分式的加减法，关键是要注意通分及约分的灵活应用．17．1【解析】【分析】过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则1028DF t t ---＝＝，证明DFG HCG ∆∆∽，可求出CH ，再证明ADE CHE ∆∆∽，由比例线段可求出t 的值．【详解】如下图，过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则21028BD t AE t DF t t ---＝，＝，＝＝，∵DF ∥CH ，∴DFG HCG ∆∆∽， ∴12DF FC HC GC ==， ∴2162CH DF t ＝＝-，同理ADE CHE ∆∆∽， ∴AD AE CH CE=， ∴102162102t t t t -=--，解得t ＝1，t ＝253（舍去）， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角形中的动点问题，熟练掌握三角形相似的相关方法是解决本题的关键.18．512【解析】【分析】设CD=AB=a ，利用勾股定理可得到Rt △CDE 中，DE 2=CE 2-CD 2=1-2a 2，Rt △DEP 中，DE 2=PD 2-PE 2=1-2PE ，进而得出PE=a 2，再根据△DEP ∽△DAB ，即可得到PE PD AB BD =，即11PE PE a -=，可得2211a a a -=，即可得到AB 的长等于512-． 【详解】 如图，设CD=AB=a ，则BC 2=BD 2-CD 2=1-a 2，由折叠可得，CE=BC ，BP=EP ，∴CE 2=1-a 2，∴Rt △CDE 中，DE 2=CE 2-CD 2=1-2a 2，∵PE ∥AB ，∠A=90°，∴∠PED=90°，∴Rt △DEP 中，DE 2=PD 2-PE 2=（1-PE ）2-PE 2=1-2PE ，∴PE=a 2，∵PE ∥AB ，∴△DEP ∽△DAB ，∴PE PD AB BD =，即11PE PE a -=， ∴2211a a a -=， 即a 2+a-1=0，解得125151a a ---==（舍去）， ∴AB 的长等于51-. 51-. 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19． (1)见解析2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC 为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD，得证；（1）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．【详解】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，∴四边形DBEC为平行四边形．又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，∴CD=BD=12 AC，∴平行四边形DBEC是菱形；（1）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，∴DF是△ABC的中位线，AC=1AD=6，S△BCD=12S△ABC∴BC=1DF=1．又∵∠ABC=90°，∴AB=22AC BC-= 2262-= 42．∵平行四边形DBEC是菱形，∴S四边形DBEC=1S△BCD=S△ABC=12AB•BC=12×42×1=42．点睛：本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由点D是AC的中点，得到CD=BD是解答（1）的关键，由菱形的性质和三角形的面积公式得到S四边形DBEC=S△ABC是解（1）的关键.20．（1）补全条形统计图见解析；“骑车”部分所对应的圆心角的度数为108°；（2）2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为12．【解析】【分析】（1）从两图中可以看出乘车的有25人，占了50%，即可得共有学生50人；总人数减乘车的和骑车的人数就是步行的人数，根据数据补全直方图即可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；（2）列出从这4人中选两人的所有等可能结果数，2人都是“喜欢乘车”的学生的情况有3种，然后根据概率公式即可求得．【详解】（1）被调查的总人数为25÷50%＝50人；则步行的人数为50﹣25﹣15＝10人；如图所示条形图，“骑车”部分所对应的圆心角的度数＝1550×360°＝108°；（2）设3名“喜欢乘车”的学生表示为A、B、C，1名“喜欢骑车”的学生表示为D，则有AB、AC、AD、BC、BD、CD这6种等可能的情况，其中2人都是“喜欢乘车”的学生有3种结果，所以2人都是“喜欢乘车”的学生的概率为12．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．6×10+4=8248×52+4【解析】【分析】（1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（2）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（3）根据题目中的式子的变化规律可以写出第n个等式，并加以证明．【详解】解：（1）由题目中的式子可得，第⑥个等式：6×10+4=82，故答案为6×10+4=82；（2）由题意可得，48×52+4=502，故答案为48×52+4；（3）第n个等式是：n×（n+4）+4=（n+2）2，证明：∵n×（n+4）+4=（n+2）2，∴n×（n+4）+4=（n+2）2成立．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法． 22．（1）y=9x （x ＞0）；（2）S 与t 的函数关系式为：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣27t （t ＞3）；当S=92时，对应的t 值为32或6；（3）当t=32或2或3时，使△FBO 为等腰三角形． 【解析】【分析】（1）由正方形OABC 的面积为9，可得点B 的坐标为：（3，3），继而可求得该反比例函数的解析式．（2）由题意得P （t ，9t ），然后分别从当点P 1在点B 的左侧时，S=t•（9t-3）=-3t+9与当点P 2在点B 的右侧时，则S=（t-3）•9t =9-27t 去分析求解即可求得答案； （3）分别从OB=BF ，OB=OF ，OF=BF 去分析求解即可求得答案．【详解】解：（1）∵正方形OABC 的面积为9，∴点B 的坐标为：（3，3），∵点B 在反比例函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象上， ∴3=3k ， 即k=9， ∴该反比例函数的解析式为：y= y=9x （x ＞0）； （2）根据题意得：P （t ，9t）， 分两种情况：①当点P 1在点B 的左侧时，S=t•（9t ﹣3）=﹣3t+9（0≤t≤3）； 若S=92， 则﹣3t+9=92， 解得：t=32； ②当点P 2在点B 的右侧时，则S=（t ﹣3）•9t =9﹣27t ； 若S=9t ，则9﹣27t =92，∴S 与t 的函数关系式为：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣27t （t ＞3）； 当S=9t 时，对应的t 值为32或6； （3）存在．若CF=BC=3，∴OF=6，∴6=9t， 解得：t=32；若，则9t ，解得：t=2； 若BF=OF ，此时点F 与C 重合，t=3；∴当t=323时，使△FBO 为等腰三角形． 【点睛】此题考查反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题关键是注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．23．（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解析】【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE V 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标. 【详解】 解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣）， 即243y x x +＝﹣，221y x Q ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）； （2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，），EA EC Q ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）； （3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠Q ＝， 而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=， 设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣， 在Rt QHE V中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.24．25°【解析】【分析】先利用正方形的性质得OA=OC ，∠AOC=90°，再根据旋转的性质得OC=OF ，∠COF=40°，则OA=OF ，根据等腰三角形的性质得∠OAF=∠OFA ，然后根据三角形的内角和定理计算∠OFA 的度数．【详解】解：∵四边形OABC 为正方形，∴OA=OC ，∠AOC=90°，∵正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，∴OC=OF ，∠COF=40°，∴OA=OF ，∴∠OAF=∠OFA ，∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°，∴∠OFA=12（180°-130°）=25°． 故答案为25°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．25．（1）4a =，=2k ；（2）① 3，② 3 4.5m <≤.【解析】【分析】（1）将1)（，Aa 代入4=y x可求出a ，将A 点坐标代入y kx k =+可求出k ； （2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W 内的整点个数；②求出直线l 的表达式为24y x =-，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m 的取值范围即可.【详解】 解：（1）将1)（，Aa 代入4=y x 得a=4 将14)（，A代入=4+k k ，得=2k （2）①区域W 内的整点个数是3②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22y x =+∴直线l 的表达式为24y x =-当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点∴3 4.5m <≤【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.26．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与小明和小亮选择结果相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【详解】（1）∵小明分别是从看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）的一个景点去游玩，∴小明选择去郊游的概率=；（2）列表得：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由列表可知两人选择的方案共有9种等可能的结果，其中选择同种方案有3种，所以小明和小亮的选择结果相同的概率==．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．（1）C （1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P （1，0）．【解析】【分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】（1）作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，∵AB ⊥BC ，∴∠A BO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH ，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C 点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△QBC ，∴PA=CQ ；（3）∵△BPQ 是等腰直角三角形，∴∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2）可知，△PBA ≌△QBC ，∴∠BPA=∠BQC=135°，∴∠OPB=45°，∴OP=OB=1，∴P 点坐标为（1，0）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
上海市虹口区2019-2020学年中考数学模拟试题(2)含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考数学模拟试题（2）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．将一次函数2y x =-的图象向下平移2个单位后，当0y >时，a 的取值范围是（ ） A ．1x >- B ．1x > C ．1x <- D ．1x <4．如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图1．下列关于图1的四个结论中，不一定成立的是（ ）A ．点A 落在BC 边的中点B ．∠B+∠1+∠C=180°C ．△DBA 是等腰三角形D ．DE ∥BC5．某校九年级（1）班全体学生实验考试的成绩统计如下表： 成绩（分）2425 26 27 28 29 30人数（人）25 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）A ．该班一共有40名同学B ．该班考试成绩的众数是28分C．该班考试成绩的中位数是28分D．该班考试成绩的平均数是28分6．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠17．下列计算正确的有（）个①（﹣2a2）3＝﹣6a6②（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6 ③（x﹣2）2＝x2﹣4 ④﹣2m3+m3＝﹣m3⑤﹣16＝﹣1．A．0 B．1 C．2 D．38．如图,从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上, 将剪下的扇形作为一个圆锥侧面,如果圆锥的高为330cm,则这块圆形纸片的直径为( )A．12cm B．20cm C．24cm D．28cm9．对于二次函数,下列说法正确的是（）A．当x>0，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值－3C．图像的顶点坐标为（－2，－7）D．图像与x轴有两个交点10．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．1011．如图，抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l<x<3的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．-5<t≤4B ．3<t≤4C ．-5<t<3D ．t>-5 12．一元一次不等式2（1+x ）＞1+3x 的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝1k x(x ＞0)及y 2＝2k x (x ＞0)的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1－k 2＝________.14．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，AB=2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为__________．15．半径是6cm 的圆内接正三角形的边长是_____cm ．16．如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，则△CEF 的面积最大值是____．17．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是_____．18．如图，Y ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，•景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量，景点D位于景点A的北偏东30′方向8km处，•位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km.景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考试其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）．求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）．20．（6分）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A 和点C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OA=6，OC=4，以OA，OC 为邻边作矩形OABC，动点M，N 以每秒 1 个单位长度的速度分别从点A、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N沿CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．（1）直接写出点 B 的坐标为 ，直线 OB 的函数表达式为 ;（2）记△OMP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式()06t <<；并求 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值．22．（8分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)这次调查的市民人数为________人，m ＝________，n ＝________；(2)补全条形统计图；(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．23．（8分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC ．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，3≈1.73)24．（10分）为提高城市清雪能力，某区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪300立方米，现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量． 25．（10分）如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.26．（12分）如图所示，已知一次函数y kx b=+（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数ymx=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．画出△A1OB1；直接写出点A1和点B1的坐标；求线段OB1的长度．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．C【解析】【分析】试题解析：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∵﹣=﹣1，∴b=2a ，∵a+b+c ＜0， ∴b+b+c ＜0，3b+2c ＜0，∴②是正确；∵当x=﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，③错误；∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a ﹣b+c ＞am 2+bm+c （m≠﹣1）．∴m （am+b ）＜a ﹣b ．故④正确∴正确的有①②④三个，故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．【详解】请在此输入详解！3．C【解析】【分析】直接利用一次函数平移规律，即k 不变，进而利用一次函数图象的性质得出答案．【详解】将一次函数2y x =-向下平移2个单位后，得：22y x =--，当0y >时，则：220x -->，解得：1x <-，∴当0y >时，1x <-，故选C ．本题主要考查了一次函数平移，解一元一次不等式，正确利用一次函数图象上点的坐标性质得出是解题关键．4．A【解析】【分析】根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确．【详解】根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA 是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A．【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（1）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．5．D【解析】【分析】直接利用众数、中位数、平均数的求法分别分析得出答案．【详解】解：A、该班一共有2+5+6+6+8+7+6=40名同学，故此选项正确，不合题意；B、该班考试成绩的众数是28分，此选项正确，不合题意；C、该班考试成绩的中位数是：第20和21个数据的平均数，为28分，此选项正确，不合题意；D、该班考试成绩的平均数是：（24×2+25×5+26×6+27×6+28×8+29×7+30×6）÷40=27.45（分），故选项D错误，符合题意．故选D．【点睛】此题主要考查了众数、中位数、平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键．6．D【解析】先根据AB ∥CD 得出∠BCD=∠1，再由CD ∥EF 得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论． 【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠BCD=∠1，∵CD ∥EF ，∴∠DCE=180°-∠2，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．故选：D ．【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．7．C【解析】【分析】根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解．【详解】①（﹣2a 2）3=﹣8a 6，错误；②（x ﹣2）（x+3）=x 2+x ﹣6，错误；③（x ﹣2）2=x 2﹣4x+4，错误④﹣2m 3+m 3=﹣m 3，正确；⑤﹣16=﹣1，正确．计算正确的有2个．故选C ．【点睛】考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．8．C【解析】【分析】设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，利用等腰直径三角形的性质得到R ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr=90π180⋅，解得r=4R R ）2=（2+（4R ）2，再解方程求出R 即可得到这块圆形纸片的直径． 【详解】设这块圆形纸片的半径为R ，圆锥的底面圆的半径为r ，则R ，根据题意得：2πr=90π180⋅，解得：r=4R R ）2=（2+（4R ）2，解得：R=12，所以这块圆形纸片的直径为24cm ． 故选C ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 9．B 【解析】 【详解】 二次函数22114(2)344y x x x =-+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确； 顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误， 故答案选B.考点：二次函数的性质. 10．C 【解析】 【分析】由切线长定理可求得PA ＝PB ，AC ＝CE ，BD ＝ED ，则可求得答案． 【详解】∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ， ∴PA ＝PB ＝6，AC ＝EC ，BD ＝ED ，∴PC+CD+PD ＝PC+CE+DE+PD ＝PA+AC+PD+BD ＝PA+PB ＝6+6＝12， 即△PCD 的周长为12， 故选：C ．本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA ＝PB 、AC ＝CE 和BD ＝ED 是解题的关键． 11．B 【解析】 【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y=-x 2+4x ，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=-x 2+4x 与直线y=t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围． 【详解】∵ 抛物线y=-x 2+mx 的对称轴为直线x=2， ∴222(1)b ma -=-=⨯-， 解之：m=4， ∴y=-x 2+4x ，当x=2时，y=-4+8=4， ∴顶点坐标为(2，4)，∵ 关于x 的-元二次方程-x 2+mx-t=0 (t 为实数)在l<x<3的范围内有解， 当x=1时，y=-1+4=3， 当x=2时，y=-4+8=4， ∴ 3<t≤4， 故选：B 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 12．B 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求解即可. 【详解】去括号，得2+2x>1+3x ；移项合并同类项，得x<1，所以选B. 【点睛】数形结合思想是初中常用的方法之一.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．2【详解】试题分析：∵反比例函数11k y x=（x ＞1）及22ky x =（x ＞1）的图象均在第一象限内，∴1k ＞1，2k ＞1．∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP =112k ，S △OBP =212k ，∴S △OAB =S △OAP ﹣S △OBP =121()2k k -=2，解得：12k k -=2． 故答案为2． 14．142π-． 【解析】 【分析】连接CD ，根据题意可得△DCE ≌△BDF ，阴影部分的面积等于扇形的面积减去△BCD 的面积． 【详解】 解：连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ．∵CA=CB ，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点， ∴DC=12AB=1，四边形DMCN 是正方形，2． 则扇形FDE 的面积是：2901=3604ππ⨯．∵CA=CB ，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点， ∴CD 平分∠BCA ， 又∵DM ⊥BC ，DN ⊥AC ， ∴DM=DN ，∵∠GDH=∠MDN=90°， ∴∠GDM=∠HDN ，则在△DMG和△DNH中，DMG DNHGDM HDN DM DN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=12．则阴影部分的面积是：142π-．故答案为：142π-．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．15．63【解析】【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及等边三角形的性质解答即可．【详解】如图所示，OB=OA=6，∵△ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是∠ABC的平分线；∠OBD=60°×12=30°，BD=cos30°×6=6×33根据垂径定理，BC=2×3，故答案为3．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长．16．3【解析】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB．在△ABE和△ACF中，∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，∴S四边形AECF =S△ABC=12BC•AH=12BC•22AB BH-=43，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=43﹣12×23×22(23)(3)-=3．故答案为：3.点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键．17．2 5【解析】【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，∴从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是25．故答案为：25．【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=.m n18．1． 【解析】∵ABCD 的周长为33，∴2（BC+CD ）=33，则BC+CD=2．∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD=12，∴OD=OB=BD=3． 又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD ．∴OE=BC ． ∴△DOE 的周长="OD+OE+DE=" OD +12（BC+CD ）=3+9=1，即△DOE 的周长为1． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ；（2）景点C 与景点D 之间的距离约为4km ． 【解析】 【详解】解：（1）如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点A 作AF ⊥DB ，交DB 的延长线于点F ，在Rt △DAF 中，∠ADF=30°， ∴AF=12AD=12×8=4，∴DF=22228443AD AF -=-=， 在Rt △ABF 中BF=2222AB AF 54-=-=3， ∴BD=DF ﹣BF=43﹣3，sin ∠ABF=45AF AB =， 在Rt △DBE 中，sin ∠DBE=DB BD ，∵∠ABF=∠DBE ，∴sin ∠DBE=45， ∴DE=BD•s in ∠DBE=45×（43﹣3）=163125-≈3.1（km ），∴景点D 向公路a 修建的这条公路的长约是3.1km ； （2）由题意可知∠CDB=75°， 由（1）可知sin ∠DBE=45=0.8，所以∠DBE=53°， ∴∠DCB=180°﹣75°﹣53°=52°， 在Rt △DCE 中，sin ∠DCE=DBDC，∴DC= 3.1sin 520.79DE ︒=≈4（km ），∴景点C 与景点D 之间的距离约为4km ． 20．（1）3；（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．【解析】 试题分析：（1）根据等可能事件的概率的定义，分别确定总的可能性和是勾股数的情况的个数； （2）用列表法列举出所有的情况和两张卡片上的数都是勾股数的情况即可. 试题解析：（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P 1=34； （2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P 2=61122=， ∵P 1=34，P 2=12，P 1≠P 2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样． 21．（1）(6,4)，23y x =；（2）21(3)3(06)3S t t =--+<<，1，1． 【解析】 【分析】（1）根据四边形OABC 为矩形即可求出点B 坐标，设直线OB 解析式为y kx =，将B (6,4)代入即可求直线OB 的解析式；（2）由题意可得6OM t =-，由（1）可得点P 的坐标为2,3t t ⎛⎫⎪⎝⎭， 表达出△OMP 的面积即可，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】解：（1）∵OA=6，OC=4， 四边形OABC 为矩形， ∴AB=OC=4，设直线OB 解析式为y kx =，将B (6,4)代入得46k =，解得23k =， ∴23y x =， 故答案为：(6,4)；23y x =（2）由题可知，CN AM t ==，6OM t ∴=-由(1)可知，点P 的坐标为2,3t t ⎛⎫⎪⎝⎭1223OMP S OM t ∴=⨯⨯V ，12(6)23t t =⨯-⨯ 21t 2t 3=-+21(3)3(06)3t t =--+<<∴当3t =时，S 有最大值1． 【点睛】本题考查了二次函数与几何动态问题，解题的关键是根据题意表达出点的坐标，利用几何知识列出函数关系式．22． (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度． 【解析】 【分析】（1）根据项目B 的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A ，C 的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A 项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A 非常了解”的程度的人数． 【详解】 试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%， （2）对“社会主义核心价值观”达到“A ．非常了解”的人数为：32%×500=160， 补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人），答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．23．工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.【解析】解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，∴（米）．在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，∴DECE102.08tan DGE3==≈∠（米）．∴AC CE AE102.0864.8037.2837.3=-≈-=≈（米）．∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．在Rt△BAE和Rt△DEC中，应用正切函数分别求出AE和CE的长即可求得AC的长．24．现在平均每天清雪量为1立方米．【解析】分析：设现在平均每天清雪量为x立方米，根据等量关系“现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所需时间相同”列分式方程求解.详解：设现在平均每天清雪量为x立方米，由题意，得40003000300 x x=-解得x=1．经检验x=1是原方程的解，并符合题意．答：现在平均每天清雪量为1立方米．点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，注意解分式方程的时候要进行检验.25．（1）详见解析；（1）①详见解析；②1；③62 4.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（1）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（1）①解：如图1中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-1）1+1，∵-12＜0，∴x=1时，△BMN的面积最大，最大值为1．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=1m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+3+3m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+36226EHEB m+==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，26．（1）A（－1，0），B（0，1），D（1，0）（2）一次函数的解析式为y x1=+反比例函数的解析式为2yx=【解析】解：（1）∵OA=OB=OD=1，∴点A、B、D的坐标分别为A（－1，0），B（0，1），D（1，0）。
2019-2020学年上海市虹口区中考数学二模试卷(有标准答案)
上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（﹣2）3的计算结果是（）A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．82．下列根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C．D．3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（）A．12 B．0.3 C．0.4 D．405．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线6．下列命题中，正确的是（ ） A ．四边相等的四边形是正方形 B ．四角相等的四边形是正方形 C ．对角线垂直的平行四边形是正方形 D ．对角线相等的菱形是正方形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当a=1时，|a ﹣3|的值为 ． 8．方程的解为 ．9．已知关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ． 10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 （写出一个符合条件的即可）． 11．函数y=的定义域是 ．12．若A （﹣，y 1）、B （，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ． 14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10 人数12269119则这些学生成绩的众数是 分．15．如图，在梯形△ABCD 中，E 、F 分别为腰AD 、BC 的中点，若=， =，则向量= （结果用表示）．16．若两圆的半径分别为1cm 和5cm ，圆心距为4cm ，则这两圆的位置关系是 ．17．设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）．18．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应．若以点A 、D 、E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=8．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式．21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；的值；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联的值．结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k225．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A 交DE的延长线于点F．（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；（2）设，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求的值．上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（﹣2）3的计算结果是（）A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．8【考点】有理数的乘方．【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．【解答】解：（﹣2）3=﹣8．故选C．【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C．D．【考点】同类二次根式．【分析】运用化简根式的方法化简每个选项．【解答】解：A、=2，故A选项不是；B、=2，故B选项是；C、=，故C选项不是；D、=3，故D选项不是．故选：B．【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，2x≤﹣4，系数化为1得，x≤﹣2．在数轴上表示为：．故选C．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（）A．12 B．0.3 C．0.4 D．40【考点】频数（率）分布直方图．【分析】由频数之和等于数据总数计算出学生总数，再由频率=计算最喜欢足球的频率．【解答】解：读图可知：共有（6+5+12+8+7+2）=40人，最喜欢足球的频数为12，是最喜欢篮球的频率是=0.3，故选：B．【点评】此题考查频数（率）分布直方图，熟知计算公式：频率=是解题的关键．5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线【考点】作图—基本作图．【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．故选：A．【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．6．下列命题中，正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．四角相等的四边形是正方形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【考点】正方形的判定．【专题】证明题．【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析．【解答】解：A，错误，四边相等的四边形也可能是菱形；B，错误，矩形的四角相等，但不是正方形；C，错误，对角线垂直的平行四边形是菱形；D，正确，符合正方形的判定；故选D ．【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当a=1时，|a ﹣3|的值为 2 ． 【考点】绝对值．【分析】直接将a 的值代入化简求出答案． 【解答】解：当a=1时，|a ﹣3|=|1﹣3|=2． 故答案为：2．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 8．方程的解为 3 ．【考点】无理方程．【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值． 【解答】解：两边平方得：2x+3=x 2 ∴x 2﹣2x ﹣3=0，解方程得：x 1=3，x 2=﹣1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解， 当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解． 故答案为3．【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x 的值代入原方程进行检验．9．已知关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＜1 ． 【考点】根的判别式． 【专题】推理填空题．【分析】关于x 的方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于m 的不等式，从而求得m 的范围． 【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=m ，∴△=b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m ＞0， 解得：m ＜1． 故答案为m ＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 x 2+y 2=5 （写出一个符合条件的即可）． 【考点】高次方程． 【专题】开放型．【分析】根据（﹣1）2+22=5列出方程即可． 【解答】解：∵（﹣1）2+22=5， ∴x 2+y 2=5， 故答案为：x 2+y 2=5．【点评】此题考查高次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值，根据解写方程应先列算式再列方程是关键． 11．函数y=的定义域是 x≠ ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x ﹣1≠0，解得x 的范围． 【解答】解：根据题意得：2x ﹣1≠0， 解得：x≠． 故答案为：x≠．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．12．若A （﹣，y 1）、B （，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+图象上的两点，则y 1 ＜ y 2（填“＞”或“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．【分析】直接计算自变量为﹣和所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：∵A（﹣，y 1）、B （，y 2）是二次函数y=﹣（x ﹣1）2+图象上的两点，∴y 1=﹣（﹣﹣1）2+=﹣+，y 2=﹣（﹣1）2+=﹣+，∴y 1＜y 2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是把A点和B点坐标代入抛物线解析式求出y1和y2．13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是．【考点】概率公式．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，∴从中随机摸出一个小球，共有7中等可能结果，其中是奇数的有4种结果，则其标号是奇数的概率为，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表：成绩（分） 4 5 6 7 8 9 10人数 1 2 2 6 9 11 9则这些学生成绩的众数是9 分．【考点】众数．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．依此即可求解．【解答】解：∵在这一组数据中9分是出现次数最多的，∴这些学生成绩的众数是9分．故答案为：9．【点评】考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．15．如图，在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若=， =，则向量= 7（结果用表示）．【考点】*平面向量；梯形中位线定理．【分析】由在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，可得=（+），继而求得答案．【解答】解：∵在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，∴=（+），∵=， =，∴=2﹣=10﹣3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意梯形的中位线平行于上下底，且等于上底与下底和的一半．16．若两圆的半径分别为1cm和5cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是内切．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】推理填空题．【分析】只需将两圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之间的数量关系，就可解决问题．【解答】解：∵4=5﹣1，即两圆的圆心距等于两圆的半径之差，∴两圆内切．故答案为内切．【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R，r（其中R≥r），圆心距为d，则d ＞R+r⇔两圆外离；d=R+r⇔两圆外切；R﹣r＜d＜R+r⇔两圆相交；d=R﹣r⇔两圆内切；0≤d＜R﹣r⇔两圆内含．17．设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是（结果保留根号）．【考点】正多边形和圆．【专题】分类讨论．【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．【解答】解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r=R，∴正六边形的“接近度”===．故答案为．【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．18．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是5或3或．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分三种情况讨论：①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到m的值，③当AD=AE=m时，△ADE 是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=AD=m，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：分三种情况讨论：①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，∴AM=NE，AM=AD=m，CN=BC=3，∴NE=3﹣m，∴m=3﹣m，∴m=3，③当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=m，∴NE=m﹣3，∵AN2+NE2=AE2，∴42+（m﹣3）2=m2，∴m=，综上所述：当m=5或3或时，△ADE是等腰三角形．故答案为：5或3或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=8．【考点】分式的化简求值．【分析】先计算除法：将分母因式分解同时将除法转化为乘法，约分后即变为同分母分式相加可得，再将x=8代入计算即可．【解答】解：原式=+=+=，当x=8时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式．【专题】计算题．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=2x2+4x﹣1；（2）y=2x2+4x﹣1=2（x2+2x+1﹣1）﹣1=2（x+1）2﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，BC=2，求边AB的长和cos∠CDB的值．【考点】解直角三角形．【分析】CE⊥AB于点E，分别解RT△BCE、RT△ACE求得BE、CE及AE的长，可得AB；根据中线结合BD的长可得DE，在RT△CDE中由勾股定理可得CD，继而计算得cos∠CDB．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，在RT△BCE中，∵BC=2，sinB=，∴CE=BC•sinB=2×=2，∴BE===2，在RT△ACE中，∵tanA=，∴AE===4，∴AB=AE+BE=4+2=6，∵CD是边AB上的中线，∴BD=AB=3，∴DE=BD﹣BE=1，在RT△CDE中，∵CD===，∴cos∠CDB===．故边AB的长为6，cos∠CDB=．【点评】本题主要考查了解直角三角形的能力，构建直角三角形是解题的前提，依据三角函数、勾股定理解直角三角形求出所需线段的长是解题的关键．22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？【考点】分式方程的应用．【分析】设该班级共有x名同学，根据实际每个学生做的个数﹣原计划制作的个数=5，可列出关于x的分式方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设该班级共有x名同学，依题意得﹣=5，解得：x=40，或x=﹣30（舍去）．检验：将x=40代入原方程，方程左边=20﹣15=5=右边，故x=40是原方程的解．答：这个班级共有40名同学．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）通过证明△ABF≌△CDE得到AB=CD，加上AB∥CD，则可判断四边形ABCD是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再证明△CHG∽△DAG，利用相似比得到=，然后利用比例的性质和等线段代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD=∠ADB，∵AF∥EC，∴∠AFB=∠CED，∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴AB=CD，而AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵CH∥AD，∴△CHG∽△DAG，∴=，∴=，即=，∴AD•DC=BH•DG．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；的值；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联的值．结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；（2）作DE∥OA，根据题意得出==，求得DE=，即D的横坐标为，代入AB的解析式求得纵坐标，；然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM．的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2【解答】解：（1）∵B（0，m）（m＞0），∴OB=m，∵tan∠BAO==2，∴OA=，∴A（，0），设直线AB的解析式为y=kx+m，代入A（，0）得，0=k+m，解得k=﹣2，∴直线AB的解析式为y=﹣2x+m；（2）如图1，∵AD=2DB，... ∴=，作DE∥OA，∴==，∴DE=OA==，∴D的横坐标为，代入y=﹣2x+m得，y=﹣+m=，∴D（，），=×=；∴k1（3）如图2，∵A（，0），B（0，m），∴E（，），AB==m，∴OE==m，BE=m，∵EM⊥x轴，∴F的横坐标为，∵△OEF∽△OBE，∴=，∴=，∴EF=m，∴FM=﹣m=m．∴F（m， m），∴k=×=．2...【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的性质以及勾股定理的应用，求得关键点的坐标是解题的关键．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A 交DE的延长线于点F．（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长；（2）设，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，作AM⊥DF于M，只要证明△AEM≌△BED得ME=DE，再根据中位线定理、垂径定理即可解决．（2）先证明四边形AMDC是矩形，再利用=即可解决问题．（3））如图2中，因为点O是重心，所以AM、CN是中线，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，利用（2）的结论先求出ED、EF，由△BDE∽△FDB得=可以求出a，再求出AB、CE即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作AM⊥DF于M．∵AM⊥EF，... ∴FM=ME，∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠C=∠AME=90°，∴AM∥BC，AC∥DF，∵BD=DC，∴BE=AE，∴ED=AC=1，在△AEM和△BED中，，∴△AEM≌△BED，∴ME=ED=1，∴EF=2ME=2．（2）如图1中，∵ =x，∴=1﹣x，∵ED∥AC，∴=，∴DE=2（1﹣x），∵AM∥CD，AC∥DM，∴四边形AMDC是平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形AMDC是矩形，∴AM=CD，∵=，∴==，∴=，∴y=4x．（3）如图2中，∵点O是重心，∴AM、CN是中线，∴BN=AN，BM=MC，...∵MN∥AC，MN=AC，∴=，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，由（2）可知x===，∴EF=4y=，∵===，∴ED=，DF=，∵DF∥AC，∴∠FEA=∠EAC，∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF，∴∠EAC=∠AFE，∵∠AFE+∠BFE=90°，∠EAC+∠ABC=90°，∴∠BFD=∠EBD，∵∠BDE=∠BDF，∴△BDE∽△FDB，∴=，∴=，∴a=（负根以及舍弃）．∴BC=6a=2，在RT△ABC中，AB===2，在RT△ECD中，EC===，∴==．...【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、重心的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，知道重心把中线线段分成1：2两部分，属于中考压轴题．...。
上海市虹口区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为人口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且»BC，»CD，»DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是（）A．甲车在立交桥上共行驶8s B．从F口出比从G口出多行驶40m C．甲车从F口出，乙车从G口出D．立交桥总长为150m2．关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a值为()A．1 B．﹣1 C．±1 D．03．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC 的是( )A．DEBC＝23B．DEBC＝25C．AEAC＝23D．AEAC＝254．下列四个实数中，比5小的是( )A．30-1B．27C．37-1D．17+1 5．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）A．53xx≥-⎧⎨>-⎩B．53xx>-⎧⎨≥-⎩C．53xx<⎧⎨<-⎩D．53xx<⎧⎨>-⎩6．已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，则该圆锥的母线长为（）A．100cm B．10cm C．10cm D．1010cm7．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°8．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）9．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是( )A．B．C．D．10．下列计算正确的是（）A．（8）2＝±8 B．38+32＝62 C．（﹣12）0＝0 D．（x﹣2y）﹣3＝63xy11．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A．12 B．20 C．24 D．3212．如图，左、右并排的两棵树AB和CD，小树的高AB=6m，大树的高CD=9m，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m，当他站在F点时恰好看到大树顶端C点．已知此时他与小树的距离BF=2m，则两棵树之间的距离BD是（）A ．1mB ．43m C ．3m D ．103m 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 14．已知式子13xx -+有意义，则x 的取值范围是_____ 15．如图，直线 a ∥b ，直线 c 分别于 a ，b 相交，∠1=50°，∠2=130°，则∠3 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°16．计算：（2018﹣π）0=_____．17．在平面直角坐标系中，点O 为原点，平行于x 轴的直线与抛物线L ：y=ax 1相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点C 在AB 的延长线上．（1）已知a=1，点B 的纵坐标为1．如图1，向右平移抛物线L 使该抛物线过点B ，与AB 的延长线交于点C ，AC 的长为__．（1）如图1，若BC=AB ，过O ，B ，C 三点的抛物线L 3，顶点为P ，开口向下，对应函数的二次项系数为a 3，3a a=__．18．方程21xx =-的解是__________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②，请跟进相关信息，解答下列问题：（1）本次抽测的男生人数为，图①中m的值为；（2）求本次抽测的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名九年级男生中有多少人体能达标．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G，求证：点G在BD上．21．（6分）如图，已知点A，B，C在半径为4的⊙O上，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D．（Ⅰ）若∠ABC=29°，求∠D的大小；（Ⅱ）若∠D=30°，∠BAO=15°，作CE⊥AB于点E，求：①BE的长；②四边形ABCD的面积．22．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（I）AC的长等于_____．（II）若AC边与网格线的交点为P，请找出两条过点P的直线来三等分△ABC的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的_____（不要求证明）．23．（8分）平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=﹣x2+2mx+3m2（m＞0）与x轴交于点A、B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，过点C作直线l的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．24．（10分）如图1，在△ABC中，点P为边AB所在直线上一点，连结CP，M为线段CP的中点，若满足∠ACP＝∠MBA，则称点P为△ABC的“好点”．(1)如图2，当∠ABC＝90°时，命题“线段AB上不存在“好点”为(填“真”或“假”)命题，并说明理由；(2)如图3，P是△ABC的BA延长线的一个“好点”，若PC＝4，PB＝5，求AP的值；(3)如图4，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点P是△ABC的“好点”，若AC＝4，AB＝5，求AP的值．25．（10分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：求被调查的学生人数；补全条形统计图；已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？26．（12分）如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC 交BC的延长线于F；（1）求证：DE=CF；（2）若∠B=60°，求EF的长．27．（12分）某学校为弘扬中国传统诗词文化，在九年级随机抽查了若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级；A、B、C、D，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次抽查测试的学生人数为 ，图①中的a 的值为 ； （2）求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】分析：结合2个图象分析即可.详解：A.根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上共行驶时间为：538s +=，故正确. B.3段弧的长度都是：()105320,m ⨯-=从F 口出比从G 口出多行驶40m ，正确. C.分析图2可知甲车从G 口出，乙车从F 口出，故错误. D.立交桥总长为：1033203150.m ⨯⨯+⨯=故正确. 故选C.点睛：考查图象问题，观察图象，读懂图象是解题的关键. 2．B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出：a ﹣1≠0，a 2﹣1＝0，求出a 的值即可． 【详解】解：把x ＝0代入方程得：a 2﹣1＝0， 解得：a ＝±1， ∵（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1＝0是关于x 的一元二次方程， ∴a ﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，不要漏掉对一元二次方程二次项系数不为0的考虑．3．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BDP,然后可对各选项进行判断.【详解】解：当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BDP,即23AEEC=或25AEAC=.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.4．A【解析】【分析】首先确定无理数的取值范围，然后再确定是实数的大小，进而可得答案．【详解】解：A、∵56，∴5﹣11＜6﹣1，1＜5，故此选项正确；B、∵=>∴5>，故此选项错误；C、∵6＜7，∴5﹣1＜6，故此选项错误；D、∵45，∴516<<，故此选项错误；故选A．【点睛】考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键.通常使用夹逼法.5．B【解析】【分析】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥-3，A、不等式组53xx≥-⎧⎨>-⎩的解集为x＞-3，故A错误；B、不等式组53xx>-⎧⎨≥-⎩的解集为x≥-3，故B正确；C、不等式组53xx<⎧⎨<-⎩的解集为x＜-3，故C错误；D、不等式组53xx<⎧⎨>-⎩的解集为-3＜x＜5，故D错误．故选B．【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键．6．C【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，利用扇形的面积公式可求得圆锥的母线长．【详解】设母线长为R，则圆锥的侧面积=236360Rπ=10π，∴R=10cm，故选C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握扇形面积是解题的关键.7．C【解析】试题分析：连接OB，根据PA、PB为切线可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形AOBP的内角和定理可得∠AOB=140°，∵OC=OB，则∠C=∠OBC，根据∠AOB为△OBC的外角可得：∠ACB=140°÷2=70°. 考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.8．D【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．9．D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：故选D．【点睛】本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.10．D【解析】【分析】各项中每项计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A．原式=8，错误；B．原式=2+42，错误；C．原式=1，错误；D．原式=x6y﹣3=63xy，正确．故选D．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．D【解析】【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.∴根据勾股定理，得：OC=5.∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，∴.故选D.12．B【解析】【分析】由∠AGE=∠CHE=90°，∠AEG=∠CEH可证明△AEG∽△CEH，根据相似三角形对应边成比例求出GH 的长即BD的长即可.【详解】由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，∵AG⊥EH，CH⊥EH，∴∠AGE=∠CHE=90°，∵∠AEG=∠CEH，∴△AEG∽△CEH，∴EGAG=EHCH=EG GHCH+，即24.5=27.5GH+，解得：GH=43，则BD=GH=43 m，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x1=1，x2=-.【解析】试题解析：3x(x-1)=2(x-1)3x(x-1)-2 (x-1) =0（3x-2）(x-1)=03x-2=0，x-1=0解得：x1=1，x2=-.考点:解一元二次方程---因式分解法.14．x≤1且x≠﹣1．【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+1≠0，解得：x≤1且x≠﹣1．故答案为x≤1且x≠﹣1．15．B【解析】【分析】根据平行线的性质即可解决问题【详解】∵a∥b，∴∠1+∠3=∠2，∵∠1=50°，∠2=130°，∴∠3=80°，故选B．【点睛】考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考基础题．16．1．【解析】【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）可得答案．【详解】原式=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了零次幂，关键是掌握计算公式．17．﹣1 3【解析】解：（1）当a=1时，抛物线L的解析式为：y=x1，当y=1时，1=x1，∴，∵B在第一象限，∴A，1），B，1），∴，∵向右平移抛物线L使该抛物线过点B，∴，∴；（1）如图1，设抛物线L3与x轴的交点为G，其对称轴与x轴交于Q，过B作BK⊥x轴于K，设OK=t，则AB=BC=1t，∴B（t，at1），根据抛物线的对称性得：OQ=1t，OG=1OQ=4t，∴O（0，0），G（4t，0），设抛物线L3的解析式为：y=a3（x﹣0）（x﹣4t），y=a3x（x﹣4t），∵该抛物线过点B （t ，at 1），∴at 1=a 3t （t ﹣4t ），∵t ≠0，∴a=﹣3a 3， ∴3a a =﹣13， 故答案为（1）42；（1）﹣13．点睛：本题考查二次函数的图象和性质.熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.18．2x ＝.【解析】【分析】根据解分式方程的步骤依次计算可得.【详解】解：去分母，得：21x x ＝（﹣）， 解得：2x ＝，当2x ＝时，110x ﹣＝，所以2x ＝是原分式方程的解，故答案为：2x ＝.【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）50、1；（2）平均数为5.16次，众数为5次，中位数为5次；（3）估计该校350名九年级男生中有2人体能达标．【解析】分析：（Ⅰ）根据4次的人数及其百分比可得总人数，用6次的人数除以总人数求得m 即可；（Ⅱ）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；（Ⅲ）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得．详解：（Ⅰ）本次抽测的男生人数为10÷20%=50，m%=1450×100%=1%，所以m=1．故答案为50、1；（Ⅱ）平均数为344105166147650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.16次，众数为5次，中位数为552+=5次；（Ⅲ）1614650++×350=2．答：估计该校350名九年级男生中有2人体能达标．点睛：本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．见解析【解析】【分析】先连接AC，根据菱形性质证明△EAC≌△FCA,然后结合中垂线的性质即可证明点G在BD上.【详解】证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴DA=DC,BD与AC互相垂直平分，∴∠EAC=∠FCA.∵AE=CF,AC=CA, ∴△EAC≌△FCA,∴∠ECA=∠FAC, ∴GA=GC,∴点G在AC的中垂线上，∴点G在BD上.【点睛】此题重点考察学生对菱形性质的理解，掌握菱形性质和三角形全等证明方法是解题的关键.21．（1）∠D=32°；（2）①BE＝6834【解析】【分析】（Ⅰ）连接OC, CD为切线，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=29°×2=58°，根据直角三角形的性质可得∠D的大小.（Ⅱ）①根据∠D=30°，得到∠DOC=60°，根据∠BAO=15°，可以得出∠AOB=150°，进而证明△OBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出BC==根据圆周角定理得出1302ABC AOC∠=∠=︒，根据含30o角的直角三角形的性质即可求出BE的长；②根据四边形ABCD的面积=S△OBC+S△OCD﹣S△OAB进行计算即可. 【详解】（Ⅰ）连接OC,∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠AOC=2∠ABC=29°×2=58°，∴∠D=90°﹣58°=32°；（Ⅱ）①连接OB,在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴∠DOC=60°，CD==∵∠BAO=15°，∴∠OBA=15°，∴∠AOB=150°，∴∠OBC=150°﹣60°=90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴BC==∵1302ABC AOC∠=∠=︒，在Rt△CBE中，12CE BC==∴BE==②作BH⊥OA于H，如图，∵∠BOH=180°﹣∠AOB=30°，∴122BH OB==，∴四边形ABCD的面积=S△OBC+S△OCD﹣S△OAB 111444424 222=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．【点睛】考查切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，含30o角的等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．22．37作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）利用平行线等分线段定理即可解决问题.【详解】（I）AC=2261=37，故答案为：37；（II）如图直线l1，直线l2即为所求；理由：∵a∥b∥c∥d，且a与b，b与c，c与d之间的距离相等，∴CP=PP′=P′A，∴S△BCP=S△ABP′=13S△ABC．故答案为作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′．【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（1）y=﹣x2+2x+3；D（1，4）；（2）证明见解析；（3）m=33；【解析】【分析】（1）①把C 点坐标代入y=﹣x 2+2mx+3m 2可求出m 的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到D 点坐标；②如图1，先解方程﹣x 2+2x+3=0得B （3，0），则可判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC=45°，再证明△CDE 为等腰直角三角形得到∠DCE=45°，从而得到∠DCE=∠BCE ；（2）抛物线的对称轴交x 轴于F 点，交直线BC 于G 点，如图2，把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=m ，顶点D 的坐标为（m ，4m 2），通过解方程﹣x 2+2mx+3m 2=0得B （3m ，0），同时确定C （0，3m 2），再利用相似比表示出GF=2m 2，则DG=2m 2，接着证 明∠DCG=∠DGC 得到DC=DG ，所以m 2+（4m 2﹣3m 2）2=4m 4，然后解方程可求出m ．【详解】（1）①把C （0，3）代入y=﹣x 2+2mx+3m 2得3m 2=3，解得m 1=1，m 2=﹣1（舍去），∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；∵()222314y x x x =-++=--+，∴顶点D 为（1，4）；②证明：如图1，当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则B （3，0），∵OC=OB ，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∵CE ⊥直线x=1，∴∠BCE=45°，∵DE=1，CE=1，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴∠DCE=45°，∴∠DCE=∠BCE ；（2）解：抛物线的对称轴交x 轴于F 点，交直线BC 于G 点，如图2，()2222234y x mx m x m m =++=--+﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=m ，顶点D 的坐标为（m ，4m 2），当y=0时，﹣x 2+2mx+3m 2=0，解得x 1=﹣m ，x 2=3m ，则B （3m ，0），当x=0时，y=﹣x 2+2mx+3m 2=3m 2，则C （0，3m 2），∵GF ∥OC ， ∴,GF BF OC BO =即22,33GF m m m= 解得GF=2m 2，∴DG=4m2﹣2m2=2m2，∵CB平分∠DCO，∴∠DCB=∠OCB，∵∠OCB=∠DGC，∴∠DCG=∠DGC，∴DC=DG，即m2+（4m2﹣3m2）2=4m4，∴21 3m，=而m＞0，∴3m=．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用等腰直角三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．24．（1）真；（2）85；（3）2AP=或8AP=或415AP=.【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知MP=MB，从而∠MPB=∠MBP，然后根据三角形外角的性质说明即可；（2）先证明△PAC∽△PMB，然后根据相似三角形的性质求解即可；（3）分三种情况求解：P为线段AB上的“好点”，P为线段AB延长线上的“好点”，P为线段BA延长线上的“好点”.【详解】(1)真.理由如下：如图，当∠ABC=90°时，M为PC中点，BM=PM，则∠MPB=∠MBP>∠ACP，所以在线段AB上不存在“好点”；（2）∵P为BA延长线上一个“好点”；∴∠ACP=∠MBP；∴△PAC∽△PMB；∴PM PAPB PC=即PM PC PA PB⋅=⋅；∵M为PC中点，∴MP=2；∴245PA⨯=；∴85 PA=.(3)第一种情况，P为线段AB上的“好点”，则∠ACP=∠MBA，找AP中点D，连结MD；∵M为CP中点；∴MD为△CPA中位线；∴MD=2，MD//CA；∴∠DMP=∠ACP=∠MBA；∴△DMP∽△DBM；∴DM2=DP·DB即4= DP·（5-DP）；解得DP=1，DP=4（不在AB边上，舍去；）∴AP=2第二种情况（1），P为线段AB延长线上的“好点”，则∠ACP=∠MBA，找AP中点D，此时，D在线段AB 上，如图，连结MD ；∵M 为CP 中点；∴MD 为△CPA 中位线；∴MD=2，MD//CA ；∴∠DMP=∠ACP=∠MBA ；∴△DMP ∽△DBM∴DM 2=DP·DB 即4= DP·（5-DA ）= DP·（5-DP ）；解得DP=1（不在AB 延长线上，舍去），DP=4∴AP=8；第二种情况（2），P 为线段AB 延长线上的“好点”，找AP 中点D ，此时，D 在AB 延长线上，如图，连结MD ；此时，∠MBA>∠MDB>∠DMP=∠ACP,则这种情况不存在，舍去；第三种情况，P 为线段BA 延长线上的“好点”，则∠ACP=∠MBA ，∴△PAC ∽△PMB ；∴90PMB PAC ∠=∠=︒∴BM 垂直平分PC 则41 ; ∴415AP =∴综上所述，2AP =或8AP =或415AP =； 【点睛】本题考查了信息迁移，三角形外角的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想，理解“好点”的定义并能进行分类讨论是解答本题的关键.25．（4）60；（4）作图见试题解析；（4）4．【解析】试题分析：（4）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（4）利用（4）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（4）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．试题解析：（4）被调查的学生人数为：44÷40%=60（人）；（4）喜欢艺体类的学生数为：60-44-44-46=8（人），如图所示：全校最喜爱文学类图书的学生约有：4400×2460=4（人）．考点：4．条形统计图；4．用样本估计总体；4．扇形统计图．26．()1证明见解析；()2EF23=【解析】【分析】()1根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；()2只要求出CD即可解决问题.【详解】()1证明：DQ、E分别是AB、AC的中点DE//CF∴，又EF//DCQ∴四边形CDEF为平行四边形DE CF∴=．()2AB AC4==Q，B60o∠=BC AB AC4∴===，又DQ为AB中点CD AB∴⊥，∴在Rt BCDV中，1BD AB22==，CD∴==Q四边形CDEF是平行四边形，EF CD∴==【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27．（1）50、2；（2）平均数是7.11；众数是1；中位数是1．【解析】【分析】（1）根据A等级人数及其百分比可得总人数，用C等级人数除以总人数可得a的值；（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算可得．【详解】（1）本次抽查测试的学生人数为14÷21%=50人，a%=1250×100%=2%，即a=2．故答案为50、2；（2）观察条形统计图，平均数为1492081274650⨯+⨯+⨯+⨯=7.11．∵在这组数据中，1出现了20次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1．∵将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1，∴882+=1，∴这组数据的中位数是1．【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．。
2020年上海市虹口区初三二模数学试卷
虹口区初三数学共4页第1页虹口区2019学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试初三数学试卷2020.05(满分150分，考试时间100分钟)考生注意：1. 本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤.一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上.11. 下列各数中，无理数是A. 2-1；B. V16；C.癸；D. 2〃. 72. 直线y = -x + l 不经过A.第一象限；B.第二象限；C.第三象限；D.第四象限.3. 如果关于x 的方程X 2-4X +,”=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为A. m <4 ；B. m < 4 ；C. w > 4 ；D. zn >4 . 4-如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是A. 8, 7.5；B. 8, 7；C. 7, 7.5；D. 7, 7.5.如图，在矩形ABCD 中，对角线NC 、相交于点。
，下列说法中，错误的是示意图 作图步骤W;。
(1) 分别以点8、C 为圆心，大于:BC 长为半径作圆弧，两孤分别交于点M 、N,联结交8C 于点D; (2) 分别以点/、C 为圆心，大于［sC 长为半径作圆弧，两弧分别交于点P 、Q,联结FQ 交SC 于点E ；(3) 联结AD. BE,相交于点。
B 'J)C 1 1 D.中心.6-已知在/\ABC 中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图(示意图与作图步骤如下表)，那 么交点。
是△Z8C 的A.外心；B.内切圆的圆心；C.重心； C. OA=OB ；D. OA=AB. AC=BD ； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第4题图ZA 第5题图二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置I7 .计算：= __________ A -------- •8.计算：』（1_应=__▲一-9.方程』2-x = l的解为-10.函数），=巫豆的定义域为•y11.如果抛物线）=传_1）了+9在y轴左侧的部分是上升的，那么上的取值范围是一-一.12.从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是——上一13.某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图），己知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率笑」为0.05, 0.1, 0.25,0.1,如果第四小组的频数是180人，那么该校初三共有——▲位学生•14.某公司市场营销部的个人月收入V （元）与其每月的销售量x （件）成一次函数关系，其图像如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为°件时，他的月收入是▲兀.15.如图，在梯形ABCD中，AD//BC, AB=BD=BC,如果ZC=50°，那么ZABD的度数是16.如图，在△N8C中，AD为边BC上的中线，DE//AB,已知位=%，反 =5,那么用a、片表示AD= A17.如图，在正方形ABCD中，如=10,点E在正方形内部，且AEX.BE. CQ XZBAE=29如果以E为圆心，尸为半径的。
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷-解析版
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各数中，无理数是()A. 2−1B. √16C.237D. 2π2.直线y=−x+1不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如果关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为()A. m≤4B. m<4C. m≥4D. m>44.如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是()A. 8，7.5B. 8，7C. 7，7.5D. 7，75.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AB6.已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图(示意图与作图步骤如表)，那么交点O是△ABC的()示意图作图步骤(1)分别以点B、C为圆心，大于12BC长为半径作圆弧，两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D；(2)分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径作圆弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E；(3)联结AD、BE，相交于点O外心内切圆的圆心重心中心二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.(a2)3=______．8.化简：√(1−√3)2=______．9.方程√2−x=1的解为______．10. 函数y =√x+1x的定义域为______． 11. 如果抛物线y =(k −1)x 2+9在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是______．12. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是______．13. 某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整理后画出频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是180人，那么该校初三共有______位学生．14. 某公司市场营销部的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(件)成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是______元．15. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB =BD =BC ，如果∠C =50°，那么∠ABD 的度数是______．16. 如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，DE//AB ，已知ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么用a ⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______．17. 如图，在正方形ABCD 中，AB =10，点E 在正方形内部，且AE ⊥BE ，cot∠BAE =2，如果以E 为圆心，r 为半径的⊙E 与以CD为直径的圆相交，那么r 的取值范围为______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点D 、E 分别是边BC 、AB上一点，DE//AC ，BD =5√2，把△BDE 绕着点B 旋转得到△BD′E′(点D 、E 分别与点D′，E′对应)，如果点A ，D′、E′在同一直线上，那么AE′的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 先化简，再求值：(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1，其中x =√5+2．20. 解不等式组：{6(23x −2)<x −3①1−x 2−2≤x②并把解集在数轴上表示出来．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx +3与x ，y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y =mx 交于点C(a,6)，已知△AOB 的面积为3，求直线与双曲线的表达式．22.如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB 为45°，OB长为35厘米，求AB的长(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)23.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD=AE，∠DAE=∠BAC，联结EC．(1)求证：CA平分∠DCE；(2)如果AB2=BD⋅BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)和点B(3,0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC(点B对应点C)，点C恰好落在抛物线上．(1)求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；(2)求点P的坐标；(3)点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC=∠ABC，求点Q的坐标．25.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，cosC=3，DC=5，BC=6，5以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．(1)求sin∠BDC的值；(2)联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；(3)如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D′F′经过点B与AB上的一点H(点D、F分别对应点D′，F′)，设BH=x，BQ=y，求y关于x的函数关系式(不需要写定义域)．答案和解析1.【答案】D，是分数，属于有理数；【解析】解：A.2−1=12B.√16=4是整数，属于有理数；C.23是分数，属于有理数；7D.2π是无理数；故选：D．根据有理数的分类和无理数的概念求解可得．本题主要考查无理数，解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如π是无理数，因为π是无理数．22.【答案】C【解析】解：∵直线y=−x+1中，k=−1<0，b=1>0，∴直线的图象经过第一，二，四象限．∴不经过第三象限，故选：C．由k=−1<0，b=1>0，即可判断出图象经过的象限．本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．3.【答案】B【解析】解：根据题意知△=(−4)2−4m>0，解得m<4，故选：B．由方程有两个不相等的实数根得出△=(−4)2−4m>0，解之可得．本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．4.【答案】A【解析】解：由折线图知，这10个数据分别为3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，=7.5，所以这组数据的众数为8，中位数为7+82故选：A．先根据折线图将这10个数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．本题主要考查众数和中位数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，故A、B、C正确，故错误的是D，故选：D．利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线，∴点D、E分别是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：C．根据尺规作图得到AD、BE是△ABC的中线，根据重心的概念判断即可．本题考查的是尺规作图、三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键．7.【答案】a6【解析】解：原式=a6．故答案为a6．直接根据幂的乘方法则运算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘法：(a m)n=a mn(m,n是正整数)；(ab)n=a n b n(n是正整数)．8.【答案】√3−1【解析】解：因为√3>1，所以√(1−√3)2=√3−1故答案为：√3−1．根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1−√3|，然后再去绝对值．本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．9.【答案】x=1【解析】解：方程两边平方，得：2−x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10.【答案】x ≥−1且x ≠0【解析】解：由题意得，x +1≥0，x ≠0，解得，x ≥−1且x ≠0，故答案为：x ≥−1且x ≠0．根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．11.【答案】k <1【解析】解：∵抛物线y =(k −1)x 2+9在y 轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴k −1<0，解得k <1．故答案为：k <1．利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则k −1<0，然后解不等式即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a >0时，抛物线开口向上；当a <0时，抛物线开口向下．12.【答案】14【解析】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率=1352=14．故答案为14．直接利用概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13.【答案】360【解析】解：∵图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.1， ∴第四小组的频率为1−(0.05+0.1+0.25+0.1)=0.5，又∵第四小组的频数是180人，∴该校初三学生人数为180÷0.5=360(位)，故答案为：360．先根据频率之和为1求出第四组的频率，再结合第四组的频数，利用总数=频数÷频率求解可得．本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是掌握频率之和为1、总数=频数÷频率． 14.【答案】3000【解析】解：设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，{100k +b =8000200k +b =13000， 解得，{k =50b =3000， 即y 与x 的函数关系式为y =50x +3000，当x =0时，y =3000，即当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是3000元，故答案为：3000．根据函数图象中的数据，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令x =0，求出相应的y 的值，即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．15.【答案】20°【解析】解：∵BD =BC ，∴∠BDC =∠C =50°，∴∠DBC =180°−2∠C =80°，∵AD//BC ，∴∠BDA =∠DBC =80°，∵AB =BD ，∴∠A =∠BDA =80°，∴∠ABD =180°−2∠A =20°．故答案为：20°．根据题意可得三角形BDC 和三角形ABD 是等腰三角形，再根据AD//BC ，可得∠BDA =∠DBC ，再根据三角形内角和即可求出∠ABD 的度数．本题考查了梯形，解决本题的关键是掌握梯形的性质．16.【答案】2a⃗ +12b ⃗ 【解析】解：∵AD 是中线，∴BD =DC ，∵DE//AB ，∴AE =EC ，∴AB//DE ，AB =2DE ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +12b ⃗ ， 故答案为：2a ⃗ +12b ⃗ ． 利用三角形法则可知：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 本题考查平面向量，三角形法则，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】3√5−5<r <3√5+5【解析】解：设AB 的中点为G ，连接EG ，延长BE 交CD 于H ，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB =90°，∴EG =12AB =5，∵在正方形ABCD 中，∠C =∠ABC =90°，∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBH=90°，∴∠CBH=∠BAE，∴cot∠BAE=cot∠CBH=BCCH=2，∴CH=12BC=12CD=5，∴点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE=k，AE=2k，∴AB=√5k=10，∴k=2√5，∴BE=2√5，∵∠C=90°，BC=10，CH=5，∴BH=√102−52=5√5，∴EH=BH−BE=3√5，∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，∴r的取值范围为3√5−5<r<3√5+5，故答案为：3√5−5<r<3√5+5．设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG=1 2AB=5，根据三角函数的定义得到CH=12BC=12CD=5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE=k，AE=2k，得到BE=2√5，根据勾股定理得到BH=√102−52= 5√5，求得EH=BH−BE=3√5，于是得到结论．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．18.【答案】35√24或5√24【解析】解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵DE//AC，∴△BDE∽△BCA，∴DEAC =BDBC，∴DE6=5√28，∴DE=15√24，∵∠AD′B=90°，∴AD′=√AB2−D′B2=√102−(5√2)2=5√2，∴AE′=AD′+D′E′=5√2+15√24=35√24，如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′=AD′−D′E′=5√2−15√24=5√24综上所述，满足条件的AE′的长为35√24或5√24．故答案为35√24或5√24．分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=(x−1x−1−1x−1)÷(x−2)2(x+1)(x−1)=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2，当x=√5+2时，原式=√5+2+1√5+2−2=√5√5=5+3√55．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：解不等式①，得：x<3，解不等式②，得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x<3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：当x=0时，y=kx+3=3，则B(0,3)，∵△AOB的面积为3，∴1×3×OA=3，解得OA=2，2∴A点坐标为(2,0)，，把A(2,0)代入y=kx+3得2k+3=0，解得k=−32x+3，∴一次函数解析式为y=−32a+3=6，解得a=−2，把C(a,6)代入得−32∴C点坐标为(−2,6)，得m=−2×6=−12，把C(−2,6)代入y=mx∴反比例函数解析式为y=−12．x【解析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A 点坐标为(2,0)，接着把A点坐标代入y=kx+3中求出k得到一次函数解析式为y= x+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数−32解析式．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO=∠ACB=90°，∵∠AOC=45°，∴∠AOC=∠COA=45°，∴AC=OC，设AC=x，则OC=x，BC=35−x，∵∠ABC=37°，tan37°≈0.75，∴x=0.75，35−x解得，x=15，∴35−x=20，∴AB=√152+202=25(厘米)，即AB 的长为25厘米．【解析】作AC ⊥OB 于点C ，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC 和BC 的长，再根据勾股定理即可得到AB 的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 23.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAC −∠DAC =∠DAE −∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B =∠ACE ，∴∠ACB =∠ACE ，∴CA 平分∠DCE ；(2)证明：∵AB 2=BD ⋅BC ，∴AB BC =BD AB ，又∠B =∠B ，∴△ABD∽△CBA ，∴∠BAD =∠ACB ，∵△ABD≌△ACE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴∠CAE =∠ACB ，∴AE//BD ，∵AB =AC ，AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，∴∠ACB =∠ADE ，∴∠BAD =∠ADE ，∴AB//DE ，∵AE//BD ，AB//DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B =∠ACB ，证明△ABD≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到∠B =∠ACE ，根据角平分线的定义证明结论；(2)根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA ，得到∠BAD =∠ACB ，分别证明AE//BD ，AB//DE ，根据平行四边形的判定定理证明．本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A 、B 坐标代入抛物线表达式得：{a −b +3=09a +3b +3=0，解得：{a =−1b =2， 故抛物线的表达式为：y =−x 2+2x +3①；函数的对称轴为：x =1；(2)设点C(m,n)，则n =−m 2+2m +3，点P(1,s)，如图1，设抛物线对称轴交x 轴于点N ，过点C 作CM ⊥PN 交抛物线对称轴于点M ，∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPC=90°，∴∠MPC=∠PBN，∵∠PMC=∠BNP=90°，PB=PC，∴△PMC≌△BNP(AAS)，∴PM=BN，MC=PN，∴{m−1=sn−s=2n=−m2+2m+3，解得：{m=2n=3s=1，故点C(2,3)，点P(1,1)；故点P的坐标为(1,1)；(3)设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，由(2)知，点C(2,3)，而点A(−1,0)，过点C作CK⊥x轴于点K，则CK=AK=3，故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO=∠GAO=45°，∴tan∠ABC=CKBK=33−2=3∵∠QAC=∠ABC，∴tan∠QAC=3；在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH=3x，∵∠AGO=45°，则GO=AO=1，∴MG=MH=3x，∵tan∠QAC=3，则AM=x，AG=AM+GM=x+3x=√(−1)2+12=√2，解得：x=√24，在△AHM中，AH=√AM2+MH2=√10x=√52，在△AOH 中，OH =√AH 2−OA 2=12，故点H(0,−12)，由点A 、H 的坐标得，直线AH 的表达式为：y =−12x −12②，联立①②并解得：x =−1(舍去)或72，故点Q 的坐标为：(72,−94).【解析】(1)将点A 、B 坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)证明△PMC≌△BNP(AAS)，则PM =BN ，MC =PN ，即可求解；(3)设MH =3x ，用x 表示AM 、GM ，利用AG =AM +GM =√2，求出x 的值；在△AOH中，OH =√AH 2−OA 2，求得点H 的坐标，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、解直角三角形等，本题的难点是用解三角形的方法求点H 的坐标． 25.【答案】解：(1)如图1中，连接BE ，过点D 作DK ⊥BC 于K ，过点B 作BJ ⊥CD 于J ．在Rt △CDK 中，∵∠DKC =90°，CD =5，cos∠C =CK CD =35，∴CK =3，∵BC =6，∴BK =CK =3，∵AD//BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°∵DK ⊥BC ，∴∠A =∠ABC =∠DKB =90°，∴四边形ABKD 是矩形，∴AD =BK =3，∴DB =DC =5，DK =√CD 2−CK 2=√52−32=4，∵S △DCB =12⋅BC ⋅DK =12⋅CD ⋅BJ ，∴BJ =245，∴DJ =√BD 2−BJ 2=√52−(245)2=75，∵BD =BE ，BJ ⊥DE ，∴DJ =JE =75，∴EC =CD −DJ =JE =5−145=115，∴sin∠BDC=BJBD =2455=2425．(2)如图2中，∵AD//BC，∴∠ADG=∠DBC，∵DB=DC，∴∠DBC=∠C，∴∠ADG=∠C，∵△ADG相似△BEC，∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，∴ADBC =DGEC，∴36=DG115，∴DG=1110，当△ADG∽△ECB时，AD EC =DGBC，3 11 5=DG6，∴DG=9011．(3)如图3中，过点B作BJ⊥PQ交DF⏜于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意：QB=QJ=y，BJ=BD=5，∵JB=JH，JG⊥BH，∴BG=GH=12x，∴JG=√BJ2−BG2=√25−14x2，∵∠GBQ=∠BGK=∠QKG=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK=y，QK=GB=12x，在Rt△QKJ中，∵JQ2=QK2+KJ2，∴y2=14x2+(√25−14x2−y)2，∴y=25√100−x2100−x2．【解析】(1)如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J.想办法求出BJ，BD即可解决问题．(2)分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．(3)如图3中，过点B作BJ⊥PQ交DF⏜于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K.由题意BQ=QJ=y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
上海市虹口区中考二模数学试题及答案
虹口区数学学科中考练习题（满分150分，考试时间100分钟）.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1. 在下列各数中，属于无理数的是A . 53； B . π； C .4； D .3272. 在下列一元二次方程中，没有实数根的是A . 20x x -=； B . 210x -=； C . 2230x x --=； D . 2230x x -+=. 3. 在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+经过A ．第一、二、三象限 ；B ．第一、二、四象限；C ．第一、三、四象限 ；D ．第二、三、四象限． 4. 某小区20户家庭某月的用电量如下表所示：用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 672则这20 A ．180，160；B ．160，180；C ．160，160；D ．180，180.5．已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8 ，那么另一个圆的半径长是 A ．3； B ．13； C ．3或13； D ．以上都不对. 6. 在下列命题中，属于假命题．．．的是 A ．对角线相等的梯形是等腰梯形；B ．两腰相等的梯形是等腰梯形；C ．底角相等的梯形是等腰梯形；D ．等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：22-= ▲ .8．不等式组240,50.x x +>⎧⎨-<⎩的解集是 ▲ .9．用换元法解分式方程13201x x x x +-+=+时，如果设1x y x+=，那么原方程化为关于y 的整式方程可以是 ▲ .1023x x +=的解是 ▲ ． 11． 对于双曲线1k y x-=，若在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ▲ ．12．将抛物线23y x =向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ▲ ．13. 在一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出1个球，它恰好是白球的概率是23，则该盒中黄球的个数为 ▲ ．14．为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中的25名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在20～25的频率是 ▲ ．15．若正六边形的边长是1，则它的半径是 ▲ ．16．在□ABCD 中，已知AC a =，DB b =，则用向量a 、b 表示向量AB 为 ▲ ． 17．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′ ，即如图①，∠BAB′ ＝θ，AB B C AC n AB BC AC ''''===，我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，∠DFE =90°，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE ′F ′，如果点E 、F 、F ′恰好在同一直线上，那么n = ▲ ．18．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°， ∠C =30°，点F 是CD 边上一点，将纸片沿BF 折叠，点C 落在E 点，使直线BE 经过点D ，若BF=CF=8，则AD 的 长为 ▲ .三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：22244(4)2x x x x x-+÷-+，其中5x =20．（本题满分10分）① AB CD 第18题图 3 第14题图 5 12 人数/人 次数/次 （每组含最小值，不含最大值）15 20 25 30 35 A B C B′ 第17题图 C ′ DE E ′F ′ F 图① 图②解方程组： 2223,2 1.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，3sin 5ABC ∠=，圆O 经过点B 、C ，圆心O 在△ABC 的内部，且到点A 的距离为2，求圆O 的半径．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某超市进了一批成本为6元/个的文具．调查后发现：这种文具每周的销售量y （个）与销售价x （元/个） 89.51114销售量y （个）220 205 190 160（1）求与之间的函数解析式（不必写出定义域）；（2）已知该超市这种文具每周的销售量不少于60个，若该超市某周销售这种文具（不考虑其它因素）的利润为800元，求该周每个文具的销售价．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．A B C O 第21题图 A DB E F O CM 第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：直线24y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为x 轴上一点，AC =1， 且OC ＜OA ．抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠经过点A 、B 、C ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点D 的坐标为（-3，0），点P 为线段AB 上一点，当锐角∠PDO 的正切值为12时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E 在x 轴下方，当△ADE 的面积等于四边形APCE 的面积时，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上一动点，点Q 为边AC 上一动点，且∠PDQ =90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP=2，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．ABEC D ABCED第25题图（备用图）-1 O 1 2 -1 12-3 -2 yx -3 3-2 3 4 -4 -4 4虹口区中考数学模拟练习卷答案要点与评分标准.4说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．14； 8． 25x -<<； 9．2230y y +-=； 10．3x =； 11．k ＜1； 12．23(2)y x =+； 13．4； 14．0.2；15．1； 16．1122a b +； 17．2； 18．3三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2(2)(2)44(2)x x x x x x x+--+÷+………………………………………………（3分）2(2)(2)(2)(2)x x xx x x +-=⋅+- …………………………………………………（2分）12x =- ………………………………………………………………………（2分）当5x ==52…………………………………………………（3分）20．解：由②得：2()1x y -=，∴ 1x y -=或1x y -=- ……………………………………………………（2分）把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，23,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ …………………………………………………（4分）解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．……………………………………………（4分）注：用代入消元法解，请参照给分.21．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D …………………………………………………（1分）∵3sin 5ABC ∠=∴4cos 5ABC ∠=………………………………………………（1分） 在Rt △ABD 中，4cos 1085BD AB ABC =⋅∠=⨯=………………………………（1分）3sin 1065AD AB ABC =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）∵AB=AC=10 AD ⊥BC ∴BC=2BD=16…………………………………………（1分） ∵AD 垂直平分BC ∴圆心O 在直线AD 上………………………………………（2分） ∴OD=6-2=4 ……………………………………………………………………………（1分）联结BO ，在Rt △OBD 中，2245BO OD BD =+=…………………………（2分）∴圆O 的半径为4522．解：（1）设所求函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）…………………………………（1分）由题意得：220819011k b k b =+⎧⎨=+⎩解之得：10300k b =-⎧⎨=⎩………………………（2分）∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝-10x ＋300． ………………………………（1分）（2）由题意得(x －6)(-10x ＋300)=800 ……………………………………………（2分）整理得，x 2－36x ＋260=01210,26x x ==…………………………………………………………………（2分）当x =10时，y =200当x =26时，y =40<60 ∴x =26舍去 ……………………………………………（1分）答：该周每个文具销售价为10元． ………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分）∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分）（2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分）∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分）∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分）24．解:（1）易得：A （2，0），B （0，4）∵AC =1且OC ＜OA ∴点C 在线段OA 上∴C （1，0） …………………………………………………………………（1分）∵A （2，0），B （0，4），C （1，0）在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上，∴42040a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩ 解得： 264a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求抛物线的表达式为2264y x x =-+………………………………（3分）（2）∵锐角∠PDO 的正切值为12， 1tan 2ABO ∠= （ABO ∠为锐角）∴ABO PDA ∠=∠，∵点P 为线段AB 上一点，∴BAO DAP ∠=∠∴△ABO ∽△ADP ……………………………………………………………（1分）∴AP ADAO =， 又AO =2 ， AB =5，AD =5 ∴5AP =1分）过点P 作PF AO ⊥于点F ，可证PF ∥BO ，∴AP PFAB BO= 可得：P F=2，即点P 的纵坐标是2.∴可得P （1，2）………………………………………………………………（2分） （3）设点E 的纵坐标为m （m ＜0）， ∴1522ADE S AD m m =⋅=-△∵P （1，2），∴11()(2)22p APCE S AC y m m =⋅+=-四 由ADEAPCE S S =△四得：15(2)22m m -=- ……………………………………（2分）解得：12m =-∴点E 31(,)22-…………………………………………………………………（2分）25．解：（1）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分）点D 为BC 的中点 ∴CD =5 可证△ABC ∽△DEC∴DE EC CD AB BC AC ==， 即56108DE EC ==………………………………（1分）∴154DE =，254CE =……………………………………………………（2分）（2）①当点P 在AB 边上时，在Rt △ABC 中，∠B +∠C =90°，在Rt △EDC 中，∠DEC +∠C =90°， ∴∠DEC=∠B ∵DE ⊥BC ，∠PDQ =90° ∴∠PDQ =∠BDE =90° ∴∠BDP =∠EDQ∴△BPD ∽△EQD ……………………………………………………………（1分）∴EQ DE BP BD =， 即15425EQ =， ∴32EQ = ………………………………………………………………………（2分）∴CQ=EC -EQ 194=……………………………………………………………（1分）②当点P 在AB 的延长线上时，同理可得：32EQ =， ∴CQ=EC +EQ 314=…………………………………………………………（1分）（3）∵线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，∴点P 在边AB 上∵△BPD ∽△EQD ∴43BP BD PD EQ ED QD === 若设BP =x ，则34EQ x =，25344CQ x =- …………………………………（1分）可得4cot cot3QPD C∠==∴∠QPD=∠C又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF∽△CDQ∵△PDF为等腰三角形∴△CDQ为等腰三角形………………………（1分）①当CQ=CD时，可得：253544x-=解得：53x=………………………（1分）②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，∴1522CM CD==，5525248CQ=⨯=∴25325448x-=，解得256x=……………………………………………（1分）③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，∴4545CN=⨯=，28CQ CN==∴253844x-=，解得73x=-(不合题意，舍去)…………………………（1分）∴综上所述，53BP=或256.。
【2020精品中考数学提分卷】上海虹口区初三年级二模数学学科试卷+答案
虹口区2020年度第二学期期中教学质量监控测试初三数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．下列实数中，有理数是A ．3；B ．39；C ．π；D ．0．2．如果关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．1k <；B ．10k k <≠且；C ．1k >；D ．10k k >≠且.3．如果将抛物线2y x =向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A ．21y x =+；B ．21y x =-；C ．2(1)y x =+；D ．2(1)y x =-.4．如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为A ．0.4；B ．0.36；C ．0.3；D ．0.24.5．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB （OA <OB ）边OA 、OB 上分别截取OD 、OE ，使得OD=OE ； （2）分别以点D 、E 为圆心，以大于12DE 为半径作弧，两弧交于△AOB 内的一点C ； （3）作射线OC 交AB 边于点P ． 那么小明所求作的线段OP 是△AOB 的A ．一条中线；B ．一条高；C ．一条角平分线；D ．不确定．6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，联结BE ，如果AB =6，BC =4，那么分别以AD 、BE 为直径的⊙M 与⊙N 的位置关系是 A ．外离；B ．外切；C ．相交；D ．内切．人数出行方式乘车 步行 骑车12 20第4题图 AOBDEC P第5题图A CDB 第6题图E二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：26a a÷= ▲ .8. 某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 ▲ 毫米.9．不等式组1,2 4.x x ->⎧⎨<⎩的解集是 ▲ .10．方程2x x -+=的解为 ▲ ． 11．已知反比例函数3ay x-=，如果当0x >时，y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为 ▲ ．12．请写出一个图像的对称轴为y 轴，开口向下，且经过点（1，-2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ▲ ． 13. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ▲ ．14. 在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是 ▲ 株．15．如果正六边形的两条平行边间的距离是23,那么这个正六边形的边长为 ▲ ． 16．如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AC a =，BD b =，那么用向量a 、b 表示向量AB 是 ▲ ． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB=10，sin A =35，CD 为AB 边上的中线，以点B 为圆心，r 为半径作⊙B ．如果⊙B 与中线CD 有且只有一个公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围为 ▲ ． 18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC=8，tan B 32=，点D 是AB 的中点，如果把△BCD 沿直 线CD 翻折，使得点B 落在同一平面内的B ′处，联结A B ′，那么A B ′的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）植树株数（株） 5 6 7 小组个数343ACD第17题图BABC第18题图DACO第16题图BD①② x （小y （千米）O6004 第22题图AB19．（本题满分10分）先化简，再求值：2344(1)11a a a a a -+--÷++，其中3a =．20．（本题满分10分）解方程组：22444,2 6.x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，4sin 5B =，点F 在BC 上，AB=AF=5，过点F 作EF ⊥CB 交AC 于点E ，且:3:5AE EC =，求BF 的长与sin C 的值．22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达． （1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y （千米）与时间x （小时） 的不完整函数图像，那么点A 的坐标为 ▲ ， 点B 的坐标为 ▲ ，4小时后的y 与x 的函数关 系式为 ▲ （不要求写定义域）．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）C第21题图BAEEG第23题图C ABDF如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF AG BC BE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题如图，在平面直角坐标系xOy 12x -于x 轴、y 轴上的B 、C （1）求抛物线的解析式以及点D （2）求tan ∠BCD ；（3）点P 在直线BC 上，若∠25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）第24题xB y O CD EFE第25题CABDMG 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，DC =5，以CD 为半径的⊙C 与以AB 为半径的⊙B 相交于点E 、F ，且点E 在BD 上，联结EF 交BC 于点G ． （1）设BC 与⊙C 相交于点M ，当BM=AD 时，求⊙B 的半径；（2）设BC= x ，EF=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC =10时，点P 为平面内一点，若⊙P 与⊙C 相交于点D 、E ，且以A 、E 、P 、D 为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P 的面积．（结果保留 ）虹口区2020年度第二学期期中教学质量监控测试初三数学评分参考建议一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 二、填空题本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．4a8．56.810-⨯9．1x <- 10．1x =11．3a > 12． 21y x =-- 等（答案不唯一） 13．12 14．615．216．1122a b- 17．56r <≤或245r =18三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=22131144a a a a a --+⋅+-+………………………………………………………（3分）2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=⋅+- ………………………………………………………（3分） 22a a +=-…………………………………………………………………………… （2分）当a =, 原式7=--…………………………………………… （2分）20．解：由①得，22x y -=或22x y -=-……………………………………………（2分）将它们与方程②分别组成方程组，得：,262;2x x y y ⎧⎨+=-=⎩ 22,2 6.y y x x ⎧⎨+=-=-⎩……………………………………………………（4分）分别解这两个方程组， 得原方程组的解为114,1;x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=⎩． …………………………………………（4分）（代入消元法参照给分）21．解：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为点D∵4sin 5B =∴3cos 5B =……………………………………………………（1分） 在Rt△ABD 中，3cos 535BD AB B =⋅=⨯=…………………………………（2分） ∵AB=AFAD ⊥CB ∴BF =2BD =6 ………………………………………（1分）∵EF ⊥CB AD ⊥CB ∴EF ∥AD ∴DF AECF EC= …………………（2分） ∵:3:5AE EC = DF=BD=3 ∴CF=5 ∴CD=8………………………（1分） 在Rt△ABD 中，4sin 545AD AB B =⋅=⨯=……………………………………（1分）在Rt△ACD 中，AC =……………………………………（1分）∴sin AD C AC ==………………………………………………………………（1分）22．解：（1）设甲车原计划的速度为x 千米/小时由题意得600600210x x -=-…………………………………………………………（3分）解得150x =- 260x =经检验，150x =-260x =都是原方程的解，但150x =-不符合题意，舍去∴60x = ……………………………………………………………………………（2分）答：甲车原计划的速度为60千米/小时．………………………………………（1分） （2）（4，240） （12，600） …………………………………………………（1分，1分）4560y x =+…………………………………………………………………………（2分）23．（1）证明：联结BD …………………………………………………………………（1分）∵EB =ED ∴∠EBD =∠EDB …………………………………………………（2分） ∵∠ABE =∠ADE ∴∠ABD =∠ADB …………………………………………（1分） ∴AB=AD …………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是矩形 ∴四边形ABCD 是正方形………………………（1分） （2）证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴EF ECDE EA =………………………………………………（2分）同理DC ECAG EA =……………………………………………………………（2分）∵DE=BE∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC=DC …………………………………………（1分） ∴EF BC BE AG =∴EF AG BC BE ⋅=⋅ ……………………………………………………………（1分）24．解：（1）由题意得B （6，0） C （0，3） ………………………………………（1分）把B （6，0） C （0，3）代入22y ax x c =-+得03612,3.a c c =-+⎧⎨=⎩ 解得1,43.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴21234y x x =-+……………………………………………………………（2分） ∴D （4，-1） ………………………………………………………………（1分）（2）可得点E （3,0） ………………………………………………………………（1分）OE=OC=3，∠OEC =45°过点B 作BF ⊥CD ，垂足为点F 在Rt △OEC中，cos OEEC CEO ==∠在Rt △BEF中，sin BF BE BEF =∠=……………………………………（1分）同理，EF =CF =（1分）在Rt △CBF 中，1tan 3BF BCD CF ∠==…………………………………………（1分）（3）设点P （m ，132m -+）∵∠PEB=∠BCD ∴tan ∠PEB= tan ∠BCD 13= ①点P 在x 轴上方∴131233m m -+=- 解得245m = ………………………………………………（1分） ∴点P 243(,)55 ………………………………………………………………………（1分）②点P 在x 轴下方∴131233m m -=- 解得12m = …………………………………………………（1分） ∴点P (12,3)- ………………………………………………………………………（1分）综上所述，点P 243(,)55或(12,3)-25．（1）联结DM在Rt △DCM中，DM …………………………………（2分）∵AD ∥BC BM =AD ∴四边形ABMD 为平行四边形……………………（1分）∴AB= DM =即⊙B 的半径为1分） （2）过点C 作CH ⊥BD ，垂足为点H在Rt △BCD 中，BD ==∴sin DBC ∠=可得∠DCH =∠DBC ∴sin DCH ∠在Rt △DCH 中，sin DH DC DCH =⋅∠=1分）∵CH ⊥BD ∴2DE DH ==1分）∴2BE =………………………………………（1分）∵⊙C 与⊙B 相交于点E 、F ∴EF=2EG BC ⊥EF在Rt △EBG 中，225125sin 25x EG BE DBC x -=⋅∠=+ …………………………（1分）∴221025025x y x -=+（x >…………………………………………（1分，1分）（3）254π或(29π-或π ………………………………………（做对一个得2分，其余1分一个）。