概率论与数理统计课后习题答案 第四章
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。
《概率论与数理统计》第04章习题解答
第四章 正态分布１、解：(0,1)ZN（1）{ 1.24}(1.24)0.8925P Z ∴≤=Φ={1.24 2.37}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P Z <≤=Φ-Φ==-= {2.37 1.24}( 1.24)( 2.37)(1.24)(2.37)0.89250.99110.0986P Z -<≤-=Φ--Φ-=-Φ+Φ=-+=（2）{}0.9147()0.9147 1.37{}0.05261()0.0526()0.9474 1.62P Z a a a P Z b b b b ≤=∴Φ==≥=-Φ=Φ==，，得，，，得2、解：(3,16)XN8343{48}()()(1.25)(0.25)0.89440.59870.295744P X --∴<≤=Φ-Φ=Φ-Φ=-= 5303{05}()()(0.5)(0.75)44(0.5)1(0.75)0.691510.77340.4649P X --<≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 31(25,36){25}0.95442(3,4){}0.95X N C P X C X N C P X C -≤=>≥、（）设，试确定，使；（）设，试确定，使解：（1）(25,36){25}0.9544X N P X C -≤=，{2525}0.9544P C X C ∴-≤≤+=25252525()()0.954466()()2()10.9544666()0.9772,21266C C C C CC CC +---Φ-Φ=-Φ-Φ=Φ-=Φ=∴==即， （2）(3,4){}0.95XN P X C >≥，331()0.95()0.952231.6450.292C CCC ---Φ≥Φ≥-≥≤-即，，4、解：（1）2(3315,575)XN4390.2533152584.753315{2584.754390.25}()()575575(1.87)( 1.27)(1.87)1(1.27)0.969310.89800.8673P X --∴≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= （2）27193315{2719}()( 1.04)1(1.04)10.85080.1492575P X -≤=Φ=Φ-=-Φ=-=(25,0.1492)YB ∴4440{4}(0.1492)(10.1492)0.6664ii i i P Y C -=∴≤=-=∑5、解：(6.4,2.3)X N{}{}1()81(1.055)10.85540.14462.3(85}0.17615 6.451(0.923)(0.923)0.82121()2.3P X P X X P X -Φ>-Φ-∴>>======->-Φ-Φ-Φ6、解：（1）2(11.9,(0.2))XN12.311.911.711.9{11.712.3}()()(2)(1)(2)1(1)0.20.20.977210.84130.8185P X --∴<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+= 设A ={两只电阻器的电阻值都在欧和欧之间} 则2()(0.8185)0.6699P A ==（2）设X , Y 分别是两只电阻器的电阻值，则22(11.9,(0.2))(11.9,(0.2))X N Y N ，，且X , Y 相互独立[]22212.411.9{(12.4)(12.4)}1{12.4}{12.4)}1()0.21(2.5)1(0.9938)0.0124P X Y P X P Y -⎡⎤∴>>=-≤⋅≤=-Φ⎢⎥⎣⎦=-Φ=-=7、一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从均值160μ=，均方差为的正态分布，若要求{120200}0.80P X <<≥，允许最大为多少解：因为2(160,)XN σ由2001601201600.80{120200}()()P X σσ--≤<<=Φ-Φ从而 40402()10.80()0.9σσΦ-≥Φ≥，即，查表得401.282σ≥，故σ≤8、解：（1）2(90,(0.5))XN8990{89}()(2)1(2)10.97720.02280.5P X -∴<=Φ=Φ-=-Φ=-= （2）设2(,(0.5))X N d由808080{80}0.991()0.99()0.99 2.330.50.50.5d d d P X ---≥≥∴-Φ≥Φ≥≥，，，即 从而d ≥ 9、解：22~(150,3),~(100,4)X Y X N Y N 与相互独立，且则（1）2221~(150(100,3)4)(250,5)W X Y N N =+++=()222222~2150100,(2)314(200,52)W X Y N N =+-⨯+-⨯+⨯=-22325~(125,)(125,(2.5))22X Y W N N +== （2）242.6250{242.6}()( 1.48)1(1.48)10.93060.06945P X Y -+<=Φ=Φ-=-Φ=-= 12551255125522212551251255125()1()(2)1(2)2.5 2.522(2)220.97720.0456X Y X Y X Y P P P ⎧+⎫++⎧⎫⎧⎫->=<-+>+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭--+-=Φ+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ=-⨯=10、解：（1）22~(10,(0.2)),~(10.5,(0.2))X N Y N X Y ，且与相互独立22~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.282))X Y N N ∴--⨯=-0(0.5){0}()(1.77)0.96160.282P X Y ---<=Φ=Φ=（2）22~(10,(0.2)),~(10.5,)X N Y N X Y σ设，且与相互独立222~(0.5,2(0.2))(0.5,(0.2))X Y N N σ∴--⨯=-+0.90{0}P X Y ≤-<=Φ=Φ由1.28≥，故σ≤11、设某地区女子的身高（以m 计）2(1.63,(0.025))WN ，男子身高（以m 计）2(1.73,(0.05))MN ，设各人身高相互独立。
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.习题4.11. 设随机变量X 的概率密度为(1f x 2x,0 x 1,0,其他; (2 f xe | |, ∞ ∞求E(X 解: (1E Xxf x dx ∞∞ x·2xdx 2·10(2 E X xf x dx x ·e | | ∞∞ ∞∞0 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 F x 0,x 1, a b ·arcsinx, 1 x 1,1,x 1.试确定常数a,b,并求E(X. 解:(1 f x F x√, 1 x 10,其他f x dxb√1 xdx∞∞b ·arcsinx 11 1, 即b 1π⼜因当 1 x 1时 F X f x dx 1π·1√1 xdx 1π·arcsinx x 1X1π·arcsinx 1, 即a 1(2 E X xf x dxπ·3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f x 1σe σ,x 0,0,x 0. 求E(X. 解: E Xxf x dx ∞∞σ x ·eσ dx∞14. 设X 1, X 2,….. X n 独⽴同分布,均值为µ,且设Y∑X ,求E(Y.解: E Y E∑XE ∑X·n µ µ5. 设(X,Y的概率密度为f x,y e ,0 x 1,y 0,0,其他.求E(X+Y.解:E X Y x y f x,y dxdy ∞∞ ∞∞ x y e dxdy∞·e y ·e dy6. 设随机变量X 1, X 2相互独⽴,且X 1, X 2的概率密度分别为f x 2e ,x 0,0,x 0,f x3e0,x 0,求: 1 E 2X 3X ; 2 E 2X 3X ; 3 E X X . 解: 1 E 2X 3X 2E X 3E X 2322 E 2X 3X 2E X 3E X1 3x ∞3e dx1 3x ∞d e1 3 x·e∞0 e ∞dx1 3 0 e ·2x ∞dx1 3 23e ·3x ∞dx1 32 11 3 E X X E X E X7.求E(X.解:E X ∑∑x p 0 0.1 0 0.3 1 0.2 1 0.1 2 0.1 2 0.2 0.9 8. 设随机变量X 的概率密度为f x cx α,0 x 1,0,其他.且E(X=0.75,求常数c 和α.解: E X xf x dx x ·cx αdx 0.75∞ ∞习题4.21. 设离散型随机变量X 的分布律为X ‐1 0 0.51 2P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求E X ,E X ,D X .解: E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 0.45E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 1.025D X 1 0.45 0.1 0 0.45 0.5 0.5 0.45 0.1 1 0.45 0.12 0.45 0.2 0.8225 2. 盒中有5个球,其中有3个⽩球,2个⿊球,从中任取两个球,求⽩球数X 的期望和⽅差. 解: X 的可能取值为0,1,2 P X 0 C C 0.1P X 1 C·CC0.6 P X 2CC0.3 E X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2D X 0 1.2 0.1 1 1.2 0.6 2 1.2 0.3 0.144 0.024 0.192 0.36 3. 设随机变量X,Y 相互独⽴,他们的概率密度分别为 f X x 2e,x 0,0,x 0, f Y y4,0,0,其他,求D(X+Y.解: D X Y D X D Y4. 设随机变量X 的概率密度为f X xe | |, ∞ ∞,求D(X 解: E Xe | |dxE Xx2e | | dx 2 x2ex e 2D X =E X E X 25. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=1,D(Y=2,求D(X ‐Y. 解: D X Y D X D Y 1 2 36. 若连续型随机变量X的概率密度为f x ax bx c,0 1,0,其他,且E(X=0.5,D(X=0.15.求常数a,b,c.解:E X x axbx cdx a 4 b 3 c2 0.5E Xxax bx cdx a 5 b 4 c3 0.15 0.5 0.4f x dxax 2 bx c 10dxa 3 b2c 1 解得a=12,b=‐12,c=3.习题4.31. 设两个随机变量X,Y 相互独⽴,⽅差分别为4和2,则随机变量3X ‐2Y 的⽅差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 442. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为 f x,y 18 x y , 0 x 2,0 y 2,0, 其他求Cov(X,Y. 解:E X x8 x y dydx x 8·y x 8·y 2 20dx 76E Yy8x y dxdy 76E XYxy8 x y dydx 43 Cov X,Y E XY E X E Y4 7 7 13. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为f x,yye , x 0, 0,求X 与Y 的相关系数ρxy. 解:E Xxy e dy ∞ ∞dx 1E Yy e dx ∞∞dyy e e dx ∞∞dyy e ∞dyy ∞d ey e∞0e ∞ d y 0e ·2y ∞dy2e ·y ∞dy 2E XYxy e dy ∞∞dx 2Cov X,Y E XY E X E Y 2 2 1 0 所以ρxy Cov X,YD X D Y 04. 设⼆维随机变量(X,Y服从⼆维正态分布,且E(X=0, E(Y=0, D(X=16, D(Y=25, Cov(X,Y=12,求(X,Y的联合概率密度函数f(x,y. 解:f x,ye ρ µσρ µ µ σσµσE X 0,E Y 0µ1 0,µ2 0, D X 16,D Y 25 σ1 4,σ2 5 Cov X,Y 12ρ Cov X,Y D X D Y 12 3f x,y 132πe 2532 x 216 3xy50 y 2255.证明D(X‐Y=D(X+D(Y‐2Cov(X,Y.证:D X YE X Y E X YE X E X Y E YE X E X 2E X E X ·E Y E Y E Y E YD X D Y 2Cov X,Y6.设(X,Y的协⽅差矩阵为C 4 339,求X与Y的相关系数ρxy.解: C 4 339Cov X,Y 3,D X 4,D Y 9ρxyCov X,YD X D Y31⾃测题4⼀、选择题1.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X=0.5, D(X=0.25B. E(X=2, D(X=4C. E(X=0.5, D(X=4D. E(X=2, D(X=0.25解: 指数分布的E Xλ,D Xλ2. 设随机变量X,Y相互独⽴,且X~B(16,0.5,Y服从参数为9的泊松分布,则D(X‐2Y+1= C .A.‐14B. 13C. 40D. 41解: D X npq 16 0.5 0.5 4,D Y λ 9D X 2Y 1 D X 4D Y D 1 4 4 9 0 403. 已知D(X=25,D(Y=1, ρxy=0.4, 则D(X‐Y= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y为⼆维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是 C .A. X与Y相互独⽴B. E(X+Y=E(X+E(YC. E(XY= E(XE(YD. (X,Y~N(µ ,µ ,σ ,σ ,0解: X与Y不相关ρxy 0, Cov X,Y 0E XY E X E Y5.设⼆维随机变量(X,Y~N(1,1,4,9,,则Cov(X,Y= B .A.B. 3C. 18D. 36解: ρxy 12 Cov X,YD X D Y Cov X,Y2 3, Cov X,Y 36. 已知随机变量X 与Y 相互独⽴,且它们分别在区间[‐1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: X~U 1,3 ,Y~U 2,4E Xa b 1 3 1,E Y 2 4 3 E XY E X E Y 1 3 37. 设⼆维随机变量(X,Y~N(0,0,1,1,0,?(x为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X 与Y 都服从N(0,1正态分布B. X 与Y 相互独⽴C. Cov(X,Y=1D. (X,Y的分布函数是Φ x ·Φ y⼆、填空题 1. 若⼆维随机变量(X,Y~N(µ ,µ,σ ,σ ,0,且X 与Y 相互独⽴,则ρ=0 .解: Cov(X,Y=02. 设随机变量X 的分布律为 3 .X ‐1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4令Y=2X+1,则E(Y= 3 .解: E(2X+1=(2*‐1+1*0.1+(2*0+1*0.2+(2*1+1*0.3+(2*2+1*0.4=33. 已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X=1,则P{X=1}= e .解: D X λ 1P X 1 λ e λ1!e 4. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X= D(Y=1,则D(X ‐Y = 2 .5. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布, E X = 6 .解: E X λ 2,D X λ 2,E X E X D X 4 2 66. 设X 为随机变量,且E(X=2, D(X=4,则E X = 8 .7. 已知随机变量X 的分布函数为F x 0, x 0x 4, 0 x 41, x 4则E(X = 2 .解: f x F " x, 0 x 40, 其他 E X x 440dx 08. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=2, D(Y=1,则D(X ‐2Y+3= 6 .三、设随机变量X 的概率密度函数为f x 32x , 1 x 1,0, 其他。
概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章
概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编- 程述汉-舒兴明-第四章第四章习题解答11 •设随机变量X〜B (30,-)，则E (X)=( D ).6A.-；D.5.1E (X) = np = 30 562 •已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间［-1 , 3］和［2, 4］上服从均匀分布，则E(XY)=( A ).A. 3；B. 6；C. 10；D. 12.E(X) =1 E(Y) =3因为随机变量X和Y相互独立所以E(XY) = E(X)E(Y) = 33.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，贝U X2的数学期望E(X 2) = 1&4 .X LI B(10,0.4) E(X) =4 D(X) =2.42 2E(X ) =(E(X)) D(X) =18.44.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为-，如果命中了就停止射击,3否则一直射到子弹用尽.设表示X耗用的子弹数.求E (X).解：X123P2/32/91/92 2 1 13E(X)=—十—：2 +3 9 9 95 .设X的概率密度函数为x, 0ExE1f (x) - x, 1 :： x 乞2[0, 其它求 E(X) , E(X2).解: E(X) = J xf(x)dx = J x2dx + J x(2-x)dx =1,0 ' 11 32 27f (x)dx x dx 亠 i x (2「x)dx .- -bo -E(X 2)「；x 2求 E(X) , E(Y),E(XY).解：X-12P 0.650.35E(X)二「0.65 0.35 2 =0.05 .Y-112P0.40.250.35E(Y) = -0.4 0.25 1 0.35 2 =0.55E(XY)=(-1) (-1) 0.25 (-1) 1 0.1 (-1) 2 0.32 (-1) 0.15 2 1 0.15 2 2 0.05 =-0.257 •设二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为求(1)E(X Y); (2) E(XY).E(XY) = _；.；(xy)f(x,y)dxdy=讥(广(xy)「dy)dx = 38.设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1, D(Y)=2 , J则D(X-Y)= 3 .D(X _Y) = D(X) D(Y) =39.设正方形的边长在区间］0, 2］服从均匀分布，则正方形面积A=X2的f(x,y)二e0,1°,0 ：x y其它解: y) dxdy( x x y )e y d y dx 3方差为64/45 _________ .4 1E(X)=1, D(X) ,12 3X的密度函数f(x)= 102,0乞x乞26 •设随机向量(X, Y)的联合分布律为:E(X Y)=二y)求 D(X )，D(Y )，D(X-Y ).解：由本章习题5知E(X)=1 , E(X 2)=7，于是有62 21D(X)二 E(X )-(E(X)).6221 4E (XTE (X)「D (X)n 〒.4"be 42E(X )= x f(x)dx = 01 4 16x dx =2 5D(X 2) =E(X 4)—[E(X 2)]210•设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P1/5 1/2 1/5 1/10求 D(X).解：D(X) = E(X 2) -(E(X))2, E(X2 21 2 1 2E(X ) =(-1) -01- 2 551 19 224D(X)=E (X 2)-(E(X))2=5 25 2511•设随机变量X 的概率密度函数为f(x)亠1,求 D(X ).::1I解：E(X) xf (x) dxxe*dx=0, 2E(X 2)x 2f(x)dx=2 x 2e^dx = 2 ,0 212•设随机变量X , Y 相互独立，其概率密度函数分别为x,f x (x)二 2 -x,0 _x _1 1 ：： x _ 2y_ 0其它16 564 45由Y LI E(1)知 E(X) =D(X) =1.由于随机变量X , Y 相互独立，所以D(X -Y)二 D(X) D(Y) =7.613•设 D(X)=1,D(Y)=4，相关系数 P XY =0.5，则 cov(X,Y)=_1 __________ covX,Y)= » D(X)D(Y) =114•设二维随机变量（X, Y ）的联合密度函数为求 cov(X,Y )， ?XY •DJI nI 22。
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题4
--WORD 格式--可编辑--专业资料-------学习资料分享----lea di ng ca dr es ' aw ar en e s s o f ri g h t i n pl a c e , st u d y t h e p a rt y C o n s ti t ut io n a n d p ar ty r u l e s , s e ri e s o f s p e e c h e s c a n m a k e pr op er eff ect . Pa rty ca dr e s t o "t w o " le a d b y e x a m p l e , t o le ad by ex a m pl e w e mu st cha nge our min d, rec ogn i zing that "tw o" is imp orta nt. Firs t, l e a r n t h e C o m m u n i st P a rt y C o n st i t u t i o n P ar ty ru le s, le ar ni n g le ar ni n g se ri es im po rta nt sp e ec h by Ge n er al S e cr et ar y c a n e n h a n c e t h e o r y . W it h t h e "t h i r d re v ol ut io n " t h e ri s e o f r a pi d c h a n g e s i n o ur lif e ar e fe eli ng , th e C o m m un ist s s h o u l d ad he re to th e th eo ry of c o nf id e n c e w i l l c o n t i n u e t o le ar n fr o m t he voi ce s of the tim es, t h e ti m e s, in t u r n , w i l l h a v e n e w r e q u i r e m e n t s f o r l e a di n g p a rt y c a d r e s. "T w o " is t h e m o s t ba sic m ea ni ng of m e m be r s al l m a s t e ri n g t h e c o r e t h e o r y a n d t h e m o st a d v a n c e d w e a p o n s t h e o r y , c o m pl e m en t th e sp irit of ca l ciu m. S ec on dly , t he Co m mu ni s t P a rt y C o n s ti t u ti o n P a rt y r u l es , le ar ni n g l ea rn i n g s e r ies im po rta nt sp ee ch by Ge ne ral S ec ret ar y be abl e to fir m ly b ui ld t h e i d e o lm u lt i p l e v a l u e s, th e "t w o " is to he l p cu lti va te i nd e p e n d e n t ju d g m e nt in nu mer ous mis cell ane ous mul tipl e c o n c e p t s , so tha t t he ma jori ty co ns en su s of par ty me mb ers , the im po rta n t m a gi c w e a p o n o f t h e p a rt y w it h t h e r e s o n a n c e f r e q u e n c y . F i n a ll y, th e C o n st it ut i on of the Co m mu nis t Par t y , p a r t y r u l e s , l e a r n i n g l e a r nin g seri es imp ort ant spe e ch ca n sta nd cr ow ds, Ge n e r al S e c r et a r y p o s i t i on. N o w, s o m e gr a s s -r o o t s w o r k i n t h e "t h e o l d w a y d i d n't w or k, h ar d w a y c a n n ot , th e n e w a p p r o a c h w o ul d not" phenom enon, sometim es due to a mass of party member s a nd ca dr es no t un de rst a ndi ng, does not meet. In fact, the mass "convi nci ng " an d "i de nti ty "B e hi n d ar e li k el y to b e p a rt y m e m b e r s a n d l e a d i ng ca dr e s th e m se lv e s ig n or in g be lie fs he l d, r e s ul ti n g in la c k o f p e r s u a s i o n a n d s e n s e o f i d e n t i t y . "T wo " is in fa ct gu ar an te e d p a r t y c a dr es w or k, an im p o r t a n t pre req uisi te for con vin cin g t h e m a s s e s . B ac o n sa id it w ell : "p r a c ti c a l m e n c a n h a ndl e indi vid ual mat ter s, but l ooki ng at the whol e oper ation glob ally,b u t o n ly m a nc a nd o t o k n o w le d g e . "Givi ng up" two "effec tive, must first raise aware n e s s of l e a d i ng c a d r e s of part y me mbe rs, as part y me mbe r s l e a r n r e a l r e spo nsib ility" to kno w "to" mus i c "," g o o d "ch a n g e s, in p ar al le l w it h t h e g r o u n d, d o not for get to als o an sw er the a n t e n n a , d r a w ca tc he s on m et eo ro l o g y , w hi c h s it b e t w e e n h e a v e n a nd Ea rt h wh i ch me l ds tog et he r th e dr ea m s of pr a c t i c i n g C o m m u ni st. M e m b e r s c a d r e s s h o ul d i n "t w o le ar n a d o " in th e b a s e d p o s t d o co ntr ibu tio n i n all me mb ers i n t h e c a rr i e d o u t "l e a r n C o n s t i t u t i o n P a r t y r ul e s, a n d le ar n seri e s spe ech , do qua lifie d me m b er s" le ar ni n g e d u c a ti o n , t h i s i s f o ll o w ing pa rty of ma ss lin e e d u c a ti o n p r a c ti c e a c ti v it i e s an d "t hr ee st ric t t hr e e re al " to pi c e d u c a t i o n z h i h o u , d e e p e n i n g p a rt y e d u c a ti o n o f a n d on ce im po rt an t pr a c ti c e , i s p r o m o t e d "t h r e e s tr i ctt h r e e r e al " t o pi c e d u c a t i on fr o m "k ey mi no rit y" to a ll m e m b e r s e x p a n d , a nd fr o m co nc en tr at ed e du ca tio n to re gu lar e du cat ion ext en ds of im po rta nt ini tia tiv es . Va st n u mb e r s o f pa rty m e m be rs an d ca dr e s in th ec o ur s e o f t w o , s h o u ld be第四章 随机变量的数字特征1. 甲、乙两台自动车床，生产同一种零件，生产1000 件产品所出的次品数分别用，表示，经过一段时间的考察，知， 的分布律如下：0 1 230 1 2 p0.70.10.10.1p0.50.30.2试比较两台车床的优劣。
概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为=-115.(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3=5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615.习题13设X和Y相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY).解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5,则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X).解答：由题设知，X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)由P{X=1}=P{X=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ;(C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：设X∼N(1,2),Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY).解答：\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy =E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200,D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225.(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-≤y-=Φ(y-)>0.99.查标准正态分布表得y-=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
概率论与数理统计(第三版)第四章课后答案
第四章数字待征4・1 解：£(X) = Vx p ；=iE (门=2＞少产09I•.甲机床生产的零件茨品数多于乙机床生产蹒件次融，又•.•两硼床的^的产量相同 ••.乙机床生产的豹的质量较好.4・2解；X 的所有可能取值为：3, 4, 5E(X) = Vxp. =3x0・l + 4x0.3 + 5x0.6 =4.5P{X= 5}=fl0.6尸心3}=P{X = 4} =00$T =0001*OOS-粹(000—畔1-了 +呻i =ooor z OOH护(x)/J =(y)jL l = £Oxt = ^ = CY)y (LO £)&-/!«审伽里必坊叱也範銮黔砲OK申站尋卄d .[(d_DT】= 二Y = — = ^-i)^Z= d^Z = Cr)j……£ = [ = “¥«_【対={—汕4.10裁见课本后面231页参考答秦心腿抿題1泊: 4.11解：设i酒为“，方差为(J：，则X~N( UP(A F>96)=1-P(X<96)= 1-P( )所以酸在60到84的抚率为P(60 S X S 84) = P(竺丄 < 丄上12 a4151)=20(1)-1-2x0.8413 ・1=0.68264.!2E(X 2) = OxO4+l :xO.3 + 22xO2+3:xO 1 = 2£(5X 2 + 4) = 4x0.4+(5xl 2 + 4)x0.3 + (5x22 + 4)x0 2+(5x3:+ 4)x0.1 = 14EQ ・)=£(2X) = F 2xe^dx =£( V) = H V |： + 不呦4.13 H ：=2(-厂)|； = 24 15聲看课本后面231页答案E(T) = E(<?4) = {「Q-3x4.14 H： r = —3设球的肓径为x 则：/(x) = ^-a■a<x<b其它4^Xi够胡_子)胡尹兄◎挣牛在 夕卜吕(》如4.16 解:仁(x)=匸/(〔>)4 = f. 12yd> = 4xf (v)=匸fg)e=j l lydx=12y -12y3£W =匸/「(X)•曲叮 4.X逐 WE(T)=匸/ (x) ydy = [ 12y -12y*d> = |E(AT)= [f f(x,y)xydxdy = [f 12xy dxdy = ' 12xtic =0<><xS 03 0 2E(X、心(环讼諒4.&=|£(丫)=匚/())y0 = fl2y°-12ydy =；4"解•.X与Y相互独立，■• •EQT) = E(X)E(D = f 疋还f〉/迪.二(扌斗：)J； "(4)°JO= jx(一“i|；+J；/•⑥)=亍［5 + (r 灯)卩彳x(5+l) = 44.18, 4.19, 4・20势看课本后面231, 232页答秦• 9•4上设X表示10颗骰子皈的点数之和，X （心1丄…10）表示第:颗般子出现的点«，则X^X:，且X\,X“・X*是*1独立同分布的，又E(A；)=1X1+2X1+...+6X1=A1o o 6 610 10 九^£(A^ = £(yXJ = X£W = 1Ox^ = 35MI Z64.22爹看课本后面232页答案4.23 E(X\ = OxO4 + l2xO.3 + 22xO2+35xO 1 = 2D(X)= £(X:)-[£(X)]2 =2-l2=l£(F2)=O X O.3+12X O5+22X O.2+32X O=1.3z)(y)=£(r2)-[£(r)j2=1.3-0.^ =0.49 4.24E（X：）叮斗皿+胆毎存*卜护+护|；十¥ = ¥DW = E(X:) - [E(X)f =y-4 = |Var(X) = E(X:)-[E(X)f =[我[[加r]，0 其它-1 < > < 1 其它4.25Zr(x) = {呼—0 其它二扌-1<X<10其它w •计 m 吏支ue >n ¥x =p > “轻H£5>^V 3«20)P A#・0Z —X GUNbl -%十»・x )4+・：+(E 4.+c r )4MKs s(T )Q +(电Q «(W+...+W +WQ »§(小)2•士小 N+示)3 Hf …咅麗&。
概率论与数理统计第四章习题参考答案
=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(
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(2) ρxy.
(1)
(2)(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
-1
0
1
习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X)
其他
(2)
解: (1)
(2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
(1)
其他
又因当
时
(2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为
的导数为 的导数为
即 即
求 E(X). 解:
4. 设 X1, X2,….. Xn 独立同分布,均值为 ,且设
D. (X,Y)~N(
)
解: 与 不相关 ρ
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(
A.
B. 3
C. 18
解: ρ
),则 Cov(X,Y)= B . D. 36
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
解: Cov(X,Y)=0
2. 设随机变量 X 的分布律为 3 .
X
-1
0
1
2
P
0.1 0.2 0.3 0.4
令 Y=2X+1,则 E(Y)=
3
.
解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3
3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 P{X=1}=
2
0.3 0.1 0.2
求 E(X).
解:
8. 设随机变量 X 的概率密度为
其他 且 E(X)=0.75,求常数 c 和 .
解:
习题 4.2
1. 设离散型随机变量 X 的分布律为
X
-1
0
0.5
1
2
P
0.1 0.5 0.1 0.1 0.2
求
解:
2. 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 X 的期望和方差. 解: X 的可能取值为 0,1,2
2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求 Cov(X,Y). 解:
其他
3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求 X 与 Y 的相关系数 ρxy. 解:
其他
运用分部积分法. 服从λ =1 的指数分布
所以 ρ
4. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概 率密度函数 f(x,y). 解:
3. 已知 D(X)=25,D(Y)=1, ρxy=0.4, 则 D(X-Y)= B .
A.6 B. 22 C. 30 D. 46
4. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 C .
A. X 与 Y 相互独立
B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)
C. E(XY)= E(X)E(Y)
注意此处不可以用二项分布式:
3. 设随机变量 X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为
求 D(X+Y).
解: 4. 设随机变量 X 的概率密度为
其他
求 D(X) 解:
= 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=1,D(Y)=2,求 D(X-Y).
解: 6. 若连续型随机变量 X 的概率密度为
(1)
,其中 n 为正整数.
(2)
五、 设随机变量 X1 与 X2 相互独立,且 X1~N( ), X2~N( 求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与 Y 的相关系数 ρxy. 解: (1)
).令 X= X1+X2, Y= X1-X2.
(2)
六、 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X),D(X);
B. E(X)=2, D(X)=4
C. E(X)=0.5, D(X)=4
D. E(X)=2, D(X)=0.25
解: 指数分布的
2. 设随机变量 X,Y 相互独立,且 X~B(16,0.5),Y 服从参数为 9 的泊松分布,则 D(X-2Y+1)= C . A.-14 B. 13 C. 40 D. 41 解:
D. 12
解:
7. 设二维随机变量(X,Y)~N(
),Ø (x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .
A. X 与 Y 都服从 N(0,1)正态分布
B. X 与 Y 相互独立
C. Cov(X,Y)=1
D. (X,Y)的分布函数是
二、 填空题
1. 若二维随机变量(X,Y)~N(
),且 X 与 Y 相互独立,则 ρ= 0 .
(2) 令
,求 Y 的概率密度 fY(y).
解:
(1)
(2)
由 Y=2X-1 得
, X’=
=
七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
其他
求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3)
.
解:
(1)
(2)
(3)
八、 设随机变量 X 的分布律为
X
-1
0
1
P
记 Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); 解:
8. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=2, D(Y)=1,则 D(X-2Y+3)= 6 . 三、 设随机变量 X 的概率密度函数为
其他
试求: (1)E(X), D(X); (2)
.
解:
(1)
(2) 四、 设随机变量 X 的概率密度为
其他
试求: (1)E(X), D(X); (2) 解:
解: 5. 设(X,Y)的概率密度为
求 E(X+Y). 解:
其他
,求 E(Y).
6. 设随机变量 X1, X2 相互独立,且 X1, X2 的概率密度分别为
求: 解: (1) (2)
该题服从指数分布,
故 E(X)=
(3)
7. 已知二维随机变量(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
2
1
0.1 0.2 0.1
其他 且 E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数 a,b,c. 解:
此为奇函数,故=0 正负无
穷带入结果都一样,故 =
解得 a=12,b=-12,c=3.
习题 4.3
1. 设两个随机变量 X,Y 相互独立,方差分别为 4 和 2,则随机变量 3X-2Y 的方差是 D .
A. 8
B. 16
C. 28 D. 44
.
解:
4. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)= D(Y)=1,则 D(X-Y) = 2
.
5. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,
=6
.
解:
6. 设 X 为随机变量,且 E(X)=2, D(X)=4,则
=
8
.
7. 已知随机变量 X 的分布函数为
则 E(X) = 2 . 解:
其他
ρ
ρ
ρ
ρ
5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y). 证:
6. 设(X,Y)的协方差矩阵为 解:
,求 X 与 Y 的相关系数 ρxy.
ρ
自测题 4
一、 选择题
1. 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则下列各项中正确的是 B .
A. E(X)=0.5, D(X)=0.25