2018-2019学年四川省乐山市高二下学期期末考试数学理试题(Word版)
乐山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测
数学（理科）试卷
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分（选择题共60分）
注意事项：
1、选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上；
2、第一部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）
（A）随机抽样（B）分层抽样
（C）系统抽样（D）以上都是
2．在复平面内，复数6+5i，﹣2+3i对应的点分别为A，（B）若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）
（A）8+2i（B）4+8i（C）4+i（D）2+4i
3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）（A）18（B）24（C）30（D）36
4．设i为虚数单位，则（x﹣i）6的展开式中含x4的项为（）
（A）﹣15x4（B）15x4（C）﹣20ix4（D）20ix4
5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）
（A）
1
18
（B）
1
9
（C）
1
6
（D）
1
12
6．曲线f（x）＝x3﹣x+3在点P处的切线平行于直线y＝2x﹣1，则P点的坐标为（）（A）（1，3）（B）（﹣1，3）
（C）（1，3）和（﹣1，3）（D）（1，﹣3）
7．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x＝0，则一开始输入的x的值为（）
（A）3
4
（B）
7
8
（C）
15
16
（D）
31
32
8．已知ξ的分布列为
设η＝2ξ+3，则E（η）的值为（）
（A）4（B）7
3
（C）
5
4
（D）1
9．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x2+ax+b2无零点的概率为（）
（A）1
2
（B）
1
4
（C）
2
3
（D）
3
4
10．根据如下样本数据，得到回归方程y＝bx+a，则（）
（A）a＞0，b＞0（B）a＞0，b＜0
（C）a＜0，b＞0（D）a＜0，b＜0
11．若函数f（x）＝x3﹣tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）
（A）[51
8
，+∞）（B）（﹣∞，3]
（C）（﹣∞，51
8
]（D）[3，+∞）
12．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）
（A）（﹣∞，0）（B）（0，1
2
）（C）（0，1）（D）（0，+∞）
二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分，共20分
13．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为．
14．已知复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则｜z｜＝．
15．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．
16．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝e x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
17．（10分）已知函数f（x）＝x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；
（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围
18．（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
f x ．
19．（12分）已知函数，()
（1）求f（x）在区间（﹣∞，1）上的极小值和极大值；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
20．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，且平面D'AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD'⊥EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD'﹣E的大小．
21．（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；
中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
22．（12分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x（x＞0，a∈R）（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，f（x）＞kx﹣2恒成立，求整数k的最大值．。
四川省乐山市2018～2019学年度高二下学期期末考试文科数学试题及参考答案解析
乐山市2018～2019学年高中二年级下学期期末教学质量检测数学(文科)试卷本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共60分)注意事项：1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题,每小题5分,共60分.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取70人,则n 为( ) A. 100 B. 150 C. 200D. 250【试题参考答案】A 【试题解答】试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+,故选择A考点：分层抽样2.若复数2()m m mi -+为纯虚数,则实数m 的值为( )A. 1-B. 0C. 1D. 2【试题参考答案】C 【试题解答】试题分析：若复数2()m m mi -+为纯虚数,则必有20{0m m m -=≠解得：1m =,所以答案为C.考点：1.纯虚数的定义；2.解方程.3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19,x,23,27,28,31,其中,中位数为22,则x 等于()A. 21B. 22C. 23D. 24【试题参考答案】A【试题解答】这组数据共有8个,得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数,列出中位数的表示式,得到关于x的方程,解方程即可.由条件可知数字的个数为偶数,∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数,∴中位数22232x+=,∴x＝21故选：A.本题考查了中位数的概念及求解方法,属于基础题.4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的概率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【试题参考答案】B【试题解答】区间[22,30)内的数据共有4个,总的数据共有10个,所以频率为0.4,故选B.5.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()A.118B.112C.16D.19【试题参考答案】D 【试题解答】求出所有的基本事件数N 与所求事件包含的基本事件数n ,再由公式nN求出概率得到答案. 抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6＝36事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种,故事件“抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是41369=, 故选：D .本题考查了古典概率模型问题,考查了列举法计算基本事件的个数,属于基础题.6.曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则P 点的坐标为( )A. ()1,3B. ()1,3-C. ()1,3和()1,3-D. ()1,3-【试题参考答案】C 【试题解答】求导,令()'2f x =,故23121x x -=⇒=或1-,经检验可得P 点的坐标.因()2'31f x x =-,令()'2f x =,故23121x x -=⇒=或1-,所以()1,3P 或()1,3-,经检验,点()1,3,()1,3-均不在直线21y x =-上,故选C.本题考查导数的运用：求切线的斜率,考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,考查两直线平行的条件：斜率相等,属于基础题.7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经四处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒？”用程序框图表达如图所示,即最终输出的0x =,则一开始输入的x 的值为( )A.34B. 78C.1516D.3132【试题参考答案】C 【试题解答】根据程序框图,当输入的数为x ,则输出的数为1615x -,令16150x -=可得输入的数为1516. 1,21i x x ==-,2,2(21)143i x x x ==⋅--=-, 3,2(43)187i x x x ==⋅--=-, 4,2(87)11615i x x x ==⋅--=-,当16150x -=时,解得：1516x =. 本题考查直到型循环,要注意程序框图中循环体执行的次数,否则易选成错误答案.8.设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==,分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ,确定平面上的一个点(),P x y =,记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ,则()P C =()A.29B.112C.16D.12【试题参考答案】A【试题解答】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ,y 的基本事件总数,和满足点P (x ,y )满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. ∵集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6},分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ,y ,确定平面上的一个点P (x ,y ), 共有6×6＝36种不同情况,其中P (x ,y )满足条件x 2+y 2≤16的有： (1,1),(1,2),(1,3),(2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个, ∴C 的概率P (C )82369==, 故选：A .本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,考查了列举法计算基本事件的个数,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是解答的关键.9.在区间[]0,1上任取两个实数a,b ,则函数()22f x x ax b =++无零点的概率为( )A.12B.14C.23D.34【试题参考答案】D 【试题解答】在区间[]0,1上任取两个实数a,b ,其对应的数对(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ,所求事件构成的区域为梯形区域,利用面积比求得概率.因为函数()22f x x ax b =++无零点,所以2240a b -<,因为01,01a b ≤≤≤≤,所以22402a ab b -<⇔>, 则事件函数()22f x x ax b =++无零点构成的区域为梯形OABC ,在区间[]0,1上任取两个实数a,b 所对应的点(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ,所以函数()22f x x ax b=++无零点的概率OABCODBC34SPS==梯形正方形.本题考查几何概型计算概率,考查利用面积比求概率,注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.10.根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy bx a=+,则3 4 5 6 7 84.0 2.50.5-0.5 2.0- 3.0-A. 0a>, B. 0a>, C. 0a<, D.a<,【试题参考答案】B【试题解答】试题分析：由表格数据,x y变化情况可知回归直线斜率为负数0b∴<,中心点为()5.5,0.25,代入回归方程可知0a>考点：回归方程11.若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减,则实数t 的取值范围是( )A. 51[,)8+∞ B. (],3-∞C. 51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. [)3,+∞ 【试题参考答案】A 【试题解答】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减,得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立,再根据二次函数根的分布,求实数t 的取值范围.因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减,所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立,所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥.本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围,考查逻辑思维能力和运算求解能力,求解时要充分利用二次函数的图象特征,把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞,0) B.C. (0,1)D. (0,＋∞)【试题参考答案】B 【试题解答】函数f(x)=x(lnx ﹣ax),则f′(x)=lnx ﹣ax+x(﹣a)=lnx ﹣2ax+1, 令f′(x)=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1,函数f(x)=x(lnx ﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx ﹣2ax+1有两个零点, 等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点, 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图) 当a=时,直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切,由图可知,当0＜a ＜时,y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点.则实数a 的取值范围是(0,). 故选B.第二部分(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分,共20分13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m 被抽到的概率为_____. 【试题参考答案】120【试题解答】总体含100个个体,从中抽取容量为5的样本,则每个个体被抽到的概率为5100. 因总体含100个个体,所以从中抽取容量为5的样本,则每个个体被抽到的概率为5110020=. 本题考查简单随机抽样的概念,即若总体有N 个个体,从中抽取n 个个体做为样本,则每个个体被抽到的概率均为n N.14.已知复数z 满足()1243i z i +=+,则z =_____. 5【试题解答】求出复数2z i =-,代入模的计算公式得|z |5=. 【详解】由()431243212ii z i z i i++=+⇒==-+, 所以22||215z =+=.本题考查复数的四则运算及模的计算,属于基础题.15.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E 为线段1BB 的中点,则AE 与1CD 所成角的余弦值为____.10 【试题解答】以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值.以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2, 则A (2,0,0),E (2,2,1),C (0,2,0),D 1(0,0,2),AE =u u u r(0,2,1),1CD =u u u u r (0,﹣2,2),设AE 与CD 1所成角为θ,则cos θ111055AE CD AE CD ⋅===⋅⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ∴AE 与CD 110.故答案为：10.本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+，∞上存在公共点,则a 的取值范围为 【试题参考答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【试题解答】试题分析：根据题意,函数与函数在()0+，∞上有公共点,令2x ax e =得：2xea x= 设()2x e f x x =则()222x xx e xe f x x -'=由()0f x '=得：2x =当02x <<时,()0f x '<,函数()2xef x x =在区间()0,2上是减函数,当2x >时,()0f x '>,函数()2x ef x x=在区间()2,+∞上是增函数,所以当2x =时,函数()2x e f x x =在()0+，∞上有最小值()224e f = 所以24e a ≥.考点：求参数的取值范围.三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈(1)若函数()f x 的导函数为偶函数,求a 的值；(2)若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围 【试题参考答案】(1)1a =；(2)11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【试题解答】(1)求出函数()f x 的导数()()()23212f x x a x a a '=+--+,由于二次函数'()f x 为偶函数,所以一次项系数为0,进而求得a 的值；(2)由题意得()0f x '=存在两个不同的根,转化成二次函数的判别式大于0. (1)∵()()()23212f x x a x a a '=+--+,由题因为()f x '为偶函数,∴()210a -=,即1a = (2)∵曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线,∴关于x 的方程()()()23212f x x a x a a '=+--+有两个不相等的实数根,∴()()2411220a a a ∆=-++>,即24410a a ++>,∴12a ≠-. ∴a 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题,考查逻辑推理和运算求解能力,求解时要懂得把曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线转化成方程有两根.18.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表：(单位：人)(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求1A 被选中且1B 未被选中的概率.【试题参考答案】(1)13；(2)215.【试题解答】(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有453015-=人,所以从该班级随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P == (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ,共15个.根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ,共2个. 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.19.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥面ABCD ,E 为PD 的中点。
四川省乐山十校2018-2019学年高二数学下学期半期联考试题 理(含解析)
A.甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B.甲种树苗 高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C.乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
四川省乐山十校2018-2019学年高二数学下学期半期联考试题理（含解析）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数 ， 是z的共轭复数，则 =
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
2.如果用反证法证明“数列 的各项均小于 ”，那么应假设( )
14.若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，a，b为正整数，则2a+b=_______.
【答案】3
【解析】
【分析】
分别把二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)转化为十进制数，得到等式，进而求出
2a+b的值.
【详解】 ，
，由题意可知 故 ，因此
.
【点睛】本题考查了二进制、三进制转化为十进制，考查了运算能力.
【答案】（1）（3）（4）
【解析】
【分析】
线性回归方程一定过样本中心点，线性回归方程可以不经过所有的样本点，根据所给的公式和一次函数的性质可以判断说法（3）（4）的正确性.
【详解】（1）线性回归方程一定过样本的中心点，故本说法正确；
（2）线性回归方程可以不经过所有的样本点，故本说法不正确；
（3）通过最小二乘法知，本说法是正确的；
16.由一组样本数据 ， ， ， 得到的回归直线方程为 ，那么下面说法正确的序号________.
2018-2019学年四川省乐山市十校高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，是z的共轭复数，则=（）A. B. C. 1 D. 22.如果用反证法证明“数列{a n}的各项均小于2”，那么应假设（）A. 数列的各项均大于2B. 数列的各项均大于或等于2C. 数列中存在一项，D. 数列中存在一项，3.函数f（x）=x2-x-2，x∈[-5，5]，那么任意一点x0∈[-5，5]，使f（x0）≤0的概率是（）A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.，则f′（x0）等于（）A. 2B. 1C.D. 06.曲线y=xe x-1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A. 2eB. eC. 2D. 17.林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是（）A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐8.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是（）A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球9.给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和处理框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能（）A. ；B. ；C. ；D. ；10.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A. B. C. D.11.则下列结论正确的是（）A. 甲乙，甲乙B. 甲乙，甲乙C. 甲乙，甲乙D. 甲乙，甲乙12.当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x n+y n能被x+y整除”，第二步假设n=2k-1（k∈N+）命题为真时，进而需证n=______时，命题亦真．14.若二进制数10b1（2）和三进制数a02（3）相等，a，b为正整数，则2a+b=______．15.已知f（x）=xe x，g（x）=-（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是______．16.由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）得到的回归直线方程为，那么下面说法正确的序号______．（1）直线必经过点，（2）直线至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个（3）直线的斜率为为为（4）回归直线方程，最能代表样本数据中x，y之间的线性关系，b大于0时x与y正相关，b小于0时x与y负相关．注：相关数据．其中=x i，=y i．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z-2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|．18.已知函数f（x）=x+a ln x（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．19.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？20.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．21.已知函数f（x）=（x2+bx+b）•（b∈R）．（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．22.已知函数∈e为自然对数的底数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ若，函数在区间上为增函数，求整数m的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由可得．另解：故选：A．因为，所以先求|z|再求的值．命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．2.【答案】D【解析】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，故选：D．由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{a n}的各项均小于2”的否定为：“数列{a n}中存在一项a k，a k≥2”，由此得出选项．本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．3.【答案】C【解析】解：由f（x0）≤0，得到x02-x0-2≤0，解得：-1≤x0≤2，∴使f（x0）≤0的概率是：P===0.3，故选：C．由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．本小题主要考查二次函数、几何概型、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．4.【答案】B【解析】解：若输入的a值为1，则k=0，b=1，a=，不满足退出循环的条件，故k=1；a=-2，不满足退出循环的条件，故k=2；a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的概念，同时考查了导数的意义，属于基础题．根据=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．【解答】解：∵，∴=f′（x0）=.故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x-1+xe x-1=（1+x）e x-1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x-1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．7.【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据得，甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知得：甲的中位数是×（25+29）=27，乙的中位数是×（27+30）=28.5；且甲的数据分布比较集中，乙的数据分布较为分散，∴乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．由茎叶图中的数据求出甲、乙的中位数，根据数据的分布情况得出甲、乙树苗长得整齐情况．本题考查了茎叶图与中位数、方差的应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．依此结合互斥事件、对立事件的概念加以判断．本题考查了互斥事件与对立事件的区别与联系，即互斥未必对立，对立一定互斥．9.【答案】A【解析】解：由于要计算50个数的和，故循环要执行50次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为50即①中应填写i≤50；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…故②中应填写p=p+i故选：A．由已知中程序的功能是给出50个数：1，2，4，7，…其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…以此类推，要计算这50个数的和，我们可以根据循环次数，循环变量的初值，步长计算出循环变量的终值，得到①中条件；再根据累加量的变化规则，得到②中累加通项的表达式．本题考查的知识点是循环结构，其中在循环次数=（循环终值-初值）÷步长+1，是循环次数，终值，初值，步长的知三求一问题，唯一公式，要求熟练掌握．10.【答案】B【解析】解：20组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：191，271，932，812，393，共5个，∴估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P==0.25．20组随机数中，用列举法求出表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数的个数，由此能估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．11.【答案】A【解析】解：由表中数据，计算=×（88+100+95+86+95+91+84+74+92+83）=88.8，=×（93+89+81+77+96+78+77+85+89+86）=85.1，∴＞，∵甲的极差为100-74=26，乙的极差为96-77=19，∴甲的波动比乙大，∴s2甲＞s2乙，∴s甲＞s乙，故选：A．根据平均数的定义分别求出甲乙的平均数，即可比较大小，再根据甲乙的极值来看出谁的波动大，谁的方差就越大．本题考查了平均数和方差的应用问题，是基础题．12.【答案】C【解析】解：当x=0时，不等式ax3-x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3-x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==-（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=-6，∴a≥-6；当-2≤x＜0时，ax3-x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（-1）=-2，∴a≤-2；综上所述，实数a的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2]．故选：C．分x=0，0＜x≤1，-2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．13.【答案】2k+1【解析】解：当n为正奇数时，求证x n+y n被x+y整除用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k-1时命题为真，进而需要验证n=2k+1．故答案为：2k+1．首先分析题目求在用数学归纳法验证当n为正奇数时，x n+y n被x+y整除．当第二步假设n=2k-1时命题为真，进而需验证那一项成立？理论上是验证下一项成立，而题目中n为正奇数，故下一项为2k+1．即可得到答案．此题主要考查数学归纳法的步骤问题，属于概念性问题，考查学生对数学归纳法的理解，而不是死记定义，这是在证明中易错的地方，同学们需要注意．14.【答案】3【解析】=1×23+0×22+b×21+1×20=8+0+2b+1=9+2b，（b=0，1），解：∵10b1（2）a02=a×32+0×31+2×30=9a+2，（a=0，1，2），（3）∴根据题意，可得：9+2b=9a+2，∴解得：a=1，b=1，∴2a+b=3．故答案为：3．可以用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可将二进制数或三进制数转化为十进制数，考虑到进制中数字的取值范围，从而得到答案．本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进制转为十进制方法均为累加数字×权重，属于基础题．15.【答案】a【解析】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=-1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（-1）=-；当x=-1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（-1）=a，所以-≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．16.【答案】（1）（3）（4）【解析】解：线性回归直线一定经过样本中心点，故（1）正确；线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，故（2）不正确；由最小二乘法求回归直线方程知（3）正确；根据线性回归直线的意义及两个变量的相关性知（4）正确．故答案为：（1）（3）（4）．由样本数据不一定在回归直线上，回归直线一定经过样本中心点以及线性回归直线方程的意义逐一判断四个命题得答案．本题考查线性回归方程，考查样本中心点，考查最小二乘法，考查线性回归直线的意义，考查与线性回归方程有关的概念，是基础题．17.【答案】解：（1）（1+bi）2=1-2bi-b2，∴1-b2=0，．又b为正实数，∴b=1．∴z=3+i．（2），∴．【解析】（1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，属于基础题．18.【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=x+ln x，∴＞，∴f（1）=1，f'（1）=2，所以切线方程为2x-y-1=0，（II）∵＞，当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是（0，+∞）；函数f（x）无极值；当a＜0时，由f′（x）=0，解得x=-a．又当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=-a处取得极小值，且极小值为f（-a）=-a+a ln（-a），无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-a lna，无极大值．【解析】（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≥0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＜0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）×20=1，得x=0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5．（Ⅱ）理科综合分数的众数是=230，∵（0.002+0.009 5+0.011）×20=0.45＜0.5，∴理科综合分数的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位数为224．（Ⅲ）理科综合分数在[220，240）的学生有0.012 5×20×100=25（位），同理可求理科综合分数为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15位、10位、5位，（10分）故抽取比为=，∴从理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取25×=5人．【解析】（Ⅰ）根据直方图求出x的值即可；（Ⅱ）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅲ）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．本题考查了频率分布直方图，考查众数、中位数问题，考查分层抽样，是一道中档题．20.【答案】解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12-x）2+2（x-3-a）（12-x）×（-1）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a-3-a）[12-（6+a）]2=4（3-a）3，，，＜即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-a）3万元．【解析】（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．21.【答案】解（1）当b=4时，f′（x）=，由f′（x）=0得x=-2或x=0．当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）在x=-2处取极小值f（-2）=0，在x=0处取极大值f（0）=4．（2）f′（x）=，因为当x∈（0，）时，＜0，依题意，当x∈（0，）时，有5x+（3b-2）≤0，从而+（3b-2）≤0．所以b的取值范围为：（-∞，]．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，根据x的范围，从而得到+（3b-2）≤0．求出b的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）定义域为（-∞，+∞），f′（x）=e2x-a，当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，由f′（x）=0得，且当时，f′（x）＜0，当时f′（x）＞0，所以f（x）在为减函数，在为增函数．（Ⅱ）当a=1时，，若g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，则g′（x）=（x-m）（e2x-1）+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，即在（0，+∞）恒成立，令，x∈（0，+∞）；，x∈（0，+∞）；令L（x）=e2x-2x-3，可知＜，L（1）=e2-5＞0，又当x∈（0，+∞）时L′（x）=2e2x-2＞0，所以函数L（x）=e2x-2x-3在x∈（0，+∞）只有一个零点，设为a，即e2a=2a+3，且∈，；由上可知当x∈（0，a）时L（x）＜0，即h′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时L（x）＞0，即h′（x）＞0，所以，x∈（0，+∞），有最小值，将e2a=2a+3代入上式可得h（a）=，又因为a∈，，所以h（a）∈，由于m≤h（x）恒成立，所以m≤h（a），又因为m为整数，所以m≤1，所以整数m的最大值为1．【解析】本题考查倒数的综合应用，属于中档题，要求考生会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．（1）先求导数，对参数a分类讨论，分别令导数大于零，小于零，解出x的范围即可；（2）由于函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，则其导函数g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，再分离参数m得到在（0，+∞）恒成立，此时问题变为求函数在区间（0，+∞）上的最小值问题．。
四川省内江市2018-2019学年高二下学期期末检测 数学(理) 含答案
内江市2018－2019学年度第二学期高二期末检测题数学(理科)1.本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3.考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上。
1.设i 是虚数单位，则复数22i i-的虚部是 A.2i B.2 C.－2i D.－22.方程mx 2＋y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A.(1，＋∞) B.(0，＋∞) C.(0，1) D.(0，2)3.关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 A.0＜a ≤1 B.a ＜1 C.a ≤1 D.0＜a ≤1或a ＜04.下列说法中正确的个数是①命题：“x ，y ∈R ，若｜x －1｜＋｜y －1｜＝0，则x ＝y ＝1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1。
②若a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1. ③若－1，x ，y ，z ，－4成等比数列，则y ＝±2. ④命题：“∃m ∈[0，1]，使得12m x x +<”的否定形式是：“∀m ∈[0，1]，总有12m x x+≥”. A.1 B.2 C.3 D.45.已知P 1(1，－1，2)，P 2(3，1，0)，P 3(0，1，3)，则向量12P P −−→与13P P −−→的夹角是 A.30° B.45° C.60° D.90° 6.函数3()2ln f x x x x=---的单调递增区间是 A.(0，＋∞) B.(－3，1) C.(1，＋∞) D.(0，1) 7.执行如图的程序框图，若输出的n ＝4，则输入的整数p 的最小值是A.4B.5C.6D.158.双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b-=>>经过点，2)，且离心率为3，则它的虚轴长是A. B. C.2 D.4 9.若随机变量X 服从正态分布N(8，1)，则P(6＜x ＜7)＝ A.1 B.0.1359 C.0.3413 D.0.4472 附：随机变量X ～N(μ，σ2)(σ＞0)，则有如下数据：P(μ－σ＜x ＜μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.9974.10.已知8()a x x+展开式中x 4项的系数为112，其中a ∈R ，则此二项式展开式中各项系数之和是 A.38 B.1或38 C.28 D.1或2811.椭圆2222 1 (0,0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为 A.12 B.13 C.14 D.2912.设函数f(x)在R 上存在导函数f′(x)，对任意实数x ，都有f(x)＝f(－x)＋2x ，当x ＜0时，f′(x)＜2x ＋1，若f(2－a )≤f(－a)－4a ＋6，则实数a 的最小值是 A.1 B.－1 C.12 D.12- 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年四川省乐山市数学高二(下)期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年四川省乐山市数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图像如图所示，其||213AB =，把函数()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )A ．()2sin12g x x π=-B ．2()2sin 123g x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．()2sin 123g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2cos3g x x π=【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先求出ϕ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】解：()02sin 1f ϕ==Q ，即1sin 2ϕ=， ,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q56πϕ∴=， 则5()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，Q ||213AB =22221324T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭⎝⎭，即241316T +=， 则2916T =，则34T =，即212T πω==，得6π=ω，即5()2sin 66f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 把函()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到52sin 126y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象， 即()()52sin 22sin 2sin 1261212g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和ϕ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题．2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用X 表示所选3人中女生的人数，则()E X 为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到X 的可能取值为0,1,2,，分别求出其对应概率，进而可求出其期望. 【详解】由题意，X 的可能取值为0,1,2,，由题中数据可得：()3436441065420532=====⨯⨯⨯C P X C ，()21423662123165420532⨯=====⨯⨯⨯C C P X C ， ()124236441265420532=====⨯⨯⨯C C P X C ， 所以131()0121555=⨯+⨯+⨯=E X . 故选B 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记期望的概念，会求每个事件对应的概率即可，属于常考题型.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。
2019-2020学年四川省宜宾市2018级高二下学期期末考试数学(理)试卷参考答案
令 f (x) 0 ，则 x 2 或 x 2 ；令 f (x) 0 ，则 2 x 2 ,
3
3
所以增区间为（-, 2），（ 2 ，+）；减区间为（ 2，2）.
3
3
（II）令 f (x)=0 ，得 x 2 或 x 2 ； 3
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2019-2020学年四川省宜宾市2018级高二下学期期末考试数学（理）试卷
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2019-2020学年四川省宜宾市2018级高二下学期期末考试数学（理）试卷
x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增；
┈┈┈┈┈┈9 分
②当 0 a 1时， x (a,1) ， f '(x) 0 ， f (x) 递减；
x (0, a) 或 x (1,) ， f '(x) 0 ， f (x) 递增.
数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
一、选择题
ACDBCB
二、填空题
13．一
三．解答题
CBADCD
14．0
15． 2n 1 n
16． a 1 2 ln 2
17.解：（I)若 q 为真，则 c x 2 在 x [2,3] 上恒成立，
c
x2 min
4 ， c 的取值范围是{c | 0
20.解:（I)∵当 a
2
时，
f
(x)
x
2 x
3ln
x
，∴
f
'(x)
x2
3x x2
2
(x
0)
，
由 f '(x) 0 得 x 1或 x 2 ，
四川省乐山市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(含答案解析)
四川省乐山市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习四川省乐山市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知数列的通项公式是，则等于（）A. 70B. 28C. 20D. 8【答案解析】 C【详解】因为，所以，所以=20.故选C.2 不等式的解集为（）A. {x|x＜0}B. {x|x＞9}C. {x|x＞9或x＜0}D. {x|0＜x＜9}【答案解析】 D【分析】解一元二次不等式求得不等式的解集.【详解】由，得，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.3 下列结论不正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则【答案解析】 B【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.4 在△ABC中，AB=，AC=1，，△ABC的面积为，则（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案解析】 C试题分析：由三角形面积公式得，,所以．显然三角形为直角三角形，且，所以．考点：解三角形．5 已知直线，，则与之间的距离为（）A. B. C. 7 D.【答案解析】 D【分析】化简的方程，再根据两平行直线的距离公式，求得两条平行直线间的距离.【详解】，由于平行，故有两条平行直线间的距离公式得距离为，故选D.【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.6 已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若，则等于（）A. 81B. 90C. 99D. 180【答案解析】 B【分析】根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.【详解】依题意，所以，故选B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.7 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里【答案解析】 B【分析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得的值.【详解】依题意步行路程是等比数列，且，，，故，解得，故里.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前项和的基本量计算，属于基础题.8 不等式组所表示的平面区域的面积为（）A. 1B.C.D.【答案解析】 D【分析】画出可行域，根据边界点的坐标计算出平面区域的面积.【详解】画出可行域如下图所示，其中，故平面区域为三角形，且三角形面积为，故选D.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】根据列方程，结合向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值，求得与的夹角.【详解】由于，故，所以，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查特殊角的三角函数值，考查两个向量夹角的求法，属于基础题.10 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）A. －1B. 3C. 1D. －3【答案解析】 A【分析】根据图像，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值. 【详解】根据图像可知，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11 已知幂函数过点，令，，记数列的前n项和为Sn，则时，n的值是（）A. 10B. 120C. 130D. 140【答案解析】 B【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.【详解】设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.12 已知，，，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）.A. 13B. 15C. 19D. 21【答案解析】 A以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．13 直线的倾斜角为______．【答案解析】【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.【详解】由于直线的斜率为－1，故倾斜角为.【点睛】本小题主要考查由直线一般式方程求斜率，考查斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.14 已知数列{an}的前n项和满足，则______．【答案解析】 5【分析】利用求得，进而求得的值.【详解】当时，，当时，，当时上式也满足，故的通项公式为，故.【点睛】本小题主要考查已知求，考查运算求解能力，属于基础题.15 如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量_______（用，表示向量）【答案解析】【分析】先求得，然后根据中位线的性质，求得.【详解】依题意，由于分别是线段中点，故.【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题.16 设，，，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_______．【答案解析】【分析】根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值. 【详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值【点睛】本小题主要考查三点共线向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.17 已知向量，不是共线向量，，，（1）判断，是否共线；（2）若，求x的值【答案解析】（1）与不共线.（2）【分析】（1）假设与共线，由此列方程组，解方程组判断出与不共线.（2）根据两个向量平行列方程组，解方程组求得的值.【详解】解：（1）若与共线，由题知为非零向量，则有，即，∴得到且，∴不存在，即与不平行.（2）∵，则，即，即，解得.【点睛】本小题主要考查判断两个向量是否共线，考查根据两个向量平行求参数，属于基础题.18 已知和的交点为P．（1）求经过点P且与直线垂直的直线的方程（2）直线经过点P与x轴、y轴交于A、B两点，且P为线段AB的中点，求的面积．【答案解析】（1）；（2）2【分析】（1）联立两条直线的方程，解方程组求得点坐标，根据的斜率求得与其垂直直线的斜率，根据点斜式求得所求直线方程.（2）根据（1）中点的坐标以及为中点这一条件，求得两点的坐标，进而求得三角形的面积.【详解】解：（1）联立，解得交点的坐标为，∵与垂直，∴的斜率，∴的方程为，即.（2）∵为的中点，已知，，即，∴【点睛】本小题主要考查两条直线交点坐标的求法，考查两条直线垂直斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查三角形的面积公式以及中点坐标，属于基础题.19 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（角度精确到1°，参考数据：，）【答案解析】乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援.【分析】根据题意，求得，利用余弦定理求得的长，在中利用正弦定理求得，根据题目所给参考数据求得乙船行驶方向.【详解】解：由已知，则，在中，由余弦定理，得，∴海里.在中，由正弦定理，有，解得，则，故乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援.【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中应用，考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.20 某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为0.9万元,年维修费第一年为0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少? 【答案解析】这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小【详解】设这种汽车使用年时,它的年平均费用为万元，则，于是，当，即时，取得最小值，所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小21 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量，且.（1）求角A的值；（2）已知△ABC的外接圆半径为，求△ABC周长的取值范围.【答案解析】 (1) (2)试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的取值范围.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.在△ABC中，由，得.又，所以.（2）根据题意，得.由余弦定理，得，即，整理得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为4.又，所以，所以.所以△ABC的周长的取值范围为.22 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn，且成等差数列。
【解析】四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题
乐山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测数学（文科）试卷本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷．草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共60分）注意事项：1．选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250【答案】A试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A考点：分层抽样2.若复数2()m m mi -+为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】C试题分析：若复数2()m m mi -+为纯虚数，则必有20{0m m m -=≠解得：1m =，所以答案为C ．考点：1．纯虚数的定义；2．解方程．3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】A【分析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．【详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，∴中位数22232x+=，∴x＝21故选：A．【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】B区间[22,30)内的数据共有4个，总的数据共有10个，所以频率为0．4,故选B．5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A.118B.112C.16D.19【答案】D 【分析】求出所有的基本事件数N 与所求事件包含的基本事件数n ，再由公式nN求出概率得到答案. 【详解】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6＝36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种，故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是41369=， 故选：D ．【点睛】本题考查了古典概率模型问题，考查了列举法计算基本事件的个数，属于基础题．6.曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（ ）A. ()1,3B. ()1,3-C. ()1,3和()1,3-D. ()1,3-【答案】C 【分析】求导，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，经检验可得P 点的坐标.【详解】因()2'31f x x =-，令()'2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以()1,3P 或()1,3-，经检验，点()1,3，()1,3-均不在直线21y x =-上，故选C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A.34B. 78C.1516D.3132【答案】C 【分析】根据程序框图，当输入的数为x ，则输出的数为1615x -，令16150x -=可得输入的数为1516. 【详解】1,21i x x ==-，2,2(21)143i x x x ==⋅--=-， 3,2(43)187i x x x ==⋅--=-， 4,2(87)11615i x x x ==⋅--=-，当16150x -=时，解得：1516x =. 【点睛】本题考查直到型循环，要注意程序框图中循环体执行的次数，否则易选成错误答案.8.设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =（）A.29B.112C.16D.12【答案】A【分析】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ）， 共有6×6＝36种不同情况，其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1）， （2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个， ∴C 的概率P （C ）82369==， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．9.在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，则函数()22f x x ax b =++无零点的概率为（ ）A.12B.14C.23D.34【答案】D 【分析】在区间[]0,1上任取两个实数a ，b ，其对应的数对(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所求事件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率.【详解】因为函数()22f x x ax b =++无零点，所以2240a b -<，因为01,01a b ≤≤≤≤，所以22402a ab b -<⇔>， 则事件函数()22f x x ax b =++无零点构成的区域为梯形OABC ，在区间[]0,1上任取两个实数a ，b 所对应的点(,)a b 构成的区域为正方形ODBC ，所以函数()22f x x ax b =++无零点的概率OABC ODBC 34S P S ==梯形正方形.【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.10.根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则A. 0a >，B. 0a >，C. 0a <，D. 0a <，【答案】B【详解】试题分析：由表格数据,x y变化情况可知回归直线斜率为负数0b ∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a >考点：回归方程11.若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）A. 51[,)8+∞ B. (],3-∞C. 51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. [)3,+∞ 【答案】A 【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围.【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)【答案】B函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．第二部分（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分，共20分13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率为_____．【答案】120【分析】总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5100. 【详解】因总体含100个个体，所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为5110020=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有N 个个体，从中抽取n 个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为n N.14.已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =_____．【分析】求出复数2z i =-，代入模的计算公式得|z |=详解】由()431243212ii z i z i i++=+⇒==-+， 所以||z =【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.15.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点，则AE 与1CD 所成角的余弦值为____．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE 与CD 1所成角的余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），C （0，2，0），D 1（0，0，2）， AE=（0，2，1），1CD =（0，﹣2，2）， 设AE 与CD 1所成角为θ， 则cos θ115AE CD AE CD ⋅===⋅ ∴AE 与CD 1．．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =在()0+，∞上存在公共点，则a 的取值范围为【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭试题分析：根据题意，函数与函数在()0+，∞上有公共点，令2xax e =得：2xe a x= 设()2x e f x x =则()222x xx e xe f x x -'=由()0f x '=得：2x =当02x <<时，()0f x '<，函数()2xef x x =在区间()0,2上是减函数，当2x >时，()0f x '>，函数()2x ef x x=在区间()2,+∞上是增函数，所以当2x =时，函数()2x e f x x =在()0+，∞上有最小值()224e f = 所以24e a ≥．考点：求参数的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈（1）若函数()f x 的导函数为偶函数，求a 的值；（2）若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围 【答案】（1）1a =；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）求出函数()f x 的导数()()()23212f x x a x a a '=+--+，由于二次函数'()f x 为偶函数，所以一次项系数为0，进而求得a 的值；（2）由题意得()0f x '=存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于0. 【详解】（1）∵()()()23212f x x a x a a '=+--+，由题因为()f x '为偶函数，∴()210a -=，即1a = （2）∵曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程()()()23212f x x a x a a '=+--+有两个不相等的实数根，∴()()2411220a a a ∆=-++>，即24410a a ++>，∴12a ≠-. ∴a 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线转化成方程有两根.18.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率. 【答案】（1）13；（2）215.（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有453015-=人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为151.453P == （2）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}414243515253,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个. 因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P =. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点。
2019-2020学年四川省乐山市2018级高二上学期期末考试数学(理)试卷及解析
2019-2020学年四川省乐山市2018级高二上学期期末考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共60分）注意事项1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题,每小题5分,共60分.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“x R ∀∈,2x x ≠”的否定是（ ）A. x R ∀∉,2x x ≠B. x R ∀∈,2x x =C. 0x R ∃∉,200x x ≠D. 0x R ∃∈,200x x =【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“x R ∀∈,2x x ≠”为全称命题故其否定为：0x R ∃∈,200x x = 故选：D2.下列命题中正确的是（ ）A. 若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行B. 垂直于同一平面的两个平面平行C. 存在两条异面直线同时平行于同一平面D. 三点确定一个平面【答案】C【解析】根据空间中的平行与垂直关系,对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A ,如果一个平面内有无数条直线有另一个平面平行,则这两个平面也可能相交,故A 错误；对于B ,垂直于同一平面的两平面平行或相交,故B 错误；对于C ,当两条直线同时平行于同一平面时,这两条直线可以平行、异面、相交,故存在两条异面直线平行于同一个平面,故C 正确；对于D ,不共线的三点才能确定一个平面,故D 错误；故选：C ．3.“0A C =≠且0B =”是“220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的方程”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】根据圆的一般方程的形式,求得方程表示圆的条件,再根据充分条件、必要条件的判定方法,即可求解．【详解】由方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆时,满足0,0A C B =≠=且2240D E AF +->, 所以“0A C =≠且0B =”是“220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的方程”的必要不充分条件．故选B ．4.已知平面α内有一点()1,1,2M -,平面α的一个法向量为()6,3,6n =-,则下列点P 中,在平面α内的是（ ）A. ()2,3,3PB. ()2,0,1P -C. ()4,4,0P -D. ()3,3,4P - 【答案】A【解析】。
2018-2019学年人教A版四川省乐山市高二第一学期期末数学试卷(文科)(Word解析版)
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题(共12小题)1．抛物线y2＝﹣4x的准线方程为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣22．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．圆心在x轴上，并且过点A（﹣1，1）和B（1，3）的圆的方程为（）A．（x+2）2+y2＝10 B．（x﹣2）2+y2＝10C．（x+2）2+y2＝D．（x﹣2）2+y2＝4．过椭圆C：+＝1的右焦点F2作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．10 B．16 C．20 D．与α有关5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为E，CC1的中点为F，则异面直线B1E与DF 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知直线y＝x﹣2与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于A、B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C 的个交点，若＝2，则|QF|＝（）A．6 B．3 C．D．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别是PA、CD的中点，EF 与平面ABCD所成的角为θ，点E到CD边的距离为d，则（）A．d＝，tanθ＝B．d＝，tanθ＝C．d＝，tanθ＝D．d＝，tanθ＝9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，现欲用草扇将米盖上”．具体数据见下面三视图，如图网格纸上小正方形的边长为1尺，粗线画出的是该米堆的三视图，圆周率估算为3．则此草扇的面积估计最少为（）A．12平方尺B．20平方尺C．15平方尺D．16平方尺10．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝（）A．1 B．2 C．D．411．已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD ＝2AB＝2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．12．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题(共4小题)13．命题：“若x＝2，则x2﹣x﹣2＝0”的否命题为．14．已知点P是椭圆+＝1第一象限上的一点，且以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为．15．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．16．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．已知p：方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18．已知中心在原点，一个焦点为F（0，4）的双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，求此双曲线的方程．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．20．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．（1）求证：EF⊥平面BCG；（2）求三棱锥D﹣BCG的体积．21．已知定点F（0，1）和直线l1：y＝﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值．22．知点P（1，）在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C上不与P点重合的两点D、E关于原点O对称，直线PD、PE分别交y轴于M、N两点；求证：以MN为直径的圆被直线y＝截得的弦长是定值．参考答案一、选择题(共12小题)1．抛物线y2＝﹣4x的准线方程为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】由抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线方程为x＝，则抛物线y2＝﹣4x的准线方程即可得到．解：由抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线方程为x＝，则抛物线y2＝﹣4x的准线方程为x＝1．故选：B．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A．3．圆心在x轴上，并且过点A（﹣1，1）和B（1，3）的圆的方程为（）A．（x+2）2+y2＝10 B．（x﹣2）2+y2＝10C．（x+2）2+y2＝D．（x﹣2）2+y2＝【分析】根据题意，设圆的圆心为（a，0），进而可得（a+1）2+1＝（a﹣1）2+9，解可得a的值，即可得圆心的坐标，进而计算可得圆的半径，由圆的标准方程分析可得答案．解：根据题意，设圆的圆心为（a，0），又由圆经过点A（﹣1，1）和B（1，3），则有（a+1）2+1＝（a﹣1）2+9；解可得：a＝2，即圆的坐标为（2，0），圆的半径为r，则r2＝（2+1）2+1＝10，即要求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝10；故选：B．4．过椭圆C：+＝1的右焦点F2作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．10 B．16 C．20 D．与α有关【分析】由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝2a＝2，|BF1|+|BF2|＝2a＝2，即可得出答案．解：椭圆C：+＝1的焦点在x轴上，则a＝5，由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝10．∴△ABF1的周长＝|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝20．故选：C．5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点为E，CC1的中点为F，则异面直线B1E与DF 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】可分别以DA，DC，DD1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，从而可求出B1，E，D，F的坐标，进而可求出向量，的坐标，根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，从而得出异面直线B1E与DF 所成角的余弦值．解：分别以DA，DC，DD1三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：B1（2，2，2），E（2，1，0），D（0，0，0），F（0，2，1），∴，∴＝，∴异面直线B1E与DF所成角的余弦值为．故选：A．6．已知直线y＝x﹣2与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0相交于A、B两点，则|AB|＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，其圆心为（2，1），半径r＝2；圆心C到直线y＝x﹣2的距离d＝＝，则|AB|＝2×＝2×＝；故选：D．7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的个交点，若＝2，则|QF|＝（）A．6 B．3 C．D．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设P（m，﹣2），Q（s，t），运用向量共线的坐标表示可得t，再由抛物线的定义可得所求值．解：抛物线C：x2＝8y的焦点F（0，2），准线方程为y＝﹣2，设P（m，﹣2），Q（s，t），由＝2，可得t+2＝2（2﹣t），解得t＝，由抛物线的定义可得|QF|＝t+2＝+2＝，故选：C．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别是PA、CD的中点，EF 与平面ABCD所成的角为θ，点E到CD边的距离为d，则（）A．d＝，tanθ＝B．d＝，tanθ＝C．d＝，tanθ＝D．d＝，tanθ＝【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，推导出＝（1，2，﹣1），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），sinθ＝＝，由此能求出tanθ，点E到CD边的距离为d＝||•，由此能求出结果．解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，1），F（1，2，0），C（2，2，0），D（ 0，2，0），＝（1，2，﹣1），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），sinθ＝＝，cosθ＝＝，∴tanθ＝＝．＝（﹣2，﹣2，1），＝（﹣2，0，0），点E到CD边的距离为：d＝||•＝3•＝．故选：D．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，现欲用草扇将米盖上”．具体数据见下面三视图，如图网格纸上小正方形的边长为1尺，粗线画出的是该米堆的三视图，圆周率估算为3．则此草扇的面积估计最少为（）A．12平方尺B．20平方尺C．15平方尺D．16平方尺【分析】直接利用几何体的体积和表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为个圆锥．圆锥的弧长为l＝4×，所以S＝＝15平方尺．故选：C．10．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝（）A．1 B．2 C．D．4【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，即a＝b，∵正方形OABC的边长为2，∴OB＝2，即c＝2，则a2+b2＝c2＝8，即2a2＝8，则a2＝4，a＝2，故选：B．11．已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD ＝2AB＝2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD＝2AB＝2，△ABC是正三角形，所以AE＝，AO＝．所求球的表面积为：4π（）2＝π．故选：A．12．已知F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】连接AF1，可得∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，F2F1＝2c，AF1＝c，AF2＝c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1＝c﹣c＝2a，变形可得离心率的值．解：连接AF1，可得∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，由焦距的意义可知F2F1＝2c，AF1＝c，由勾股定理可知AF2＝c，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1＝2a，即c﹣c＝2a，变形可得双曲线的离心率＝＝+1故选：C．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．命题：“若x＝2，则x2﹣x﹣2＝0”的否命题为“若x≠2，则x2﹣x﹣2≠0”．【分析】写出命题的否命题，条件否定，结论也否定．解：对于命题“若x＝2，则x2﹣x﹣2＝0”的否命题为：“若x≠2，则x2﹣x﹣2≠0”．故答案为：“若x≠2，则x2﹣x﹣2≠0”．14．已知点P是椭圆+＝1第一象限上的一点，且以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为（，1）．【分析】由椭圆+＝1，c＝1，由三角的面积公式可知：S＝•2c•|y|＝1，即|y|＝1，代入椭圆+＝1，即可求得x，即可求得点P的坐标．解：F1、F2是椭圆+＝1的左、右焦点，c＝1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y）是椭圆上的一点，由三角的面积公式可知：S＝•2c•|y|＝1，即|y|＝1，将|y|＝1代入椭圆方程得：椭圆+＝1，解得：|x|＝，点P是椭圆+＝1上的一点，所以x＝∴点P的坐标为（，1），故答案为：（，1）．15．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．【分析】设出椭圆方程，利用AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，求出M、C的坐标，利用OM的斜率＝OC的斜率，即可求得结论．解：∵F为椭圆的右焦点，|OF|＝，∴c＝．设椭圆方程为（b＞0），∵AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，∴A是长轴右端点，∴，∴M（）∵A（），B（0，b）∴C（）∵OM的斜率＝OC的斜率，∴∴b＝，∴所求椭圆方程是．故答案为．16．已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，且M是AB边中点，则有PA＝PB＝PC；③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为．其中正确命题的序号是①②④．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】由PA⊥平面ABC，得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，从而得到四个面都是直角三角形；连接CM，当PM⊥平面ABC时，得到BM＝AM＝CM，从而得到PA＝PB＝PC；当PC⊥平面ABC时，CM⊥AB时，CM取得最小值，由此求出S△PCM的最小值是6；设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2+OC2＝PC2，从而能求出PO＝．解：对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形，故①正确；对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA2＝PM2+MA2，PB2＝PM2+BM2，PC2＝PM2+CM2，因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BM＝AM＝CM，故PA＝PB＝PC，故②正确；对于③，当PC⊥平面ABC时，S△PCM＝PC•CM＝×5×CM．CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为，所以S△PCM的最小值是×5×＝6，故③错误；对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2+OC2＝PC2，又内切圆半径r＝（3+4﹣5）＝1，所以OC＝，PO2＝PC2﹣OC2＝25﹣2＝23，故PO＝，故④正确．综上，正确的命题有①②④．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．已知p：方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．已知中心在原点，一个焦点为F（0，4）的双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，求此双曲线的方程．【分析】设双曲线标准方程为：﹣＝1（a＞b＞0）．设直线l与双曲线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则有：﹣＝1，．相减可得：﹣＝0，又y1+y2＝2，x1+x2＝2，．a2+b2＝42，联立解得a2，b2即可．解：双曲线被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为1，可得中点M（1，1）．设双曲线标准方程为：﹣＝1（a＞b＞0）．设直线l与双曲线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则有：﹣＝1，．相减可得：﹣＝0，又y1+y2＝2，x1+x2＝2，．∴，又a2+b2＝42，联立解得a2＝12，b2＝4．此双曲线的方程：．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．【分析】（Ⅰ）先证AC⊥BC1，可通过证出AC⊥平面BCC1实现．由已知，易证AC⊥BC，AC⊥C1C，可得AC⊥平面BCC1成立，进而可证A1C1⊥BC1；（Ⅱ）令BC1交CB1于点E，连接ED，可知E、D是△AC1B的中位线，得出DE∥AC1，利用线面平行的判定定理证出AC1∥平面CDB1；解：（Ⅰ）易知A1C1⊥BC，A1C1⊥CC1，且BC1∩CC1＝C1，可得A1C1⊥面BCC1B1，故AC⊥BC1；又A1C1∥AC，∴A1C1⊥BC1；（Ⅱ）设CB1与C1B交于E，连接DE，由于E、D分别是BC1和AB的中点，可得DE∥AC1，而AC1⊄平面CDB1，故AC1∥平面CDB1．20．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．（1）求证：EF⊥平面BCG；（2）求三棱锥D﹣BCG的体积．【分析】（1）推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF ∥AD，由此能证明EF⊥平面BCG．（2）作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D﹣BCG的体积V D﹣BCG＝V G﹣BCD．【解答】证明：（1）∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB＝BC＝BD＝4，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG．解：（2）在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO＝AB•sin60°＝2，∴三棱锥D﹣BCG的体积：V D﹣BCG＝V G﹣BCD＝＝4．21．已知定点F（0，1）和直线l1：y＝﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值．【分析】（1）根据点C到点F的距离等于它到l1的距离，依据抛物线的定义可知点C 的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，进而求得其轨迹方程．（2）设出直线l2的方程与抛物线方程联立消去y，设出P，Q的坐标，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，进而可得点R的坐标，表示出，根据均值不等式求得其最小值．解：（1）由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线∴所求轨迹的方程为x2＝4y（2）由题意直线l2的方程为y＝kx+1，与抛物线方程联立消去y得x2﹣4kx﹣4＝0．记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4．因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为＝＝＝＝，∵，当且仅当k2＝1时取到等号．的最小值为1622．知点P（1，）在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F（1，0）是椭圆的一个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）椭圆C上不与P点重合的两点D、E关于原点O对称，直线PD、PE分别交y轴于M、N两点；求证：以MN为直径的圆被直线y＝截得的弦长是定值．【分析】（1）利用椭圆的定义直接求值；（2）设出D，E两点坐标，然后求出直线PD，PE的方程，求出点M，N的坐标，再由圆中垂直关系建立方程，计算即可．解：（1）由题意可知椭圆的另一个焦点为F′（﹣1，0），且c＝1，∵点P（1，）在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，∴2a＝，∴a＝2，b＝＝，∴椭圆C的标准方程为：；（2）证明：由题意可知D，E两点与点P不重合，∵D，E两点关于原点对称，∴设D（m，n），E（﹣m，﹣n）（m≠±1），设以MN为直径的圆与直线y＝交于G（t，），H（﹣t，）（t＞0）两点，∴GM⊥GN，直线PD：y﹣＝，当x＝0时，y＝﹣，∴M（0，﹣），直线PE：y﹣＝，当x＝0时，y＝﹣，∴N（0，﹣），∴，，∵GM⊥GN，∴，∴＝t2+＝0，又∵，即3m2+4n2＝12，∴4n2﹣9＝3﹣3m2，∴t2﹣＝0，∴t＝，∴G（，），H（﹣，），∴|GH|＝，∴以MN为直径的圆被直线y＝截得的弦长是定值．。