数列与函数结合的综合问题

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高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用

又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15，所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.

高三数学数列综合应用试题答案及解析

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法之欧阳组创编

导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法1．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是 A ．)(>x f B ．)(<x f C ．x x f >)(D ．x x f <)( 【答案】A【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．②当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x '''+=>⇒<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．2．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+== …………………2分（i ）若11a -=即2a =，则2(1)()x f x x-'=，故()f x 在(0,)+∞单调增加．（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（iii ）若11a ->，即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加．（II ）考虑函数()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+．则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-．由于15,a <<故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有 12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---． ………………………………12分3．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（2）证明：13521nn nxx x x x y -⋅⋅⋅<<．【解析】曲线222:()n C x n y n -+=是圆心为(,0)n ，半径为n 的圆，切线:(1)n n l y k x =+ （Ⅰ）依题意有n =，解得2221n n k n =+，又2220n n n x nx y -+=， (1)n n n y k x =+ 联立可解得,1n n nx y n ==+，=n n x y = 先证：13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<证法一：利用数学归纳法当1n =时，112x =<假设n k =时，命题成立，即13521k x x x x -⋅⋅⋅⋅<则当1n k =+时，135212121k k k x x x x x x -++⋅⋅⋅⋅<=∵222241616/[12(2)483k k k k k++=>+++， <=．∴当1n k =+时，命题成立故13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅<证法二：==，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-n n n n n n n n ，<不妨设(0,3t =，令()f t t t =，则()10f t t '=<在t ∈上恒成立，故()f t t t =在(0,3t ∈上单调递减，从而()(0)0f t t t f =<=<综上，13521nn nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<成立．4．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）设函数()()21f x x aln x =++有两个极值点12x x ，，且12x x <．（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；（II ）证明：()21224ln f x ->．【解】（I ）由题设知，函数()f x 的定义域是1,x >-且()0f x '=有两个不同的根12x x 、，故2220x x a ++=的判别式480a ∆=->，即 1,2a <且12x x == …………………………………①又11,x >-故0a >．因此a 的取值范围是1(0,)2．当x 变化时，()f x 与()f x '的变化情况如下表：因此()f x 在区间1(1,)x -和2(,)x +∞是增函数，在区间12(,)x x 是减函数．（II ）由题设和①知于是 ()()2222222(1)1f x x x x ln x =-++．设函数 ()()22(1)1,g t t t t ln t =-++ 则()()2(12)1g t t t ln t '=-++当12t =-时，()0g t '=；当1(,0)2t ∈-时，()0,g t '>故()g t 在区间1[,0)2-是增函数．于是，当1(,0)2t ∈-时，()1122().24ln g t g ->-=因此 ()22122()4ln f x g x -=>． www ．ks5u ．com5．【2008年山东理】 21．（本题满分12分）已知函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数．（I ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（II ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤- 【标准答案】（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-．（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =>，211x =<，此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-．当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值．综上所述，2n =时，当0a >时，()f x 在1x =+211ln 2a f a ⎛⎛⎫+=+ ⎪ ⎝⎭⎝．当0a ≤时，()f x 无极值．（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当n 为偶数时，令1()1ln(1)(1)ng x x x x =-----，则1112()10(1)11(1)n n n x ng x x x x x ++-'=+-=+>----（2x ≥）．所以当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增，又(2)0g =，因此 1()1ln(1)(2)0(1)ng x x x g x =----=-≥恒成立，所以 ()1f x x -≤成立．当n 为奇数时，要证()1f x x -≤，由于10(1)nx <-，所以只需证ln(1)1x x --≤，令 ()1ln(1)h x x x =---，则 12()1011x h x x x -'=-=--≥（2x ≥），所以当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>，所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令 ()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则 12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立．故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．【试题分析】第一问对a 讨论时要注意一些显而易见的结果，当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值．第二问需要对构造的新函数()h x 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断．【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断/123()()()1)a x x x x f x x ---=-（的正负漏掉符号．【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性． 6．【2007年山东理】（22）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（I ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（II ）求函数()f x 的极值点；（III ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln(1)nn n+>-都成立．【解】（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，222()211b x x bf x x x x ++'=+=++设2()22g x x x b =++，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，，当12b >时，max 1()02g x b =-+>，即2()220g x x x b =++>在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：当12b >时，函数()f x 无极值点②12b =时，2122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-，112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>， 12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点 ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，112x -=，2x =0b <时，11x =<-，20x =>，即1(1)x ∉-+∞，，[21x ∈-+∞，0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点2x =，当102b <<时，1112x -=>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点212x -=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点212x -=；102b <<时，()f x 有一个极大值点x =x =12b ≥时，()f x 无极值点（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+，令函数332()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则32213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++．∴当[)0x ∈+∞，时，()0h x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)h =(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即32ln(1)x x x >-+恒成立故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-．对任意正整数n 取1(0)x n=∈+∞，，则有23111ln 1nn n⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以结论成立．7．【2008年湖南理】 21．（本小题满分13分）已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+．（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式1(1)n a e n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．求a 的最大值．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x-'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '>()h x 在(1,0)-上为增函数，当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数．所以()h x 在0x =处取得极大值，而()0h x =，所以()0(0)g x x '<≠，函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数．于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数．当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数．故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞．（Ⅱ）不等式1(1)n a e n++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n++≤由111n+>知，设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x=-∈+则由（Ⅰ）知，22ln (1)0,1x x x+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数．故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =- 所以a 的最大值为11.ln 2- 1．2009潍坊文科（22）（本小题满分14分）设函数2()2(1)ln (),()k f x x x k N f x *'=--∈表示()f x 的导函数．（I ）求函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）当k 为偶数时，数列{n a }满足2111,()3n n n a a f a a +'==-，求数列{2n a }的通项公式；（Ⅲ）当k 为奇数时，设()12n b f n n '=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明不等式()111n bn b e ++>对一切正整数n 均成立，并比较20091S -与2009ln 的大小．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），又212[(1)]()22(1)k kx y f x x x x--''==--= ， (1)分1当k 为奇数时，22(1)()x f x x+'=，即()f x '的单调递增区间为(0,)+∞． …………2分2当k 为偶函数时，22(1)2(1)(1)()x x x f x x x-+-'==由()0f x '>，得10,1x x -> ∴>，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，综上所述：当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，当k 为偶数时，()f x 的单调递增区间为(1,).+∞ …………4分（Ⅱ）当k 为偶数时，由（Ⅰ）知22(1)()x f x x-'=所以22(1)().n n na f a a -'=根据题设条件有2222221112(1)3,21,12(1),n n n n n n a a a a a a +++-=- ∴=+ +=+ ∴{21n a +}是以2为公比的等比数列， ∴221211(1)22,2 1.n n n n n a a a -+=+⋅= ∴=- (8)分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当k 为奇数时，12(),f x x'=+由已知要证111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取对数，即证11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭…………………10分事实上：设11,t n+=则1(1),1n t t =>- 因此得不等式1ln 1(1)t t t>->…………………………………………① 构造函数1()ln 1(1),g t t t t=+->下面证明()g t 在(1,)+∞上恒大于0．∴()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0,g t g >=即1ln 1,t t>-∴11ln 1,1n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∴111,n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭即()111n b n b e ++>成立． (12)分由11ln ,1n n n +>+得111231ln ln ln ln(1),23112n n n n+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=++即11ln(1),n S n +-<+当2008n =时，20091S -<2009.ln ……………………………………………14分 2．山东省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题（22）（本小题满分14分）已知0a >，函数1()ln x f x x ax-=+．（Ⅰ）试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；（Ⅱ）若()f x 在区间 [)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当 1a =时，设数列 1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，21()ax f x ax -'=，由()0f x '=得1x a=． ……2分当1(,)x a a∈时，()0f x '<，()f x 递减；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增．所以()y f x =不是定义域上的单调函数． ……………………………4分（Ⅱ）若()f x 在x ∈[1,)+∞是单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即1a x≥恒成立．…………………………．…6分即1max,[1,)a x x ⎧⎫≥∈+∞⎨⎬⎩⎭11x∴≤1a ∴≥． ……………8分（Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知，1()ln x f x x x-=+在[1,)+∞上为增函数，又当1x >时，()(1)f x f >， 1ln 0x x x-∴+>，即1ln 1x x>-．令()1ln ,g x x x =--则1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '>从而函数()g x 在[1,)+∞上是递增函数，所以有()(1)0,g x g >=即得1ln .x x ->综上有：11ln 1,(1).x x x x-<<-> ………………………………10分111ln .1x x x x+∴<<+ ………………………………………12分令1,2,...,1,(2)x n n N n *=-∈≥且时，不等式111ln .1x x x x+∴<<+也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得即11111...ln 1. (2)321n nn +++<<+++- 即111()(2).n n nS f n S n N n n*---<-<∈≥且 ……………………14分3．山东省枣庄市2009届高三年级调研考试数学理21．（本小题满分12分）已知函数为常数其中且a a a x x g x x x f a ),1,0(log )(,221)(2≠>=-=，如果)()()(x g x f x h +=在其定义域上是增函数，且()h x '存在零点（()()h x h x '为的导函数）．（I ）求a 的值；（II ）设(,()),(,())()A m g m B n g n m n <是函数()y g x =的图象上两点，0()()()g n g m g x n m-'=-0(()()),:.g x g x m x n '<<为的导函数证明解：（I ）因为).0(log 221)(2>+-=x x x x x h a所以.ln 12)(ax x x h +-='因为),0()(+∞在x h 上是增函数．所以),0(0ln 12+∞≥+-在ax x 上恒成立 ……………………………1分当.ln 120ln 12,02ax x a x x x -≥-⇔≥+->时而),0(1)1(222+∞--=-在x x x 上的最小值是-1．于是.ln 11,ln 11aa ≤-≥-即（※）可见)1ln 1.0ln 1,10(1矛盾这与则若≥<<<>aa a a从而由（※）式即得.1ln ≤a① ………………．．………………………… 4分同时，)0(ln 1ln 2ln ln 12)(2>+-=+-='x ax a x a x a x x x h 由2()()(2ln )4ln 0,h x a a '∆=--≥存在正零点知解得1ln ≥a ②，或).,0ln ,1(0ln 这是不可能的因为>>≤a a a 由①②得 .1ln =a此时，e a x x h =='故存在正零点,1)(即为所求 ……………………………6分注：没有提到（验证）1ln =a 时，,1)(='x x h 存在正零点不扣分．（II ）由（I ），,1)(,ln )(00x x g x x g ='= 于是.ln ln ,)()(100mn m n x m n m g n g x --=--= ……………………………7分以下证明.ln ln n mm n m-<-（☆）（☆）等价于.0ln ln <+--m n m m n m ……………………………8分构造函数),0(ln ln )(n x x n x x n x x r ≤<+--= 则),0(,ln ln )(n x x n x r ∈-='当时，],0()(,0)(n x r x r 在所以>'上为增函数．因此当,0)()(,=<<n r m r n m 时即.0ln ln <+--m n m m n m 从而m x >0得到证明． ……………………………11分同理可证.,.ln ln 0n x m mn mn n <<-->综上 ……………………………12分注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分．4．烟台市三月诊断性检测数学理22．（本小题满分14分）设函数2(),()2ln h x x x e x ϕ==（e 为自然对数的底数）．（1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．试问函数()h x 和()x ϕ是否存在“隔离直线”?若存在．求出此“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．解：（1）∵2()()()2ln (0)F x h x x x e x x ϕ=-=->∴22()()'()2.e x e x e F x x x-+=-=∴当x e =时，'()0F x =． ∵当0x e<<时'()0F x <此时()F x 递减；……………………………………3’当x e >时，'()0F x >，此时()F x 递增． ∴当x e=时，()F x 取极小值，其极小值为0．…………………………………6’（2）由（1）可知，当0x >时，()()h x x ϕ≥（当且仅当x e=时取等号）．若存在()h x 和()g x 的“隔离直线”，则存在实常数k 和b ，使得()h x kx b ≥+和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立． ∵()h x 和()g x 的图象在x e =()h x 和()g x 的“隔离直线”，则该直线过这个公共点(,)e e ． …………………………………………………8’设“隔离直线”方程为()y e k x e -=，即.y kx e e =+-由()(),h x kx e e x R ≥+-∈可得20x kx e e --+当x R ∈时恒成立．∵2(2)k e ∆=-∴由∆≤，得2k e =……………………………………………………………10’下面证明()2x ex e ϕ≤-当0x >时恒成立．令()()22ln 2,G x x ex e e x ex e ϕ=-+=-+则当x e ='()0G x =；当0x e <<'()0G x >，此时()G x 递增；当x e >'()0G x <此时()G x 递减．∴当x e =()G x 取极大值．其极大值为0．从而()2ln 20,G x e x ex e =-+≤即()2(0)x ex e x ϕ≤->恒成立．………………………………………………13’∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的“隔离直线”2.y ex e =-………………………14’5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0,1）为减函数．（1）求)(x f 、)(x g 的表达式；（2）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解；（3）当1->b 时,若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围．解：（1）,2)(xa x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x ．∵上式恒成立,∴2≤a ①…………………………1分又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x ．∵上式恒成立,∴.2≥a ②…………………………2分由①②得2=a ．…………………………3分 ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分（2）由（1）可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xxx x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x (5)分令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分列表分析：x（0,1）1 （1,+）)(x h ' - 0 + )(x h递减递增可知)(x h 在1=x 处有一个最小值0, …………………………7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在（0,+）上只有一个解．即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解．…………………………8分（3）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, …………9分()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-………11分所以：11≤<-b 为所求范围． (12)分6．山东省实验中学2009届高三第三次诊断考试（数学理）22．已知函数1()ln x f x x ax-=+ （注：ln 20.693≈）（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（2）当1a =时，若直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，求实数b 的取值范围：（3）求证：对大于1的任意正整数1111,ln 234n n n >++++…解：（1）因为 1()ln x f x ax -=+ 所以21'()(0)ax f x a ax-=> 依题意可得，对21[1,).'()0ax x f x ax -∀∈+∞=≥恒成立，所以对[1,).10x ax ∀∈+∞-≥恒成立，所以对1[1,),x a x∀∈+∞≥恒成立，max 1()a x≥，即1a ≥（2）当1a =时，21'(),x f x x-=若1[,1]2x ∈，'()0f x ≤，()f x 单调递减；若[1,2].'()0,()x f x f x ∈≥单调递增；故()f x 在1x =处取得极小值，即最小值(1)0f = 又11()1ln 2,(2)ln 2,22f f =-=-所以要使直线y b =与函数()y f x =的图象在1[,2]2上有两个不同交点，实数b 的取值范围应为((1),(2)]f f ，即10,ln 2]2-；（3）当1a =时，由(1)可知，1()ln x f x x x-=+在[1,)+∞上为增函数，当1n >时，令1nx n =-，则1x >，故()(1)0f x f >=，即111()ln ln 01111n n n n n f n n n n n n --=+=-+->----所以1ln1n n n>-．故 2131411ln ,ln ,ln ,ln122334-1n n n>>>>…,相加可得2341111ln ln ln ln 123-1234n n n+++>+++⋯+…+又因为234234ln ln ln ln ln()ln 12311231n n n n n ++++=⋅⋅=--……所以对大于1的任意正整书1111,ln 234n n n>++++…（二）2009年4月后7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）已知函数2()ln .f x ax x =+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a =时，设斜率为k 的直线与函数()y f x =相交于两点1122(,)(,)A x y B x y 、21()x x >，求证：121x x k<<．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当0a =时，()ln .f x x = 以下先证11x k>，21212121ln ln 0,y y x x k x x x x --==>--所以只需证21211ln ln 1x x x x x -<-，即设()ln 1(1)t t t t ϕ=-+ >，则1()10(1)t t tϕ'=-< >．所以在(1,)t ∈+∞时，()t ϕ为减函数， ()(1)0(1)t t ϕϕ<= >．即ln 1(1)t t t <- >．又211x x >，∴2211ln 1x x x x <-成立，即11x k>．同理可证21x k<．∴121x x k<<．8．山东省济宁市2009年高三第二次摸底考试-理科数学22．（本题满分14分）设函数()(1),()x f x e x g x e =-=．（e 是自然对数的底数）（Ⅰ）判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：1(0,1)a ∈，且1()(),,n n f a g a n N *+=∈ ①求证：01n a <<；②比较n a 与1(1)n e a +-的大小．解：（Ⅰ）()(1)x H x e e '=-- 令0()0,ln(1)H x x e '= =-当0(,)x x -∞时，()0,H x '> ()H x 在0(,)x x -∞上是增函数当0(,)x x +∞时，()0,H x '< ()H x 在0(,)x x +∞上是减函数 (2)从而0max 0()(0)(1)1(1)ln(1)2xH x H e x e e e e ==-+-=---+ (4)注意到函数()ln 1k t t t t =-+在[)1,+∞上是增函数，从而()(1)0,11k t k e ≥=->又从而0()0H x > 综上可知：()H x 有两个零点． …………………………………………………．6分（Ⅱ）因为1()(),n n f a g a +=即1(1)1na n e a e +-+=所以11(1)1n a n a e e +=--…………………………………………………．7分 ①下面用数学归纳法证明(0,1)n a ∈．当1n =时，1(0,1)a ∈，不等式成立．假设n k =时，(0,1)k a ∈ 那么11(1)1k a k a e e +=-- 10(1)11k a e e ∴<-<- 即1(0,1)k a +∈ 这表明1n k =+时，不等式成立．所以对n N *∈，(0,1)n a ∈ (10)②因为1(1)1nan n n e a a e a +--=--考虑函数()1(01)x p x e x x =-- << (12)从而()p x 在(0,1)上是增函数 ()(0)0p x p >=所以1(1)0n n e a a +-->即1(1)n n e a a +->…………………………………………………………14分 9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）已知函数1()ln sin g x x xθ=+⋅在[)1,+∞上为增函数，且(0,)θπ∈，1()ln m f x mx x x-=--，m R ∈．（1）求θ的取值范围；（2）若()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设2()e h x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．解：（1）由题意，211()0sin g x xxθ'=-+≥⋅在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-≥⋅(0,),sin 0θπθ∈ ∴>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， (2)分只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合(0,),θπ∈得2πθ=．…4分（2）由（1），得()()2ln .m f x g x mx x x -=--()222()().mx x m f x g x x -+'∴-=()()f x g x -在[)1,∞上为单调函数， 220mx x m ∴-+≥或者220mx x m ∴-+≤在[)1,∞恒成立． ……………．． 6分220mx x m -+≥等价于2(1)2,m x x +≥即22,1xm x≥+ 而2222,max 11111x m x x x x x ⎧⎫⎪⎪== ∴≥⎨⎬+⎪⎪++⎩⎭． …………………………………8分 220mx x m ∴-+≤等价于2(1)2,m x x +≤即221xm x ≤+在[)1,∞恒成立，而(]220,1,01x m x∈≤+．综上，m的取值范围是(][),01,-∞+∞． ………………………………………10分（3）构造函数2()()()(),()2ln .m e F x f x g x h x F x mx x x x=--=--- 当0m ≤时，[]1,,0m x e mx x∈-≤，22ln 0e x x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222().m e mx x m eF x m x x x x -++'=+-+=…………12分因为[]1,,x e ∈所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[]1,e 恒成立．故()F x 在[]1,e 上单调递增，max 4()4F x me e=--，只要440me e-->，解得24.1em e >- 故m的取值范围是24,.1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭……………………………………………14分 10．山东省烟台市2009届高考适应性练习（二）理综试题 22．（本小题满分14分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意n N *∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n nxb a =，求证：对任意实数(1,](x e e ∈是常数，e =2．71828…）和任意正整数n ，总有2n T <；（3）在正数数列{}n c 中，11(),()n n n a c n N +*+=∈．求数列{}n c 中的最大项．解：由已知：对于n N *∈，总有22n n n S a a =+成立 (1)21112(2)n n n S a a n ---∴=+≥…（2） ……………………………………1分（1）—（2）得22112n n n n n a a a a a --∴=+--1,n n a a -均为正数， 11(2)n n a a n -∴-=≥∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 ………………………………………3分又1n =时，21112S a a =+，解得11a =()n a n n N *∴=∈……………………………………………………………5分（2）证明：对任意实数(]1,x e ∈和任意正整数n ，总有22ln 1n n n x b a n=≤……6分1111111(1)()...222231n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭……………9分（3）解：由已知22112a c c ==⇒=33223a c c ==⇒=44334a c c ==⇒==易得12234,......c c c c c <>>> 猜想2n ≥时，{}n c 是递减数列 ……………………………………………11分令ln ()x f x x=，则221ln 1ln ()x xx x f x x x⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，由11n n n a c ++=知ln(1)ln 1n n c n +=+2n ∴≥时，{}ln n c 是递减数列，即{}n c 是递减数列又12c c <，∴数列{}n c 中的最大项为2c =分三、2010年模拟试题1．山东临沂罗庄补习学校数学资料已知23()ln 2,().8f x x xg x x =++=（1）求函数()()2()F x f x g x =-⋅的极值点；（2）若函数()()2()F x f x g x =-⋅在),()t e t Z ⎡+∞∈⎣上有零点，求t 的最小值；（3）证明：当0x >时，有[]1()1()g x g x e +<成立；（4）若1(1)()()g n n b g n n N *+=∈，试问数列{}n b 中是否存在()n m b b m n =≠？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（e 为自然对数的底数）．解：（1）由题意，23()ln 228F x x x x =++-的定义域为(0,)+∞……………1分(32)(2)()4x x F x x--'=……………………………………………………2分∴函数()F x 的单调递增区间为20,3⎛⎤⎥⎝⎦和[)2,+∞，()F x 的单调递减区间为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以23x =为()F x 的极大值点， ………………………………………………3分2x =为()F x 的极小值点， ………………………………………………4分（2）()F x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为(2)F 且23ln 41(2)242ln 2082F -=⨯-++=>()F x ∴在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点，……………………………………………5分∴函数()F x 在),te ⎡+∞⎣上有零点，并考虑到()F x 在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增且在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，故只须23t e <且()0F t ≤即可，……………………………………………6分易验证121222313()120,()20,88F e e e F e e e -----⎛⎫=⋅+->=⋅-< ⎪⎝⎭当2,t t Z ≤∈时均有()0,t F e <所以函数()F x 在)1,()t e e t Z -⎡∈⎣上有零点，即函数()F x 在),()te t Z ⎡+∞∈⎣上有零点， t ∴的最大值为2-……………9分（3）证明：当0x >时，不等式[]1()1()g x g x e +<即为：11(1)ln(1)1ln(1)xx e x x x x+<⇔+<⇔+< 构造函数()ln(1)(0),h x x x x =+->则1()10,11x h x x x-'=-=<++ 所以函数()h x 在(0,)+∞上是减函数，因而0x >时，()(0)0,h x h <= 即：0x >时，ln(1)x x +<成立，所以当0x >时，[]1()1()g x g x e +<成立；…11分（4）因为1(1)(2)111(1)(2)2222(1)11(1)3(1),(1)n n n n n n n n n n n b n n e n n b nb n n n n n ++++++++++++===⋅+<<令23(1)1n n+<，得：2330n n -->，结合n N *∈得：4n ≥时，因此，当4n ≥时，有(1)(2)1(1)(2)1,n n n n n nb b +++++<所以当4n ≥时，1n n b b +>，即456...b b b >>>……………………………12分又通过比较1234b b b b 、、、的大小知：1234b b b b <<<，因为11,b =且1n ≠时111,n n b n+=≠所以若数列{}n b 中存在相等的两项，只能是23b b 、与后面的项可能相等，又11113964283528,35b b b b ====>=，所以数列{}n b 中存在唯一相等的两项，即28b b =． ……………………………………………………………………14分2．皖南八校2010届高三年级第二次联考21．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，12a =11,22().n n n a a n N ++=+∈ （I ）求证：数列}2{n na 为等差数列；（II ）若m 为正整数，当2n m≤≤时，求证：1231(1)()n m n n m m n a m⋅--+≤．解：（I ）由1122+++=n n n a a 变形得：122,1221111=-+=++++n nn n n n n n a a a a 即故数列}2{nn a 是以121=a 为首项，1为公差的等差数列…………（5分）（II ）（法一）由（I ）得n n n a 2⋅=mm n m m m a n n m m nm n n 1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即…………（7分）欧阳组创编 2021..02.16 欧阳组创编 2021..02.16 令m n m n n m n f n m n f 1)23()()1(,)23()1()(+⋅-=+⋅+-=则当m n m n m n f n f n m 1)32(1)1()(,2⋅-+-=+≥>时又23221211)211(1>>-+>+-⋅+=-+m m m C m m m m m 1)23(211>-+∴ 则)(,1)1()(n f n f n f 则>+为递减数列．当m=n 时，)1()(+>n f n f )(,2n f n m 时当≥≥∴递减数列．（9分）要证：2,)11()1(491)23)(1(2≥+=+≤-≤+-m mm m m m n m m m m n 而即证时，故原不等式成立．（13分）（法二）由（I ）得n n n a 2⋅=m m n m m m a n n m m nm n n1)23)(1(1)3)(1(221-≤+--≤⋅+-即（7分）令)123ln 1()23()('),2()23)(1()(-⋅+-=≤≤+-=m x m x f m x x m x f m x m x 则 ],2[)(0)(',11,2m x f x f m x m m x 在即<∴<+-∴≤≤ 上单调递减．（9分） ∴m m m m f x f m m 1)1()49(),1()49()2()(11max-≤--==∴2故只需证也即证时而2,)11(149≥+≤m m m ，故原不等式成立．（13分）。

数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第项．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解：由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425．跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解：由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解：解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解：由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。

概率与数列、导数、函数和方程等知识交汇的创新题型

概率与数列、导数、函数和方程等知识交汇的创新题型ʏ河南省固始县信合外国语高级中学胡云兵2019年高考全国Ⅰ卷首次把概率题作为压轴题出现,当时引起一片哗然,这是在传递什么信号?概率统计题何去何从?我们要如何备考带着这些问题,我们从近几年全国卷和部分省份的概率高考题,发现概率题增加难度,不是概率知识本身增加难度,而是难在概率与其他数学知识交汇处命题㊂下面通过几道高考题来说明概率与其他数学知识交汇的创新题型㊂一㊁概率与数列的交汇例1 (2019全国Ⅰ卷理数第21题)为治疗某种疾病,研制了甲㊁乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验㊂试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验㊂对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药㊂一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验㊂当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效㊂为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分㊂甲㊁乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ㊂(1)求X 的分布列㊂(2)若甲药㊁乙药在试验开始时都赋予4分,p i (i =0,1, ,8)表示甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效的概率,则p 0=0,p 8=1,p i =a p i -1+b p i +c p i +1(i =1,2, ,7),其中a =P (X =-1),b =P (X =0),c =P (X =1)㊂假设α=0.5,β=0.8㊂(i )证明:{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为等比数列;(i i)求p 4,并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性㊂解析:(1)X 的所有可能取值为-1,0,1㊂P (X =-1)=(1-α)β,P (X =0)=αβ+(1-α)(1-β),P (X =1)=α(1-β)㊂故X 的分布列如表1㊂表1X -101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i )已知α=0.5,β=0.8,故由(1)得,a =0.4,b =0.5,c =0.1㊂因此,p i =0.4p i -1+0.5p i +0.1p i +1(i =1,2, ,7)㊂整理得0.1(p i +1-p i )=0.4(p i -p i -1),即p i +1-p i =4(p i -p i -1)㊂又p 1-p 0=p 1ʂ0,故{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为公比为4,首项为p 1的等比数列㊂(i i )由(i)可得:p 8=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+ +(p 1-p 0)+p 0=p 1(1-48)1-4=48-13p 1㊂因p 8=1,故p 1=348-1㊂因此,p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)+p 0=44-13p 1=1257㊂p 4表示最终认为甲药更有效的概率㊂由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257ʈ0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理㊂点评:本题是函数与数列的综合题,主要考查数列和函数的应用,考查离散型随机变量的分布列㊂根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键㊂其本质仍然是常规的概率与统计问题,只是其中涉及了数列问题的应用,一般转化为等差㊁等比数列的定义㊁通项公式或者数列求和问题㊂二㊁概率与函数㊁方程和导数的交汇例2 (2021新高考Ⅱ卷第21题)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下63 解题篇创新题追根溯源高二数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代, ,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=p i(i =0,1,2,3)㊂(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3 =0.1,求E(X)㊂(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+ p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根㊂求证:当E(X)ɤ1时,p=1;当E(X)>1时,p<1㊂(3)根据你的理解,请说明(2)问结论的实际含义㊂解析:(1)E(X)=0ˑ0.4+1ˑ0.3+2ˑ0.2+3ˑ0.1=1㊂(2)设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0㊂因为p3+p2+p1+p0=1,所以f(x)= p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0㊂①若E(X)ɤ1,则p1+2p2+3p3ɤ1,故p2+2p3ɤp0㊂f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3)㊂因为f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0ɤ0,所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1ɤx2㊂当xɪ(-ɕ,x1)ɣ(x2,+ɕ)时, f'(x)>0;当xɪ(x1,x2)时,f'(x)<0㊂故f(x)在(-ɕ,x1)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,在(x2,+ɕ)上为增函数㊂若x2=1,f(x)在(x2,+ɕ)为增函数且f(1)=0㊂而当xɪ(0,x2)时,因为f(x)在(x1,x2)上为减函数,所以f(x)>f(x2)= f(1)=0,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x 的一个最小正实根㊂若x2>1,因为f(1)=0且在(0,x2)上为减函数,所以1为p0+p1x+p2x2+p3x3 =x的一个最小正实根㊂综上,若E(X)ɤ1,则p=1㊂②若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,故p2+2p3>p0㊂此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有两个不同零点x3,x4,且x3<0<x4<1㊂当xɪ(-ɕ,x3)ɣ(x4,+ɕ)时, f'(x)>0;当xɪ(x3,x4)时,f'(x)<0㊂故f(x)在(-ɕ,x3)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数,在(x4,+ɕ)上为增函数㊂而f(1)=0,故f(x4)<0㊂又f(0)=p0>0,故f(x)在(0,x4)存在一个零点p,且p<1㊂所以p为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,此时p<1㊂故当E(X)>1时,p<1㊂(3)结论的实际含义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝;若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1㊂点评:在概率与统计的问题中,决策的工具是样本的数字特征或有关概率㊂决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,这往往借助于函数㊁不等式或数列的有关性质去实现㊂例3(2018年全国Ⅰ卷理数第20题)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品进行检验,如检验出不合格品,则更换为合格品㊂检验时,先从这箱产品中任取20件进行检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品检验㊂设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立㊂(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0㊂(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p 的值㊂已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用㊂①若不对该箱余下的产品进行检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);73解题篇创新题追根溯源高二数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验解析:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C220p2㊃(1-p)18(0< p<1)㊂因此,f'(p)=C220[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C220p(1-p)17(1-10p),0<p<1㊂令f'(p)=0,得p=0.1㊂当pɪ(0,0.1)时,f'(p)>0;当pɪ(0.1,1)时,f'(p)<0㊂所以f(p)的最大值点为p0=0.1㊂(2)由(1)知,p=0.1㊂①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X= 20ˑ2+25Y,即X=40+25Y㊂所以E(X)=E(40+25Y)=40+ 25E(Y)=40+25ˑ180ˑ0.1=490㊂②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为400元㊂由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验㊂点评:解决概率和函数㊁导数的综合问题,关键是读懂题意,将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题,再利用函数或导数知识解决,在转化过程中,对已知条件进行适当变形㊁整理,使之与求解的结论建立联系,从而解决问题㊂三、概率与不等式的交汇例4(2017年江苏卷第23题)已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,nɪN*, nȡ2),这些球除颜色外完全相同㊂现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如表2所示的编号为1,2,3, ,m+n的抽屉内,其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=1,2, 3, ,m+n)㊂表2123 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<n(m+n)(n-1)㊂解析:(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p=C n-1m+n-1C n m+n=nm+n㊂(2)随机变量X的概率分布如表3㊂表3X1n1n+11n+2 1k 1n+m PC n-1n-1C n m+nC n-1nC n m+nC n-1n+1C n m+nC n-1k-1C n m+nC n-1n+m-1C n m+n随机变量X的期望为:E(X)=ðm+n k=n1k㊃C n-1k-1C n m+n=1C n m+nðm+n k=n1k㊃(k-1)!(n-1)!(k-n)!㊂所以E(X)<1C n m+nðm+n k=n(k-2)!(n-1)!(k-n)!=1(n-1)C n m+nðm+n k=n(k-2)!(n-2)!(k-n)!=1(n-1)C n m+n(1+C n-2n-1+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1n-1+C n-2n-1+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1n+C n-2n+ + C n-2m+n-2)=1(n-1)C n m+n(C n-1m+n-2+C n-2m+n-2)=C n-1m+n-1(n-1)C n m+n=n(m+n)(n-1)㊂故E(X)<n(m+n)(n-1)㊂点评:本题表面看起来是概率问题,但是它重点恰在不等式,所以对于概率统计问题,我们要有意关注与其他数学知识的整合㊂同时也提醒我们要跳出固定思维模式,学会灵活处理问题的能力㊂(责任编辑徐利杰)8 3解题篇创新题追根溯源高二数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

数列与函数的综合运用练习题

数列与函数的综合运用练习题在数学中，数列和函数是常见且重要的概念。

数列是按照特定的规律排列的一系列数值的集合，而函数是一种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

数列和函数的综合运用能够帮助我们更好地理解数学问题，并提供解决问题的方法。

本文将通过一系列练习题来展示数列与函数的综合运用。

1. 已知数列的通项公式为an = 3n + 1，求该数列的前10项。

解析：根据题目中给出的通项公式，我们可以依次计算出数列的前10项：a1 = 3*1 + 1 = 4，a2 = 3*2 + 1 = 7，以此类推，计算出a3到a10的值。

答案：该数列的前10项分别为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31。

2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。

解析：对于函数f(x)，要求f(2)的值，只需要将x替换为2，然后计算出f(2)的结果。

答案：f(2) = 2*(2^2) + 3*2 - 1 = 14。

3. 设数列的前n项和为Sn，已知数列的通项公式为an = n^2，求Sn。

解析：由数列的通项公式可知，每一项的值都是n的平方，因此前n项和Sn可以表示为Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2。

答案：Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。

4. 已知函数g(x) = 3x - 2，求满足g(x) = 10的x的值。

解析：要求满足函数g(x) = 10的x的值，即求解方程3x - 2 = 10。

答案：解方程3x - 2 = 10，可以得到x = 4。

通过以上练习题的解答，我们可以看到数列和函数在数学问题中的应用。

数列可以描述一系列数值的排列规律，而函数则提供了一种映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

通过运用数列和函数的相关概念和公式，我们可以解决各种数学问题，并获得准确的答案。

需要注意的是，在解决问题时，我们要仔细理解题目中给出的条件和要求，并根据题目类型选择合适的数列或函数的公式进行计算。

数列中的综合问题

[解]
易知
(2)若选择①，解答过程如下.
+1

＝
1
3
当 n ≥2时，
−1
+1

·
+2
2
1
，
1
3
1
3
＝ × ，
3
2
1
3
2
4
＝ × ，
4
3
1
3
3
5
＝ × ，…，

−1
1
3
＝ ×
，
累乘得
2
1
×
1
2
3
2
×…×

−1
因为 b 1 ＝，所以 b n ＝
成立，
＝
1
1
＋8.
+1
＝(4－3 n )·2
－8，
方法总结
数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转
化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
跟踪训练
1.
2
(2022·全国甲卷)记 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知
＋ n ＝2 an ＋1.

(1)证明：{ an }是等差数列；
的通项公式、前 n 项和公式、求和方法等对式子化简变形.
跟踪训练
3. 已知数列{ an }是等差数列， a 1＝1，公差 d ∈[1，2]，且 a 4＋λ a 10＋ a 16
＝15，则实数λ的最大值为
1
－
2
.
⁠
因为 a 4＋λ a 10＋ a 16＝15，所以 a 1＋3 d ＋λ( a 1＋9 d )＋ a 1＋15 d ＝15，

主题09 数列的通项公式、求和及数列的综合问题-高考数学二轮透析23题对对碰(原卷版)

高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题9数列的通项公式、求和及数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查求数列通项公式、数列求和及数列的综合问题，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档或难题，分数为5分.【主题回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+ =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++ ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯ ，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式:①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a-（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++ =211121311n n a b a b q a b q a b q-++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++ ②，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n nn n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++-- =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++- ，转化为等比数列211,,,,n q q q - ，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．【易错提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项.8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式．【主题考向】考向一数列的通项公式【解决法宝】对数列求通项公式问题要熟练掌握常见的求通项公式方法，根据题中条件，选择合适的方法求解，特别是已知数列的递推公式求通项公式问题，常需要对所给条件进行变形，如两边去倒数等，转化为常见形式，在选择合适的方法求解.例1【2019届湖北省重点高中联考协作体期中】已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A．B．n-1C．D．【分析】【解析】考向二数列求和【解决法宝】1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.3.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.4.用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.例2．【2019届广东省汕尾市质检】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【分析】【解析】考向三数列综合问题【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.例3．【2019届黑龙江省齐齐哈尔市一模】已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．【分析】【解析】【主题集训】1.【云南省昆明市一中2018届第六次月考】已知数列的前项和为，则的值是（）A. B. C. D.2.【2019届河北省衡水中学二调】已知数列的前n项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为A．90B．91C．96D．1003.【福建省厦门外国语学校2018届下学期第一次月考】已知函数，且，则等于（）A.－2013B.－2014C.2013D.20144【2019届河南省新乡市二模】已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是（）A．B．C．D．5.【2019届云南曲靖市一模】数列中，，，设其前项和为，则（）A．B．C．D．6.【2019届河北省衡水中学高考押题（二)】已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A ．-454B ．-450C ．-446D ．-4427.【广东省华南师范大学附属中学2018届综合测试（三）】等比数列的前项和（为常数），若n n S a 23+≤λ恒成立，则实数的最大值是（）A.B.C.D.8.【2019届江西省上饶市第一次联考】设数列满足，且对任意整数，总有成立，则数列的前2018项的和为()A ．B ．C ．D ．9.【天津市耀华中学2018届12月考】已知数列，．若该数列是递减数列，则实数的取值范围是（）．A.B.C. D.10.【2019届浙江省绍兴一中期末】设为数列的前项和，，，若，则＝()A ．B ．C ．D ．12.【山东省烟台市2018届高三上学期期末自主练习】数列，的前项和分别为，，记，若，，则数列的前2018项和为()A.2017B.2018C.D.13.【2019届广东省广州市天河区综合测试（一)】数列满足，对任意的都有，则（）A ．B ．2C ．D ．14.【海南省2018届高三阶段性测试（二模）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则20172017S =（）A.1009B.1008C.2D.115.【2019届福建省漳州市一模拟】已知数列和首项均为1，且，，数列的前项和为，且满足，则（）A ．2019B ．C ．D ．16.【2019届辽宁省实验中学等五校期末】数列满足，，是数列前5项和为（）A．B．C．D．17.【2019届河北省保定市期末】在数列中，若，，，则该数列的前100项之和是（）A．18B．8C．5D．218.【2019届浙江省高考模拟（三)】已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A．B．C．D．19．【山西晋城市2018届二练】已知数列的前项和，且，且，则__________．20.【2019届湖南省三湘名校（五市十校)第一次联考】已知数列的前项和为，．当时，，则=_______21.【湖南省怀化市2018届高三上学期期末】已知数列的前项之和为，满足，，则数列的通项公式为__________．22.【2019届河北省石家庄二中二模】已知数列的前项和为，满足，则__________．23.【湖南省怀化市2018届高三上学期期末】已知数列的前项之和为，满足，，则数列的通项公式为__________．。

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数列与函数结合的综合问题数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

一、利用具体函数的解析式得递推关系例1：已知函数2()(,)x a f x b c N bx c++=∈-中，1(0)0,(2)2,(2)2f f f ==-<-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的数列{}na 满足：14()1nnS f a =，求通项na ？（3）在条件（2）下，令2nnn ba =，求数列{}nb 的前n 项和？分析：由题知：0,2a b c ===，所以2()22x f x x =-，所以可求得：2112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n++=-⇒+-+=⇒=-例2：函数[)()222,2,f x x x x =-∈+∞；（1）求()f x 的反函数1()fx -；（2）数列{}na 满足：11()nn Sf S --=，且12a=，求数列{}na 的通项公式；（3）在条件（2）下，令2*11()()2n n n n na ab n N a a +++=∈，求数列{}nb 的前n 项和？分析：（1）由题知：12()2),0f x x x -=≥；（2）1242nn n ss a n -==-（3）22211111()2111()222121n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--===+--+例3、设函数()241+=x x f ，(1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记()()()+∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。

解：∵()241+=x x f ， ∴()(1)f x f x +- =1114242x x -+++ 1142421(42)(42)2x x x x --+++==++()()()+∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210 ()()()12211......0,n n n a f f f f f f n N n n n n +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴2na =12n + ∴na =14n + ∴Sn=111()442n n +++=(3)8n n +二、利用抽象函数的性质得递推关系：例1：()f x 是R 上不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈都有：()()()f a b af b bf a =+，（1）求(0)f 与(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）若(2)2f =，*(2),()n n f u n N n-=∈，求数列{}nu 的前n 项和nS ？简析：（1）(0)0,(1)0f f ==；（2）2(1)((1))(1)(1)(1)0f f f f f =-=----⇒-=，再令1,,()1()(1)()a b x f x f x x f f x =-=-=-+-=-，所以为奇函数；（2）当0a b ≠时，()()()f ab f b f a ab b a =+，令函数()()f x g x x=，所以有：()()()()()ng ab g b g a g a n g a =+⇒= ，所以有：1()()()()()n nn n n nf ag a f a a g a n a n f a a-=⇒==，得111111(2)()()2222n n nn f n f u f ---⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；又因为：1111(1)2()(2)()2222f f f f =+⇒=-，所以：12nn u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

例2：已知函数()f x 是定义在*N 上的函数，且满足(())3,(1)2f f k k f ==。

设1(3)n n a f -=，11b =且有：3131log ()log ()n n b f a b f a -=-；（1）求证：31212()()()4n n b bb bf a f a f a +++<；（2）若122411122224141()()()()n n n n n n n n n n n n f af a f a f a m a b a b a b a b +++++++++++++≤对于任意的*1,n n N >∈恒成立，求m 的取值范围。

解：（1）由于1(3)n na f -=，所以有11()((3))333n n n n f a f f --===，也有：3log ()nf a n =由：3131log ()log ()n n bf a b f a -=-，得n b n =，令1212()()()nn n b b bS f a f a f a =+++，也即有：21233333n n nn S =++++，由错位相减得出：31213113()3223244n n n b S n S +=-+<⇒<=（2）由(())3((()))(3)3()(3)f f k k f f f k f k f k f k =⇒=⇒=，所以：11(3)3(3)3n n n n a f f a -+===，又因为01(3)(1)20a f f ===≠，所以{}n a 是等比数列，有123n na -=，又()3nn f a =，所以有了：1()331232n n n n n f a a b n n-==，设124111224141()()()31111()212241n n n nn n n n n n f a f a f a Ta b a b a b n n n n ++++++=+++=++++++有： 11311111()2212245141314()2(21)(22)(41)(4)3302(21)(22)(41)(45)n n n nT T n n n n n n n n n n n n n T T ++-=++--+++++=-++++-=<++++⇒< 所以nT 是单调递减的。

也当2n =时，nT 取得最大值2311125()234924T =++=，由题有：2524m ≥。

练习：已知函数f (x )定义在区间（-1，1）上，1)21(-=f ,且当x ,y ∈(-1,1)时，恒有)1()()(xy yx f y f x f --=- ,又数列{a n }满足21112,21nn n a a a a +==+,设)(1)(1)(121n n a f a f a f b +⋯++=．（１）证明：f (x )在（-1，1）上为奇函数；（２）求f (a n)的表达式；（３）是否存在自然数m ，使得对任意n ∈N ,都有48-<m b n 成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．讲解（１）紧扣奇函数的定义，选择特殊值．令x=y=0，则f (0)=0，再令x=0,得f (0)-f (y )=f (-y ),所以f (-y )=-f (y ),y ∈(-1,1),故f (x )在（-1，1）上为奇函数．（２）),1()()()1(,1)21()(1xyyx f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n nn nn nnn a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)()(1=+n n a f a f ，∴{f (a n )}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f (a n)=-2n-1.（３）先求nb 的表达式，得2111111112(1)21222212n n n n b ---=-+++⋯+=-=-+-，若48-<m bn恒成立（n ∈N +）,则112224n m --+<-，即14.2n m ->∵n ∈N +，∴当n =1时，124-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ,∴存在m =5，使得对任意n ∈N +，都有48-<m b n成立.。