数列与函数例题分析
函数常见题型及其解答
函数常见题型及其解答函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的重点和难点。
在学习函数的过程中，同学们可能会遇到各种类型的题目，本文将介绍一些常见的题型及其解答方法。
一、求函数的定义域定义域是函数的基础，求函数的定义域是常见的问题之一。
常见的方法有：1. 观察法：根据函数解析式，直接观察出其定义域。
2. 分式法：对于分式函数，需要保证分母不为0。
3. 偶次根式法：对于偶次根式函数，需要保证被开方数非负。
4. 对数法：对于对数函数，需要保证对数的真数大于0。
5. 复合法：对于含有多个函数的式子，需要保证每个函数都有意义。
例题：求函数f(x) = 的定义域。
解答：由已知可得，要使函数有意义，需满足：3x - 4 > 0，解得x > 4/3。
所以函数的定义域为{x︱x > 4/3}。
二、求函数的解析式求函数的解析式是另一个常见的问题。
常见的方法有：1. 直接法：根据已知的函数表达式，直接求出未给出的函数表达式。
2. 换元法：对于某些复杂的表达式，可以通过换元法简化表达式。
3. 待定系数法：通过设出函数表达式中的系数，再根据已知条件求出这些系数。
例题：已知函数f(x)满足f(x) + f(2 - x) = 2，求f(x)的解析式。
解答：设f(x) = kx + b，则f(2 + x) = k(x + 2) + b + k = kx + 2k + b + b = 2，解得k = - 1，b = 0，所以f(x)的解析式为f(x) = - x。
三、函数的性质与图像函数的性质和图像是函数的重要内容之一。
常见的题型有：1. 求函数的单调区间、极值和最值。
2. 根据函数的性质和图像，分析函数的特征和变化规律。
3. 根据已知条件，画出函数的图像。
例题：已知函数f(x)在定义域内为减函数，且f(x - 1) >f(1)，求函数的单调区间。
解答：由题意可知，函数f(x)在定义域内为减函数，且f(x - 1) > f(1)，所以x - 1 < 1 < x，即- 1 < x < 2，函数的单调递减区间为( - 1,2)。
第6章 数列与数学归纳法(6.4-6.8)
6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）． 当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1． 等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）．A ． n 为任何正整数时都成立B ． 仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2． 用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 ．4． 若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为 ． 5． 若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6． 利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证 ． 7． 数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 ． 8． 用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9． 用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=； （2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++； （3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10． 在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】 解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ， 证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。
数列的极限例题及详解
数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。
我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。
一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。
另外，数列的极限也称为极限点或极限值。
当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。
二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。
解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。
考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。
解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。
解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。
希望本文对读者有所帮助。
等差数列的前n项和公式推导与例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3即＝＋ n N 213 () N-若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】 求证：前n 项和为4n 2＋3n 的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n －1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件． 说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d=1725d d=29817162∴a n=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169．解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系．由题意S9=S17得a10＋a11＋a12＋…＋a17=0而a10＋a17=a11＋a16=a12＋a15=a13＋a14∴a13＋a14＝0，a13=－a14∴a13≥0，a14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
关于数列极限和函数极限解法的解析
关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。
上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。
ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。
公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。
极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。
1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。
只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。
“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。
下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。
表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系数列极限设{x n}为实数数列，a为常数．若对任意给定的正数ɛ，总存在正整数N，使得当n>N时，有∣x n−a∣<ɛ，则称数列{x n}收敛于a，常数a称为数列{x n}的极限．并记作x n=a或x n→a(n→∞),limn→+∞读作“ 当n趋于无穷大时，{x n}的极限等于a”．若数列{x n}没有极限，则称{x n}不收敛，或称{x n}为发散数列．对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性：定理1：如果数列{x n}收敛，则其极限是唯一的；定理2：如果数列{x n}收敛，则其一定是有界的，即对于一切n(n=1,2,⋯)，总可以找到一个正数M，使得∣x n∣⩽M．函数极限函数极限可以分成x→x0,x→+∞,x→−∞三种．x→x0:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域，即(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)(δ>0)内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式∣f(x)−A∣<ɛ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作limf(x)=A.x→x0x→+∞:设f(x)为定义在[a,+∞)上的函数，A为常数．若对于任意给定的正数ɛ，存在正数M，使得当x>M时，有∣f(x)−A∣<ɛ，则称函数f(x)当x趋于正无穷时以A为极限，记作f(x)=A或f(x)→A(x→+∞),limx→+∞x→−∞与此类似．例题1. 设无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 1=lim n→∞(a 3+a 4+⋯+a n )，则 q = ．【答案】 √5−12【分析】 易知 ∣q ∣<1，且 a 1=lim n→∞(a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a n −a 1−a 2)，所以 a 1=a 11−q−a 1−a 1q ，即 q 2+q −1=0．2. lim√n 2+5n−n= ．【答案】 253. 如图，抛物线 y =−x 2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A ，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P 1,P 2,⋯,P n−1，过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q 1,Q 2,⋯,Q n−1，从而得到 n −1 个直角三角形 △Q 1OP 1,△Q 2P 1P 2,⋯,△Q n−1P n−2P n−1，当 n →∞ 时，这些三角形的面积之和的极限为 ．【答案】 13【分析】 S =lim n→∞[12(1n −1n 3)+12(1n −4n 3)+⋯+12(1n −(n−1)2n 3)]=lim n→∞[n−12n −12+22+⋯+(n−1)22n 3]=13.4. 计算： limn→∞3n 2+4n−2(2n+1)2= ．【答案】 345. limn→∞(1−3nn+3)=．【答案】−26. limn→∞(1+a)n+1n+a=2，则常数a=．【答案】17. limx→2(4x2−4−1x−2)=．【答案】−148. limn→∞C n2+2C n n−2n+1=．【答案】329. limn→∞1+3+⋯+(2n−1)2n2−n+1=．【答案】1210. limx→1x−1x2+3x−4=．【答案】1511. 有一列正方体，棱长组成以1为首项，12为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,⋯,V n,⋯，则limn→∞(V1+V2+⋯+V n)=．【答案】8712. 若函数f(x)={3x+2x2−4−ax−2(x>2),b(x⩽2)在x=2处连续，则a=，b=．【答案】2；1413. limn→∞2n+3n2n−3n= ．【答案】 −114. 设函数 f (x )=1x+1，点 A 0 表示坐标原点，点 A n (n,f (n ))(n ∈N ∗)，若向量 a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θn 是 a n ⃗⃗⃗⃗ 与 i 的夹角，（其中 i =(1,0)），设 S n =tanθ1+tanθ2+⋯+tanθn ，则 lim n→∞S n = ．【答案】 1【分析】 a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1n+1)．由题意，得 θn 是 a n ⃗⃗⃗⃗ 与 x 轴正方向 的夹角，从而 tanθn =1n (n+1)．运用裂项相消法，得 S n =1−1n+1．15. 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 6=S 3=12，则 limn→+∞S nn 2=【答案】 1【分析】 {a 6=12S 3=12 故 {a 1=2d =2，所以 a n =2n ，lim n→+∞S n n 2=lim n→+∞n (n+1)n 2=lim n→+∞n+1n =1．16. lim x→0(1x 2−x −2x 2−2x )= ．【答案】 −1217. 计算 limn→+∞n+21+2+⋯+n= ．【答案】 018. (1)若 lim √n(√n+a−√n)=1 ，则常数 a = ．(2) √x−√π= ．【答案】 2 ； −2√π19. 已知无穷等比数列 {a n } 的各项和为 4 ，则首项 a 1 的取值范围是 ．【答案】 (0,4)∪(4,8)20. 已知函数 f (x )={x 2+2x−3x−1,x >1,ax +1,x ⩽1,在 x =1 处连续，则实数 a 的值为 ．【答案】 321. 设函数 f (x )={2x +1(x >0),a(x =0),bx (√1+x −1)(x <0) 在 x =0 处连续，求 a,b 的值．【解】lim x→0−f (x )=lim x→0−bx⋅(√1+x −1)=lim x→0√1+x √1+x x(√1+x +1)=lim x→0b (1+x −1)x(√1+x +1)=lim x→0√1+x +1=b2,而 lim x→0+f (x )=lim x→0+(2x +1)=2⋅0+1=1，所以 {b2=a 1=a⇒{a =1,b =2.22. 已知 lim x→−2x 2+mx+2x+2=n ，求 m,n 的值．【解】 解法一：∵ limx→−2x 2+mx+2x+2=n ，∴ x =−2 为方程 x 2+mx +2=0 的根． ∴ m =3． 又 limx→−2x 2+3x+2x+2=lim x→−2(x +1)=−1，∴ n =−1．∴ m =3,n =−1．解法二：∵lim x→−2(x 2+mx +2)=lim x→−2[(x +2)⋅x 2+mx +2x +2]=lim x→−2(x +2)⋅lim x→−2x 2+mx +2=0⋅n =0,∴ (−2)2+(−2)m +2=0,m =3． 同上可得 n =−1．23. 在数列 {a n } 中，若 a 1，a 2 是正整数，且 a n =∣a n−1−a n−2∣，n =3,4,5,⋯ 则称 {a n } 为“绝对差数列”．(1)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"（只要求写出前十项）；【解】 a 1=3，a 2=1，a 3=2，a 4=1，a 5=1，a 6=0，a 7=1，a 8=1，a 9=0，a 10=1．（答案不唯一）(2)若“绝对差数列” {a n } 中，a 1=3，a 2=0，试求出通项 a n ；【解】 因为在绝对差数列 {a n } 中，a 1=3，a 2=0，所以该数列是 a 1=3，a 2=0，a 3=3，a 4=3，a 5=0，a 6=3，a 7=3，a 8=0，⋯． 即自第 1 项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3，所以 {a 3n+1=3,a 3n+2=0,a 3n+3=3,(n =0,1,2,3,⋯).(3)证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【解】 根据定义，数列 {a n } 必在有限项后出现零项，证明如下：假设 {a n } 中没有零项，由于 a n =∣a n−1−a n−2∣，所以对于任意的 n ，都有 a n ⩾1，从而 当 a n−1>a n−2 时，a n =a n−1−a n−2⩽a n−1−1(n ⩾3)； 当 a n−1<a n−2 时，a n =a n−2−a n−1⩽a n−2−1(n ⩾3)； 即 a n 的值要么比 a n−1 至少小 1，要么比 a n−2 至少小 1．令 c n ={a 2n−1(a 2n−1>a 2n ),a 2n (a 2n−1<a 2n ),(n =1,2,3,⋯)． 则 0<c n ⩽c n−1−1(n =2,3,4,⋯)．由于 c 1 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 c n <0， 这与 c n >0(n =1,2,3,⋯) 矛盾，从而 {a n } 必有零项．若第一次出现的零项为第 n 项，记 a n−1=A (A ≠0)，则自第 n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A ，A ，即{a n+3k =0,a n+3k+1=A,a n+3k+2=A,(k =0,1,2,3,⋯).所以绝对差数列 {a n } 中有无穷多个为零的项．24. 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n =8(n+1)(n+3)，求 ∑(n +1)(a n −a n+1)∞n=1 的值．【解】 因为 (n +1)(a n −a n+1)=8(n +1)[1(n +1)(n +3)−1(n +2)(n +4)]=8⋅[1(n +2)(n +4)+1(n +3)(n +4)]=4⋅(1n +2−1n +4)+8(1n +3−1n +4),所以 ∑(n +1)(a n −a n+1)∞n=1=4∑(1n +2−1n +4)∞n=1+8∑(1n +3−1n +4)∞n=1=4⋅(13+14)+8⋅14=133.25. 已知数列 {a n } 中，a n =(2n )2(2n−1)(2n+1), S n 为其前 n 项的和，求 lim n→∞S nn的值．【解】∵a n=(2n )2(2n−1)(2n+1)=(2n )2−1+1(2n−1)(2n+1)=1+(12n−1−12n+1)×12,∴1n S n =1n [1+12(1−13)+1+12(13−15)+⋯+1+12(12n−1−12n+1)]=1n [n +12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)]=1n [n +12(1−12n+1)]=2n+22n+1.∴ lim n→∞S nn =limn→∞2n+12n+1=1.26. 已知数列 {a n }，其中 a 1=1，a 2=3，2a n =a n+1+a n−1 (n ⩾2)．记数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，数列 {lnS n } 的前 n 项和为 U n ． (1)求 U n ；【解】 由题意，得 {a n } 是首项为 1 、公差为 2 的等差数列，则其前 n 项和S n =n ×1+n (n −1)2×2=n 2,从而lnS n =lnn 2=2lnn,因此U n =2(ln1+ln2+⋯+lnn )=2ln (n!). (2)设 x >0，F n (x )=e U n2n (n!)2x 2n ，T n (x )=∑F k ʹn i=1(x )（其中 F k ʹ(x ) 为 F k (x ) 的导函数），计算 limn→∞T n (x )T n+1(x )．【解】 由（1），得F n (x )=e U n 2n (n!)2⋅x 2n =(n!)22n (n!)2⋅x 2n=x 2n2n,则F nʹ(x)=x2n−1.从而T n(x)=∑F kʹ(x)=nk=1∑x2k−1=nk=1{x(1−x2n)1−x2,0<x<1,n,x=1,x(1−x2n)1−x2,x>1.因此lim n→∞T n(x)T n+1(x)={limn→∞1−x2n1−x2n+2=1,0<x<1,limn→∞nn+1=1,x=1,limn→∞(1x2n)−1(1x2n)−x2=1x2,x>1.27. 已知等差数列{a n}的前三项为a，4，3a，前n项和为S n，且S k=2550． (1)求a及k的值；【解】∵a+3a=2×4,∴a=2.∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列．∵2k+k(k−1)2×2=2550,∴k=50,即a、k的值分别为2、50．(2)求limn→+∞(1S1+1S2+⋯+1S n)的值．【解】∵S n=2n+n(n−1)2×2=n2+n,∴1S n =1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1.∴1S1+1S2+⋯+1S n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1 =1−1n+1.∴limn→+∞(1S1+1S2+⋯+1S n)=limn→+∞(1−1n+1)=1.28. 已知数列{a n}的前n项和S n=3n−1，数列{b n}满足b1=1，b n=3b n−1+a n(n⩾2)，记数列{b n}的前n项和为T n．(1)证明：{a n}为等比数列；【解】因为数列{a n}的前n项和S n=3n−1，所以a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n⩾2)．因为n=1时，a1=S1=2，也适合上式，所以a n=2⋅3n−1(n∈N∗)．因为a n+1a n =2⋅3n2⋅3n−1=3，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列． (2)求T n；【解】当n⩾2时，b n=3b n−1+2⋅3n−1，将其变形为b n3n−1=b n−13n−2+2，即b n3n−1−b n−13n−2=2．所以数列{b n3n−1}是首项为b130=1，公差为2的等差数列．所以b n3n−1=1+2(n−1)=2n−1．所以b n=(2n−1)⋅3n−1(n∈N∗)．因为T n=1×30+3×31+5×32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，所以3T n=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n−1)⋅3n．两式相减得2T n=−1−2(31+32+⋯+3n−1)+(2n−1)⋅3n．整理得T n=(n−1)⋅3n+1(n∈N∗)．(3)设P n=S n+T n，若对于任意n∈N∗，都有(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅P nP n+1成立，求实数λ的取值范围．【解】由P n=S n+T n=n⋅3n，得P nP n+1=n⋅3n(n+1)⋅3n+1=n3n+3．于是(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅P nP n+1化为(−1)n−1λ<1+(−1)n⋅n3n+3. ⋯⋯①（i）当n是正奇数时，①式可化为λ<23+13n+3，显然，13n+3大于0，且随着正奇数n的增大而减小．由于①式对任意正奇数n恒成立，所以λ⩽23．（ii）当n是正偶数时，①式可化为λ>−43+13n+3，显然，13n+3随着正偶数n的增大而减小．由于①式对任意正偶数n恒成立，所以λ>−43+13×2+3=−119．综上，实数λ的取值范围(−119,23 ]．29. 设函数f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+a n sinnx，其中a1,a2,⋯,a n∈R,n∈N+，已知对一切x∈R，有∣f(x)∣⩽∣sinx∣和limx→0sinxx=1，求证：∣a1+2a2+⋯+na n∣⩽1．【解】由于f(x)=a1sinx+a2sin2x+⋯+a n sinnx,则fʹ(x)=a1cosx+2a2cos2x+⋯+na n cosnx,所以fʹ(0)=a1+2a2+⋯+na n.由于∣fʹ(0)∣=∣∣∣limΔx→0f (Δx )−f (0)Δx∣∣∣=lim Δx→0∣∣∣f (Δx )Δx ∣∣∣⩽limΔx→0∣sinΔx∣∣Δx∣=1,故有 ∣a 1+2a 2+⋯+na n ∣⩽1．30. 已知公比为 q (0<q <1) 的无穷等比数列 {a n } 各项的和为 9，无穷等比数列 {a n 2} 各项的和为 815．(1)求数列 {a n } 的首项 a 1 和公比 q ；【解】 依题意可知，{ a 11−q =9,a 122=81,⇒{a 1=3,q =23.(2)对给定的 k (k =1,2,3,⋯,n )，设 T (k ) 是首项为 a k ，公差为 2a k −1 的等差数列，求 T (2) 的前 10 项之和；【解】 由（1）知，a n =3×(23)n−1，所以数列 T (2) 的的首项为 t 1=a 2=2，公差 d =2a 2−1=3，S 10=10×2+12×10×9×3=155，即数列 T (2) 的前 10 项之和为 155．(3)设 b i 为数列 T (k ) 的第 i 项，S n =b 1+b 2+⋯+b n ，求 S n ，并求正整数 m (m >1)，使得limn→∞S nn m存在且不等于零．（注：无穷等比数列各项的和即当 n →∞ 时该无穷等比数列前 n 项和的极限）【解】 b i =a i +(i −1)(2a i −1)=(2i −1)a i −(i −1)所以 S n =b 1+b 2+⋯+b n =[a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n ]−[1+2+⋯+(n −1)]令 S =a 1+3a 2+5a 3+⋯+(2n −1)a n 因为 S −qS =2(a 1+a 2+⋯+a n )−a 1−(2n −1)a n+1 所以S =2a 1(1−q n )(1−q )2−a 1+(2n −1)a n+11−q =45−(18n +45)(23)n故S n =S −n (n −1)2=45−(18n +45)(23)n −n (n −1)2当 m =2 时，lim n→∞S n n 2=lim n→∞[45n 2−18n +45n 2(23)n −12+12n ]=−12 当 m >2 时，lim n→∞S n n m =0，所以当 m =2 时，lim n→∞S nn 存在且不等于零．31. 已知在 x 轴上有一点列：P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)，P 3(x 3,0)，⋯，P n (x n ,0)，⋯，点 P n+2 分有向线段 P n P n+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比为 λ，其中 n ∈N ∗，λ 为常数，x 1=1，x 2=2． (1)设 a n =x n+1−x n ，求数列 {a n } 的通项公式；【解】 由题意得 x n+2=x n +λxn+11+λ，又 a n =x n+1−x n ， ∴a n a n−1=−11+λ，又 a 1=x 2−x 1=1，∴ 数列 {a n } 是首项为 1 、公比为 −11+λ 的等比数列， ∴ a n =(−11+λ)n−1．(2)设 f (λ)=lim n→+∞x n ，当 λ 变化时，求 f (λ) 的取值范围．【解】 因为x n =x 1+(x 2−x 1)+(x 3−x 2)+⋯+(x n −x n−1)=1+a 1+a 2+⋯+a n−1,λ>0．∴ ∣∣−11+λ∣∣<1，lim n→+∞x n =1+11+11+λ=2λ+3λ+2． ∴ 当 λ>0 时，f (λ)=2(λ+2)−1λ+2=2−1λ+2∈(32,2)．32. 已知函数 f (x )={0,(x ⩽0),n [x −(n −1)]+f (n −1),(n −1<x ⩽n,n ∈N ∗), 数列 {a n } 满足a n =f (n )(n ∈N ∗)．(1)求数列 {a n } 的通项公式；【解】 ∵ n ∈N ∗，所以f (n )=n [n −(n −1)]+f (n −1)=n +f (n −1),所以f (n )−f (n −1)=n,所以f (1)−f (0)=1,f (2)−f (1)=2,f (3)−f (2)=3,⋯⋯f (n )−f (n −1)=n.将这 n 个式子相加，得f (n )−f (0)=1+2+3+⋯+n=n (n +1).∵ f (0)=0， ∴ f (n )=n (n+1)2，所以a n =n (n +1)2(n ∈N ∗). (2)设 x 轴，直线 x =a 与函数 y =f (x ) 的图象所围成的封闭图形的面积为 S (a )(a ⩾0)，求 S (n )−S (n −1)(n ∈N ∗)；【解】 S (n )−S (n −1) 为一直角梯形（n =1 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 f (n −1)，f (n )，高为 1，所以S (n )−S (n −1)=f (n −1)+f (n )2×1=a n−1+a n 2=12[n (n −1)2+n (n +1)2]=n 22.(3)在集合 M ={N ∣N =2k,k ∈Z 且 1000⩽k <1500} 中，是否存在正整数 N ，使得不等式 a n −1005>S (n )−S (n −1) 对一切 n >N 恒成立？若存在，则这样的正整数 N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数 N ；若不存在，请说明理由．【解】 设满足条件的正整数 N 存在，则n (n +1)2−1005>n 22⇔n2>1005⇔n >2010. 又 M ={2000,2002,⋯,2008,2010,2012,⋯,2998}，∴ N =2010,2012,⋯,2998 均满足条件．它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列． 设共有 m 个满足条件的正整数 N ，则2010+2(m −1)=2998,解得m =495,∴ M 中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个，所以N min =2010.(4)请构造一个与 {a n } 有关的数列 {b n }，使得 lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n ) 存在，并求出这个极限值．【解】 设 b n =1a n，即b n =2()=2(1−1),则b 1+b 2+⋯+b n=2[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n +1)]=2(1−1n +1).显然，其极限存在，并且lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n )=lim n→∞[2−1n +1]=2. 注：b n =c a n（c 为非零常数），b n =(12)2a n n+1,b n =q 2a nn+1(0<∣q ∣<1) 等都能使 lim n→∞(b 1+b 2+⋯+b n ) 存在．33. 已知 a >0 ，且 a ≠1 ，函数 f (x )=log a (1−a x ) ． (1)求函数 f (x ) 的定义域，并判断 f (x ) 的单调性；【解】 由题意知 1−a x >0 ，当 0<a <1 时， f (x ) 的定义域是(0,+∞);当 a >1 时， f (x ) 的定义域是(−∞,0).因为fʹ(x )=−a x lna 1−a x ⋅log a e =a xa x −1.由此，当 0<a <1 时， x ∈(0,+∞) ，因为 a x −1<0 ， a x >0 ，则fʹ(x )<0,所以 f (x )在 (0,+∞) 上是减函数．当 a >1 时， x ∈(−∞,0)，因为 a x −1<0 ， a x >0 ，则fʹ(x )<0,所以 f (x )在 (−∞,0) 上是减函数． (2)若 n ∈N ∗，求 lim n→∞a f (n )a n +a；【解】 因为 f (n )=log a (1−a n ),所以a f (n )=1−a n ,由函数定义域知 1−a n >0 ，因为 n 是正整数，则 0<a <1 ，所以lim n→∞a f (n )a n +a =lim n→∞1−a n a n +a =1a. (3)当 a =e （ e 为自然对数的底数）时，设 ℎ(x )=(1−e f (x ))(x 2−m +1) ，若函数 ℎ(x ) 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 ℎ(x ) 的极值．【解】 由 ℎ(x )=e x (x 2−m +1)(x <0) ，所以ℎʹ(x )=e x (x 2+2x −m +1).令 ℎʹ(x )=0 ，即x 2+2x −m +1=0,由题意应有 Δ⩾0 ，即m ⩾0.①当 m =0 时， ℎʹ(x )=0 有实根x =−1,在 x =−1 点左右两侧均有 ℎʹ(x )>0 ，故 ℎ(x ) 无极值． ②当 0<m <1 时， ℎʹ(x )=0 有两个实根x 1=−1−√m,x 2=−1+√m.当 x 变化时， ℎʹ(x ) 、 ℎ(x ) 的变化情况如下表所示：x (−∞,x 1)x 1(x 1,x 2)x 2(x 2,0)ℎʹ(x )+00+ℎ(x )↗极大值↘极小值↗所以 ℎ(x ) 的极大值为2e −1−√m (1+√m),ℎ(x ) 的极小值为2e −1+√m (1−√m).③当 m ⩾1 时, ℎʹ(x )=0 在定义域内有一个实根x =−1−√m.同上可得 ℎ(x ) 的极大值为2e −1−√m (1+√m).综上所述，当 0<m <1 时 ℎ(x ) 的极大值为 2e −1−√m (1+√m) ， ℎ(x ) 的极小值为 2e −1+√m (1−√m) ；当 m ⩾1 时， ℎ(x ) 的极大值为 2e −1−√m (1+√m) ．34. 已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点 P 在映射 f 下的象为点 Q ，记作 Q =f (P )．设 P 1(x 1,y 1)，P 2=f (P 1)，P 3=f (P 2)，⋯，P n =f (P n−1)，⋯ 如果存在一个圆，使所有的点 P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 P n (x n ,y n ) 的一个收敛圆．特别地，当 P 1=f (P 1) 时，则称点 P 1 为映射 f 下的不动点．若点 P (x,y ) 在映射 f 下的象为点 Q (−x +1,12y)． (1)求映射 f 下不动点的坐标；【解】 设不动点的坐标为 P 0(x 0,y 0)，由题意，得{x 0=−x 0+1,y 0=12y 0.解得x 0=12,y 0=0.所以此映射 f 下不动点为 P 0(12,0)．(2)若 P 1 的坐标为 (2,2)，求证：点 P n (x n ,y n )(n ∈N ∗) 存在一个半径为 2 的收敛圆．【解】 由 P n+1=f (P n )，得{x n+1=−x n +1,y n+1=12y n .所以x n+1−12=−(x n −12),y n+1=12y n . 因为 x 1=2，y 1=2，所以 x n −12≠0，y n ≠0，所以x n+1−12x n −12=−1,y n+1y n =12. 由等比数列定义，得数列 {x n −12}(n ∈N ∗) 是公比为 −1，首项为 x 1−12=32 的等比数列，所以x n −12=32×(−1)n−1, 则x n =12+(−1)n−1×32. 同理，y n =2×(12)n−1．所以 P n (12+(−1)n−1×32,2×(12)n−1)．设 A (12,1)，则∣AP n ∣=√(32)2+[1−2×(12)n−1]2.因为 0<2×(12)n−1⩽2，所以 −1⩽1−2×(12)n−1<1，所以∣AP n ∣⩽√(32)2+1<2.故所有的点 P n (n ∈N ∗) 都在以 A (12,1) 为圆心，2 为半径的圆内，即点 P n (x n ,y n ) 存在一个半径为 2 的收敛圆．35. 设 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1 对称，对任意 x 1,x 2∈[0,12]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且 f (1)=a >0． (1)求 f (12),f (14)；【解】 因为对任意 x 1,x 2∈[0,12]，都有 f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)， 所以 f (x )=f (x 2+x 2)=f (x 2)⋅f (x2)⩾0,x ∈[0,1]． ∵ f (1)=f (12+12)=f (12)⋅f (12)=[f (12)]2, f (12)=f (14+14)=f (14)⋅f (14)=[f (14)]2, f (1)=a >0，∴ f (12)=a 12,f (14)=a 14． (2)证明 f (x ) 是周期函数；【解】 依题设 y =f (x ) 关于直线 x =1 对称，故 f (x )=f (1+1−x )，即f (x )=f (2−x ),x ∈R.又由 f (x ) 是偶函数知 f (−x )=f (x ),x ∈R ，∴ f (−x )=f (2−x ),x ∈R ．将上式中 −x 以 x 代换，得f (x )=f (x +2),x ∈R.这表明 f (x ) 是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期． (3)记 a n =f (2n +12n)，求 lim n→∞(lna n )．【解】 由（1）知 f (x )⩾0,x ∈[0,1]，∵f (12)=f (n ⋅12n)=f [12n +(n −1)⋅12n ]=f (12n )⋅f [(n −1)⋅12n]=⋯=f (12n )⋅f (12n )⋅⋯⋅f (12n)=[f (1)]n ,f (12)=a 12，∴ f (12n )=a 12n．∵ f (x ) 的一个周期是 2 ∴ f (2n +12n )=f (12n )，因此 a n =a 12n． ∴lim n→∞(lna n )=lim n→∞(12n lna)=0．36. 已知点 P 1(a 1,b 1)，P 2(a 2,b 2)，…，P n (a n ,b n )（n 为正整数）都在函数 y =a x (a >0,a ≠1) 的图象上，其中 {a n } 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． (1)求数列 {a n } 的通项公式，并证明数列 {b n } 是等比数列；【解】 a n =2n −1，(n ∈N ∗)，b n =a a n =a 2n−1，∴ b n+1b n=a 2（定值），∴ 数列 {b n } 是等比数列．(2)设数列 {b n } 的前 n 项的和为 S n ，求 lim n→∞S nS n+1；【解】 ∵ {b n } 是等比数列，且公比 a 2≠1，∴ S n =a (1−a 2n )1−a 2，S nSn+1=1−a 2n1−a 2n+2．当 0<a <1 时，lim n→∞S nS n+1=1；当 a >1 时，lim n→∞S nS n+1=limn→∞1−a 2n 1−a 2n+2=limn→∞1a 2n −11a 2n −a 2=1a 2．因此，lim S nSn+1={1,0<a <11a2,a >1．(3)设 Q n (a n ,0)，当 a =23时，问 △OP n Q n 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；【解】 b n =(23)2n−1，S △=12⋅(2n −1)⋅(23)2n−1，设 c n =12⋅(2n −1)(23)2n−1，当 c n 最大时，则 {c n ⩾c n−1c n ⩾c n+1，解得 {n ⩽2.3n ⩾1.3，n ∈N ∗，∴ n =2 时，c n 取得最大值 49，因此 △OP n Q n的面积存在最大值为 49．37. 如图，已知 Rt △ABC 中，∠B =90∘，tanC =0.5，AB =1，在 △ABC 内有一系列正方形，求所有这些正方形面积之和．【解】 设正方形 BD 1C 1B 1 、 D 1D 2C 2B 2 、 … 的边长分别为 a 1,a 2,….， ∵AB =1，tanC =0.5，∴BC =2．由相似三角形的知识可得 a 12=1−a 11，∴a 1=23． 同理，可得 a 2=23a 1,…,a n =23a n−1.∴{a n } 是以 23为首项，以 23为公比的等比数列．设 {S n } 是第 n 个正方形的面积，则 S n 是以 49 为首项，49 为公比的等比数列．∴lim n→∞(S 1+S 2+⋯+S n )=limn→∞49[1−(49)n ]1−49=45lim n→∞[1−(49)n ]=45,即所有这些正方形面积之和为 45．38. 已知数列 {anλn −(3λ)n} 是等差数列，公差为 2，a 1=11，a n+1=λa n +b n ． (1)用 λ 表示 b n ；【解】 因为数列 {a nλn −(3λ)n} 是公差为 2 的等差数列，所以 a n+1λn+1−3n+1λn+1=a n λn −3nλn+2, 去分母，得a n+1=λ⋅a n +3n+1+2λn+1−λ⋅3n ,由 a n+1−λa n =b n ，得b n =2λn+1+3n (3−λ).(2)若limn→∞b n+1b n=4，且λ⩾3，求λ的值；【解】lim n→∞b n+1b n=limn→∞2λn+2+3n+1(3−λ)2λn+1+3n(3−λ).当λ=3时，lim n→∞b n+1n=λ=3这与已知矛盾，所以λ≠3，当λ>3时，lim n→∞b n+1b n=limn→∞2λ+(3−λ)(3λ)n+12+3−λλ(3λ)n=λ=4,综上，λ=4．(3)在（2）的条件下，求数列{a n}的前n项和．【解】当λ=4，由已知，得a n 4n −3n4n=11−34+2(n−1)=2n,解得a n=2n⋅4n+3n.令A n=2×4+4×42+6×43+⋯+2n×4n,则4A n=2×42+4×43+6×44+⋯+2n×4n+1,两式相减，得−3A n=2×4+2×42+2×43+⋯+2×4n−2n⋅4n+1=8(1−4n)1−4−2n⋅4n+1=(2−6n)⋅4n+1−83,从而A n=(6n−2)⋅4n+1+89.而B n=3+32+33+⋯+3n=3n+12−32,因此，数列{a n}的前n项和S n=A n+B n=89+6n−29×4n+1+3n+12−32=−1118+3n+12+6n−29×4n+1.39. 讨论函数 f (x )={x,x >2,−(x −2)2,x <2 在 x =2 处的左极限、右极限以及在 x =2 处的极限．【解】 函数 f (x ) 的图象如图所示：当 x →2− 时，函数无限接近于 0, 即 lim x→2−f (x )=0. 当 x →2+时，函数无限接近于 2, 即 lim x→2+f (x )=2. 综上，可知 lim x→2−f (x )≠lim x→2+f (x )．∴ 函数 f (x ) 在 x =2 处极限不存在．40. 已知 a >0，数列 {a n } 满足 a 1=a ，a n+1=a +1a n，n =1,2,⋯．(1)已知数列 {a n } 极限存在且大于零，求 A =lim n→∞a n （将 A 用 a 表示）；【解】 由 lim n→∞a n 存在，且 A =lim n→∞a n (A >0), 对 a n+1=a +1a n两边取极限得A =a +1A,解得A =a ±√a 2+42,又 A >0，所以A =a +√a 2+4.(2)设 b n =a n −A ，n =1,2,⋯，证明：b n+1=−bn A (b n +A)；【解】 由 a n =b n +A ，a n+1=a +1a n，得b n+1+A =a +1n , 所以b n+1=a −A +1b n +A =−1A +1b n +A=−b nA (b n +A ).即 b n+1=−b nA(b n +A)对 n =1,2,⋯ 都成立．(3)若 ∣b n ∣⩽12n对 n =1,2,⋯ 都成立，求 a 的取值范围．【解】 令 ∣b 1∣⩽12，根据（1）（2）得∣∣∣a −12(a +√a 2+4)∣∣∣⩽12, 解得a ⩾32.现证明当 a ⩾32 时，∣b n ∣⩽12n 对 n =1,2,⋯ 都成立． （i ）当 n =1 时结论成立（已验证）．（ii ）假设当 n =k (k ⩾1) 时结论成立，即 ∣b k ∣⩽12k , 那么∣b k+1∣=∣b k ∣∣A (b k +A )∣⩽1A ∣b k +A ∣×12k ,则只须证明1A ∣b k +A ∣⩽12,即证 A ∣b k +A ∣⩾2 对 a ⩾32成立．由于A =a +√a 2+42=2√a 2+4−a,而当 a ⩾32 时，√a 2+4−a ⩽1,所以A ⩾2,从而∣b k +A ∣⩾A−∣b k ∣⩾2−12k⩾1, 即A ∣b k +A ∣⩾2. 故当 a ⩾32 时，∣b k+1∣⩽12×12k =12k+1, 即 n =k +1 时结论成立．根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立．故 ∣b n ∣⩽12n 对 n =1,2,⋯ 都成立的 a 的取值范围为 [32,+∞).课后练习1. 无限循环小数可以化为有理数，如 0.1=19，0.13=1399，0.015=5333，⋯，请你归纳出0.017= （表示成最简分数 mn，且 n ，m ∈N ∗）．2. 计算： lim n→∞n+203n+13= ．3. 已知 limx→2x 2+cx+2x−2=a ，则 c = ，a = ．4. 已知函数 f(x)={1−√1−xx (x <0)a +x 2(x ⩾0) 是连续函数，则实数 a 的值是 ．5. 计算：lim n→∞n (n 2+1)6n 3+1= ．6. 若 lim x→1f (x−1)x−1=1，则 lim x→1f (2−2x )x−1= ．7. lim x→−2x 2+3x+2x+2= ．8. limx→1x √x−xx−1= ．9. 计算： limn→∞3n+1−2n3n +2n−1= ．10. 若 (1+2x )7 展开式的第三项为 168 ，则 lim n→∞(1x +1x 2+⋯+1x n )= ．11. 已知函数 f (x )={2x+1,x >0,x +a,x ⩽0是连续函数，则实数 a 的值是 ．12. 等差数列 {a n } 的前 3 项的和为 21，前 6 项的和为 24，则其首项为 ，若数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ，则 limn→∞S nn 2= ．13. 已知 f (x ) 在定义域 R 上可导，导函数为 fʹ(x )，若 f (x 0)=m ，fʹ(x 0)=n ，则limℎ→0sin [f (x 0+ℎ)]−sin [f (x 0−ℎ)]ℎ= ．（用 m ，n 表示）．14. 已知定义在正实数集上的连续函数 f (x )={11−x +2x 2−1,0<x <1x +a,x ⩾1，则实数 a 的值为 ． 15. limx→2x 3−2x 2x−2= ．16. lim x→1x 2+x−2x 2+4x−5= ．17. \(\lim\limits \limits_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}\right)=\) ．18. lim x→−2(44−x −12+x )= ．19. 等比数列 {b n }:1,2,4,⋯，其前 n 项和为 S n ,n =1,2,3,⋯，则 lim n→∞b nS n= ．20. 计算 limn→∞3n−24n+3= ．21. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =(n 2+n )⋅3n ． (1)求 limn→∞a n S n；(2)证明：a 11+a22+⋯+ann >3n．22. 函数 f (x ) 定义在 [0,1] 上，满足 f (x )=2f (x 2) 且 f (1)=1，在每个区间 (12i ,12i−1](i =1,2,⋯) 上，y =f (x ) 的图象都是平行于 x 轴的直线的一部分．(1)求 f (0) 及 f (12),f (14) 的值，并归纳出 f (12i )(i =1,2,⋯) 的表达式；(2)设直线 x =12i ,x =12i−1,x 轴及 y =f (x ) 的图象围成的矩形的面积为 a i (i =1,2,⋯)，求 a 1，a 2 及 lim n→∞(a 1+a 2+⋯+a n ) 的值． 23. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 和数列 {a n } 满足下列条件： a 1=a,a n =f (a n−1)(n =2,3,4,⋯),a 2≠a 1， f (a n )−f (a n−1)=k (a n −a n−1)(n =2,3,4,⋯), 其中 a 为常数，k 为非零常数．(1)令 b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)，证明数列 {b n } 是等比数列； (2)求数列 {a n } 的通项公式； (3)当 ∣k ∣<1 时，求 lim n→∞a n24. 已知 u n =a n +a n−1b +a n−2b 2+⋯+ab n−1+b n (n ∈N ∗,a >0,b >0)． (1)当 a =b 时，求数列 {u n } 的前 n 项和 S n ； (2)求 lim n→∞u nu n−1．小测验姓名 成绩1. 若 lim √n(√n+a−√n)=1 ，则常数 a = ．2. limx→−1x 2+3x+2x 2−1的值等于 ．3. 设等差数列 {a n } 的公差 d 是 2 ，前 n 项的和为 S n ，则 lim n→∞a n2−n 2S n= ．4. limx→2x−2x 2−x−2的值等于 ．5. 极限 limx→0(x+1)10−(x+1)6x= ．6. 各项均为正数的等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若 q <1，则limn→∞a n+1S n= ，若 q >1，则 limn→∞a n+1S n= ．7. 设常数 a >0，(ax −1x )5展开式中 x 3 的系数为 −581，则 a = ，lim n→∞(a +a 2+⋯+a n )= ．8. 设 a n 是 (1+x )n (n =2,3,4,⋯) 展开式中 x 2 的系数，则 lim n→∞(1a 2+1a 3+1a 4+⋯+1a n)= ．9. lim x→1(xx−1+x−3x 2−1)= ．10. 设函数f (x )={√1+x−1x ,x ≠0,a,x =0在 x =0 处连续，则实数 a 的值为 ． 11. 若 lim x→−1x 2+3x+m x+1=n ，则 m = ，n = ． 12. limn→∞3n +(−2)n3n+1+(−2)n+1= ．13. 等比数列 1，12，14，18，⋯ 所有项的和为 ． 14. 若 lim n→∞(4+4a+⋯+4a n−11−a)=9，则实数 a = ．15. 已知函数 f (x )={x 3−1x−1,x ≠1a,x =1，若 f (x ) 在 R 上连续，则 a = ．此时 lim n→∞(an−1n+2a3n )= ．16. 已知点 O (0,0)，Q 0(0,1) 和点 R 0(3,1)，记 Q 0R 0 的中点为 P 1，取 Q 0P 1 和 P 1R 0 中的一条，记其端点为 Q 1，R 1，使之满足 (∣OQ 1∣−2)(∣OR 1∣−2)<0，记 Q 1R 1 的中点为 P 2，取 Q 1P 2和P2R1中的一条，记其端点为Q2，R2，使之满足(∣OQ2∣−2)(∣OR2∣−2)<0．依次下去，得到P1，P2，⋯，P n，⋯，则limn→∞∣Q0P n∣=．17. 在二项式(1+x)n(n>1,n∈N)的展开式中，含x2项的系数记为a n，则limn→∞(1a2+1a3+⋯+1a n)的值为．18. 若(1+5x)n的展开式中各项系数的和是a n，(7x2+5)n的二项式系数和为b n，则lim n→∞a n−2b n3a n+4b n=．19. 已知数列{a n}的前n项和S n=−n2+kn(k∈R,n∈N∗)，则limn→∞na nS n=．20. 已知点A(0,2n ),B(0,−2n),C(4+2n,0)，其中n为正整数．设S n表示△ABC外接圆的面积，则limn→∞S n=．。
解决简单的数列与函数问题
解决简单的数列与函数问题数列和函数问题在数学学科中占据着重要的地位。
解决简单的数列与函数问题不仅可以提升我们的数学思维能力，还可以帮助我们应对日常生活中的一些实际问题。
本文将以实例为基础，分析和解决一些简单的数列与函数问题，并给出详细的解题步骤。
1. 简单数列问题：数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
解决数列问题可以通过观察数列的通项规律、前n项和等方法。
下面我们通过一个简单的数列问题来进行说明。
例题：求解数列 1, 3, 5, 7, 9, ...... 的第n项。
解析：观察数列可以发现，每一项都比前一项大2。
因此，可以得出数列的通项公式为 a_n = 2n-1，其中n为项数。
根据通项公式，我们可以轻松地求得第n项的值。
2. 简单函数问题：函数是一种对应关系，将自变量映射到一个唯一的因变量。
解决函数问题可以通过函数的图像、定义域、值域以及函数的性质等方面的分析。
下面我们通过一个简单的函数问题来进行说明。
例题：求解函数 y = 2x + 1 的零点。
解析：函数的零点即为函数图像与x轴交点的横坐标。
对于线性函数 y = 2x + 1，当y = 0时，可以得到 0 = 2x + 1，将方程两边关于x进行整理，得到 x = -1/2。
因此，函数的零点为x = -1/2。
以上是对简单数列与函数问题的解决方法进行了简单的示范。
在实际应用中，数列与函数经常与其他数学知识相结合，解决更加复杂的问题。
要想更好地解决数列与函数问题，我们需要通过大量的练习和学习积累，不断提高自己的数学能力。
总结：解决简单的数列与函数问题可以帮助我们培养逻辑思维和问题解决能力。
通过观察数列的规律、推导数列通项公式，以及理解函数的特性和性质，我们可以轻松解答相关问题。
但是要在数列和函数问题上取得更好的成绩，需要在平时的学习中多加练习，并不断拓展自己的数学知识面。
数学是一门需要不断学习和思考的学科，只有通过不断地学习与实践，我们才能更好地解决各类数列与函数问题。
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第26课 数列与函数●考试目标 主词填空1.函数的定义域常要推导或计算才能确定，而数列的定义域都是已知的，是事先确定的，要么是集合{1，2，3，…，n }.要么是{1，2，3，…，n ，…}.2.函数的值域须依其定义域推算确定，数列的值域也是计算所得：且为{a 1，a 2，…，a n }或{a 1，a 2，a 3，…，a n ，…}.3.函数的图像最常见的是连续不断的曲线(若是分段函数则在每一段上是连续不断的曲线)，而数列对应的点(n ，a n )描绘出来的图形是一些“孤零零的点”，不是线状图形.4.函数的单调性考察，须在其定义域内任取x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，然后比较f (x 1)与f (x 2)的大小关系是否恒定.而数列{a n }的单调性考察，只须比较对一切n ，a n 与a n +1的大小关系即可.5.函数的最值，在数列中就是“最大项”或“最小项”.6.函数的作图，往往要利用函数的各种性质或用“变换”作图，而数列的图形只须描点即可. ●题型示例 点津归纳【例1】 填空题.(1)函数f (x )=si n 5xπ(x ∈N *)的值域是 ，最大函数值为 .(2)当且仅当n = 时，数列{n 2-21n }单调增.【解前点津】 (1)考察函数在一个周期内的取值情况即可.(2)a n =n 2-21n 解不等式：a n <a n +1即得.【规范解答】 (1)f (1)=si n 5π，f (2)=si n 52π，f (3)=si n 53π=si n 52π，f (4)=si n 54π=si n 5π，f (5)=0，故值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--52sin ,52sin,5sin ,5sin ,0ππππ. (2)令a n =n 2-21n .由a n <a n +1得，n 2-21n <(n +1)2-21(n +1)⇒n >10.故n ∈{11，12，13，…}.【解后归纳】 考察数列{a n }的单调性，关键是看a n <a n +1(或a n >a n +1)成立与否.【例2】 判断并证明函数f (x )=1+x -x (x ∈N *)的单调性.【解前点津】 化函数f (x )为)1(1x x ++再比较f (x +1)与f (x )的大小. 【规范解答】 证明：f (x )= )1(1x x ++>0(x ∈N *),故)()1(x f x f +=121+++++x x x x <1，∴f (x +1)<f (x )，∴f (x )是N *上的单调减函数.【解后归纳】 (1)将分子有理化，是逆向思维，(2)当被比较的两个量是正数时，可考虑比较商.【例3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3-m )S n +2ma n =m +3(n ∈N *)，其中m 为常数且m ≠-3.(1)求证：{a n }是等比数列.(2)若函数{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足：b 1=a 1，b n =23f (b n -1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列，并求b n .【解前点津】 (1)将a n 与S n 的递推式转化为关于a n 与a n +1的递推式；(2)通过变形，证明 111--n n b b (n ≥2)是一个与n 无关的常数. 【规范解答】 证明：(1)由条件：⎩⎨⎧+=+-+=+-++32)3(32)3(11m ma S m m ma S m n n n n ，两式相减得：(3-m )a n +1+2m (a n +1-a n )=0⇒n n a a 1+=32+m m 与n 无关，故{a n }是一个公比为32+m m 的等比数列. (2)由b 1=a 1=1，q =f (m )=32+m m ，b n =23f (b n -1)=23·3211+--n n b b ⇒b n b n -1+3b n =3b n -1⇒n b 1-11-n b =31，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为1，公差为31的等差数列，∴n b 1=1+31-n =32+n ，∴b n =23+n . 【解后归纳】 将a n 与S n 这种异类的递推公式转化为a n 与a n +1(或S n 与S n +1)这种同类的递推公式，是变形的“常用方法”，常用的结论是：a n +1=S n +1-S n .【例4】 已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{y n }满足na n x y log =2 (a >0，a ≠1)，设y 3=18，y 6=12.(1)数列{y n }的前多少项和最大?最大值为多少?(2)试判断是否存在自然数M ，使得n >M 时，x n >1恒成立，若存在，求出相应的M ；若不存在， 请说明理由.(3)令a n =log n x x n +1(n >13，n ∈N *),试比较a n 与a n +1的大小.【解前点津】 通过计算y n +1-y n ，考察{y n }的属性，才能计算其前n 项和.【规范解答】 (1)y n =2log a x n ，y n +1=2log a x n +1⇒y n +1-y n =2log a x n +1-2log a x n =2log a nn x x 1+，∵{x n }为等比数列，∴nn x x 1+为定值，∴{y n }为等差数列，又y 6-y 3=3d =12-18，∴d =-2.y 1=y 3-2d =22，∴S n =22n +2)1(-n n (-2)=-n 2+23n ，∴当n =11或n =12时，S n 取最大值132. (2)已知y n =22+(n -1)·(-2)=2log a x n ，∴x n =a 12-n ，又x n =a 12-n >1恒成立，∴当a >1时，12-n >0，n <12；当0<a <1时，12-n <0，n >12.∴当0<a <1时，存在M =12，当n >M 时，x n >1恒成立.(3)a n =log 1+n n x x =n n a a n a n a --=--1211log log 1211=1+121-n ，已知a n 在(13，+∞)上是减函数，∴a n >a n +1. 【解后归纳】 存在性问题，常从计算，假设存在推导入手，值得注意的是：①假设应与条件背景相符合，②对结果进行检验.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7、a 10、a 15是等比数列{b n }的连续三项，若等比数列{b n }的首项b 1=3，则b 2等于 ( )A.524B.5C.2D.59 2.在数列{a n }中，a n =n 2-22n +10，则满足a m =a n (m ≠n )的等式有 ( )A.8个B.9个C.10个D.11个3.已知a n =si n n 1+c os n1，则无穷数列{a n }中 ( ) A.有最大项无最小项 B.有最小项无最大项C.既有最大项又有最小项D.既无最大项又无最小项4.设a n =c os(n n -+1)，则数列{a n } ( )A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.先递减后递增5.设a n =a n +bn 且a 1=1，a 2=5，则a 4 ( )A.71B.72C.73D.746.设数列{x n }，{y n }满足递推关系式组：x n +x n y n =1-n +n 2-n 3及y n +x n y n =2n 2-n 3，则以下结论正确的是( )A.{x n }是递增数列，{y n }是递减数列B.{x n }是递减数列，{y n }是递增数列C.{x n }与{y n }都是递增数列D.{x n }与{y n }都是递减数列7.设a n =log 31(4n -2n +5+259)，则在无穷数列{a n }中，必有 ( )A.最大项是-1B.最小项是-1C.最大项是1D.最小项是18.已知正项无穷数列{x n }，{y n }满足递推关系：2x n -y n =n ，3x 2n -y 2n =3n 2-1,则∞→n lim nn n n y x n y x 222-+的值为 ( )A.5B.4C.3D.29.若无穷数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 31各项和为S ，则log 2S 的值为 ( )A.1B.-1C.21D.31 10.无穷数列{log m (n 2-2n +8)}中的最大项是-1，则m ∈ ( )A.(1，+∞)B.(0，71)C.(71，1)D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧71 二、思维激活11.在数列{a n }中，若a 1=1，a n +1=n +a n ，则a 2004= .12.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧6tan πn 中最大项的值是 . 13.已知数列{a n }各项为非负实数，且满足：252n +a 2n =1，则此数列各项之和为 . 14.已知数列{a n }中，a n =1+x +2x 2+3x 3+…+nx n .则此数列前4项之和是 .三、能力提高15.已知函数f (x )=a ·b x 的图像过点A (1，81)和B (2，21). (1)求函数f (x )的解析式；(2)记a n =log 2f (n )，n 是正整数，S n 是数列{a n }的前n 项和，求S 30.16.已知一次函数f (x )的图像关于直线x -y =0对称的图像为C .且f ［f (1)］=-1，若点(n ，n n a a 1+)(n ∈N *)在曲线C 上并有a 1=1，n n a a 1+-1-n n a a =1 (n ≥2). (1)求f (x )的解析式及曲线C 的方程；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设S n =!31a +!42a +!53a +…+)!2(+n a n ，求：∞→n lim S n 之值. 17.设f (x )=si n 6πx ，x ∈R ，求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2004)之值. 18.在数列{a n }中，a n +1+a n =3n -54 (n ∈N *).(1)若a 1+20=0，求通项a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，证明：当a 1+27>0时，存在自然数m ，使得当n =m 时，和|a n +1+a n |都取得最小值，并求此时m 的值.第5课 数列与函数习题解答1.B ∵a 210=a 7·a 15，∴(a 1+9d )2=(a 1+6d )·(a 1+14d )⇒a 1=-23d ⇒公比q =710a a =d a d a 6911++=35，∴b 2=3×35=5. 2.C a n =(n -11)2-111，函数y =(x -11)2-111的对称轴x =11其对称点有10对. 3.A a n =2sin(n 1+4π)，故a 1>a 2>a 3>…>a n >…. 4.A a n =cosn n ++11是递增. 5.C 其中a n =3n -2n .6.B 解关于x n ，y n 的二元方程组得：x n =1-n ，y n =n 2.7.A 注意到f (n )=4n -2n +5+259=(2n -24)2+3≥3.即n =4时有最小值3.8.D 解关于x n 及y n 的二元二次方程组得：x n =2n -1，y n =3n -2.9.B ∵S =⎪⎭⎫ ⎝⎛-3113=21故为-1. 10.D 令a n =log m (n 2-2n +8)，则a 1=log m 7=-1⇒m =71. 11.由a n +1-a n =n ⇒∑-=11n k (a k +1-a k )=∑-=11n k k ⇒a n -a 1=2n (n -1)，∴a n =1+2)1(-n n ， ∴a 2004=1+2003×1002=2007007.12.这是一个周期数列.当n =1时值为33，当n =2时值为3，n =3时无意义，故此数列只两项. 13.∵n ∈{1，2，3，4，5}.∴此数列只有5项，且点(n ，a n )在椭圆上.∵a n =2512n -， ∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=2511-+2541-+2591-+25161-=524+521+516+59 =51(7+2216+). 14.由条件知：a 1=1+x ，a 2=1+x +2x 2，a 3=1+x +2x 2+3x 3，a 4=1+x +2x 2+3x 3+4x 4故其前4项之和是a 1+a 2+a 3+a 4=4+4x +6x 2+6x 3+4x 4.15.由题意得ab =81且ab 2=21⇒a =321，b =4⇒f (x )= 324x . (2)a n =log 2f (n )=log 2f (n )=log 2324x=2n -5(n ∈N *)，∵a n +1-a n =2(n ∈N *)，故{a n }是公差为2的等差数列，且a 1=-3，由S n =21n (a 1+a n )⇒S 30=21×30×(-3+2×30-5)=780. 16.(1)设f (x )=kx +b (k ≠0)，则f ［f (1)］=k (k +b )+b =-1即k 2+kb +b +1=0，又f -1(x )=k b x -= k x -k b 是曲线C 的解析式，∵点(n ，n n a a 1+)在曲线C 上，∴f -1(n )-f -1(n -1)=n n a a 1+-1-n n a a =1，又f -1(n )-f -1(n -1)= k n n )1(--=k1，故k =1代入k 2+kb +b +1=0得b =-1，∴f (x )=x -1⇒f -1(x )=x +1，∴曲线C 为：x -y +1=0.(2)由(1)知当x =n 时，f -1(x )=n +1，故n n a a 1+=n +1，而a 1=1于是12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =2·3·4…n ，即a n =n !.(3)2111)!2(!)!2(+-+=+=+n n n n n a n ，∴S n =21-21+n ⇒∞→n lim S n =21. 17.f (1)=6π的正弦=21，f (2)=sin 3π=23，f (3)=sin 2π=1，f (4)=sin 32π=23，f (5)=sin 65π=21，f (6)=0，f (7)=-21，f (8)=- 23，f (9)=-1，f (10)=-23，f (11)=- 21，f (12)=0，∴f (1)+f (2)+…+f (12)=0，∴f (1)+f (2)+ …+f (2004)=167·［f (1)+f (2)+f (3)+…+f (12)］=0.18.(1)由已知a 2+a 1=-51，又a =-20，∴a 2=-31由⇒⎩⎨⎧-+=+-=++++54)1(3543121n a a n a a n n n n a n +2-a n =3，∴数列{a n }的奇数项和偶数项分别成公差为3的等差数列.当n 为奇数时，a n =-20+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121n ·3=21(3n -43)； 当n 为偶数时，a n =-31+⎪⎭⎫ ⎝⎛-12n ·3=21(3n -68) 故a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-)( )683(21)( )433(21为偶数为奇数n n n n .(2)当n 为偶数时，S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n -1+a n )=(3×1-54)+(3×3-54)+…+［3(n -1)-54］=3［1+3+5+…+(n -1)］-2n ·54=43n 2-27n ；此时当n =18时，(S n )min =-243；当n 为奇数时，S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n -1+a n )=a 1+(3×2-54)+(3×4-54)+…+［3(n -1)-54］=a 1+3(2+4+6+…+n -1)- 21 n ·54=43n 2-27n +4105+a 1，∴此时，当n =17或19时，S n 取得最小值a 1-216. 当a 1>-27时，a 1-216>243.综上所述知；当n =18时，S n 取最小值-243，又|a n +a n +1|=|3n -54|，此时当n =18时，|a n +1+a n |取最小值0.故存在自然数m =18时，S n 与|a n +1+a n |都取得最小值.。