第3章 第4节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像及应用
人教版数学必修第一册综合复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件
，
2
4
2
B．0， ， ，
3
4
6
3
2
，π
D．0， ， ， ，
2
3
2．用五点法作函数y＝sin(x－ )在一个周期内的图象时，
6
7
2
,0
,1
,
0
6
主要确定的五个点是________，________，________，
3
6
,
0
,
−1
________，________.
2
，π)上
[－2,1)
有实数根，则m的取值范围是_______________．
方法点拨：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考向3
三角函数模型的应用
[例8] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的
最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点
M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，则点P到
长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个
5
对称中心为点(
12
，0)，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
方法总结
五点法作图，即用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的
简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，
2
，π，
2
，2π来求出相应的x. 通过列表，计算得出
φ对函数图象变化的影响．
问题，体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型．
核心
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
《函数y=Asinωφ的图像及性质》PPT课件讲义
11
33
3
3
3
x 26
0
2
3 2
2
y
2sin
x 2
6
0
2
0 2
0
(2)描点：描出点(－π3，0)、(23π，2)、(53π，0)、 (83π，－2)、(113π，0)． (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后 将其向两端伸展，得到图像如图所示．
【变式迁移】
（ⅰ）已知函数f(x)＝sin
考题规律
1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点． 2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用是 考查的热点．
2．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图 ， 则ω和φ的取值是 ( C )
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
B．ω＝1，φ＝－π3 D．ω＝12，φ＝－π6
【变式迁移】
(ⅲ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ )，其中ω>0.若函数
f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 . (1)求函数f(x)的解析式； (2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移
m个单位后所对应的函数是偶函数．
解：(1)因为f(x)＝sin(ωx＋ )．
依题意，
.
又T＝ ，故ω＝3，
Thank you.
演讲结速，谢谢观赏！
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《3.4第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》 学案
由∠MNP∈(0，π)，得 sin∠MNP＝
课堂运用 【基础】 1．(2012· 浙江高考)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
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π 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(ω>0，0<φ<2)的图象如图所示，则 f(x)＝( x π A．4sin2＋4＋2 x π B．－4sin2－4＋2 x π C．2sin2＋4＋4 x π D．－2sin2＋4＋4
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知横坐标分别为－1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上，求 sin∠MNP 的值．
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【解析】(1)由图可知， 2π π 最小正周期 T＝4× 2＝8，所以 T＝ ω ＝8，ω＝4. π π π 又 f(1)＝sin4＋φ＝1，且－2＜φ＜2， π π 3π π π π π 所以－4＜4＋φ＜ 4 ，所以4＋φ＝2，φ＝4.所以 f(x)＝sin4(x＋1)． π (2)因为 f(－1)＝sin4(－1＋1)＝0， π π f(1)＝sin4(1＋1)＝1，f(5)＝sin4(5＋1)＝－1， 所以 M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)， 所以|MN|＝ 5，|MP|＝ 37，|PN|＝ 20， 从而 cos∠MNP＝ 5＋20－37 2 5× 20 3 ＝－5， 4 1－cos2∠MNP＝ . 5
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课程小结
1.确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝ φ 由特殊点确定． 2．由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的 |φ| 量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 ω (ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针 对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是于 ωx 加减多少值． M－m M＋m 2π ， k ＝ ， ω 由周期 T 确定，即由 2 2 ω ＝T 求出，
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
第三章 第四节 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图像，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin x C ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：将y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x cos x 的图像，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A2．(2018·福州市质检)要得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，只需将函数g (x )＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移12个周期B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：因为f (x )＝sin 2x ＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝cos 2x 的图像向右平移π4个单位长度，即向右平移14个周期，得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，故选D. 答案：D3．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π2)B ．y ＝sin(2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向左平移π3个单位长度，所得图像经过点(2π3，0)，则ω的最小值是( ) A.32B ．2C ．1D.12解析：依题意得，函数f (x ＋π3)＝sin ω(x ＋π3)(ω＞0)的图像过点(2π3，0)，于是有f (2π3＋π3)＝sinω(2π3＋π3)＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，选C. 答案：C5．三角函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3，π2B.3，πC.2，π2D.2，π解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选B. 答案：B6．(2018·石家庄市质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[π12，7π12]B ．[－5π12，π12]C ．[－π3，2π3]D ．[－π6，5π6]解析：f (x )＝sin(2x ＋π6)＋c os 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin(2x＋π3)．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以f (x )的一个单调递减区间为[π12，7π12]，故选A.答案：A7．将函数y ＝3cos x ＋s in x (x ∈R)的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图像关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π6，故选B.答案：B8．若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( ) A.13 B.23 C.43D ．2解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A.答案：A9．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π3，即函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C. 答案：C10．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：111．(2018·昆明市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图像上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________. 解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋(T 2)2＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin(π2x ＋π3)，所以f (1)＝sin(π2＋π3)＝sin 5π6＝12.答案：1212．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像如图所示，则f (0)的值为________．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像可知，其最小正周期T ＝2π，则ω＝1.又f (－3π4)＝sin(－3π4＋φ)＝0,0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴f (0)＝sin 3π4＝sin(π2＋π4)＝cos π4＝22.答案：2213．已知函数y ＝g (x )的图像由f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ的值为__________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图像在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图像可知，图像向右平移之后，横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案：π3B 组——能力提升练1．(2018·广州市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在(0，π4)上单调递减B ．f (x )在(π8，3π8)上单调递减C ．f (x )在(0，π4)上单调递增D ．f (x )在(π8，3π8)上单调递增解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在(π8，3π8)上单调递增，故选D.答案：D2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，所以φ的最小值为π4，故选C.答案：C3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图像向右平移2π3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43D.23解析：将f (x )的图像向右平移2π3个单位长度后得到图像的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A4．若关于x 的方程2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π2]上有两个不等实根，则m 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．[0,2]C ．[1,2)D ．[1，3]解析：2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π2]上有两个不等实根等价于函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图像与直线y ＝m 有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝m 的图像，由图可知m 的取值范围是[1,2)． 答案：C5．函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π12])所有零点之和为( )A.2π3 B.4π3 C ．2πD.8π3解析：函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π12])的零点可转化为函数g (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2与h (x )＝33x －π的交点的横坐标g (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin(2x ＋π3)，h (x )＝33x －π＝1x －π3，可得函数g (x )，h (x )的图像关于点(π3，0)对称．函数g (x )，h (x )的图像如图所示．结合图像可得在区间[－11π12，19π12]上，函数g (x )，h (x )的图像有4个交点，且关于点(π3，0)对称．所有零点之和为2×π3＋2×π3＝4π3，故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，将各选项代入验证，可知选A. 答案：A7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B8．(2018·衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－32B ．π，－32C ．π，－52D ．2π，－52解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a 2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cosφ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.答案：B9．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图像向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图像，又g (x )的图像关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B10．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎫π6＝f ⎝⎛⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：14311．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ⎝⎛⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的最大值是__________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.答案：5π1812．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π213．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图像可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， ∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3。
2019版理数练习：第三章 第四节 y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
课时作业 A 组——基础对点练1．将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图像，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin xC ．f (x )＝22sin 2xD ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x )解析：将y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x cos x 的图像，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A2．(2018·福州市质检)要得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，只需将函数g (x )＝cos 2x 的图像( )A ．向左平移12个周期 B ．向右平移12个周期 C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：因为f (x )＝sin 2x ＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝cos 2x 的图像向右平移π4个单位长度，即向右平移14个周期，得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，故选D. 答案：D3．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π2) B ．y ＝sin(2x ＋π2) C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向左平移π3个单位长度，所得图像经过点(2π3，0)，则ω的最小值是( ) A.32 B ．2 C ．1D.12解析：依题意得，函数f (x ＋π3)＝sin ω(x ＋π3)(ω＞0)的图像过点(2π3，0)，于是有f (2π3＋π3)＝sin ω(2π3＋π3)＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，选C. 答案：C5．三角函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A.3，π2 B.3，π C.2，π2D.2，π解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.答案：B6．(2018·石家庄市质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[π12，7π12] B ．[－5π12，π12] C ．[－π3，2π3] D ．[－π6，5π6]解析：f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋ 32cos 2x ＝3sin(2x ＋π3)．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以f (x )的一个单调递减区间为[π12，7π12]，故选A. 答案：A7．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图像关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π6，故选B. 答案：B8．若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0， 且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( ) A.13 B.23 C.43D ．2解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A. 答案：A9．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3 D ．x ＝π2解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π3，即函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C. 答案：C10．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 ．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：111．(2018·昆明市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图像上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝ . 解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋(T 2)2＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT ＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin(π2x ＋π3)，所以f (1)＝sin(π2＋π3)＝sin 5π6＝12. 答案：1212．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像如图所示，则f (0)的值为 ．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像可知，其最小正周期T ＝2π，则ω＝1.又f (－3π4)＝sin(－3π4＋φ)＝0,0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴f (0)＝sin 3π4＝sin(π2＋π4)＝cos π4＝22. 答案：2213．已知函数y ＝g (x )的图像由f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ的值为 ．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图像在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图像可知，图像向右平移之后，横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π3. 答案：π3B 组——能力提升练1．(2018·广州市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在(0，π4)上单调递减 B ．f (x )在(π8，3π8)上单调递减 C ．f (x )在(0，π4)上单调递增 D ．f (x )在(π8，3π8)上单调递增解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在(π8，3π8)上单调递增，故选D. 答案：D2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，所以φ的最小值为π4，故选C. 答案：C3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图像向右平移2π3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43D.23解析：将f (x )的图像向右平移2π3个单位长度后得到图像的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A4．若关于x 的方程2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π2]上有两个不等实根，则m 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．[0,2] C ．[1,2)D ．[1，3]解析：2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π2]上有两个不等实根等价于函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图像与直线y ＝m 有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝m 的图像，由图可知m 的取值范围是[1,2)． 答案：C5．函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π12])所有零点之和为( )A.2π3B.4π3 C ．2πD.8π3解析：函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π12])的零点可转化为函数g (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2与h (x )＝33x －π的交点的横坐标g (x )＝cos(2x－2π3)＋4cos 2x －2＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin(2x ＋π3)，h (x )＝33x －π＝1x －π3，可得函数g (x )，h (x )的图像关于点(π3，0)对称．函数g (x )，h (x )的图像如图所示．结合图像可得在区间[－11π12，19π12]上，函数g (x )，h (x )的图像有4个交点，且关于点(π3，0)对称．所有零点之和为2×π3＋2×π3＝4π3，故选B. 答案：B6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，将各选项代入验证，可知选A.答案：A7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT2＋T 4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B8．(2018·衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－32B ．π，－32C ．π，－52D ．2π，－52解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ， b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cos φ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数－的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B. 答案：B9．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图像向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图像，又g (x )的图像关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B10．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝ .解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：14311．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的最大值是 ．解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18. 答案：5π1812．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ． 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π213．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝ .解析：由图像可知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2， ∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z. 又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案：3。
人教高中数学必修四1.5函数y=Asin(ωxφ)的图像课件
横向
y=f(x)
y=f(ax)
【智勇大冲关-----初级】
合作探究
【智勇大冲关-----中级】
1.已知函数y 3sin(x )的图象为C.
5
为了得到函数y 3sin(2x )的图象, 只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1 倍, 纵坐标不变
解：可逆向思考如下
y 1 sin x 2
向右平移 个单位
y
1 2
s
in(x
2
)
横坐标变为本来的一半 即得解析式为y 1 sin(2x )
2
2
3、已知函数y 1 cos(2x )的图像为C，为了得到
5
3
B 函数y 1 sin(2x 2 )的图像， 只需把C上所有点( )
5
3
(A)向左平移 个单位长度 分析：
沿x轴
平移
φ
ω
个单位
y sin(x )
y sin(x )
纵坐标 变为本来的A倍
纵坐标 变为本来的A倍
得y A sin(x )图象,再由周期性扩充到 R上
【智勇大冲关-----高级】
2、函数f(x)的横坐标伸长到本来的两倍，再向左平
移 个单位，所得到的曲线是
的图象，试
求函数y=f(x)的解析式.
3
(B)向右平移 个单位长度 12
(C)向左平移 个单位长度 12
(D)向右平移 个单位长度 6
课堂感悟
➢ 1、“五点法”作函数图象 ——注意取好关键点；
➢ 2、正弦曲线变换得到函数的图象 ——顺序可任意，平移要注意；
➢ 3、余弦曲线变换得到函数的图象 ——作法全相同.
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(3)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解， 令 ωx利0＋用φy＝＝ksπi(nk∈x 的Z)对，称求轴得为对_称_x＝_中_k_心π_＋_为_2π_(_x_0,_0)(．k∈Z)求解，令 ωx＋φ ＝kπ＋2π(k∈Z)，求得其对称轴为 x＝x0.
解析：由函数f(x)＝2sin
2x＋π6
得周期T＝
2π 2
＝π，将函数f(x)
＝2sin2x＋6π的图像向右平移14个周期，即为函数f(x)＝2sin2x＋π6
的图像向右平移
π 4
个单位，得y＝f
x－4π
＝2sin
2x－4π＋6π
＝
2sin2x－3π.
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即f(3)＝sin32π＋π6＝－cos
π6＝－
3 2.
答案：－
3 2
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3 ． (2018·贵 州 贵 阳 检 测 ) 函 数 f(x) ＝ sin(ωx ＋ φ)(x ∈ R)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，如果 x1，x2∈－π6，π3，且 f(x1) ＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( B )
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2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋ φ) ω>0，－2π≤φ≤π2 的图像上的一个最高点和它相邻的一个最 低点的距离为2 2 ，且过点 2，－12 ，则函数f(3)的值为 ________.
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3．(知识点 2、3)函数 y＝sin x－ 3cos x 的图像可由函数 y＝
sin x＋ 3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．
答案：23π
⇐ 源自必修4 P52练习2T3
知识点 3 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的主要性质 (1)奇偶性：φ＝_k_π_时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝ _k_π_＋__π2__ (k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． (2)单调性：根据 y＝sin t 和 t＝ωx＋φ 的单调性来研究，由－π2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ，(k∈Z)得单调_递__增___区间；由π2＋2kπ≤ωx ＋φ≤32π＋2kπ，(k∈Z)得单调_递__减___区间．
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(2)已知函数
f(x)＝12sin
ωx＋
3 2 cos
ωx(ω＞0)的最小正周期为
π.
求 ω 的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数 y＝f(x)在区间
[0，π]上的图像．
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思考：“先平移再伸缩”与“先伸缩再平移”的区别？ 提示：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的 量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)， 平移的量是|φω|个单位．
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∴f(x)＝sin2x＋π3. 而x1＋x2＝－6π＋π3＝6π，
∴f(x1＋x2)＝fπ6＝sin2×6π＋π3
＝sin
23π＝
3 2.
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2．(知识点 2)为了得到 y＝3cos3x＋π8的图像，只需把 y＝3cosx ＋π8图像上的所有点的( D ) ⇐ 源自必修4 P54A组T1
A．纵坐标伸长到原来的 3 倍，横坐标不变 B．横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变
π2－φ ω
π－φ ω
32π－φ ω
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
2π－φ ω
2π 0
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思考：“五点法”作图时，五个关键点的横坐标之间有什么 关系？
提示：“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的 距离都是周期的14.
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[拓展] 1．周期与对称性之间的关系 (1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间 的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12周期．
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第四节
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
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考纲解读
考情分析
核心素养
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解析：选D.由函数图像知，周期T＝254－14＝2， ∴2ωπ＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2kπ，得φ＝4π＋2kπ，k∈Z， 不妨取φ＝4π，∴f(x)＝cosπx＋π4. 由2kπ<πx＋4π<2kπ＋π， 得2k－14<x<2k＋34，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z.
考查角度：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ) 的物理意义；能画出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图像．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图像与性质为考查热 点，考查识图、用图
1.提升数学 运算；
2.了解参数A，ω，φ对函数 的同时，综合考查诱 图像变化的影响．
2.应用直观
导公式，三角恒等变 想象；
3.会用三角函数解决一些 换等知识． 简单实际问题，体会三角
[例1]
(1)将函数f(x)＝2sin
2x＋6π
的图像向右平移
1 4
个周期
后，所得图像对应的函数为( D )
A．y＝2sin2x＋π4
B．y＝2sin2x＋3π
C．y＝2sin2x－4π
D．y＝2sin2x－π3
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四基精演练 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)y＝sin x－4π 的图像是由y＝sin x＋π4 的图像向右平移 π2 个单 位长度得到的．( √ ) (2)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到 函数y＝sin(ωx－φ)的图像．( × )
1
3
A.2
B. 2
2
C. 2
D.1
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解析：选B.由题图像可知，T2＝3π－－π6＝π2， 则T＝π，ω＝2， 又∵－π62＋π3＝1π2，∴f(x)的图像过点1π2，1， 即sin2×1π2＋φ＝1，得φ＝π3，
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A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z
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(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的 两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )
(4)由图像求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图 像中最高点的函数值与最低点的函数值确定的．( √ )
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知识点2 函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，φ≠0)的图像的步骤：
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[母题变式] 1．(2018·天津卷)若本例(1)变为将函数 y＝sin2x＋5π的图像向 右平移1π0个单位长度，所得图像对应的函数( A ) A．在区间34π，54π上单调递增 B．在区间34π，π上单调递减 C．在区间54π，32π上单调递增 D．在区间32π，2π上单调递减
3.发展数学
函数是描述周期变化现象 考查形式：选择、填 建模.