高中数学必修一函数练习题及答案[1]
高中数学必修一函数大题(含详细解答)
高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。
试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
高一数学函数经典习题及答案
函 数 练 习 题（一）班级 姓名一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =01(21)111y x x =+-++-2___________；3、若函数(1)f x+(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为。
4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+-()x R ∈⑵223y x x =+-[1,2]x ∈⑶311x y x -=+⑷311x y x -=+(5)x ≥ ⑸y =225941x x y x +=-＋⑺31y x x=-++⑻2y x x =-⑼y =⑽4y =y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x =。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间：⑴223y x x =++⑵y =⑶261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是；函数y =五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷x x f =)(，()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
高中数学必修一函数大题(含详细解答)
高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A ZB =（其中Z 为整数集）。
试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.（2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
(完整版)高一函数大题训练含答案解析
(完整版)高一函数大题训练含答案解析一、解答题1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bx f x x->+对于()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由. 2．已知偶函数满足：当时，，当时，.(1)求当时，的表达式； (2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.3．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个零点分别为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，求λ的取值范围.4．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立.我们称()f x 为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值.（2）在（1）的条件下，定义数列()()()211,2,3,...n a f n f n n =+-=求20182019122222log log ...log log 3333a a a a+++的值. （3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数；设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论.5．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy a a =>；②3y x =． （2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例．6．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 7．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”.（1）判断函数()21f x x =+和2()g x x =是否是位差奇函数，并说明理由； （2）若()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数，求ϕ的值； （3）若对于任意[1,)m ∈+∞，()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数，求实数t 的取值范围.8．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足： ①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.9．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数12,x x ，均有：1212()()f x f x k x x -≤-成立，则称()f x 在D 上满足利普希茨(Lipschitz)条件．（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数k 的值，并加以验证； （2）若函数()1f x x =+在[0,)+∞上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数k 的最小值； （3)现有函数()sin f x x =，请找出所有的一次函数()g x ，使得下列条件同时成立： ①函数()g x 满足利普希茨(Lipschitz)条件；②方程()0g x =的根也是方程()0f x =的根，且()()()()g f t f g t =； ③方程(())(())f g x g f x =在区间[0,2)π上有且仅有一解． 10．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况. 11．已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）①()1tan[()],(0,1)2f x x x π=-∈，②()1lg(1),(0,1)g x x x =-∈.（2）已知12()log (21),()sin 2,f x x g x x =+=函数[()]f g x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件的函数[()]f g x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y R ∈，有()()()f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，且()()xf xg x e +=.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，记()1231n H n F F F F n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()*,2n N n ∈≥.探究是否存在正整数()2n n ≥，使得对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()2g x H n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.13．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>．(Ⅰ)求()f 0；(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．14．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.15．已知函数()21log 21mx f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()m 为常数是奇函数. (1)判断函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上的单调性,并用定义法证明你的结论;(2)若对于区间[]2,5上的任意值,使得不等式()2xf x n ≤+恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】一、解答题1．（1）f （x ）＝lnx －x ；（2）{1} 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知得：f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4），设x ∈（－4，－2）时，则x ＋4∈（0，2），代入x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜−12），求出f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4），再根据当x ∈（－4，－2）时，f （x ）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a 的值，进而求得结论； （2）假设存在实数b使得不等式()x bf x x->+对于x ∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b 的值． 试题解析：（1）由已知，f （x ）＝2f （x ＋2）＝4f （x ＋4） 当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx ＋ax （a ＜－12） 当x ∈（－4，－2）时，x ＋4∈（0，2）， ∴f （x ＋4）＝ln （x ＋4）＋a （x ＋4）∴当x ∈（－4，－2）时，f （x ）＝4f （x ＋4）＝4ln （x ＋4）＋4a （x ＋4）∴f '（x ）＝44x +＋4a ＝4a•144x a x +++， ∵a ＜−12，∴−4＜−1a−4＜−2，∴当x ∈（−4， −1a−4）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（−1a−4，−2）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数， ∴f （x ）max ＝f （−1a−4）＝4ln （−1a）＋4a （−1a）＝−4，∴a ＝－1 ∴当x ∈（0，2）时，f （x ）＝lnx －x（2）由（1）可得：x ∈（0，1）∪（1，2）时，不等式()x bf x x->+即为ln x bx-> ①当x ∈（0，1）时，ln x bx- ⇒b ＞，令g （x ）＝，x ∈（0，1） 则g′（x ）＝令h （x ）＝，则当x ∈（0，1）时，h′（x ）＝11x x -＝1x x-＜0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴g ′（x ）＝()2h x x＞0， ∴g （x ）＜g （1）＝1，故此时只需b≥1即可； ②当x ∈（1，2）时，ln x bx x-> ⇒b ＜x−x lnx ，令φ（x ）＝x−x lnx ，x ∈（1，2）则φ′（x ）＝1−ln 12x x x -＝2ln 12x x x -- 令h （x ）＝2x −lnx−2， 则当x ∈（1，2）时，h′（x ）＝11x x -＝1x x-＞0 ∴h （x ）＞h （1）＝0，∴φ′（x ）＝()2h x x＞0， ∴φ（x ）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可， 综上所述：b ＝1，因此满足题中b 的取值集合为：{1}考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．2．（1）()()(2)f x x a x =+--；（2）①23a <+时，34m =；②4a =时，1m =；③10473a +>时，23201216a a m -+=. 【解析】 【详解】(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x 代替中的x 即可得到当时，的表达式; (2)零点，与交点有4个且均匀分布.所以,然后再分或24a <<或或四种情况讨论求出m 的值．解：（1）设则，又偶函数所以， ………………………3分 （2）零点，与交点有4个且均匀分布（Ⅰ）时， 得，所以时， …………………………5分 （Ⅱ）24a <<且时 ， ，所以 时，……………………………7分（Ⅲ）时m=1时 符合题意………………… ……8分（IV ）时，，,m此时所以 （舍） 且时，时存在 ………10分综上： ①时，②时，③时，符合题意 ………12分3．（1）10a e<<（2）1λ≥ 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点,对()g x 进行求导，通过单调性画出()g x 的草图，由()g x 与y a =有两个交点进而得出a 的取值范围; （Ⅱ）分离参数得：121a x x λλ+>+,从而可得()1122lnx a x x x =-恒成立；再令()12,0,1x t t x =∈,从而可得不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立，再令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．试题解析：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞， 所以方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点.又()21ln xg x x-'=，即当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<,所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. 从而()()max 1g x g e e==. 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →∞，在x →+∞时，()0g x →， 所以()g x 的草图如下：可见，要想函数()ln x g x x =与函数y a =在图像()0,+∞上有两个不同交点，只需10a e<<. （Ⅱ）由（I ）可知12,x x 分别为方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =， 所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+. 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+. 又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212ln xx a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+. 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立. 令()12,0,1x t t x =∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立. 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，则()()()()()()222111t t h t t t t t λλλλ--+=-=++'， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增，又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立，符合题意；当21λ<时，可见当()20,t λ∈时，()0h t '>；当()2,1t λ∈时，()0h t '<， 所以()h t 在()20,t λ∈时单调递增，在()2,1t λ∈时单调递减.又()10h =，所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根12,x x 的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数t ，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.4．（1）()01f =；()1728f =；（2）2037171；（3）证明见解析，()()12f x f x <. 【解析】 【分析】（1）先令1x =，0y =，解出()0f ，然后再令1x y ==解出()2f ；（2）由题意可以推出{}n a 是以3为首项，公比为2的等比数列，然后得出数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算法则求20182019122222log log ...log log 3333a a a a+++的值； （3）先令1x =，0y =得出()01f =，然后令0x =，得()()f y f y =-可证明()f x 为偶函数；由0t ≠时，()1f t >，则()()()()()22f x y f x y f x f y f y ++-=>，即()()()()f x y f y f y f x y +-=--，令y kx =(k 为正整数)，有()()()()11f k x f kx f kx f k x +->--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由此可递推得到对于任意k 为正整数，总有()()1f k x f kx +>⎡⎤⎣⎦成立，即有n m <时，()()f nx f mx <成立，可设12112q p x p p =，12212p q x p p =，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论即可得到大小. 【详解】解：（1）令1x =，0y =，得()()()21210f f f =⋅，∴()01f =； 再令1x y ==，得()()()()21120f f f f =+，∴()25218f =+，∴()1728f =. （2）由题意可知，()()1175221344a f f =-=-= 令1x n =+，1y =，得()()()()2112f n f f n f n +=++， ∴()()()5212f n f n f n +=+- ∴()()()()()()()152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +⎡⎤=+-+=+--+=+-⎢⎥⎣⎦()()()22121n f n f n a n =+-=≥⎡⎤⎣⎦.∴{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列.因此132n n a -=⋅，故有2log 13na n =- 所以20182019122222log log ...log log 3333a a a a++++ 12...20172018100920192037171=++++=⋅=（3）令1x =，0y =，()()()()20111f f f f =+，又∵()11>f ，∴()01f = 令0x =，()()()()20f f y f y f y =+-，∴()()()()0f f y f y f y =+-， 即()()()2f y f y f y =+-.∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ∴()f x 为偶函数. 结论：()()12f x f x <.证明：设0y ≠，∵0y ≠时，()1f y >，∴()()()()()22f x y f x y f x f y f x ++-=>，即()()()()f x y f x f x f x y +->--.∴令()*x ky k N =∈，故*k N ∀∈，总有()()()()11f k y f ky f ky f k y +->--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦成立.()()()()()()()()1112...00f k y f ky f ky f k y f k y f k y f y f +->-->--->>->⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴对于*k N ∈，总有()()1f k y f ky +>⎡⎤⎣⎦成立.∴对于*,m n ∈N ，若n m <，则有()()...f ny f my <<成立. ∵12,x x Q ∈，所以可设111q x p =，222q x p =，其中1q ，2q 是非负整数，1p ，2p 都是正整数， 则12112q p x p p =，12212p q x p p =，令121y p p =，12t q p =，12s p q =，则*,t s N ∈. ∵12x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即()()12f x f x <.∵函数()f x 为偶函数，∴()()11f x f x =，()()22f x f x =.∴()()12f x f x <. 【点睛】本题考查新定义函数问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，考查函数的基本性质在解题中的应用，属于难题.5．（1）①()1xy a a =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论； （2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立．【详解】证明：（1）①函数()()1xf x a a =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120x a a a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()()()112f x f x f x -++≥， 此函数为具有性质P ；②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-， 此函数不具有性质P ． （2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，则()()10f i f i -->， 因为函数()f x 具有性质P ， 所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--， 所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->，所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，与()0f n =矛盾， 所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤．（3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=所以，函数()f x 对任意的x ∈R ， 均有()()()112f x f x f x -++≥， 即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >． 所以，在（2）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立． 如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数，()()()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等．【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法． 6．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a-+-=+-=>， 则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 7．(1) 对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数, 不存在m 有2()g x x =为位差奇函数.(2),3k k Z πϕπ=-∈;(3) (),4t ∈-∞【解析】 【分析】(1)根据题意计算()()f x m f m +-与()()g x m g m +-,判断为奇函数的条件即可. (2)根据()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数计算ϕ的值即可.(3)计算()()f x m f m +-为奇函数时满足的关系,再根据对于任意[1,)m ∈+∞()22x x f x t -=-⋅都不是位差值为m 的位差奇函数求解恒不成立问题即可. 【详解】(1)由()21f x x =+,所以()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=为奇函数. 故对于任意m 有()21f x x =+为位差奇函数.又2()g x x =,设222()()()()2G x g x m g m x m m x mx =+-=+-=+.此时()22()22G x x mx x mx -=--=-,若()G x 为奇函数则22220x mx x mx -++=恒成立.与假设矛盾,故不存在m 有2()g x x =为位差奇函数. (2) 由()sin()f x x ϕ=+是位差值为3π的位差奇函数可得,()()33f x f ππ+-为R 上的奇函数.即()()sin()sin()3333f x f x ππππϕϕ+-=++-+为奇函数.即3k πϕπ+=,,3k k Z πϕπ=-∈.(3)设()()22()()()(222)12122x m mm m m x x x m h t x f t m t f x m ----+-=+-=--⋅-⋅⋅=--- .由题意()()0h x h x +-=对任意的[1,)m ∈+∞均不恒成立.此时()()()()22222222()()11110m x m x xm x m h x t h x t ----+-=--⋅-⋅-+--= 即()()222221112122m x x xx m m m t t -----+-=-+=⋅-⇒⋅对任意的[1,)m ∈+∞不恒成立.故22m t =在[1,)m ∈+∞无解.又22224m ≥=,故4t <. 故(),4t ∈-∞ 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,需要根据题意求所给的位差函数的表达式分析即可.属于中等题型.8．（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤【解析】 【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义， 因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x=+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =， 因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根.由()222240a a a ∆=+->解得32a <-或12a >.（3）()2212a f x a a x=+-，()22a f x x ≤()22a f x x⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立.令()12h x x x=+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤.又32a <-或12a >，所以a 的取值范围是112a <≤. 【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.9．（1）()f x x =,2k =，见解析；（2）min 12k =（3）11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃ 【解析】 【分析】（1）令()f x x =,可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足； （2）根据定义化简1212()()f x f x x x --12<，得出k 的最小值；（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根，推得0b =，若k 符合题意，则k -也符合题意，可以只考虑0k >的情形，分①若1k，②若112k <<，分别验证是否满足题意，可得k 的范围. 【详解】（1）例如令()f x x =,由12122x x x x -≤-知可取2k =满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）． （2）()f x =[0,)+∞为增函数∴对任意12,x x R ∈有1212()()f x f x x x --12==<（当120,0x x =→时取到）所以min 12k =（3）由于所有一次函数均满足（1）故设()()0g x kx b k t =+≠是()0g x =的根()0bg t t k∴=⇒=-， 又(())(())(0)(0)0()f g t g f t f g b g x kx =∴=∴=∴=若k 符合题意，则k -也符合题意，故以下仅考虑0k >的情形． 设()(())(())sin sin h x f g x g f x kx k x =-=- ①若1k，则由sin sin 0h k kk πππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭且3333sin sin sin 02222k k h k k ππππ⎛⎫=-=+≥⎪⎝⎭所以，在3,2k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．②若112k <<，则由[]sin sin 0,2h k h k k ππππ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭sin 2sin 20k k ππ=-< 所以，在,2kππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦中另有一根，矛盾．102k ∴<≤以下证明，对任意1(0,],()2k g x kx ∈=符合题意．当(0,]2x π∈时，由sin y x =图象在连接两点()(0,0),,sin x x 的线段的上方知sin sin kx k x >()0h x ∴>当(,]22x kππ∈时，sin sinsin sin ()022k kx k k x h x ππ>≥≥∴> 当,22x k ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,sin 0,()0kx x h x >∴ 综上：()0h x =有且仅有一个解0x =，()g x kx ∴=在1(0,]2k ∈满足题意． 综上所述：11(),[,0)(0,]22g x kx k =∈-⋃, 故得解. 【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.10．（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a b x a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b（2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+ ()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点 只需讨论222b x a =-的解的个数即可 ①当0b =时，222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点②当0b >时 ，2220x a b =+> x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点 综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a -≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a=-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题. 11．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由正切函数与对数函数的性质可直接判断；（2）由()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，得[]2sin211,2x +∈，进而利用正弦函数的性质列式求解即可；（3）利用反证法，假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+，结合条件推出矛盾即可证得. 【详解】（1）()()1tan ,0,12f x x x π⎡⎤⎛⎫=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦满足.()()1lg 1,0,1g x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭不满足.（2）因为()()[]12log 2sin211,0f g x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦，所以[]2sin211,2,x +∈ 即1sin20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以][522,22,2,.66x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦所以][5,,,,12122x k k k k k Z πππππππ⎡⎤∈+⋃++∈⎢⎥⎣⎦ 满足条件的0,12D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）.（3）假设存在,a b 使得()()()f a b f a f b +≠+ 又有()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a =+-=+-， 所以()()()()()(),f a f a b f b f b f a b f a -=+--=+-，结合两式：()()(),0f a f b f a b =+=，所以()()()0f b f a f a b --=+=， 故()()()f a f b f a -==.由于()()()f a b f a f b +≠+知：()0f a ≠.又()()12222a a a f f a f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 类似地，由于()0f a -≠，()22a a f f a f ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()()11222a f f a f a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以()022a a f a f f ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与()0f a ≠矛盾，所以原命题成立. 【点睛】本题主要考查了复合函数的性质及反证法的证明，属于难题. 12．（1）见解析；（2）2,3n = 【解析】 【分析】(1)已知()()x f x g x e +=，结合函数的奇偶性可得()()xf xg x e --=，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知()()g x f x 为奇函数，图象关于()0,0对称，则()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，利用对称性可得()H n ，然后利用恒成立问题解()()()2g x H n g x >⋅即可. 【详解】 （1）()()x f x g x e +=，()()x f x g x e --+-=函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数， ∴ ()()x f x g x e --=，()2x x e e f x -+∴=，()2x xe e g x --=. （2）易知()()g x f x 为奇函数，其函数图象关于()0,0中心对称，∴函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 即对任意的x R ∈，()()12F x F x -+=成立. ()12H n F F n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12n n H n F F n n --⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.两式相加，得()112n H n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2233n n F F F F n n n n ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 11n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 即()()221H n n =-.()1H n n ∴=-.()()()2g x H n g x ∴>⋅，即()()221x x x x e e n e e --->--.()()()10x x x xe e e e n --⎡⎤∴-+-->⎣⎦.(]0,1x ∈，0x x e e -∴-> 1x x e e n -∴++>恒成立.令x t e =，(]1,t e ∈.则11y t t=++在(]1,e 上单调递增.1x x y e e -∴=++在(]0,1上单调递增.3n ∴≤.又已知2n ≥，2,3n ∴=. 【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.13．（Ⅰ）()f 01=； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）t 5<-. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a b 0==，则()()f 02f 01=-，变形可得()f 0的值， (Ⅱ)任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，结合()()()f a b f a f b 1+=+-，分析可得()()21f x f x >，结合函数的单调性分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，结合函数的单调性可得2222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立，即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】(Ⅰ)根据题意，在()()()f a b f a f b 1+=+-中，令a b 0==，则()()f 02f 01=-，则有()f 01=；(Ⅱ)证明：任取1x ，2x R ∈，且设12x x <，则21x x 0->，()21f x x 1->，又由()()()f a b f a f b 1+=+-，则()()()()()()221121111f x f x x x f x x f x 11f x 1f x ⎡⎤=-+=-+->+-=⎣⎦， 则有()()21f x f x >， 故()f x 在R 上为增函数．(Ⅲ)根据题意，][(222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦，即][(222f[2log x)4f 4t 2log x 11⎤-+--<⎦，则(222f[2log x)2log x 4t 41⎤-+-<⎦， 又由()f 01=，则(()222f[2log x)2log x 4t 4f 0⎤-+-<⎦，又由()f x 在R 上为增函数，则2222(log x)2log x 4t 40-+-<，令2m log x =，11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3m 1-≤≤-，则原问题转化为22m 2m 4t 40-+-<在[]m 3,1∈--上恒成立， 即24t 2m 2m 4<-++对任意[]m 3,1∈--恒成立， 令2y 2m 2m 4=-++，只需4t y <最小值，而2219y 2m 2m 42(m )22=-++=--+，[]m 3,1∈--，当m 3=-时，y 20=-最小值，则4t 20<-． 故t 的取值范围是t 5<-． 【点睛】本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，其中解答中合理利用函数的单调性和合理完成恒成立问题的转化是解答的关键，同时注意特殊值法的应用，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．（1）函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”；（2）54-；（3）[1,1)-.【解析】 【详解】试题分析：(1) 由()()f x f x -=-，得sin()sin()33x x ππ-+=-+整理可得02x R π=∈满足00()()f x f x -=-(2) 由题存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解.令12[,2]2xt =∈分离参数可得11()2m t t =-+，设11()()2g t t t =-+求值域，可得m 取最小值54-(3) 由题即存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，分02x ≥，022x -<<，02x ≤-三种情况讨论可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()()f x f x -=-，得：sin()sin()33x x ππ-+=-+0x = 所以存在02x R π=∈满足00()()f x f x -=-所以函数()sin()3f x x π=+是“M 类函数”，（2）因为()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”， 所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-， 即方程2220x x m -++=在[1,1]-上有解. 令12[,2]2xt =∈则11()2m t t =-+，因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增，在[1,2]上递减所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <因为若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数142y x x=-（2x ≥）是增函数，所以1m ≥- ②当022x -<<时，022x -<-<，所以33-=，矛盾③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数142y x x=-+(2)x ≤-是减函数，所以1m ≥- 综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-点睛:已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.15．(1)()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数;证明见解析 (2)25 log 63n ≥- 【解析】【详解】试题分析：(1)利用奇偶性，确定函数的解析式，然后利用函数单调性的定义，判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性，结合不等式恒成立问题，求解参数的取值范围.试题解析：(1)由条件可得()()0f x f x -+=,即 2211log log 02121mx mx x x -+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭化简得222114m x x -=-,从而得2m =±;由题意2m =-舍去,所以2m =即()212log 21x f x x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, ()1,2f x x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭在上为单调减函数, 证明如下:设1212x x <<<+∞, 则()()12f x f x -=122122121212log log 2121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为1212x x <<<+∞,所以210x x ->,12210,210x x ->->; 所以可得1212122112112x x x x +-⋅>-+,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >; 所以函数()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数,(2)设()()2x g x f x =- ,由(1)得()f x 在1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上为单调减函数, 所以()()2x g x f x =-在[]2,5上单调递减;所以()()2x g x f x =-在[]2,5上的最大值为()252log 63g n =≥-. 由题意知()n g x ≥在[]2,5上的最大值,所以25log 63n ≥-.。
高中数学必修一练习题函数含详细答案
✍✍✍高中数学必修一练习题（三）函数班号姓名✍✍奇偶性1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝|x| C．f(x)＝－x2D．f(x)＝1 x2．函数f(x)＝x2＋x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数3．已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为() A．5 B．10 C．8 D．不确定4．(2011·潍坊高一检测)已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，f(x)在[0，5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等式一定成立的是() A．f(－1)<f(3) B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5)D．f(0)>f(1)5．函数y＝ax2＋bx＋c为偶函数的条件是________．6．函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．7．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．8．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)<f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．✍✍函数的最大(小)值1．函数y＝1x2在区间[12，2]上的最大值是()A. 14B．－1 C．4 D．－42．函数f (x )＝9－ax 2(a >0)在[0，3]上的最大值为( ) A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 23．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1），则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．以上都不对4．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元D ．120.25万元5．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1，2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为_____．6．(2011·合肥高一检测)函数y ＝－x 2－4x ＋1在区间[a ，b ](b >a >－2)上的最大值为4，最小值为－4，则a ＝__________，b ＝________．7．画出函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ∈（－∞，0）x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．8．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．✍✍指数与指数幂的运算1．下列等式一定成立的是( ) A ．a 13·a 32＝a B ．a12-·a 12＝0 C ．(a 3)2＝a 9D ．a 12÷a 13＝a 162.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．2≤a ＜4或a ＞4C ．a ≠2D ．a ≠43．(112)0－(1－0.5－2)÷(278)23 的值为( )A ．－13B. 13C. 43D. 734．设a 12－a12-＝m ，则a 2＋1a＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 25．计算：(π)0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412＝________．6．若102x ＝25，则10－x 等于________．7．根据条件进行计算：已知x ＝12，y ＝13，求x ＋y x －y －x －y x ＋y 的值．8．计算或化简下列各式： (1)[(0.02723)－1.5]13＋[810.25－(－32)0.6－0.02×(110)－2]12；(2)（a 23·b －1）12-·a12-·b136a ·b 5.幂函数1．幂函数y ＝x n 的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( ) A ．一点B ．两点C ．三点D ．四点2．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 133．如图，函数y ＝x 23的图象是( ) 4．幂函数f (x )＝x α满足x >1时f (x )>1，则α满足的条件是( )A ．α>1B ．0<α<1C ．α>0D ．α>0且α≠15．函数y＝(2m－1)x2m是一个幂函数，则m的值是________．6．下列六个函数①y＝x 53，②y＝x34，③y＝x－13，④y＝x23，⑤y＝x－2，⑥y＝x2中，定义域为R的函数有________(填序号)．7．比较下列各组数的大小：(1)352-和3.152-；(2)－878-和－(19)78；(3)(－23)23-和(－π6)23-.8．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求该函数的解析式．参考答案函数的奇偶性1．选C f(x)＝|x|及f(x)＝－x2为偶函数，而f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，故选C.2．选D函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．3．选B f(4)＋f(－4)＝2f(4)＝10.4．选D函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)<f(1)．又f(x)在[0，5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0，5]上是减函数，观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确．5．解析：根据偶函数的性质，得ax2＋bx＋c＝a·(－x)2＋b(－x)＋c，∴b ＝0.答案：b＝06．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3. 答案：－37．解：∵f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，即b1＋02＝0，∴b ＝0， 又f (12)＝12a 1＋14＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x 1＋x 2. 8．解：由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23.函数的最大(小)值1．C2．选A f(x)＝－ax2＋9开口向下，在[0，3]上单调递减，所以在[0，3]上最大值为9.3．选A f(x)在[－1，2]上单调递增，∴最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.4．选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．解析：设f(x)＝ax ＋b ，易知a≠0. 当a>0时，f(x)单调递增，则有⎩⎨⎧f （2）＝3f （－1）＝1，∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝3－a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝53，∴f (x )＝23x ＋53；当a <0时，f (x )单调递减，则有⎩⎨⎧f （2）＝1，f （－1）＝3，∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝73， ∴f (x )＝－23x ＋73. 综上，y ＝f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x＋73. 答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋736．解析：∵y ＝－(x ＋2)2＋5，∴函数图象对称轴是x ＝－2. 故在[－2，＋∞)上是减函数．又∵b >a >－2，∴y ＝－x 2－4x ＋1在[a ，b ]上单调递减．∴f (a )＝4，f (b )＝－4.由f (a )＝4，得－a 2－4a ＋1＝4，∴a 2＋4a ＋3＝0，即(a ＋1)(a ＋3)＝0.∴a ＝－1或a ＝－3(舍去)，∴a ＝－1. 由f (b )＝－4，得－b 2－4b ＋1＝－4，b ＝1或b ＝－5(舍去)，∴b ＝1. 答案：－1 1 7.解：f(x)的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.8．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝x2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]，当x ＝1时，有f (x )min ＝1，当x ＝－5时，有f (x )max ＝37.(2)∵函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a ，f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.✍✍指数与指数幂的运算1．选D a 13·a 32＝a 1332+＝a 116；a 12-·a 12＝a0＝1；(a3)2＝a6；a 12÷a 13＝a1123-＝a 16，故D 正确．2．选B 要使原式有意义，应满足⎩⎨⎧a －2≥0a －4≠0，得a≥2且a≠4.3．选D 原式＝1－(1－4)÷3（278）2＝1＋3×49＝73. 4．选C 将a 12－a 12-＝m 平方得(a 12－a 12-)2＝m2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2?a 2＋1a＝m 2＋2.5．解析：(π)0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412＝1＋122×⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＝1＋14×32＝118. 答案：1186．解析：由102x ＝25得：(10x)2＝25，∴10x 是25的平方根．由于10x>0，∴10x＝5，∴10－x＝110x ＝15. 答案：157．解：∵x ＋y x －y －x －y x ＋y＝（x ＋y ）2x －y －（x －y ）2x －y ＝4xyx －y ，把x ＝12，y ＝13代入得，原式＝412×1312－13＝4 6.8．解：(1)原式＝(310)3×23×(－32)×13＋(8114＋3235－2100×100)12＝103＋912＝193. (2)原式＝a 13-·b 12·a12-·b13a 16·b56＝a111326---·b115236+-＝1a. 幂函数1．选A 当n≥0时，一定过(1，1)点，当n<0时，也一定过(1，1)点． 2．选B y ＝x 12不是偶函数；y ＝x －2不过(0，0)；y ＝x 13是奇函数． 3．选D 幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称．4．选C 因为x>1时x α>1＝1α，所以y ＝x α单调递增，故α>0. 5．解析：令2m －1＝1得m ＝1，该函数为y ＝x. 答案：16．解析：函数①④⑥的定义域为R ，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x|x≠0}． 答案：①④⑥ 7．解：(1)函数y ＝x52-在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1，所以352->3.152-.(2)－878-＝－(18)78，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，因为18>19，则(18)78>(19)78， 从而－8－78<－(19)78.(3)(－23)23-＝(23)23-，(－π6)23-＝(π6)23-，函数y ＝x 23-在(0，＋∞)上为减函数，因为23>π6，所以(23)23-<(π6)23-，即(－23)23-<(－π6)23-.8．解：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m<3.又m ∈N *，∴m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. 即幂函数y ＝x 3m －9的解析式为y ＝x －6.。
高中必修一函数试题及答案
高中必修一函数试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像关于哪条直线对称？A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. x = 2答案：B2. 函数y = |x| + 1的图像在x轴上截距是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A3. 下列哪个函数是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：B二、填空题4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点是_________。
答案：-1, 0, 35. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
答案：√2三、解答题6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0, 6]上的最大值和最小值。
解：首先，我们可以将函数f(x)重写为f(x) = (x - 2)^2。
这是一个开口向上的二次函数，其顶点在x = 2处，顶点的函数值为f(2) = 0。
由于函数在x = 2处达到最小值，我们可以计算区间[0, 6]端点处的函数值：f(0) = 4，f(6) = 20。
因此，最大值为20，最小值为0。
7. 函数y = 2x - 3与直线y = x + 1的交点坐标是什么？解：要找到交点，我们需要解方程组：\[\begin{cases}y = 2x - 3 \\y = x + 1\end{cases}\]将第二个方程代入第一个方程，我们得到：\[x + 1 = 2x - 3\]解这个方程，我们得到x = 4。
将x = 4代入任一方程，我们得到y = 5。
因此，交点坐标为(4, 5)。
四、综合题8. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，求其导数，并讨论其单调性。
解：首先，我们求导数：\[f'(x) = 6x + 2\]要讨论单调性，我们需要找到导数的零点：\[6x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\]在x = -1/3处，导数为零。
高一数学函数试题及答案
函数与基本初等函数一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈RC ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝(12)x ，x ∈R2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12x D ．2x －23．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 是奇函数，则( )A ．b ＝c ＝0B ．a ＝0C ．b ＝0，a ≠0D ．c ＝0 4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－4x ＋4B ．f (x )＝x 2－4x ＋5C ．f (x )＝x 2－4x －5D ．f (x )＝x 2＋4x ＋55．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13) D ．(－∞，－13) 6．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)8．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c二、填空题9．函数y ＝log 12x ＋2的定义域是____________．10．已知函数f (x )＝a x ＋b 的图象经过点(－2，134)，其反函数y ＝f －1(x )的图象经过点(5,1)，则f (x )的解析式是________．11．函数f (x )＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．12．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的范围是________．13．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.14．函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题15．设f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，并且f (x )－g (x )＝x 2－x ，求f (x )，g (x )．16．设不等式2(log 12x )2＋9(log 12x )＋9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时，函数f (x )＝(log 2x 2)(log 2x8)的最大、最小值．17．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．18．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)＜3.(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x ＜0，f (x )的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．参考答案1 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；D 在其定义域内不是奇函数，只是减函数；故选A.2 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以，a ＝2，故f (x )＝log 2x ，选A.3 ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.∴－ax 3－bx 2＝－ax 3＋bx 2，∴b ＝0，故选A. 4 因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )；当x ＞1时，2－x ＜1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2－4x ＋5. 5 ⎩⎨⎧1－x ＞03x ＋1＞0，解得－13＜x＜1.故选B.6 令x ＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，f (0)＝－1，所以f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＋1＝－1，而f (x )＋f (－x )＋1＋1＝0，即 f (x )＋1＝－，所以f (x )＋1为奇函数，故选C. 7因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是不等式变为2f (x )x＜0，根据函数的单调性和奇偶性，画出函数的示意图(图略)，可知不等式2f (x )x ＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)． 8如下图：∴a ＜b ＜c . A9 (0,4] 10 f (x )＝2x ＋3 11依题意有f (－x )＋f (x )＝ln1－ax1－2x＋ln 1＋ax 1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax 1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2，解得a 2＝4，但a ≠2，故a ＝－2.12 解法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则⎩⎨⎧(x 1－1)(x 2－1)＞0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，解之得2≤a ＜52. 13 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称．∴2a ＋ab ＝0⇒b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，且值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4. －2x 2＋414设g (x )＝3x 2－ax ＋5，已知⎩⎨⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.15 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )；g (x )为偶数，∴g (－x )＝g (x )．f (x )－g (x )＝x 2－x∴f (－x )－g (－x )＝x 2＋x从而－f (x )－g (x )＝x 2＋x ，即f (x )＋g (x )＝－x 2－x ，16 ∵2(log 12x )2＋9(log 12x )＋9≤0，∴(2log 12x ＋3)(log 12x ＋3)≤0.∴－3≤log 12x ≤－32.即log 12(12)－3≤log 12x ≤log 12(12)－32∴(12)－32≤x ≤(12)－3，即22≤x ≤8.从而M ＝．又f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －3)＝log 22x －4log 2x ＋3＝(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8，∴32≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝2，即x ＝4时y min ＝－1；当log 2x ＝3，即x ＝8时，y max ＝0.⎩⎨⎧ f (x )－g (x )＝x 2－x f (x )＋g (x )＝－x 2－x ⇒⎩⎨⎧f (x )＝－xg (x )＝－x 2 17 (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．(1)设f (x )图象上任意一点的坐标为(x ，y )，点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上．∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)g (x )＝(x ＋1x )·x ＋ax ，即g (x )＝x 2＋ax ＋1.g (x )在(0,2]上递减⇒－a 2≥2，∴a ≤－4.18 (1)由f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，得f (－x )＝－f (x )对定义域内x 恒成立，则a (－x )2＋1b (－x )＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c ⇒－bx ＋c ＝－(bx ＋c )对定义域内x 恒成立，即c ＝0.又⎩⎨⎧f (1)＝2f (2)＜3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1b ＝2 ①4a ＋12b ＜3 ②由①得a ＝2b －1代入②得2b －32b＜0⇒0＜b ＜32，又a ，b ，c 是整数，得b ＝a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x，当x ＜0，f (x )在(－∞，－1]上单调递增，在上单调递增．同理，可证f (x )在[－1,0)上单调递减．。
高一数学函数试题及答案
高一数学函数试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 2x + 3的值域是：A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)2. 已知函数f(x) = x^2 - 2x，x ∈ R，若f(x) = 0，则x的值为：A. 0B. 2C. -2D. 0 或 23. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/44. 若函数f(x) = |x| + 1是奇函数，则下列哪个函数也是奇函数：A. f(x) + 2B. f(x) - 2C. 2f(x)D. 3f(x)5. 已知f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(-1)的值是：A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = 3x - 5的图象沿x轴向左平移2个单位，新的函数表达式为______。
7. 函数y = 2^x的反函数是______。
8. 函数f(x) = x^2 + 1在x = -1处的切线斜率是______。
9. 若函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 3x^2 + 2ax + b，当a = 2时，b的值为______。
10. 函数y = 1/x的图像关于______对称。
三、解答题（共75分）11. （15分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0, 6]上的单调区间。
12. （15分）求函数f(x) = sin(x) - cos(x)的值域。
13. （15分）若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求f'(x)，并找出f(x)的极值点。
14. （15分）已知函数f(x) = 2x - 3，求f(x)的反函数，并证明其正确性。
15. （15分）证明函数f(x) = x^3在R上是增函数。
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高中数学必修一函数练习题及答案[1]一、选择题：1、若()f x =(3)f = （ ）A 、2B 、4 C、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()g x =；②()f x x =与2()g x =；③0()f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A 、①②B 、①③C 、③④D 、①④ 4、二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5、函数y =的值域为 （ ）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ）（1）（2）（3）（4）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说确的有 （ ）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。
A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、()1()f x f x =-- 9、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ）A 、12a >B 、12a <C 、12a ≥D 、12a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,ab ，总有()()0f a f b a b ->-成立，则必有（ ） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数 12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
A 、（1）（2）（4）B 、（4）（2）（3）C 、（4）（1）（3）D 、（4）（1）（2） 二、填空题：13、已知(0)1,()(1)()f f n nf n n N +==-∈，则(4)f = 。
14、将二次函数22y x =-的顶点移到(3,2)-后，得到的函数的解析式为 。
15、已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值围是 。
16、设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x = 。
17.设有两个命题：①关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解；②函数22()log a a f x x -=是减函数。
当①与②至少有一个真命题时，实数a 的取值围是＿＿18.方程0422=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值围是＿＿＿＿＿。
三、解答题：19、已知(,)x y 在映射f 的作用下的像是(,)x y xy +，求(2,3)-在f 作用下的像和(2,3)-在f 作用下的原像。
20、证明：函数2()1f x x =+是偶函数，且在[)0,+∞上是增加的。
21、对于二次函数2483y x x =-+-，（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）画出它的图像，并说明其图像由24y x =-的图像经过怎样平移得来； （3）求函数的最大值或最小值； （4）分析函数的单调性。
22、设函数)(x f y =是定义在R +上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ，（1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值围。
答案一、选择题：ABCDA BCDAB CD二、填空题：13、24 14、222(3)221216y x x x =-++=---15、203a << 1617、(]11,8,0,122⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 18、52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：19、(2,3)-在f 作用下的像是(1,6)-；(2,3)-在f 作用下的原像是(3,1)(1,3)--或 20、略21、（1）开口向下；对称轴为1x =；顶点坐标为(1,1)；（2）其图像由24y x =-的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到； （3）函数的最大值为1；（4）函数在(,1)-∞上是增加的，在(1,)+∞上是减少的。
22、解：（1）令1==y x ，则)1()1()1(f f f +=，∴0)1(=f（2）∵131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ∴23131)3131(91=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f∴()()[]⎪⎭⎫⎝⎛<-=-+91)2(2f x x f x f x f ，又由)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>-020912x x x x 解之得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈3221,3221x 。
高中数学必修四三角函数、三角恒等变形与解三角形练习测试题及答案 A 组若角α的终边过点(,3)(0)P a a a ≠，则sin α的值为（ ）(A) (B)(C)(D)[]1cos (0,2 )y x x π=+∈的图象与直线32y =的交点的个数为（ ）(A)0 (B)1(C)2(D)3（3）在△ABC 中，60,1,3ABC A b S =︒==，则sin aA 的值为（ ） (A)83(B)263(C)239(D)27（4）化简1sin 20-︒的结果是（ ） (A)cos10︒(B)cos10sin10︒-︒(C) sin10cos10︒-︒(D) (cos10sin10)±︒-︒（5）在△ABC 中，若18,24,44a b A ===︒，则此三角形解的情况为（ ） (A)无解(B)两解(C)一解(D)解的个数不能确定（6）若sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）(A)21m -(B) 21m --(C)21m -(D) 21m --（7）有以下四种变换方式：向左平行移动4π个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12； 向右平行移动8π个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平行移动8π个单位长度； 每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平行移动8π个单位长度．其中能将函数sin y x =的图象变为函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的是（ ） (A)①和④(B)①和③(C)②和④(D)②和③（8）在△ABC 中，若()()3a b c c b a bc +++-=，则A ＝（ ） (A)150︒(B)120︒(C)60︒(D)30︒（9）已知1tan 3θ=-，则7sin 3cos 4sin 5cos θθθθ-+的值为 ．（10）函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕπωϕ=+>-<<>在一个周期的区间上的图象如图， 则A ＝ ，ω＝ ，ϕ＝ ．11）已知tan 2α=，1tan 3β=-，其中0,22ππαβπ<<<<．（1）求tan()αβ-； （2）求αβ+的值．（12）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．（13）一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为(rad),αα作为时间t 的函数，满足关系1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 求：（1）最初时(0)t α=的值是多少？ （2）单摆摆动的频率是多少？（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．已知函数()sin sin cos 66f x x x x aππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1．（1）求常数a 的值；（2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合．B 组设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1513sin 3cos 772022sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝观察以下各等式：223sin 30cos 0sin30cos 0466︒+︒+︒︒=，223sin 20cos 50sin 20cos504︒+︒+︒︒=，223sin 15cos 45sin15cos454︒+︒+︒︒=，…，归纳得到 ．（18）已知α为第二象限的角，化简：cos sin（19）已知11 sin(),sin()23αβαβ+=-=；（1）求证：sin cos5cos sinαβαβ=；（2）求证：tan5tanαβ=．中OA 与地面垂直．以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ．设B 点与地面距离为h ．（1）求h 与θ的函数解析式；（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 的函数解析式；（3）填写下列表格：θ0︒30︒60︒90︒120︒150︒180︒(m)h(s)t 0 5 10 15 20 25 30 (m)h一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始作匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 作匀速直线滚动．如图所示，已知42dm,17dm,45AB AD BAC ==∠=︒．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？参考答案或提示：（四）三角函数、三角恒等变形与解三角形 A 组 （1）C（2）C 提示：作出[]1cos (0,2 )y x x π=+∈的图象，直线32y =，数形结合（4）Bsin10cos10︒-︒，∵sin10sin80cos10︒<︒=︒cos10sin10=︒-︒。