大学高数向量及其线性运算
向量的线性运算向量的加法和数乘
向量的线性运算向量的加法和数乘向量的线性运算：向量的加法和数乘向量是数学中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在线性代数中，向量的线性运算是一项基础且重要的内容。
本文将重点介绍向量的加法和数乘两种线性运算，以及它们的性质和应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置上的元素进行相加得到一个新的向量。
设有两个向量：向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和向量B = (b₁,b₂, ..., bₙ)，则它们的加法可表示为：A +B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)其中，a₁ + b₁表示A和B的第一个元素相加，a₂ + b₂表示A和B的第二个元素相加，以此类推。
需要注意的是，参与加法运算的两个向量必须有相同的维度，即拥有相同数量的元素。
向量的加法具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量A和B，有A + B = B + A。
即向量的加法满足交换律，顺序可以交换而不影响结果。
2. 结合律：对于任意三个向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B +C)。
即向量的加法满足结合律，可以按照任意顺序进行多次加法运算。
3. 零向量：对于任意向量A，存在一个全零向量0，使得A + 0 = A。
即任何向量与零向量进行加法运算，结果仍为原向量本身。
向量的加法有着广泛的应用，例如在力学中，将多个力的作用效果用向量的加法表示；在几何学中，将多个向量的位移用向量的加法表示等等。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数乘以一个向量的每个元素得到一个新的向量。
设有一个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)，实数k，则它们的数乘可表示为：kA = (ka₁, ka₂, ..., kaₙ)即向量A的每个元素都乘以k得到新的元素。
这里的实数k称为标量，而向量A称为向量kA的标量倍。
需要注意的是，标量与向量进行数乘时，不改变向量的维度。
向量的数乘具有以下性质：1. 结合律：对于任意实数k₁和k₂以及向量A，有(k₁k₂)A =k₁(k₂A)。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学2017年最新课件向量及其线性运算
a
和结合律: (a+b)+c=a+(b+c).
2向量的减法
设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量 ,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差: a-b=a+(-b).特别是 a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到 向量a 上去
a -b a-b
3,数乘向量
z
y
x
上下两部分,上面的四个卦限按逆时针分成两个可以确定一 个平面,称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分,每一 个部分叫做一个卦限.xoy平面把它们分成上下两部分,上面 的四个卦限按逆时针分成1，2，3，4卦限；下面的四个卦限
按逆时针分成5，6，7，8卦限
过空间的一点M分别作x轴y轴z轴的垂直平面,它们和三个
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量, 记为a∥b.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与 任何向量都平行. 当平行向量的起点放在同一点时,它们的 终点和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向 量共线.
二
向 量 的 线 性 运 算
向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算. 1,向量的加法 规定:两个向量的加法运算, 以两向量为平行四边形的边, 对角线为它们的和.(称为平行四边形法). 把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量 的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形 法则)
b
c
c
b b c d
a a 向量加法的平行四边形法则与
a
三角形法则是一致的,这从上面 可明白地看出.但多个向量相加 a+b+c+d
时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次 首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点 为终点的向量即是所求的和向量.
大学高数向量及其线性运算
04
向量的线性变换
向量线性变换的定义与性质
定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法的映射。
性质
线性变换保持向量的加法性质和标量乘法性质，即对于任意向量$x$、$y$和标量 $k$，有$T(x+y)=T(x)+T(y)$和$kT(x)=T(kx)$。
应用
特征值和特征向量在解决实际问题中 具有广泛的应用，如求解线性方程组、 判断矩阵的稳定性、计算矩阵的逆和 行列式等。
05
向量的应用
向量在物理中的应用
力的合成与分解
01
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力与分力。
速度和加速度
02
在运动学中，速度和加速度可以表示为位置向量的函数，通过
向量运算来描述物体运动状态的变化。
数乘
数乘是指一个实数与向量的乘积，其实质是向量的长度或模的伸缩。设实数$k$与向量 $overset{longrightarrow}{A}$的数乘为$koverset{longrightarrow}{A}$，其长度为 $|koverset{longrightarrow}{A}| = |k| times |overset{longrightarrow}{A}|$。
向量的减法与向量的共线
要点一
向量的减法
向量减法是通过加法来实现的，即 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} overset{longrightarrow}{B}$等同于 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} + (overset{longrightarrow}{B})$。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高等数学 第八章 第一节 向量及其线性运算
B(0 , y , z)
C(x , 0 , z)
r
o
M y
Q(0 , y , 0)
x P( x , 0 , 0) A( x , y , 0)
第八章 第一节
14
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
第八章 第一节
15
2 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示。
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M
或字母上面加箭头(手写体)。 a 或 M1M2
向量的模： 向量的大小 | a | 或 | M1M2 |
单位向量： 模长为1的向量。
零向量： 模长为0的向量 0 (方向任意)。
第八章 第一节
3
若向量 a 与 b大小相等，方向相同， 则称 a 与 b 相等， 记作 a＝b ; (自由向量) 若向量 a 与 b 方向相同或相反，则称 a 与 b 平行， 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同，但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
=
6i
+
7
j
−
6k平行的单位向量的分解式。
第八章 第一节
29
3 向量在轴上的投影与投影定理 (1) 空间一点在轴上的投影
•M
过点 M 作轴 u 的垂直平面，
•M
u 交点 M 即为点 M 在轴 u 上
的投影。
第八章 第一节
30
(2) 空间向量(向径)在轴上的投影
Oe
•M 给定 OM = r，过 Ｍ 点作 u 轴
a , b 反向
注意 P6 ，建立数轴的理论依据
7-1向量及其线性运算
非零向量
a
的方向角：
、
、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax ay az
| a
|
a
| a
| | |
cos cos cos
向 量 的 方 向
x
余 弦
方向余弦通常用来表示向量的方向.
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
3、方向角与方向余弦
空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0,向量bb的0,夹角
b
a
(a, b )
(b,a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
(ay
az }
by ) j
(az
bz )k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
例 3 设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两
部 分 AM 、 MB ， 使 它 们 的 值 的 比 等 于 某 数
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
高等数学@1.向量及其线性运算
a x
x
P
o
M
a
Q
y
y
24
a (ax , ay , az ) (| a | cos,| a | cos,| a | cos )
cos ax , |a|
cos ay , |a|
cos
|aaz
. |
a0
a
(cos, cos, cos ).
(4) 定比分点：设点A(x1, y1, z1)、 B(x2, y2, z2) M为直线AB上的点，若 AM MB ( 1)
称M为有向线段AB的 分点， 则M点坐标为
( x1 x2 , 1
y1 y2 , 1
z1 z2 ) 1
线段AB的中点坐标
b
||
a
存在唯一
实数
使
b
, a
e
o
P
u
若e为ou轴的单 位向量,P为ou轴 上任一点,则存
在唯一实数u， 使 OP ue
称数u为ou 轴 上点P 的坐标.
13
三、空间直角坐标系
o
x 左手系 z
坐标系oxyz
z竖轴
y 右手系
定点o
y纵轴
横轴x
坐标系oxyz
空间直角坐标系
30
例3
设
m
3i
5
j
8k
n
2i
4
j
7k
p
5i
j
4k
，求向量
a 4m 3n
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向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a (a) 0.
[2]
定义减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
ab
b
b
c
a
b
c
a a
(b ) b
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM ，叫做点M的 向径.
二、向量的加减法
[1]
定义加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若a‖ b
b
分为同向和反向
c
| c || a
|
|
b
|
a
b a
|
c
|
|
a
|
c |
b
|
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：(
)a
a
a
(a
b)
a
b
两个向量的平行关系
分 定必理要设条向件量是a：存0，在那唯一末的向实量数b 平，行使于ba的充a.
设
e
是与
u
轴同方向的单位向量，
AB ( AB)e.
eA o1
B
u
设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 的相互位置如何，
AC AB BC, 即 ( AC)e ( AB)e (BC)e ( AB BC)e,
AC AB BC.
例 1 在u轴上取定一点o作为坐标原点．设 A, B,
又设 P1, P2 在轴 u 上的坐标依次为 u1, u2．
Pr ju M1M2 au ,
M1
P1P2 OP2 OP1
u2 u1,
o P1
M2
P2
u
au u2 u1 .
如果e 是与u 轴正向一致的单位向量，
由例1知
P1P2 aue (u2 u1 )e .
设a 是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )
D b
a
M
A
C B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
一、向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段.
A
B
u
如果数 满足 AB，且当 AB 与 u 轴同 向时 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
第二节 向量及其线性运算
<<工科数学分析>> 北京理工大学
2010-2011学年第二学期
一、向量的概念
M2
向量：既有大 小又有方向的量. 向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. M1M20
证 充分性显然；
必要性
设 b‖
a
取
b
,
当
b
与
a
同向时
取正值，
a
当
b
与
a
反向时
取负值，
此时
即有
b
与
a
b a.
同向.
且
a
a
b
a
a
b.
的唯一性.
设
b
a，
又设
b
a，
两式相减，得
(
)a
0，
即
a
0，
a
0， 故
0，
即
பைடு நூலகம்
.
证毕。
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
A
a1
B
a2
C
u
A
B
C
特别地，如果把上述向量a在轴上
的投影换成向量a在向量b上的投影,
可得到类似的概念与性质：
(a
)b
|
a
|
Cos(a,
b);
(a b)c (a)c (b)c .
二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
设
a
M1M2
为一向量，u
为一条数轴．
点 M1, M2 在轴 u 上的投影分别为点P1, P2．
是 同方u轴向上的坐单标位依向次量为，u证1,明u2A的B两 个(u2点，u1e)e是. 与u轴
证 OA u1,
e
A
o
1 u1
B
u2
u
故
OA
u1e
,
同理，OB
u2e ,
于是
AB
OB OA
u2e
u1e
(u2
u1 )e .
空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0,向量bb的0,夹角
b
a
(a,b)
a e 与
同方向的单位向量可记作 a0 或
a
零向量：模长为0的向量. 0
零向量没有方向，或者说其方向是任意的
即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移 动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都 是自由向量。
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
|
a
|
a
0
a
a0 .
|a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
(b,a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影
•A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点
A在轴u上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
数
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
关于向量的投影定理（1）
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u