成人高考数学教案_第1讲__集合和简易逻辑

《成人高等学校招生考试（数学理科）》教案

【组织教学】

1. 起立，师生互相问好

2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题

【导入新课】

本课我们来学习集合和简易逻辑。集合是现代的数学的重要概念，,运用集合可以方便又准确地描述和解决某些数学问题。简易逻辑是分析、判断命题正确与否的基础，学习和掌握简易逻辑能够提高分析和判断能力。通过本课的学习，同学们要加深掌握集合的定义及其表示方法,掌握空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，记牢各种集合符号及其意义，并能用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系；能够运用简易逻辑学的知识分析和判断简易逻辑问题。

【讲授新课】

第一章 集合和简易逻辑 §1.1 集合 一、集合的概念

1．集合 具有某种属性的事物的全体称为集合。集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，如}{

5,6,7,8

A =。

2.元素 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，也叫“元”。元素常用小写字母a 、b 、c 等表示。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。元素具有无序性、互异性、确定性。

3.元素与集合的关系 个体与整体的关系。如果a 是集合A 的元素，记作a A ∈，读作a 属于A ；如果a 不是集合A 的元素，记作a A ?（或a A ∈），读作a 不属于A 。

4. 有限集、无限集、单元素集、空集

（1）有限集 含有有限个元素的集合，如}{

1,2,3A =。

（2）无限集 含有无限个限个元素的集合，如}{

A x x =-∞<<+∞。

（3）单元素集 只有一个元素的集合，如}{

1A =。

（4）空集 不含任何元素的集合，空集用?(不是希腊字母的φ)表示。空集不是无；它是内部没有元素的集合。若将集合想象成一个袋子和它里面的事物，则空集就是里面没装事物的空袋子。空集?是任何集合的子集.

5．数集 元素为数的集合叫做数集，常用的数集有： （1）实数集 全体实数组成的集合，常用符号R 表示。 （2）有理数集 全体有理数组成的集合，常用符号Q 表示。 （3）整数集 全体整数组成的集合，常用符号Z 表示。

1非负整数集—自然数集,用N 表示。

根据国家标准，现在自然数集包括元素0（以前不包括元素0）； 2正整数集,用N +或N *表示。正整数集不包括元素0。

二、集合的表示法

1．列举法 列举法是把集合的元素一一写在大括号里的表示法，如

}{1,2,3A =。红色、白色、蓝色和绿色的集合可写成}{D =红色,白色,蓝色,绿色

2．描述法 把集合中的元素的公共特性写在大括号里的表示法，如 “所有等腰直角三角形”组成的集合可写成}{

A =等腰直角三角形；

方程2

60x x +-=的根组成的集合A 可写成}

{

2

60B x x x =+-=；

大于零的前三个自然数的集合可写成}{C =大于零的三个自然数。 3．图解法 在不严格的意义下，为直观起见，有时也用图来表示集合，如右图：

三、集合与集合的关系和运算

1．包含

子集 对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ? 或 B A ?，读作A 包含于B ，或B 包含A 。

在国家标准中，“?”可用“?”代替，“?”可用“?”代替。 子集的性质：

（1）任何一个集合A 是它本身的子集； （2）空集是任何一个集合A 的子集；

（3）对于集合A 、B 、C ，若A B ?，B C ?，则A C ?。 真子集 如果A B ?，且A B ≠，则集合A 叫做集合B 的真子集，

如把我们学校看作是一个集合A ，则我们班就是A 的真子集。又如所有男性是所有人的真子集 2．相等 对于两个集合A 与B ，如果A B ?，同时B A ?，那么称这两个集合相等。也就是说，两个包含的元素完全相同的集合相等。记作A B =。

3．相交 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ，

读作“A 交B ”。

}{

A B x x A x B =∈∈且

交集的性质：

（1）A A A =； （2）A ?=?； （3）A B B

A =（交换律）

例 ·

{1, 2}

∩ {红色, 白色} =

·{1, 2, 绿色} ∩

{红色, 白色, 绿色} = {绿色}

·{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

4．相并 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ，

读作“A 并B ”。

}{

A

B x x A x B =∈∈或

并集的性质：

（1）A A A =； （2）A

?=?； （3）A B B A =（交换律）

例·{1, 2} ∪

{红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}

·{1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色

, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色} ·{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

5．补集

全集 如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作是一个全集，全集常用U 表示。

补集（差集、余集） 把U 分成A 和B 两个集合，则A 是B 的补集， B 是A 的补集。U 中A 的补集记作U A e（当U 明确时U 中A 的补集简记作A e），U 中B 的补集记作（当U 明确时U 中B 的补集简记作B e）。A e有时用A′表示。

B

A

B

B

教学过程

}{A

x x U x A =∈≠且e， }{B

x x U x B =∈≠且e

补集的基本性质： ·A ∪ A′ = U ·A ∩ A′ = ? ·(A′)′ = A

·A ? B = A ∩ B′

例 · }{U =1,2,3,4,5,6,7,8，}{1,2,3A =，则B U A =-=}{

4,5,6,7,8U A =e

· {1, 2} ? {红色, 白色} = {1, 2}

· {1, 2, 绿色} ? {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}

· {1, 2} ? {1, 2} =? 四、课堂练习

1.用适当的符号(,∈,?=, , )填空

(2) }a (3){,a b }a

(4) }a (5)a },b c }0

2.设集合}{3,4,5,6M =，}{1,2,3,4N =，}1,2A =，则

M N M N = ， N

A =e

§1.2 简易逻辑

一、充分条件、必要条件、充要条件的概念和运用

1.充分条件 如果A 成立,那么B 成立,表为“A B ?”（由A 推出B ），就说条件A 是B 成立的充分条件。如“有单车，我可以去花都”，“有单车”是“我可以去花都”的充分条件。（有它则成，无它也行）

2.必要条件 如果B 成立,那么A 成立,表为“B A ?”（由B 推出A ），就说条件A 是B 成立的必要条件。如“没有钢铁,就不能实现机械化”，“钢铁”是“实现机械化”的必要条件。（有它不够，无它不行）

3.充要条件 如果既有A B ?，又有B A ?，表为A B ?，就说条件A 是B 成立的充要条件。如 “种瓜得瓜，种豆得豆”，“种瓜、种豆是充要条件”。(有它则成,无它不行)

4.充分而非必要条件 由A 可以得出B ，但是B 一定不能得出A ，则A 是B 的充分非必要条件。

5.必要而非充分条件 由B 可以得出A ，但是A 一定不能得出B ，则A 是B 的必要非充分条件。

6.既不充分也不必要条件 由A 不能得出B ，由B 也不能得出A ，A 是B 的既不充分也不必要条件。 例 指出下列各组命题中A 是B 的什么条件

(1):(3)(2)0;:20A x x B x --=-= . (2)A:同位角相等; B:两直线平行.

(3)2

:3;:9A x B x == . (4)A:四边形的对角线相等; B:四边形是平行四边形. (5)2

:0;:0A x B x >> (6)2

:0:0;A x B x >>

解: (1) A 是B 的必要而非充分条件（B A ?,而30,20x x -=-时可以不是,即A B ?）； (2)A 是B 的充要条件（A B ?）

(3) A 是B 的充分而非必要条件(A B ?,B A ?,因为x 可以是-3) (4) A 是B 的不充分也不必要条件(A B ?) (5) A 是B 的充分条件 (6) A 是B 的必要条件

二、课堂练习

B

}{

1,2,3,4,5,6}{3,4

教学过程

【课堂总结】

一、课堂纪律与学习气氛总结 二、教学内容小结

1.具有某种属性的事物的全体称为集合, 有有限集、无限集、单元素集、空集、子集、全集、补集等。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合等。集合中的元素具有无序性、互异性、确定性。

2.集合的表示法主要是列举法和描述法在不严格的意义下，为直观起见可用图解法。

3.集合的主要关系是包含、相等、相交、相并、补集等。

4.简易逻辑的有关“条件”： 若A B ?（由A 推出B ），就说A 是B 成立的充分条件； 若B A ?”（由B 推出A ），就说A 是B 成立的必要条件； 若A B ?而B A ?，就说A 是B 成立的充分而非必要条件 若B A ?而A B ?，就说A 是B 成立的必要而非充分条件 若A B ?且B A ?，就说A 是B 成立的既不充分也不必要条件 若A B ?，就说A 是B 成立的充要条件

【布置作业】P.6之1.2.3.4和P.7之1.2