高考数学复习点拨：约会型几何概型问题
几何概型约会型问题
例1.小明家的晚报在下午5：30～6：30 之间的任何一个时间随机地被送到，小 明一家在下午6：00～7：00之间的任何 一个时间随机地开始晚餐 . 那么晚报在 晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析： 该题题意明确，但如何转化为数学模型 需要从实际问题中分析出存在的两个变量. 由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设 然后 晚报送到和晚饭开始的时间分别为 x、 y ， 把这两个变量所满足的条件写成集合的形式， 把问题转化为线性规划问题进行求解.
1 1 1 7 S ABCD 1 1 1, S阴 影 1 2 2 2 8 7 S阴 影 7 8 P 所以所求概率为： S ABCD 1 8
故晚报在晚餐开始之前被送到 7 的概率是 8 .
.
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关 系，其求解的步骤为： （1）找设变量.从问题中找出两个随机变量,设为 x , y ； （2）集合表示.用( x, y )表示每次试验结果， 则可用相应的集合分别表示出全部结果 和事件 A 所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个 二元一次不等式的交集. （3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作 出，并求出集合 , A 对应的区域的面积. （4）计算求解.由几何概型公式求出概率.
2 2 当且仅当- ≤x-y≤ ， 3 3
因此转化成面积问题，利用几何概型求解.
解:设两人分别于x时和y时到达约见地 点，要使两人能在约定时间范围内相 见，当且仅当 2 ≤ x y ≤ 2 .
3 3
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各 种可能结果可用图中的单位正方形内(包括 边界)的点来表示，两人能在约定的时间范 围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果 可用图中的阴影部分(包括边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比 就反映了两人在约定时间范围内相遇的可 能性的大小，因此所求的概率为
3.3 几何概型约会型问题的汇编
《几何概型中的约会型问题》作业
1、甲乙两艘船在驶向一个不能同时停泊两艘船的港口，他们在一昼夜内的任何时刻到达该港口的可能性相等，如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们任何一艘船都不需要等待的概率。
2、小明和小雪约了星期天下午在月牙塘公园见面，由于龙泉路最近在修路，可能会堵车，
小明说他大概4:00—5:00会到，小雪说她可能4:30—5:30到，他们约定先到的等二十分钟如果另一个还没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，问他们两个能相遇的概率有多大？
3、水池的容积为20 立方米，向水池注水的水龙头A和B的流速均为1立方米/小时，它
们在一昼夜内随机开的时间为0~24小时，求水池不溢水的概率。
4、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路，23路，8路车10分钟一班，23路15分钟
一班，求这位同学等车时间不超过8分钟的概率。
5、、小明和小雪两人约定星期天下午4:00—5:00之间在小西门乘公共汽车一起去学校，在
这段时间内有3班公共汽车，公车准时到达时刻分别为4∶20，4∶40，5∶00，如果他们约定，见车就乘，求他们两个同乘一车的概率？
6、把一条长为6米的绳子截成三段，求
（1）若三段长均为整数，求能够成三角形的概率；
（2）若截成的三段长为任意值，求能够成三角形的概率。
完整版几何概型的经典题型及答案
几何概型的常见题型及典例分析一•几何概型的定义1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 .2. 特点：（1） 无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；（2） 等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等 . 构成事件A 的区域长度（面积或体 积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系：（1） 联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2） 区别：①古典概型的基本事件是有限的， 几何概型的基本事件是无 限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同..常见题型（一）、与长度有关的几何概型分析：在区间［1,1］上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间［1,1］的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的3.计算公式:P （A ）例1、在区间［1,1］上随机取一个数x 1X ，cos 2-的值介于0到2之间的概率为（).A.- 3B.C.D.区间长度有关，符合几何概型的条件 解：在区间［1,1］上随机取一个数X ,即x ［0到-之间,需使x或 x22 2 33 2 2 2••• 1 x 2或-x 1，区间长度为3 3由几何概型知使cos —x 的值介于0到1之间的概率为2 22符合条件的区间长度 J 1所有结果构成的区间长 度 2 3 .例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯 C,D ，问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的 概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型.解 记E : “ A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB1等分，由于中间长度为妙3=10米,方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解.例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R 的概率 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1 ） O 也就是说，样本空间所对应的区域 G 是一维空 间（即直线）上的线段 MN 而有利场合所对 应的区域G 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。
高考数学 考点一遍过 专题52 几何概型 理-人教版高三全册数学试题
专题52 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式() P AA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个X围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．12B．13C．23D．35【答案】A故所求概率为201402=,选A ． 典例2 在区间[]0,2上随机抽取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】区间[]0,2的长度为2, 由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭可得302x ≤≤, 所以所求事件的概率为P =33224-=.1．公共汽车在7:00到7:20内随机到达某站,李老师从家里赶往学校上班,7:15到达该站,则她能等到公共汽车的概率为A ．13B ．23 C ．14D ．342．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B ),则以AC ,BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为A ．B ．C ．D ．考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为A．B．C．D．【答案】A则所求概率P=1-SS=1-,故选A．典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.【答案】3．圆O 内有一内接正三角形,向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为 A 33B ．3C ．33．34．已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机地投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为________.考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A．512B．23C．127D．425【答案】C5．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．π14B．π12C．π4D．π112-考向四随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()AP A=随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积AP A=列等式求解.典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(3≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为A ．83 m 2 B ．2 m 2C ．38m 2 D ．3 m 21．在[]0,π内任取一个实数x ，则1sin 2x ≤的概率为 A ．2 3B ．1 2C ．13D ．1 42．若任取[]0,1、x y ∈,则点(),P x y 满足y x >的概率为A ．23B ．13 C ．12D ．343．在区间[]0,4上随机地选择一个数,p 则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ．13B ．23 C ．12D ．144．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2+y 2≤1的点(x ,y ),其中满足|x|+|y|≤1的点有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4m n B ．4nmC ．2m n D ．2nm5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为 A ．127B ．116C ．38D ．8276．如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ,点E 在线段AB 上,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是A ．1 4B ．13C ．25D ．357．已知函数()2,01(e 1,1e x x f x x x⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为自然对数的底数)的图象与直线e 、x x =轴围成的区域为E ,直线e 1、x y ==与x 轴、y 轴围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为A ．43e B ．23e C ．23D ．2e8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．3π 10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120- 9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于18米的概率为__________. 10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待,试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.12．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.13．已知函数()22(,f x ax bx a a b =-+∈R ).(1)若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,求方程()0f x =有实根的概率;(2)若b 从区间[]0,2中任取一个数,a 从区间[]0,3中任取一个数,求方程()0f x =没有实根的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．343．（2017某某）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．4．（2016某某理科）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 .1．【答案】 C2．【答案】C【解析】设AC =x ,则BC =10-x ,0<x <10,由题意πx 2+π(10-x )2<58π,得x 2-10x +21<0,得3<x <7, 故所求的概率为.3．【答案】C4．【答案】2π【解析】易知1Ω的面积1πS =,2 Ω的面积22S =, 根据几何概型可得所求事件的概率为P=2.π5．【答案】D【解析】由题意可知,正方体的体积V =8,圆锥的体积V 1=212ππ1233⨯⨯⨯=,所以“鱼食落在圆锥外面”的概率是P=1π112V V V -=-. 6．【答案】A变式拓展【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到正方形不规则图形S S =3751000,所以该不规则图形的面积大约为1000375=83(m 2).1．【答案】C【解析】若1sin 2x ≤,则在[]0,π内π5π0π66或x x ≤≤≤≤， 所以所求概率为π216π03P ⨯==-.选C ．2．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C ．3．【答案】A【解析】因为方程2380x px p -+-=有两个正根,所以()243800,380p p p p ∆⎧=--≥⎪>⎨⎪->⎩所以8p ≥或 84,3p <≤ 又因为[]0,4,p ∈所以所求概率为841343P -==. 4．【答案】D5．【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(626-)3=827,故选D.6．【答案】B【解析】连接AC,交圆弧DE于点M.在Rt△ABC中,AB3BC=1,所以tan∠BAC=3BCAB=即∠BAC=π6.要使直线AP与线段BC有公共点,则点P必须在圆弧EM上,于是所求概率为P=π16π32=.故选B．7．【答案】A【解析】由题意，区域F的面积为e;区域E的面积S=1e2011d dx x xx+⎰⎰=31e0114|ln|33x x+=,所以在区域F内任取一点,则该点落在区域E内的概率为43e.8．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径r=8151732+-=，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =18159π3π211208152⨯⨯-=-⨯⨯. 9．【答案】3410．【答案】【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,所以所求概率P =.11．【解析】设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,则0≤x <24,0≤y <24.若有一艘在停靠泊位时必须等待,则|y-x|<6,如图中阴影部分所示,所以所求概率为1-=1-=.12．【解析】（1）用，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则][10,3010,30，x y ⎡⎤∈∈⎣⎦，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示．（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y -≥，对应区域为△BEF ，则所求概率为1151592202032△BEF ABCDS P S ⨯⨯===⨯．“b a ≥或0a =”.于是此时,a b 的取值情况为()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,即A 包含的基本事件数为10．故 “方程()0f x =有实根”的概率为()105168P A ==． （2）从区间[]0,2中任取一个数,b 从区间[]0,3中任取一个数,a 则试验的全部结果构成区域(){,|03,02}a b a b ≤≤≤≤, 这是一个长方形区域,其面积为236⨯=,设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为(){,|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤>，其面积为162242-⨯⨯=．由几何概型的概率计算公式可得“方程()0f x =没有实根”的概率为()4263P B ==．1．【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 2．【答案】B【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B ． 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．直通高考4．【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即3d =<，解得3344k -<<，而[1,1]k ，所以所求概率P =33224=.。
高三数学专题复习-约会问题
数学专题复习 几何概型—“约会问题”案例：圣诞节，小花、小楠两人约定明天7时到8时之间在城北中山公园门口会面，她们约定无论谁先到达，先到者应等候另一个人一刻钟，如果15分钟之后，另一人还未到达，这时先到者即可离去，那么，请思考后回答两人见面的概率是多少?思考：1、能直接得出两人碰面的概率吗？说说你的想法。
2、两人碰面的可能结果是怎样的？与古典概型相比较谈谈你的看法。
3、 若两人碰面这个事件不是古典概型，那么如何计算两人碰面的概率。
案例分析与讨论：首先，让学生分析互相讨论，得出两人碰面这个事件的结果是无限的，而且碰面的结果只是7时到8时之间的任何一个时刻，且任一时刻的可能性是相同的。
在此基础上教师要引导学生与古典概型的特点互相比较，从而教师给出几何概型的定义。
其次，让学生思考，想法计算几何概型的概率，在这个阶段，教师可以让学生自由发挥，结合他们的知识水平，教师再加以适当的引导指正，最后得出几何概型的概率计算公式。
最后，让学生自己解决碰面的概率计算，教师再进行详细的解析，学生方可学懂学透。
下面是上述案例的概率分析：问题的解决要以x 轴和y 轴分别表示两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，（如图1）由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A ，因此，两人见面的概率： 167604560)(222=-=A P 。
图1课堂反馈：思考下面的问题：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
分析：某人醒来在整点间即60分钟是随机的，等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域，整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域，因此本题的变量可以看作是时间的长度，于是可以通过长度比公式计算其概率。
可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A ，则6160106010)(==＝分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于A P ；显然这是一个与长度有关的几何概型问题，问题比较简单，学生也易于理解。
几何概型复习约会型概率的求解
例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形．将三
班车到站的时刻在图形中画出，则甲乙两人要想同乘一班车，
必须满足 7 ≤ x ≤ 7 1 ,7 ≤ y ≤ 7 1 ;
3
3
7
1
≤
x
≤7
2 ,7
1
≤
y
≤7
2 ;
3
33
3
7 2 ≤ x ≤ 8, 7 2 ≤ y ≤ 8.
3
3
即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内， 所以由几何概型的计算公式得，P= 即甲、乙同乘一车的概率为
P( A)
12
1 2 12
1 2
1 2
7. 8
例2:两人约定在12∶00到1∶00之间相见， 并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去， 如果两人出发是各自独立的，在12∶00至 1∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两 人在约定时间内相见的概率．
2
两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即
小时，
3
设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约
时刻相差不超过2秒的概率___3_/_4
3、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的 码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的 1）如果甲和乙的停泊时间都是4小时，它们中的任 何一条船不需要等待码头空出的概率是__2_5_/36 2）如果甲的停泊时间为4小时，乙的停泊时间为2小 时，它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概 率是__2_2_1_/288
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。
为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。
一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。
在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。
例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。
这就是一个典型的几何概型问题。
二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。
2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。
3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。
三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。
2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。
3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。
五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。
2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。
3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。
六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。
解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。
例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。
几何概型典型题型--约会问题
抽样一、选择题1 ．（2013年高考湖南（文3））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___（）A．9 B．10 C．12 D．13本题考查分层抽样方法的应用。
因为从丙车间的产品中抽取了3件，所以抽查比例为=，所以甲车间抽取6件，乙车间抽取4件，所以共抽取36413++=件，60:320:1选D.2．（2013年高考江西卷（文5））总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01本题考查随机数的使用和求值。
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,。
其中第二个和第四个都是02，重复。
所以第5个个体的编号为01。
故选D。
3．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。
故选B4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。
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谈“约会型”概率问题的求解
由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。
请看以下几例：
例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？
解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是15||≤-y x ，如图
由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会
面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A 因此，两人见面的概率167604560)(2
22=-=A P 点评：显然，“以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面y x ,必须满足15||≤-y x ，于是，结论也就顺其自然的产生了。
例2、A 、B 两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；
解：以x 轴和y 轴分别表示A 、B 两列火车到达的时间
两列火车必须等待，则10||≤-y x ，如图
由于),(y x 的所有可能结果是边长为60的正方形，可能
等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待”
为事件A
因此，这两列火车必须等待的概率是361160
5060)(222=-=A P 点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A 、B 两列火车到达车站的时间分别用y x ,表示，结论很快产生。
例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？
解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A 发生，
所以，由⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤≤≤x y y x 5.75.676 得8760302160)(2
2
2=⨯-=A P ， 即小强能见到小明的概率是8
7。
点评：与前两例很相似，但又有很大不同；两人的出发时间不同，如何将“相见”转化为数学式子？深入分析会发现76≤≤x 是小强到的时间，5.75.6<<y 是小明离家时间，要相见必须x y >，于是产生了一个不等式组，结合图形，分析面积产生结论。
例4、水池的容积是320m ，向水池注水的水龙头A 和水龙头B 水的流速都是3
1m /小时，它们在一昼夜内随机开24~0小时，求水池不溢出水的概率。
解：设水龙头A 开x 小时，水龙头B 开y 小时，当然， 0,0≥≥y x ，水池不溢出水，则20≤+y x
记“水池不溢出水”为事件A ，则A 所占区域面积为
20020202
1=⨯⨯，整个区域的面积为5762424=⨯ 由几何概型的概率公式，得35.0576
200)(≈=A P 即水池不溢出水的概率约为91.0。
点评：由两个龙头引出两个变量x 、y ，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开24~0小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解。
例5、某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路， 8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率。
解：设横轴表示23路车的到站时间，纵轴表示
8路车的到站时间，记“8分钟内乘坐8路车或23
路车”为事件A ，
则A 所占区域面积为13687108=⨯+⨯
整个区域的面积为1501510=⨯
那么，等车不超过8分钟的概率91.0150
136)(≈=
A P 即这位同学等车不超过8分钟的概率约为91.0。
点评：本题两路公共汽车的到站时间恰好是两个变量，再抓住两车的的到站时间间隔，即可以转化为“约会型”概率，再仿照“约会型”概率进行求解。
例6、在一条长为2的线段上，（1）任取两点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；
（2）任取三点，求它们到中点距离平方和小于1的概率；
解：（1）设线段上两点到线段中点的距离分别为|||,|y x ，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件A ，则事件A ：{}
1|),(22<+y x y x ，
由于1||,1||≤≤y x 因此421)(22ππ=⋅=A P ，即到中点距离平方和小于1的概率为4
π （2）设线段上三点到线段中点的距离分别为|||,||,|z y x ，记“它们到中点距离平方和小于1”为事件B ，则事件B ：{}
1|),,(222<++z y x z y x ，
由于1||,1||,1||≤≤≤z y x 因此，62
13
4)(33ππ=⋅=B P ，即到中点距离平方和小于1的概率为6π 点评：第一小问涉及的问题有一定的难度，首先引入两个变量，再将两个变量“横、纵”化有一定的技巧，当“横、纵”化以后，“约会型”的样子就见到了。
当然也就可以借助于“约会型”概率问题进行求解。
第二小问是第一问类比产生的，有了第一小问的求解，第二小问也就很自然了。