2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一(上)期末数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_18
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
19-20学年湖北省第五届高考测评高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
19-20学年湖北省第五届高考测评高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|−5<x <2},B ={x|x 2−9<0},则A ∩B =( )A. {x|−3<x <2}B. {x|−5<x <2}C. {x|−3<x <3}D. {x|−5<x <3}2. 下列函数中与函数y =|x|是同一个函数的是( )A. y =xB. y =−xC. y =√x 2D. y =(√x)23. 已知a <b ，则下列结论正确的是( )A. ∀c <0,a >b +cB. ∀c <0,a <b +cC. ∃c >0,a >b +cD. ∃c >0,a <b +c4. 在锐角ΔABC 中，D 为BC 边上的一点，若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD =BD ，若tanB =λtanA ，则λ的值为( )．A. 3B. 13C. 2D. 125. 已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(√33,−√63)，则cosα等于( )A. −√2B. −√22 C. −√63 D. √336. 已知f(x)=2x 5+ax 3+bx −3，若f(−4)=10，则f(4)=( )A. 16B. −10C. 10D. −167. sin225°=( )A. −12B. −√22C. −√32D. −18. 函数f(x)=ln|1+x1−x |的大致图象是( )A. B.C. D.9.设函数f(x)=(a−1)x+b是R上的减函数，则有()A. a≥1B. a≤1C. a>−1D. a<110.设正实数x，y满足x>23，y>2，不等式9x2y−2+y23x−2≥m恒成立，则m的最大值为()A. 2√2B. 4√2C. 8D. 1611.已知函数f(x)=sin(π3−2x)−√3sin(π6+2x)，x∈R，则f(x)是()A. 最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数12.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，且f(1)=0，则f(x)在区间(0,5]上具有零点的最少个数是()A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={x|log2(x−1)<2}，B={x|2<x<6}，且A∩B=______ ．14.已知x，y∈R+，且1x +1y=1，则x+y的最小值为________．15.对下列命题：①直线y=a与函数f(x)=tan(2x−π6)的图象相交，则相邻两交点的距离为π2；②点(π3,0)是函数f(x)=tan(2x−π6)的图象的一个对称中心；③函数y=cos(ωx−π4)(ω>0)在(π2,π)上单调递减，则ω的取值范围为[12,54]；④函数g(x)=2sin(2x +φ)(0<φ<2π)，若g(x)≤|g(π12)|对∀x ∈R 恒成立，则φ=π3． 其中所有正确命题的序号为________．16. 已知函数f(x)=|log 2x|，g(x)={0,0<x ≤1,18|x 2−9|,x >1,若方程f(x)−g(x)=1在[a,+∞)上有三个实根，则正实数a 的取值范围为____. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 化简求值：(1)计算：823+(1681)−34−(√2−1)0；(2)计算：2log 32 − log 3329+ log 38 − 255log318. (1)已知关于x 的不等式ax 2+bx −1≥0的解集为[13,12]，求不等式x 2−bx −a <0的解集；(2)a ，b ∈R +，a +b =2，求证1a +1b +1ab ≥3．19.已知sin(α+3π2)−sin(α−2π)2cos(α+3π)+cos(π2−α)=1．(1)求tanα的值；(2)求2sinαcosα−sin2α的值；20.已知函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y=g(x)在x∈[0,7π6]上的最大值和最小值．( 21.某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5−12x+3其中0≤x≤a，a为正常数).现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本)万元/万件．(10+2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(5+20t(I)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(II)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．(1)求函数f(x)(x∈R)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2ax+1(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值ℎ(a)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解集合B，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解：∵集合A={x|−5<x<2}，B={x|−3<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<2}．故选：A．2.答案：C解析：解：对于A，y=x(x∈R)，与y=|x|(x∈R)的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，y=−x(x∈R)，与y=|x|(x∈R)的对应关系不同，∴不是同一函数；对于C，y=√x2=|x|(x∈R)，与y=|x|(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于D，y=(√x)2=x(x≥0)，与y=|x|(x∈R)的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．3.答案：D解析：本题考查不等式的性质和全(特)称命题的真假判断，考查推理能力，属于基础题．利用不等式的性质和特殊值法即可求解．解：取a=1，b=2，对于A，当c=−1时，显然错误；对于B，当c=−2时，显然错误；对于C，当c>0时，a<b+c，故错误，对于D ，存在c =1，使得1<2+1成立，故正确， 故选D ．4.答案：B解析：本题考查解三角形与三角函数的综合，根据题意表示出是本题的关键，过点A ，C 分别作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，由D 为BC 的三等分点，结合直角三角形的三角函数可得结果． 解：如图，过点A ，C 分别作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ， 因为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以D 为BC 的三等分点， 设AB =4x ，由AD =BD 得，BF =2x ， 又BFFE =21，所以EF =AE =x ， 所以在RtΔCEB 中，， 在RtΔCEA 中，，所以．故选B ．5.答案：D解析：本题考查任意角的三角函数定义，由余弦函数的定义即可求解．解：因为角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(√33,−√63)，所以cosα=xr =√331=√33．故选D．6.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性的应用，属基础题，令g(x)=f(x)+3，则g(x)是奇函数，然后根据奇函数的性质求解．解：由f(x)=2x5+ax3+bx−3，得f(x)+3=2x5+ax3+bx，令g(x)=f(x)+3，则g(x)是奇函数，∴g(−4)=−g(4)，即f(−4)+3=−f(4)−3．又f(−4)=10，∴f(4)=−f(−4)−6=−10−6=−16．故选D．7.答案：B解析：本题考查三角函数的化简求值，涉及诱导公式及特殊角三角函数值，属基础题．由sin(α+π)=−sinα及特殊角三角函数值解之．解：sin225°=sin(45°+180°)=−sin45°=−√22，故选B．解析：解∵f(x)=ln|1−x1+x|，∴f(−x)=ln|1+x1−x |=−ln|1−x1+x|=−f(x)，∴f(x)为奇函数，排除C当x=e+1，则f(e+1)=ln|e+2e|=ln|e+2|−lne>0，故排除B，当x=0时，f(0)=0，故排除A故选：D．根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数的奇偶性，以函数值的特点，属于基础题9.答案：D解析：解：根据函数f(x)=(a−1)x+b是R上的减函数，则有a−1<0，求得a<1，故选：D．由条件根据一次函数的单调性，求得a的范围．本题主要考查一次函数的单调性，属于基础题．10.答案：D解析：令y−2=a，3x−2=b，则y=a+2，x=b+23，将原式转化为关于a，b的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．解：设y−2=a，3x−2=b，(a>0,b>0)，9x2 y−2+y23x−2=(b+2)2a+(a+2)2b≥(2√2b)2a+(2√2a)2b=8(ba+ab)≥16，当且仅当a=b=2，即x=43，y=4时取等号，故选：D．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=−2sin2x，利用正弦函数的性质即可得解．解：∵f(x)=sin(π3−2x)−√3sin(π6+2x)=√32cos2x−12sin2x−√3(12cos2x+√32sin2x)=−2sin2x，∴可得：T=2π2=π，利用正弦函数的性质可得f(x)为最小正周期为π的奇函数．故选：C．12.答案：A解析：解：∵f(x)=f(x+2)，∴函数f(x)的周期是2．∵f(1)=0，∴f(1)=f(3)=f(5)=0，∵f(x)定义在R上的奇函数，∴f(0)=0，即f(0)=f(2)=f(4)=0，∴在区间(0,5]上的零点至少有1，2，3，4，5，故选：A．根据函数的奇偶性和周期性之间的关系，即可确定函数零点的个数．本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．13.答案：(2,5)解析：解：∵log2(x−1)<2，∴{x−1>0x−1<4，解得1<x<5，∴A=(1,5)，∵B={x|2<x<6}=(2,6)，∴A∩B=(2,5)，故答案为：(2,5)求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14.答案：4解析：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．解：∵正数x，y满足1x +1y=1，∴x+y=(x+y)(1x +1y)=2+yx+xy≥2+2=4，当且仅当yx=xy时取等号，∴x+y的最小值是4．故答案为4．15.答案：①②③解析：本题考查了正弦型函数、余弦型函数的图象和性质，属于中档题．对各个选项逐一验证即可．解：对于①，因为f(x)=tan(2x−π6)的周期为T=π2，则相邻两交点的距离为π2，故正确；对于②，因为y=tanx的对称中心为，令，得，令k=1，，得点(π3,0)是函数f(x)的对称中心，故正确；对于③，由x∈(π2,π),ωx−π4∈(π2ω−π4,πω−π4)，当ω∈[12,54]，ωx−π4∈(0,π)，适合，故正确；对于④，由题意x=π12是g(x)的对称轴，所以2×π12+φ=kπ+π2，所以φ=kπ+π3，又因为0<φ<2π，所以φ=4π3或φ=π3，故不正确．故答案为①②③16.答案：(0,12]解析：本题考查了方程根的个数问题以及分段函数的图象，将方程根的个数转化为两函数图象交点的个数，从而利用数形结合思想求出a的取值范围，属于基础题．将方程f(x)−g(x)=1有三个实根转化为函数y=f(x)−1与y=g(x)的图象有三个交点，画出两个函数的图象，然后根据图象确定a的取值范围．解：∵f(x)−g(x)=1在[a,+∞)上有三个实根∴f(x)−1=g(x)在[a,+∞)上有三个实根∴函数y=f(x)−1与y=g(x)的图象在x∈[a,+∞)上有三个交点作出y=f(x)−1和y=g(x)的图象从图象可知，0<x A <1，y A =0；x B >1，x C >1 令f(x)−1=|log 2x|−1=0，得x =12，或x =2，故x A =12∴a ≤12又∵a 为正实数 ∴0<a ≤12， 故答案为(0,12]17.答案：(1)解：原式=23×23+(23)4×(−34)−1=4+278−1=518;(2)解：原式=log 322×8329−52log 53=2−32=−7．解析：(1)利用指数幂的运算性质进行计算即可； (2)利用对数的运算性质进行计算即可．18.答案：(1)解：由题意可知，{−ba =13+12−1a =13×12，解得a =−6，b =5；不等式x 2−bx −a <0可化为x 2−5x +6<0，即(x −2)(x −3)<0，解得2<x <3， 所以解集为(2,3)；(2)证明：a ，b ∈R +，2=a +b ≥2√ab ，∴0<√ab ≤1，∴0<ab ≤1，当且仅当a =b =1时等号成立． 则1a +1b +1ab =b+a+1ab=3ab≥3，当且仅当a =b =1时等号成立．故1a +1b +1ab ≥3．解析：(1)本题考查一元二次不等式的解法，根据解集与对应方程的解的关系求出a ，b 的值，代入不等式x 2−bx −a <0，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2)本题考查基本不等式在不等式证明中的应用.首先由a+b⩾2√ab得到0<ab≤1，化简1a +1b+1ab=3ab即可证明，注意等号成立的条件．19.答案：解：(1)因为已知sin(α+3π2)−sin(α−2π)2cos(α+3π)+cos(π2−α)=1=−cosα−sinα−2cosα+sinα=−1−tanα−2+tanα，解得tanα=12．(2)2sinαcosα−sin2α=2sinαcosα−sin2αsin2α+cos2α=2tanα−tan2αtan2α+1=1−1414+1=35．解析：(1)由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．(2)利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．20.答案：解：(1)由图像可知：{A+B=1−A+B=−3，解得A=2，B=−1，又，由图像及五点作图法可知：2× π 12+φ= π 2,∴φ= π 3，；(2)由(1)知：，令2k π − π 2≤2x+ π 3≤2k π + π 2,k∈Z，得：k π −5 π 12≤x≤k π + π 12,k∈Z，∴f(x)的单调增区间为[k π −5 π 12,k π + π 12](k∈Z)，令，得：x=k π 2− π 6,k∈Z，∴f(x)的对称中心坐标为(k π 2− π 6,−1)(k∈Z)．(3)由已知的图像变换过程可得：，∵0≤x≤7 π 6，，∴当时，g(x)取得最小值g(5 π 6)=−2，当时，g(x)取得最大值g(0)=√3．解析：本题考查求三角函数的解析式的方法，三角函数图象的变换，三角函数的周期性、单调性及最值．(1)根据周期性求出ω，由点在函数图象上及五点作图法求出φ，从而得到f(x)的解析式；(2)直接运用三角函数的图像与性质即可求解单调递增区间和对称中心坐标；(3)根据三角函数图象的变换求出函数g(x)的解析式，根据角的范围结合单调性求出最值．21.答案：解：(1)由题意知，该产品售价为2×(10+2tt )万元，y=2×(10+2tt)t−10−2t−x，代入化简得：y=20−4x−x(0≤x≤a)(2)因为y=20−(4x +x)≤20−2√4=16，当且仅当4x=x即x=2时，上式取等号．所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大．又当0<a<2时，函数y=20−(4x+x)在区间[0,a]上单调递增，所以当x=a时，函数有最大值，即促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；当0<a<2时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的应用，考查分析问题、解决问题的能力与运算求解能力，属于难题． (1)由题意可知该产品的售价为2×(10+2t t)万元，因此y =2×(10+2t t)t −10−2t −x ，化简得该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)利用基本不等式可得因为y =20−(4x +x)≤16，当且仅当4x =x 即x =2时，上式取等号．再分a ≥2与0<a <2两类情况讨论，利用函数的单调性可得促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22.答案：解：(1)∵f(x)是偶函数，∴若x >0，则−x <0，则当−x <0时，f(−x)=x 2−2x =f(x)， 即当x >0时，f(x)=x 2−2x ． 即f(x)={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0．(2)当x ∈[1,2]时，g(x)=f(x)−2ax +1 =x 2−2x −2ax +1=x 2−(2+2a)x +1， 对称轴为x =1+a ，若1+a ≤1，即a ≤0时，g(x)在[1,2]上为增函数，则g(x)的最小值为ℎ(a)=g(1)=−2a ， 若1+a ≥2，即a ≥1时，g(x)在[1,2]上为减函数，则g(x)的最小值为ℎ(a)=g(2)=1−4a ， 若1<1+a <2，即0<a <1时，g(x)的最小值为ℎ(a)=g(1+a)=−a 2−2a ， 即ℎ(a)={−2a,a ≤0−a 2−2a,0<a <11−4a,a ≥1．解析：(1)根据偶函数的性质进行转化求解即可．(2)求出g(x)的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．。
湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题及答案
（2）已知
3 tan
=
−2
tan
+
4
，求
cos
2
+
4
的值.
20.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) = −x2 + 2x + 3 + x
（1）求 f ( x) 的定义域；
（2）求 f ( x) 的最小值.
21.（本题满分 12 分）
( ) 已知函数 f (x) = log4 4x +1 + kx(k R) 是偶函数.
（1）求 k 的值；
（2）若方程
f
(x)
=
log4
m 2x
−1 有解，求实数 m
的取值范围.
22.（本题满分 12 分）
用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假
7.已知 a = log0.1 0.2 ， b = log1.1 0.2， c = 1.10.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b
8.在同一直角坐标系中，分别作函数
y
=
1 ax
，
y
= loga
lg(2 − x) + 1 的定义域为（ ） x +1
A. (−1, 2] B. [−1, 2) C. (−1, 2) D.[−1, 2)
6.若
cos
4
−
=
3 5
2019-2020学年人教A版湖北省武汉市武昌区高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．.（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．.（﹣2，+∞）D．.（﹣1，+∞）2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（）A．B．C．﹣D．﹣3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．5．函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b8．在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣410．已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n11．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；②f（x）在单调递增；③ω的取值范围是其中，所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f （x0）＞0，则实数m的值可能是（）A．x0﹣2 B．C．D．x0+3二、填空题13．已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．14．函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为．15．已知函数在上是增函数，则ω的最大值是．16．已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是．三、解答题17．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f （x），g（x）}．请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．18．已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．19．（1）求4cos50°﹣tan40°的值；（2）已知，求的值．20．已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最小值．21．已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程有解，求实数m的范围．22．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．.（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．.（﹣2，+∞）D．.（﹣1，+∞）【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝（﹣1，1）．故选：B．2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，则cosα＝＝，故选：A．3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据常见函数的单调性的性质分别判断即可．解：对于A，函数在（0，2）递减，不合题意；对于B，函数在（0，2）递减，不合题意；对于C，函数在（0，2）递减，不合题意；对于D，函数在（0，2）递增，符合题意；故选：D．4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．故选：B．5．函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．解：由，解得﹣1＜x＜2．∴函数的定义域为（﹣1，2）．故选：C．6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α＝cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值解：法1°：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2°：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．7．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：a＝log0.10.2∈（0，1），b＝log1.10.2＜0，c＝1.10.2＞1，则a，b，c的大小关系为：c＞a＞b．故选：D．8．在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据对数函数的指数函数的单调性分别进行讨论即可．解：在对数中a＞0且a≠1，对数函数的定义域为（，+∞），则②④不正确，①中，对数函数为减函数，则0＜a＜1，此时函数y＝为增函数，故①正确，③中，对数函数为增函数，则a＞1，此时函数y＝为减函数，故③正确，故正确的有两个，故选：B．9．已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：知函数＝，把图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）＝的图象，由于x，所以．故．所以函数的最小值为﹣3．故选：C．10．已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n【分析】本题运用均值不等式和对数函数的性质分别得到m、n的取值范围，即可判断m，n之间的大小关系．解：由题意，可知m＝a++1≥2+1＝3，当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立；又x＞，根据对数函数性质，可得n＝＜＝3，∴m≥3＞n，即m＞n．故选：A．11．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；②f（x）在单调递增；③ω的取值范围是其中，所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】先通过f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，来确定a的取值范围，再由此判断其他问题的正误．解：当x∈[0，2π]时，，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴即，所以③正确；①当＜6π即时，函数y＝f（x）+1在（0，2π）上有3个零点，即①错误；②当x∈时，，若f（x）在单调递增，则即，∵，∴符合题意，即②正确；所以正确的有②③，故选：C．12．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f （x0）＞0，则实数m的值可能是（）A．x0﹣2 B．C．D．x0+3【分析】由题意可得a＜b＜c，则a＜0，c＞0，依题意可得：﹣＜＜1，然后结合根的对称性分析得答案．解：∵﹣1是函数f（x）＝ax2﹣bx+c的一个零点，∴a+b+c＝0，∵a＜b＜c，则a＜0，c＞0，∵﹣1×m＝＜0，∴m＞0．由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜．∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，∴m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x0∈（﹣1，m），故0＜m﹣x0＜（2d）min，∴x0＜m+x0，综合四个选项，实数m的值可能是+x0．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】直接利用A⊆B即可求解．解：∵集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，且A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]．14．函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为 4 ．【分析】化简函数为cos x的二次函数，根据cos x的范围求得f（x）的最大值．解：∵f（x）＝3sin（x+）+cos2x＝3cos x+2cos2x﹣1＝2（cos x+）2﹣，∵cos x∈[﹣1，1]，∴在cos x＝1时，f（x）取得最大值为2×（1+）2﹣＝4，故答案为：4．15．已知函数在上是增函数，则ω的最大值是2 ．【分析】结合正弦函数的性质先求出函数的单调递增区间，然后结合已知区间递增可建立不等式可求．解：由ωx+可得，，故函数的单调递增区间为（﹣，），又f（x）在（0，）上单调递增，故，解可得，0＜ω≤2即ω的最大值为2．故答案为：216．已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【分析】讨论当m≥0时，不等式显然不成立；当m＝﹣1时，恒成立；当m＜﹣1时，去绝对值，由二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性可得恒成立；当﹣1＜m＜0时，不等式不恒成立．解：由f（m+x）+mf（x）＜0得：（x+m）|x+m|+mx2＜0，x≥1，当m≥0时，即有（x+m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．当m＝﹣1时，即有（x﹣1）2﹣x2＝1﹣2x＜﹣1＜0恒成立；当m＜﹣1时，﹣m＞1，当x≥﹣m＞1，即有（x+m）2+mx2＝（1+m）x2+2mx+m2，由1+m＜0，对称轴为x＝﹣＜1，则区间[﹣m，+∞）为减区间，即有（1+m）x2+2mx+m2≤m3＜0恒成立；当﹣1＜m＜0时，由x+m＞0，可得（x+m）2+mx2＜0不恒成立．综上可得当m≤﹣1时，对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0恒成立．故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f （x），g（x）}．请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．【分析】（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）．函数M（x）的图象图2．（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，解得x，即可得出．解：（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）图1 函数f（x），g（x）的图象图2 函数M（x）的图象（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，得x（x+1）＝0，解得x＝﹣1，或x＝0．结合图2，得出函数M（x）＝．18．已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．【分析】（1）先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；（2）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解函数的最值．解：（1），因为，所以ω＝1．（2）由（1）知．因为﹣π≤x≤0，所以．当，即时，f（x）取得最小值．所以f（x）的最小值为．19．（1）求4cos50°﹣tan40°的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）利用同角基本关系及二倍角及和差角公式进行化简即可求；（2）先由已知结合两角和的正切公式可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．解：（1）＝，＝．（2）因为，所以tanα＝2或．因为，所以，分子分母同除以cos2α，得，将tanα＝2或分别代入上式，得．20．已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最小值．【分析】本题第（1）题根据﹣x2+2x+3≥0即可解得函数f（x）的定义域；第（2）题对f（x）进行变形后运用三角换元法令，将一般函数转化为三角函数求最值问题．解：（1）依题意，由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3．故函数f（x）的定义域为[﹣1，3]．（2）由题意，根据，可知（x﹣1）2≤4．令，则，即．∵，∴，∴，∴，故f（x）的最小值为﹣1．21．已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程有解，求实数m的范围．【分析】（1）根据偶函数可知f（x）＝f（﹣x），取x＝﹣1代入即可求出k的值；（2）问题转化为22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，从而求出m的范围即可．解：（1）由题意得f（﹣x）＝f（x），即log4（4﹣x+1）+k（﹣x）＝log4（4x+1）+kx，化简得log4＝2kx，从而4（2k+1）x＝1，此式在x∈R上恒成立，∴；（2）由（1）若方程有解，则log4（4x+1）＝log4（m﹣2x）有解，故22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，故＝m﹣有解，而（t+）2＞，故m﹣＞，解得：m＞1．22．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．【分析】（1）（i）根据函数f（x）的实际意义即可写出，（ii）由题意可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为，再利用作差法比较即可．解：（1）（ⅰ）f（0）＝1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1，，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的；（ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为．由于，所以，W1﹣W2的符号由a2﹣16决定，当a＞4时，W1＞W2．此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a＝4时，W1＝W2．此时，两种清洗方法效果相同；当a＜4时，W1＜W2．此时，用a单位的水清洗一次，残留的农药量较少．。
2019-2020年湖北省武汉市高一上册期末数学试题(有答案)
湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A． B．C．∁U A∩∁UB D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A． B．C． D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（）=2+2|| B．f（）=•si n C．f（）=2+2﹣ D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（）=loga（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（）=2+4+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．=﹣（∈）B．=+（∈）C．=﹣（∈）D．=+（∈）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（）=2•sin（﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（）满足f（）+f（+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（）=2+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f （sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（）=f（）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则= ．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则+y= ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（）=Asin（ω+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式．（2）函数y=f（）的图象可以由y=sin的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（）=Asin（ω+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f（）的解析式．（2）若，求f（）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（）对于定义域内的任意都满足，则称f（）具有性质M．（1）很明显，函数（∈（0，+∞）具有性质M；请证明（∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（）=|ln|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，，当h（）的定义域为[m，n]时，其值域为[m，n]，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A． B．C．∁U A∩∁UB D．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁UA={﹣1，0，1，2，6}，∁UB={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁UB）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A． B．C． D．﹣【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（）=2+2|| B．f（）=•sin C．f（）=2+2﹣ D．【解答】解：A，f（）=2+2||，由f（﹣）=2+2|﹣|=f（），为偶函数；B，f（）=•sin，由f（﹣）=﹣sin（﹣）=sin=f（），为偶函数；C，f（）=2+2﹣，由f（﹣）=2﹣+2=f（），为偶函数；D，f（）=，由f（﹣）==﹣=﹣f（），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣，2﹣y），∴，解得=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数C．函数f（）=logaD．函数f（）=2+4+2在（0，+∞）上是增函数【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于C，函数f（）=loga对于D，函数f（）=2+4+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．=﹣（∈）B．=+（∈）C．=﹣（∈）D．=+（∈）【解答】解：将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（+）=2sin（2+），由2+=π+（∈）得：=+（∈），即平移后的图象的对称轴方程为=+（∈），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍B．10倍C．倍D．倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I×107，令60=10lg，解得，I2=I×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（）=2•sin（﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：f（）=2•sin（﹣π）=﹣2•sin，∴f（﹣）=﹣（﹣）2•sin（﹣）=2•sin=﹣f（），∴f（）奇函数，∵当=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（）满足f（）+f（+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（）=2+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【解答】解：由f（）+f（+1）=0，∴f（+2）=f（），∴函数的周期为2，∵f（）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（）为偶函数，∴f（）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（）=f（）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵g（）=f（）﹣b有两个零点∴f（）=b有两个零点，即y=f（）与y=b的图象有两个交点，由于y=2在[0，a）递增，y=2在[a，+∞）递增，要使函数f（）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由+1＞0且﹣3≠0，可得＞﹣1且≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则= ．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则+y=．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（+y）=7，故+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴（y﹣2）=（+4）y，∴=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（）=Asin（ω+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式．（2）函数y=f（）的图象可以由y=sin的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sin（∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原的倍，可得y=sin（3+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原的2倍，可得y=2sin （3+）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f （）=Asin （ω+ϕ）+t （其中A ＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f （）的解析式． （2）若，求f（）的最大值与最小值．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：f （）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f （）最小值为，∴时，即时，f （）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f （）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（）在上是单调函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（）对于定义域内的任意都满足，则称f（）具有性质M．（1）很明显，函数（∈（0，+∞）具有性质M；请证明（∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（）=|ln|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，，当h（）的定义域为[m，n]时，其值域为[m，n]，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（）=+=+=f（），∴函数f（）具有性质M．任取1、2且1＜2，则f（1）﹣f（2）=（1+）﹣（2+）=（1﹣2）+（﹣）=（1﹣2）•，若1、2∈（0，1），则0＜12＜1，12＞0，1﹣2＜0，∴f（1）﹣f（2）＞0，∴f（1）＞f（2），∴f（）在（0，1）上是减函数．若1、2∈（1，+∞），则12＞1，1﹣2＜0，∴f（1）﹣f（2）＜0，∴f（1）＜f（2），∴f（）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（）具有性质M （4分）由|ln|=t得，ln=﹣t或ln=t，=e﹣t或=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在∈（0，+∞）上的最小值为1（其中=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=m，h（m）=n，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，＞1，=是增函数，∴h（m）=m，h（n）=n，∴，∴（1﹣）m2=1，（1﹣）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，满足条件．（12分）。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附解答解析
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，3}，B={3，5}，则A∩B=（）A. B. C. D. 3，2.下列四组直线中，互相平行的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.圆x2+4x+y2=0的圆心和半径分别为（）A. ，4B. ，4C. ，2D. ，24.在空间中，下列命题错误的是（）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 不共线的三个点确定一个平面5.下列各函数在其定义域内为增函数的是（）A. B. C. D.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.若x=8，y=log217，z=（）-1，则（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F、G分别为C1D1、BC1上一点，C1F=1，且FG∥平面ACE，则BG=（）A. B. 4 C. D.9.已知直线l：y=kx+2（k∈R），圆M：（x-1）2+y2=6，圆N：x2+（y+1）2=9，则（）A. l必与圆M相切，l不可能与圆N相交B. l必与圆M相交，l不可能与圆N相切C. l必与圆M相切，l不可能与圆N相切D. l必与圆M相交，l不可能与圆N相离10.函数f（x）=+1的大致图象为（）A. B.C. D.11.若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A. 16B. 17C. 32D. 3312.光线沿直线l：3x-4y+5=0射入，遇直线l：y=m后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线y=x2-2x+5的顶点，则m=（）A. 3B.C. 4D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线的倾斜角是直线的倾斜角的______倍．14.直线3x-4y+5=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．15.若函数f（x）=是在R上的减函数，则a的取值范围是______．16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，AC⊥AB，PA=3，AC=4，PC=5，且三棱锥P-ABC的外接球的表面积为28π，则AB=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f（x）=+ln（2-x）的定义域为A，集合B={x|2x＞1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．18.（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且．（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；（2）若点F为线段PC上一点，且DF⊥平面PBC，求四棱锥F-ABCD的体积．20.已知函数f（x）=x3+e x-e-x．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数的单调性（不需要证明）；（3）求不等式f（2x-1）+f（-3）＜0的解集．21.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．22.设函数f（x）=（）x+m的图象经过点（2，-），h（x）=ax2-2x（＜1）．（1）若f（x）与h（x）有相同的零点，求a的值；（2）若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，求a的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A∩B={3}．故选：A．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：因为x+2y=0与2x+4y-3=0的斜率均为-，故平行，故选：D．两直线平行则斜率相等，计算斜率判断即可．本题考查了两直线平行与斜率的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：圆x2+4x+y2=0，即圆（x+2）2+y2=4，它的圆心为（-2，0），半径为2，故选：C．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：空间中，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行或相交货异面，故A错误；如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直，也可能相交货平行，故B正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，由平行公理可C正确；由公理3可得不共线的三个点确定一个平面，故D正确．故选：A．空间垂直于同一直线的两直线可以平行、相交或异面，可判断A；垂直于同一平面的两个平面肯相交或平行，可判断B；运用平行公理和公理3，即可判断C和D．本题考查空间线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的性质和公理的运用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=-，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y=log（4-x），其定义域为（-∞，4），令t=4-x，则y=log tx，则t=4-x为减函数，y=log tx也为减函数，则y=log（4-x）在其定义域内为增函数，符合题意；对于C，y=1-2x2，为二次函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，y=-x3，在其定义域上是减函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判断，关键是掌握函数单调性的性质以及判断方法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由已知三视图得到几何体如图：由团长时间得到体积为=5；故选：C．由已知几何体的三视图得到几何体为棱柱，由两个三棱锥组合成的，根据棱柱的体积公式计算即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．7.【答案】D【解析】解：∵x=8，∴x=4，∵z=（）-1=，y=log217＞y=log216=4，∴y＞x＞z，故选：D．分别根据对数指数幂的运算性质求出x，y，z即可比较本题考查了对数指数幂的运算性质，属于基础题8.【答案】C【解析】解：根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，则EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，而EO⊂平面ACE，则BD1∥平面ACE，又由FG∥平面ACE，则BD1∥FG，又由C1F=1，且C1D1=4，则=，则C1G=，则BG=BC1-C1G=3，故选：C．根据题意，连接BD，与AC交于点O，连接EO，分析可得EO为△BDD1的中位线，进而可得BD1∥平面ACE，由线面平行的性质可得BD1∥FG，由平行线定理分析可得答案．本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，∴直线l必与圆M相交，∵（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，∴l不可能与圆N相离．故选：D．直线l：y=kx+2（k∈R）过点（0，2），（0，2）在圆M：（x-1）2+y2=6内，（0，2）在圆N：x2+（y+1）2=9上，由此得到l必与圆M相交，l不可能与圆N相离．本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．10.【答案】D【解析】解：∵f（-x）=f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．先判断函数为偶函数，再求出当0＜x＜1时，f（x）＞1，故排除A，B，C本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值得变化趋势，属于基础题11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y=x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．由对数函数的单调性可得y=x2-2x+a的最小值为16，配方即可得到所求最小值，解方程可得a．本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次函数的最值，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：抛物线y=x2-2x+5的顶点（1，6），点（1，6）关于直线y=m的对称点（1，2m-6），（1，2m-6）在直线3x-4y+5=0上，3-4（2m-6）+5=0，解得m=4．故选：C．求出抛物线的顶点坐标，求得点M关于直线y=m的对称点M'的坐标，代入直线方程求解m即可．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，考查直线的方程的求法，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：直线的倾斜角是150°，直线的倾斜角是30°，则直线的倾斜角是直线的倾斜角的5倍，故答案为：5．根据直线的斜率k=tanα，分别求出直线的倾斜角，问题得以解决．本题考查直线的倾斜角，考查了直线的斜率，是基础题14.【答案】2【解析】解：∵O到直线3x-4y+5=0的距离为1，∴所求距离为2=2．故答案为：2先求圆心O到直线的距离，再用勾股定理可得弦长．本题考查了直线与圆相交的性质．属中档题．15.【答案】[-6，1）【解析】解：由题意得：，解得：-6≤a＜1，故答案为：[-6，1）．根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．16.【答案】【解析】解：∵PA=3，AC=4，PC=5，∴PA2+AC2=PC2，则PA⊥AC，又PA⊥AB，AC⊥AB，∴三棱锥P-ABC可以补成一个长方体，则其外接球的半径r=，∴，即AB=．故答案为：．由已知可得三棱锥P-ABC满足过顶点A的三条侧棱两两垂直，然后补形为长方体求解．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．17.【答案】解：（1）由得，-6≤x＜2；由2x＞1得，x＞0；∴A=[-6，2），B=（0，+∞）；∴A∪B=[-6，+∞）；（2）A∩B=（0，2）；∵集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集；∴ ；解得0≤a≤1；∴a的取值范围是[0，1]．【解析】（1）可解出A=[-6，2），B=（0，+∞），然后进行并集的运算即可；（2）可解出A∩B=（0，2），根据集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，即可得出，解出a的范围即可．考查描述法、区间表示集合的定义，指数函数的单调性，函数定义域的定义及求法，子集的定义，以及交集、并集的运算．18.【答案】解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|==2；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【解析】（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答19.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE，又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴，∴DF==，∴FC==，∴=，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK=，∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，∴ ．【解析】（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，从而OE∥PA，进而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能证明平面PAG∥平面BDE．（2）由DF⊥PC，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积．本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=x3+e x-e-x，则f（-x）=（-x）3+e-x-e x=-（x3+e x-e-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；（2）f（x）=x3+e x-e-x在R上为增函数；（3）由（1）（2）的结论，f（x）=x3+e x-e-x是奇函数且在R上为增函数；f（2x-1）+f（-3）＜0⇒f（2x-1）＜-f（-3）⇒f（2x-1）＜f（3）⇒2x-1＜3，解可得x＜2，即不等式的解集为（-∞，-2）．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论；（3）根据题意，由（1）（2）的结论，可以将原不等式转化为2x-1＜3，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的证明与应用，（3）注意分析得到关于x的不等式，属于基础题．21.【答案】解：（1）由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（，）．设C（a，0），则k CM=，∴•（-）=-1，∴a=-1，∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，△=4+12（1+k2）＞0，x1+x2=-，x1x2=-．（i）证明：+==为定值；（ii）|PN|2+|QN|2=（x1-2）2+（y1-1）2+（x2-2）2+（y2-1）2=（x1-2）2+（kx1-1）2+（x2-2）2+（kx2-1）2=（1+k2）（x1+x2）2-2（1+k2）x1x2-（4+2k）（x1+x2）+10=+16，令3+k=t（t＞3），则k=t-3，上式即为+16=+16≤+16=2+22．当且仅当t=，即k=-3时，取得最大值2+22．【解析】（1）由题意设C（a，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解得a，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），联立圆的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，即可证得（ⅰ）+为定值；（ii）由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得f（2）=m+=-，即有m=-，即f（x）=（）x-，由f（x）=0，可得x=1，由题意可得h（1）=a-2=0，即a=2；（2）函数f（x）在[-2，0]上递减，可得f（x）的最大值为f（-2）=4+m=，若函数f（x）在[-2，0]上的最大值等于h（x）在[1，2]上的最小值，由h（x）的对称轴为x=，当a＞0时，由＜1可得a＞1，即有h（x）在[1，2]递增，可得h（x）的最小值为h（1）=a-2，由a-2=，解得a=；当a＜0时，h（x）在[1，2]递减，即有h（x）的最小值为h（2）=4a-8，由4a-8=，解得a=，又a＜0，不符题意．综上可得a=．【解析】（1）由题意可得f（2）=-，解得m，由零点定义，即可得到所求值；（2）运用指数函数的单调性可得f（x）的最大值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，解方程即可得到所求值．本题考查函数的零点求法，考查指数函数的单调性和二次函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，属于中档题．。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_6
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.第Ⅰ卷共12小题.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集运算规则即可得解.【详解】由题：集合，，则.故选：C【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.2.（）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据同底对数减法法则求解.【详解】根据同底对数减法法则：.故选：D【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.3.（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】【分析】处理即可得解.【详解】由题：.故选：A【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接代入得解.【详解】由题：函数，则.故选：B【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.5.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.【详解】由题：角的终边经过点，则.故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.6.若函数，则的最小正周期是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据函数最小正周期的求法，即可得解.详解】函数，则的最小正周期.故选：C【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.7.已知是偶函数,且在区间上单调递减,则满足的实数x的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得在上单调递增,从而可得，解不等式即可.【详解】解析:由是偶函数且在上单调递减,知在上单调递增,则满足的实数x的取值范围为解得.故选：B【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.8.为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为即可得解.【详解】由题：把函数平移得到即，只需将函数图象上的所有点向左平行移动个单位长度.故选：D【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.9.若，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B【解析】【分析】对所求代数式变形，分子分母同时除以即可得解.【详解】由题：，故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以求解.10.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.【详解】指数函数单调递减，，即，所以，所以指数函数是减函数，，，考虑幂函数在单调递增，，即，综上所述：.故选：C【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.11.若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，因为，所以，则，当时，；故选D.点睛：求形如或的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令或，则，但要注意的取值范围.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数的图像经过，则= ________．【答案】【解析】试题分析：设，则有，所以，=9考点：幂函数点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．14.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系变形即可得解.【详解】因为，所以，由题：，即，所以.故答案为：【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.15.若偶函数对任意都有，且当时，，则______.【答案】【解析】【分析】由得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算.【详解】由题：任意都有，所以，所以周期为6，且为偶函数，当时，，，，所以，根据函数为偶函数，所以，即.故答案为：【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.16.下面有四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则当时，；②终边落在坐标轴上的角的集合是；③若函数，则对于任意恒成立；④函数在区间上是减函数.其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）【答案】①②【解析】【分析】①当时，，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例；④函数在区间上是增函数.【详解】①若是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在单调递增，则当时，所以，所以①正确；②终边落在坐标轴上的角的集合是，所以②正确；③若函数，可得，不相等，所以③说法错误；④函数在单调递增，函数向右平移得到在区间上增函数，所以④错误.故答案为：①②【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值.【答案】（1）（2）或55【解析】【分析】（1）解不等式，其解集就是定义域；（2）解方程即可得解.【详解】（1）函数的自变量应满足：，即，所以函数的定义域是.（2）因为，所以，化简得，，所以或55.【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.18.（1）计算：.（2）化简：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；（2）结合诱导公式即可化简.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】此题考查指数对数基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的零点.【答案】（1）（2）零点是-1，0，1【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，则，，即可得到解析式；（2）分段解方程即可得到函数的零点.【详解】解：（1）设，则，所以，因为为奇函数，所以，所以，故的解析式为.（2）由，得或，解得或或，所以的零点是-1，0，1.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.20.已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1【解析】【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，所以，所以，所以.所以函数的解析式是.（2）因为，讨论函数的增区间：令，得，所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.因为，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.21.已知变量，满足关系式（且，，且），变量，满足关系式.（1）求关于的函数表达式；（2）若（1）中确定的函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据，结合，利用对数的运算法则，变形得到；（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数的取值范围.【详解】解：（1）由得，由知，代入上式得，所以，所以.（2）令，则.因为函数在上是增函数，则或，解得或，故实数的取值范围是.【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.求证：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明函数单调性.【详解】证明：任取，且，则.因为，，所以，即，所以在上是减函数.【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取，且，通过作差法比较函数值的大小.23.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求解，，得出解集即函数定义域；（2）由，，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.【详解】解：（1）函数的自变量应满足，，即，.所以，函数的定义域是.（2）由，，解得，.因此，函数的单调递增区间是，，没有减区间.【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.。
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2019-2020学年湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则集合M、N之间的关系为A. B. C. D.2.设，，则的值为A. 1B. 0C.D.3.已知，则A. B. 2 C. D.4.已知且，且，则函数与函数的图象可能是A. B. C. D.5.已知角的终边过点，且，则m的值为A. B. C. D.6.化简的结果是A. B. C. D.7.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬，当太阳直射南回归线此时的太阳直射纬度为时物体的影子最长，如果在武汉某高度为的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡如图所示，两楼的距离应至少约为的倍？注意A. 倍B. 倍C. 1倍D. 倍8.定义在R上的偶函数在上单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.9.若函数的零点为，且，，则a的值为A. B. C. D.10.给出下列函数：，，，，其中周期为的所有偶函数为A. B. C. D.11.若在上单调递减，则a的取值范围是A. B. C. D.12.已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若在上的表达式为，且为奇函数，则时，等于______．14.函数的图象为C，如下结论中正确的是______图象C关于直线对称；图象C关于点对称；函数即在区间内是增函数；由的图角向右平移个单位长度可以得到图象C．15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了______个“半衰期”【提示：】16.设函数则函数的零点个数是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集，集合，，求，．18.函数的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．Ⅰ求函数的解析式和当时的单调减区间；Ⅱ的图象向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到的图象，用“五点法”作出在内的大致图象．19.已知定义域为R的函数是奇函数．求实数a的值；判断函数的单调性，并用定义加以证明；若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．20.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时图中点开始计算时间．以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？21.已知定义域在上的函数满足对于任意的x，，都有，当且仅当时，成立．设x，，求证；设，，若，试比较与的大小；若，解关于x的不等式．22.已知函数．Ⅰ若的值域为，求a的值；Ⅱ已知，是否存在这祥的实数a，使函数在区间内有且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，，．故选：C．可以求出集合M，N，然后即可判断集合M，N的关系．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式和分式不等式的解法，交集和真子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：是无理数则故选：B．根据是无理数可求出的值，然后根据分段函数的解析式可求出的值．本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定是否为有理数，属于基础题．3.答案：D解析：解：又，．．故选：D．由已知求得，再由商的关系求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．4.答案：B解析：解：由可知，，故，故函数函数与函数的单调性相同，故选：B．分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于基础题．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．【解答】解：由题意可得，，，，解得，故选：B．6.答案：A解析：解：．故选：A．利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.答案：D解析：解：，，影长．两楼的距离应至少约为的倍．故选：D．，可得，进而得出．本题考查了解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：因为偶函数在上单调递减，故在上单调递增，，，，又，则．故选：A．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：由，，，，及零点存在定理知的零点在区间上，零点所在的一个区间是，故选：C．函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号．10.答案：D解析：解：：，是偶函数，周期，满足条件，是偶函数，周期，不满足条件，是偶函数，周期，满足条件是偶函数，但不是周期函数，不满足条件．故选：D．根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可．本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式以及周期公式是解决本题的关键．比较基础．11.答案：B解析：解：令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，外层函数是定义域内的减函数，要使在上单调递减，则，解得．的取值范围是．故选：B．由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在上单调递减，只需内层函数在上单调递增且恒大于0即可．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．12.答案：B解析：【解答】解：由题意可得函数的最大值为3，图象与直线相邻两个交点的距离为，的周期，，解得，，对恒成立，即对恒成立，且，解得且，即，．结合选项可得当时，的取值范围为，故选：B．【分析】由函数图象和题意可得，进而可得关于的不等式组，解不等式组结合选项可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和恒成立，属中档题．13.答案：解析：解：设，则，因为时，，所以，故．故答案为：．先设，则，根据时，，代入即可求解．本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式，属于基础试题．14.答案：解析：解：、把代入得，，故正确；、把代入得，，故正确；、当时，求得，故正确；、有条件得，，故不正确．故答案为：．把代入求值，只要是的奇数倍，则正确，把横坐标代入求值，只要是的倍数，则对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断是否对，因为向右平移故把代入进行化简，再比较判断是否正确．本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想．15.答案：10解析：解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，由参考数据可知，，，，故答案为：10．设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，再根据参考数据即可得解．本题考查合情推理及指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.答案：5解析：解：由，得和，函数的图象如图所示：由图可得方程和共有5个根，即函数有5个零点．故答案为：5．利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合复合函数关系进行分解，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．难度不大．17.答案：解：或，，或，，．解析：可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交、并、补集的混合运算，考查了计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ函数的最大值是3，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期，．所以令，，即，，，的单调减区间为Ⅱ依题意得，列表得：x0020描点，，，，，，连线得在内的大致图象．解析：Ⅰ根据条件求出A，的值，即可求函数的解析式，结合函数的单调性即可求当时的单调减区间；Ⅱ根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，利用五点法进行作图即可．本题主要考查三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键．19.答案：解由题意得：函数是奇函数，定义域为R，解得．，设，，，，故在R上单调递增；任意的，不等式，即，所以，，因为，当且仅当成立，所以．解析：令；利用单调性定义证明；利用单调性的定义，转化为求，利用参数分离法求出．考查函数的奇偶性，函数单调性的证明和应用，函数恒成立问题，基本不等式等，综合性高．20.答案：解：设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示；由，，所以，所以；设，则，解得；所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为；由，得；令，则；由，解得，又，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米．解析：设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数；由h关于t的函数，令，求出时的取值范围，再计算有多长时间即可．本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.答案：证明：，，；解：，，又，所以，当且仅当时，成立，当时，，，；解：令代入得，，，由可知函数在定义域上是减函数，，，；恒成立；故只需满足即成立即可；即；当时，；当时，；当时，；综上可得：当时，；当时，；当时，．解析：取，代入已知等式即可证得结果；由，结合中等式，得到，再根据当且仅当时，成立得到，从而得到；在已知等式中取特值求出，由可知函数在定义域上是减函数，在不等式中，用替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求．本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．22.答案：解：Ⅰ函数的值域为，则解得．Ⅱ由，即令，，，原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点．当时，在上递减，在上递增，而，，函数与的图象在内有唯一交点．当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，当且仅当，即，即．．当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，，即即，．综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点．解析：Ⅰ根据一元二次函数图象知若的值域为，则开口向上，即可；Ⅱ函数在区间内有且只有一个零点．即，等价于两个函数与的图象在内有唯一交点，根据中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可．本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合与分类讨论的思想方法，属于综合题．。