应用计算方法
应用计算方法教程
应用计算方法教程第一章：引言计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算和问题求解的学科。
它在科学计算、工程分析和实际应用中起着重要的作用。
本教程将介绍一些常用的应用计算方法，帮助读者理解和掌握这门学科的基本概念和方法。
第二章：数值计算基础2.1 浮点数表示法2.2 误差与有效数字2.3 数值舍入与截断2.4 计算机算术运算2.5 机器精度与舍入误差第三章：线性方程组的数值解法3.1 直接法：高斯消元法3.2 直接法：LU分解法3.3 迭代法：雅可比迭代法3.4 迭代法：高斯-赛德尔迭代法3.5 迭代法：超松弛迭代法第四章：非线性方程的数值解法4.1 二分法4.2 牛顿迭代法4.3 弦截法4.4 试位法4.5 不动点迭代法第五章：插值与拟合5.1 插值多项式与牛顿插值法5.2 分段线性插值与样条插值5.3 最小二乘拟合与多项式拟合5.4 曲线拟合与非线性最小二乘第六章：数值积分与数值微分6.1 数值积分基本概念6.2 复化求积公式6.3 数值积分的收敛性与误差估计6.4 高斯积分公式6.5 数值微分与差分近似第七章：常微分方程的数值解法7.1 常微分方程初值问题7.2 欧拉法与改进的欧拉法7.3 龙格-库塔法7.4 多步法与预估-校正法7.5 刚性问题与刚性算法第八章：常微分方程的边值问题8.1 二点边值问题与有限差分法8.2 三点边值问题与有限差分法8.3 多点边值问题与有限差分法8.4 边值问题的特殊情况与特殊方法第九章：数值优化方法9.1 优化问题的基本概念9.2 无约束优化问题的最优性条件9.3 一维搜索法9.4 梯度下降法与共轭梯度法9.5 二次规划问题与牛顿法第十章：随机模拟方法10.1 随机数生成10.2 蒙特卡洛方法10.3 马尔可夫链蒙特卡洛法10.4 收敛性与误差估计10.5 随机优化与模拟退火结语这本教程介绍了应用计算方法的基本概念和常用方法。
通过学习本教程，读者可以掌握数值计算的基本原理和技巧，能够应用计算机进行数值计算和问题求解。
EVA的计算方法与应用实例
EVA的计算方法与应用实例EVA（Economic Value Added）是一种企业绩效评价指标，用于衡量企业经营绩效的优劣。
它通过减去资本的机会成本来考量企业创造的经济附加值。
EVA的计算方法是净利润减去资本乘以资本成本率（WACC）。
EVA=净利润-(资本×资本成本率)净利润是企业经营活动所产生的税后利润，资本是企业投入各类资源的价值，包括有形资产和无形资产，资本成本率是企业资本的预期回报率。
EVA为正值表示企业创造了经济附加值，为负值表示企业未能创造足够的价值。
EVA的应用可以在以下几个方面：1.经营绩效评估：EVA是一种相对全面和客观的绩效评价指标，可以用来评估企业的经营表现。
通过比较不同企业的EVA值，可以了解它们谁的经营更成功，哪些因素对经营绩效产生了影响。
2.资本投资决策：EVA可以用作衡量企业资本投资项目的可行性和收益性的指标。
如果一个项目的EVA为正，表示该项目能够为企业创造附加值，是值得投资的。
相反，如果一个项目的EVA为负，表示该项目可能会损失企业的价值，应该避免投资。
3.绩效激励和奖酬制度：EVA可以作为绩效激励和奖酬制度的衡量标准。
根据EVA的表现，可以设置相应的激励和奖酬，激励员工和管理层创造更多的经济附加值。
下面是一个应用实例：假设有两家竞争的汽车制造商A公司和B公司。
他们的净利润分别为1000万美元和800万美元，资本为5000万美元，并假设资本成本率为10%。
按照EVA的计算方法，可以计算出A公司和B公司的EVA如下：A公司的EVA=1000万美元-(5000万美元×10%)=500万美元B公司的EVA=800万美元-(5000万美元×10%)=300万美元根据上述计算结果，A公司的EVA为正值500万美元，表示A公司创造了500万美元的经济附加值。
而B公司的EVA为正值300万美元，表示B公司创造了300万美元的经济附加值。
通过比较两家公司的EVA，可以得出A公司的经营绩效更好，它创造了更多的经济附加值。
利息的计算与应用
利息的计算与应用引言：利息是指贷款或存款等资金活动中根据利率计算得出的收入或支出。
在金融领域，利息具有重要的计算与应用价值。
本文将介绍利息的计算方法以及在日常生活与商业运作中的实际应用。
一、单利计算方法单利是指在一定时期内，按照固定利率计算得出的利息。
单利计算方法简单，适用于简单的利息计算。
其计算公式为：利息 = 本金 ×利率 ×时间。
例如，某人将1000元存入银行，年利率为5%，存款期限为1年。
那么他将获得的利息为：1000 × 0.05 × 1 = 50元。
单利的应用：1. 存款利息计算：个人或企业存入银行的定期存款、活期存款等，都可以通过单利计算得出预期的利息收入。
2. 贷款利息计算：贷款者需要根据贷款利率和贷款期限，使用单利计算方法来确定贷款所需支付的利息金额。
二、复利计算方法复利是指在一定时期内，将利息合并到本金中计算下一期的利息，以此循环计算得出的利息。
相比于单利计算方法，复利计算方法更为精确，也更广泛地应用于金融领域。
复利的计算公式为：利息 = 本金 × (1 + 利率) ^ 时间 - 本金。
例如，某人将1000元存入银行，年利率为5%，存款期限为1年。
根据复利计算方法，他将获得的利息为：1000 × (1 + 0.05) ^ 1 - 1000 = 50.625元（保留两位小数）。
复利的应用：1. 投资收益计算：投资者可以根据复利计算方法来评估投资收益，并做出相应的决策。
2. 贷款利息计算：银行或其他贷款机构常使用复利计算方法，确保贷款利息的准确计算。
3. 理财计划制定：个人或企业制定理财计划时，也需要考虑复利计算，以获得更准确的资金预估。
三、利息计算的实际案例案例一：张先生申请了一笔贷款，金额为10,000元，贷款期限为2年，年利率为8%。
他想要计算整个贷款期限内需要支付的利息金额。
根据复利计算方法，利息计算公式为：利息 = 本金 × (1 + 利率) ^ 时间 - 本金。
理论化学计算方法及其应用
理论化学计算方法及其应用随着科技的不断发展，理论化学计算方法在化学研究中变得越来越重要。
在实验室里，一些物质的合成和性质的研究需要大量的实验过程，这会导致时间和经济成本的浪费。
而理论化学计算方法，在模拟，预测并设计实验所需物质的化学性质方面显得更加高效。
理论计算方法产生的结果可以为实验设计提供基础，并且节约了很多实验研究的时间，使科学家们更加高效地去研究新的科学问题。
理论化学计算方法种类理论化学计算方法的种类很多，这里列举几种比较常用的理论分子计算方法：1.基于哈特里-福克算子的计算方法哈特里-福克算子是对电子波函数和分子波函数的描述，它是一种基础的物理化学原理。
哈特里-福克方程，可以通过电子态密度计算做出。
这种计算方法被称作量子化学方法或者是单点能计算。
2.分子动力学计算方法分子动力学是一种理论计算方法，它运用牛顿力学来描述分子间相互作用，并解决宏观和微观之间的突破性问题。
分子动力学研究主要侧重于分子运动和物理性质的计算，例如温度，压力，密度和分子间的距离等。
3.密度泛函理论密度泛函理论的基础是哈特里-福克的基本原理，其思想是将原子和分子电子密度计算为一个函数，由此得到分子的能量。
但是，由于哈特里-福克算法很难精准计算大分子体系的能量和结构，因此密度泛函理论的出现解决了这个问题。
应用范围在现代化学研究领域中，理论化学计算方法有着广泛的应用范围。
它可以用于预测和解释化学反应的倾向性、热力学参数和动力学速率常数，以及已知结构下物质的性质预测等。
以下是它在不同领域的应用：1.药物设计理论化学计算方法可以用于药物的设计和开发。
在药物研发过程中,可以通过分子模拟，通过计算预测物质的理化性质、化学反应和对生物分子的亲和性等参数来筛选潜在的化合物，从而选出最合适的化合物进行实验验证。
2.新材料研究新材料研究需要大量的时间和经济成本。
但借助于理论化学计算方法,科学家们可以用电子结构理论计算材料的各种电子性质,包括导电性,介电常数和光学性质等。
EVA的计算方法与应用实例
EVA的计算方法与应用实例EVA（Economic Value Added）即经济增加值，是一种衡量企业绩效的方法。
它基于市场价值和未来现金流的概念，用于评估企业的经济价值创造能力。
EVA的计算方法与应用实例如下：一、EVA的计算方法EVA=营业利润×(1-税率)-(权益资本×资本成本率)其中，营业利润是指企业的税前利润，税率是所在地的税收比率，权益资本是指企业的投入资本，资本成本率是企业所需资本的机会成本率。
二、EVA的应用实例1.评价企业经营绩效EVA可以用于评价企业的经营绩效。
通过计算EVA，可以看出企业的价值创造能力。
如果EVA为正数，说明企业能够创造超过资本成本的价值；如果EVA为负数，说明企业的价值创造能力低于资本成本。
可以通过对比不同时间段的EVA来评估企业的经营改进情况。
2.评估投资项目EVA可以用于评估投资项目的可行性。
当企业考虑投资新项目时，可以计算出该项目的EVA，以评估项目的价值创造潜力。
如果项目的EVA高于零，则说明项目能够创造超过资本成本的价值，是值得投资的项目。
3.激励员工绩效EVA可以用于激励员工绩效。
企业可以将EVA作为衡量员工绩效的指标，并与员工的薪酬挂钩。
如果员工能够帮助企业创造出高于资本成本的价值，他们可以获得相应的奖励；如果员工的绩效低于EVA，他们可能会受到相应的惩罚。
通过与EVA挂钩的薪酬激励机制，可以提高员工的工作动力。
4.评估并购交易EVA可以用于评估并购交易的合理性。
当企业考虑进行并购交易时，可以计算出合并后的企业的EVA，并与合并前的EVA进行对比。
如果合并后的EVA增加，说明并购交易对于企业来说是有价值的；如果合并后的EVA减少，说明并购交易可能会降低企业的价值。
5.优化资本结构EVA可以用于优化企业的资本结构。
通过计算EVA，企业可以了解到不同资本结构下的价值创造能力。
企业可以根据EVA的变化情况，调整资本结构以最大化企业的价值创造能力。
标准差的的计算方法与应用
标准差的的计算方法与应用
标准差是一种用来衡量数据分布散度的度量值。
它可以帮助我们了解数据的离散程度，从而判断数据集的稳定性。
以下是标准差的基本计算方法和应用：
1. 标准差的计算方法：
标准差可以用于计算一组数据的波动程度。
它基于每个数据点与平均值之间的差的平方，然后求得这些平方差的平均值，最后取平方根得到标准差。
总体标准差：首先计算每个数据与平均值的差值，然后将差值平方，再求平均值，最后取平方根。
样本标准差：与总体标准差类似，但在计算差值平方的平均值时，除以样本容量减1。
2. 标准差的应用：
在统计学中，标准差被广泛应用于衡量数据的离散程度。
它可以帮助我们了解一组数据的分布情况，以及数据之间的差异程度。
例如，在金融领域中，标准差被用来衡量投资组合的风险。
通过计算投资组合的平均收益率和标准差，我们可以评估投资组合的波动程度和风险水平。
此外，在医学领域中，标准差也被广泛应用于临床试验和数据分析中。
通过比较不同组之间的标准差，我们可以评估治疗效
果的差异程度和可信度。
总之，标准差是一种重要的统计指标，可以帮助我们了解数据的分布情况和差异程度，从而在各个领域中做出科学决策。
数学教案二：学会灵活运用——乘法交换律和结合律的应用方法
数学教案二：学会灵活运用——乘法交换律和结合律的应用方法一、引言在我们的生活中，数学无处不在。
当我们涉及到数学问题时，乘法交换律和结合律是我们经常会遇见的法则。
在初中阶段，我们需要掌握这两个重要的概念，并学会灵活运用。
本文将重点介绍乘法交换律和结合律的应用方法。
二、乘法交换律的应用方法乘法交换律是一种重要的数学定理，它表明两个数的乘积不会改变，即a×b = b×a。
它可以用于简化计算、解决问题，常见的应用有以下几种：1. 交换乘法顺序乘法交换律可以让我们交换两个数的位置，从而简化计算。
比如说，计算4×6×3，根据乘法交换律，可以将其改写为4×3×6，这样的话，我们就可以优化计算过程，得出的结果是相同的。
2. 转化为除法运算乘法交换律还可以让我们将一个数除以另一个数转化为乘法运算，从而解决问题。
比如说，如果我们要计算80 ÷ 4，可以使用乘法交换律将其改写为4 × 20，这样我们就可以用乘法运算的方式得到结果。
3. 推导数值乘法交换律可以让我们推导出一个数的值。
例如，已知5×6=30，可以推导出6×5=30，这样就可以使用这个知识点解决其他类似的问题。
这对于初中数学的学习来说非常有用。
三、结合律的应用方法结合律是指在两个数或以上的操作数中，通过调换括号的位置，操作结果不变。
例如，(3×4)×5=3×(4×5)。
结合律的应用有以下几种：1. 改变计算顺序结合律可以让我们改变计算顺序，从而简化计算。
比如说，已知一个表达式2×3×4，可以使用结合律将其改写为(2×3)×4 或2×（3×4），这样可以优化计算过程，得出的结果是相同的。
2. 将多个数的乘积化为一个乘积结合律可以将多个数的乘积化为一个乘积，从而快速计算出结果。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
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结果分析：比较发现，经过两种改进迭代法，求重根时迭代速度明显加快。
3-4 试验目的体验 Steffensen’s method 加速技巧 试验内容：先用 Newton 法求解方程 x-tanx=0 再用 Steffensen 法求解，比较迭代步数。精确到 10-4。 迭代公式： P(k+1)=P(k)-(P(k)-tan(P(k)))/(1-(sec(P（k）))^2) 初值 P0=1 Newton 法： function [ p,k ]=fnewton( p0,max,tol ) for k=1:max p=p0-(p0-tan(p0))/(1-(sec(p0))^2); if abs(p-p0)<tol break; end p0=p; end disp(p); disp(k) % fnewton( 1,100,10^(-4) ) Steffensen 法： function [ p1,k ]=steffensen( p0,max,tol ) n=1; p(1)=p0; while n<=max for k=1:2 p(k+1)=p(k)-(p(k)-tan(p(k)))/(1-(sec(p(k)))^2); end p1=p(1)-(p(2)-p(1))^2/(p(3)-2*p(2)+p(1)); f0=p1-(p1-tan(p1))/(1-(sec(p1))^2); if abs(f0)<tol break; end n=n+1; p(1)=p1; end disp(p1); disp(n) % steffensen( 1,100,10^(-4) ) >> steffensen( 1,100,10^(-4) ) -1.3387e-07 3
3-2 试验目的:考察 Newton 法求单根的收敛速度 应用 Newton 迭代法求 3-1 中的方程，并与 3-1 中的迭代法相比较，考察收敛速度。精确到时 10-4 迭代公式： P(k+1)= P(k)-(2P(k)-eP(k)+3)/(2- eP(k)) 初值 P0=1 和-1。 Newton 法: function [ p,k ] = fnewton( p0,max,tol ) for k=1:max p=p0-(2*p0-exp(p0)+3)/(2-exp(p0)); if abs(p-p0)<tol break; end
应用作业 3 章 p75 .............................................................................................. 3 非正式作业 4 章 p111 ............................................................................................ 7 第二次作业 5 章 p145 ............................................................................................ 7 第三次作业 5 章 p145 .......................................................................................... 10 第四次作业 课件 ................................................................................................... 11 第五次作业 7 章 p240 .......................................................................................... 13 第六次作业 9 章 p325 .......................................................................................... 14
改变初值的迭代结果： >> ftwo( -1,100,10^(-4) ) %近似根 p -1.3734 %迭代次数 k 6
改变初值的迭代结果： >> fthree( -1,100,10^(-4) ) %近似根 p 1.9239 %迭代次数 k 11
结果分析: 法二和法三都收敛，法一可能发散。而且，发现迭代法，具有局部收敛性。
1
cond1 H5=943656 cond1 H6= 29070279 cond1 H7= 985194889 cond1 H8= 33872789100 cond1 H9= 1099650058489 cond1 H10= 35353368771751
矩阵的条件数越来越大，而且远远大于 1，这是一个病态问题。
3
改变初值的迭代结果： >> fone( -1,100,10^(-4) ) %近似根p -7.7631e+46 %迭代次数k 101
迭代结果： >> ftwo( 1,100,10^(-4) ) %近似根 p -1.3734 %迭代次数 k 7 迭代公式： P(k+1)= ln(2P(k)+3) 初值 P0=1 和-1； 法三： function [p,k] = fthree( p0,max,tol ) % 初值p0,最大迭代次数max,误差tol % 近似根p,迭代次数k k=1; while k<=max p=log(2*p0+3); %迭代方程 if abs(p-p0)<tol break; end k=k+1; p0=p; end disp(p);disp(k) %fthree( 1,100,10^(-4) ) 迭代结果： >> fthree( 1,100,10^(-4) ) %近似根 p 1.9239 %迭代次数 k 9
>> fnewton( 1,100,10^(-4) ) 1.8168e-04 22
结果分析：比较迭代次数，明显发现 Steffensen 法加快了迭代速度。
6
非正式作业 4 章 p111 4-3 实验目的：考察 Hilbert 矩阵的性态，了解病态方程组求解。 实验内容：生成 Hibert 矩阵：Hn=(ℎ������������ )������×������ ,hij=������+������−1,n=5,…，10.计算 Hn 的条件数，观察其变化。分别 应用 LU 分解法与 LU 分解迭代求精法求解方程组 H10 x=（1，1，…，1）T.将两种方法所得结果进行比较。 % n=5：10 for i=1:n for j=1:n H(i,j)=1/(i+j-1); end end disp(H) cond(H,1) >> Hn n =5 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
4
p0=p; end disp(p);disp(k) % fnewton( 1,100,10^(-4) ) >> fnewton( 1,100,10^(-4) ) 1.9239 8 >> fnewton( -1,100,10^(-4) ) -1.3734 3
结果分析：比较发现 Newton 法加速收敛，且能够求出所有根。
第二作业 5 章 p145 5-1 试验目的：熟悉 Jacobi、Seidel、Sor 迭代法，了解松驰因子对收敛速度的影响。 试验内容：分别用 Jacobi、Seidel、Sor（ω=0.8,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5）迭代法求下面的方程组，并做结果 分析。初值 x(0)=(0,0,0,0,0)T,精度要求： （1） 12.3������1 − 2������2 − ������3 + 3.4������4 − 3.7������5 = 4.8 1.4������1 + 9������2 − 3������3 + 2.4������4 + 2.7������5 = 2.3 2.1������1 + ������2 + 8������3 + 2.6������4 + 5.8������5 = 2.5 3.5������1 − 2.1������2 + ������3 + 13������4 + 4.6������5 = 3.6 {2.5������1 − ������2 − 2������3 + 5.3������4 + 14.8������5 = 2.2 迭代公式： 1 ������������ = (������ − ∑ ������������������ ������������ − ∑ ������������������ ������������ ) , ������ = 1,2, ⋯ , ������ ������������������ ������
2
第一次作业
3 章 p75
3-1 试验目的：考察不动点迭代法的局部收敛性 试验内容：构造 2x-ex+3=0; 采用三种迭代方法，迭代 100 次，考察收敛性，改变初值符号，再迭代。分析收敛与发散的原因。 迭代公式： （ ） P(k+1)=3P(k)-eP k +3 初值 P0=1 和-1； 法一： function [p,k] = fone( p0,max,tol ) % 初值p0,最大迭代次数max,误差tol % 近似根p,迭代次数k k=1; while k<=max p=3*p0+3-exp(p0); %迭代方程 if abs(p-p0)<tol break; end k=k+1; p0=p; end disp(p);disp(k) 迭代结果： >> fone( 1,100,10^(-4) ) %近似根p -7.0299e+47 %迭代次数k 101 迭代公式： P(k+1)= (eP(k)-3)/2 初值 P0=1 和-1； 法二： function [p,k] = ftwo( p0,max,tol ) % 初值p0,最大迭代次数max,误差tol % 近似根p,迭代次数k k=1; while k<=max p=(exp(p0)-3)/2; %迭代方程 if abs(p-p0)<tol break; end k=k+1; p0=p; end disp(p);disp(k)