二次函数 (06)
2012—2013学年九年级数学（下）周末辅导资料（06）理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分:一、选择题：1、（2012湖南郴州）抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是（ ）A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）2、（2012黑龙江牡丹江）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是（ ）A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 33、（2012青海西宁）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是( )A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于04、（2012宜昌）已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限5、（2012山东枣庄）抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为（ ）A ．3B ．9C ．15D ．15-6、（2012甘肃白银）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是（ ）A ．x 1<-B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x 1<-或x ＞3 7、（2012四川巴中） 对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是（ ）A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－1 8、（2012山东泰安）如图，设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >>二、填空题：9、（2012广东深圳）二次函数622+-=x xy 的最小值是 ．10、（2012黑龙江牡丹江）若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ． 11、（2012湖北襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x ﹣1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来． 12、（2012辽宁营口）二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．三、解答题：13、（2012黑龙江牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式；(2)若与x 轴的两个交点为A ，B ，与y 轴交于点C ．在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC 与△ABD 全等？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，请说明理由。
14、（2012浙江嘉兴）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y 元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？15、（2012江苏扬州）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16、（2012湖南郴州）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17、（2012内蒙古赤峰）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．18、（2012辽宁朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的正半轴上，A （0，2），B （－1，0）。
（1）求点C 的坐标；（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P （m ，n ）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M ，使得△MPC（P 为上述（3）问中使S 最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
一、知识点梳理：1、二次函数的性质：设)0(2≠++=a c bx ax y①开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向_____，当a ＜0时，抛物线开口向_______； ②对称轴：直线__________; ③顶点坐标(________,___________)；④增减性：当a ＞0时，如果a b x 2-≤，那么y 随x 的增大而减小，如果2b x a≥-，那么y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，如果a b x 2-≤，那么y 随x 的增大而增大，如果2bx a≥-，那么y 随x 的增大而减小.2、最大值与最小值：（1）当a ＞0时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 有最小值：=y 最小___________，此时x=_______； （2）当a ＜0时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 有最大值：=y 最大____________,此时x=_________.3、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的三种特殊点：（1）顶点：(_______，_______)或者将y ＝ax 2＋bx ＋c 配方成y ＝a(x-h)2＋k 的形式，则顶点坐标为（____ , ____）。
（2）与y 轴交点：（____ ，_____ ）; （3）与x 轴交点：方程02=++c bx ax 的两根为x x 21、，则与x 轴的交点坐标为:（ ___,0 ），(____, 0 ) 4、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点个数由△＝___________的符号来决定：(1)当24ac b->0时，_______交点；(2)当24ac b -=0时，_______交点（顶点）；(3)当24ac b-〈0时，________交点；5、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的a 、b 、c 的符号如何通过函数图象来确定：(1)先确定a ， 开口向上时，a______0；开口向下时，a_____0；(2)再确定c ，二看抛物线与y 轴交点为(___,_____) ，当交点在x 轴上方时，c______0；当交点在x 轴上方时，c___0;当抛物线经过原点时，c_____0.(3)最后确定b ，根据________的位置来确定b 的符号．当对称轴在y 轴的左边，a 、b 同号；当对称轴在y 轴的右边，a 、b 异号；简称：“左同右异”。
6、顶点式:()()20y a x h k a =-+≠①开口方向： a ＞0，向上； a ＜0，向下；②对称轴：直线_______；③顶点坐标：(____,______ )；④增减性：增减性：当a ＞0时，如果x h ≤，那么y 随x 的增大而减小，如果x h ≥，那么y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，如果x h ≤，那么y 随x 的增大而增大，如果x h ≥，那么y 随x 的增大而减小. 9、用待定系数法求二次函数解析式：15、【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）。
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1。
∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2＋2x ＋3。
（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P 。
则此时的点P ，使△PAC 的周长最小。
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：3k+b=0b=3⎧⎨⎩，解得：k=1b=3-⎧⎨⎩。
∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3。
当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)。
（3）存在。
点M 的坐标为(1，(1，(1，1)，(1，0)。
。
16、【答案】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点，∴ 16a 4b c 04a 2b c 3 c 3++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得3a 83b 4c 3⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩。
∴抛物线的解析式为：233y x x 384=-++，其对称轴为：bx 12a=-=。
（2）由B （2，3），C （0，3），且对称轴为x=1，可知点B 、C 是关于对称轴x=1的对称点。
如图1所示，连接AC ，交对称轴x=1于点M ，连接MB ，则MA ＋MB=MA ＋MC=AC ，根据两点之间线段最短可知此时MA ＋MB 的值最小。
设直线AC 的解析式为y=kx ＋b ，∵A（4，0），C （0，3），∴ 4k b 0 b 3+=⎧⎨=⎩ ，解得3k 4b 3⎧=-⎪⎨⎪=⎩。
∴直线AC 的解析式为：y=34-x ＋3。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(七大类型)(题型专练)(原卷版)
专题06 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（七大类型）【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴问题】1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（）A．（1，﹣4）B．（1，4）C．（0，﹣3）D．（2，﹣3）2．（2022秋•合川区期末）抛物线y＝﹣x2﹣6x的顶点坐标是（）A．（﹣3，9）B．（﹣3，﹣9）C．（3，﹣9）D．（3，9）3.（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定4．（2022秋•连平县校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表，则该函数图象的顶点坐标为（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）5．（2022秋•南充期末）若二次函数y＝x2+2x+c﹣1图象的顶点在x轴上，则常数c的值为（）A．c＝2B．c＝1C．c＝﹣2D．c＝06．（2022秋•新会区期末）二次函数y＝﹣x2+2x+m图象的顶点坐标是（1，3），则m＝（）A．1B．2C．3D．57．（2022秋•兰山区校级期末）已知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣7，则这条抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．（2023•亳州模拟）下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+8具有相同对称轴的是（）A．y＝4x2+2x+4B．y＝x2﹣4x C．y＝2x2﹣x+4D．y＝﹣2x2+4x 9．（2023春•宁波月考）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（4，9），B（12，9）两点，则它的对称轴是（）A．直线x＝7B．直线x＝8C．直线x＝9D．无法确定【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】10．（2021秋•门头沟区期末）如果将抛物线y＝2x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+311.（2023•温州二模）将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（）A．2B．3C．4D．512.（2023•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝﹣x2+2x﹣1经过平移可以与抛物线y＝﹣x2互相重合，那么这个平移是（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位13．（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为（）A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3C．b＝0，c＝6D．b＝4，c＝614．（2023•阳泉二模）某抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位后得到的表达式为y＝x2﹣6x+14，则原抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣4x+1B．y＝x2﹣4x+5C．y＝x2﹣8x+25D．y＝x2﹣8x+17 15．（2023•宁波模拟）将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，则n 的值可以是（）A．3B．4C．5D．6 16．（2023•涡阳县模拟）将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）A．y＝x2﹣2x+3B．y＝x2﹣2x+4C．y＝x2+2x+4D．y＝x2+2x+3 17．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18B．b＝8，c＝14C．b＝﹣4，c＝6D．b＝4，c＝6 18．（2023•坪山区一模）把二次函数y＝x2+2x+1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+3）2﹣1【题型3：二次函数y=ax2+bx+c的性质】19.（2022秋•巩义市期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．抛物线的顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小20.（2022秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…188202…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4B．0＜x＜5C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5 21．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣3或x＞1 22．（2023•成都模拟）下列关于抛物线y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（）①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣4；③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0．A．①③B．①④C．①③④D．①②③④23．（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：x…1346…y…8182018…下列结论中，正确的是（）A．抛物线开口向上B．对称轴是直线x＝4C．当x＞4时，y随x的增大而减小D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大24．（2022秋•巩义市期末）已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．抛物线的顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小25．（2022秋•苏州期末）若抛物线y＝x2+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2 26．（2023•会昌县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…则以下结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1C．m的值为0D．抛物线不经过第三象限27．（2022秋•槐荫区期末）下列关于抛物线y＝x2+2x﹣3的说法正确的是①开口方向向上；②对称轴是直线x＝﹣2；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④28．（2023•青白江区模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣7，下列结论正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，﹣1）C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．与x轴只有一个交点【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】29．（2023•天宁区模拟）已知点A（m，y1）B（m+2，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y2＞y1，则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞﹣3C．m＜﹣2D．m＞﹣2 30．（2023•碑林区校级模拟）已知抛物线：y＝mx2﹣2mx+8（m≠0），若点A （x1，y1），B（x2，y2），C（4，0）均在该抛物线上，且x1＜﹣2＜x2＜4，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞0B．0＞y2＞y1C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1 31．（2022秋•盐湖区期末）抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较32．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B （x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法判断33．（2023•灞桥区校级模拟）已知点A（n，y1）、B（n+2，y2）、C（x，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点，若y0≥y1＞y2，则n的取值范围是（）A．n＞﹣3B．n＜﹣3C．n＜﹣2D．n＞﹣2 34．（2023•莲池区二模）已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（）A．n≤1B．n＜2C．1＜n＜2D．n＞2【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】35．（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（）A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6 36．（2022秋•汝阳县期末）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜2 37.（2022秋•蔡甸区校级月考）已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣638.（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣B．4或﹣C．﹣4或D．4或39．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y＝﹣x2﹣4x+c的最大值为0，则c 的值等于（）A．4B．﹣4C．﹣16D．1640．（2022秋•桥西区校级期末）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5B．﹣5或C．5或D．﹣5或41．（2022秋•长安区期末）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（）A．b＝2，c＝4B．b＝﹣2，c＝﹣4C．b＝2，c＝﹣4D．b＝﹣2，c＝4 42．（2022秋•宜阳县期末）当x＝﹣时，二次函数y＝2x2+3x﹣1的函数值最小．43．（2022秋•东丽区期末）当m≤x≤m+1，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则m的值为．44．（2022秋•天河区校级期末）当a﹣2≤x≤a+1时，函数，y＝﹣x2+2x+3的最大值为3，则a的值为．【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】45．（2023•大观区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（）A．B．C．D．46．（2023•老河口市模拟）二次函数y＝mx2+2x+n（m≠0）与一次函数y＝mx+mn 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．47.（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A．B．C．D．48.（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．49．（2023•莱芜区模拟）一次函数y＝ax+bc与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】50．（2023•顺庆区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0．②2a+b＜0．③4a+2b+c＜0．④4ac﹣b2＞8a．⑤a≤﹣1．其中，结论正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个51．（2023•兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤当x＝1数有最大值；⑥当0＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小；其中正确的序号有（）A．①②④B．②③⑤C．④⑤⑥D．②④⑤52．（2023•潮南区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（1，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＞0：②2a+c＞0；③函数的最大值为﹣4a；④当﹣3≤x≤0时，0≤y≤c．其中正确结论的个数是（）A．4B．1C．2D．3。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破06瓜豆原理
A
D
F
G
B
E
C
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值，可以将 F 点看成是由点 B 向点 A 运动，由此作出 G 点轨迹：
考虑到 F 点轨迹是线段，故 G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，
初始时刻 G 点在 G1 位置，最终 G 点在 G2 位置（ G2 不一定在 CD 边），G1G2 即为 G
引例 2：如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，作 AQ⊥AP 且 AQ=AP． 考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？
Q
A
P
O
【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°得 AQ，故 Q 点轨迹与 P 点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
A
D
E
F
B
O
C
【分析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足 EO=2，故 E 点轨迹是以 O 为圆心，2 为半径的圆．
A
D
E
F
B
O
C
考虑 DE⊥DF 且 DE=DF，故作 DM⊥DO 且 DM=DO，F 点轨迹是以点 M 为圆心， 2 为半径的圆．
A
D
E
B
O
C
M F
专题06 二次函数最小值问题(解析版)
∴△QEF周长的最小值为 ，此时Q（ ， ）．
4．如图1，二次函数y＝ x2﹣2x+1的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且AO：BN＝1：7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使△QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和△QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过原点O和点A（3，﹣3），
＝（m﹣1）4+ （m﹣1）2+ ，
∴PM2＝PF2，
∴PM＝PF，
∴点P在MF的垂直平分线上，
（3）如图，E（ ），EF＝ ，
作QN⊥l于N，由（2）知：QN＝QF，
∴要想△QEF的周长最小，只要使EQ+QN最小，
作EN'⊥l于N'，交抛物线于Q'，
∵EQ+QN≥EN'，
∴E、Q、N三点共线时，EQ+QN最小，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
∴PE×PD＝（k+1）（3﹣ k）＝﹣ k2+ k+3，
∴当k＝ 时，PE×PD最大，即：PE×PF最大，
此时G（5， ），
∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，
∴ BH＝B1H，GH+ BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
专题06二次函数的图象与性质(1)(5个知识点4种题型1个易错点)原卷版-初中数学北师大版9年级上册
专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数2x y =与2x y -=的图象及性质知识点2.二次函数)0(2≠=a ax y 的图象及性质（重点）知识点3.二次函数)0(2≠+=a k ax y 的图象及性质（重点）知识点4.二次函数)0()(2≠-=a h x a y 的图象与性质（重点）知识点5.二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小题型2.二次函数与一次函数的综合题型3.画二次函数的图象题型4.二次函数与几何图形的综合【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数a 的作用【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握二次函数)0(),0(,222≠+=≠==a c ax y a ax y x y 图象的画法及性质，并了解三个函数之间的关系。
2.掌握二次函数)0()(),0()(22≠+-=≠-=a k h x a y a h x a y 图象的画法及性质，并了解)0()()0(22≠+-=≠=a k h x a y a ax y 与图象之间的关系。
3.能灵活运用二次函数)0(2≠=a ax y 与)0()(2≠+-=a k h x a y 图象之间的关系解决问题。
4.重点：二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 图象的画法及性质5.难点：二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y性质的应用【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数2x y =与2x y -=的图象及性质二次函数y ＝±x 2的图象与性质抛物线y ＝x 2y ＝－x2顶点坐标(0，0)(0，0)对称轴y 轴y 轴开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小最值当x ＝0时，有最小值0当x ＝0时，有最大值0【例1】已知二次函数y ＝x 2的图象与直线y ＝x ＋2的图象如图所示.(1)判断y ＝x 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝x 2的交点分别为A ，B ，如图所示，试确定A ，B 两点的坐标；(3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积.【变式】已知二次函数y ＝x 2，当－1≤x ≤2时，求函数y 的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4.小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程.【例2】观察二次函数y＝－x2的图象，请问：(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?【变式】函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－2交于点(1，b).(1)求a，b的值.(2)x取何值时，y随x的增大而增大?知识点2.二次函数)0axy的图象及性质（重点）=a(2≠二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大， 图象两边越靠近x 轴.【例3】．（2023秋•普陀区期末）下列关于抛物线y ＝2x 2和抛物线y ＝﹣2x 2的说法中，不正确的是（）A ．对称轴都是y 轴B ．在y 轴左侧的部分都是上升的C ．开口方向相反D ．顶点都是原点【变式】．（2023秋•琼山区校级期中）已知抛物线y ＝（3m ﹣1）x 2的开口向下，则m 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．知识点3.二次函数)0(2≠+=a k ax y 的图象及性质（重点）关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>>2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当0x>时，y随x的增大而增大；当0x<时，y随x的增大而减小.当0x>时，y随x的增大而减小；当0x<时，y随x的增大而增大.最大（小）值当0x=时，y c=最小值当0x=时，y c=最大值【例4】．（2023秋•日喀则市期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．知识点4.二次函数)0()(2≠-=ahxay的图象与性质（重点）一般地，二次函数()2y a x m=+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m=+，它可以通过将抛物线2y ax=向左（0m>时）或向右（0m<时）平移m个单位得到．抛物线()2y a x m=+（其中a、m是常数，且0a≠）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是（-m，0）．当0a>时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a<时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例5】．（2023秋•西昌市校级期末）y＝ax+b与y＝a（x+b）2在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．知识点5.二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象与性质（重点）二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例6】．（2022秋•环江县期末）二次函数y ＝2（x +2）2﹣1的图象是（）A ．B ．C ．D ．【变式1】．（2023•长兴县一模）抛物线y ＝2（x +9）2﹣3的顶点坐标是（）A ．（9，3）B ．（9，﹣3）C ．（﹣9，3）D ．（﹣9，﹣3）【变式2】．（2023秋•西山区校级月考）在直角坐标系中，将抛物线y ＝﹣2x 2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）A ．y ＝﹣2（x +1）2﹣2B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+2C ．y ＝﹣2（x +2）2﹣1D ．y ＝﹣2（x ﹣2）2+1【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像；（2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？题型2.二次函数与一次函数的综合3.已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．4.物线2=与直线23y ax=-交于点（1，b）．y x（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．题型3.画二次函数的图象(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）--，是否在这个函数图象上，说明理由．(2)判断点(24)y=时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．(3)求当4题型4.二次函数与几何图形的综合6.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数a 的作用7.抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______．【方法四】成果评定法一．选择题（共9小题）1．（2023秋•长春期末）若点A 在二次函数2(5)4y x =--图象的对称轴上，则点A 的坐标可能是()A ．(5,0)-B ．(5,0)C ．(0,4)D ．(0,4)-2．（2023秋•新宾县期末）抛物线221y x =-+通过变换可以得到抛物线22(1)3y x =-++，以下变换过程正确的是()A ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位3．（2023秋•西城区校级月考）已知点1(3,)A y -，2(1,)B y ，3(4,)C y 在抛物线2(2)y x k =--+上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<4．（2023秋•绿园区期末）二次函数24(2)5y x =---的顶点坐标是()A ．(2,5)-B ．(2,5)C ．(2,5)--D ．(2,5)-5．（2022秋•上虞区期末）已知二次函数22y ax c =+，当2x =时，函数值等于8，则下列关于a ，c 的关系式中，正确的是()A ．28a c +=B ．24a c +=C ．28a c -=D ．24a c -=6．（2022秋•东阿县期末）已知1a >，点1(1,)A a y -，2(,)B a y ，3(1,)C a y +都在二次函数22y x =-的图象上，则()A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y <<7．（2022秋•柯城区期末）将抛物线23y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为()A ．23(1)2y x =-++B ．23(1)2y x =---C ．23(1)2y x =-+-D ．23(1)2y x =--+8．（2023秋•明光市期中）抛物线23y x =--的顶点坐标为()A ．(3,1)--B ．(1,3)--C ．(0,3)-D ．(2,3)-9．（2022秋•抚松县期末）已知二次函数2()1y x a =-+，当12x -时，y 的最小值为1a +，则a 的值为()A ．0或1B ．0或4C ．1或4D ．0或1或4二．填空题（共8小题）10．（2023秋•日喀则市期末）抛物线2(1)2y x =++的顶点坐标为．11．（2023秋•西城区校级月考）将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是．12．（2023秋•普陀区期末）如图，抛物线24y x x =-+的顶点为P ，M 为对称轴上一点，如果PM OM =，那么点M 的坐标是．13．（2023秋•普陀区期末）已知点A 在抛物线2(1)2y x =-+上，点A '与点A 关于此抛物线的对称轴对称，如果点A 的横坐标是1-，那么点A '的坐标是．14．（2023秋•徐汇区期末）将抛物线2y x =-向右平移后，所得新抛物线的顶点是B ，新抛物线与原抛物线交于点A （如图所示），联结OA 、AB ，如果AOB ∆是等边三角形，那么点B 的坐标是．15．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4)．若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．16．（2022秋•松北区校级期末）二次函数2(1)5y x =-++的最大值是．17．（2022秋•凤山县期末）如图，把抛物线22y x =向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线l ，抛物线l 的顶点为P ，它的对称轴与抛物线22y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）18．（2022秋•东阿县期末）如图，A ，B ，C ，D 四点在抛物线2y ax =上，且////AB CD x 轴，与y 轴的交点分别为E ，F ，已知20AB =，10CD =，3EF =，求a 的值及OF 的长．19．（2023秋•琼山区校级期中）已知如图所示，直线l 经过点(4,0)A 和(0,4)B ，它与抛物线2y ax =在第一象限内交于点P ，且AOP ∆的面积为4．（1）求直线AB 的表达式；（2）求a 的值．20．（2023秋•安庆期中）平移抛物线212y x =，使顶点坐标为2(,)t t ，并且经过点(2,4)，求平移后抛物线对应的函数表达式．21．（2022秋•运城期末）探究二次函数22(3)1y x =--及其图象的性质，请填空：①图象的开口方向是；②图象的对称轴为直线；③图象与y 轴的交点坐标为；④当x =时，函数y 有最小值，最小值为．22．（2022秋•霍邱县期末）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)．（1）求a 、h 的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．。
专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题06二次函数中三角形存在性问题一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P 的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×∵S△ABD4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC 于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，＝S△OPG+S△EPG∴S△OPE＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y 轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M 1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M 4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，8），顶点为D ，连接AC ，CD ，DB ，直线BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）求四边形ABDC 的面积；（3）P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求点P 的坐标；（4）在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得△BEM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）过点A （﹣2，0）和C （0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +8．令y ＝0，得．解得x 1＝﹣2，x 2＝8．∴点B 的坐标为（8，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ．把点B （8，0），C （0，8）分别代入y ＝kx +b ，得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点H ．∵抛物线的解析式为，∴顶点D 的坐标为．∴S 四边形ABDC ＝S △AOC +S 梯形OCDH +S △BDH ＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．41。
二次函数及其图象在高考数学中的应用
二次函数及其图象在高考数学中的应用二次函数是高中数学中比较重要的一部分，也是高考数学中必考的内容。
二次函数的图象不仅是高中数学重点难点，而且具有广泛应用。
本文将以二次函数及其图象在高考数学中的应用作为主题，对二次函数的基本概念、性质及其在高考数学中的应用进行详细的探讨。
一、二次函数的基本概念和性质1. 二次函数的定义二次函数的定义是：f(x) = ax²+bx+c（a ≠0）,其中a,b,c为常数。
2. 二次函数的图象二次函数的图象为一条抛物线，其开口方向取决于常数a的正负。
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴为一条垂直于x轴，通过抛物线顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b/2a。
4. 二次函数的顶点二次函数的顶点为抛物线的最高点或最低点，它是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，顶点为最大值点。
5. 二次函数的焦点和准线当a＞0时，二次函数的焦点在y轴上，焦距为1/4a；当a＜0时，二次函数的焦点在x轴上，焦距为-1/4a。
其准线为y=-1/4a。
二、二次函数在高考数学中的应用1. 二次函数的解析式及应用在高考数学中，二次函数的解析式是必须掌握的。
通过解析式，我们可以求出二次函数的顶点、对称轴、最值点等重要信息。
同时，我们还可以利用二次函数的解析式解决一些实际问题，如利用二次函数求解运动问题、利用二次函数求解面积和体积问题等等。
2. 二次函数的图象及应用二次函数的图象在高考数学中也有很多应用。
例如，在函数拐点处可以求解最值问题，在对称轴处可以求解交点问题，在焦点处可以解决轨迹问题。
此外，利用图象也可以帮助我们更加直观地理解和解决二次函数相关的问题。
3. 二次函数的相关知识及应用在高考数学中，除了掌握二次函数的基本概念和性质以外，还需要掌握一些相关的知识和技巧，如配方法、完全平方公式、二次函数的基本变形等等。
专题 二次函数与等腰三角形有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。
2017年浙江中考数学真题分类汇编 二次函数(解析版)
2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题06 二次函数一、单选题（共6题；共12分）1、（2017•宁波）抛物线（m是常数）的顶点在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（2017·金华）对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ )A、对称轴是直线x=1，最小值是2B、对称轴是直线x=1，最大值是2C、对称轴是直线x=−1，最小值是2D、对称轴是直线x=−1，最大值是23、（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A、若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B、若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C、若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D、若m＜1，则（m﹣1）a+b＜04、（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A、y=x2+8x+14B、y=x2-8x+14C、y=x2+4x+3D、y=x2-4x+35、（2017·嘉兴）下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（）A、①B、②C、③D、④6、（2017·丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）的方法是（）A、向左平移1个单位B、向右平移3个单位C、向上平移3个单位D、向下平移1个单位二、填空题（共1题；共2分）三、解答题（共12题；共156分）8、（2017•绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。
压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ． （1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）． （1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。