第29讲《平行四边形》全章复习与巩固(基础课程讲义例题练习含答案)

《平行四边形》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.

2.掌握三角形的中位线定理.

3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.

4.积累数学活动经验，发展推理能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平行四边形的定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.

要点二、平行四边形的性质定理

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角线互相平分；

要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

要点三、平行四边形的判定定理

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依

据.

要点四、平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

2．平行线性质定理及其推论

夹在两条平行线间的平行线段相等.

平行线性质定理的推论：

夹在两条平行线间的垂线段相等.

要点五、三角形的中位线

三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个

小三角形的周长为原三角形周长的1

2

，每个小三角形的面积为原三角形

面积的1

4

.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点六、多边形内角和、外角和

n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．

要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180

n

n

-⋅°

；

多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 【典型例题】

类型一、平行四边形的性质与判定

1、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与

点M，CE与DF交于点N．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

【答案与解析】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）

又∵DF∥BE（已知）

∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）

∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF

又∵AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴AF∥CE

∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.

举一反三：

【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF•∥AB，•通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．

【答案】AB＝DE＋DF，

理由：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB

∴DF＝AE．

∵等腰△ABC，

∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，

∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE

2、完成下列各题：

（1）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形ABCD的周长．（2）已知：如图2，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．求证：AB＝AC．

【思路点拨】

（1）首先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质和周长公式计算即可；（2）由已知条件证明△ADE≌△ADC可得到∠E＝∠C，又∠E＝∠B，所以∠B＝∠C，进而证明AB＝AC．

【答案与解析】

（1）解：∵AB∥CD，

∴∠B＋∠C＝180°，

又∵∠B＝∠D，

∴∠C＋∠D＝180°，

∴AD∥BC，

∴ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝6，

∴四边形ABCD的周长＝2×6＋2×3＝18；

（2）证明：∵AD平分∠EDC，

∴∠ADE＝∠ADC，

又DE＝DC，AD＝AD，

∴△ADE≌△ADC，

∴∠E＝∠C，

又∠E＝∠B，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC．

【总结升华】（1）本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的性质以及求平行四边形的周长；（2）本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质以及等腰三角形的证明．

举一反三：

【变式】如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．

【答案】

证明：∵F是BC边的中点，

∴BF＝CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，