中国科学技术大学入学考试 数学
40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
(2)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处可导, 但导函数 f (x) 在 x 0 处不连续(需说明理由)?
b2
(*)
(1 a2) 3 2ab 2 b2
lim
x
x2
x x 2 3x 2 ax b
x2
x2
0
因为
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x
lim
x2
3x x2
2
ax x2
b
0
x
lim
(1
a
2
)
3 2ab x
2
b2 x2
1 a2
0
a
1.
其中已用到a 0 . 将a 1 代入式(*), 得:
2g(0) 2
dx 2
dx 2 x 0
说明 注意反函数的求导法则: df 1(x)
1
而不是 1 .
dx
f (f 1(x))
f (x)
三、(本题 18 分,
每小题 6 分)
设 为实数,
函数 f (x)
x 0,
sin
1 x
,
x x
0. 0
解答下列问题:
(1)问当且仅当 取何值时, f (x) 在 x 0 处连续, 但不可导(需说明理由)?
1 n2
.
解 记 Sn a1 a2 an , 则 {Sn } 单调递增.
中科大自主招生试题数学
中科大自主招生试题数学中科大自主招生数学试题通常会涵盖广泛的数学知识点，旨在考察学生的数学思维能力、创新能力以及解决实际问题的能力。
以下是一道典型的中科大自主招生数学试题，将会对题目进行详细的解析。
题目：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，存在唯一的最大值点x0，最大值为M，即f(x0) = M，且f'(x0) = 0。
若对于任意的x∈[a, b]，f(x)满足下列不等式：f(x) ≤ f(a) + 3(x-a)^2 - 5(x-a)^31.证明函数f(x)在区间[a, b]上是减函数。
2.求f(x)在区间[a, b]上的最大值。
解析：1.首先，我们证明函数f(x)在区间[a, b]上是减函数。
根据题目中的条件，可以得到f'(x0) = 0，即函数在最大值点处的导数为零。
由于导数的定义，导数为零意味着函数在该点处的变化率为零，也就是说函数在该点处是取得极值的可能性最大的地方。
由于函数在最大值点处是取得极值，使得函数在最大值点两侧的变化率相反。
根据函数的凹凸性质，我们可以得出在最大值点左侧的函数是递增的，在最大值点右侧的函数是递减的。
而对于任意的x∈[a, b]，我们都满足条件f(x) ≤ f(a) + 3(x-a)^2 - 5(x-a)^3。
可以发现右侧的式子是一个关于(x-a)的二次减三次函数，也就是说它是一个开口向下的函数图像，这意味着对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)的值要小于该函数值，因此函数f(x)在区间[a, b]上是减函数。
2.接下来，我们来求解f(x)在区间[a, b]上的最大值。
根据题目中的条件，我们已经知道函数f(x)的最大值点为x0，最大值为M。
通过导数的定义，我们知道x0是f(x)的临界点，即f'(x0) = 0。
由于函数在最大值点处的导数为零，因此可以推断出函数在最大值点左侧是递增的，在最大值点右侧是递减的。
所以我们只需要找到函数f(x)在区间[a, b]上的临界点即可求得最大值。
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答王慧兴;王雪芹【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】3页(P20-22)【作者】王慧兴;王雪芹【作者单位】清华大学附属中学;北京师范大学第二附属中学【正文语种】中文从中科大这份自主招生试题看,我们得出以下4点结论: 1) 著名高校自主招生要求考生数学视野开阔,不局限于高考(考试大纲、考试说明),但不超过现行课标设定的知识与能力要求(只是当下常态教学搞全面应试教育,不以课标要求开展教学,譬如按课标编写的《初等数论》、《图论》等等,由于高考不考就不学); 2) 著名高校自主招生命题刻意追求与高考互补,也就是说高考刚刚考过的常态题型不再考查,坚持在课标范围内与高考形成互补; 3) 著名高校自主招生命题更突出对考生能力的考查,继续坚持(不回避)对过往竞赛试题推陈出新,譬如第1、2、3、6、7题在早些年全国高中数学联赛等试题中都有原型,第4题是三角形中的常态问题,另外第5题源于2007年全国高中数学联赛试题2,第8题源于2005年全国高中数学联赛试题加试3,第9题源于国外数学竞赛试题,第10题源于2010年国际数学奥林匹克(IMO)试题3,第11题源于2005年中国数学奥林匹克(CMO)试题6; 4) 对有志赢得更多机会的优秀学子,应把功夫放在平常,及早按课标要求,在常态学习中同时积淀与高考互补的内容,在高考之后登上才智展示的舞台. 以上都是笔者研究高校自主招生试题得出的经验,这些经验已写入笔者著作《自主招生数学备考十二讲》中．下面与读者分享这份精彩思维体操.例1 32 016除以100的余数是________.因为所以340≡1(mod100),从而32016≡316(mod100).再用二进制计算如下：3≡3(mod100),32≡9(mod100),34≡-19(mod100),38≡61(mod100),316≡612=3 721≡21(mod100),综上所述,32 016≡21(mod100).应用欧拉定理可以给出满足3a≡1 (mod 100)的一个正整数a，也可以经枚举发现周期性找出一个这样的正整数.譬如：3a≡1 (mod 100)等价于因为{3n} (mod 22):3,1,3,1,…,所以a是偶数.记a=2b (b∈N*),代入3a≡1 (mod 52),得9b≡1 (mod 52)，必有9b≡1 (mod 5)，但{9n} (mod 5):4,1,4,1,…,所以b=2c (c∈N*),代回9b≡1 (mod 52)，得81c≡1 (mod 52)，但{81n} (mod 25):6,11,16,21,1,…,所以c是5的倍数，记c=5k (k∈N*),从而a=20k,这样得到一个更小的a=20.当然，本题也可应用二项式定理求解例2 复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,|z1+z2|=4,则________.由|z1+z2|=4,得即亦即因为Δ=9-9×16=-9×15,所以,方程有2个共轭虚根i.本题灵活应用共轭与模的性质给出解答,也可走代数形式求解途径.由得所以即).由可得故亦即所以i.例3 用S(A)表示集合A的元素和,A⊂{1,2,3,4,5,6,7,8}且S(A)是3的倍数,但不是5的倍数,则集合A的个数是________.先把集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的8个元素按照同余作划分.按模3同余划分:{1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}.若A≠{1,2,3,4,5,6,7,8},故满足S(A)是3的倍数的真子集A的个数是但其中和数是15的13个子集{8,7}、{8,6,1}、{8,5,2}、{8,4,3}、{8,4,2,1}、{7,6,2}、{7,5,3}、{7,5,2,1}、{7,4,3,1}、{6,5,4}、{6,5,3,1}、{6,4,3,2}、{5,4,3,2,1}以及和数是30的4个子集{4,5,6,7,8}、{2,3,4,6,7,8}、{1,3,5,6,7,8}、{1,2,3,4,5,7,8}这17个子集应当去掉,所以满足题设的真子集A的个数是83-17=66.本题检测组合计数基本技能,常态的问题是单一分组设计,如“求集合{1,2,…,100}的元素之和是3的倍数的三元子集个数”就是一个常态的练习题,求解的关键是按摸3的余数作划分{1,2,…,100}={1,4,7,…,100}∪{2,5,8,…,98}∪{3,6,…,99},再按目标合理分类与分步组合计数得例4 在△ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,则tan A的最大值是________.记BC=a,AC=b,AB=c,由正弦定理和余弦定理,得即c2=2a2+b2.再由余弦定理,得当b=c时取“=”.从而故此时).本题检测基于正弦定理和余弦定理探求三角形中最值问题能力,但考生容易囿于三角变换，陷入怪圈,因此,试题设计体现知识自觉调用、检测目标意识.例5 若对任意实数x,都有|2x-a|+|3x-2a|≥a2,则实数a的取值范围是________.由绝对值不等式,得到综上并且当时取到“=”,即所以题设恒成立条件转化为即故实数a的取值范围是].本题检测应用绝对值不等式求最值的基本技能.上述解法带参数求最值，也可换元去掉参数. 首先a=0满足题设,以下设a≠0,换元x=ay,则恒成立条件化为|2y-1|+|3y-2|≥|a|.由在时取“=”,所以故综上所述例6 设则x=(sin a)logbsin a与y=(cos a)logbcos a的大小关系是____.logbx=(logbsin a)2,logby=(logbcos b)2，因为故再由0<b<1可知f(x)=logbx 是减函数,所以f(cos a)>f(sin a)>0,即logbcos a>logbsin a>0,从而(logbcos a)2>(logbsin a)2>0.综上所述,0<logbx<logby,所以1>x>y>0.例7 在梯形ABCD中,AD∥BC,且AC与BD交于点P1,作P1Q1∥AD交CD于Q1,连接AQ1交BD于P2,作P2Q2∥AD交CD于Q2,依此类推,设AD=a,BC=b,则PnQn=________.先算初值, 由所以由此,可得递推公式即由等差数列通项公式,得故).本题检测平面几何中比例计算基本技能,这里给出建构递推数列求解,也可以利用归纳推理、猜想、证明.例8 设an是与最接近的整数,则________.任取n∈N*,存在k∈N*与i∈{0,1,2,…,2k},使n=k2+i,则k.按题设定义,得an=k的充要条件是即亦即i∈{0,1,2,…,k},所以记则因为442<2016<452,所以本题检测基于“换序”更换和式求值的组合能力.例9 设a,b,c>0,且a+b+c=3,求证证明由柯西不等式,得目标转化为证把条件a+b+c=3代入,即得亦即已知成立,故命题得证.本题检测应用柯西不等式推证分式型不等式的基本技能,柯西不等式是证明多元不等式与求多元极值的重要工具.例10 求所有函数f:N*→N*,使得对任意互异正整数x、y,都有0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|. 按题意,f(x)≠f(y),∀x、y∈N*(x≠y),即f:N*→N*是单射.任取n∈N*,都有0<|f(n+1)-f(n)|<2,但f(n)、f(n+1)∈N*,所以f(n+1)-f(n)=±1.情形1: 若f(n+1)-f(n)=1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有记c=f(1)-1,则f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.经验证,这是满足题设条件的函数. 情形2: 若f(n+1)-f(n)=-1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有但无论如何定义正整数f(1),都不能使所有f(n)∈N*,故此情形不存在满足题设的函数f(x).情形3: f(n+1)-f(n)=±1(n∈N*),且则必存在k∈N*(k>1)使得,f(k)=f(k-1)-1,而f(k+1)=f(k)+1,所以f(k+1)=f(k-1),这与f:N*→N*是单射矛盾,故此种情形不存在满足题设的函数f(x).综上所述,满足题设的函数f:N*→N*所有解是f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.本题检测对单射的深刻理解与应用、分类讨论能力与极端性思维能力.例11 求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解(x,y,z).假设y≠0,若y≥1，必有x≥3,方程两边模5，得2x≡1(mod 5).因为{2n} (mod 5):2,4,3,1,…,所以4|x,从而5y·7z=2x-1≡0 (mod 3),矛盾.所以y=0,原方程即2x-7z=1.当x≤3时，解得(x,z)=(1,0),(3,1);当x≥4时，有7,1≡7z=2x-1≡0 (mod 16),矛盾.综上所述,方程共有2个解(x,y,z)=(1,0,0)、(3,0,1).本题检测应用同余性质求解不定方程基本技能,属初等数论典型内容.。
中国科学技术大学2021年新生入学考试(数学)试卷+参考答案
D f1.fn.x//, 其中Â 是
常数，则f2021.x/ D
.
8
3. 不等式组<jx C yj Ä
1 表示的平面区域的面积为
.
:x2 C y2 Ä 2
4. 设向量˛E; ˇE满足j˛Ej2 C jˇEj2 ˛E ˇE 1, 则j˛Ej2 jˇEj2的最大值为
.
5. 设动点A; B; C 按逆时针排列, A; B分别在x; y轴上, AB D 5; AC D 4; BC D 3, 则C 的轨迹
中F1;2 D .˙a; 0/.
解：设P .x; b/. 据条件有1 D ..x C a/2 C b2/..x a/2 C b2/, 等式右边定义为f .x/. 求导可
得f 0.x/ D 4x.x2 a2 C b2/: 若a2 Ä b2, 则f 在R 上单调递减, 在R 上单调递增. f .x/ D 1有两个
2
3
p C 3.
4. 设向量˛E; ˇE满足j˛Ej2 C jˇEj2
˛E ˇE
1, 则j˛Ej2
jˇEj2的最大值为
2 p
.
3
5. 设动点A; B; C 按逆时针排列, A; B分别在x; y轴上, AB D 5; AC D 4; BC D 3, 则C 的轨迹
方程是4x C 3y D 0.
1
6. 双曲线.x C 1/.y
x x
cos  sin Â
C
sin cos
 Â
,
对任意n
2
N
有fnC1.x/
D f1.fn.x//, 其中Â 是
常数，则f2021.x/
x Dx
cos 2021Â sin 2021Â C
2023考研中国科学技术大学自主命题研究生入学考试真题 348文博综合
2023考研中国科学技术大学自主命题考研真题348文博综合业务课名称：348文博综合
考生须知：1.答案必须写在答题纸上，写在其他纸上无效。
2.答题时必须使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔做答，用其他答题不给分，不得使用涂改液。
一、名词解释(每题10 分，选10 题作答，共100 分)
1、金属文物
2、质文物
3、石质文物
4、媒染法
5、狼毒纸
6、范铸法
7、失蜡法
8、胶黏剂
9、植物纤维
10、文物的时代性
11、文物的多样性
12、文物的史料作用
二、简答题(每题20分，选5题作答，共100分)
1、文物的教育作用体现在哪些方面
2、文物保护与修复基本原理
3、造纸的主要原料
4、造的工艺流程
5、石质文物的生物病害
6、壁画文物的
三、论述题(每题50分，选2题作答，共100分)
1、根据“十四五”文物保护和科技创新规划，谈谈你对“让文物活起来的认识
2、如何传承和发展传统民俗
3、谈谈我国考古学的现状和发展。
2008年中国科学技术大学数学分析试题解答
∑a
k
< r ，这个重要性质在证明 lim xn = a 时要用到。
n →∞
∀ε > 0 , 存在一个充分大的 N > 0 ，使得当 nk > N , m > N , m ≥ nk 时
| xnk − a |<
两式相加得
ε
2
⇒ xnk − a < xm − a < ε
ε
2
及 (1)
xm − xnk <
1
π
.Байду номын сангаас
1
π
在 [0, π ] 上只有两个交点 t1 , t2 (0 < t1 < t2 <
π
2
).
g (t ) 在区间 [0, t1 ],[t2 , π ] 上单调递减，在区间 [t1 , t2 ] 上单调递增。
因为 g (t1 ) < g (0) = 0 , g (t2 ) > g ( ) =
π
2
n →∞
∑a
n =1
∞
n
收敛，
证明：由已知条件，可设存在 M > 0 使得
n −1 ∞
∑a
n =1
∞
n
≤ M . 因为 xn +1 ≤ xn + an ，所以
xn − x1 = ∑ ( xk +1 − xk ) ≤ ∑ ak ≤ M ，从而 0 ≤ xn ≤ M + | x1 | .
k =1 k =1
I (r ) 是 Riemann 可积的。任取 r ∈ [0,1) ，存在 0 ≤ r < b < 1 ，使得被积函数在 [0, b] × [0, 2π ] 上连续，因而 I (r ) 可以在积分号下求导。
2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷
2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷一、填空题1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是 ．2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为 ．3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为 ．4．若a1＝1，a2＝3，a n＝2+a n﹣1，求a n＝ ．5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝ ．6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c 大小顺序 ．7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且∀a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为 ．8．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且a i＜a j，则称（a i，a j）为有序对子，设X为a1，a2，…，a n有序对子的个数，则E（X）＝ ．9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sin x﹣cos x，x∈[0，]的值域 ．10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若∀x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a 取值范围为 ．11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是 （﹣1，]． ．【考点】复数的模．【分析】由题意设z＝，则|z+1|﹣|z﹣i|＝，再由其几何意义，即平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差求解．【解答】解：由题意设z＝，则|z+1|﹣|z﹣i|＝，其几何意义为平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差，由图可知，当A，B，C三点共线时，距离之差最大，当b→﹣∞时，最小，则0﹣1＝﹣1＜|z+1|﹣|z﹣i|≤．∴|z+1|﹣|z﹣i|的取值范围是（﹣1，]．故答案为：（﹣1，]．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】依题意，将原不等式转化为不等式组，作出可行域，进而求得所求面积．【解答】解：|5x+6y|+|9x+11y|≤1等价于或或或，作出对应的可行域如下图所示，易知平面区域为平行四边形，其面积为．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划问题，涉及了平行四边形的面积以及点到直线的距离公式，两点间的距离公式等知识点，属于中档题．3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为 ．【考点】双曲线的性质．【分析】由坐标轴的旋转变换公式，代入函数f（x）的解析式，化简消去x'y'项，求得θ，可得曲线的标准方程，求得a，b，c，e，计算可得所求值．【解答】解：由坐标轴的旋转变换公式，代入y＝+即x2﹣xy＝﹣，可得x'2cos2θ+y'2sin2θ﹣2x'y'sinθcosθ﹣（x'2sinθcosθ﹣y'2sinθcosθ+x'y'cos2θ﹣x'y'sin2θ）＝﹣，化为x'2（cos2θ﹣sinθcosθ）+y'2（sin2θ+sinθcosθ）﹣x'y'（2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝﹣，为了得到曲线的标准方程，可令2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝0，即sin2θ+cos2θ＝0，即tan2θ＝﹣，可取θ＝60°，则曲线的标准方程为﹣＝1，则a2＝2，b2＝，c2＝，e2＝＝，即e＝．故答案为：．【点评】本题考查函数表示的曲线的离心率的求法，运用坐标轴的旋转变换是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．4．若a1＝1，a2＝3，a n＝2+a n﹣1，求a n＝ ．【考点】数列递推式．【分析】先把已知式子变形为，再累乘即可得a n．【解答】解：由题意可知．于是，所以，当n≥2时有，．当n＝1时也满足上式．故答案为：．【点评】本题考查累乘法求数列通项，正确的将题干所给式子进行变形是解题的关键，属于中档题．5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝ 6p4+2 ．【考点】有理数指数幂及根式．【分析】x2﹣y2＝4p2＝（2p）2＝（x﹣y）（x+y）其中x，y∈Z+，p为素数，由x，y∈Z+，可得x﹣y，x+y都为奇数或都为偶数．而4p2为偶数，因此（x﹣y）与（x+y）都为偶数．对p，x分类讨论即可得出结论．【解答】解：∵x2﹣y2＝4p2＝（2p）2＝（x﹣y）（x+y）其中x，y∈Z+，p为素数，由x，y∈Z+，可得x﹣y，x+y都为奇数或都为偶数．而4p2为偶数，因此（x﹣y）与（x+y）都为偶数．①若p＝2，则x﹣y＝2，x+y＝8，x＝5，y＝3，∴x3﹣y3＝98．②若p＞2，则p为奇数．∴（x﹣y）（x+y）＝2×2p2．∴x﹣y＝2，x+y＝2p2．设y＝2k+1（k∈Z+），则x＝2k+3，可得：2k+2＝p2，矛盾，因此不成立，舍去．设y＝2k（k∈Z+），则x＝2k+2，可得：2k+1＝p2，∴x＝p2+1，y＝p2﹣1．于是x3﹣y3＝（p2+1）3﹣（p2﹣1）3＝6p4+2．上式对于p＝2时也成立．综上可得：x3﹣y3＝6p4+2．故答案为：6p4+2．【点评】本题考查了整数的性质、素数的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c 大小顺序 c＞a＞b ．【考点】不等关系与不等式．【分析】利用基本不等式即可比较出b，c的大小关系；利用不等式的性质即可比较b，a的大小关系；利用即可比较c与a的大小关系．【解答】解：，＝，，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．【点评】本题考查实数的大小比较，属于中档题．7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且∀a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为 （﹣∞﹣1]∪[1，+∞） ．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】利用二次函数图象的对称性，三角形的边角性质，两边之和大于第三边解出本题答案．【解答】解：函数f（x）在（0，1）单调递减，由∀a，b，c∈（0，1），都存在已f（a），f（b），f（c）为边的三角形可得，f（0）≤2f（1）即k2≥1，所以k≤﹣1或k≥1．故答案为（﹣∞，﹣1]，或[1，+∞）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，三角形两边之和大于第三边．8．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且a i＜a j，则称（a i，a j）为有序对子，设X为a1，a2，…，a n有序对子的个数，则E（X）＝ ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】对于排列A：a 1，a2，…，a n，构造一个排列A1：a n，…，a2，a1，求出x A与的平均值为：＝，对于任意一个排列A都可以构造一个排列A1，由此能求出E（X）．【解答】解：对于排列A：a1，a2，…，a n，构造一个排列A1：a n，…，a2，a1，此时，＝，∴x A与的平均值为：＝，而对于任意一个排列A都可以构造一个排列A1，∴E（X）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查平均值、倒序相加求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sin x﹣cos x，x∈[0，]的值域 [﹣，5] ．【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法把函数f（x）表示为t的二次函数，然后根据t的取值范围求得函数的值域．【解答】解：设t＝2sin x﹣cos x＝sin（x﹣θ），x∈[0，]，tanθ＝且θ∈（0，），∵x∈[0，]，∴x﹣θ∈[﹣θ，﹣θ]，∴sin（x﹣θ）∈[﹣sinθ，sin（﹣θ）]＝[﹣，]，∴t∈[﹣1，2]，又t2＝4sin2x+cos2x﹣4sin x cos x＝3sin2x+1﹣2sin2x，∴y＝f（x）＝t2+t﹣1，t∈[﹣1，2]，∴﹣≤y≤5，即f（x）的值域为[﹣，5]．故答案为：[﹣，5]．【点评】本题主要考查换元法、二次函数在处理函数值域中的应用，属于中档题．10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若∀x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a 取值范围为 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】先考虑x＝0时，易知a∈R；当x≠0 时，将|f（x）|≥|x|转化为，令，x∈[﹣1，0）∪（0，1]，利用导数研究函数φ（x）的最值求解即可．【解答】解：情形一：当x＝0 时，易知a∈R；情形二：当x≠0 时，此时|f（x）|＞|x|等价于，令，则，令，则，令u（x）＝x3+3x+1，易知u（x）单调递增，且u（0）＝1，u（﹣1）＝﹣3＜0，由零点存在性定理可知：必有一个x0∈（﹣1，0），使得u（x0）＝0，此时x∈（﹣1，x0），h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（x0，0），h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，①当a⩾1 时，此时h（0）＝a﹣1＞0，则x∈（0，1），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，此时，φ（x）＜φ（1）＝1，不满足题意，②当时，此时由零点存在性定理可知：必有一个x1∈（0，1），使得h（x1）＝0，此时x∈（x1，1），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，此时φ（x）＜φ（1）＝1，不满足题意，③当时，此时，则φ′（x）＜0，此时x∈（﹣1，0），φ（x）单调递减，则φ（x）＜φ（﹣1）＝﹣1，满足题意，同理可得x∈（0，1），φ（x）单调递减，φ（x）＞φ（1）＝1，满足题意，综上所述，a取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查不等式恒成立的处理，考查学生的转化能力和运算能力，属于难题．11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】先证明当C＝，不等式成立．利用分析法证明；再再证当C＜时，该不等式不成立．利用数列的极限证明．【解答】解：先证明当C＝，不等式成立．要证，只需证，只需证，根据积分的定义易得，令，其在（0，+∞）上为增函数，则原函数，依据积分法，有f（n）＜F（n+1）﹣F（n），所以，命题得证．再证当C＜时，该不等式不成立．因为，又，所以当时，不满足题意．【点评】本题考查分析法证明数列不等式，考查数列的极限，考查转化思想和极限思想，属于难题．。
中国科学技术大学2024年招收攻读硕士学位研究生参考书目
《无机化学例题、要点、习题》张祖德等编中国科技高校出版社第三版
？
441分析化学
误差与数据处理；酸碱滴定，配位滴定，氧化-还原滴定，重量分析；沉淀滴定，常用的分别方法与困难物质分析
《分析化学》武汉高校主编高等教化出版社
《定量化学分析》李龙泉等编著中国科学技术高校出版社
442有机化学
《有机化学》伍越环编著的全部内容
《有机化学》伍越环编中国科学技术高校出版社
《有机化学试验》兰州高校、复旦高校编高等教化出版社
443结构化学
量子力学基础、原子分子电子结构、分子光谱、晶体结构
《物质结构》潘道皑人民教化出版社
444高分子化学
聚合反应基本原理及高分子化学反应
《高分子化学》潘才元中国科大出版社
《近代物理学》徐克尊高等教化出版社；
《原子物理学》杨福家第三版，高等教化出版社；
《原子物理学》褚圣麟高等教化出版社
《量子力学导论》曾谨言高等教化出版社
436电动力学A
电磁现象的普遍规律；静电场和静磁场；电磁波的传播，电磁波的辐射（包括低速和高速运动带电粒子的辐射）；狭义相对论
《电动力学》郭硕鸿其次版高等教化出版社
《数学分析教程》常庚哲中国科大出版社
322分析和代数
数学分析：一元和多元微积分，无穷级数，广义积分。线性代数：行列式，矩阵，线性方程组和线性变换，欧氏空间，矩阵标准形
《数学分析》（一、二、三册）何琛高等教化出版社
《线性代数》李炯生中国科大出版社
323科技考古学
现代科学技术在考古学各领域的应用。
科技考古论丛（其次辑），中国科学技术高校出版社，2024年版，王昌燧主编，左健副主编；